dt = 4 y ds / d d t = - 3, determ termiine d v/ v/ dt dt cuando r = 3 y s = 1. 10. Si r + s2 + v3 = 12, dr / dt
(MALO) Solución: (CORRECCIÓN) Solución: (CORRECCIÓN) Tenemos que:
Cuando r = 3 y s = 1, tenemos:
Derivando implícitamente (1) con respecto al tiempo:
Reemplazando los datos que nos dan:
origina inal de 24 m del lado lado x de un cu bo dis disminuy minuye a r azó zón n de 5 m/ min in,, 11. Si la longitud orig cuando ndo x x = 3 m, m, ¿a ¿a qué r azón azón cambi mbiaa a. el el ár ea de la sup supeer f fi cie del cubo ubo? b. el el volume olumen?
(BUENO) Solución: a. Nos piden calcular una variación de superficie de un cubo. Sabemos que la superficie de un cubo es:
Y además, sabemos por los datos del problema que dx/dt = -5 m/min, y nos piden ds/dt cuando x = 3 m. Entonces, derivando implícitamente (1) con respecto al tiempo:
Reemplazando los datos del problema:
2
Entonces, la superficie disminuye a razón de 180 m por min. b. Sabemos que el volumen de un cubo es:
Derivando implícitamente con respecto al tiempo:
Y reemplazando los datos del problema:
3
Entonces, el volumen disminuye a razón de 135 m por min.
12. La su per f icie del área de un cu bo aumenta a r azón de 72 in2/seg. ¿A qué tasa cam bia el volumen del cu bo cuando la longitud del lado es x = 3 in? (MALO)
Solución: (CORRECCIÓN) Sabemos que el área de un cubo es:
Y el volumen de un cubo es:
2
Por los datos del problema, tenemos que dA/dt = 72 in /seg y nos piden calcular dV/dt cuando x = 3 in. Entonces, derivando implícitamente (1) con respecto al tiempo:
Reemplazando los datos del problema:
Luego, derivando implícitamente (2) con respecto al tiempo:
Y reemplazando los datos del problema y el dato obtenido de (1):
( ) 3
Entonces, el volumen del cubo cambia a una tasa de 18 in por segundo.
13. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto están relacionados con el volumen V del cilindro mediante la fórmula
.
a. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dh/dt si r es constante? b. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dr/dt si h es constante? c. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dr/dt y dh/dt si ni r y ni h son constantes?
(BUENO) Solución: a. Primero se tiene en cuenta que se trabajara en términos de d/dt, por consiguiente r y h están en función de t , por lo que r(t), h(t). Ahora se deriva implícitamente la fórmula del volumen de un cilindro, esto quiere decir:
( ) Ahora, si se considera r como una constante (es decir, dr/dt = 0), al derivar la fórmula de volumen, se podrá obtener:
Se puede llegar a la conclusión de que la relación que existe entre dV/dt y dh/dt es 2
que dV/dt es igual al área de un círculo (π r ), multiplicado por la derivada de h en función de t. b. Se trabaja de la misma manera que en el enunciado anterior, en términos de d/dt, por consiguiente r y h están en función de t , por lo que r(t), h(t) y luego se realiza la misma derivación implícita:
( ) En este caso, se está considerando h como una constante (es decir, dh/dt = 0), y al ser derivada la fórmula con dicha condición resulta lo siguiente:
Y tras esta ecuación se podría decir que la relación entre dV/dt y dr/dt es que dV/dt es igual al área de un cilindro (sin contar la cara superior y basal, es decir, 2π r h), multiplicado por dr/dt. c. De la misma forma anterior, se trabaja en términos de d/dt, por consiguiente r y h están en función de t , por lo que r(t), h(t). Ahora se deriva implícitamente la fórmula del volumen de un cilindro, esto quiere decir:
( ) Y como ni h ni r son constantes, la fórmula queda tal cual.
14. El radio r y la altura h de un cono circular recto están relacionados con el volumen V 2
del cono mediante la ecuación V = (1/3) π r h. a. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dh/dt si r es constante? b. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dr/dt si h es constante? c. ¿Cómo está relacionada dV/dt con dr/dt y dh/dt si ni r y ni h son constantes?
(NO ME ENVIARON EL DESARROLLO) Solución: (HECHA POR MÍ) Sabemos que:
Derivando implícitamente con respecto a t, tenemos:
( ) a. Si r es constante, dr/dt = 0, entonces de (1) se obtiene:
Encontrando así la relación de dV/dt con dh/dt. b. Si h es constante, dh/dt = 0, entonces de (1) se obtiene:
Encontrando así la relación entre dV/dt con dr/dt. c. Si ni r y ni h son constantes, entonces nos queda la relación de (1):
( ) Encontrando así la relación de dV/dt con dr/dt y dh/dt.
15. El voltaje V (en volts), la corriente I (en amperes) y la resistencia R (en ohms) de un circuito eléctrico, como el que se ilustra aquí, están relacionados mediante la ecuación V=IR. Suponga que V aumenta a razón de 1 volt/seg, mientras que I disminuye a razón de 1/3 de amp/seg. Con t se denota el tiempo en segundos.
a. ¿Cuál es el valor de dV/dt ? b. ¿Cuál es el valor de dI/dt ? c. ¿Qué ecuación relaciona a dR/dt con dV/dt y dI/dt ? d. Determine la razón a la que cambia R cuando V = 12 volts e I = 2 amp. ¿ R aumenta o disminuye?
(BUENO) Solución: a. Como V aumenta a razón de 1 volt/seg, se infiere que:
[] b. Como I disminuye a razón de 1/3 de amp/seg, se infiere que:
[]
c. Sabemos que:
Como V, I y R están en función del tiempo, implica que V= V(t), I= I(t) y R= R(t), entonces, derivando implícitamente con respecto al tiempo se tiene:
Luego, despejamos dR/dt para obtener su relación con dV/dt y dI/dt:
d. Cuando V= 12 volts e I= 2 amp, tenemos que:
Entonces, de la ecuación obtenida en c. y los datos obtenidos, tenemos:
[] Luego, se infiere que R aumenta en 3 ohms cada 2 seg.
16. El potencial eléctrico P (en watts) de un circuito eléctrico está relacionado con la resistencia del circuito R (en ohms) y la corriente I (en amperes) mediante la ecuación 2
P=RI . a. ¿Cómo están relacionadas dP/dt , dR/dt y dI/dt si P , R e I no son constantes? b. ¿Cómo está relacionada dR/dt con dI/dt si P es constante?
(BUENO)
Solución: a. Sabemos que:
Derivando implícitamente con respecto al tiempo, obtenemos:
Encontrando así su relación si no son constantes. b. De lo anterior, si P es constante, dP/dt = 0, entonces:
Luego, despejamos dR/dt para encontrar su relación con dI/dt:
17. Sean x e y funciones derivables de t , y sea
√ la distancia entre los puntos
(x,0) y (0,y) en el plano xy. a. ¿Cómo está relacionada ds/dt con dx/dt si y es constante? b. ¿Cómo está relacionada ds/dt con dx/dt y dy/dt si ni x ni y son constantes? c. ¿Cómo está relacionada dx/dt con dy/dt si s es constante?
(BUENO) Solución: a. Si x e y son funciones derivables de t , entonces x= x(t) e y= y(t). Entonces tenemos que:
√ Derivando implícitamente (1) con respecto a t y con y constante, tenemos:
√ √ Encontrando así la relación de ds/dt con dx/dt. b. Derivando implícitamente (1) con respecto a t ni con x ni y constante, tenemos:
( ) √ √ √ Encontrando así la relación de ds/dt con dx/dy y dy/dt. c. Tenemos:
√ Derivando implícitamente (2) con respecto a t y con s constante, tenemos:
Encontrando así la relación de dx/dt con dy/dt
18. Si x, y y z son las longitudes de los lados de una caja rectangular, la longitud común de las diagonales de la caja es
√ .
a. Suponiendo que x, y y z son funciones derivables de t , ¿cómo está relacionada ds/dt con dx/dt , dy/dt y dz/dt ? b. ¿Cómo está relacionada ds/dt con dy/dt y dz/dt si x es constante? c. ¿Cómo están relacionadas dx/dt , dy/dt y dz/dt si s es constante?
(BUENO) Solución: a. Si x, y y z son funciones derivables de t, se tiene x= x(t), y= y(t), z= z(t). Sabemos que:
√ Entonces derivamos implícitamente con respecto a t, y nos queda:
) ( √ √ √ √ Encontrando así la relación de ds/dt con dx/dt, dy/dt y dz/dt. b. Si x es constante, tenemos que dx/dt = 0. Entonces, de (1) se obtiene:
√ √ Encontrando así la relación de ds/dt con dy/dt y dz/dt. c. Ahora si s es constante, tenemos que ds/dt = 0. Entonces, de (1) se obtiene:
√ √ √ Encontrando así la relación entre dx/dy, dy/dz y dz/dt.
