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268
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
CAPITULO IX
Problema IX.1 Para el cable de la figura sometido a cargas puntuales determinar determinar las reacciones reacciones de apoyo, las tensiones y la forma que adopta el cable. Figura IX.1.1
m 5
15º
95 KN
180 KN 3.5m
5m
1. Geometría A H
4m
Figura IX.1.2
A
V A
yD=3.349m yB=5m
m 5
D
15º D’
yC
V D
B
95 KN
C
3.5m
5m
H D
180 KN 4m
CABLES
269
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Determinamos la longitud AD’: tg 15º
AD '
12.5
AD ' 12.5 tg 15º
AD ' y D 3.349 m
2. Reacciones de apoyo M A 0
M B 0
V D 12.5 H D 3.349 95 3.5 180 8.5 0 12.5V D 3.349 H D 1862 .5 12.5 V D 3.349 H D 1862 .5 ………………………… (1) (Lado derecho de la articulación B)
V D 9 H D 5 3.349 180 5 0 9 V D 1.651 H D 900 …………………………… (2) Se forma el siguiente sistema lineal de ecuaciones: 12.5 V D 3.349 H D 1862 .5
9 V D 1.651 H D 900 V D 119.915 [KN] H D 108.560 [KN]
Resolviendo el sistema:
F V 0
F H 0
V A 95 180 V D 0
H A H D 0 H A H D H 108.560 [KN]
V A 95 180 119.915 0 V A 155.085 [KN]
3. Calculo de las Tensiones T, ángulo θ y flechas “y” Para el cálculo de la tensión usaremos la siguiente ecuación: T H 2 V 2 Para el ángulo de la Tensión T usaremos la siguiente ecuación: tgθ
V θ tg 1 H H V
3.1 Tensión Tramo A-B Graficamos el tramo: 108.560 KN
Calculamos las componentes de la Tensión: FH 0
A
108.560 H 0 H 108.560 KN FV 0 155.085 V 0 V 155.085 KN
155.085 KN
Calculamos la tensión T AB:
H
α AB
V
T AB
T AB
108.560 2 155.085 2
T AB 189.306 KN
Calculamos el ángulo de la Tensión T AB: V 155.085 155.085 α AB tg 1 tgα AB 55.008º H 108.560 108.560
CABLES
270
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La flecha en este caso es y B 5 m, el cual es un dato del problema. 3.2 Tensión tramo B-C Graficamos el tramo: FH 0 108.560 KN A 108.560 H 0 H 108.560 KN 155.085 KN FV 0 155.085 95 V 0 V 60.085 KN Calculamos la tensión T BC:
yB=5m
T BC
108.560 2 60.085 2
T BC 124.079 KN Calculamos el ángulo de la tensión T BC: tgα BC
B
95 KN
H
α BC
V
α BC
60.085 α BC tg 1 H 108.560 108.560 V
60.085
28.963 º
T BC
Halamos la flecha y C , de la figura de geometría se tiene: M C 0
108.560 yC 155.085 8.5 95 5 0 y C 7.767 m 3.3 Tensión tramo C-D 108.560 KN A 155.085 KN
yB=5m
yC=7.767m V
B
α BC
95 KN
H
C
Calculamos las componentes de la tensión: FH 0
108.560 H 0
T CD
H 108.560 KN
180 KN
CABLES
271
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FV 0 155.085 95 180 V 0 Calculamos la tensión T CD: T CD
V 119.915 KN
108.560 2 119.915 2 161.756
KN
Calculamos el ángulo de la Tensión T CD : V 119.915 119.915 α CD tg 1 tgα CD 47.845º H 108.560 108.560 La flecha en este caso es y D 3.349 m, el cual esta determinado.
4. Disposición grafica 4.1 Tensión en puntos característicos T AB 189 .306 KN
T CD 161 .756 KN T BC 124.079 KN
55.008º
B
28.963º 28.963º
180 KN
95 KN
47.845
C
T BC 124.079 KN
4.2 Forma que adopta el cable 108.560 KN
A
155.085 KN
yD=3.349m yB=5m 108.560 KN
yC=7.767 m
D 119 .915 KN
B
95 KN
C
180 KN
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272
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Problema IX.2 Determinar el valor de la carga P necesaria para mantener el punto B del cable al mismo nivel horizontal que el punto C. Figura IX.2.1
m 2
P?
45 KN
3m
4m
1. Geometría A
6m
Figura IX.2.2
H
V A
V D
yC
yB
B
D
P?
C
3m
H m 2
45 KN
4m
6m
2. Hallamos la carga P Determinaremos la reacción de apoyo vertical del punto A: M D 0 V A 13 P 10 45 6 0 V A
10 P 270
………………………………… (1) 13 Para hallar la tensión en el tramo B-C, tenemos la figura: En este caso la componente vertical es: V=0, ya que por la condición del problema el cable esta en posición horizontal. Realizando la sumatoria de fuerzas verticales: FV 0
A V A
B
T BC
V A P V 0
Pero:
V 0
V A P 0 0 V A P …………… (2)
P
Remplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 se tiene: 10 P 270 13
P 10 P 270 13P
13P 10 P 270 3P 270 P Finalmente se tiene: P 90 KN
270 3
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273
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Problema IX.3 Se dispone de un cable de longitud L=25 m y dispuesta con cargas puntuales ubicados a distintos claros identificados en la grafica. Determinar la forma que adopta el cable, las reacciones de apoyo al someterse las cargas descritas y la tensión T CD. Figura IX.3.1
m 3
70 KN
55 KN 135 KN 4.5m
4m
5m
3m
1. Geometría Figura IX.3.2
E
H
V E m 3
H
yD +3
A
V A
yD yB
D
yC
70 KN
B
55 KN
yC – yB
yC – yD
C
135 KN 4m
4.5m
5m
3m
CABLES
274
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Determinaremos las longitudes del cable: L AB
2
4 2 y B 16 y B
LCD 5 2 y C y D 2
2
2
4.5 2 y C y B 20.25 y C y B
L BC
25 y C y D
L DE 3 2 y D 3 9 y D 3
2
2
2. Planteamiento de Ecuaciones y solución M E 0 H 3 V A 16.5 55 12.5 135 8 70 3 0
3 H 16.5 V A 1977 .5 ………………….….. (1)
M C 0 (Lado izquierdo del punto C) H y C V A 8.5 55 4.5 0 H y C 8.5 V A 247.5 …………………… (3)
2
2
M D 0 (Lado izquierdo del punto D) H y D V A 13.5 55 9.5 135 5 0 H y D 13.5 V A 1197 .5 …………………. (2) M B 0 (Lado izquierdo del punto B) H y B V A 4 0 H y B 4 V A 0 ……………………….….. (4)
Se tiene como dato la longitud total del cable, entonces se tiene: L AB L BC LCD L DE LTOTAL Remplazando: 16 y B 2
20.25 y C y B 2
25 y C y D 9 y D 3 2
2
25 ……..…. (5)
Se tiene un sistema no lineal de cinco ecuaciones y cinco incógnitas:
3 H 16.5V 1977 .5 A H y D 13.5V A 1197.5 H y C 8.5V A 247.5 H y 4 V 0 B A 16 y 2 20.25 y y 2 25 y y 2 9 y 3 2 25 B C B C D D
Se puede emplear cualquier método para determinar las soluciones de las ecuaciones lineales. Usando la regla de Kramer simplificaremos las ecuaciones lineales hallando las soluciones en fusión de las flechas: Ecuaciones 1 y 2: 3 H 16.5 V A 1977 .5 ……………………… (1)
H y D 13.5 V A 1197 .5 ………………….. (2)
Calculamos las determinantes: 16.5 3 40.5 16.5 y D y D 13.5
1977 .5 H 1197 .5 3 V y D A
16.5
6937 .5 13.5 1977 .5 3592 .5 1977.5 y D 1197 .5
Las soluciones según esta regla son:
H 6937 .5 ……………. (6) 40.5 16.5 y D V 3592 .5 1977 .5 y D ………. (7) V A 40.5 16.5 y D
H
A
Ecuaciones 1 y 3:
3 H 16.5 V A 1977 .5 ………………………. (1) H y C 8.5 V A 247.5 …………………..… (3)
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Calculamos las determinantes: 16.5 3 25.5 16.5 y C y C 8.5
Las soluciones según esta regla son:
1977 .5 16.5 H 12725 247.5 8.5 1977.5 3 V 742.5 1977.5 y C 247 . 5 y C
H 12725 …………….. (8) 25.5 16.5 y C V 742.5 1977 .5 y C ………... (9) V A 25.5 16.5 y C
H
A
A
De la ecuación 4:
H y B 4 V A 0 y B
4 V A H
……………….. (10)
Remplazamos las ecuaciones 6 y 7 en la ecuación 10:
3592 .5 1977.5 y D 40 . 5 16 . 5 y D
4 y B
6937.5
4 3592 .5 1977 .5 y D 40.5 16.5 y D
40.5 16.5 y D 6937.5
40.5 16.5 y D 4
3592.5 1977.5 y D ………………………. (11) 6937.5 Remplazando las ecuaciones 8 y 9 en la ecuación 10: y B
742.5 1977 .5 y C 25 . 5 16 . 5 y C
4 y B
12725
4 742.5 1977.5 y C 25.5 16.5 y C
25.5 16.5 y C 12725
25.5 16.5 y C y B
4
742.5 1977.5 y C ………………..………. (12) 12725 Igualamos las ecuaciones 11 y 12: 4 4 3592.5 1977.5 y D 742.5 1977.5 y C 6937.5 12725 12725 3592.5 1977.5 y D 742.5 1977.5 y C 6937.5 1.834 3592 .5 1977 .5 y D 742.5 y C ………… (13) 1977 .5 Remplazamos las ecuaciones 11 y 13 en la ecuación 5: 16 y B 2
20.25 y C y B 2
25 y C y D 9 y D 3 2
2
25 ……..…. (5)
Remplazando: 2
4 3592.5 1977.5 y D 16 6937 .5 2
4 1.834 3592 .5 1977 .5 y D 742.5 3592.5 1977.5 y D 20.25 1977.5 6937.5 2
1.834 3592 .5 1977.5 y D 742.5 y D 9 y D 3 2 25 25 1977 .5
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Es una ecuación implícita con una variable, que se puede solucionar usando cualquier método numérico, resolviendo: y D 2.531 m. Remplazando el valor numérico de y D en las ecuaciones 11 y 13: y B 4.957 m. y C 7.6 m. Para hallar las reacciones de apoyo remplazamos y D en las ecuaciones 6 y 7: H 84.335 [KN] V A 104.515 [KN]
Para hallar la reacción de apoyo V E realizamos sumatoria de fuerzas verticales:
FV 0
104.515 55 135 70 V E 0 V E 155.485 [KN]
Respuestas: a) Forma que adopta el cable E
m 3
A
y D 2.531 m y B 4.957 m y C 7.6 m
B
C
b) Reacciones de apoyo
H 84.335 [KN] V A 104.515 [KN] V E 155.485 [KN]
c) Tensión TCD Graficamos el tramo C-D, partiendo del lado derecho, entonces se tiene:
D
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E
84.335 KN 155.485 KN
Calculamos la tensión con la ecuación: T H 2 V 2
FH 0 84.335 H 0 H 84.335 KN FV 0 155.485 70 V 0 V 85.485 KN La tensión será: T CD 84.335 2 85.485 2 120.084 KN
D H
T CD 120.084 KN
70 KN V
T CD
Problema IX.4 Para el cable de la figura determinar las reacciones de apoyo, las tensiones y la forma que adopta.
Figura IX.4.1
145 KN
13 KN/m
60 KN
m 2
m 5
5m
6m
4m
CABLES
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1. Geometría Figura IX.4.2
145 KN
60 KN
13 KN/m
H
A V A
V D m 5
m 2
D H
C
B
5m
4m
6m
2. Reacciones de apoyo M D 0 V A 15 H 2 145 10 60 4 13 11 9.5 0
15 V A 2 H 3048 .5 ........................................ (1)
M C 0 (Lado izquierdo del punto C) V A 11 H 5 145 6 1311 5.5 0 11V A 5 H 1656 . 5………………… (2)
V A 225.085 [KN]
Resolviendo:
H 163.887 [KN]
F V 0
225.085 145 60 13 11 V D 0 V D 122.915 [KN]
3 Calculo de tensión T, ángulo θ y flechas “y” 3.1 Tensión tramo A-B. Calculamos la tensión con la ecuación: 13 KN/m T H 2 V 2 163.887 KN
x
Calculamos las componentes de la tensión: FH 0
x
163.887 H 0 H 163.887 [KN] FV 0 225.085 13 x V 0 V 225.085 13 x [KN]
225.085 KN y
La tensión será:
H θ
V
T AB
T AB
163.887 2 225.085 13 x 2
CABLES
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3.1.1 Geometría del cable tgθ
V
225.085 13 x
tgθ
H
163.887
θ
225.085 13 x tg 1 163.887
Para determinar la ecuación del cable se tiene: 225.085 13 x dy tgθ dx 163.887
225.085 13 x dy dx 163.887 225.085 13 x d y 163.887 dx 225.085 x 6.5 x 2 C y
163.887 Por la condición de contorno: x 0 ; y 0 C 0 Remplazando se tiene la ecuación del cable: y
225.085 x 6.5 x 2 163.887
Determinaremos la Tensión mínima y máxima flecha : 2 225.085 13 x 13 dT dT 1 0 0 Si: dx dx 2 163.887 2 225.085 13 x 2 Realizando operaciones se tiene: x 17.314 m. Como x 17.314 m, no esta dentro del tramo A-B, no tiene máxima flecha. 3.1.2 Evaluando x m
y m
2
2.588
50.539
257.864
4
4.859
46.564
238.364
5
5.876
44.328
229.099
θ
º
T KN
3.2 Tensión tramo B-C. 145 KN
13 KN/m
Calculamos la tensión con la ecuación: T H V Calculamos las componentes de la tensión: FH 0 2
163.887 KN
x x
225.085 KN y
163.887 H 0 H 163.887 [KN] FV 0 225.085 145 13 x V 0 V 80.085 13 x [KN]
Por el eje de referencia
V
T BC θ
B
La tensión será:
H
T BC
163.887 2 80.085 13 x 2
5m 3.2.1 Geometría del cable tgθ
V H
tgθ
80.085 13 x 163.887
2
θ
80.085 13 x tg 1 163.887
CABLES
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Para la ecuación del cable se tiene: 80.085 13 x dy tg θ dx 163.887
80.085 13 x dy dx 163.887 80.085 13 x dy 163.887 dx 80.085 x 6.5 x 2 C y
Por la condición de contorno:
163.887 x 5 ; y 5.876 C 4.424
Remplazando se tiene la ecuación del cable: y
80.085 x 6.5 x 2 163.887
4.424
Determinaremos la Tensión mínima y máxima flecha: 2 80.085 13 x 13 dT dT 1 0 0 dx dx 2 163.887 2 80.085 13 x 2 Realizando operaciones se tiene: x 6.160 m. Como x 6.160 m, esta dentro del tramo B-C, se tiene máxima flecha y mínima tensión. 3.2.2 Evaluando
3.3 Tensión tramo C-D
x m
y m
5
5.876
5.259
164.580
6.160
5.929
0.002
163.887
8
5.795
-8.302
165.623
10
5.344
-16.939
171.320
11
5
-21.001
175.548
145 KN
θ
º
T KN
13 KN/m
60 KN
163.887 KN
A 225.085 KN
T CD V θ
H C B
5m
6m
CABLES
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Determinamos las componentes de la tensión: FH 0