Transferência de Calor e Massa
IV-DIFUSÃO EM REGIME TRANSITÓRIO
Exemplo Exposição de um copo de água destilada (sem qualquer substância dissolvida) ao ar ambiente. A superf sup erfíci íciee da água água pass passará ará a ter um um certo certo teor teor de oxigénio dissolvido, C* C*.. Como inicialmente a água estava estava isenta isenta de oxigén oxigénio, io, haverá haverá difus difusão ão de O2 da superfície livre para o interior. z =0
ar
C
t 1
água z =L A
C* t 2 t 3
z
t 3 > t 2 > t 1
segunda lei de Fick Qual Qu al ser seráá a funç função ão C (z ,t ) ?
função que traduz a variação da concentração de oxigénio dissolvido de ponto para ponto ao longo do tempo 4.1
Transferência de Calor e Massa
z =0 z z+ δ δz
ar
C*
C
z
água
z =L
δ z+ δz
z
Efectu Efec tuan ando do um ba bala lanç nçoo de de mas massa sa à fa fati tiaa : infinitesimal situada entre as cotas z e z+ δ δz Q m , z
∂C = − AD m ∂ z z
Q m , z + ∂ z
∂C = − AD m ∂ z z + ∂ z
débito de entrada
débito de saída
Se para um dado instante os valores da derivada ∂C ∂ z forem difer forem diferent entes, es, haver haveráá uma acumu acumulaç lação ão de massa entre as cotas z e z +δ δz 4.2
Transferência de Calor e Massa ∂C (1 A∂ z ) 2 3 ∂ t z
taxa de acumulação entre as cotas z e z +δz
∂V
Ficará então
Q m , z − Q m , z + ∂z = Acumulação ∂C ∂C − AD m + AD m ∂ z z ∂ z z + ∂ z
∂C = A∂ z ∂t
Se A for independente de z e D m independente de C e z poderá escrever-se ∂C ∂ t
= D m
∂C ∂C − ∂ z z + ∂ z ∂ z z ∂
Tomando o limite quando δ δz tende para zero obtém-se: ∂C ∂ t
2
= D m
∂ C ∂
2
2ª lei de Fick 4.3
Transferência de Calor e Massa Escrita desta forma A 2ª lei de Fick Traduz o processo de difusão
molecular em regime transiente segundo uma direcção, ao longo da qual a secção recta é constante Num problema de difusão em regime transiente nestas condições C (z ,t ) verifica a 2ª lei de Fick e as condições fronteira do
problema
• Difusão num meio semi-infinito Se se considerar (no caso do exemplo anterior) que o tempo de exposição água ao ar é insuficiente para que nas zonas mais profundas do copo se note qualquer aumento da concentração de oxigénio, então a profundidade real do copo não é importante para tempos t < t 3 pode considerar-se o copo com profundidade infinita 4.4
Transferência de Calor e Massa As condições fronteira ou de contorno do problema serão: t = 0,
C = C 0 ,
>0
(1)
t > 0,
C = C *,
=0
( 2)
t > 0,
C → C 0 ,
→∞
( 3)
(no caso particular em estudo C 0 = 0) A solução C (z ,t ) que verifica a 2ª lei de Fick ∂C ∂ t
2
= D m
∂ C ∂
2
e as condições 1-3 é
z = 1 − erf * C − C 0 2 D m t C − C 0
função erro 4.5
Transferência de Calor e Massa O fluxo de massa através de secções rectas determinadas pode calcular-se através de N z = − D m
∂C ∂
ou seja:
(
*
N z = D m C − C 0
)
1 − ( z / 2 e π π D m t
2
D m t )
Em particular à cota z = 0 N z = 0 =
Dm
( C π π t
*
− C 0
)
todo o soluto que atravessa o plano z = 0 é absorvido pela água A quantidade de soluto absorvido por unidade de área desde o início até ao instante t c será: t c
D m
0
π π t
∫
(C * − C 0 ) dt 4.6
Transferência de Calor e Massa t c
D m
0
π π t
∫
=
D m π π
(C * − C 0 ) dt =
D m
1 2 t c
t (C − C 0 ) 1 2 0 *
=2
D m t c π π
π π
tc
(C * − C 0 ) ∫ t
= 2
−1 2
d t =
0
D m π π
(C * − C 0 ) tc
=
(C * − C 0 )
O fluxo médio através da superfície livre nesse intervalo de tempo será: 1 N = t c
D m tc * (C − C 0 ) = 2 π π
4 D m * ( N = C − C 0 ) π t c π
Resultado importante na teoria da absorção 4.7
Transferência de Calor e Massa
• Difusão limitada por uma superfície impermeável ao soluto Para tempos de exposição suficientemente elevados, a condição (3) não se verifica
A penetração de soluto ocorre em toda a extensão do copo As condições fronteira ou de contorno do problema serão agora: t = 0,
C = C 0 ,
t > 0,
C = C *,
t > 0,
∂C ∂
= 0,
L> >0
(1)
=0
( 2)
z = L
( 3)
O fundo do copo é impermeável ao soluto N = − D m
∂C ∂
=0 4.8
Transferência de Calor e Massa A solução C (z ,t ) é dada pela seguinte série infinita: C − C 0
=
* C − C 0
1 − ( −1) n − ( nπ π ∑ =1− e 2 n π π n =1 4
∞
2
π n π z sen 2 L
2 L ) D m t
Os termos correspondentes a n par são nulos Para calcular a taxa de absorção será N = − D m
[ N = D m C * − C 0 ∞
= D m
∂
×
1 − ( −1) n − ( nπ π ∑ e × π 2 n π n =1 4
∂C
π n π z cos = 2 L 2 L
π 2 L ) D m t nπ 2
1 ∞ − ( nπ π n ∑ 1 − ( −1) e C − C 0 L n=1
(
*
π n π z cos 2 L
)
[
]
2
2 L ) D m t
×
4.9
Transferência de Calor e Massa A quantidade de soluto absorvida por unidade de tempo e por unidade de área no intervalo de tempo de 0 a t c será t c
∫ D m (C
*
− C 0
0
1
) L
∞
∑
(1 − (−1) ) e n
2
− ( nπ π 2 L ) D m t
d t =
n =1
2 (2 L π 1 π ) * = × D m (C − C 0 ) − L D m ∞
×
∑ n =1
n
1 − ( −1)
n
2
2
e
− ( nπ π 2 L ) D m t c
∞
−
∑ n =1
n
1 − ( −1)
n 2
Finalmente t c
∫ N z = 0 d t =
0
4 L π π
2
∞ 1 − ( − 1) n × ∑ 2 1 n = n
(C
*
)
− C 0 × ∞
− ∑ n =1
1 − ( − 1) n n
2
e
2
− ( nπ π 2 L ) D m t c
Solução bastante complicada envolvendo série infinita de senos (C (z ,t )) e exponenciais
!
4.10
Transferência de Calor e Massa
• Distância de penetração de soluto A solução C (z ,t ) para meio semi-infinito expressa em termos da função erro é mais simples do que a série de senos e exponenciais. Para se poder usar a solução de meio semiinfinito é importante saber qual o período de tempo em que um meio é semi-infinito! Re-escrevendo a equação C (z ,t ))
z = 1 − erf * C − C 0 2 D m t C − C 0
ou
z (C − C 0 ) = (C − C 0 ) 1 − erf 2 D m t *
(C − C 0 ) - diminui gradualmente tendendo para zero quando aumenta
( z
2 D m t )
4.11
Transferência de Calor e Massa (C − C 0 )
*
C − C 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 z 2 D m t
Consultando a tabela da função erro erf (2) = 0.995
então (C − C 0 ) = 0.005 C * − C 0 para z 2 D m t = 2 Ao fim de um tempo t de exposição da superfície, a elevação de concentração (C-C0) em qualquer ponto a uma distância da superfície λ λ = 4
D m t
será 0.5% do máximo observado à superfície, (C*- C0). 4.12
Transferência de Calor e Massa λ = 4 D m t Para valores de z maiores do que λ a elevação de concentração será desprezável ao fim do tempo de exposição t λ λ
- distância de penetração do soluto ou comprimento de difusão
Um critério mais exigente seria considerar desprezáveis elevações de concentração
(C − C 0 ) = 0.0004 C * − C 0 (erf ( 2.5) = 0.9996 ) E neste caso
λ λ = 5
D m t
A definição de λ permite decidir num dado problema se se pode considerar meio semiinfinito ou não. Se durante o tempo de exposição da superfície L < λ
não se pode considerar meio semi-infinito → série de senos e exponenciais
Comprimento real do sistema em estudo 4.13
Transferência de Calor e Massa
• A segunda lei de Fick em situações mais gerais A análise de difusão em regime transitório efectuada anteriormente só é válida se a área de fluxo for constante e se D m não depender da concentração. Em
muitas situações práticas condições não se verificam
estas
δ δV
z z+ δ δz
A ≠ constante
D = f (C ) m
4.14
Transferência de Calor e Massa Se A =constante e D m = constante ficará ∂C ∂ t
2
= D m
∂ C ∂
2
2ª lei de Fick para difusão unidireccional, para o caso particular em que D m e A são constantes
Crank (The Mathematics of Diffusion, 1975) Analisa situações em que D m e A não são constantes
• Difusão a partir de uma superfície esférica r+ δr
r a
Esfera
sólida de um soluto A «mergulhada» subitamente num fluido de «extensão infinita»
No instante inicial a concentração de soluto no fluido é C 0 (uniforme)
Durante o processo de difusão a concentração de soluto para t > 0 passa a ser junto à superfície de raio a, igual a C *
4.15
Transferência de Calor e Massa O perfil de concentrações para um dado instante será do tipo *
C
C 0
=
Um balanço de soluto sobre a casca esférica situada entre os raios r e r + δ δr permite escrever 2
+4 π Q m , r = Q m , r +δ π r δ δ r δ r 123
∂C
δ δV
2
− 4π π r D m
∂C
∂ r r
2
= −4π π ( r + δ δ r ) D m 2
+ 4π π r δ δ r 2∂
( r + δ δ r ) 4π π D m
∂ t
C
− r ∂ r r +δ δ r δ δ
∂C
∂ r r +δ δ r
∂C ∂ t 2∂
C
∂ r r
= 4π π r
2
∂C ∂ t 4.16
Transferência de Calor e Massa δ → 0 E tomando o limite quando δ
∂C 2 2 ∂C D m r = r ∂ r ∂ t ∂ r 2 ∂C ∂ C ∂C D m 2 + r 2 = r ∂ t ∂ r ∂ r ∂
2ª lei de Fick para difusão unidireccional, em geometria esférica e regime transiente
As condições fronteira ou de contorno do problema serão: t = 0,
C = C 0 ,
>
(1)
t > 0,
C = C *,
=
( 2)
t > 0,
C → C 0 ,
→∞
( 3)
A solução C (z ,t ) que verifica a 2ª lei de Fick e as condições 1-3 é
r − a = 1 − erf * C − C 0 r 2 D m t C − C 0
a
4.17
Transferência de Calor e Massa A partir do perfil de concentrações podem calcular-se taxas de difusão na direcção radial. Para r =a será N r = a
1 ∂C * = − D m = D m (C − C 0 ) + ∂ r r = a a
Para valores de t pequenos N r = a =
D t π π m 1
π π D m t << a
Equação válida para difusão num meio com área constante
D m C * − C 0 π π D m t
Quando t → ∞ N r = a =
Dm C * − C 0
Q = 4π π a *
2
Equação correspondente a regime permanente *
Dm C − C 0 *
Q = 4π π aD m C − C 0 = 2π π dD m C − C 0 (d é o diâmetro da esfera)
4.18
Transferência de Calor e Massa
• Difusão no interior de uma esfera (Exemplo: extracção da cafeína do café)
Uma esfera porosa de raio a, com uma distribuição inicial de soluto de concentração uniforme C 0 é subitamente mergulhada num meio à concentração de soluto C s (C s é mantida durante o processo de imersão) C 0
r
a
C s
+δ r r +δ
C s
r =
r
Se C 0 > C s há difusão do interior para a periferia da esfera Efectuando um balanço de soluto ao elemento de volume elementar entre r e r+ δr : 2
∂C
δ δV
∂ t
Q m , r = Q m , r +δ r3 +4 π π r 2δ δ4 ε ε δ r 1 4
Fracção de volume ocupada por fluido 4.19
Transferência de Calor e Massa Tomando o limite quando δ δ → 0 ficará Def ∂ 2 ∂C 2 ∂C r = r ∂ t ε ε ∂ r ∂ r Equação válida para difusão em estado transiente, unidireccional, em geometria esférica e em meio poroso
As condições fronteira ou de contorno do problema serão: t = 0,
C = C 0 ,
≤
(1)
t > 0,
C = C s ,
=
( 2)
r=0
( 3)
t > 0,
∂C ∂
= 0,
A solução C (z ,t ) é dada pela seguinte série infinita: C − C 0 C s − C 0
=
Def 2 2 2 π − n t a π n ε n 2 a ∞ ( −1) π π r ε ∑ = 1+ e sen π π r n =1 n a
4.20
Transferência de Calor e Massa A quantidade de soluto transferida através da superfície da esfera é
Q m , r = a
∂C = − Def 4π π a ∂ r r = a 2
∞
∑e
= −8π π aD ef (C s − C 0 )
Def 2 2 2 n π − π t a ε ε
n =1
A quantidade de soluto transferida através da superfície da esfera no intervalo de tempo de 0 a t será t
∫
n t = Q m , r = a dt ' = 0
2 D π 8 a π ef (C s − C 0 ) =− π π Def ε ε 6 3
∞
−
1
∑ n
2
Def 2 2 2 π n π t a ε ε
−
e
n =1
A quantidade máxima de soluto transferida será 4 π a 3ε n∞ = π ε (C 0 − C s ) 3 (nesta situação C=C s em qualquer ponto da esfera)
4.21
Transferência de Calor e Massa A fracção de soluto removida até um tempo t será X t =
n t n∞
=1−
6 2
Def 2 2 2 − n π π t a ε ∞ ε ∑ e
π π n =1
Def 2 X t = f t a ε ε 1 4 243 Grupo adimensional
Def t Existem gráficos de X t vs 2 ε ε a
Gráficos de Newman
• Aplicação de soluções gráficas As soluções matemáticas para difusão em regime transiente em geometrias simples (plana, cilíndrica e esférica) e algumas condições de contorno específicas são apresentadas em vários gráficos para facilitar a utilização dessas soluções p.ex. os gráficos de Gurney-Lurie 4.22
Transferência de Calor e Massa Para difusão molecular, nestes gráficos aparecem representados quatro grupos adimensionais Y =
C A − C A∞ C A,0 − C A∞
X D =
Bi =
AB t
L2 c L
D AB
variação relativa de concentração tempo relativo
resistência relativa
Em alguns casos aparece m =
x n = L
D AB k c L
posição relativa
• A dimensão característica, L , é a distância desde o ponto de simetria (normalmente o ponto médio) até à superfície correspondendo à condição de contorno de interesse
• Bi , representa a razão entre resistência interna à transferência de massa (difusão molecular) e a resistência externa (por convecção) 4.23
