Capitulo 7-MASON

V ERSI DAD A ONAL M A AY OR DE UNI NACI A A ARCOS S NM

INGENIERÍA INDUSTRIAL F ACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL E.A.P. INGENIERÍA INDUSTRIAL INGENIERÍA INDUSTRIAL

CURSO PROFESOR :

: ESTADISTÍCA Y PROBABILIDADES ESPONDA, JORGE

INTEGRANTES: CCANTO ARANGO, ANA DIAZ HUAN, YASIN INGARUCA SOTO, !ATHERIN

14170096 14170176 141701"7

GUTIERREZ DE LA CRUZ, PATRICIA

14170116

CI CICLO

:

I#

Ciud Ciudad ad Univ Univer ersi sita tari ria, a, del 2015

novi noviem embr bre e

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Estadística y Probabilidades

Re s o l u c i ó nd eP r o b l e ma ma s

CAPITULO VII DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Pregunta 2 Indique las principales características de una distribución de probabilidad normal.

Solución La distribución de probabilidad normal y su correspondiente curva normal tienen las siguientes características: La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales iguales y están localizadas localizadas en el pico. De esta orma, la mitad del área ba!o la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por aba!o. La probabilidad normal es simétrica con respecto a su media ."i se corta la curva normal verticalmente en este valor central, ambas mitades serán como imágenes en el espe!o. La curva normal decrece uniormemente en ambas direcciones a partir del valor central .#s asintótica, esto signiica que la curva se acerca cada vez más ale!e $, pero en realidad nunca llega a tocarlo. #sto es, los puntos e%tremos de la curva se e%tienden indeinidamente en ambas direcciones.

•

•

•

Pregunta ! La media de una distribución de probabilidad normal es &', y la desviación estándar, (.

a" )*pro%imadamente qué porcenta!e de las observaciones se encuentra entre (( y &(+ #" )*pro%imadamente qué porcenta!e de las observaciones se encuentra entre ('y '+ c" )*pro%imadamente qué porcenta!e de las observaciones se encuentra entre -( y (+

Solución

tilizando la ormula ormula de estandarización estandarización ,los valores de z para los dos valores valores a" tilizando indicados de $/(( y &(0 son:

X − μ z = σ

2

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Estadística y Probabilidades 1ara $2((

z =

55−60 5

=−1

Re s o l u c i ó nd eP r o b l e ma s

1ara $2&(

z =

65−60 5

=1

*pro%imadamente &34 de las observaciones se encuentran e ntre (( y &(.

#" tilizando la ormula de estandarización ,los valores de z para los dos valores indicados de $/(' y '0 son:

X − μ z = σ

1ara $2('

z =

50−60 5

=−2

1ara $2'

z =

70−60 5

=2

*pro%imadamente 5(4 de las observaciones se encuentran e ntre (' y '.

c" tilizando la ormula de estandarización ,los valores de z para los dos valores indicados de $/-( y (0 son:

X − μ z = σ

1ara $2-(

z =

45 −60 5

=−3

1ara $2(

z =

75−60 5

=3

*pro%imadamente 55.4 de las observaciones se encuentran entre -( y (.

Pregunta $ n artículo reciente, que apareció en una revista, indica que el costo medio de la reparación de un receptor de televisión a colores es 65', con una desviación estándar de 677.#n un taller donde se reparan televisores se acaban de arreglar dos, los costos correspondientes ueron 6( y 68''.9alcule el valor de z de cada uno de los costos y aga un comentario sobre los valores encontrados.

Solución tilizando la ormula de estandarización, los valores de z para los dos valores indicados de $ /6' y 68''0 son:

X − μ z = σ 1ara $26'

3

1ara $268''


z =

70−90 22


=−0.68

z =

100−90 22

= 0.45

#l valor z2;'.&3 indica que el costo de 6' se encentra a una desviación estándar por deba!o de la media< una z2'.-( indica que el costo 68'' se encuentra a una desviación estándar sobre la media. Pregunta 8

na población normal tiene media 87.7 y desviación estándar 7.(.

a" 9alcule el valor de z correspondiente a 8-.=. #" )>ué proporción de la población está entre 87.7 y 8-.=+ c" )>ué proporción de la población es menor que 8'.'+ Solución a"

z=

14.3−12.2 2.5

=0.84

#" "e tiene que z2'.3-, aora se alla el área por deba!o de la curva que esta entre ' y '.3-.tilizando la tabla, se obtiene que el área es '.755(. #ntonces signiica que apro%imadamente ='4 de los datos se encuentran entre 87.7 y 8-.=

c" "e estandariza 8'.' .obteniendo z =

10.0−12.2 2.5

=−0.88 , aora se alla el

área por deba!o de la curva que esta entre ' y ;'.33.tilizando la tabla, se obtiene que el área es '.=8'&. #ntonces signiica que apro%imadamente =84 de los datos se encuentran entre 87.7 y 8'.'.1or tanto 854 de la población es menor que 8'.'.

Pregunta %& La media de una distribución normal es -'' libras /lb0.La desviación estándar es 8' lb.

a" )9uál es el área entre -8( lb y la media de -''lb+ #" )9uál es el área entre la media y =5( lb+ c" )9uál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y encontrar que tiene un valor inerior a =5( lb+

Solución a" "e alla z para $ 2 -8(lb, se obtiene z =

415 −400 10

=1.5 . *ora se alla el

área por deba!o de la curva que esta entre ' y 8.(.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre -8( lb y la media de -''lb es '.-==7.

4


#" "e alla z para $ 2 =5(lb, se obtiene z =


395− 400 10

=−0.5

. *ora se alla el

área por deba!o de la curva que esta entre ' y ;'.(.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre la media de -''lb y =5(lb es '.858(.

c" La probabilidad de seleccionar un valor al azar y encontrar que tiene un valor inerior a =5( lb es '.(''';'.858( que es igual a '.='3(.

Pregunta %2 na población normal tiene media 3'.' y desviación estándar 8-.'.

a" 9alcule la probabilidad de tener un valor entre (.' y 5'.' #" ?alle la probabilidad de tener un valor de (.' o menor. c" 9alcule la probabilidad de tener un valor entre ((.' y '.' Solución a" tilizando la ormula de estandarización ,los valores de z para los dos valores indicados de $/(.' y 5'.'0 son: 1ara $2(.'

z =

75.0 −80.0 14.0

=−0.36

1ara $25'.'

z =

90.0− 80.0 14.0

=0.71

*ora se alla el área por deba!o de la curva que esta entre /' y '.80 y /;'.=& y '0.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre (.' y la media de 3'.' es '.8-8& y el área entre la media 3'.' y 5'.' es '.7&88. 1or tanto el área entre (.' y 5'.' es la suma de '.8-8& y '.7&88 que es igual a '.-'7.

#" #l área entre (.' y la media de 3'.' es '.8-8&, por tanto la probabilidad de tener un valor de (.' o menor seria la resta de '.(''' y '.8-8& que es igual a '.=(3-.

c" tilizando la ormula de estandarización ,los valores de z para los dos valores indicados de $/((.' y '.'0 son: 1ara $2((.'

z =

55.0−80.0 14.0

=−1.8

1ara $2'.'

z =

70.0−80.0 14.0

=−0.71

*ora se alla el área por deba!o de la curva que esta entre /;8.3 y '0 y /;'.8 y '0.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre ((.' y la media de 3'.' es '.-&-8 y el área entre la media '.' y 3'.' es '.7&88.

5



1or tanto el área entre ((.' y '.' es la resta de '.-&-8 y '.7&88 que es igual a '.7'='.

Pregunta %! Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para casa que recibe la empresa Da@n Aiver Bederal "avings, están distribuidas en orma normal con media 6' '''/dólares0 y desviación estándar 67' '''.na solicitud de préstamo se recibió esta maCana. )9uál es la probabilidad de que:

a" la cantidad solicitada sea de 63' ''' o más+ #" la cantidad solicitada esté entre 6&( ''' y 63' '''+ c" la cantidad solicitada sea 6&( ''' o más+ Solución a" "e alla z para $ 2 63' ''', se obtiene z =

80000−70000 20000

=0.5 . *ora se

alla el área por deba!o de la curva que esta entre ' y '.(.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre la media de 6' ''' y 63' ''' es '.858(. 1or tanto la probabilidad de que la cantidad solicitada sea de 63' ''' o más es la resta de '.(''' y '.858(, resultando '.='3(.

#" "e

z =

alla

z

para

65000 −70000 20000

$

2

6&(

'''

y

$263'

''',

se

obtiene

=0.25 y se obtuvo z en a0 igual a '.(*ora se alla el

área por deba!o de la curva que esta entre /' y 8.(0 y /' y '.7(0.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre 6&( ''' y la media de 63' ''' es '.'53 y el área entre la media de 6' ''' y 63' ''' es '.858(. 1or tanto la probabilidad de que la cantidad solicitada esté entre 6&( ''' y 63' ''' sería la resta de '.858( y '.'53, resultando '.'573.

c" tilizando la tabla, se obtiene que el área entre 6&( ''' y la media de 63' ''' es '.'53.1or tanto la probabilidad de que la cantidad solicitada sea 6&( ''' o más sería la resta de '.(''' y '.'53, resultando '.-'8=.

Pregunta %$ #n la primavera de 7''' el salario inicial medio de los recién egresados de la escuela era 6=8 73'."upóngase que los salarios iniciales siguen una distribución normal con desviación estándar 6= =''. )>ué porcenta!e de los egresados tiene un salario inicial medio

a" entre 6=' ''' y 6=( '''+ #" superior a 6-' '''+ c" entre 6=( ''' y 6-' '''+ Solución

6



a" tilizando la ormula de estandarización ,los valores de z para los dos valores indicados de $/(.' y 5'.'0 son: 1ara $26=' '''

z =

30000 − 31280 3300

1ara $26=( '''

=−0.39

z =

35000 − 31280 3300

=1.13

*ora se alla el área por deba!o de la curva que esta entre /;'.=5y '0 y /' y 8.8=0.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre 6=' ''' y la media de 6=8 73' es '.8(8 y el área entre la media 6=8 73' y 6=( ''' es '.='3. 1or tanto el área entre 6=' ''' y 6=( ''' es la suma de '.8(8 y '.='3, resultando '.(77( o apro%imadamente (74 de los egresados.

#" "e alla z para $ 2 6-' ''', se obtiene z =

40000 − 31280 3300

=2.64 . *ora se

alla el área por deba!o de la curva que esta entre ' y 7.&-.tilizando la tabla, se obtiene que el área entre la media 6=8 73' y 6-' ''' es '.-5(5. 1or tanto el porcenta!e de los egresados que tienen un salario inicial medio superior a 6-' ''' es la resta de '.(''' y '.-5(5, resultando '.''-8

c" #l porcenta!e de los egresados que tienen un salario inicial medio entre 6=( ''' y 6-' ''' es la resta de '.-5(5 y '.='3, resultando '.87(8

Pregunta %' La media de una distribución normal es 3' y la desviación estándar es 8-.Determine el valor por arriba del cual se encuentra 3'4 de las observaciones.

Solución #l 3'4 es igual a '.3, que vendría a ser la suma de '.(''' y '.=''', este '.=''' sería el área entre la media y $ /el cual deseamos calcular0, entonces z es igual a '.3-

X − 80 =0.84 z = 14

De aquí se obtiene $258.&

Pregunta 2& 9onsulte el e!ercicio 8- en el que las cantidades de dinero en las solicitudes de préstamo para casa siguen una distribución normal con media 6' ''' y desviación estándar 67' '''

a" )9uál es la cantidad solicitada en el =4 superior de los préstamos+ #" )9uál es la cantidad solicitada en el 8'4 inerior de los préstamos+ Solución

7



a" #l =4 es igual a '.'=, entonces el área entre $ /el cual deseamos calcular0 y la media sería la resta entre '.(''' y '.'='' ,resultando '.-''.Luego z es igual a 8.33

X − 80 =1.88 z = 14

De aquí se obtiene $28'&.=7

#" #l 8'4 inerior es igual a '.8',entonces el área entre $/el cual deseamos calcular0 y la media sería igual a la resta de '.(''' y '.8''' ,es '.-''.#ntonces z es igual 8.75

X − 80 =1.29 z = 14

De aquí se obtiene $253.'&

Pro#le(a 22 Las ventas mensuales de amortiguadores de ruido para automóviles /moles0 siguen una distribución normal en la que la media es 87'' y al desviación estándar es 77(. #l abricante necesita establecer niveles de inventario de manera que la posibilidad de que se agote la e%istencia de moles sea solamente (4. )Dónde se deben i!ar los niveles de inventario+

Solución

μ=1200 , σ =225 9omo 2'.(;'.'(2'.-(''. bicamos '.-('' o un nEmero más pró%imo en la tabla de distribución normal estándar, donde  sería 8.&(, pero como está en la izquierda sería ;8.&(. Aeemplazando  en la ecuación sgte.

X − μ Z = σ X −1200 −1.65 = → X =828.75 225

Pro#le(a 2! "upóngase una distribución de probabilidad binomial, con n2-' y lo siguiente:

a" La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. 8

π 2'.((. 9alcule



#" La probabilidad de que % sea igual o superior a 7(. c" La probabilidad de que % sea igual o inerior a 8(. )" La probabilidad de que % este entre 8( y 7(, inclusive. Solución

n =40 , π =0.55 μ= n∗π = 40∗0.55=22

a" ;

σ =√ n∗π ( 1 −π )=3.15

-

#"

X ≥ 25 ; X =25−0.5 =24.5

X − μ Z = σ z =

24.5−22 3.15

=0.79

bicamos  2 '.5 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.73(7, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. 9omo nos pide valores mayores o igual a 7( entonces el área seria '.( ; '.73(7 2 &*2%!'+ e,t- e, la .ro#a#ili)a) )e /ue 0 ,ea igual o ,u.erior a 21*

c"

X ≤ 15

; X =15 + 0.5= 15.5

X − μ Z = σ z =

15.5−22 3.15

=−2.06

bicamos  2 7.'& en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.-3'=, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. 9omo nos pide valores menores o igual a 8( entonces el área seria '.( ; '.-3'= 2 &*&%3+ e,t- e, la .ro#a#ili)a) )e /ue 0 ,ea igual o in4erior a

%1* )"

15 ≤ X ≤ 25

rea entre 22 y 25=0.2852 +¿ Área entre 15 y 22=0.4803 Áreaentre 15 y 25=0.7655

9



La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre %1 5 21 e, 0.7655 *

Pro#le(a 2$ La empresa de mecánica automotriz Foles "orty anuncia que puede cambiar un silenciador en =' minutos o menos. "in embargo, el departamento de normas de traba!o de la compaCía realizo un estudio reciente y encontró que 7'4 de los silenciadores no se instalaron en =' minutos o menos. Gtra sucursal instaló (' silenciadores el mes pasado. "i el inorme dela empresa es correcto:

a" )9uántas de las instalaciones, en la sucursal, se esperaría que se tomasen más de =' minutos+ #" )9uál es la probabilidad de que menos de oco instalaciones de silenciadores requieran más de =' minutos+ c" )9uál es la probabilidad de oco o menos instalaciones de silenciadores necesiten más de =' minutos+ )" )H cuál es la probabilidad de que e%actamente 3 de (' instalaciones requieran más de =' minutos+

Solución

n =50 , π = 0.20 μ= n∗π =50∗0.20 =10

a" ;

σ =√ n∗π ( 1 −π )= 2.83

-

#"

X <8 ; X =8− 0.5=7.5

X − μ Z = σ z =

7.5− 10 2.83

=−0.88

bicamos  2 '.33 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.='8&, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. 9omo nos pide las instalaciones menores a 3 entonces el área seria '.(  '.='8& 2 &*%'!+ e,t- e, la .ro#a#ili)a) )e /ue (eno, )e oc6o

in,talacione, )e ,ilencia)ore, re/uieran (-, )e 7& (inuto,* c"

X ≤ 8 ; X =8 + 0.5 =8.5

!



X − μ Z = σ z =

8.5− 10 2.83

=−0.53

bicamos  2 '.(= en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.7'85, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. 9omo nos pide las instalaciones menores o igual a 3 entonces el área seria '.(  '.7'85 2 &*2'%+ e,t- e, la .ro#a#ili)a) )e /ue ' o (eno, in,talacione,

)e ,ilencia)ore, re/uieran (-, )e 7& (inuto,*

X =8

)"

X − μ Z = σ z =

8−10 2.83

=−0.71

bicamos  2 '.8 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*27', e,te 8alor e, el -rea o la .ro#a#ili)a) /ue 6a5 en '*

Pro#le(a 2' na investigación acerca de delincuentes !uveniles primerizos reveló que =34 de ellos cometieron otro delito.

a" )9uál es la probabilidad, de que los Eltimos 8'' delincuentes !uveniles primerizos puestos en libertad condicional, =' o más cometen otro delito+ #" )9uál es la probabilidad de que -' o menos cometan otro delito+ c" )y cuál es la probabilidad de que entre =' y -' de ellos cometen otro delito+

Solución

π =0.38 n =100 ;

-

a"

μ= n∗π =100∗0.38 =38 σ =√ n∗π ( 1 −π )= 4.77 X ≥ 30

; X =30−0.5 =29.5

X − μ Z = σ 


z =

29.5−38 4.77


=−1.78

bicamos  2 '.(= en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.-&7(, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. La .ro#a#ili)a) )e /ue 7& o (-, co(eten otro )elito es '.( J '.-&7( 2

&*$21* #"

X ≤ 40

; X =40 + 0.5 =40.5

X − μ Z = σ z =

40.5− 38 4.77

=0.52

bicamos  2 '.(7 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de '.853(, este valor es el área o la probabilidad que ay entre la media y $. La .ro#a#ili)a) )e /ue !& o (eno, co(eten otro )elito es '.( J '.853( 2

&*$'1* c"

30 ≤ X≤ 40

rea entre 30 y 38=0.4625 + ¿ Área entre 38 y 40 =0.1985 Área entre 15 y 25=0.6610 La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre 7& 5 !& e, 0.6610 *

Pro#le(a 7& #l departamento de contabilidad de Keston, un abricante de gara!es para casas, encontró quedos traba!adores necesitan, para la construcción de un determinado modelo, en promedio =7 oras, con desviación estándar de 7 oras. "upóngase que los tiempos siguen una distribución normal:

a" Determine los valores z correspondiente a 75 y =- oras. )#n qué porcenta!e de los gara!es se requieren entre =7 y =- oras para construirlos+ #" )#n qué porcenta!e de los gara!es se necesitan entre 75 y =- oras para construirlos+ c" )#n qué porcenta!e de los gara!es se necesitan 73. oras para construirlos+ )" )9uántas oras se requieren para construir (4 del total de los gara!es+

2



Solución

μ=32 , σ =2 X =29

a" ;

z =

29−32 2

=−1.5

bicamos  2 8.( en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!772*

X =34

-

z =

34− 32 2

=1.0

bicamos  2 8.' en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7!%7*

#" #l porcenta!e de los gara!es se necesitan entre 75 y =- oras para construirlos es '.-==7 J '.=-8= 2 &*33!1* X =28.7 c" ;

z =

28.7−32 2

=−1.65

bicamos  2 8.&( en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!1&1+ e,te 8alor e, el -rea o la .ro#a#ili)a) /ue 6a5 en 2'*3

6ora, .ara con,truirlo,* )"  oras se requieren para construir (4 del total de los gara!es. 9omo 2'.(;'.'(2'.-(''. bicamos '.-('' o un nEmero más pró%imo en la tabla de distribución normal estándar, donde  sería 8.&(, pero como está en la izquierda sería ;8.&(. Aeemplazando  en la ecuación sgte.

X − μ Z = σ

X −32 −1.65 = → X =28.7 2

Pro#le(a 72 n estudio de las llamadas de larga distancia realizadas desde las oicinas corporativas de una empresa grande muestra que las llamadas siguen una distribución normal. La duración media de la llamada es -.7 minutos, y la desviación estándar, '.&' minutos.

3


a" #" c" )"


)>ué racción de las llamadas dura entre -.7 y ( minutos+ )>ué racción de las llamadas dura entre más de ( minutos+ )>ué racción de las llamadas dura entre ( y & minutos+ )>ué racción de las llamadas dura entre - y ( minutos+

Solución

μ= 4.2 , σ =0.6 X =5

a" ;

z =

5− 4.2 0.6

= 1.33

bicamos  2 8.== en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!&'2+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e la, lla(a)a, )ura

entre !*2 5 1 (inuto,* #" #l área que la 4racción )e la, lla(a)a, /ue )uran entre (-, )e 1 (inuto, e, '.(  '.-'37 2 &*&%'. X =6 c" ;

z =

6− 4.2 0.6

=3.0

bicamos  2 =.' en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!'3+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e la, lla(a)a, )ura

entre !*2 5 $ (inuto,* 5≤ X≤6

Área entre 4.2 y 6 =0.4987 −¿ rea entre 4.2 y 5= 0.4082 Áreaentre 5 y 6= 0.0905 La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre 1 5 $ e,

0.0905

*

X =4

)" ;

z =

4 −4.2 0.6

= 0.33

bicamos  2 '.== en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*%27+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e la, lla(a)a, )ura

entre ! 5 !*2 (inuto,* 4≤

X ≤5

Área entre 4.2 y 5= 0.4082 +¿ rea entre 4 y 4.2= 0.1293 4



rea entre 4 y 5 =0.5375 La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre ! 5 1 e,

0.5375

*

Pro#le(a 7! n director del servicio de emergencia de un ospital analizó el tiempo de espera de los pacientes. #l tiempo de espera se deine como el tiempo que transcurre desde que paciente llega al lugar donde se otorga el servicio, asta que es atendido por un médico. #l estudio indica que los tiempos de espera siguen una distribución normal con media 77 minutos y desviación estándar 3 minutos.

a" )9uál es la racción de total de pacientes que es atendida en un tiempo entre #" c" )" e"

8( y 77 minutos+ )9uál es la racción que es atendida en menos de 8( minutos+ )9uál es la racción que es atendida en un tiempo superior a 8( minutos, pero inerior a =7 minutos+ )9uál es la racción que es atendida en un tiempo superior a 7( minutos, pero inerior a =7 minutos+ )9inco por ciento de los pacientes es atendido en cuántos minutos o menos+ #s decir )con qué rapidez es atendido (4 de los pacientes+

Solución

μ=22 , σ =8 X =15

a" ;

z =

15−22 8

=−0.88

bicamos  2 '.33 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7&%$+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e total )e .aciente,

/ue e, aten)i)a en un tie(.o entre %1 5 22 (inuto,* #" La 4racción /ue e, aten)i)a en (eno, )e %1 (inuto, e, '.(  '.='8& 2 &*%'!* X =32 c" ;

z =

32−22 8

=1.25

bicamos  2 8.7( en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!!!+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e total )e .aciente,

/ue e, aten)i)a en un tie(.o entre 72 5 22 (inuto,*

5



rea entre 32 y 22 =0.4944 +¿ Área entre 15 y 22=0.3106 Área entre 4 y 5 =0.8050 La 4racción /ue e, aten)i)a en un tie(.o ,u.erior a %1 (inuto,+ .ero in4erior a 72 (inuto, e,

0.8050

*

X =25

)" ;

z =

25−22 8

=0.38

bicamos  2 '.=3 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*%!'&+ e,te 8alor e, el -rea o la 4racción )e total )e .aciente,

/ue e, aten)i)a en un tie(.o entre 21 5 22 (inuto,*

rea entre 32 y 22 =0.4944 −¿ Área entre 25 y 22=0.1480 Áreaentre 4 y 5 =0.3464 La 4racción /ue e, aten)i)a en un tie(.o ,u.erior a 21 (inuto,+ .ero in4erior a 72 (inuto, e, &*7!$!* e"

X =8.88

Pro#le(a 7$ Las comisiones anuales ganadas por los representantes de las ventas de la empresa Facine 1roducts, abricante de maquinaria ligera, siguen una distribución normal. La cantidad media anual ganada en comisiones de 6-''''/dólares0, con una desviación estándar de 6('''.

a" )>ué porcenta!e de los representantes de ventas gana más 6-7''' anuales+ #" )>ué porcenta!e de los representantes de ventas gana entre 6=7''' y 6-7''' anuales+ c" )>ué porcenta!e de los representantes de ventas gana entre 6=7''' y 6=(''' anuales+ )" #l gerente de ventas quiere premiar con un bono de 68''' a los representantes de ventas que ganen las mayores comisiones. #l gerente puede otorgar un bono al 7'4 de los representantes. )9uál es el punto de división entre los que ganan un bono y los que no lo consiguen+

6



Solución

μ= 40000, σ =5000 X > 42000

a" ;

z =

42000 − 40000 5000

=0.4

bicamos  2 '.- en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*%11!*

El .orcenta9e )e lo, re.re,entante, )e 8enta, gana anuale, e, '.( ; '.8((- ; &*7!!$*

(-, )e :!2&&&

X =32000

#" ;

z =

32000 − 40000 5000

=−0.16

bicamos  2 '.33 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7!12*

Área entre 32000 y 40000= 0.3452+ ¿ Área entre 40000 y 42000=0.3446 rea entre 4 y 5 =0.7898 La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre 72&&& 5 !2&&& e,

0.7898

*

X =35000

c" ;

z =

35000 − 40000 5000

=−1.0

bicamos  2 '.33 en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7!%7*

Área entre 32000 y 40000 = 0.3452 −¿ Área entre 35000 y 40000= 0.3413 Área entre 4 y 5 =0.0039 La .ro#a#ili)a) )e /ue 0 e,te entre 72&&& 5 71&&& e, 0.0039 * )"  #l gerente de ventas quiere premiar con un bono de 68''' a los representantes de ventas que ganen las mayores comisiones. #l gerente puede otorgar un bono al 7'4 de los representantes.

7



9omo 28.' ; '.72'.3. bicamos '.3''' o un nEmero más pró%imo en la tabla de distribución normal estándar, da como valor de  '.3-. Aeemplazando  en la ecuación sgte.

X − μ Z = σ

X − 40000

0.84 =

5000

→ X = 44200

Pro#le(a 7' #l nEmero de pasa!eros en el crucero >ueen #lizabet II, en travesías de una semana por el 9aribe, sigue una distribución normal. #l valor medio del nEmero de via!eros por crucero es 837', y la desviación estándar es 87'.

a" #" c" )"

)>ué porcenta!e de los cruceros tendrá entre 837' y 85' pasa!eros+ )>ué porcenta!e de los cruceros tendrá 85' via!eros o más+ )>ué porcenta!e de los cruceros tendrá 8&'' o menos via!eros+ )9uántos via!eros ay en los cruceros que tienen el 7(4 más ba!o en el nEmero de via!eros+

Solución

μ=1820, σ =120 1820 < X < 1970

a" ;

X =1970

-

z =

1970 −1820 120

=1.25

bicamos  2 8.7( en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7!!*

El .orcenta9e )e lo, crucero, ten)r- entre %'2& 5 %3& .a,a9ero, e, &*7!!*

X ≥ 1970 #" ; El .orcenta9e )e lo, crucero, /ue ten)r- %3& 8ia9ero, o (-, e, '.(  '.=5-- 2 &*%&1$* X =1600 c" ; z =

8

1600−1820 120

=−1.83



bicamos  2 8.3= en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!$$!*

La .orcenta9e )e lo, crucero, /ue ten)r- %$&& o (eno, 8ia9ero, e, '.(  '.-&&- 2 &*&77$* )"  los cruceros que tienen el 7(4 más ba!o en el nEmero de via!eros. 9omo 2'.( ; '.7(2'.7(''. bicamos '.7('' o un nEmero más pró%imo en la tabla de distribución normal estándar, da como valor de  '.&. Aeemplazando  en la ecuación sgte.

X − μ Z = σ

X −1820 −0.67= → X =1740 120

Pro#le(a !& La empresa Bast "ervice rucM Lines utiliza el camión Bord "uper 8=8' en orma e%clusiva. La gerencia eectuó un estudio de costos de mantenimiento y determinó que la cantidad de millas recorridas durante el aCo siguió la distribución normal. La media de la distribución ue &' ''' millas y la desviación estándar 7''' millas.

a" )>ué porcenta!e de los camiones recorrió &(7'' millas o más+ #" )>ué porcenta!e de los camiones recorrió más de ('&' pero menos de (373' millas+ c" )>ué porcenta!e de los camiones recorrió &7''' millas o menos durante el aCo+ )" )#s razonable concluir que cualquiera de los camiones se mane!ó por más de '''' millas+ #%plique.

Solución

μ=60000, σ =2000 a" ;

X >65200

-

X =65200 z =

65200 −60000 2000

=2.6

bicamos  2 7.& en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!$1*

El .orcenta9e )e lo, ca(ione, recorrió $12&& (illa, o (-, e, '.(  '.-5&( 2 &*&&71 *

9



X =57060

#" ;

z =

57060 −60000 2000

=−1.47

bicamos  2 8.- en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*!22*

X =58280

-

z =

58280 −60000 2000

=−0.86

bicamos  2 '.3& en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7&1%*

reaentre 57060 y 60000=0.4292 −¿ Área entre 58280 y 60000 =0.3051 Área entre 57060 y 58280 =0.1241 El .orcenta9e )e lo, ca(ione, recorrió (-, )e 13&$& .ero (eno, )e 1'2'& (illa, e, &*%2!%*

X =62000

c" ;

z =

62000 −60000 2000

=1.0

bicamos  2 8.' en la tabla de distribución normal estándar, lo cual nos da un valor de &*7!%7*

El .orcenta9e )e lo, ca(ione, recorrió $2&&& (illa, o (eno, )urante el a
2!

μ +5 σ .

Capitulo 7-MASON

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