Capitulo Vi. Fisica II. Temperatura y Dilatación

CAPITULO VI TEMPERATURA Y DILATACIÓN TERMICA

La vista de un puente en donde se observa que las juntas de dilatación permiten que el puente se dilate o se contraiga sin generarse tensiones cuando la temperatura varíe

Física General II

6.1.

Temperatura y dilatación térmica

Optaciano Vásquez García

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INTRODUCCION En los capítulos 6 y 7 nos ocuparemos de los fundamentos físicos de la dilatación térmica que surgen cuando ésta se impide, así como de los mecanismos de transferencia de calor y de los principios de aislamiento térmico. Todas estas aplicaciones son importantes en el ámbito de la ciencia e Ingeniería. La termodinámica es una ciencia que estudia la transferencia de energía con intervención de la temperatura entre cuerpos macroscópicos. Es esta la razón por la cual nos vemos en la imperiosa necesidad de estudiar el significado de la temperatura por ser una cantidad física de mucha importancia.

6.2.

OBJETIVOS Y CARÁCTERÍSTICAS DE LA TERMODINAMICA. La termodinámica es una ciencia que se ocupa de las transformaciones energéticas y, en particular, de los procesos en que interviene el calor y la temperatura. En el progreso de la termodinámica durante el siglo XIX influyo el desarrollo de las máquinas térmicas. De allí la vinculación inicial entre la Termodinámica y las transformaciones energéticos de calor en trabajo mecánico. Actualmente, la Termodinámica es una disciplina que se aplica al estudio de una multitud de fenómenos en los más diversos campos de la Física (propagación del sonido, efecto Joule), la Química (estudio energético de las reacciones químicas), la Ingeniería (sistemas de refrigeración, aire acondicionado, turbinas), la Biología (estudio energético de fenómenos biológicos), etc. El enfoque de la Termodinámica clásica tiene las siguientes características: 

Parte de un número reducido de principios, postulados básicos o axiomas, a partir de los cuales, por razones lógicas, se deducen las leyes que gobiernan las transformaciones energéticas. La validez de estos principios se basa en la experiencia. Ningún fenómeno natural observado viola ninguno de estos principios que, dado al carácter general de la formulación de la termodinámica, deben considerarse aplicables a todos los sistemas físicos, sin excepción, sean de la naturaleza que sean.



Adopta un punto de vista macroscópico, sin hacer hipótesis sobre la constitución de la materia ni su interacción; a diferencia de otras disciplinas, como la teoría cinética molecular o la mecánica estadística, que adoptan un punto de vista microscópico.



Se limita al estudio de los estados de equilibrio y a las transformaciones que pueden representarse como una serie continua de estados de equilibrio. Para estudiar fenómenos que implican estados de equilibrio se han desarrollado otras teorías relacionadas, como la termodinámica de los procesos irreversibles o las teorías sobre la transmisión de calor.

Adoptar un punto de visita macroscópico implica que los sistemas se describen mediante magnitudes físicas macroscópicas, llamadas variables termodinámicas o coordenadas termodinámicas. Por ejemplo, las variables termodinámicas de un gas son su masa m, su temperatura T, su presión p, y su volumen V. Los principios fundamentales de la termodinámica son cuatro: el principio cero el que permite establecer una definición operacional del concepto de temperatura. El primer principio es fundamentalmente el principio de conservación de la energía e indica la relación entre el calor y el trabajo mecánico. El segundo principio establece la imposibilidad de convertir íntegramente el calor en trabajo mecánico (mientras que el proceso inverso si es posible) e implica la existencia de un orden temporal en que deben suceder necesariamente los fenómenos naturales. Por último, el tercer principio el cual establece la inaccesibilidad al cero absoluto de temperaturas.

6.3.

DEFINICIONES. 6.3.1.

Sistema En termodinámica es habitual dividir el universo en dos partes:  El sistema termodinámico se define como la cantidad de materia fija sobre la cual se enfoca la atención para ser estudiada. Esto nos indica que un sistema puede cambiar de forma, posición y condición térmica pero debe tener siempre la misma cantidad de materia.

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El entorno, exterior o alrededor que es todo lo que rodea al sistema. está separado del sistema por el límite del sistema.

En la figura 6.1 se muestra un sistema constituido por el vapor en el cilindro de una máquina de vapor después de haber cerrado la admisión, mientras el pistón se mueve el volumen varía, pero no hay variación alguna de la masa del mismo.

Figura 6.1. Sistema termodinámico. El estado termodinámico de un sistema físico queda definido por el conjunto de valores que toman sus variables termodinámicas. Un sistema termodinámico s dice hidrostático si su masa es constante y sus variables termodinámicas son p, V y T.

6.3.2.

Clases de paredes. En general el sistema puede interactuar con su entorno. Las interacciones entre ellos dependen, entre otras cosas, del tipo de pared, frontera o superficie que los separa. En relación a la interacción térmica (intercambio de calor) una pared puede ser:  

Diatérmana o diatérmica. Aquella pared que permiten el intercambio de calor entre el sistema y el entorno. Adiabática. Cuando no permite intercambio de calor entre el sistema y sus alrededores.

Con respecto a la interacción mecánica (intercambio de trabajo), una pared puede ser:  

Móvil. Si permite que el sistema pueda realizar un trabajo sobre el entorno o viceversa que el entorno pueda realizar trabajo sobre el sistema. Fija: Si impide la realización de trabajo.

En relación a la interacción química (existencia de reacciones, procesos de disolución, ósmosis, etc) una pared puede ser:  

Permeable. Si permite el intercambio el intercambio de masa entre el sistema y su entorno. Impermeable. Si impide el intercambio de masa entre el sistema y sus alrededores.

Hay que hacer notar que estas definiciones corresponden a paredes ideales, a modelos que pueden servir para presentar las paredes reales en distintas circunstancias. Por ejemplo una pared perfectamente adiabática no existe en la naturaleza, pero si durante el tiempo de observación del sistema en estudio los intercambios de calor con el entorno son tan pequeños que, prácticamente no afectan al estado y evolución del sistema, la pared que separa a ambos puede considerarse adiabática.

6.3.3.

Clases de sistemas. Según las paredes que rodean al sistema permitan o no cambios con sus alrededores, diremos que dicho sistema es:

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



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Abierto. Es aquel sistema cuyas fronteras permite la transferencia de masa, calor y trabajo. Esto es, la cantidad de masa y energía en un sistema abierto puede cambiar. Un ejemplo lo constituye una bomba de agua. Cerrado. Es aquel sistema cuyas fronteras permite la transferencia de calor y trabajo pero no de masa. Es decir la cantidad de masa en un sistema cerrado permanece constante pero la cantidad de energía puede variar. Un ejemplo de esta clase de sistema lo constituye el gas contenido en un depósito cilíndrico de paredes metálicas. Aislado. Es aquel sistema cuyas fronteras no permiten la transferencia de masa, calor y trabajo. Es decir en un sistema aislado la cantidad de masa y energía permanecen inalterables. Un ejemplo de este tipo de sistema lo constituye un gas encerrado en un depósito de paredes adiabáticas

Los sistemas también pueden clasificarse a su estructura interna en:  

Homogéneos. Constan de una sola fase Heterogéneos. Aquellos que presentan varias fases.

Una fase es un sistema o subsistema de composición química y estructura física homogénea, limitad0 por una pared a través de la cual las propiedades físicas cambian bruscamente. Por lo general en sistemas de una sustancia pura, cada fase puede identificarse con un estado de de agregación (por ejemplo sólido, líquido o gaseoso). Así un volumen de agua en equilibrio con su vapor es un sistema heterogéneo de dos fases. No siempre el estado de agregación y fase coinciden. Por ejemplo, existen distintos tipos de hielo: hielo I, hielo II, hasta hielo III que se diferencian fundamentalmente en su modo de cristalización. Cada uno de ellos debe considerarse una fase distinta, aún cuando e estado de agregación es el mismo.

6.3.2.

Cantidades macroscópicas y microscópicas Si se tiene un gas encerrado en un depósito y un pistón en movimiento como se muestra en la Fig.6.2, sobre el que se hace llegar fuego mediante un mechero Bunsen. El sistema puede ser el gas encerrado más el pistón y los alrededores será el mechero. Para averiguar cómo es afectado el sistema por la acción del mechero y el pistón, se debe escoger cantidades observables adecuadas para describir el funcionamiento del sistema. Las cantidades pueden clasificarse en macroscópicas y microscópicas. 6.3.4.1. Cantidades macroscópicas    

En conjunto constituyen las propiedades del sistema. Son medidas mediante operaciones en el laboratorio. Para procesos en los que interviene calor las leyes que relacionan las cantidades macroscópicas (presión, volumen, temperatura, energía interna y entropía) forman la base de la ciencia denominada Termodinámica. Muchas de las cantidades macroscópicas están relacionadas con nuestras percepciones sensoriales (sentidos), entre estas están: la presión, el volumen y la temperatura.

6.3.4.2. Cantidades microscópicas   

Permiten estudiar el comportamiento de los átomos y moléculas que constituyen el sistema (sus velocidades, energías, masas, cantidades de movimiento angular, comportamiento durante los choques, etc.). Constituyen la base de la ciencia denominada Mecánica Estadística. Estas cantidades no están relacionadas con nuestras percepciones sensoriales.

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Figura 6.2. Sistema y sus alrededores. Para un sistema cualquiera, las cantidades macroscópicas y microscópicas están relacionadas entre sí ya que son diferentes formas de describir la misma situación. En particular debemos estar capacitados en expresar las primeras en función de las segundas. Ejemplo, la presión (p) de un gas considerada macroscópicamente, se mide operacionalmente con un manómetro tal como se ve en la Fig. 6.3. Considerando microscópicamente, la presión se relaciona con la rapidez media por unidad de área con que las moléculas del gas comunican movimiento al fluido manométrico al chocar contra la superficie.

Figura 6.3. Presión medida por un manómetro

6.4.

EQUILIBRIO TERMODINÁMICO. Principio cero de la termodinámica. 6.4.1.

Equilibrio termodinámico.

En general, cuando dos sistemas aislados del exterior se ponen en contacto los valores de las variables termodinámicas que las describen cambian. Sin embargo, al cabo de cierto tiempo dichas variables termodinámicas alcanzan unos valores que permanecen constantes en el tiempo. El estado de equilibrio alcanzado dependerá, entre otras cosas, del tipo de pared o superficie que separe ambos sistemas. Si los sistemas están separados mediante una pared móvil, que permita la realización de un trabajo mecánico de un sistema sobre otro, el estado de equilibrio implicará un equilibrio mecánico, es decir, un equilibrio de fuerzas que impedirá el movimiento relativo de un sistema respecto a otro. En particular si el sistema fuera hidrostático, se producirá una igualdad de las presiones en ambos sistemas. Si la pared es permeable, permitiendo el intercambio de masa entre ambos sistemas, el estado de equilibrio implicará un equilibrio químico, es decir la composición química de ambos sistemas será la misma. Si la pared es diatérmica, aún cuando fuera fija e impermeable, impidiendo el intercambio de masa y de trabajo entre ambos sistemas, las variables termodinámicas de ambos sistemas variarán, hasta alcanzar un estado de

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equilibrio, que denominamos de equilibrio térmico. El principio cero de la termodinámica que veremos a continuación recoge este hecho experimental. Se dice que dos sistemas están en equilibrio termodinámico cuando están en equilibrio mecánico, químico y térmico.

6.4.2.

Principio cero de la termodinámica.

Como su nombre lo indica, en un desarrollo lógico, el principio cero debe establecerse antes que los llamados primero y segundo principios de la termodinámica, los cuales. Sin embargo, fueron formulados con anterioridad. La fig. 6.4 ilustra dicho principio. El principio cero se enuncia así: Dos sistemas aislados del exterior, A y B, puestos en contacto prolongado a través de una pared diatérmica alcanzan el equilibrio térmico. Si los sistemas A y B están por separado en equilibrio térmico con un tercer sistema C, están también en equilibrio térmico entre sí.

Figura 6.4. Ilustración del principio cero de la termodinámica. (a) Dos sistemas aislados del exterior, A y B, en contacto prolongado, se encuentran en equilibrio térmico. (b) Si A y B están ene equilibrio por separado con C, están también en equilibrio térmico entre sí. 6.4.3.

Temperatura.

El principio cero de la termodinámica no solo establece la tendencia de los sistemas a evolucionar hasta alcanzar el equilibrio térmico, sino que permite definir de manera operacional el concepto de temperatura. Cuando dos sistemas alcanzan el equilibrio térmico se dice que tiene la misma temperatura. La temperatura de un sistema es, por tanto, la propiedad termodinámica que determina si un sistema se encuentra en equilibrio térmico con otros sistemas. El concepto de temperatura tiene su origen en la sensación biológica de lo frio o caliente de un cuerpo. Sin embargo, el sentido del tacto no permite cuantificar la temperatura porque la sensación de frio o caliente se ve alterada por otros factores distintos a la temperatura. Por ejemplo la distinta conductividad térmica de cuerpos que se encuentran a la misma temperatura provoca distintas sensaciones térmicas; apreciamos como más caliente una alfombra que el mármol del suelo de una misma habitación debido a que el mármol es mejor conductor del calor que el tejido de la alfombra, aun cuando ambos están a la misma temperatura. Desde el punto de vista microscópico, la temperatura está asociada con la energía del movimiento molecular, es decir un incremento en la temperatura representa un aumento en la energía cinética molecular media. Para entender el significado de la temperatura consideremos dos cuerpos idénticos A y B a las temperaturas T A y TB, respectivamente, tal que TA > TB tal como se muestra en la Fig. 6.4a. Cuando A y B se ponen en contacto, la temperatura de A disminuye y la de B aumenta hasta que ambos tengan la misma temperatura T E. Es decir la energía cinética molecular de A disminuye pero la de B aumenta de tal forma T A > T > TB.

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La naturaleza del cambio en la temperatura de A y B cuando estos cuerpos son puestos en contacto sugiere que existe una transferencia de energía de uno hacia el otro. En este caso la energía fluye de A hacia B, ocurriendo esta transferencia mientras A y B se encuentren a diferentes temperaturas. En general cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas son puestos en contacto hay un flujo o transferencia de energía del objeto de mayor temperatura hacia el de menor temperatura, el flujo de energía continúa hasta que ambos cuerpos estén a la misma temperatura, es decir alcancen el equilibrio térmico. La energía transferida en esta forma se denomina calor y la característica del calor es que fluye de un cuerpo hacia otro solamente cuando hay diferencia de temperaturas. Bajo estas circunstancias calor y temperatura, describen dos situaciones completamente diferentes. La temperatura es una propiedad del sistema definida como la medida de la energía cinética molecular media de un cuerpo, en tanto que el calor es la energía transferida de un sistema hacia otro debido a la diferencia de temperatura entre los sistemas. Pero el hecho, recogido por principio cero, de que dos sistemas que están por separado en equilibrio térmico con un tercero, lo están también entre sí, nos permite construir termómetros, es decir nos proporciona un medio de medir la temperatura. Así, asignamos un valor de la temperatura a un determinado estado del termómetro (sistema C), caracterizado por unos valores dados de sus propiedades termodinámicas. Cualquier sistema (A o B) que este en equilibrio termodinámico con él estará a dicha temperatura.

Figura 6.5. Significado de temperatura

6.5.

MEDIDA DE LA TEMPERATURA. 6.5.1.

Variables y escalas termométricas.

Como hemos visto, las variaciones de temperatura de un sistema van casi siempre acompañados de una variación en alguna otra de las magnitudes físicas que caracterizan el estado del sistema. La medida de la temperatura mediante cualquier termómetro se basa precisamente en la determinación de la variación de alguna de estas magnitudes con la temperatura. A dicha magnitud se le denomina variable termométrica. Así por ejemplo en un termómetro de mercurio en vidrio, al variar la temperatura varía el volumen que ocupa el mercurio. Es decir, la longitud de la columna de mercurio encerrado en el capilar de sección constante proporciona una medida de la temperatura. Otras variables termométricas son la resistencia eléctrica de un metal (termómetro de resistencia) la fuerza electromotriz (en termopares), la presión o el volumen de un gas (en termómetros de gas a volumen constante o a presión constante), etc. Para medir la temperatura debe definirse una escala termométrica. Ésta se construye eligiendo arbitrariamente ciertos puntos fijos. Por ejemplo en la escala centígrada o Celsius se eligen como puntos fijos (Véase la figura) 

El punto de fusión del hielo a 1 atmósfera de presión, al que se le asigna una temperatura de 0°C.



El punto de ebullición del agua a 1 atmósfera de presión, al que se le asigna una temperatura de 100°C.

Para construir un termómetro debe elegirse además una relación funcional entre la temperatura y la variable termométrica. Si llamamos x a la variable termométrica, podemos hacer la hipótesis de que la temperatura T está relacionada con el valor de x mediante, por ejemplo, una relación lineal del tipo. 𝑇 = 𝑎𝑥 + 𝑏

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(6.1)

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donde los valores de las constantes a y b pueden obtenerse a partir de los puntos elegidos.

Si se usa otra variable termométrica, o incluso la misma pero en otra sustancia distinta, las escalas termométricas coinciden necesariamente en los puntos fijos, pero pueden dar valores distintos para otras temperaturas. Por ejemplo, un termómetro de alcohol y otro de mercurio darán lecturas diferentes en temperaturas intermedias porque la dilatación del mercurio no es proporcional a la del alcohol. Las discrepancias que acabamos de nombrar son menores para los termómetros de gas, en especial cuando las presiones son pequeñas, ya que entonces cualquier gas tiende a comportarse como ideal.

6.5.2.

Termómetro de resistencia.

En un termómetro de resistencia la variable termométrica es la resistencia eléctrica de un hilo metálico (de platino o níquel en los termómetros industriales). La relación funcional entre la resistencia R y la temperatura T no es lineal sino cuadrática. 𝑅 = 𝑅0 (1 + 𝑎𝑇 + 𝑏𝑇 2 )

(6.2)

donde R0, a y b son constantes que se determinan midiendo el valor de R a 1 atmósfera de presión e el punto de fusión del hielo puro (0°C), el punto de ebullición del agua (100°C) y el punto de ebullición del azufre (444.7°C).

6.5.3.

Termopar.

El par termoeléctrico o termopar mostrado en la Fig. 6.6, es un circuito formado por dos hilos metálicos distintos soldados entre sí por ambos extremos. Si cada soldadura está a una temperatura diferente, entre los extremos aparece una diferencia de potencial llamada fuerza electromotriz termoeléctrica (este fenómeno se conoce como efecto Seebeck). Esta fuerza electromotriz es la variable termométrica y se mide colocando un voltímetro entre los extremos de uno de los hilos. La relación entre la fem y la temperatura es de la forma: 𝑓𝑒𝑚 = 𝑎 + 𝑏𝑇 + 𝑐𝑇 2 + 𝑑𝑇 3

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(6.3)

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Normalmente la forma cuadrática es suficiente. Las constantes a, b, c y d se determinan a partir de un número suficiente de puntos fijos. Por ejemplo, el par platino/platino –rodio se calibra mediante los puntos de solidificación del antimonio, la plata y el oro. La ventaja del par termoeléctrico es que alcanza muy rápidamente el equilibrio térmico con el sistema cuya temperatura ha de medirse ya que su masa es pequeña. Por ello, los termopares son prácticamente adecuados para seguir los cambios de temperatura. Sin embargo, no son tan precisos como los termómetros de resistencia de palatino

Figura 6.6.

6.5.4.

Medida de la temperatura mediante un termopar

Termómetro de gas a volumen constante. Escala Kelvin.

Se requiere un termómetro universal cuyas lecturas sean independientes de la sustancia que se use. En un termómetro de gas (figura 6,7), las lecturas de las temperaturas son casi independientes de la sustancia que se utilice en el termómetro. En este caso, la propiedad física es la variación de la presión del gas con la temperatura. Al calentarse (enfriarse) el gas, la presión aumenta (disminuye) y la altura de la columna de mercurio aumenta (disminuye). El cambio de temperatura puede determinarse a partir del cambio en la presión. Si se supone que la variación de temperatura T con la presión P es lineal, se puede escribir: 𝑇 = 𝑎𝑝 + 𝑏

(6.4)

donde a y b son constantes, que se pueden determinar a partir de dos puntos fijos, tales como los puntos de hielo y vapor.

Figura 6.7.

Termómetro de gas a volumen constante.

Los experimentos demuestran que cuando se miden las temperaturas con diferentes termómetros y con diferentes gases, las lecturas son independientes del tipo de gas que se use, siempre que la presión no sea muy

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alta. La concordancia mejora al reducirse la presión. Esta concordancia significa que la intersección b de la ecuación (6.4) es la misma para todos los gases. Esto se muestra en la figura 6.8, en un gráfico de presión – temperatura, para un gas 1, gas 2 y gas 3, cualesquiera. Cuando se extrapola la recta de presión a temperaturas muy bajas (líneas de puntos), se encuentra que la presión es cero cuando la temperatura alcanza el valor -273.15º C. Esta temperatura corresponde a la constante b en la ecuación 6.4. La extrapolación es necesaria, ya que todos los gases se licuan antes de llegar a esa temperatura. Punto triple del agua. Corresponde a la temperatura y presión únicas en las que el hielo, el agua y el vapor de agua pueden coexistir en equilibrio. Estos valores son aproximadamente T = 0.01º C y p = 4,58mmHg.

La temperatura en el punto triple del agua en la nueva escala, dada por la ecuación 6.4, se tomó como 273.15 kelvin, abreviado 273.15 K. Esta elección se hizo para que la vieja escala centígrada de temperatura basada en los puntos del hielo y del vapor coincidiera cercanamente con esta nueva escala basada en el punto triple del agua. Esta nueva escala se llama escala de temperatura termodinámica y la unidad SI de la temperatura termodinámica, el Kelvin K, se define como la fracción 1/273.15 de la temperatura del punto triple del agua (Williams Thompson, inglés, 1824-1907, Primer Barón de Kelvin, Lord Kelvin).

Figura 6.8.

Gráfico de presión versus temperatura para diferentes gases.

Si se toma b = 0 en la ecuación 6.4 y llamando p3 a la presión en la temperatura del punto triple del agua, T3 = 273.16K, se encuentra que a =273.16K/P3. Por lo tanto, la temperatura como una medida de la presión P de un gas para un termómetro de gas a volumen constante se define como: 𝑇 = 273,16

𝑝 𝑝3

(6.5)

Como se mencionó antes, experimentalmente se encuentra que si la presión p3 disminuye, el valor medido de la temperatura se aproxima al mismo valor para todos los gases. En la Fig. 6.9, se da un ejemplo de tales medidas, la cual muestra el punto del vapor medido con un termómetro de gas a volumen constante usando diferentes gases. A medida que la presión P3 se aproxima a cero, todas las medidas se acercan a un valor común de 373.15 K. en forma análoga, se encuentra que la temperatura del punto de hielo es 273.15 K. En el límite de las presiones bajas (valores cercanos a la presión atmosférica) y las temperaturas altas del gas (del orden de la temperatura ambiente o mayor), los gases reales se comportan como lo que se conoce como un

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gas ideal, que se analizará con detalle más adelante. La escala de temperaturas definida en este límite de presiones bajas del gas, recibe el nombre de temperatura del gas ideal, T, dada por: 𝑇 = 273,16 lim

𝑝

𝑝3 →0 𝑝3

Figura6.9.

(6.6)

Gráfico de temperatura medida con un termómetro de gas a volumen constante versus presión p3 del punto de vapor de agua, para diferentes gases.

Por lo tanto, el termómetro de gas a volumen constante define una escala de temperaturas que puede reproducirse en todos los laboratorios del mundo. Aún cuando la escala depende de las propiedades de un gas, es independiente del gas que se use. Es conveniente tener una escala de temperaturas independiente de las propiedades de cualquier sustancia. Una escala de este tipo se llama escala de temperaturas absoluta o escala Kelvin. Se usa el símbolo T para indicar las temperaturas absolutas. En la tabla 6.1, se muestran las temperaturas para puntos fijos particulares de diferentes materiales. Tabla 6.1. Temperatura de algunos fenómenos físicos y biológicos.

6.5.6.

Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit.

La temperatura Celsius, TC, está desplazada respecto a la escala absoluta (o Kelvin) T en 273.15º, ya que por definición el punto triple del agua (273.16 K) vale 0.01º C. La relación entre estas escalas es: TC = T – 273.15

(6.7)

Se observa que el valor de un grado en la escala Kelvin es igual al de la escala Celsius como se muestra en la figura 6.10. Por ejemplo, una diferencia o variación de temperatura de 5º C es igual a una diferencia de temperatura de 5 K. Las dos escalas solo se diferencian en la elección del punto cero.

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Otra escala usada en países anglosajones es la escala Fahrenheit (Daniel Fahrenheit, alemán, 1686-1736). La temperatura Fahrenheit, TF, se relaciona con la temperatura Celsius por la expresión: 9

𝑇𝐹 = + 32°𝐹 5

6.6.

(6.8)

DILATACIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS. La mayoría de los objetos se dilatan (contraen) cuando se aumenta (disminuye) su temperatura. En escala microscópica, la dilatación térmica de un cuerpo es consecuencia del cambio en la separación media entre sus átomos o molé culas. Para comprender esto, se considerará un sólido que consta de un arreglo regular de átomos mantenidos unidos por fuerzas eléctricas. Un modelo mecánico de estas fuerzas es imaginar que los átomos están unidos por resorte rígidos, como se muestra en la F i g . 6 . 1 0 .

Figura 6.10 Modelo mecánico de un sólido, donde los átomos se imaginan unidos unos con otros por resortes. Por su naturaleza, las fuerzas interatómicas se consideran elásticas. Para temperaturas en los rangos comunes de la naturaleza, los átomos vibran respecto a sus posiciones de equilibrio con una amplitud aproximada de 1 0 - 1 1 m y una frecuencia de 1 0 1 3 Hz. La separación promedio entre los átomos es del orden de 10-10 m. Al aumentar la temperatura del sólido, los átomos vibran con amplitudes más grandes y la separación promedio entre ellos aumenta, dando por resultado que el sólido como un todo se dilate cuando aumente su temperatura véase la figura 6.10b. Si la dilatación de cualquier objeto es lo suficientemente pequeña en comparación con sus dimensiones, el cambio de cualquier parte, largo, ancho o alto, dentro de una buena aproximación, es una función lineal de la temperatura. Para minimizar los efectos de la dilatación térmica se realizan diseños como los mostrados en la figura

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6.6.1.



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Dilatación lineal.

Consideremos una barra cuya sección transversal es muy pequeña comparada con su longitud inicial l0. Al incrementar la temperatura en un valor ΔT, la longitud de la barra aumenta en un Δl (ver la Fig. 6.11).

Figura 6.11.

Dilatación lineal de una barra al aumentar la temperatura.

Experimentalmente se observa que la variación en la longitud es proporcional a la longitud inicial l0 y a la variación de temperatura ΔT. Esto indica que ∆𝑙 = 𝛼𝑙0 ∆𝑇

(6.9)

La constante de proporcionalidad (α) se le llama coeficiente de dilatación lineal. Como se puede verificar éste tiene unidades de temperatura-1. En el sistema SI se mide en K-1 (equivalente en °C-1. La dependencia de α con la temperatura no es muy importante, por lo que se asume como constante en primera aproximación. Si se desprecia su dependencia con la temperatura, el coeficiente de dilatación lineal es una propiedad de cada sustancia. La diferencia de valor que presenta cada material puede explotarse para la fabricación de termómetros y termostatos: si se disponen dos hilos o láminas de dos metales distintos soldados entre sí, al variar la

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temperatura éstos se curvan, en mayor o menor grado dependiendo de la temperatura. En la Fig. 6.12, se muestra el esquema de un termostato que aprovecha este fenómeno.

Figura 6.12.

6.6.2.

Termostato basado en la diferencia de dilatación experimentada por dos materiales diferentes.

Dilatación superficial.

Consideremos ahora una lámina rectangular e isótropa cuyo espesor es muy pequeño comparado con su superficie inicial 𝑆0 = 𝑙𝑎 𝑙𝑏 como se muestra en la Figura 6.13.

Figura 6.13.

Dilatación superficial de una lámina al aumentar su temperatura

Un incremento de temperatura ΔT produce un incremento en la superficie ∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0

(6.10)

∆𝑆 = (𝑙𝑎 + ∆𝑙𝑎 )(𝑙𝑏 + ∆𝑙𝑏 ) − 𝑙𝑎 𝑙𝑏 ∆𝑆 = ∆𝑙𝑎 ∆𝑙𝑏 + 𝑙𝑎 ∆𝑙𝑏 + 𝑙𝑏 ∆𝑙𝑎 ∆𝑆 ≈ 𝑙𝑎 ∆𝑙𝑏 + 𝑙𝑏 ∆𝑙𝑎

(6.11)

Suponiendo que ∆𝑙𝑎 ≪ 𝑙𝑎 y que ∆𝑙𝑏 ≪ 𝑙𝑏 . Introduciendo la ec. (6.7) en la ec (6.9), se obtiene ∆𝑆 = 2𝛼𝑆0 ∆𝑇 El factor 2α = β, recibe el nombre de coeficiente de dilatación superficial.

350

(6.12)

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6.6.3.



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Dilatación cúbica.

Siguiendo un razonamiento similar, consideremos ahora un volumen paralelepípedo homogéneo e isótropo de volumen inicial 𝑉0 = 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑐 como se muestra en la Fig 6.14 sometido a un incremento de temperatura ΔTsufrirá un incremento en su volumen dado por ∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉0

(6.13)

∆𝑉 = (𝑙𝑎 + ∆𝑙𝑎 )(𝑙𝑏 + ∆𝑙𝑏 )(𝑙𝑐 + ∆𝑙𝑐 ) − 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑐 ∆𝑆 ≈ 𝑙𝑎 𝑙𝑏 ∆𝑙𝑐 + 𝑙𝑎 𝑙𝑐 ∆𝑙𝑏 + 𝑙𝑏 𝑙𝑐 ∆𝑙𝑎

(6.14)

Suponiendo que ∆𝑙𝑎 ≪ 𝑙𝑎 , que ∆𝑙𝑏 ≪ 𝑙𝑏 . ∆𝑙𝑐 ≪ 𝑙𝑐 ; e introduciendo la ecuación (6.7) en la ecuación (6.12), se obtiene ∆𝑉 = 3𝛼𝑉0 ∆𝑇

(6.15)

El factor 3α = γ, recibe el nombre de coeficiente de dilatación volumétrico. La dilatación de los líquidos suele ser mayor que la de los sólidos. Por lo general, los coeficientes de dilatación son positivos. Un caso particular es el agua cuyo volumen disminuye si la temperatura aumenta de 0°C a 4°C. Para incrementos de temperatura a partir de 4°C el volumen del agua aumenta.

Figura 6.14. Dilatación volumétrica de un paralelepípedo al aumentar su temperatura. Expansión del agua. El agua es una sustancia compuesta por un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno. A temperatura ambiente es líquida, inodora, insípida e incolora (aunque adquiere una leve tonalidad azul en grandes volúmenes). Se considera fundamental para la existencia de la vida. No se conoce ninguna forma de vida que tenga lugar en ausencia completa de esta molécula, cuyo esquema se muestra en la Fig. 6.15. Casi todos los líquidos se expanden al calentarse, ¡pero el agua fría hace todo lo contrario!, este comportamiento del agua es muy extraño, pero que se le va a hacer, suponemos que la creación es perfecta y se debe aceptar tal como es. El agua a 0º C se contrae al aumentar su temperatura hasta alcanzar los 4º C, valor a partir del cual comienza a expandirse, expansión que continua hasta el punto de ebullición. Una cantidad dada de agua alcanza su volumen mínimo, y por lo tanto su densidad máxima a 4º C (ver Fig.6.15). La misma cantidad de agua tiene su volumen máximo, y por lo tanto su densidad mínima en forma de hielo, por eso el hielo flota sobre el agua. Una vez convertida en hielo, el agua se contrae si seguimos reduciendo su temperatura.

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Figura 6.15. Variación del volumen y la densidad con la temperatura en el agua La explicación de este comportamiento tiene que ver con la extraña estructura cristalina del hielo. Los cristales de la mayor parte de los sólidos están estructurados de tal manera que el estado sólido ocupa un volumen menor que el estado líquido. Pero el hielo tiene cristales de estructura abierta, consecuencia de la forma angular de las moléculas de agua (figura 6.16) y del hecho de que las fuerzas que unen las moléculas de agua son más intensas a ciertos ángulos. Las moléculas de agua en esta estructura abierta ocupan un volumen mayor que en el estado líquido. Por eso el hielo es menos denso que el agua.

Figura 6.16.

6.7.

Estructura de la molécula de agua.

ESFUERZOS TERMICOS. Cuando los extremos de una barra o bloque de cierto material se fijan rígidamente y se varía la temperatura, aparecen grandes esfuerzos de compresión o de tracción denominados esfuerzos térmicos. Éstos podrían llegar a provocar deformaciones importantes, e incluso la fractura del material considerado. Por esta razón, habrá que tener precaución en el diseño de cualquier elemento estructura que vaya a estar sometida a cambios de temperaturas (tuberías de conducción de agua caliente y de vapor, armaduras metálicas, puentes, etc) y arbitrar las oportunas soluciones (juntas de dilatación, rodillos de apoyo, etc).

352

Física General II



2011

En la sección anterior se observó que elementos delgados experimentan dilatación lineal debido al cambio de temperatura. La deflexión será ∆𝑙 = 𝛼𝐿0 ∆𝑇

(6.16)

Por otro lado, en teoría de elasticidad se obtiene que al aplicar una fuerza de módulo F sobre una barra de longitud inicial l0 y sección transversal A, la barra experimenta una dilatación o una compresión dada por ∆𝑙 =

𝐹𝑙0 𝐸𝐴

(6.17)

donde E es una constante característica de cada uno de los materiales denominado Módulo de elasticidad o Módulo de Young. Además se sabe que el esfuerzo normal esta dado por 𝜎 = 𝐹/𝐴 por lo tanto la ec (6.17) se escribe ∆𝑙 =

𝜎𝑙0 𝐸

(6.18)

Comparando las ec. (6.16) y (6.17) se tiene 𝜎𝑙0 = 𝛼𝐿0 ∆𝑇 𝐸 𝜎 = 𝛼𝐸∆𝑇

6.8.

(6.19)

DESCRIPCIÓN MACROSCÓPICA DE UN GAS IDEAL. Se describirán las propiedades de un gas de masa m, contenido en un envase de volumen V a una presión P y a una temperatura T y se buscará una relación entre estas variables, llamadas variables termodinámicas. En general, la ecuación que relaciona las variables termodinámicas, que se llama ecuación de estado, es ecuación muy complicada, pero si el gas se mantiene a baja presión (baja densidad), se puede establecer en forma experimental una ecuación muy simple. Comúnmente, a un gas a baja densidad se le llama un gas ideal. La mayoría de los gases a la temperatura ambiente y a la presión atmosférica, se comportan aproximadamente como gases ideales. La cantidad de gas en un volumen dado se expresa en términos del número de moles, n. Se define un mol de cualquier sustancia a la masa que contiene un número NA de moléculas, llamado número de Avogadro (Amadeo Avogadro, Italiano, 1776-1856). Este número NA (también simbolizado con N o No) tiene un valor aproximado de 6,0220943 x 1023 ± 6.3 x 1017 moléculas/mol. El número de moles n de una sustancia se relaciona con su masa m por la expresión: 𝑛=

𝑚 𝑃𝑀

(6.20)

Donde, la cantidad (PM) se llama peso (o masa) molecular de la sustancia, comúnmente medido en g/mol. Por ejemplo, el peso molecular del oxígeno, O2 es 32 g/mol, entonces la masa de un mol de oxígeno es: 𝑚 = 𝑛(𝑃𝑀)

(6.21)

m = (1 mol)(32 g/mol) = 32 g Para establecer la ecuación de estado de un gas ideal, considerar un gas encerrado en un envase cilíndrico, cuyo volumen puede variar por medio de un émbolo móvil, como se muestra en la figura 6.17. Se supone que el cilindro no tiene fugas, por lo tanto la masa del gas permanece constante. Para este sistema, experimentalmente se encuentra que: a)

Si la temperatura T se mantiene constante, su presión P es inversamente proporcional a su volumen V, es decir PV = cte; esta es la ley de Boyle de los gases (Robert Boyle, inglés, 1627-1691).

b)

Si la presión P del gas se mantiene constante, su volumen V es directamente proporcional a la temperatura

353

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T, es decir V/T = cte; esta es la ley de Charles de los gases (Jacques Charles, francés, 1746-1823). c)

Si el volumen V se mantiene constante, la presión P del gas es directamente proporcional a su temperatura T, es decir P/T = cte; esta es la ley de Gay-Lussac de los gases (Louis Gay-Lussac, francés, 1778-1850).

Figura 6.17.

Gas ideal contenido en un cilindro con un émbolo movible que permite la variación del volumen. Estos resultados pueden resumirse en la siguiente ecuación de estado de un gas ideal, de la forma: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

(6.21)

donde R es una constante para un gas específico, que se puede obtener en forma experimental, y T es la temperatura absoluta. Los experimentos con diferentes gases demuestran que cuando la presión se aproxima a cero, la cantidad PV/nT tiende al mismo valor de R para todos los gases. Por esta razón es que R se llama constante universal de los gases. En el SI donde la presión se mide en Pa y el volumen en m3, el valor y la unidad de medida de R es: R = 8.31 J/(mol K) Si la presión se mide en atmósfera y el volumen en litros, lt, entonces el valor de la constante universal de los gases es: R = 0.0821 (atm lt)/(mol K). Como el número total de moléculas N es igual al producto del número de moles n y el número de Avogadro NA, es decir, N = n NA, se puede escribir la ecuación de estado, ya que n = N/NA, como: 𝑅 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 = 𝑁𝑇 𝑁𝐴 Se define la constante de Boltzmann k (Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844-1906) como 𝑘=

𝑅 8,31𝐽/𝑚𝑜𝑙𝐾 = = 1,38. 10−23 𝐽/𝐾 𝑁𝐴 6.022. 1023 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑚𝑜𝑙

Con estos resultados, la ecuación de estado de un gas ideal se puede escribir entonces como: 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇

(6.22)

Se observa de la ecuación 12.12 que la presión producida por un volumen fijo de gas solo depende de la temperatura y del número de moléculas dentro de ese volumen. Se ha definido un gas ideal como aquel que obedece la ecuación de estado. En la naturaleza no existe un gas ideal; pero este concepto de gas ideal es muy útil, ya que los gases reales a bajas presiones se comportan aproximadamente como gases ideales. Diferente al caso de la descripción macroscópica en términos de las variables: presión, volumen y temperatura,

354

Física General II



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ahora se demostrará que esas propiedades se pueden describir en escala microscópica, donde la materia se trata como una colección de moléculas. Las leyes de Newton aplicadas en forma estadística a una colección de partículas proporcionan una descripción razonable de los procesos termodinámicos. En este enfoque, llamado teoría cinética, las moléculas del gas se mueven en todas las direcciones de manera aleatoria, chocando contra las paredes del envase y entre sí. La importancia de esta teoría es que proporciona las bases físicas con las cuales puede entender el concepto de temperatura. Nuestra descripción teórica la restringiremos a gases monoatómicos (un solo átomo) donde toda la energía es cinética de traslación, no se consideran rotaciones ni vibraciones. En un modelo microscópico de un gas ideal, se considera que la presión que ejerce un gas en las paredes de un envase que lo contiene es por efecto de los choques de las moléculas con las paredes. En este modelo se hacen las siguientes suposiciones: 1.

El número de moléculas es grande y la separación media entre ellas es grande comparada con sus dimensiones. Por lo tanto ocupan un volumen despreciable en comparación con el volumen del envase y se consideran masas puntuales.

2.

Las moléculas obedecen las leyes de Newton, pero individualmente se mueven en forma aleatoria, con diferentes velocidades cada una, pero con una velocidad promedio que no cambia con el tiempo.

3.

Las moléculas realizan choques elásticos entre sí, por lo tanto se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética de las moléculas.

4.

Las fuerzas entre moléculas son despreciables, excepto durante el choque. Se considera que las fuerzas eléctricas o nucleares entre las moléculas son de corto alcance, por lo tanto solo se consideran las fuerzas impulsivas que surgen durante el choque.

5.

El gas es considerado puro, es decir todas las moléculas son idénticas.

6.

El gas se encuentra en equilibrio térmico con las paredes del envase.

Se deducirá una expresión para la presión de un gas ideal que consta de N moléculas en un envase de volumen V. Se supone que el envase tiene forma de un cubo de lado d, como se ve en la figura 6.18a. Considerar el choque de una molécula con velocidad v moviéndose contra la cara derecha de la caja. Las componentes de la velocidad de la molécula son vx, vy y vz. Al chocar elásticamente con la pared, la componente x de la velocidad se invierte, pero las componentes y y z no se modifican, estas componentes (excepto la z) se ilustran en la figura 6.18b. Como la componente x del momento de la molécula antes del choque es mvx y después del choque se invierte siendo ahora -mvx, y la componente y del momento lineal no cambia, la variación del momento lineal de la molécula está dado por: ∆𝑝 = −𝑚𝑣𝑥 − 𝑚𝑣𝑥 = −2𝑚𝑣𝑥

Fig. 6.16. (a) cubo en donde se mueven las moléculas del gas; (b) componentes de la velocidad de choque La cantidad de movimiento entregada a la pared en cada choque es 2mvx, ya que se conserva el momento del sistema molécula + envase. Para que una molécula realice dos choques sucesivos con la misma pared debe recorrer una distancia 2d a lo largo del eje x en un tiempo ∆t. Pero en el tiempo ∆t, la molécula se mueve una distancia d = vx∆t en la dirección x, por lo tanto, el tiempo entre dos choques sucesivos es ∆t = 2d/vx. Si F es la

355

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magnitud de la fuerza promedio ejercida por una molécula sobre la pared en el tiempo ∆t, de la definición del impulso, se obtiene: 𝐹∆𝑡 = ∆𝑝 = 2𝑚𝑣𝑥 𝐹=

2𝑚𝑣𝑥

=

∆𝑡

2𝑚𝑣𝑥 2𝑑/𝑣𝑥

=

𝑚𝑣𝑥2 𝑑

(6.23)

La fuerza total sobre la pared es la suma de todos los términos de este tipo correspondientes a todas las partículas. Para obtener la presión total sobre la pared, se divide la fuerza total con el área, de valor d2: 𝑃=

∑𝐹

𝑚

=

𝐴

𝑑3

2 2 (𝑣𝑥1 + 𝑣𝑥2 ………….)

(6.24)

donde vx1; vx2;…… se refiere a las componentes x de la velocidad para las partículas 1, 2, etc. Como el valor medio de 𝑣𝑥2 es: 2

2

𝑣 +𝑣 ……… ̅̅̅ 𝑣𝑥2 = 𝑥1 𝑥2

(6.25)

𝑁

Y el volumen está dado por V = d3, la presión se Scribe en la forma. 𝑃=

𝑁𝑚 ̅̅̅ 𝑣2 𝑉 𝑥

(6.26)

El cuadrado de la rapidez de cualquier partícula es 𝑣 2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 (6.27) 2 2 2 ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ Ya que no existe dirección preferida por las moléculas, los valores medios 𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ; 𝑣𝑧 son iguales entre sí. Entonces se deduce que ̅̅̅ 𝑣𝑥2 = ̅̅̅ 𝑣𝑦2 = ̅̅̅ 𝑣𝑧2 =

1 2 ̅̅̅ 𝑣 3

Con lo cual la presión queda escrita en la forma 𝑃=

1 𝑁𝑚 ̅̅̅ 2 3 𝑉

𝑣

(6.28)

La cantidad Nm es la masa total de las moléculas, la cual es igual a n(PM), donde n es el número de moles del gas y PM es el peso molecular. Por tanto la presión puede expresarse en la forma 𝑃=

1 (𝑃𝑀) ̅̅̅ 2 3

𝑣

𝑉

(6.29)

Modificando la expresión anterior, también la presión se escribe 𝑃=

2𝑁 3 𝑉

1 ̅̅̅ 2) ( 𝑚𝑣 2

(6.30)

Esta ecuación nos dice que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética media de traslación por molécula. Con este modelo simple de un gas ideal se ha llegado a un resultado que relaciona las variables macroscópicas de presión y volumen con una variable microscópica, la velocidad molecular media. Así se ha encontrado una relación entre el mundo microscópico de las moléculas de un gas y el mundo macroscópico. Aún cuando este resultado se dedujo para un envase cúbico, se puede generalizar y validar para un envase de cualquier forma que contenga un gas ideal.

6.9.

INTERPRETACION MOLECULAR DE LA TEMPERATURA.

356

Física General II



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Es posible comprender mejor el significado de la temperatura escribiendo la ecuación 6.30 en una forma más conocida: 2 1 ̅̅̅2 ) 𝑃𝑉 = 𝑁 ( 𝑚𝑣 3 2 Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal, se tiene 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇 Igualando los segundos términos de estas ecuaciones, se tiene 𝑇=

2

1 ̅̅̅ 2) ( 𝑚𝑣

(6.31)

3𝑘 2

1 ̅̅̅ 2 es la energía cinética media de traslación por molécula, se encuentra que la temperatura es una Como 𝑚𝑣 2 medida directa de la energía cinética molecular media y se puede escribir en la forma 2 (𝐸 ) 𝑇= 3𝑘 𝐶

Reacomodando la ecuación se puede relacionar la energía cinética molecular media de traslación con la temperatura. 1 3 ̅̅̅2 = 𝑘𝑇 𝐸𝐶 = 𝑚𝑣 2 2

(6.32) 3

Es decir, la energía cinética media de traslación por molécula es 𝑘𝑇 . La energía cinética total de traslación EC 2 de N moléculas de un gas es simplemente N veces la energía media por cada molécula, dada por la ecuación 6.32, y usando las definiciones de k = R/NA y n =N/NA, se puede reescribir esta ecuación para las N moléculas, de la forma: 1 ̅̅̅ 2 = 3 𝑁𝑘𝑇 = 3 𝑛𝑅𝑇 𝐸𝐶 = 𝑁 𝑚𝑣 2

2

2

(6.33)

Este resultado, junto con la ec. 6.30 indica que la presión ejercida por un gas ideal solo depende del número de moléculas por unidad de volumen y de la temperatura. La raíz cuadrada de̅̅̅̅ 𝑣 2 se llama raíz cuadrada media de la velocidad (rms) de las moléculas. De la ecuación 12.19 se puede despejar la rms 3𝑘𝑇 3𝑟𝑇 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √̅̅̅ 𝑣2 = √ =√ 𝑚

(𝑃𝑀)

(6.34)

Esta expresión de la rms muestra que para una temperatura dada, las moléculas más livianas, en promedio se mueven más rápido que las más pesadas, que tienen un PM mayor. Por ejemplo el hidrógeno, con un peso molecular de 2 g/mol, se mueve cuatro veces más rápido que el oxígeno, que tiene un peso molecular de 32 g/mol. La rapidez rms no es la rapidez con la que se mueve una molécula de gas, ya que tal molécula experimenta varios miles de millones de choques por segundo con otras moléculas. En la tabla 12.3 se da valores de rms para algunas moléculas conocidas, a 20º C. Tabla 12.3 Velocidad rms a 20º C para gases conocidos.

357

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2011

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PROBLEMAS RESUELTOS


temperatura ΔT está dado por

∆𝜌

2011

= −𝛾∆𝑇, ¿Qué

𝜌

significa el signo negativo?. (b) El agua fresca tiene una densidad máxima de 1 g/cc a 4°C. A 10°C su densidad es 0,9997 g/cc ¿Cuál es el valor del coeficiente de dilatación volumétrico?.

Problema 01 A 20°C, un anillo de aluminio tiene un diámetro interior de 5 cm y una varilla de broce tiene un diámetro de 5.05 cm. (a) ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo de aluminio para que ajuste sobre la varilla de bronce?. (b) ¿A qué temperatura se debe calentar ambos para que se ajuste el anillo de aluminio sobre la varilla de bronce?

Solución Suposiciones 𝑚0 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇0 𝑉0 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇0 𝜌0 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇0 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇 °𝐶 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇 °𝐶 𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑇 °𝐶

Solución Datos e incógnitas 𝑇0 = 20°𝐶; 𝑑𝑎𝑙 = 5 𝑐𝑚; 𝑑𝑎𝑙 = 505 𝑐𝑚; (𝑎)𝑇𝑓 =? ? ; (𝑏)𝑇𝑐𝑜𝑚 =? ?

La densidad de una sustancia esta expresada por la relación

Parte (a). Aquí se supone que solo se debe calentar el anillo de aluminio hasta alcanzar un diámetro mayor o igual al de la varilla de bronce, es decir

𝜌=

𝑑𝑎𝑙 = 𝑑0,𝑎𝑙 (1 + 𝛼𝑎𝑙 ∆𝑇)

𝜌=

5,05 = 5(1 + 24. 10−6 ∆𝑇)

𝑚 𝑉

(𝑎)

𝑚 𝑉0 (1 + 𝛾∆𝑇)

(𝑏)

Debido a que la masa no cambia con la temperatura, se tiene

∆𝑇 = 416,7°𝐶 𝑇 − 𝑇0 = 416,7°𝐶 𝑇𝑓 = 416,7°𝐶 + 20°𝐶

𝑚0 𝑉0 (1 + 𝛾∆𝑇)

𝜌=

(𝑐)

𝑻𝒇 ≅ 𝟒𝟑𝟕°𝑪 Debido a que

Parte (b). Aquí se exige que se calienten ambos materiales hasta que el diámetro interno del anillo sea mayor o igual al de bronce, es decir

𝜌0 =

𝑑𝑓,𝑎𝑙 ≥ 𝑑𝑓,𝑏𝑟

𝑚0 𝑉0

(𝑑)

La ecuación (c) se escribe en la forma

𝑑0,𝑎𝑙 (1 + 𝛼𝑎𝑙 ∆𝑇) = 𝑑0,𝑏𝑟 (1 + 𝛼𝑏𝑟 ∆𝑇) 𝑑0,𝑏𝑟 − 𝑑0,𝑎𝑙 ∆𝑇 = 𝛼𝑎𝑙 𝛼𝑎𝑙 − 𝛼𝑏𝑟 𝑑0,𝑏𝑟

𝜌=

𝜌0 (1 𝑉0 + 𝛾∆𝑇)

(𝑒)

De donde se obtiene 5,05 − 5 ∆𝑇 = 24. 10−6 (5) − 19. 10−6 (5,05)

∆𝝆 = −𝜸∆𝑻 𝑙𝑞𝑞𝑑. 𝝆

∆𝑇 = 𝑇𝑓´ − 𝑇0 = 2079°𝐶

El sigo negativo en la ecuación significa que la densidad disminuye con el incremento de la temperatura.

𝑻´𝒇 = 𝟐𝟎𝟗𝟗°𝑪 Este valor obtenido indica que es imposible calentar ambos materiales hasta esta temperatura ya que ambos se funden no permitiendo lograr el objetivo.

Si ahora reemplazamos los datos dados en el enunciado resulta 𝜌 − 𝜌0 = −𝛾𝜌∆𝑇

Problema 02 Un fluido tiene una densidad ρ. (a) Demuestre que el cambio fraccionario en la densidad para un cambio en la

0,9997 − 1 = −𝛾(𝑜, 9997)(100°𝐶 − 4°𝐶)𝜌∆𝑇 𝜸 = 𝟓. 𝟏𝟎−𝟐 /°𝑪

359

Física General II



2011

Comparando las ecuaciones (c) y (d), resulta

Problema 03 Un líquido con un coeficiente de expansión volumétrico γ llena justamente un cascarón esférico con un volumen V a una temperatura T como se ve en la figura. El cascarón está hecho de un material que tiene un coeficiente de dilatación lineal α. El líquido se puede dilatar libremente en el capilar de área A que se encuentra en la parte superior. (a) si la temperatura se incrementa en ΔT, demuestre que el líquido subirá una cantidad Δh dada por ∆ℎ =

𝐴(∆ℎ) = 𝑉(𝛾 − 3𝛼)∆𝑇 ∆𝒉 =

𝑽 (𝜸 − 𝟑𝜶)∆𝑻 𝑨

Para el caso de un termómetro, es una buena aproximación despreciar la expansión del cascarón porque el coeficiente de dilatación de los sólidos es mucho menor que de los líquidos.

𝑉 (𝛾 − 3𝛼)∆𝑇 𝐴

Problema 04

(b) para un sistema típico, tal como un termómetro de mercurio. ¿Por qué es una buena aproximación despreciar la expansión del cascarón?.

La medición del coeficiente de expansión volumétrico para los líquidos es complicada debido a que los recipientes cambian de tamaño con la temperatura. En la figura se muestra una forma sencilla de resolver el problema. Con éste equipo se determina γ para un líquido con las medidas de las alturas de las columnas h0 y h1 de las columnas de líquido en el tuvo en U. Una de las ramas se mantiene a 0°C en un baño de aguahielo, la otra rama se mantiene a una temperatura T0 en un baño térmico. El tubo de conexión esta horizontal. Deduzca la expresión para γ en términos de h0 y h1.

Solución El volumen del depósito a una temperatura T+ΔT está dado por. 𝑉 ′ = 𝑉(1 + 3𝛼∆𝑇)

(𝑎)

El volumen del fluido a la temperatura T+ΔT es Parte 𝑉𝑓 = 𝑉(1 + 𝛾∆𝑇)

(𝑏)

Solución

Debido a que el coeficiente de dilatación del fluido es mucho mayor que el del sólido, entonces el fluido se dilatará mucho más rápido, por tanto, la cantidad de fluido que asciende es

La presión en los puntos inferiores de los tubos es la misma ya que se encuentran al mismo nivel, por tanto 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 𝑝0 + 𝛾0 = 𝑝0 + 𝛾ℎ1

𝑉𝑓 − 𝑉 ′ = 𝑉(1 + 𝛾∆𝑇) − 𝑉(1 + 3𝛼∆𝑇) ∆𝑉 = 𝑉(𝛾 − 3𝛼)∆𝑇

(𝑐)

Donde γ0 es el peso específico del fluido a T 0 y γ es el peso específico a una temperatura T°C. Entonces la ec. (a9 se escribe

Se sabe además que la cantidad de fluido que asciende en el capilar es

𝛾0 ℎ0 = 𝛾ℎ1

(𝑏)

Los pesos específicos del fluido temperatura T son

∆𝑉 = 𝐴(∆ℎ) ∆𝑉 = 𝐴0 (1 + 2𝛼∆𝑇)∆ℎ

(𝑎)

(𝑑)

𝛾0 =

360

𝑊 𝑉0

(𝑐)

a T 0 y a una

Física General II

𝛾 =

𝑊 𝑉



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(𝑑)

𝑉𝐻𝑔 − 𝑉𝑉 = 𝑉0,𝐻𝑔 (𝛾 − 3𝛼)∆𝑇

(𝑐)

𝑊 𝛾= 𝑉0 (1 + 𝛾∆𝑇)

En función de la densidad, la ecuación anterior se expresa en la forma

(𝑒)

𝑚𝑜 − 𝑚1 𝑚0 (𝛾 − 3𝛼)∆𝑇 = 𝜌 𝜌0

Remplazando (c) en (e), resulta 𝛾=

𝛾0 (1 + 𝛾∆𝑇)

𝑚𝑜 − 𝑚1 𝑚0 = (𝛾𝐻𝑔 − 3𝛼𝑉 )∆𝑇 𝜌0 ⁄(1 + 𝛾 ∆𝑇) 𝜌0 𝐻𝑔

(𝑓)

Al sustituir la ec (f) en (b), se tiene 𝛼𝑉 = 𝛾0 𝛾0 ℎ0 = ℎ (1 + 𝛾∆𝑇) 1

(𝑑)

Remplazando valores, resulta

De donde se obtiene

𝛼= 𝜸=

𝑚1 (1 + 𝛾𝐻𝑔 ∆𝑇) − 𝑚0 𝑚0 ∆𝑇

∆𝒉 𝒉𝟎 ∆𝑻

99,7(1 + 18. 10−5 (20)) − 100 100(20)

El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 𝛂𝐕 = 𝟗, 𝟖𝟐. 𝟏𝟎−𝟔 /°𝐂

Problema 05 Problema 06 En un balón de vidrio, a una temperatura T 0 = 0°C, caben m0 = 100g de mercurio. A una temperatura T 1 = 20 °C en este mismo balón caben m1 = 99.7 g de mercurio. En ambos casos hay que considerar la temperatura del vidrio igual a la del mercurio. Determine, valiéndose de estos datos el coeficiente de dilatación lineal del vidrio (α), teniendo en cuenta que el coeficiente de dilatación volumétrico del mercurio es γ = 18.10-6/°C

Se puede construir un dispositivo con dos puntos cuya separación permanezca constante independientemente de las variaciones de temperatura utilizando dos varillas con diferentes coeficientes de dilatación en la posición que se indica en la figura. Las dos varillas están unidas en uno de sus extremos. (a) Demuestre que la distancia L no variará con la temperatura si las longitudes L A y 𝐿 𝛼 LB se eligen de forma que 𝐴 = 𝐵. (b) Si el material B 𝐿𝐵

𝛼𝐴

es de acero, el material A es de latón y LA = 250cm a 0°C. ¿Cuál es el valor de L?.

Solución Datos e incógnitas 𝑇0 = 0°𝐶 ⇒ 𝑚0 = 100𝑔 𝑑𝑒 𝐻𝑔 𝑇1 = 20°𝐶 ⇒ 𝑚1 = 99,7𝑔 𝑑𝑒 𝐻𝑔 𝛾𝐻𝑔 = 18.

10−6 ; 𝛼𝑉 =? ? ? °𝐶

Sea VV el volumen del depósito de vidrio a 20°C y VHg el volumen del mercurio a 20°C, entonces 𝑉𝑉 = 𝑉0,𝑉 (1 + 3𝛼∆𝑇)

Solución Sea L0A y L0B las longitudes iníciales de las barras y LA y LB las longitudes finales a T°C. Entonces se tiene

(𝑎)

𝐿𝐴 = 𝐿0𝐴 (1 + 𝛼𝐴 ∆𝑇) = 𝐿0𝐴 (1 + 𝛼𝐴 𝑇) (1)

𝑉𝐻𝑔 = 𝑉0,𝐻𝑔 (1 + 𝛾∆𝑇) (𝑏)

𝐿𝐵 = 𝐿0𝐵 (1 + 𝛼𝐵 ∆𝑇) = 𝐿0𝐵 (1 + 𝛼𝐵 𝑇) (2)

El volumen de mercurio derramado será

La diferencia entre estas longitudes es

𝑉𝐻𝑔 − 𝑉𝑉 = 𝑉0,𝐻𝑔 (1 + 𝛾∆𝑇) − 𝑉0,𝑉 (1 + 3𝛼∆𝑇)

𝐿𝐵 − 𝐿𝐴 = 𝐿0𝐵 (1 + 𝛼𝐵 𝑇) − 𝐿0𝐴 (1 + 𝛼𝐴 𝑇)

Teniendo en cuenta que 𝑉0,𝐻𝑔 = 𝑉0,𝑉 , la ecuación anterior se escribe

𝐿′ = (𝐿0𝐵 − 𝐿0𝐴 ) + (𝐿0𝐵 𝛼𝐵 − 𝐿0𝐴 𝛼𝐴 )𝑇

361

Física General II


𝐿′ = 𝐿 + (𝐿0𝐵 𝛼𝐵 − 𝐿0𝐴 ( 𝐿′ = 𝐿

𝛼𝐵 ) 𝛼𝐴 ) 𝑇 𝛼𝐴


2011

Remplazando la ec (1) en (3), resulta 1,00019𝐿0 𝑃30 = 2𝜋√ 𝑔

(3)

La ec. (3) indica que la distancia entre los extremos libres de las barras no varía con la temperatura.

(4)

Al sustituir la ec. (2) en (4), se tiene

Si L0A = 250 cm a 0°C, entonces debido a que la distancia L permanece constante, se tiene

𝑃30 = 𝑃20 √1,00019 = (1 𝑠)(1,000095) 𝑃30 = 1,000095

𝐿𝐴 𝛼𝐵 = 𝐿𝐵 𝛼𝐴

Esto nos indica que el reloj se retrasa debido a que su período aumenta. El retraso del reloj en un segundo será

𝛼𝐴 19. 10−6 𝐿𝐵 = 𝐿𝐴 ( ) = 250𝑐𝑚 ( ) 𝛼𝐵 11. 10−6

𝑃30 − 𝑃20 = 1,000095 − 1 𝑃30 − 𝑃20 = 0,000095 𝑠

𝐿𝐵 = 431,82 𝑐𝑚

El retraso experimentado en 24 horas es

Por lo tanto la cantidad L será

𝑅𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 = 0,000095(86400)

𝐿 = 𝐿𝐵 − 𝐿𝐴 = 431,82 − 250

𝑹𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔𝒐 = 𝟖, 𝟐 𝒔

𝑳 ≅ 𝟏𝟖𝟐 𝒄𝒎 Problema 07

Problema 08

Un reloj de pared está calibrado a una temperatura de 20°C. (a) En un día caluroso cuando la temperatura es 30°C, ¿el reloj adelantará o retrasará?; (b) ¿Cuánto se adelanta o se retrasara en un período de 24 horas?. Suponga que el péndulo es una varilla delgada de latón con una masa grande unida a su extremo libre.

Tres barras hechas cada una de material diferente están conectadas entre sí y situadas entre dos muros cuando la temperatura es T1 = 12°C. Determine la fuerza ejercida sobre los soportes (rígidos) cuando la temperatura es de T2 =18°C. Las propiedades y el área de la sección transversal de cada barra están dadas en la figura.

Solución Se tiene como datos los siguientes valores 𝐿0 = ⋯ ; 𝑇0 = 20°𝐶; 𝑃0 = 1 𝑠; 𝛼𝑙𝑎 = 19. 10−6 /°𝐶 𝐿𝑓 = ⋯ ; 𝑇𝑓 = 30°𝐶; 𝑃𝑓 =? ? La longitud del péndulo del reloj a 30°C será 𝐿𝑓 = 𝐿0 (1 + 𝛼𝑙𝑎 ∆𝑇) = 𝐿0 [1 + 19. 10−6 (10)] 𝐿𝑓 = 1,00019𝐿0

Solución

(1)

Los datos son

El período del péndulo a T = 20°C está dado por 𝑃20 = 2𝜋√

𝐿0 𝑔

𝑇1 = 12°𝐶; 𝑇2 = 18°𝐶; 𝐹 =? ? ? En primer lugar se asume que uno de los extremos de la barra está libre y se permite la dilatación térmica. En estas condiciones el desplazamiento total del extremo será

(2)

El período del péndulo a T = 30°C será

𝛿𝑇 = (𝛿𝑎𝑐 ) 𝑇 + (𝛿𝑙𝑎 ) 𝑇 + (𝛿𝑐𝑢 ) 𝑇 𝑃30

𝐿𝑓 = 2𝜋√ 𝑔

(3)

𝛿𝑇 = (𝛼𝐿∆𝑇)𝑎𝑐 + (𝛼𝐿∆𝑇)𝑙𝑎 + (𝛼𝐿∆𝑇)𝑐𝑢

362

Física General II


𝛿𝑇 = [12(0,3)(6) + 21(0,2)(6) + 17(0,1)(6)]10−6 𝛿𝑇 = 57. 10−6 𝑚


2011

En primer lugar se permite que la barra se dilate libremente

(1)

Debido a que los muros no ceden, entonces la deformación mecánica totas es 𝛿𝑀 = (𝛿𝑎𝑐 )𝑀 + (𝛿𝑙𝑎 )𝑀 + (𝛿𝑐𝑢 )𝑀 𝐹𝐿0 𝐹𝐿0 𝐹𝐿0 𝛿𝑀 = ( ) +( ) +( ) 𝐸𝐴 𝑎𝑐 𝐸𝐴 𝑙𝑎 𝐸𝐴 𝑐𝑢 0,3 𝛿𝑀 = 𝐹 [ 9 200. 10 (200. 10−6 ) 0,2 + 9 100. 10 (450. 10−6 ) 0,1 + ] 9 120. 10 (515. 10−6 ) 𝛿𝑀 = 13,56. 10−9 𝐹

Del diagrama puede observarse que ∆𝐿 𝑇 = ∆ + ∆𝐿𝑀 𝛼𝑐𝑢 𝐿0,𝑐𝑢 ∆𝑇 = ∆ +

(2)

Como los muros no ceden entonces la deformación total por temperatura debe ser igual a la deformación mecánica, esto es

17. 10−6 (1)(40) = 0,1. 10−3 +

𝜎𝑐𝑢 (1) 110. 109

Despejando el valor del esfuerzo será

𝛿𝑀 = 𝛿𝑇

𝝈𝒄𝒖 = 𝟔𝟑, 𝟖 𝑴𝑷𝒂

13,56. 10−9 𝐹 = 57. 10−6 𝑭 = 𝟒, 𝟐 𝒌𝑵

𝐹𝐿0,𝑐𝑢 𝐸𝑐𝑢 𝐴𝑐𝑢

𝑅𝑡𝑎

𝑅𝑡𝑎.

Problema 10 Una carga P será soportada por una estructura que consta de una barra rígida A, dos barras B de aleación de aluminio (Eal =10600 klib/pulg2; αal =12,5.10-6/°F) y una barra C de acero inoxidable (Eac =28000 klib/pulg2; αac =9,6.10-6/°F) como se muestra en la figura. Las barras están libres de esfuerzos cuando la estructura se ensambla a 70°F. Cada una de las barras tiene una sección trasversal de 2 pulg2. Determine los esfuerzos normales en las barras después de aplicar la carga P =50 klb y la temperatura aumenta a 230°F.

Problema 09 Una barra de cobre AB tiene 1 m de longitud a temperatura ambiente y se coloca separada 0,1 mm entre su extremo A y una pared rígida como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo axial en la barra si la temperatura se incrementa en 40°C. Utilice αcu =17.106 /°C y Ecu = 110 GPa.

Solución Los datos del problema son αcu =17.10-6/°C y Ecu = 110 GPa; L0 =1 m; Δ=0,1 mm; ΔT = 40°C

Solución

363

Física General II



2011

6. 10−3 + 0,1415. 10−6 𝐹𝑎𝑙 = 9,216. 10−3 + 0,107. 10−6 𝐹𝑎𝑐

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida horizontal A.

0,1415𝐹𝑎𝑙 = 3216 + 0,107𝐹𝑎𝑐 𝐹𝑎𝑙 = 22727.9 + 0,756𝐹𝑎𝑐 (7) Remplazando (7) en (1), resulta 2(22727.9 + 0,756𝐹𝑎𝑐 ) + 𝐹𝑎𝑐 = 50. 103 ⃗⃗⃗ 𝑙𝑏 La ecuación de equilibrio nos da

2,512𝐹𝑎𝑐 = 4544,2 ⃗⃗⃗ 𝑙𝑏

∑𝐹𝑦 = 0

⃗⃗⃗ 𝐹𝑎𝑐 = 1808,9𝑙𝑏

3 ⃗⃗⃗

2𝐹𝑎𝑙 + 𝐹𝑎𝑐 = 50. 10 𝑙𝑏 En la figura se deformaciones.

(1)

⃗⃗⃗ 𝐹𝑎𝑙 = 24095𝑙𝑏

muestra el diagrama de las

(8) (9)

Los esfuerzos serán 𝜎𝑎𝑐 =

⃗⃗⃗ 𝐹𝑎𝑐 1808,9𝑙𝑏 = 𝐴𝑎𝑐 2𝑝𝑢𝑙 2

⃗⃗⃗ / 𝑝𝑢𝑙 2 = 904,5𝑙𝑏

𝜎𝑎𝑙 =

⃗⃗⃗ 𝐹𝑎𝑙 24095𝑙𝑏 = 𝐴𝑎𝑙 2𝑝𝑢𝑙 2

⃗⃗⃗ / 𝑝𝑢𝑙 2 = 12048𝑙𝑏

Problema 11 La barra B del sistema conectado con seguros de la figura etá hecha de una aleación de aluminio (E = 70GPa, A = 300 mm2 y α = 22,5.10-6/°C) y la barra A está hecha de un acero al carbono endurecido (E = 210GPa, A = 1200 mm2 y α = 11,9.10-6/°C). La barra CDB es rígida e imponderable. Cuando el sistema está sin carga a 40°C, las barras A y B están libres de esfuerzos. Después de aplicar la carga P = 100 kN, la temperatura de ambas desciende a 15°C. determine: (a) los esfuerzos normales en A y B y (b) el desplazamiento vertical del seguro E.

El criterio de compatibilidad exige que (𝛿𝑇 )𝑎𝑙 + (𝛿𝑀 )𝑎𝑙 = (𝛿𝑇 )𝑎𝑐 + (𝛿𝑀 )𝑎𝑐 (2) Las deformaciones por temperatura son (𝛿𝑇 )𝑎𝑙 = 𝛼𝑎𝑙 𝐿0,𝑎𝑙 ∆𝑇 = 12,5. 10.6 (3)(160) (𝛿𝑇 )𝑎𝑙 = 6. 10−3

(3)

(𝛿𝑇 )𝑎𝑐 = 𝛼𝑎𝑐 𝐿0,𝑎𝑐 ∆𝑇 = 9,6. 10.6 (6)(160) (𝛿𝑇 )𝑎𝑐 = 9,216. 10−3

(4)

Las deformaciones mecánicas son 𝐹𝐿0 3𝐹𝑎𝑙 (𝛿𝑀 )𝑎𝑙 = ( ) = 𝐸𝐴 𝑎𝑙 10,6. 16 (2) (𝛿𝑀 )𝑎𝑙 = 0,1415. 10−6 𝐹𝑎𝑙 (𝛿𝑀 )𝑎𝑐 = (

(5) Solución

𝐹𝐿0 6𝐹𝑎𝑙 ) = 𝐸𝐴 𝑎𝑐 28. 106 (2)

(𝛿𝑀 )𝑎𝑐 = 0,107. 10−6 𝐹𝑎𝑐

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CDE

(6)

Remplazando las ec. (3), (4), (5) y (6) en (5), resulta.

364

Física General II



2011

3(0,992. 10−9 FA − 74,375. 10−6 m) = [23,8. 10−9 FB − 281,25. 10−6 m] 2.976FA = 23,8FB − 58.125. 103 FA = 7.997FB − 19.53. 103 (7) Remplazando (7) en (1), resulta

La ecuación de equilibrio nos da ∑𝑀𝐶 = 0

7.997FB − 19.53. 103 + 3FB = 300. 103

0,15𝐹𝐴 + 0,45𝐹𝐵 = 0,45(100. 103 )

3.799FB = 324.25 kN

𝐹𝐴 + 3𝐹𝐵 = 300. 103 En la figura se deformaciones.

FB = 29.0556 kN

(1)

FA = 212,83 kN


(8) (9)

Los esfuerzos serán σA =

FA AA

σB =

=

212.83 kN 1200.10−6

= 177MPa

FB 29.0556kN = AB 300. 10−6

= 97MPa

Problema 12 La barra central CD del conjunto se calienta de T 1 =30°C a T2 = 180°C por medio de una resistencia eléctrica. A la temperatura T1 el espacio entre C y la barra rígida es Δ=0,7 mm. Determine las fuerzas en las barras AB y EF causadas por el incremento de temperatura de la barra CD. Las barras AB y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. La barra CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm2. Considere que para el acero (E = 200GPa; α =12.10-6) y para el aluminio (E =70GPa; α=23,10 -6).

El criterio de compatibilidad exige que (𝛿𝐴 )𝑁𝑒𝑡𝑜 (𝛿𝐵 )𝑁𝑒𝑡𝑜 = 150 𝑚𝑚 450 𝑚𝑚 3[(𝛿𝐴 )𝑀 − (𝛿𝐴 ) 𝑇 ] = [(𝛿𝐵 )𝑀 − (𝛿𝐵 ) 𝑇 ]

(2)

Las deformaciones por temperatura son (𝛿𝐴 ) 𝑇 = 𝛼𝐴 𝐿0,𝐴 ∆𝑇 = 11,9. 10.6 (0,25)(25) (𝛿𝐴 ) 𝑇 = 74,375. 10−6 𝑚

(3)

(𝛿𝐵 ) 𝑇 = 𝛼𝐵 𝐿0,𝐵 ∆𝑇 = 22,5. 10.6 (0,5)(25) (δB )T = 281,25. 10−6 m (4) Las deformaciones mecánicas son FL0 0,25FA (δA )M = ( ) = EA A 210. 109 (1200. 10−6 ) (δA )M = 0,992. 10−9 FA

(5)

Solución

FL0 0,5FB (δB )M = ( ) = 9 EA B 70. 10 (300. 10−6 ) (δB )M = 23,8. 10−9 FB

En primer lugar se determina la temperatura a la cual la barra de aluminio cierra el vano de 0,7 mm. ∆𝑳 = 𝜶𝑳𝟎 ∆𝑻

(6)

0,7. 10−3 = 23. 10−6 (0,24)(T − Ti )


(T − 30) = 126.8°C

365

Física General II


T = 156,8°C


2011

Fac = 10,7. 103 − 0,764(2𝐹𝐶 )

(1)

2,5289𝐹𝑎𝑐 = 10,7𝑘𝑁

En la figura se ve el DCL de la barra rígida AF

𝐅𝐚𝐜 = 𝟒𝟐𝟑𝟏𝐍

Rta

Problema 13 Un manguito de latón se ajusta sobre un perno de acero como se ve en la figura y la tuerca se aprieta con suavidad. El perno tiene un diámetro de 25 mm y el manguito tiene un diámetro interior y exterior de 26 mm y 36 mm, respectivamente. Determine la elevación de temperatura ΔT requerida para producir una tensión de compresión de 25 MPa en el manguito. Considere para el acero (E =200 GPa; α =12.10-6/°C) y para el latón (E =100 GPa; α =20.10-6/°C).

Aplicando la ecuación de equilibrio nos da ∑Fy = 0 Fal = 2Fac En la figura se deformaciones.

(1)


Solución En primer lugar se determina el área de las secciones transversales de cada elemento

El criterio de compatibilidad exige que (δac )M = [(δal )T − (δal )M ]

Ala =

(2)

Las deformaciones por temperatura son

Ala =

(δal )T = αal L0,al ∆T = 23. 10.6 (0,2407)(180 − 156.8) (δal )T = 128,44. 10−6 m

π (362 − 262 ) = 487mm2 4 Aac =

π 2 π d = (25)2 4 4

Aac = 491mm2

(3)

Se determina la fuerza en el manguito

Las deformaciones mecánicas son

F = σA = 25. 106 (487. 10−6

FL0 0,3Fac (δac )M = ( ) = EA ac 200. 109 (125. 10−6 ) (δac )M = 12. 10−9 Fac

π 2 (d − d2i ) 4 e

F = 12175 N

(4)

En la figura se muestra el DCL de la estructura

FL0 0,2407Fal (δal )M = ( ) = EA al 70. 109 (375. 10−6 ) (δal )M = 9,169. 10−9 Fal

(5)

Remplazando las ec. (3), (4), (5) en (2), resulta. 12. 10−9 Fac = 128,44. 10−6 m − 9,169. 10−9 Fal Fac = 10,7. 103 − 0,764Fal

La ecuación de equilibrio nos da

Remplazando (2) en la ecuación anterior da

366

Física General II



2011

∑Fx = 0 Fal = Fac En la figura se deformaciones.

(1)


Solución Parte (a) Del gráfico se observa que debe cumplirse (δAB )T + (δCD )T = 1,5. 10−3 αLAB ∆T + αLCD ∆T = 1,5. 10−3 El criterio de compatibilidad exige que

α(LAB + LCD )∆T = 1,5. 10−3

(δla )T − (δla )M = (δac )T + (δac )M (2)

24. 10.6 (0,6 + 0,4)∆T = 1,5. 10−3

Las deformaciones por temperatura son (δac )T = αac L0,ac ∆T = 12. 10

∆T = Tf − 25°C = 62,5

.6 (L)(∆T)

(3)

𝐓𝐟 = 𝟖𝟕, 𝟓°𝐂

(δla )T = αla L0,la ∆T = 20. 10.6 (L)(∆T) (4)

Las longitudes de AB y CD a esta temperatura son


LAB = L0,AB (1 + α∆T)

FL0 Fac L (δac )M = ( ) = 9 EA ac 200. 10 (491. 10−6 ) (δac )M = 10,18. 10−9 Fac L

LAB = 0,6(1 + 24. 10−6 x62,5) LAB = 0,6009 m

(5)

LCD = L0,CD (1 + α∆T)

FL0 Fal L (δla )M = ( ) = 9 EA la 100. 10 (487. 10−6 ) (δla )M = 20.534. 10−9 Fla

LCD = 0,4(1 + 24. 10−6 x62,5)

(5)

LCD = 0,4006 m


Ahora se supone que las rejillas están pegadas con nuevas longitudes y una nueva temperatura de inicio del proceso. Ara esto primero se determina el área de las secciones transversales de cada placa

20. 10.6 (L)(∆T) − 20.534. 10−9 Fla = 12. 10.6 (L)(∆T) + 10,18. 10−9 Fac L −9

−6

AAB = 10mm(15mm) = 150mm2

−9

10,18. 10 Fac = 8. 10 ∆T − 20.534. 10 Fal

ACD = 10mm(15mm) = 150mm2

8. 10−6 ∆T = 30.714. 10−9 (12175) ∆𝐓 = 𝟒𝟔. 𝟕𝟓°𝐂

Rta

Se asume que uno de los extremos está libre y se permite la dilatación térmica. Entonces la deformación total por temperatura será

Rta

Problema 14

δT = (δAB )T + (δCD )T

Una rejilla térmica consiste en dos placas de aluminio con ancho de 15 mm y empotradas en sus extremos. Si la abertura entre ellas es de 1,5 mm cuando la temperatura es T1=25°C. Determine: (a) la temperatura requerida para cerrar justamente la abertura, (b) la fuerza axial en cada placa si la temperatura se eleva a T2=100°C. Use: E = 68,9GPa y α = 24.10-6/°C.

δT = αLAB ∆T + αLCD ∆T δT = α(LAB + LCD )∆T δT = 24. 10−6 (0,6009 m + 0,4006 m)(12,5) δT = 300,45. 10−6 m

367

(1)

Física General II


Peo la condición del ejercicio exige que la barra de acero deba finalmente quedar descargada, entonces Fac = 0. Por lo que se tiene

δM = (δAB )M + (δCD )M FL FL ) +( ) EA AB EA CD

2Fbr = 55000(8,8) Fbr = 269500 N

F δM = (L + LCD ) EA AB δM =

2011

2Fbr − Fac = mg

Debido a que los muros son rígidos, entonces aparecen fuerzas internas en cala placa y son las que originan los esfuerzos y por tanto una deflexión dada por

δM = (


En la figura se deformaciones.

(1)


F(0,6009 m + 0,4006 m) 68,9. 109 (150. 10−6 )

δM = 96,9. 10−9 F (2) Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene 96,9. 10−9 F = 300,45. 10−6 m 𝐅 = 𝟑𝟏𝟎𝟎 𝐍 Rta Problema 15 A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55.103 kg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se muestra en la figura. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero?. Considere que para el acero (E=200GPa, A=6000mm2 y α=11,7.10-6/°C) y para el bronce (E=83GPa, A=6000mm2 y α=19.10-6/°C).

El criterio de compatibilidad exige que (δac )T = (δbr )T − (δbr )M (2) Las deformaciones por temperatura son (δac )T = αac L0,ac ∆T = 11,7. 10.6 (0,3)(∆T) (δT )al = 3,51. 10−3 (∆T)

(3)

(δbr )T = αbr L0,br ∆T = 19. 10.6 (0,25)(∆T) (δbr )T = 4,75. 10−3 (∆T) (4) Las deformaciones mecánicas son FL0 0,25Fbr (δbr )M = ( ) = EA br 83. 109 (6. 10−3 ) (δM )al = 5.02. 10−9 Fbr

Solución

(5)

FL0 6(0) (δac )M = ( ) = EA ac 200. 109 (6. 10−3 )

En la figura se muestra el DCL de la plancha rígida horizontal A.

(δac )M = 0

(6)

Remplazando las ec. (3), (4), (5) y (6) en (2), resulta. 3,51. 10−3 (∆T) = 4,75. 10−3 (∆T) − 5.02. 10−9 Fbr 1,24. 10−3 (∆T) = 5.02. 10−9 Fbr (7) La ecuación de equilibrio nos da Al sustituir el valor de Fbr dado por la ec (1), se tiene ∑Fy = 0

1,24. 10−3 (∆T) = 5.02. 10−9 (269500)

368

Física General II



2011

∆T = T − T20 = T − 20°C = 109,1 𝐓 = 𝟏𝟐𝟗°𝐂

Rta.

Problema 16 En la figura determine el esfuerzo de cada una de las varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica la carga P = 50kN. Desprecie la masa de la varilla rígida AB. Considere para el acero (E=200 GPa, A=600 mm2 y α = 11.7.10-6/°C) y para el Aluminio (E=70GPa, A=900mm2 y α=23.10-6/°C).

La ecuación de equilibrio nos da ∑MA = 0 3Fal + 6Fac = 9(50. 103 ) Fal + 2Fac = 3(50. 103 ) Fal + 2Fac = 150. 103

(8)

Criterio de compatibilidad

Solución Las deformaciones de cada varilla es la suma de las deformaciones debido a la temperatura y a la aplicación de cargas, esto es δNeto = δTem + δMec

(δac )N (δal )N = 6 3

(1)

(δac )N = 2(δal )N Las deformaciones de origen térmico son

Remplazando las ec (6) y (7) en (9), resulta .6

(δac )T = αac L0,ac ∆T = 11,7. 10 (4)(40) (δT )ac = 1,872. 10−3

1,872. 10−3 + 33.333. 10−9 Fac = 2(2.76. 10−3 + 47,62. 10−9 Fal )

(2)

33.333. Fac = 3,648. 106 + 95,24Fal

(δal )T = αal L0,al ∆T = 23. 10.6 (3)(40) (δal )T = 2.76. 10−3

Fac = 0,109. 106 + 2,857Fal (10)

(3)

Al sustituir la e (10) en (8) se tiene


Fal + 2(0,109. 106 + 2,857Fal ) = 150. 103

FL0 3Fbr (δal )M = ( ) = 9 EA al 70. 10 (900. 10−6 ) (δM )al = 47,62. 10−9 Fal

6,714Fal = −68. 103

(4)

𝐅𝐚𝐥 = 𝟏𝟎𝟏𝟐𝟖 𝐍

FL0 4Fac (δac )M = ( ) = 9 EA ac 200. 10 (600. 10−6 ) (δac )M = 33.333. 10−9 Fac

(9)

𝐂𝐨𝐦𝐩𝐫𝐞𝐬𝐢ó𝐧 (11)

Remplazando (11) en (10), resulta Fac = 109. 103 + 2,857(−10.128. 103 )

(5)

𝐅𝐚𝐜 = 𝟖𝟎𝟎𝟔𝟒 𝐍 𝐓𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧 (12)

Las deformaciones netas de cada varilla serán

Los esfuerzos son

(δac )N = 1,872. 10−3 + 33.333. 10−9 Fac (6)

σac =

(δal )N = 2.76. 10−3 + 47,62. 10−9 Fal (7) En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AB

369

Fac 80064 N = = 133MPa Aac 600. 10−6 m2

Física General II

σal =



2011

Fal 10128 N = = 11,25MPa Aal 900. 10−6 m2

Problema 17 La estructura conectada con seguros mostrada en la figura consta de una barra rígida ABCD, una barra BF hecha de acero (E=210 GPa, A=1200 mm2 y α = 11.9.10-6/°C) y una barra CE hecha de Aluminio (E=73GPa, A=900mm2 y α=222,5.10-6/°C). Las barras están libres de esfuerzo cuando la estructura se ensambla a 40°C. Determine los esfuerzos normales en las barras después que la temperatura desciende a un valor de -20°C.

El criterio de compatibilidad exige que (δac )N (δal )N = 80 240 (δal )N = 3(δac )N

(2)

Las deformaciones por temperatura son (𝛿𝑎𝑐 ) 𝑇 = 𝛼𝑎𝑐 𝐿0,𝑎𝑐 ∆𝑇 = 11,9. 10.6 (1𝑚)(60) (𝛿𝑎𝑐 ) 𝑇 = 714. 10−6 (3) 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝛿𝑎𝑙 ) 𝑇 = 𝛼𝑎𝑙 𝐿0,𝑎𝑙 ∆𝑇 = 22,5. 10.6 (0,6)(60) (𝛿𝑎𝑙 ) 𝑇 = 810. 10−6 (4) 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 Las deformaciones mecánicas son FL0 σac (1) (δac )M = ( ) = EA ac 210. 109

Solución

(δac )M = 4,76. 10−12 σac

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABCD

(5)

FL0 σal (0,6) (δal )M = ( ) = EA al 100. 109 (δal )M = 6. 10−12 σal

(6)

Las deformaciones netas de cada varilla serán (δac )N = (δac )T −(δac )M (δac )N = 714. 10−6 − 4,76. 10−12 σac (7)

La ecuación de equilibrio nos da ∑MA = 0

(δal )N = (δal )M −(δal )T

0,08Fac = 0,24Fal

(δal )N = 6. 10−12 σal − 810. 10−.6 (8) Remplazando (7) y (8) en (2) resulta

Fac = 3Fal

6. 10−12 σal − 810. 10−6 = 3(714. 10−6 − 4,76. 10−12 σac )

σac Aac = 3σal Aa σac (1200. 10−6 ) = 3σal (900. 10−6 ) σac = 2,25σal En la figura se deformaciones.

σal = −2,38σac + 492. 106 (9)

(1)

muestra el diagrama de

las

Al sustituir (1) en (9)

370

Física General II


σal = −2,38(2,25σal ) + 492. 106 𝛔𝐚𝐥 = 𝟕𝟕. 𝟒 𝐌𝐏𝐚 Rta σac = 2,25(77.4)MPa 𝛔𝐚𝐜 = 𝟏𝟕𝟒, 𝟐𝐌𝐏𝐚 Rta

371


2011

Física General II



2011

-195.8º C. Transformar estos valores a grados Kelvin y Fahrenheit.

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. Un termómetro de gas a volumen constante se calibra en hielo seco, que es bióxido de carbono, CO2, en estado sólido, que tiene una temperatura de –80ºC a 0.9 atm de presión, y en el punto de ebullición del alcohol etílico, que se produce a 78ºC y a 1.64 atm. a) ¿Qué valor de cero absoluto produce esta calibración? b) ¿Cuál es la presión en punto de congelamiento del agua? c) ¿Cuál es la presión en el punto de ebullición del agua?

9. ¿A qué temperatura son iguales las lecturas de un termómetro Fahrenheit y un termómetro Celsius? R: -40ºC. 10. En una escala de temperatura desconocida (D), el punto de congelación del agua es –15ºD y el punto de ebullición es 60ºD. Obtener la ecuación lineal entre la escala D y la Celsius.

R: a) -272.15ºC, b) 1.27 atm, c) 1.74 atm. R: TD = 0.75TC -15. 2. Un termómetro de gas da una lectura de 40 mm Hg para la presión en el punto triple del agua. Calcular la presión en el punto a) de ebullición del agua, b) de fundición del oro (1064.4ºC).

11. En una escala de temperatura incógnita (X), el punto de congelación del agua es -30ºX y el punto de ebullición es 80ºX. Obtenga la ecuación lineal entre la escala X y la Fahrenheit.

R: a) 54.6 mm Hg, b)195.86 mm Hg. 12. La temperatura inicial de un objeto tiene el mismo valor numérico en grados C y grados F. Más tarde, la temperatura cambia, para esta nueva temperatura hay una relación de 1:3 (ó de 3:1) entre sus valores en ºC y ºF. Calcular el cambio de temperatura, en grados K.

3. Un termómetro de gas a volumen constante registra una presión de 50 mm Hg cuando está a una temperatura de 450 K. Calcular: a) la presión en el punto triple del agua, b) la temperatura cuando la presión es 2 mm Hg. R: a) 82.3 mm Hg, b) 10.93 K.

13. Medidas precisas de temperatura se pueden hacer usando el cambio de resistencia eléctrica de un metal con la temperatura. Si la resistencia varia aproximadamente según la relación R = Ro(1 + ATC ), donde Ro y A son constantes y TC la temperatura en grados Celsius. Cierto material tiene una resistencia de 50 Ω (Ohms) a 0º C y de 71.5 Ω en el punto de congelamiento del estaño (232ºC). Calcular: a) las constantes Ro y A, b) la temperatura cuando la resistencia es 89 Ω. -3 -1 R: a) Ro = 50 Ω, A =1.85x10 ºC , b) 421ºC.

4. La presión en un termómetro de gas a volumen constante es de 0.7 atm a 100º C y de 0.512 atm a 0ºC. Calcular: a) la temperatura cuando la presión es 0.04 atm, b) la presión a 450º C. R: a) -251º C, b) 1.36 atm. 5. Un termómetro de gas a volumen constante se llena con helio. Cuando se sumerge en nitrógeno líquido hirviendo a una temperatura de 77.34 K, la presión absoluta es 25 kPa. Calcular a) la temperatura en grados Celsius y Kelvin cuando la presión es 45 kPa, b) la presión cuando el termómetro se sumerge en hidrógeno líquido hirviendo (-252.9ºC).

14. Para interpolar temperaturas en la escala práctica internacional, se usa un termómetro de resistencia de platino con especificaciones definidas en el intervalo entre 0ºC y 960ºC. La temperatura TC, en grados Celsius, está determinada por la fórmula R = Ro (1 + ATC + B𝑇𝐶2 ) que se aplica a la variación de la resistencia R con la temperatura. Las constantes Ro, A y B se determinan por medidas en puntos fijos. Si R = 1000 Ω en el punto de fusión del hielo, R = 1050 Ω en el punto de ebullición del agua y R = 1500 Ω en el punto de fusión de la plata (950°C, a)calcular las constantes, (b) trazar la curva de calibración del termómetro

R: a) -134ºC, 139 K, b) 6.56 kPa. 6. Una de las temperaturas más altas registradas sobre la tierra fue de 136º F (Libia 1922) y una de las más baja fue de -127º F (Antártica 1960). Exprese estas temperaturas en grados Celsius. R: a) 57.8ºC, b) 88.3ºC. 7. La temperatura normal del cuerpo humano es 98.6ºF. Un niño con fiebre puede registrar 102ºF. Expresar esos valores en grados Celsius.

R: (a) R0 =1000 Ω, A =5.10-4/°C, B = 3.1.10-8°C-2 8. El punto de fusión del oro es de 1064º C, el de ebullición de 2660º C, el de fusión del plomo es de 327.3º C y el de ebullición del nitrógeno líquido es

15. Una barra de vidrio común tiene 30 cm de largo y 1.5 cm de diámetro. Calcular la expansión de su a)

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longitud, b) diámetro y c) volumen, cuando la temperatura aumenta en 65ºC.

diseñar el ingeniero para eliminar el pandeo, si el concreto alcanzara una temperatura de 50ºC?

R: a) 0.176 mm, b) 8.8 µm, c) 93 mm3.

R: 1.2 cm.

16. Un cable de cobre se cuelga entre dos puntos separados 35 m (la curva que forma el cable suspendido se llama catenaria). Calcular su variación de longitud en un día de verano con 35ºC respecto a un día de invierno con -20ºC.

23. Un riel de acero tiene 20 m de largo. Se juntan los rieles por los extremos con un espacio de goma entre ellos. El coeficiente de dilatación lineal de la goma -22x10-5 ºC-1. Calcular el espesor que debe tener la goma para que se contraiga lo mismo que se expanden los rieles cuando la temperatura aumente en 30ºC.

R: 3.27 cm. 17. Una viga estructural de acero tiene 15 m de largo cuando se instala a 20ºC. Calcular el cambio de su longitud para variaciones extremas de temperatura de -30ºC a 50ºC.

R: 1.1mm 24. Un cilindro hueco de aluminio tiene a 20º C una capacidad interna de 2 litros y 15 cm de fondo. El conjunto se llena completamente con petróleo y luego se calienta hasta 80ºC. Posteriormente se enfría de nuevo hasta 20ºC. a) ¿Qué cantidad de petróleo se derrama al calentar el con junto? b) ¿A qué distancia bajo el borde del cilindro estará la superficie de petróleo? c) Comente la posibilidad de despreciar la dilatación del depósito.

R: 1.32 cm. 18. Un riel de acero tiene 20 m de largo cuando se instala en una vía a la temperatura ambiente de 20ºC. Calcular el cambio en su longitud si las variaciones esperadas de temperatura entre invierno y verano fueran de –20ºC a 40ºC.

R: a) 0.099 lt, b) 0.75 cm. R: 0.0144 m. 25. El estanque de bencina de un automóvil se llena hasta el borde con 45 litros de la misma a 10º C, justo antes de estacionarlo al sol a 35º C. Calcular la cantidad de bencina que se derramará por efecto de la expansión.

19. Un anillo de latón que tiene 10 cm de diámetro cuando está a 20ºC se calienta para hacerlo deslizar sobre una barra de aluminio de 10.01 cm de diámetro a 20ºC. Suponiendo constantes los coeficientes medios de expansión lineal. a) ¿qué temperatura debe alcanzar al menos el anillo? b) ¿a qué temperatura debe enfriarse esta combinación para separarla? Esto, ¿puede lograrse? c) ¿Qué ocurre si la barra de aluminio tuviera10.02cm de diámetro? R: a) 72.6º C, b) -146º C, no con facilidad.

R: 1.08 lt. 26. Un tubo de acero cuyo coeficiente de dilatación lineal es de 18.10-6 / 0C, contiene mercurio cuyo coeficiente de dilación volumétrico es 180.10-6/ 0 C.El volumen del mercurio que hay en el tubo es de 10-5 m3 a 0 0C y se desea que la longitud de la columna de mercurio permanezca constante a temperaturas normales. Esto se logra metiendo en el mercurio una columna de sílice, cuyo coeficiente de dilatación térmica es despreciable. Calcular el volumen de la barra de silicio

20. Demostrar que el coeficiente promedio de dilatación superficial para un sólido isotrópico es β= 2α y el de dilatación volumétrica es γ = 3α. 21. Un anillo de aluminio tiene un diámetro interior de 5 cm y una varilla de bronce tiene un diámetro de 5.05 cm cuando están a 20º C. a) Calcular la temperatura a la que se debe calentar el anillo de aluminio para que se ajuste sobre la varilla de bronce. b) Calcular la temperatura a la que se deben calentar ambos para que el anillo de aluminio se ajuste sobre la varilla de bronce; comentar.

27. Una barra de cobre y otra de acero sufren los mismos cambios de temperatura. A 0º C la barra de cobre tiene una longitud LC y la de acero una longitud LA. Cuando las barras se calientan o se enfrían, se mantiene una diferencia de 5 cm entre sus longitudes. Determine los valores de LC y LA.

R: a) 420ºC, b) 1741ºC.

R: LC = 17 cm, LA = 12 cm.

22. Las secciones de concreto de cierta autopista se diseñan para tener una longitud de 25 m. Las secciones se vacían y fraguan a 10ºC. ¿Qué espaciamiento mínimo entre las secciones debería

28. Una barra de aleación de aluminio de 3 pulgadas de diámetro y 80 pulg de longitud está libre de esfuerzos después de unirse a apoyos rígidos, como

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temperatura del conjunto se eleva a 100 0C. Para la barra de bronce A = 600 mm2 E = 83 Gpa y α = 18,9.10-6 /0C y para la barra de acero A = 400 mm2 E = 200 Gpa y α = 11,7.10-6 /0C.

se muestra en la figura. determine el esfuerzo normal en la barra después que la temperatura asciende en 1000F. Use E = 10600klb/pulg2 y  = 12,5.10-6/0F.

29. Un tubo de aluminio 2014-T6 con área transversal de 600 mm2 se usa como camisa para un perno de acero A-36 con área transversal de 400 mm2, como se ve en la figura. Cuando la temperatura es T 1 =20 0 C, la tuerca mantiene al conjunto en una condición ligeramente apretada tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la temperatura se incrementa a T2 = 80 0C, determinar el esfuerzo normal medio en el perno y en la camisa.

32. Una barra de latón (E = 100 GPa) de 90 mm de diámetro está firmemente unida a una barra de acero (E = 200 GPa) de 50 mm de diámetro, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos en el latón y en el acero después que se presenta una caída de temperatura de 700C. Los coeficientes de expansión térmica para el latón y el acero son 17,6.10-6/0C y 11,9.10-6/0C.

33. Una carga P es soportada por una estructura consistente de una barra rígida ABCD; una barra de material polimérico ( E = 2300 ksi, α = 2,9.10 -6/°F) representada por el número 1 y una barra de aleación de aluminio representada por el número 2 ( E = 10000 ksi, α = 12,5.10 -6/°F). cada una de las barras tiene una seción transversal de 2 pulg2. Las barras están sin deformar cuando la estructura es ensamblada a 30°F. posteriormente se aplica la carga P = 26 kips y se incrementa la temperatura hasta 100°F. Determine los esfuerzos normales en cada una de las barras.

30. La barra rígida mostrada en la fig. está fija a la parte superior de los tres postes hechos de acero y de aluminio. Cada poste tiene una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada y la temperatura es de T1 =20 0C. Determinar la fuerza soportada por cada poste si la barra está sometida a una carga uniforme distribuida de 150 kN/m y la temperatura se eleva hasta T2 = 80 0C. El diámetro de cada poste y las propiedades del material del que están hechos se indican en la figura.

31. A una temperatura de 20 0C hay un claro Δ = 0,2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de dos barras de acero, según se ve en la figura. Despreciando la masa de la losa, determinar el esfuerzo en cada barra cuando la

34. Dos segmentos de barras circulares, uno de aluminio y el otro de cobre, se encuentran fijos a dos muros rígidos de tal manera que entre ellas existe un

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espacio de 0,1 mm cuando la temperatura es T 1 = 15°C. Cada una de las barras tiene un diámetro de 30 mm, Eal = 70 GPa, αal = 23.10-6/°C; Ecu = 126 GPa y αcu = 17.10-6/°C. Determine el esfuerzo normal medio en cada una de las barras cuando se eleva la temperatura de ellas hasta 135°C. Determine además la nueva longitud de la barra de aluminio.


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37. Las barras A y B del mecanismo mostrado en la figura están hechas de acero cuyos módulos de elasticidad son E = 200 GPa, sus coeficientes de dilatación térmica α = 12.10-6/°C, sus áreas de sección transversal A = 100 mm2 y sus longitudes L = 2,5 m. Si la fuerza aplicada al extremo de la barra rígida es F = 10 kN y la temperatura de la barra A se reduce en T = 100°C. Determine el esfuerzo total axial en cada una de las barras

35. La barra central CD del conjunto se calienta de T1 =30°C a T2 = 180°C por medio de una resistencia eléctrica. A la temperatura T1 el espacio entre C y la barra rígida es Δ=0,7 mm. Determine las fuerzas en las barras AB y EF causadas por el incremento de temperatura de la barra CD. Las barras AB y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. La barra CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm2. Considere que para el acero (E = 200GPa; α =12.10-6) y para el aluminio (E =70GPa; α=23,10-6).

38. La barra rígida CDE está unida a un pasador de soporte en el punto E y reposa en un cilindro BD de latón con diámetro de 30 mm. Una barra de acero AC de 22 mm de diámetro pasa por un hueco en la barra y está asegurada por una tuerca apretada cuando la temperatura del conjunto es de 20 °C. Luego la temperatura del cilindro se eleva hasta 50°C, manteniendo la barra de acero a 20 °C. Suponiendo que no había esfuerzos antes del cambio de temperatura. Determine el esfuerzo en el cilindro y en la barra de acero. Considere que para el acero (E = 200 GPa y α = 12.10- 6/°C) y para el latón (E = 105 GPa y α = 18,8.10 -6/°C).

36. El cilindro de 50 mm de diámetro está hecho de magnesio (E = 45 GPa, α = 26.10-6/°C) y se coloca en la prensa cuando la temperatura es T 1 = 15°C. Si los pernos de acero inoxidable (E = 193 GPa, α = 17.10-6/°C) tienen un diámetro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza de contacto despreciable contra los cabezales rígidos. Determine la temperatura a la que el esfuerzo normal promedio en el acero inoxidable resulta ser de 12 MPa. 39. Demuestre que un mol de cualquier gas a presión atmosférica estándar y temperatura estándar ocupa un volumen de 22.4 litros. 40. Un auditorio tiene dimensiones de 10m x 20m x 30m. ¿Cuántas moléculas de aire se necesitan para llenar el auditorio a 20º C y 1 atm? R: 1,5.1029 moléculas.

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41. Un cilindro con un émbolo móvil contiene un gas a una temperatura de 125º C, una presión de 30 kPa y un volumen de 4 m3. Calcular su temperatura final si el gas se comprime a 2.5 m3 y la presión aumenta a 90 kPa.


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R: 7.3 kg. 48. Un globo poroso tiene un volumen de 2 m3 a una temperatura de 10º C y a una presión de 1.1 atm. Cuando se calienta hasta 150ºC el volumen aumenta a 2.3 m3 y se ha escapado por los poros el 5% del gas. Calcular a) la cantidad de gas, en moles, que había en el globo a 10º C, b) la presión en el globo a 150º C.

R: 739,1 K. 42. Un gas encerrado en un estanque, está a una presión de 30 atm y a una temperatura de 15º C. Si se saca la mitad del gas y se aumenta la temperatura a 65º C, calcular la nueva presión en el estanque.

R: a) 94.8 moles, b) 0.8 atm. 49. La llanta de un automóvil se infla usando aire originalmente a 10ºC y presión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime hasta 28% de su volumen original y la temperatura aumenta a 40º C. Calcular la presión de la llanta. b) Después que la llanta se utiliza a alta velocidad, la temperatura del aire dentro de la misma se eleva a 85º C y su volumen interior aumenta 2%. Calcular la nueva presión (absoluta) de la llanta.

R: 1.76 atm. 43. Un mol de oxígeno está a una presión de 6 atm y a 25º C de temperatura. a) Si el gas se calienta a volumen constante hasta que la presión se triplica, calcular la temperatura final. b) Si el gas se calienta de manera que tanto la presión como el volumen se duplican, calcular la temperatura final.

R: a) 3,98.105 Pa, b) 15.105 Pa.

R: a) 894 K, b) 1192 K. 44. Un balón que tiene un volumen de 0.1 m3 contiene gas helio a 50 atm. ¿Cuántos globos se pueden inflar si cada uno es una esfera de 0.3 m de diámetro a una presión absoluta de 1.2 atm? Suponga que la temperatura del gas permanece constante durante el llenado de los globos.

50. La tapa de un envase cilíndrico está conectada por un resorte de constante elástica 2x103 N/m a una parte superior fija, como muestra la figura. El cilindro está lleno con 5 litros de gas a 1 atm y 20º C, con el resorte sin estirar. La tapa tiene un área de sección transversal de 100 cm2 y masa despreciable. Calcular: a) la altura a la que sube la tapa cuando la temperatura aumenta hasta 250º C, b) la presión del gas a 250º C.

R: aprox. 300 globos. 45. Una burbuja de gas en un lago sube desde una profundidad de 4.2 m, donde hay una temperatura de 5º C hasta la superficie donde la temperatura es de 12º C. Calcular la relación entre los radios de la burbuja en los dos puntos.

R: a) 16.9 cm.

R: radio final = 1.12 radio inicial.

46. A 25 m debajo de la superficie del mar (densidad 1025 kg/m3), donde la temperatura es de 5º C, un buzo exhala una burbuja de aire que tiene un volumen de 1 cm3. Si la temperatura de la superficie del mar es igual a 20º C, calcular el volumen de la burbuja antes que se rompa al llegar a la superficie.

51. a) Demuestre que la densidad de un gas que ocupa un volumen V está dada por ρ = P(PM)/RT, donde PM es el peso (o masa) molecular del gas. b) Calcular la densidad del oxígeno y la del nitrógeno a la presión atmosférica y a 20º C.

R: 3.7 cm3. 47. Un balón lleno contiene 12 kg de oxígeno, O2, bajo una presión manométrica de 40 atm. Determine la masa de oxígeno que se ha extraído del balón cuando la presión absoluta alcanza el valor de 25 atm. Suponga que la temperatura del balón permanece constante.

52. La tabla da la composición del aire debajo de los 80 km de altura. Calcular: a) las presiones parciales de los gases más abundantes a la presión atmosférica normal, b) el volumen ocupado por 100 g de aire a 15º C y 1 atm, c) la densidad del aire en esas

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condiciones, d) el peso molecular, PM, del aire seco. R: c) 1.28 kg/m3, d) 28.964 gr/mol.

53. Dos moles de oxígeno dentro de un envase de 5 litros están a una presión de 8 atm. Calcular la energía cinética media de una molécula de oxígeno, de masa 5.31x10-26 kg. 54. Durante un periodo de 1 s, 5x1023 moléculas golpean una pared sobre un área de 8 cm2. Si las moléculas se mueven con una rapidez de 300 m/s y chocan en un ángulo de 45º respecto a la normal de la pared, cal cular la presión ejercida sobre la pared. (La masa de una molécula de nitrógeno es 4,65.10 -26 kg).

55. Un globo esférico de volumen 4000 cm3 contiene helio a una presión de 1.2 atm. Si cada átomo de helio tiene una energía cinética media de 3.6x10-22 J, calcular el número de moles de helio dentro del globo. R:3.3 mol. 56. En un intervalo de 30 s, 500 granizos que caen en un ángulo de 45º respecto a una ventana, chocan contra el vidrio de la ventana que tiene un área de 0.6 m2. Cada granizo tiene una masa de 5 g y una rapidez de 8 m/s. Si se supone que los choques son elásticos, calcular la fuerza y la presión media sobre el vidrio

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Capitulo Vi. Fisica II. Temperatura y Dilatación

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