Modelarea generatoarelor sincrone vizeaz ă comportamentul acestora atât în regim normal, cât şi în condiţiile unor perturbaţii.
J =
În regimurile perturbate, modelarea urm ăreşte, pe de o parte mi şcarea rotorului sub ac ţiunea cuplului mecanic motor dezvoltat de ma şina primar ă de antrenare (turbina cu aburi, turbina hidraulic ă, turbina cu gaze etc.) şi a cuplului electromagnetic rezistent produs în generator – modelul electromecanic, iar pe de alt ă parte dinamica fluxurilor din înf ăşur ările rotorice – modelul electromagnetic.
ω02m
şi se introduce în ecua ţia (3.1) se ob ţine:
2 H
ω02m
S b
d ω m = C ma − C ea dt
sau 2 H
3.2.1. Modelul electromecanic al generatorului sincron.
a a ⎞ d ⎛ ⎜ ω m ⎟ = C m − C e S b dt ⎜⎝ ω 0 m ⎠⎟
(3.3)
ω0 m
Conform legii fundamentale a mecanicii, mi şcarea rotorului generatorului sincron şi a turbinei de antrenare sub ac ţiunea cuplului mecanic dezvoltat de turbină şi a cuplului electromagnetic rezistent dezvoltat de generator este: d ω J m = C aa = C ma − C ea dt
2 HS b
Ţinând cont că, pe de o parte:
ω r ωm ω p = = r ω0 m ω0 ω0
(3.1)
în care: J este momentul de iner ţie al maselor aflate în mi şcare (kg . m2); ωm – viteza unghiular ă a rotorului (radiani mecanici / s);
(3.4)
p
C ma –
în care: ω r este viteza unghiular ă a rotorului (radiani electrici / s); ω0 – viteza unghiular ă nominală a rotorului (radiani electrici / s); p – numărul de perechi de poli ai generatorului sincron.
C ea
iar pe de alt ă parte:
C aa –
cuplul de accelerare, în unit ăţi absolute ( Nm);
cuplul mecanic, în unit ăţi absolute ( Nm); – cuplul electromagnetic, în unit ăţi absolute ( Nm); t – timpul, în secunde.
Cma − Cea Cma − Cea = = Cm − Ce ≈ Pm − Pe (u.r.) S b C b
Ecuaţia diferenţială (3.1) poate fi normalizat ă şi exprimată în unităţi relative (u.r.) definind constanta de iner ţie H ca fiind raportul dintre energia cinetic ă a rotorului la viteza nominal ă, în MWs şi puterea de bază egală cu puterea nominală aparentă a generatorului S b=S ng , în MVA:
1 J ω2 H = ⋅ 0 m [MWs/MVA] 2 S b
(3.5)
ω0 m
în care: C m , C e sunt cuplurile mecanic şi electric exprimate în u.r. de cuplu;
(3.2)
C b =
în care ω0 m este viteza unghiular ă nominală a rotorului, în radiani mecanici/s.
S b
ω0m
P m , P e
Dacă se exprimă momentul de iner ţie J din relaţia (3.2):
–
cuplul de bază;
–
puterile mecanică şi electrică exprimate în u.r. de putere (raportate la S b ).
ecuaţia (3.3) devine:
3
2 H
⎞ d ⎛ ⎜ ω r ⎟ = C a = C m − C e ≈ P m − P e ⎜ dt ⎝ ω 0 ⎠⎟
(3.6)
Dacă se defineşte abaterea relativă a vitezei rotorice de la viteza de sincronism: ω −ω ω (3.7) ω = r 0 = r − 1 ω0 ω0 şi se ţine cont că: ω ⎞ d ω d ⎛ (3.8) = ⎜⎜ r ⎟⎟ dt dt ⎝ ω0 ⎠ atunci ecuaţia de mi şcare (3.6) devine:
2 H
d ω = Ca = Cm − Ce ≈ Pm − P e dt
ωr
(ωr −ω0)t δ
δ0
(3.9)
(3.12)
(3.13)
Obs: Atunci când în modelul electromagnetic nu se ţine cont de prezenţa înf ăşur ărilor de amortizare, efectul acestora asupra mi şcării rotorului se modeleaz ă în ecuaţia de mişcare prin ad ăugarea unui termen propor ţional cu variaţia vitezei unghiulare ω . În acest caz ecuaţia de mişcare capătă forma:
2 H d 2δ = Cm − Ce − Dω ≈ Pm − Pe − Dω ω0 dt 2
(3.14)
în care D este coeficientul de amortizare (în u.r.).
Axa rotorică q (la momentul t=0)
Se defineşte timpul de lansare al grupului notat cu M sau T a , în s, ca fiind intervalul de timp în care generatorul, pornind din repaus, ajunge la viteza unghiular ă nominală (ω0 ) , dacă i se aplică un cuplu de accelerare egal cu cel nominal, C a =1u.r.). În aceste condiţii, din ecuaţia (3.9) rezultă: d ω 2 H (3.15) = C a dt Prin integrare se ob ţine: C (3.16) ω(t ) = a t + C ω 2 H în care C ω este constanta de integrare.
Axa sincronă (axa reală)
+1
Axa rotorică d
Fig. 3.3. Definirea unghiurilor Prin urmare:
δ = ω r t + δ 0 − ω0 t = (ω r − ω0 )t + δ 0
d 2δ d ω = ω0 dt dt 2
ω d 2δ d ω ω0 = ( Cm − Ce ) ≅ 0 ( Pm − Pe ) 2 = ω0 dt 2 H 2H dt
Axa rotorică q (la momentul t)
ω0
(3.11)
Din relaţiile (3.9) şi (3.12) rezult ă ecuaţia diferenţială de ordinul 2 corespunzătoare modelului electromecanic, cunoscut ă şi sub denumirea de ecuaţia de mi şcare:
Se notează cu δ unghiul care determin ă poziţia rotorului la un moment dat (în radiani electrici) în raport cu un sistem de referin ţă ce se roteşte sincron (cu viteza unghiular ă ω0 ) şi cu δ0 valoarea acestui unghi la momentul t =0 (fig.3.3). +j
ω −ω d δ = ωr − ω0 = ω0 r 0 = ω0ω dt ω0
(3.10)
4
• în ecuaţiile Park care descriu funcţionarea generatorului sincron în regim
ωr − ω0 = −1 ω0 ω −ω (grupul este în repaus, adic ă ωr = 0 ), iar la t = T a , ω = r 0 = 0 (grupul ω0 a atins viteza de sincronism, adic ă ωr = ω0 ), din relaţia (3.16) rezult ă: Având în vedere că C a = 1 şi că la momentul t = 0 , ω =
tranzitoriu se neglijează tensiunile electromotoare de transformare d Ψ q d Ψ d ( = 0 şi = 0 ) şi rezistenţa înf ăşur ărilor statorice; dt dt
• se
consider ă regimul de func ţionare cvasisinusoidal, adic ă d θ ωr = ≅ ω0 (această ipoteză nu implică faptul că, în regimurile dt perturbate, viteza rotorică este constantă, ci faptul c ă variaţiile vitezei rotorice nu influen ţează semnificativ ecuaţiile regimului electromagnetic);
T t = 0 ⇒ C ω = −1 şi t = T a ⇒ 0 = a − 1 2 H
Deci, timpul de lansare al grupului este: Ta = M = 2 H [s] în care H este constanta de iner ţie a acestuia.
(3.17)
• ecuaţiile Park în care intervin fluxuri magnetice, inductivit ăţile proprii şi mutuale se transformă în ecuaţii care conţin tensiuni electromotoare, reactanţe şi constante de timp.
În studiile vizând stabilitatea SEE ecua ţia de mi şcare - modelul electromecanic al generatorului sincron – se utilizează sub forma unui sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul I, adic ă: ⎧ d ω = C − C − Dω ≈ P − P − Dω m e m e ⎪⎪ dt (3.18) ⎨ ⎪ d δ = ω0ω ⎪⎩ dt
axa
q
I Q Q Q m
L
I q
3.2.1.2. Modelul electromagnetic al generatorului sincron. U q q
Regimul electromagnetic al generatoarelor sincrone este descris de ecuaţiile generale exprimate în sistemul de coordonate ( d , q, 0) obţinute prin aplicarea transformatei Park asupra variabilelor reale exprimate în coordonate fazice (tensiunile şi curenţii pe fază), în următoarele ipoteze:
Lmd LmD
L fD D
• în axa longitudinal ă
d se ţine seama de influen ţa înf ăşur ării de excitaţie f , a înf ăşur ării fictive longitudinale a statorului d şi a înf ăşur ării de amortizare D dispusă în lungul acestei axe (fig 3.4);
d I D
U f
• în axa transversală
q se ţine seama de influenţa înf ăşur ării fictive transversale a statorului q şi a înf ăşur ării de amortizare Q dispusă în lungul acestei axe (fig 3.4);
I f
axa
U d
d
I d
Fig. 3.4. Înf ăşur ările generatorului sincron dup ă aplicarea transformatei Park În aceste condiţii, se obţin ecuaţiile regimului permanent şi ale regimului electromagnetic tranzitoriu în sistemul de coordonate rotorice ( d – q) ataşat
5
fiecărui generator. Deoarece ecua ţiile reţelei electrice la care este racordat generatorul sunt exprimate în sistemul de coordonate carteziene ( Re – Im) sau (+1, + j ), pentru a dezvolta un model unitar este necesar s ă se stabilească relaţiile de legătur ă între cele două sisteme de coordonate. În acest sens, se consider ă că unghiul rotoric δ este unghiul pe care axa rotoric ă q îl face cu axa reală (figura 3.5). Se observ ă că sistemul de coordonate rotorice d – q este π rotit cu unghiul δ − faţă de sistemul de coordonate general ( Re – Im) ataşat 2 reţelei electrice
•
π
A = Ad + jAq =
j⎛⎜ θ−( δ− ) ⎞⎟ 2 ⎠ Ae ⎝
= Ae jθ e
π − j ( δ− ) 2
π − j (δ− ) 2
= Ae
(3.20)
Vând în vedere relaţiile (3.19) şi (3.20) rezultă că pentru a trece de la sistemul de coordonate ata şat reţelei electrice la sistemul de coordonate rotorice mărimea complexă trebuie multiplicată cu e
π − j ( δ− ) 2 , adică:
π − j ( δ− )
2 A = Ae (3.21) Invers, pentru a trece de la sistemul de coordonate rotorice la sistemul de coordonate ata şat reţelei, mărimea complexă trebuie multiplicat ă cu
+j (Im) q A Im
π
j ( δ− ) 2 ,
e Aq
în sistemul de coordonate rotorice d – q
adică: π
A = Ae
A
j ( δ− ) 2
(3.22)
3.2.2. Modelul generatorului sincron în regim permanent.
d
δ
θ
În sistemul de coordonate d-q ataşat rotorului ecuaţiile de funcţionare ale generatorului sincron în regim permanent, ob ţinute din ecuaţiile generale Park prin anularea derivatelor în raport cu timpul, sunt:
Ad δ−π/2 A Re
+1 (Re)
U d = −ω0 ψ q = X q I q U q = ω0ψd = − X d I d + E f
Fig. 3.5. Poziţia sistemului de coordonate rotorice d – q în raport cu sistemul de coordonate general ata şat reţelei electrice Re – Im.
(3.24)
în care: U d şi U q sunt componentele pe axele d şi q ale tensiunii la bornele generatorului; I d şi I q - componentele pe axele d şi q ale curentului prin generator; X d şi X q - reactanţele sincrone în axele d şi q; U E f = X md I f = ω0 Lmd f - t.e.m. indusă de curentul de R f U excitaţie I f = la mersul în gol al ma şinii R sincrone;
În aceste condiţii, o mărime complexă oarecare (tensiunea, curentul etc.) având modulul A şi argumentul θ în sistemul de coordonate ata şat reţelei π electrice, are argumentul θ − ⎛⎜ δ − ⎞⎟ în sistemul de coordonate rotorice şi, ⎝ 2⎠ prin urmare, expresiile acesteia în cele două sisteme de coordonate sunt: • în sistemul de coordonate ata şat reţelei elctrice A = ARe + jAIm = Ae jθ
(3.23)
(3.19)
6
U R
-
Având în vedere expresia (3.28) a t.e.m. la mersul în sarcin ă E = 0 + jEq = j ⎡⎣ E f − ( X d − X q ) ⋅ I d ⎤⎦ , rezult ă că argumentul ei, în sistemul
tensiunea la bornele înf ăşur ării de excitaţie; rezistenţa înf ăşur ării de excitaţie.
de coordonate ataşat reţelei electrice, este unghiul rotoric δ (este orientată în lungul axei q) iar modulul este Eq = ⎡⎣ E f − ( X d − X q ) ⋅ I d ⎤⎦ . Prin urmare:
La mersul în gol I d = I q = 0 , iar din relaţiile (3.23) şi (3.24) rezult ă că U d = 0 şi U q = E f şi, prin urmare, E f este orientată în lungul axei q.
E = Eqe jδ = U + jX q I
În sistemul de coordonate rotorice d – q se definesc mărimile complexe U = U d + jU q şi I = I d + jI q . Ţinând seama de expresiile (3.23) şi (3.24) ale componentelor U d şi U q ale tensiunii la borne, rezult ă: U = U d + jU q = X q I q + j ( − X d I d + E f )
Pe baza relaţiei (3.30) se construieşte diagrama fazorial ă a generatorului sincron în regim permanent simetric din figura 3.6 şi se întocmeşte schema echivalent ă din figura 3.7. ( m)
(3.25)
q
În membrul drept al rela ţiei (3.25) se adaug ă şi se scade termenul jX q I = jX q ( I d + jI q ) = jX q I d − X q I q . Rezultă: U = X q I q − jX d I d + jE f − jX q I + jX q I =
= jE f − jX q I + X q I q − jX d I d + jX q I d − X q I q =
(3.30)
E f E q
( X d - Xq)I d
(3.26)
= j[ E f − ( X d − X q ) I d ] − jX q I
jX I q
sau E = U + jX q I
U
(3.27)
în care:
δ
E = 0 + jEq = j ⎡⎣ E f − ( X d − X q ) ⋅ I d ⎤⎦ (3.28) este t.e.m. la mersul în sarcin ă. Se observă că aceasta este orientat ă ca şi t.e.m. E în lungul axei rotorice q. Având în vedere c ă X d ≥ X q , rezultă
θ I
E ≥ E q . Relaţia (3.27) constituie ecuaţia regimului permanent al generatorului sincron în sistemul de coordonate rotorice. Dac ă se multiplică fiecare
d
π
j ( δ− ) e 2
termen al acestei ecua ţii cu se obţine ecuaţia regimului permanent în sistemul de coordonate ata şat reţelei electrice: E = U + jX q I
( Re)
ϕ
Fig.3.6. Diagrama fazorial ă a generatorului sincron în regim permanent simetric.
(3.29)
7
X q I
E
Q = U q I d − U d I q (3.33) Având în vedere rela ţiile (3.23) şi (3.24) şi diagrama fazorial ă rezultă: I q = U d X q (3.34)
U
E f − U q X d U d = U sin( δ − θ) = U sin δi U q = U cos( δ − θ) = U cos δi I d =
Fig. 3.7. Schema echivalent ă în regim permanent pentru. Se observă că, în regim permanent generatorul sincron se reprezint ă printr-o t.e.m. în spatele reactan ţei sincrone X q . Dacă se neglijează anizotropia rotoric ă, atunci X d = X q = X s , E q = E f = X md I f şi E = Eq e jδ = U + jX s I
Înlocuind expresiile (3.34,...,3.37) ale tensiunilor şi curenţilor în relaţiile (3.32) şi (3.33) rezult ă expresiile puterilor activ ă şi reactivă la bornele generatorului sincron:
(3.31)
(
•
• puterea activă 2 E f − U q U d U q U sin δ i ( E f − U cos δ i ) + U sin δ i cos δ i P = U d + = X d
valoare curentului prin generator (multiplicat ă cu 3 ) I g ,i = S g ,i U i
X q
)
P =
se determină valoarea t.e.m. induse (tensiuni faz ă – fază)
S = U ⋅ I = Ue
⎛ cos 2 δi sin 2 δi ⎞ 2 E f U cos δi − ⎜ (3.39) ⎜ X d + X q ⎟⎟U X d ⎝ ⎠ Dacă se consider ă cazul ma şinii izotrope (cu poli îneca ţi), adică X d = X q = X s expresiile puterilor activ ă şi rectivă devin: Q=
*
* ⎛ j ( δ− π ) ⎞ ⋅ ⎜ Ie 2 ⎟ = U ⋅ I = (U d + jU q )( I d − jIq ) = P + jQ ⎝ ⎠
Din care, separând p ăr ţile reală şi imaginar ă, rezultă: P = U d I d + U q I q
(3.38)
sau
Expresia puterii aparente complexe la bornele generatorului sincron este: π
E f U X − X q ⎞ U 2 ⎛ ⎜ d ⎟ sin 2δ i sin δ i + X d 2 ⎜⎝ X d X q ⎠⎟
2 ⎛ E f − U q ⎞ U E U U U 2 ⎟⎟ − U d d = f q − q − d Q = U q ⎜⎜ X q X d X d X q ⎝ X d ⎠
Expresiile puterilor la borne şi caracteristica statică P − δ
j ( δ− ) 2
X q
• puterea reactivă
unghiul rotoric δ , adică poziţia rotorului în raport cu axa de referinţă (tensiunea la nodul de echilibru) ca fiind argumentul t.e.m. E .
*
X d
sau
*
E i = Eq ,i e jδ = U + jX q I = U i + jX q ,i I g ,i
•
(3.36) (3.37)
în care δi = δ − θ este defazajul dintre t.e.m. intern ă şi tensiunea la borne şi se numeşte unghiul electric intern.
Fiind cunoscut regimul permanent de func ţionare al sistemului electroenergetic se determin ă regimul de func ţionare al fiec ărui generator conectat într-un nod i al reţelei electrice. Astfel, fiind cunoscute tensiunea nodului U i şi puterea complex ă generată S g ,i se determină:
•
(3.35)
P =
(3.32)
8
E f U sin δ i X s
(3.40)
'
(argumentul t.e.m. tranzitorii E ' ) poate fi utilizat în ecua ţia de mişcare în locul unghiului δ pentru a defini pozi ţia rotorului.
X d I
'
E
Rezultă că, modelul clasic al generatorului sincron pentru analiza stabilităţii tranzitorii este format din ecua ţiile diferenţiale electromecanice puse sub forma:
U
d ω ≅ P − P − Dω dt m e
Fig. 3.10. Schema echivalent ă a generatorului în regim tranzitoriu ( Im)
d δ' = ω0 ω dt
q
'
E ' = E 'e jδ = U + jX d ' I
'
E
în care modulul t.e.m. E ' este constant pe toat ă durata regimului tranzitoriu. În acest caz expresia puterii electromagnetice este:
'
jX q I
U
δ
'
P e =
δ
E 'U sin δ' X d '
(3.46)
Şi reprezintă caracteristica tranzitorie P − δ a generatorului sincron.
( Re)
ϕ
3.3. Stabilitatea ubghiular ă a generatoarelor unei centrale electrice care debiteaz ă într-un sistem de putere infinit ă
'
E d
(3.45)
şi din ecua ţia fazorială (3.43):
'
E q
θ
(3.44)
I
3.3.1. Considera ţii generale
d
Se consider ă cazul unei centrale electrice care evacueaz ă energie produsă într-un SEE, considerat de putere infinit ă (figura 3.12), şi se adoptă următoarele ipoteze simplificatoare:
Fig. 3.11. Diagrama fazorial ă a generatorului sincron în regim tranzitoriu Observa ţ ie: Deoarece componentele E d ' şi E q' ale fazorului E ' sunt constante, rezultă că modulul acestuia E ' =
2
2
( Ed' ) + ( E q' )
(i)
centrala este reprezentată printr-un bloc generator – transformator echivalent şi se neglijează anizotropia rotoric ă, adică X d = X q şi X d' = X q' ;
(ii)
se neglijează rezistenţele şi admitanţele transversale din schemele echivalente ale transformatorului bloc şi liniei electrice;
este constant
iar poziţia lui faţă de sistemul de coordonate rotorice ( d – q) nu se modific ă, d δ d δ' adică diferenţa δ − δ' = α = ct . Prin urmare iar unghiul δ' = dt dt
10
(iii)
se raportează reactanţele la tensiunea nominal ă a nodului de racord la sistem;
(iv)
pentru modelarea comportamentului dinamic al generatorului se utilizează modelul clasic, adică:
•
şi se notează cu
E g = E g e jδ G
d ω = ( Pm − Dω − Pe ) dt
T
(7) L
(1) Fig. 3.12. Schema monofilar ă a sistemului studiat
d δ = ω0ω dt
(2)
X L jX g
ecuaţia algebrică în complex
E ' = U + jX d ' I
(6)
δ argumentul t.e.m. E g , adică
ecuaţiile diferenţiale
Ta
•
E s = U s e j 0 = U s
(3)
jX e
jX T jX L
E g
U S 0
E g δ E S
În aceste condiţii rezultă schema echivalentă din figura 3.13,a în care generatorul este reprezentat prin tensiunea electromotoare (t.e.m.) E g din a)
spatele reactanţei X g .
Fig. 3.13. Schema echivalent ă (a) şi schema echivalentă redusă (b)
Se precizează faptul că:
Având în vedere ipotezele adoptate, rezult ă schema echivalentă redusă din figura 3.13,b, respectiv modelul algebro – diferen ţ ial EAD, specific sistemelor electroenergetice, constituit, în acest caz, din:
a) pentru calculul punctului de echilibru, în conformitate cu modelul regimului permanent al generatorului sincron, t.e.m. este:
E g = Eq e jδ = U + jX d I
•
(4)
b) pentru analiza stabilităţii, conform modelului clasic, t.e.m. este '
E g = E 'e jδ = U + jX d ' I adică X g =
ecuaţiile diferenţiale (1) şi (2) scrise sub forma:
d ω 1 = ( P − Dω− Pe ) = f 1 (ω, δ) dt T a m d δ = ω0ω = f 2 (ω, δ) dt
adică X g = X d = X q
X d ' ,
b)
(5)
•
'
iar unghiul δ înlocuieşte unghiul rotoric δ în
ecuaţia (2). adică
E gU s sin δ = P emax sin δ X e
în care X e = X g + X t +
11
(9)
ecuaţia algebrică ce defineşte caracteristica P − δ (statică sau dinamică, în func ţie de analiza efectuat ă): Pe =
Se alege tensiunea nodului de racord la sistem ca origine de faz ă,
(8)
X L . 2
(10)
Acest model este de forma:
d x = f ( x, y, μ ) dt 0 = g ( x, y, μ )
Se consider ă că Pm = ct . În aceste condiţii, punctele de echilibru sunt definite de setul de ecua ţii algebrice:
(11)
ωr − ω0 =0 ω0 Pm − P e = 0 ω=
(12) (13)
în care: x este vectorul variabilelor dinamice de stare, y -
vectorul variabilelor algebrice de stare,
obţinut prin anularea derivatelor în raport cu timpul în rela ţiile (8) şi (9).
μ -
vectorul parametrilor.
Având în vedere expresia (10) a puterii electromagnetice, pentru Pm < P emax există două puncte de echilibru A şi B (figura 3.14).
Observa ţ ii: a) în cazul analizat, vectorul variabilelor dinamice de stare este x = [ω, δ ] , iar vectorul parametrilor este μ = [ Pm , U s ] ; b) prin înserierea reactanţelor, nodurile intermediare din schema echivalentă au fost eliminate şi odată cu ele s-au eliminat şi variabilele algebrice y reprezentate de modulele şi argumentele tensiunilor acestor noduri;
P e
A
δΑ=δ0
Stabilitatea la mici perturbaţii sau stabilitatea local ă se refer ă la comportamentul sistemului electroenergetic, în jurul unui punct de echilibru, în cazul unor perturba ţii de mică amplitudine. Ea reprezint ă proprietatea care permite sistemului s ă revină într-un regim de func ţionare identic sau apropiat de regimul anterior perturba ţiei, după cum aceasta este trecătoare sau permanent ă. În cazul în care se neglijeaz ă influenţa sistemelor de reglare automat ă, stabilitatea la mici perturba ţii a unui SEE se nume şte stabilitatea natural ă şi vizează următoarele două aspecte: natura punctului de echilibru;
(ii)
identificarea frecven ţ elor proprii de oscila ţ ie.
B
A'
3.3.2 Stabilitatea la mici perturba ţii
(i)
C
max
P e
P m=ct B'
π/2
P m-ΔP m
δΒ=π−δ0
δ
Fig.3.14. Punctele de echilibru Se poate demonstra că punctul A este un punct stabil de func ţionare, iar B unul instabil. Într-adev ăr, dacă se consider ă o mică variaţie a Δ P m a puterii mecanice de la valoarea Pm = P e la valoarea Pm' = Pm − ΔPm < P e , atunci rotorul este frânat şi, conform ecua ţiei de mişcare, unghiul rotoric δ scade. Dacă în starea iniţială sistemul se află în punctul A, atunci acesta se îndreaptă către noul punct de echilibru A’ şi deci este stabil. În schimb, dacă în starea ini ţială sistemul se află în punctul B atunci, prin sc ăderea unghiului rotoric δ acesta se îndep ărtează de noul punct de echilibru B’ şi, prin urmare, este instabil.
3.3.2.1. Criteriul practic de stabilitate unghiular ă la mici perturbaţii
12
Având în vedere cele men ţionate rezultă că punctele A de pe ramura
Re(λi ) < 0 ∀i = 1, 2,..., m
dP din stânga a caracteristicii P − δ , caracterizate de > 0 , respectiv d δ
atunci sistemul este stabil . Dacă există cel puţin o valoare proprie care are partea real ă pozitivă, atunci sistemul este instabil .
π δ < , sunt puncte stabile de func ţionare, iar cele situate pe ramura din 2 dP π dreapta a caracteristicii, caracterizate de < 0 , respectiv δ > , sunt d δ 2 π puncte instabile de funcţionare. Punctul C , caracterizat de δ = , se 2
În cazul în care una sau mai multe valori proprii au partea real ă nulă (sunt situate pe axa imaginar ă) atunci nu se pot trage concluzii referitoare la stabilitatea sistemului şi se impune utilizarea altor metode de evaluare. Pentru a analiza stabilitatea la mici perturba ţii a generatoarelor centralei electrice, se liniarizeaz ă ecuaţii diferenţiale (8) şi (9) în jurul punctului de echilibru analizat, rezultând:
numeşte punct critic şi reprezintă un punct de bifurca ţie statică în evoluţia dinamică a sistemului.
d Δω ∂ f1 ∂f = Δω + 1 Δδ dt ∂ω ∂δ d Δδ ∂ f 2 ∂f 2 = Δω + Δδ dt ∂ω ∂δ
Analiza calitativă efectuată anterior poate fi realizat ă cantitativ folosind tehnica analizei modale, prezentat ă în paragraful urm ător. 3.3.2.2. Tehnica analizei modale
d Δx = A ⋅ Δx dt
⎥⎢
⎥
D ⎦ ⎣ Δy ⎦
⎡ ∂ f1 D ⎢ a11 = ∂ω = − T a A=⎢ ⎢ ∂ f 2 = ω0 = 2πf ⎢ a21 = ∂ω ⎣
(12)
În ipoteza că matricea D nu este singular ă, prin eliminarea abaterilor variabilelor algebrice de stare Δy , din relaţia matriceală (12) se ob ţine matricea de stare: A = A '− B D −1C
(15')
în care matricea de stare A este:
În cazul unui SEE, al c ărui comportament dinamic este descris de sistemul hibrid EAD, pentru formarea matricei de stare, mai întâi se liniarizează setul de ecuaţii (11) în jurul punctului de echilibru analizat rezultând: B ⎤ ⎡ Δx ⎤
(15)
sau, sub form ă matriceală:
Metoda general ă de evaluare a stabilit ăţ ii locale, în jurul unui punct de echilibru x = x 0 , a unui sistem dinamic neliniar const ă în formarea matricei de stare şi calculul valorilor proprii ale acesteia.
⎡ d Δx ⎤ A ' ⎢ dt ⎥ = ⎡ ⎢ ⎥ ⎢⎣ C 0 ⎣ ⎦
(14)
Valoarea P s =
a12 =
⎤ ∂f 1 1 ∂ P e 1 E gU S cos δ⎥ =− =− ∂δ Ta ∂δ T a X e ⎥ ⎥ ∂f 2 a22 = =0 ⎥ ∂δ ⎦
∂ P e E gU S cos δ se numeşte putere sau coeficient de = ∂δ X e
sincronizare. Prin urmare, matricea de stare este:
(13)
⎡ D P s ⎤ − ⎥ ⎢− T a A = ⎢ Ta ⎥ ⎢⎣ ω0 a0 ⎥⎦
Stabilitatea punctului de echilibru analizat este determinat ă de valorile proprii ale matricei de stare A, definită de relaţia (13), astfel: Dacă valorile proprii λ i ale matricei de stare satisfac condi ţia
13
(17)
(16)
iar ecuaţia caracteristică:
•
⎡ − D − λ − P s ⎤ s T a ⎥ = λ 2 + D λ + P det( A − λI ) = ⎢⎢ Ta ω =0 ⎥ Ta T a 0 ⎢⎣ ω0 ⎥ −λ ⎦
punct , punctul critic sau punctul de bifurca ţ ie statică C .
(18)
Cazul II D ≠ 0
În acest caz, stabilitatea sistemului depinde atât de D , cât şi de P s .
Valorile proprii ale matricei de stare sunt r ădăcinile ecuaţiei caracteristice (18), adic ă:
λ1,2 =
− D ± D 2 − 4 P sT aω0 2T a
π reprezintă limita de stabilitate. Pentru aceast ă valoare a 2 lui δ cele două puncte de echilibru A şi B se unesc într-un singur δ=
•
(19)
π ⇒ P s > 0 , iar stabilitatea depinde valoarea lui 2 D . Astfel, dacă D > 0 , atunci sistemul este stabil. Într-adevăr: Dacă δ <
-
Analizând expresiile valorilor proprii se constat ă că valorile acestora şi, în mod implicit, stabilitatea sistemului depind atât de coeficientul de amortizare D, cât şi de puterea de sincronizare P s . În acest sens, se disting
partea reală −
următoarele cazuri: -
Cazul I D = 0
În acest caz, valorile proprii sunt:
λ1,2 =
Pentru δ <
Pentru δ >
P D < 0 , iar produsul λ1 ⋅λ 2 = s ω0 > 0 . T a T a
Prin urmare cele dou ă valori proprii sunt negative, iar sistemul este stabil. În schimb, dac ă D < 0 , atunci repetând ra ţionamentul anterior, rezultă că sistemul este instabil. Astfel:
π ⇒ P s > 0 şi, conform relaţiei (20), valorile 2
-
proprii sunt pur imaginare ceea ce corespunde unui proces oscilatoriu neamortizat;
•
dacă D 2 − 4 PT s a ω0 > 0 , atunci r ădăcinile λ1 şi λ 2 ale ecuaţiei de gradul II (18) sunt reale, dar suma lor este
λ1 + λ2 = − (20)
D negativă, deci sistemul este stabil; 2T a
E gU S cos δ rezultă: X e
Ţinând cont că P s =
•
± −4 PT s a ω0 2T a
dacă D 2 − 4 PT s a ω0 < 0 , atunci, conform rela ţiei (19), cele două valori proprii sunt complex conjugate şi au
dacă D 2 − 4 PT s a ω0 < 0 , atunci, conform rela ţiei (19), cele două valori proprii sunt complex conjugate şi au partea reală −
π ⇒ P s < 0 şi, conform relaţiei (20), valorile 2
-
proprii sunt reale: una negativ ă şi alta pozitivă. Prin urmare sistemul este instabil.
dacă D 2 − 4 PT s a ω0 > 0 , atunci r ădăcinile λ1 şi λ 2 ale ecuaţiei de gradul II (18) sunt reale, dar suma lor este
λ1 + λ2 = − 14
D pozitivă, deci sistemul este instabil; 2T a
P D > 0 , iar produsul λ1 ⋅λ 2 = s ω0 > 0 . T a T a
Puterea electromagnetică a generatorului în studiu se exprim ă sub forma (25) în cele 3 etape ale regimului tranzitoriu astfel: (i) În regimul permanent normal, anterior apari ţiei perturbaţiei (cu ambele circuite ale liniei în func ţiune): E ' U P e( n ) = ( n )S sin δ (26) X e în care: X e( n) = X d' + X T +
( X d' + X T ) X L kX L obţinută prin aplicarea transform ării Y → Δ stelei constituită din reactanţele X Y,1 = X d' + X T , X Y, 2 = X L şi X Y,3 = kX L (figura 3.16,b). În cazul în care defectul se produce în imediata vecin ătate a bornelor transformatorului bloc (nodul 3 din figura 3.16, b), atunci k = 0 şi, prin urmare, X eav → ∞ , respectiv P e(av ) = 0 . Acesta este cazul cel mai defavorabil deoarece puterea de accelerare Pa = Pm − Pe = P m este maximă. X e( av ) = X d' + X T + X L +
X L 2
(1-k)L
kL
(iii) În regimul tranzitoriu dup ă avarie (defectul a fost eliminat prin deconectarea circuitului avariat simultan la ambele capete):
a)
P e( d .av ) =
3
jX L
1 jX g
2
E 'U S sin δ X e( d .av )
(28)
în care X e( d .av ) = X ' + X T + X L .
jX T
Prin urmare, în situa ţia cea mai defavorabilă, expresia puterii electromagnetice este:
E g '
jkX L
j(1-k)X L
⎧ E ' U S ⎪ ( n ) sin δ pentru t < t 0 = 0 ⎪ X e ⎪ Pe = ⎨ pentru 0 ≤ t < t d 0 ⎪ E ' U S ⎪ sin δ pentru t ≥ t d ⎪⎩ X e( d .av )
U S
b) Fig. 3.16. Schema sistemului electroenergetic pentru studiul stabilit ăţii tranzitorii folosind criteriului ariilor egale a) şi schema echivalent ă de calcul b) (ii) Pe durata avariei/perturbaţiei, când se produce un scurtcircuit trifazat pe unul dintre circuitele liniei electrice la o distanţă k ⋅ L faţă de bornele de înaltă tensiune ale transformatorului bloc (fig. 3.16,b): E ' U P e( av ) = ( avS ) sin δ X e ( av ) în care reactan ţa X e se determină cu relaţia
(29)
Pe baza relaţiei (29) se traseaz ă caracteristicile tranzitorii P − δ (putere – unghi) corespunz ătoare celor trei etape ale regimului tranzitoriu prezentate în figura 3.17. Înainte de apariţia defectului, când ambele circuite ale liniei electrice sunt în funcţiune, punctul de func ţionare a se află la intersecţia dintre caracteristica curba P e( n ) (δ) şi dreapta corespunzătoare puterii mecanice Pm = ct . şi îi corespunde unghiul rotoric δ0 . La apariţia scurtcircuitului trifazat, punctul de funcţionare trece brusc în punctul b de pe caracteristica tranzitorie de avarie pentru că, datorită iner ţiei, unghiul δ nu se poate modifica brusc. Deoarece în
(27)
17
Fiind cunoscută valoarea unghiului critic δcrit , se poate determina timpul de deconectare corespunz ător acestui unghi, numit timpul critic de eliminare a defectului t crit , rezolvând ecua ţia δ(t ) = δcrit . În acest sens, mai întâi se determină δ(t ) prin integrarea ecua ţiei de mişcare. Având în vedere c ă în perioada de defect P e( av ) = 0 , conform rela ţiei (22) avem:
ω d 2δ ω0 = ( Pm − Pe ) = 0 P m 2 T a dt Ta
(35)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (35) este: ω t 2 (36) δ(t ) = 0 ⋅ Pm ⋅ + C1t + C2 T a 2 Constantele de integrare C 1 şi C 2 se determină din condiţiile iniţiale. d δ Astfel, ţinând cont că: = ω0 ω t =0 = 0 şi δ t =0 = δ0 rezultă C 1 = 0, dt t =0 respectiv C 2 = δ0 . ω t 2 Deci δ(t ) = 0 ⋅ P m ⋅ + δ 0 . Impunând condi ţia δ(t ) = δ crit se obţine T a 2 valoarea timpului critic de deconectare a liniei avariate: t crit =
2T a ⋅ (δ − δ ) ω0 P m crit 0
(37)
19
