2). Profundidad 8na piscina tiene )# metros de largo = de anco & una pro"undidad que oscila desde ) asta $ m !ver la "igura%. 'e bombea agua en ella a razón de )1/ de metro c;bico por minuto & &a a& ) m de agua en el e0tremo más pro"undo. a% 2Iu3 porcentaje de la piscina está lleno4 b% 26 qu3 razón se eleva el nivel del agua4
'olución+ !a%
1 2
(2 ) ( 12 ) ( 6 ) + ( 1 ) ( 6 ) ( 12 ) =144 m3
h = 1 m , != #
h 2
=
! 12
V 1=
1 2
$ ! =6 h $ !=6 ( 1 ) =6 m
( 1 ) ( 6 ) ( 6 )=18 m3
Porcentaje de la piscina lleno
!b% Ecuación:
Ritmo dado:
V =
1 2
¿
18 144
% 100 =12,5
( h ) ( ! ) ( 6 )=( h ) ( 6 h ) ( 3 )=18 h
2
dV =144 m3 / min ( razón connstante) dt
Encontrar : dh / dt
cuando
h =1 m
dV dh dh dV 1 =36 h $ = ( ) dt dt dt 36 h dt dh 1 ( 144 )= 4 m / min = dt 36 ( 1 )
2*. Profundidad 8na artesa tiene )# pies de largo & $ de anco en su parte superior !ver la "igura% sus e0tremos tienen "orma de triángulo isósceles con una altura de $ pies. a% 'i se vierte agua en ella a razón de # pies c;bicos por minuto 2a qu3 razón sube el nivel del agua cuando a& ) pie de pro"undidad de agua4 b% 'i el agua sube a una razón de 3 / 8 de pulgada por minuto cuando h =2 determinar una razón al que se está vertiendo agua en la artesa.
'olución+
24. Escalera deslizante 8na escalera de #9 pies de longitud está apo&ada sobre una pared !ver la "igura%. 'u base se desliza por la pared a razón de # pies por segundo. a% 26 qu3 razón está bajando su e0tremo superior por la pared cuando la base está a A )9 & #/ pies de la pared4 b% ,eterminar la razón a la que cambia el área del triángulo "ormado por la escalera el suelo & la pared cuando la base de la primera está a A pies de la pared. c % *alcular la razón de cambio del ángulo "ormado por la escalera & la pared cuando la base está a A pies de la pared.
'olución+
26. Construcción 8n obrero levanta con a&uda de una soga un tablón de cinco metros asta lo alto de un edi"icio en construcción !ver la "igura%. 'uponer que el otro e0tremo del tablón sigue una tra&ectoria perpendicular a la pared & que el obrero mueve el tablón a razón de :.)9 m1s. 26 qu3 ritmo desliza por el suelo el e0tremo cuando está a #.9 m de la pared4
'olución+
2. Construcción 8na polea situada en lo alto de un edi"icio de )# metros levanta un tubo de la misma longitud asta colocarlo en posición vertical como se muestra en la "igura. 5a polea recoge la cuerda a razón de (:.# m1s. *alcular las razones de cambio vertical & orizontal del e0tremo del tubo cuando y G =.
'olución+
25. Naveación 8n velero es arrastrado acia el muelle por medio de una polea situada a una altura de )# pies por encima de la quilla del barco !ver la "igura%. a% 'i la cuerda se recoge a razón de / pies por segundo determinar la velocidad del velero cuando quedan )$ pies de cuerda sin recoger. 2Iu3 ocurre con la velocidad del velero a medida que el barco se acerca más al muelle4 b% 'uponiendo que el bote se mueve a un ritmo constante de / pies por segundo determinar la velocidad a la que la polea recoge la cuerda cuando quedan )$ pies de ella por recoger. 2Iu3 ocurre con la velocidad de la polea a medida que el barco se acerca más al muelle4
'olución+
27. Control de tr!fico a"reo 8n controlador detecta que dos aviones que vuelan a la misma altura tienen tra&ectorias perpendiculares & convergen en un punto !ver la "igura%. 8no de ellos está a ##9 millas de dico punto & vuela a /9: millas por ora. -l otro está a $:: millas & se desplaza a =:: millas1. a% 26 qu3 ritmo se reduce la distancia entre ellos4 b% 2,e cuánto tiempo dispone el controlador para modi"icar la ruta de alguno de ellos4
'olución+
)8. Control de tr!fico a"reo 8n avión vuela a 9 millas de altura & pasa e0actamente por encima de una antena de radar !ver la "igura%. *uando el avión está a ): millas ! s G ):% el radar detecta que la distancia s está cambiando a una velocidad de #/: millas1. 2*uál es la velocidad del avión4
'olución+
)(. #eportes 8n campo de b3isbol tiene "orma de un cuadrado con lados de F: pies !ver la "igura%. 'i un jugador corre de segunda a tercera a #9 pies por segundo & se encuentra a #: pies de la tercera base 2a qu3 ritmo está cambiando su distancia s respecto a home4
'olución+
)2. #eportes -n el campo de b3isbol del ejercicio anterior suponer que el jugador corre desde primera asta segunda base a #9 pies por segundo. *alcular la razón de cambio de su distancia con respecto a home cuando se encuentra a #: pies de la segunda base.
)). $onitud de una som%ra 8n ombre de = pies de altura camina a 9 pies por segundo alejándose de una luz que está a )9 pies de altura sobre el suelo !ver la "igura%. *uando este ombre está a ): pies de la base de la luz+ a% 2a qu3 velocidad se mueve el e0tremo de su sombra4 b% 2a qu3 razón está cambiando la longitud de su sombra4
)*. $onitud de una som%ra Repetir el ejercicio anterior suponiendo aora que el ombre camina hacia la luz & que 3sta se encuentra situada a #: pies de altura !ver la "igura%.
)4. #ise&o de m!'uinas 5os e0tremos de una varilla móvil de ) m de longitud tienen coordenadas ! x :% & !: y % !ver la "igura%. 5a posición del e0tremo que se apo&a en el eje x es 1 πt x ( t )= sen 2
6
donde t se mide en segundos. a% *alcular la duración de un ciclo completo de la varilla. b% 2*uál es el punto más bajo que alcanza el e0tremo de la varilla que está en el eje y 4 c % -ncontrar la velocidad del e0tremo que se mueve por el eje y cuando el otro está en ( 1 / 4 , 0 ) .
)6. #ise&o de m!'uinas Repetir el ejercicio anterior para una "unción de posición 3
x ( t )= sen ( πt ) 5
8tilizar el punto
( 3 / 10 , 0 ) para el apartado c %.
). Evaporación 6l caer una gota es"3rica alcanza una capa de aire seco & comienza a evaporarse 2 a un ritmo proporcional a su área super"icial ! & = 4 π r %. ,emostrar que el radio de la gota decrece a ritmo constante.
Para disc!si%n )5. 8tilizando la grá"ica de f a% determinar si dy / dt es positiva o negativa dado que negativa & b% determinar si dx / dt es positiva o negativa dado que dy / dt es positiva.
dx / dt
es
)7. Electricidad 5a resistencia el3ctrica combinada R de R ) & R # conectadas en paralelo es dada por 1
=
1
+
1
' '1 '2
donde R R ) & R # se miden en omios. R ) & R # están creciendo a razón de ) & ).9 omios por segundo respectivamente. 26 qu3 ritmo está cambiando R cuando R ) G 9: & R # G A9 omios4
*8. Expansión adia%!tica *uando cierto gas poliatómico su"re una e0pansión adiabática su presión 1.3 p & su volumen V satis"acen la ecuación (V =) donde k es una constante. -ncontrar la relación que e0iste entre las razones
dp / dt &
dV / dt .
*(. #ise&o de autopistas -n cierta autopista la tra&ectoria de los automóviles es un arco circular de radio r . *on el "in de no depender totalmente de la "ricción para compensar la "uerza centrí"uga se constru&e un peralte con un ángulo de inclinación θ sobre la orizontal !ver la "igura%. -ste ángulo satis"ace la ecuación
rgtanθ =v
2
donde v es la velocidad de los automóviles & G $# pies por
segundo al cuadrado es la aceleración de la gravedad. -ncontrar la relación que e0iste entre las razones de cambio relacionadas dv / dt & dθ / dt .
*2. Ánulo de elevación 8n globo asciende a / metros por segundo desde un punto del suelo a 9: m de un observador. *alcular la razón de cambio del ángulo de elevación del globo cuando está a 9: metros de altura.
*). Ánulo de elevación -l pescador de la "igura recoge sedal para capturar su pieza a razón de ) pie por segundo desde un punto que está a ): pies por encima del agua !ver la "igura%. 26 qu3 ritmo cambia el ángulo θ entre el sedal & el agua cuando quedan por recoger #9 pies de sedal4
**. Ánulo de elevación 8n avión vuela a 9 millas de altitud & a una velocidad de =:: millas por ora acia un punto situado e0actamente en la vertical de un observador !ver la "igura%. 26 qu3 ritmo está cambiando el ángulo de elevación θ cuando el ángulo es a% θ=30 * b% θ= 60 * & c % θ=75 * 4
*4. Velocidad lineal y velocidad anular 5a patrulla de la "igura está estacionada a 9: pies de un largo almac3n. 5a luz de su torreta gira a $: revoluciones por minuto. 26 qu3 velocidad se está moviendo la luz a lo largo del muro cuando el az "orma ángulos de a% θ=30 * b% θ= 60 * & c % θ=70 * 4
*6. Velocidad lineal y velocidad anular 8na rueda de $: cm de radio gira a razón de ): vueltas por segundo. 'e pinta un punto ! en su borde !ver la "igura%. a% -ncontrar dx / dt como "unción de θ . b% 8tilizar una erramienta de gra"icación para representar la "unción del apartado a%. c % 2*uándo es ma&or el valor absoluto del ritmo de cambio de x 4 2& el menor4 d % *alcular dx / dt cuando θ=30 * & θ= 60 * .
*. Control de vuelo 8n avión vuela en condiciones de aire en calma a una velocidad de #A9 millas por ora. 'i asciende con un ángulo de )BJ calcular el ritmo al que está ganando altura.
*5. C!mara de viilancia 8na cámara de vigilancia está a 9: pies de altura sobre un vestíbulo de ):: pies de largo !ver la "igura%. -s más "ácil diseDar la cámara con una velocidad de rotación constante pero en tal caso toma las imágenes del vestíbulo a velocidad variable. -n consecuencia es deseable diseDar un sistema con velocidad angular variable de modo tal que la velocidad de la
toma a lo largo del vestíbulo sea constante. -ncontrar un modelo para la velocidad variable de rotación adecuado si |dx / dt |=2 pies por segundo.
*7. Para pensar ,escribir la relación que e0iste entre la razón de cambio de y & el de x en los casos siguientes. 'uponer que todas las variables & derivadas son positivas. dy dx dy dx a ¿ = 3 ! ¿ = x ( + − x ) , 0 x + dt dt dt dt
(celeración En los e"ercicios 48 4(0 calc!lar la aceleraci%n del ob"e'o es#eci+icado. 9Suerencia: Recordar 1!e si !na -ariable cambia a -elocidad cons'an'e0 s! aceleraci%n es n!la.: 48. *alcular la aceleración del e0tremo superior de la escalera del ejercicio #9 cuando su base está a A pies de la pared.
4(. *alcular la aceleración del velero del ejercicio #B a cuando "altan por recoger )$ pies de cuerda.
42. )odelo matem!tico 5a siguiente tabla muestra el n;mero de mujeres solteras s !nunca casadas% & casadas m !en millones% en el mundo laboral estadounidense desde )FFA asta #::9. !"uente+ #$%$ &ureau of 'abor %tatistics %
a% 8tilizar las "unciones de regresión de su erramienta de gra"icación para encontrar un modelo de 3 2 la "orma m ( s ) =a s + ! s + cs + d para esos datos donde t es el tiempo en aDos siendo t G A el aDo
)FFA. b% -ncontrar
dm / dt . ,espu3s utilizar ese modelo para estimar
dm / dt
para
t =10 si se
supone que el n;mero de mujeres solteras s que "orman parte de la "uerza de trabajo va a crecer a razón de :.A9 millones al aDo.
4). Som%ra en movimiento 'e deja caer una pelota desde una altura de #: m a una distancia de )# m de una lámpara !ver la "igura%. 5a sombra de la pelota se mueve a lo largo del suelo. 26 qu3 ritmo se está moviendo la sombra ) segundo despu3s de soltar la pelota4 ! (nviado por Dennis )ittiner* %t$ !hilips +ollee* %an Antonio* ,- %
