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CAPACITANCIA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. Javier Narváez Mora.
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presente te docume documento nto contie contiene ne un anális análisis is del Resumen—El presen fenómeno capacitancia en las lineas de Transmisión de Energía Eléctrica en un SEP. Se analiza en primer plano la capacitancia en forma global en un conductor, aplicando los teoremas y leyes que rigen la Teoría electromagnética. En base a cada postulado expuesto se realiza estudios de los efectos de la capacitancia en las lineas de acuerdo a su disposición, es decir a la ubicación de cada conductor con respecto a otros conductores adyacentes a él y con respecto a tierra, y sobre todo sus efectos que alteran a que la linea transmita la energía eléctrica con optima fiabilidad. Index Terms—Líneas
II-A.
La ley de Gauss establece que la carga eléctrica total dentro de una superficie cerrada es igual al flujo eléctrico total que sale de la superficie [1]. En forma matemática tenemos la ecuación 1
ˆ ˆ
de transmisión.
I. INTRODUCC INTRODUCCIÓN. IÓN. Las lineas de transmisión aéreas en un SEP son las encargadas de la transmisión de la energía eléctrica de un lugar a otro para su respectivo uso; por ella circulan ondas electromagnéticas y que de la calidad del conductor y su configuración dependerá la efectividad de la transmisión. Estas lineas están limitadas por su configuración y por su propiedades físicas, provocando a producirse perdidas a lo largo de su trayectoria de recorrido. En las líneas de transmisión están sujetas a condiciones de frontera impuestas por la geometría de la línea, que involucra parámetros como son: la resistencia, inductancia, conductancia y la capacitancia, este ultimo fenómeno que se presenta en la línea línea será será el obj objeto eto de nuestr nuestroo estudi estudio. o. El anális análisis is de cada elemento que tiene una línea proporciona la información necesaria para poder comprender los comportamientos de las corriente y voltajes que circulan por medio de ella, que sirven para realizar las respectivas respectivas mejoras, maniobras y correcciones para que la calidad de la energía eléctrica transmitida por la linea no provoque valores considerables de perdidas, ya que de una u otra manera, existirán disipaciones en la transmisión. Los conduc conductor tores es de las li linea neass aéreas aéreas norma normalme lmente nte son cablea cableados dos con al un núcleo núcleo llamado llamado alma alma de acero, acero, para para mejorar las características físicas de la linea entre ellas la de mejorar la carga de rotura II. CONCEPTO DE CAPACIT CAPACITANCIA. ANCIA. La capacitancia es una propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica, también podemos decir que es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para para un pot potenc encial ial eléctr eléctrico ico dado; dado; es decir decir para para un volta voltaje je aplicado. Para un análisis de este fenómeno es fundamental basarse en la ley de Gauss para campos eléctricos.
LEY DE GAUSS.
D · ds =
ˆ ˆ
E · ds = Qencerrada
(1)
en donde: D : Densidad de flujo eléctrico. E : Intensidad de flujo eléctrico. : Permitividad del material que rodea la superficie. 1
III. CAPACIT CAPACITANCIA ANCIA ENTRE CONDUCTORES. Pare obtener la capacitancia que es el punto principal de este estudio, partimos de los siguientes puntos a ser evaluados: La permitividad del medio es constante. Por medio de la ecuación de Gauss adquirir la Intensidad de Campo Eléctrico E . Una vez con el resultado del literal 2 podemos obtener la diferencia de potencial entre conductores. Con los parámetros mencionados, se puede obtener una representación matemática de la capacitancia esto es:
C =
Q V
(2)
Que posteriormente se hará la demostración de la ecuación 7. Para demostrar consideremos un ejemplo de un conductor cilíndrico, conductor perfecto, el cual tiene una distribución uniforme de carga como se ilustra en la figura 1 1 En
unidades Si = 8,854x10−12 F/m (farad por metro) es la permitividad del espacio libre es decir en el aire libre.
2
E x =
Q (2πx)
[V /m]
(4)
III-B. DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDA A UNA CARGA.
La diferencia de potencial entre dos conductores en voltios es numéricamente igual al trabajo en Joules por coulomb, necesario para mover un coulomb de carga entre dos puntos[1]. La intensidad de campo eléctrico 3 en voltios por metro es igual a la fuerza en newtons por coulomb sobre un coulomb de carga en el punto considerado. La integral de línea, entre dos puntos, de la fuerza en newtons que actúa sobre un coulomb de carga positiva, es el trabajo hecho para mover la carga desde el punto de más bajo al de más alto potencia y es numéricamente igual a la diferencia de potencial entre dos puntos figura 3. Figura 1. Conductor cilíndrico sólido
En este punto se hace algunas suposiciones y aclaraciones para obtener un resultado satisfactorio, sin alterar de manera notoria la exactitud de los resultados. III-A. CAMPO ELÉCTRICO DE UN CONDUCTOR DE GRAN LONGITUD.
Si un conductor cilíndrico largo y recto se encuentra en un medio uniforme, como el aire, y está aislado de otras cargas de manera que la carga se distribuye uniformemente al rededor de su periferia, el flujo asociado será radial. Todos los puntos equidistantes al conductor son equipotenciales 2 y la densidad de flujo eléctrico [2]. Se supone un conductor perfecto, es decir resistividad igual a cero. De acuerdo con la segunda ley de Ohm permite concluir que el campo interior en el conductor es cero, dado por E int = ρJ = 0 es decir el flujo en el interior del conductor es cero. Considerando figura 2la superficie gaussiana [4]formada por el cilindro figura 1 se observa que no existe comúnmente tangencial y que la componente radial E x es constante.
Figura 2. Superficie gaussiana.
Tomando en cuenta las observaciones que se han mencionado de la ecuación 1 mediante un análisis matemático se deduce: E x (2πx)(1) = Q 2 Una
Figura 3. Conductor cilíndrico con carga positiva distribuida uniformemente.
De la figura anterior se considera un conductor largo y recto como el de la figura 3 que lleva una carga positiva q [C/m]. Los puntos P 1 y P 2 se localizan a las distancias especificadas. Para calcular el flujo externo del conductor, se puede considerar que la carga uniformemente sobre él es equivalente a la carga concentrada en su centro. La carga positiva sobre el conductor ejercerá una fuerza de repulsión sobre las cargas positivas en el campo. Por esta razón, y que en este caso D2 es mayor a D1 , se debe realizar trabajo sobre la carga positiva para moverla de P 2 a P 1 , estando P 1 a un potencial mayor que P 2 . La diferencia de potencial es la cantidad de trabajo realizado por coulomb de carga que se mueve. Por otro lado, si el coulomb de carga se mueve de P 1 a P 2 , se libera energía y la cantidad de trabajo o energía es la cantidad de voltaje desde P 1 a P 2 en newtons metro. Se concluye que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga. Las superficies de potencial constante son cilindros concéntricos al conductor. La diferencia de potencial entre dos cilindros concéntricos a distancias D1 y D2 está dada por: D2
V 12 =
(3)
superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numérico de la función que representa el campo, es constante.
ˆ
E x dx
(5)
D1 3 La
intensidad de campo eléctrico es una medida de la fuerza sobre una carga que esta en el campo
3
Sustituyendo la ecuación 4 en 6:
V 12
D2 Q dx D1 (2πx)
´ =
=
Q 2π
ln
D2 D1
[V ]
(6)
IV. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS CONDUCTORES.
La capacitancia de una línea de dos conductores figura 4 se define como la carga sobre los conductores por unidad de la diferencia de potencial entre ellos.
Figura 5. Superficies equipotenciales de una porción de campo eléctrico originado por un conductor cargado.
Para determinar V ab debido a la carga q a se sigue la trayectoria a través de la región no distorsionada y se observa que la distancia D1 en la ecuación 6 es el radio ra y la distancia D2 es la distancia de centro a centro de los conductores. De igual forma para determinar V ab con respecto al conductor b 4 debida a q se observa que las distancias D y D son r y b 2 1 b D respectivamente, por lo tanto podemos obtener la siguiente relación: q a V ab = ln 2π
En forma de ecuación como se mencionó en la sección III se tiene:
V ab =
qa 2π
[F/m]
+
q b rb ln 2π D
−
(8)
(7)
La carga en q a origina superficies equipotenciales en la vecindad del conductor de radio ra estos efectos se ilustran en la figura 5
rb D
ln
V
(9)
qa 2π
ln
D2 ra rb
V
(10)
La capacitancia entre los dos conductores es: C ab =
La capacitancia entre dos conductores se puede encontrar al sustituir en la ecuación 7 la ecuación 6. Se puede encontrar V ab entre los conductores de la línea, si se calcula el voltaje de debido a la carga q a en el conductor de radio ra y después en el otro conductor; por el principio de superposición, la caída de voltaje entre el conductor ra y rb es la suma de estos voltajes.
D ra
ln
Aplicando las respectivas identidades logarítmicas se obtiene: V ab =
Q V
D ra
En la ecuación 8 el primer término de la derecha es debido a la carga en q a y el segundo termino corresponde al otro conductor. Sabiendo que para una linea de dos conductores q a = −q b o también V ab = V a − V b en forma fasorial:
Figura 4. Sección transversal de una línea con conductores paralelos.
C =
qa V ab
=
2π ln(D2 /ra rb )
F/m
(11)
Se puede hacer que ra = rb = r C ab =
π ln(D/r)
F/m
(12)
Si la línea se alimenta desde un transformador que tiene un derivación central a tierra, la diferencia de potencial entre cada conductor y la tierra es la mitad de la diferencia de potencial entre los conductores, y la capacitancia a tierra o capacitancia al neutro es: 4 El
conductor b causa que las superficies equipotenciales se distorcionen.
4
C n = C an = C bn =
qa V ab /2
=
2π ln(D/r)
F/m
(13)
En la figura 6 se ilustra el conceptos de linea al neutro. 5
Observemos que la sumatoria que se encuentra dentro de los corchetes es debido a los conductores a y b. La ecuación 6 es la que permite incluir el efecto de q c , porque la distribución de carga uniforme sobre la superficie del conductor es equivalente a conectar la carga en su centro. Podemos deducir el potencial debido solo a la carga q c : q c V ab = ln 2π
D D
Se observa que el potencial es cero, debido que q c es equidistante de a y b. Suponemos que el efecto a tierra se desprecia y que no hay conductor neutro. por lo que q a + q b + q c = 0 Con Daa = Dbb = r y Dab = Dba = Dca = Dcb = D tenemos: V ab =
1 2π
D r
q a ln
+ q b ln
r D
+ q c ln
D D
V
(16)
Dado que ln(1) = 0 obtenemos lo siguiente: Figura 6. Capacitancia línea a neutro.
V ab =
Luego da haber deducido las formulas para la capacitancia al neutro, se deduce la reactancia capacitiva que se presenta entre un conductor y el neutro y la relacione que obtenemos es: X c =
1 2πf C
(14)
V ab =
1 2π
D r
q a ln
+ q b ln
r D
V
(15)
D r
q a ln
r D
V
+ q c ln
+ q b ln
(17)
Observemos que ln( D D ) = 0 debido a que los conductores a y b son equidistantes del conductor c, los conductores a y b está en un cilindro equipotencial para el campo eléctrico debido a q c . De manera similar al proceso anterior podemos obtener V ca :
Se debe tener presente que la capacitancia de la ecuación 6 esta expresado en F/m al neutro, que para los respectivos análisis se deberá tomar en cuenta las unidades de las distancias. V. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON ESPACIAMIENTO EQUILÁTERO. En la figura 7 se ilustra los tres conductores idénticos de radio r de una linea trifásica con espaciamiento equilátero 6 [5]. En la ecuación 8 se expresa el voltaje entre dos conductores debido a las cargas de cada uno, así el voltaje V ab de la linea trifásica debido solo a las cargas en los conductores a y b es:
1 2π
V ca =
1 2π
D r
q a ln
+ q b ln
D D
r D
en donde, debido que Dbc = Dab y por lo tanto 1 2π
Recordemos que: V ab =
D r
q a ln
√ √
3V an ∠
de lo anterior tenemos:
(19)
√ √ √ √ − − + q c ln
3V an ∠30º =
V ac = −V ca =
r D
(18)
q b ln( D D) =
0 V ca =
V
3 1 +j 2 2
3V an
30º =
V
3V an
3 2
j
1 2
(20)
V ab + V ac = 3V an
sustituyendo en la ecuación 20 las ecuaciones 17 y 19 obtenemos la siguiente expresión: V an Figura 7. equilátero. 5 Se
Sección transversal de una línea trifásica con espaciamiento
debe tener presente que el radio en la ecuación para la capacitancia es el radio exterior real del conductor. 6 Espaciamiento equilátero, iguales ángulos e iguales distancias entre los conductores adyacentes.
1 = 3
1 2π
2q a ln
D r
+ (q b + q c ) ln
D D
dado que q b +q c = −q a sustituyendo en la ecuación anterior tenemos la siguiente expresión. V an
1 = q a ln 2π
D r
(21)
5
Por lo que la capacitancia con respecto al neutro por longitud de linea es: C an =
qa V an
=
2π ln( D r )
F/m linea − neutro
(22)
Como una ventaja para obtener las capacitancias de los otros conductores tenemos que las disposición de estos es equilátera por lo tanto: C bn =
qb V an
C cn =
qc V cn
(23)
VI. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON ESPACIAMIENTO ASIMÉTRICO. El resultado obtenido en la sección anterior, en la cual existe un desacoplamiento matemático en la expresiones de capacitancia, existe únicamente en la configuración tratada en esta sección, en la cual los conductores son equidistantes. Cualquier otra configuración conduce a una expresión imposible de simplificar en la forma como se lo hizo antes, lo cual está asociado con expresiones para la capacitancia en las cuales existe un acoplamiento matemático, producto de la simetría de la configuración. Cuando los conductores no están espaciados equiláteramente, las lineas comunes no transpuestas, los valores de las capacitancias de cada fase al neutro son diferentes Para el respectivo análisis de esta configuración, nos referimos a la figura 8 en la que podemos obtener las tres ecuaciones para V ab una para cada ciclo.
V ab =
1 2π
D31 r
q a ln
+ q b ln
r D31
+ q c ln
D12 D23
V
(26) Si se desprecia la caída de voltaje a lo largo de la linea en las tres ecuaciones anteriores, el voltaje al neutro, es igual al voltaje la neutro de cualquier otra parte del ciclo, de aquí que el voltaje entre dos conductores sea el mismo en cualquier parte del ciclo. La carga sobre un conductor debe ser diferente cuando cambia la posición con respecto a los otros conductores. Al sumar las tres ecuaciones anteriores y dividirlas para 3 se obtiene el voltaje promedio. Si se supone la misma carga sobre un conductor sin importar su posición, el voltaje promedio entre los conductores a y b es: V ab =
D12 D23 D31 + q b r3 12 D23 D31 +q c ln D D12 D23 D31
1 6π [q a
ln
donde
1 2π
ln
]
r3 D12 D23 D31 )
q a ln
3
Deq r
V
(28)
D12 D23 D31
r Deq
+ q b ln
(27)
Deq =
V ab =
V
(29)
De manera similar se puede obtener, el voltaje promedio del conductor a al c: V ac =
1 2π
q a ln
Deq r
+ q c ln
r Deq
V
(30)
Al aplicar la ecuación 20 para encontrar el voltaje al neutro se tiene:
1 3V an = V ab + V ac = 2π [2q a ln r +q a ln( Deq ) + q c ln( Dreq )]
Deq r
(31)
Como q a + q b + q c = 0 tenemos la siguiente expresión: 3V an = Figura 8. Sección transversal de una línea trifásica con espaciamiento asimétrico.
Con la fase a en la posición 1, b en la posición 2 y c en la 3.
C n =
qa V an
=
3 2π q a
2π ln(Deq /r)
ln
Deq r
V
F /m al neutro
(32) (33)
De la misma manera que se explico en secciones anteriores se puede obtener la reactancia capacitiva.
VII. CÁLCULOS DE CAPACITANCIA PARA CONDUCTORES AGRUPADOS. (24) En esta sección, se analiza una linea de transmisión con Con la fase a en la posición 2, b en la posición 3 y c en la conductores agrupados para la que se puede escribir una ecua1. ción del voltaje entre los conductores a y b como se demostró en las secciones tratadas anteriormente con la excepción que 1 V ab = 2π q a ln Dr + q b ln Dr + q c ln D V ahora se deben considerar las cargas de los seis conductores D (25) individuales. Los conductores están en paralelo y se supone Con la fase a en la posición 3, b en la posición 1 y c en la que la carga por agrupamiento se divide por igual entre los 2. conductores que lo constituyen[10]. V ab =
1 2π
q a ln
D12 r
23
+ q b ln
r D12
23
+ q c ln
D23 D31
31 12
V
6
VIII. EJEMPLIFICACIÓN. VIII-A.
Figura 9. agrupados.
Sección transversal de una linea trifásica con conductores
Observando en la figura 9 se tiene que D12 es mucho mayor que d, se puede usar D12 − d y D12 + d y hacer las otras sustituciones similares de las distancias de separación del agrupamiento en lugar de usar las expresiones mas exactas que se tienen al encontrar V ab . Si la carga de la fase a es q a cada uno de los conductores a y a tienen la carga q a /2; una división similar de la carga supone para las fases a y b. Entonces:
ENUNCIADO DEL PROBLEMA.
Una línea de transmisioón trifásica, de un circuito de 100millas entrega 55MVA a factor de potencia de 0.8 en atraso a una carga que está a 132kV línea a línea. La línea está compuesta de conductor Drake con un espaciamiento plano horizontal de 11.9pies entre conductores adyacentes. Suponga una temeperatura del conductor de 50ºC. Determine la admitancia paralelo de la línea [1]. SOLUCIÓN. Aplicando la ecuación 28 tenemos el espaciamiento entre conductores: Deq =
1 qa 2π [ 2 + ln Dd12
V ab =
D12 r ) + q2c
ln
D12 d
+ ln
D23 D31
ln
+
+ ln
qb 2 (ln D23 D31
r D12
]
Deq =
3
3
(11.9 pies)(11.9 pies)(2)(11.9 pies)
(34)
Deq = 14.99 pies
De la ecuación 37 tenemos:
al combinar términos se obtiene:
2
C n =
√
1 V ab = q a ln 2π
D12 rd
+ q b ln
√ rd D12
+ q c ln
D23 D31
(35)
por lo tanto tenemos la capacitancia: C n =
2π
(36)
Deq ln √ rd
√
D12 D23 D31
La rd es igual a Dsb para el agrupamiento de dos conductores porque r ha remplazado a Ds . Se concluye que un método modificado de la distancia media geométrica (DMG) [3]se aplica al calculo de la capacitancia de una linea trifásica con conductores agrupados que tiene dos conductores por fase. La modificación consiste el radio externo en lugar de la RMG [3]de un solo conductor. b Si se usa DsC para distinguirla de Dsb usada en los cálculos de inductancia en el RMG modificado de los cálculos de la capacitancia, se tiene:
ln
Deq b DsC
b para el caso de a grupamiento de conductores trifásiDsC
cos. Este valor se lo obtiene por tablas, que en este ejemplo conductor Drake lo podemos obtener de las tabla A1 que presenta en el libro de (Análisis de Sistemas de Potencia “Jhon J. Grainger, William D. Stevenson Jr.”, McGrawHill pag 370.) Se debe tener presente que el valor que se obtiene de la tabla, es el diámetro exterior en pulgadas. Di´ ametro = 1,108 pulg Di´ ametro = 1,108 pulg b DsC =
·
1 pies 12 pulg
= 0,0923 pies
0.0923 pies 2
b DsC = 0.0461 pies
Remplazando valores se tiene: C n =
2
ln
Deq Db sC
F/m
al − neutro
(37)
=
· 4
2
(r d) =
√
(38)
rd
para un agrupamiento de tres conductores: b DsC
=
· 9
3
(r d · d) =
√ 3
(39)
rd2
b = DsC
16
r d·d·d
√ · 2
2
√ 4
= 1,09 rd3
14,99 pies 0,0461 pies
C = 9,61x10−12
m
(40)
F m
Se observa que la capacitancia que nos solicita el enunciado del problema nos pide en pies, realizamos las respectivas transformaciones: F C = 9,61x10−12
y para un agrupamiento de cuatro conductores:
·
2(8,854x10−12 F/m) ln
Entonces para un agrupamiento de dos conductores: b DsC
C =
·
1604,344m 1mi
C = 1,54x10−8
F mi
7
X C =
1 1 = F 2πf C 2π(60Hz )(1,54x10−8 mi ) X C = 171340,55
Cálculo de la admitancia: Y =
mi Siemens
1 1 Siemens = = 5,83x10−6 mi X C mi 171340,55 Siemens Y = 5,83x10−6
Siemens · 100mi mi
Y = 5,83x10−6 siemens
R//
IX. CONCLUSIONES. Por medio de este análisis de la capacitancia en las lineas de transmisión, se puede decir que este fenómeno juega un papel muy importante en el comportamiento de las lineas de transmisión, dependiendo de manera muy considerable los diferentes tipos de configuración de los conductores que se encuentran ubicados en las torres de transmisión de Alta y Media Tensión, es decir de la disposición en el que se encuentren, ya que de ello dependerá en gran manera los estudios y análisis para determinar las perdidas en las lineas en la distribución y transmisión de energía eléctrica a levados niveles de potencia y de voltaje. Cabe recalcar que existe una gran similitud del calculo de la capacitancia con respecto al de la inductancia, se debe tener presente que en la capacitancia se debe considerar el radio externo del grupo de conductores y mas no el radio del hilo que conforma el conductor. El análisis de este parámetro de la linea de transmisión que muchas veces tedioso en realizar los cálculos ha permitido comprender su comportamiento, en la actualidad, existen tablas para determinar sus valores en las diferentes disposiciones, y sobre todo existen software que proporcionan mucha facilidad para obtener los parámetros de las lineas. R EFERENCIAS [1] Análisis de Sistemas de Potencia “Jhon J. Grainger, William D. Stevenson Jr.”, McGrawHill,Campos eléctrico de un conductor largo y recto,pag 160. [2] http://zip.rincondelvago.com/lineas-de-transmision_1 [3] Análisis de Sistemas de Potencia “Jhon J. Grainger, William D. Stevenson Jr.”, McGrawHill,Inductanica de las lineas de conductores compuestos,pag 146. [4] http://www.itmorelia.edu.mx/eléctrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Po tencia /LT01.pdf [5] http://www.giaelec.org.ve/fglongatt/files/files_LT/PPTCap3-1. pdf [6] http://www.uncp.edu.pe/newfacultades/ingenieriasarqui/newelectrica/pho cadownload/descargas/lineas-TECSUP.pdf [7] http://rd.udb.edu.sv:8080/jspui/bitstream/123456789/648/1/DIS LIN TR_G02. [8] http://biblioteca.usac.edu.gt/tesis/08/08_0104_ME.pdf [9] http://cursos.eie.ucr.ac.cr/claroline/backends/download.php?url=L0NhcG FjaXRhbmNpYV9lZmVjdG9fZGVsX3N1ZWxvLnBkZg %3D %3D&ci dReset=true&cidReq=IE0665_001 [10] http://www.monografias.com/trabajos38/lineas-de-transmisi on/lineasde-trasmision2.shtml [11] http://itzamna.bnct.ipn.mx:8080/dspace/bitstream/123456789/7430/1/SI MULACION.pdf [12] http://gama.fime.uanl.mx/~omeza/pro/LTD/LTD.pdf [13] http://personales.unican.es/perezvr/pdf/CH9ST_Web.pdf
