UNAM
FES-C SEP-I
CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION
Osorio Ronquillo Oscar Ulises
2802
4 CAPACITANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION 4.1 Campo eléctrico de un conductor recto de gran longitud 4.2 Diferencia de potencial entre dos puntos debida a una carga 4.3 Capacitancia de una línea bifilar 4.4 Capacitancia de una línea trifásica con disposición equilátera 4.5 Capacitancia de una línea trifásica con disposición asimétrica 4.6 Efecto del suelo sobre la capacitancia de las líneas trifásicas de transmisión 4.7 Conductores agrupados 4.8 Líneas trifásicas de circuitos paralelos
La diferencia de potencial entre los conductores de una línea de transmisión hace que estos se carguen como las placas de un condensador cuando existe una diferencia de potencia entre ellas. La capacidad entre conductores es la carga por unidad de diferencia de potencial. La capacidad entre conductores paralelos es constante, dependiendo del tamaño y de la separación de los conductores. El efecto de la capacidad de líneas de menos de unas 50 mil es pequeño y se desprecia normalmente. En líneas más largas, de alta tensión, la capacidad llega a tener gran importancia.
Lo mismo que para el estudio de la inductancia es de gran interés el campo magnético, para el estudio de la capacidad, lo es el campo eléctrico. Todo el flujo eléctrico que nace en un conductor es igual, numéricamente, al número de culombios de su carga. La densidad de flujo eléctrico es el flujo eléctrico por metro cuadrado, midiéndose en culombios por metro cuadrado. Una tensión alterna aplicada a una línea de transmisión da lugar a que la carga de los conductores, en cualquier punto, aumente o disminuya con el aumento o disminución, respectivamente, del valor instantáneo de la tensión entre conductores, en aquel punto. El flujo de la carga es una corriente y la producida por la carga y descarga alternativa de una línea, debida a una tensión alterna, se llama comente de carga de la línea. La corriente de carga fluye en una línea de transmisión, incluso, cuando está el circuito abierto. Tiene influencia sobre la caída de tensión a lo largo de la línea, así, como sobre su rendimiento y factor de potencia y la estabilidad de la red de la que forma parte la línea. Si un conductor recto, cilíndrico y largo tiene una carga uniforme en toda su longitud y está aislado de otras cargas, de la forma que la carga esté repartida uniformemente en su superficie, el flujo que produce es radial. Todos los puntos equidistantes de un conductor de estas características son puntos equipotenciales con la misma densidad de flujo eléctrico. La fig. 4.1 representa un conductor aislado y con una carga repartida uniformemente.
Fig. 4.1 Líneas de flujo eléctrico creadas por las cargas positivas uniformemente repartidas sobre la superficie de un conductor cilíndrico aislado .
Como todos los puntos de esta superficie están equidistantes del conductor, que tiene carga uniformemente repartida, la superficie cilíndrica es una superficie equipotencial y su densidad de flujo eléctrico es igual al flujo que nace en el conductor, por metro de longitud, dividido por el área de la superficie correspondiente a 1 metro de eje longitudinal. La densidad de flujo eléctrico es:
Donde q es la carga en el conductor, por metro de longitud, y x la distancia en metros desde el conductor hasta el punto donde se calcula la densidad de flujo eléctrico. La intensidad del campo eléctrico o el negativo, del gradiente de potencial, es igual a la densidad de flujo eléctrico dividida por la constante dieléctrica del medio. De esta forma la intensidad del campo eléctrico es:
La diferencia de potencial, en voltios, entre los puntos es igual numéricamente al trabajo en julios por culombio necesario para mover un culombio entre los dos puntos. La intensidad del campo eléctrico es una medida de la fuerza con que una carga está solicitada en el campo. La intensidad del campo eléctrico, en voltios por metro, es la fuerza, en newton por culombio, que actúa sobre un culombio situado en el punto considerado. Entre dos puntos la integral de línea de la fuerza en Newton que actúa sobre un culombio de carga positiva, es el trabajo realizado al mover la carga desde el punto de potencial más bajo al de potencial más alto, siendo igual, numéricamente, a la diferencia de potencial entre dos puntos. Consideremos un conductor recto, largo con una carga positiva de q culombios/metro, tal como lo indícala fig. 4.2. A las distancias Di y D2 metros, respectivamente, del centro conductor, están situados los puntos P1 y P2. La diferencia de potencial entre dos puntos, es independiente del camino recorrido del uno al otro punto. La forma más sencilla para calcular la caída de tensión entre los dos puntos, es calcular la tensión que existe entre las superficies equipotenciales que pasan por P1 y P2, integrando la intensidad de campo a lo largo de un camino radial entre las superficies equipotenciales. De esta forma, la caída instantánea de tensión entre Pi y P2 es:
∫ ∫
Donde q es la carga instantánea sobre el conductor, en culombios por metro de longitud.
La capacidad que existe entre dos conductores de una línea bifilar se definió como la carga de los conductores por unidad de diferencia de potencial entre ellos. La ecuación de la capacidad por unidad de longitud de línea es:
( )
Donde q es la carga de la línea, en culombios por metro, y v es la diferencia de potencial entre conductores en voltios. En adelante, por simplificar, hablaremos de capacidad, refiriéndonos a la capacidad por unidad de longitud, poniendo correctamente las dimensiones de las ecuaciones deducidas. La capacidad entre conductores puede encontrarse sustituyendo en la ec. (4.4), el valor de v, en función de q, deducido de la ec. (4 3) La tensión va}> entre los dos conductores de la línea bifilar de la fig. 4.3 se halla determinando la diferencia de potencial entre ellos, calculando, en primer lugar, la caída de tensión debida a la carga conductor a y, a continuación, la debida a la carga
qa del
qb del conductor b. Por el principio de superposición, la
caída de tensión del conductor a al b, debida a las cargas de ambos conductores, es la suma de las caídas de tensión producidas por cada una de las cargas independientes.
Consideremos la carga qa del conductor a y supongamos que el conductor b no tiene carga, siendo, únicamente, una superficie equipotencial en el campo creado por la carga de a. La superficie equipotencial del conductor b y las debidas a la carga a se representan en a la fig 4.4. La distorsión de las superficies
equipotenciales en las proximidades del conducto b, es debida a que éste .también es una superficie equipotencial. La ec. (4.3) se dedujo suponiendo que todas las superficies equipotenciales, debidas a la carga uniforme de un conductor de sección circular, eran cilíndricas y concéntricas con el conductor. Esto es cierto en nuestro caso, salvo en la zona próxima a b.
El potencial del conductor b es el de la superficie equipotencial que le corta. Por tanto, al determinar
v ab
puede seguirse un camino que vaya del conductor a a la superficie equipotencial que corta a b, pasando por una zona en la que no están distorsionadas las superficies equipotenciales. El camino a lo largo de la superficie equipotencial hasta b no supone cambio alguno de tensión. Esta línea de integración está indicada en la fig. 4.4 junto con el camino directo. Naturalmente, la diferencia de potencial es la misma independientemente del camino a lo largo del cual se hace la integración de la intensidad del campo. . Pasando a la notación vectorial ( qa y qb son números complejos) tenemos:
Y como qa =~qb
( )
O agrupando los términos logarítmicos.
La capacidad entre conductores es:
( ) ( )
Haciendo la conversión a microfaradios por milla, cambiando la base del término logarítmico y suponiendo una constante dieléctrica relativa kr = 1.
Si ra = rb
( ( ) ) ()
La ec. (4.10) da la capacidad entre los conductores de una línea bifilar. A veces conviene conocer la capacidad entre uno de los conductores y un punto neutro. De esta forma, la capacidad respecto al neutro de una línea bifilar es dos veces la capacidad entre conductores. Si consideramos a ésta formada por dos capacidades iguales en serie, la tensión de la línea se reparte por igual entre los dos, estando el punto de unión de ambos al potencial de tierra. Así, la capacidad respecto al neutro es una de dos capacidades iguales en serie o dos veces la capacidad entre conductores.
()
El concepto de la capacidad respecto al neutro viene representado en la fig. 4.5.
La ec. (4.11) se corresponde con la (3.37), encontrada para la inductancia. Observando atentamente ambas ecuaciones, se ve una diferencia. El radio que figura en la ecuación de la capacidad es el radio exterior del conductor, mientras que el de la inductancia es la RMG. La ec. (4.3), de la que se derivan las (4.5) y (4.11), está basada en el supuesto de distribución uniforme de la carga sobre la superficie del conductor. Si existen otras cargas,
Deja de cumplirse la uniformidad supuesta, por lo que las ecuaciones deducidas de la (4.3) no son estrictamente ciertas. La falta de uniformidad en la distribución de cargas, sin embargo, puede ser totalmente olvidada en las líneas aéreas de transporte, como indica la tabla 4.1. Al tratar de aplicar la ec. (4.11) a un cable trenzado, surge la duda del valor que se ha de poner en el denominador del argumento del logaritmo puesto que la fórmula se dedujo para un conductor macizo de
sección circular. Dado que el flujo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor perfecto, el campo eléctrico en la superficie de un conductor trenzado no es el mismo que el campo eléctrico en la superficie de un conductor cilíndrico. Por otra parte, la capacidad de un cable trenzado, calculada por la ec. (4.11), tomando para r el valor del radio exterior del cable, será ligeramente errónea por la diferencia entre el campo en las proximidades del cable y el campo alrededor del conductor macizo para el que se dedujo la ec. (4.11). Una vez encontrada la capacidad respecto al neutro, la reactancia capacitiva entre un conductor y el neutro viene dada por:
Puesto que C en la Ec. (4.12) está dado en faradios por milla, las unidades apropiadas para Xc son ohmmilla. También debe notarse que la ec. (4.12) expresa la reactancia de la línea al neutro, para una milla de línea. Puesto que la reactancia capacitiva existe en paralelo a lo largo de la línea Xc en ohm-milla, debe dividirse por la longitud de la línea en millas para encontrar la reactancia capacitiva total de la línea al metro. La tabla A. l da el diámetro exterior de los tamaños más usados de ACSR. En la ec. (4.12), si D y r están en pies la reactancia capacitiva a una separación de un pie X' a es el primer término y el factor de separación de la reactancia capacitiva X' d es el segundo término cuando la ecuación se expande como sigue.
Tabla 4.1 Error que se introduce al suponer una Distribución uniforme de la carga en el cálculo de la capacidad de una línea bifilar.
Relación D/r Porcentaje de error en la ec. (4.11) 10 0.44 20 0.084 0 0.010 100 0.002 200 0.0005 La tabla A.l incluye los valores de X' a para los tamaños comunes de ACSR- existen tabla, similares para conductores de otros tipos y tamaños. La tabla A.3 da valores’ de Z'd.
La fig. 4.6 representa los tres conductores idénticos de radio r de una línea trifásica con disposición equilátera. La ec. (4.5) expresa la tensión entre dos conductores debida a las cargas en cada uno, si se asume una distribución uniforme de carga. La tensión V ab de la línea trifásica debida únicamente a las cargas en los conductores a y b es:
( )
La ec. (4.3) nos permite incluir el efecto de
qc puesto que la distribución uniforme de carga sobre el
conductor es equivalente a concentrar la carga en el centro del conductor: por tanto debida a la carga
Lo cual es cero puesto que
qc
qc es equidistante de a y b. Sin embargo, para mostrar que consideramos las
tres cargas, podemos escribir:
Análogamente:
( ) ( ) ( )
Sumando las ecs. (4.15) y (4.16) tenemos:
Derivando estas ecuaciones hemos supuesto una tierra lo suficientemente lejos para despreciar su efecto. Si suponemos que no existen otras cargas próximas a conductores, la suma de las cargas de los tres conductores es cero, pudiendo sustituir - qa en la ec. (4.17) por qb + qc, con lo que tenemos:
La fig. 4.7 es el diagrama vectorial de tensiones. De esta figura se obtienen las siguientes relaciones entre las tensiones de línea V ab y V ac la tensión V an entre a y el neutro del circuito trifásico:
√ √ V V
Sumando las ecs. (4.19) y (4.20) se obtiene: Sustituyendo 3 Van por
ab +
ac en
la ec. (4.18):
Como la capacidad respecto al neutro es la relación entre la carga en un conductor y la tensión entre éste y neutro:
( ) ()
Para una constante dieléctrica relativa de kr =1.
Comparando la ec. (4.24) con la (4.11) vemos que son las mismas. Estas ecuaciones dan la capacidad, respecto al neutro, de las líneas trifásicas, con disposición equilátera y monofásica, respectivamente. A la corriente asociada a la capacidad de una línea se la llama comente de carga. En un circuito monofásico , la corriente de carga es el producto de la tensión entre conductores por la susceptancia entre ellos, o bien, vectorialmente:
En una línea trifásica, la corriente de carga se encuentra multiplicando la tensión respecto al neutro por la susceptancia capacitiva respecto al neutro. Este producto da la corriente de carga por fase, y está de acuerdo con el cálculo de circuitos trifásicos equilibrados basado en una sola fase y retomo por el neutro. La corriente de carga, vectorial, en la fase a es:
Puesto que la tensión rms varía a lo largo de la línea, la corriente de carga no es la misma en todas partes. Frecuentemente la tensión usada para obtener el valor de la corriente de carga es la tensión normal para la cual se diseña la línea 220 ó 500 kV, la cual, probablemente no es la tensión real en la estación generadora o en la carga.
Cuando los conductores de una línea trifásica no están dispuestos en triángulo equilátero el cálculo de su capacidad es más difícil. Si la línea no tiene transposición, las capacidades de cada fase, respecto al neutro, son distintas. En una línea con transposición, la capacidad media, respecto al neutro, de una de las fases, en todo el ciclo de transposición, es igual a la de cualquier otra, puesto que todos los hilos de fase ocupan la misma posición durante idéntico recorrido a lo largo del ciclo de transposición. La asimetría de las líneas sin transposición es pequeña en las disposiciones corrientes, y por tanto, se calcula la capacidad como si tuvieran transposición.
Para la línea que se enseña en la fig. 4.8 se encuentran tres ecuaciones para V ab para las tres diferentes partes del ciclo de transposición. Con la fase a en la posición 1, b en la 2 y c en la 3:
( ) ( ) ( )
Con a en la posición 2, b en la 3 y c en la 1:
Con a en la posición 3, b en la 1 y c en la 2:
En las ecs. (4.27) a (4.29), si despreciamos la caída de tensión, a lo largo de la línea, la tensión, respecto al neutro, de una fase en una de las posiciones del ciclo es igual a la tensión, respecto al neutro, de esa misma fase en cualquiera de las otras posiciones del ciclo. De aquí se deduce que la tensión entre dos conductores cualesquiera es la misma, cualquiera que sea la posición dentro del ciclo de transposición y, por tanto, que la carga de un conductor tiene que ser distinta según la posición que ocupa.
La solución rigurosa de la capacidad es demasiado complicada, por lo que no es práctica excepto para la disposición en un plano con igual separación entre conductores adyacentes. Para los conductores y colocaciones corrientes se obtiene suficiente precisión suponiendo que la carga por unidad de longitud de un conductor es igual en todas las posiciones del ciclo de transposición. Con esta hipótesis, la tensión entre cada parí conductores es diferente a lo largo del ciclo de transposición, puede hallarse un valor medio para la tensión entre conductores y, a partir de ella, la capacidad. La tensión media se obtiene sumando las ecs. (4.27), (4.28) y (4.29) y dividiendo la suma por 3. La tensión media entre los conductores a y b, supuesta la igualdad de carga de un conductor independiente de su posición en el ciclo, es:
Dónde:
Análogamente, la caída de tensión media entre el conductor a y el c es:
Aplicando la ec. (4.21), para encontrar la tensión, respecto al neutro, tenemos:
Cómo qa + qb+ qc =0 en un circuito trifásico equilibrado:
() () ( )
Para una constante dieléctrica relativa de k =l:
Para encontrar la reactancia capacitiva con respecto al neutro correspondiente a la reactancia puede dividirse en componentes de reactancia capacitiva a neutro con separación de 1 pie X' a y el factor de separación de la reactancia capacitiva X' d, como se definió en la ec. (4.13).
El suelo influye en la capacidad de una línea de transporte, debido a que su presencia modifica el campo eléctrico de la línea. Si suponemos que la tierra es un conductor perfecto de forma plana, horizontal, y prolongado hasta el infinito, comprobaremos que él campo eléctrico de los conductores cargados, por encima del suelo, no es el mismo que el que habría si no existiera la superficie equipotencial de la tierra. Consideremos un circuito formado por un solo conductor aéreo y retorno por tierra. Al cargarse el conductor, las cargas vienen desde tierra a colocarse sobre el conductor, estableciéndose una diferencia de potencial entre el conductor y tierra. Esta tiene una carga igual a la del conductor en valor absoluto, pero de signo contrario. El flujo eléctrico entre las cargas del conductor y las de tierra, es perpendicular a la superficie equipotencial del suelo, puesto que suponemos que esta superficie es un conductor perfecto. Consideremos un conductor imaginario del mismo tamaño y forma que el real, situado exactamente debajo de éste y a una distancia de él igual a dos veces su distancia a la superficie del suelo. El conductor imaginario estaría debajo de tierra a una distancia de ella igual a la del conductor real. Si suponemos que el conductor ficticio tiene igual carga pero opuesto sentido que el real y que la tierra no existe, el plano equidistante de ambos conductores sería una superficie equipotencial y ocuparía la misma posición que la superficie equipotencial del suelo. El flujo eléctrico entre el conductor aéreo y aquella superficie equipotencial sería el mismo que el que existe entre él y tierra. Debido a esto, para los cálculos de capacidades, puede reemplazarse el suelo por un conductor ficticio cargado situado debajo de tierra y a una distancia de ella
igual a la del conductor aéreo sobre la superficie del suelo. El conductor así definido tiene una carga de igual valor y opuesto sentido que la del conductor real, llamándose imagen del conductor. Para aplicar este método al cálculo de la capacidad de una línea trifásica, nos apoyaremos en la fig. 4.9. Supondremos que la línea tiene transposición y que los conductores a, b y c, tienen las cargas qa qb qc, ocupando las posiciones, 1, 2, 3, respectivamente, en la primera parte del ciclo de transposición. El plano de tierra está representado y, debajo de ' él, los conductores con las cargas imagen - qa -qb y –qc. Las ecuaciones que dan la tensión entre los conductores a y b, en las tres posiciones del ciclo de transposición, pueden escribirse, aplicándolas al sistema formado por los tres conductores y sus respectivas imágenes. Con el conductor a en la posición 1, b en la 2 y c en la 3, tenemos:
[ ( ) ( ) ( )]
Aceptando el supuesto casi correcto de la constancia de la carga por unidad de longitud de cada conductor a lo largo del ciclo de transposición, podemos obtener un valor medio para el vector V ab. La ecuación para el valor medio de V ac se encuentra de igual forma, obteniéndose
V ac. Sabiendo que la suma de las cargas es cero, tenemos:
Fig. 4.9 Línea trifásica y su imagen
3V n sumando los valores medios de V ab y
( )
Comparando las ecs. (4.36) y (4.38), se ve que el efecto del suelo es incrementar la capacidad de la línea, puesto que al denominador de la ec. (4.36) hay que restarle el término
. Si la distancia
de los conductores al suelo es muy grande comparada con la que existe entre ellos, las distancias en diagonal, que figuran en el numerador del término que tiene en cuenta la presencia del suelo, son casi iguales a las que figuran en el denominador, por lo que dicho término es muy pequeño.
Una línea de conductores agrupados se muestra en la fig. 4.10; podemos escribir una ecuación para la tensión del conductora al conductor b, de la misma forma en que se derivó la ec. (4.27), teniendo en cuenta que ahora debemos considerar las cargas en todos los seis conductores. Los conductores de cualquier agrupación están en paralelo y puesto que la separación entre agrupaciones es normalmente más de 15 veces la separación entre los conductores del grupo. Si la carga en la fase a es
qa, los conductores a y a', tienen una carga de qa/2, (a') la misma división de
carga se supone para las fases b y c. Por tanto:
[ ( ) ( ) ( )] * ( √ ) √ ( )+ √ ) ( (√ ) √
Simplificando, tenemos:
La ec. (4.40) es igual a la ec. (4.27), excepto que
ha remplazado a r. Por tanto, si consideramos una
línea con transposición, encontramos:
La
b
es la misma D para un grupo de dos conductores, excepto que r se remplaza por Ds. Esto nos
conduce a la importante conclusión de que el método DMG modificado se aplica al cálculo de la capacidad de líneas trifásicas de conductores agrupados, teniendo dos conductores por grupo. La modificación es que usamos el radio exterior en lugar del RMG del conductor sencillo. Es lógico concluir que el método DMG modificado se aplica a otras configuraciones de agrupaciones. Si utilizamos la anotación
Ds
b
C para el RMG modificado en el cálculo de la capacidad, para distinguirlo del
Dbs empleado en el cálculo de la inductancia, tenemos:
() ( ) √
Entonces para el grupo de dos hilos: Para el grupo de tres hilos:
Y para el grupo de cuatro hilos:
Hemos notado a través de nuestro estudio la semejanza de las ecuaciones para la inductancia y la capacitancia. Se encontró el método DMG modificado para aplicarse en el cálculo de la capacidad de líneas de conductores agrupados. Pudimos mostrar que este método es igualmente válido para líneas trifásicas con transposición y separación equilátera (conductores en los vértices de un hexágono) y para separación de plano vertical (los conductores de las tres fases de cada circuito permanecen en el mismo plano vertical).
Cabe mencionar que es interesante el saber que el suelo afecta también en las perdidas de las líneas de transmisión algo que no había pensado aunque no creo que se use al menos que se diseñe un nuevo tipo de soporte. Por otra parte los efectos que produce la ley de Lenz ya que genera el fenómeno de inducción y el capacitivo además de otros que son despreciables son impensables para una persona sin conocimientos de ingeniería.