Razones de Cambio en las Ciencias Naturales y Sociales
Fís i c a
LA VELOCIDAD Consideremos un objeto que se mueve el línea recta (a este movimiento se le llama movimiento rectilíneo). Seleccionemos un punto de la recta y representémoslo con la letra O. Supongamos ahora que si el objeto se mueve a la derecha de O el desplazamiento será positivo y que si se mueve a la izquierda de O el desplazamiento será negativo. Sea la función f que determina la distancia dirigida de la partícula desde O en cualquier momento determinado. Sea s centímetros (cm), o cualquier otra unidad de longitud, la distancia de la partícula desde O a los t segundos (s), o cualquier otra unidad de tiempo. Entonces f es la función definida por lo cual da la distancia dirigida del punto O a la partícula en un instante determinado. Supongamos ; por lo tanto, la partícula está a a la izquierda del punto O. Entonces cuando , ; a la derecha del punto O en . . Cuando ; así la partícula está a
Entre el momento en que y , la partícula se desplaza desde el punto donde hasta el ; así, en el intervalo de 2s, el cambio en la distancia dirigida desde 0 es de . . punto donde ; La velocidad promedio de la partícula es la razón del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo al cambio en el tiempo.
Así, la velocidad promedio prom edio de la partícula, partí cula, en centímetros centím etros por segundo, desde hasta es de
. De a , el cambio en la distancia dirigida de la partícula, desde 0, es de , , y así la
velocidad media o promedio de la partícula, en centímetros por segundo, en este intervalo de 2 s es
.
En este ejemplo es obvio que la velocidad promedio de la partícula no es constante; y la velocidad media no proporciona una información específica acerca del movimiento de la partícula en cualquier instante determinado.
Supongamos que un automóvil recorre y este recorrido lo hace en decimos que la velocidad media para recorrer esa distancia es de . Sin embargo, a partir de esta información no podemos determinar la lectura del velocímetro del automóvil en ningún tiempo particular dentro del lapso de . La lectura del velocímetro, en un momento específico, se conoce como veloc idad ins tantánea (o simplemente velocidad). Hagamos un análisis para entender este término: Hagamos que la ecuación: , a (centímetros que hay en la distancia dirigida de la partícula, desde el punto O). como una función de t( la cantidad de segundos en tiempo). Cuando . El cambio en la distancia dirigida desde 0 es en el intervalo de tiempo , y la velocidad promedio de la partícula en ese intervalo esta dada por: O, como y , la velocidad promedio se calcula así:
(2)
Ahora bien, cuando más corto sea el intervalo de a , tanto más se acercará la velocidad promedio a lo que intuitivamente pensaríamos como la velocidad instantánea en . Por ejemplo, si la lectura del velocímetro de un auto al pasar por el punto , es de , y si un punto está por ejemplo, a , se aproxima a ya que la variación de la velocidad del coche, a lo largo de este corto espacio, es probablemente ligera. Ahora, si la distancia desde hasta fuera acortada a , la velocidad promedio del auto en este intervalo estaría aún más próxima a la indicación del velocímetro cuando pasa por . Podemos continuar este proceso, y la lectura del velocímetro en puede considerarse como el límite de la velocidad media entre y cuando se aproxima a . Es decir, la velocidad instantánea se puede definir como el límite del cociente (2) cuando se aproxima a , suponiendo que el limite existe. Este límite constituye la derivada de la función en . Tenemos entonces la siguiente definición: Si es una función definida por la ecuación: y una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta, tal que es el número de unidades en la distancia dirigida de la partícula, desde un punto fijo en la recta, a las unidades de tiempo, entonces la veloc idad ins tantánea de la partícula, en el instante , es unidades de velocidad, donde ⇔
La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, dependiendo de si la partícula se desplaza a lo largo de la recta en sentido positivo o negativo. Cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula esta en reposo.
La velocidad es un número no negativo. Los términos “velocidad” y “velocidad instantánea” se
confunden frecuentemente. El término velocidad, a secas, indica únicamente la rapidez con la cual se desplaza la partícula, en tanto que la velocidad instantánea implica la dirección y el sentido del movimiento. El concepto de velocidad, en el movimiento rectilíneo, corresponde al concepto más general de intensidad de cambio instantánea. Por ejemplo, si una partícula se desplaza a lo largo de un alínea recta, de acuerdo con la ecuación , la velocidad de la partícula, a las unidades de tiempo, se expresa por la derivada de con respecto a . Como la velocidad puede interpretarse como una tasa de variación de la distancia por unidad de cambio en el tiempo, la derivada de con respecto a es la intensidad (o razón) de cambio de por unidad de . En forma análoga, si una cantidad es función de una cantidad . El análisis es análogo al de la pendiente de una recta tangente a una gráfica y la velocidad instantánea de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta. Si la relación funcional entre y está dada por y si cambia del valor a ∆, entonces cambia de a ∆ Así, el cambio en , que podemos expresar por ∆ es ∆ cuando el cambio en es ∆. La intensidad media de cambio de por unidad de variación en , cuando cambia de a ∆, es entonces ∆ ∆
∆ ∆
(3)
Si el límite de este cociente existe cuando ∆ , este límite es lo que intuitivamente se considera como la razón instantánea de cambio de por unidad de cambio de en . En consecuencia, tenemos la siguiente definición. Si , la intensidad de cambio instantánea de por unidad de cambio de en es ′ o, forma equivalente, la derivada de con respecto a en si ésta existe ahí. T
′ ∆ ∆
∆
Entonces, si multiplicamos ′ por ∆ (el cambio en ) tenemos el cambio que ocurriría en si el punto fuera a moverse a lo largo de la recta tangente en de la gráfica de . Ver figura. El promedio de la intensidad de cambio de por unidad de cambio en está dado por la fracción en la ecuación (3), y si esto se multiplica por ∆ en cuando el punto se mueve a lo largo de la gráfica. Ejemplo 1: Una partícula se desplaza a lo largo
de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación: . Determinar los intervalos de tiempo cuando la partícula se desplace a la derecha y cuando lo haga a la izquierda. También determine el instante en que cambia de sentido el movimiento.
Solución:
La velocidad instantánea es cero cuando y . Por lo tanto, la partícula está en reposo en estos
dos momentos. La partícula se desplaza a la derecha cuando es positiva, y a la izquierda cuando es negativa. Determinamos el signo de para diferentes intervalos de y los resultados se dan a continuación:
Conclusión
-
-
es positiva, y la partícula se mueve hacia la derecha.
0
-
es cero, y cambia el sentido de su movimiento (de der. a iz.)
+
-
es negativa, y la partícula se mueve hacia la izquierda.
+
0
es cero, y cambia el sentido de su movimiento (de iz. a der.)
+
+
es positiva, y la partícula se mueve hacia la derecha.
Ejemplo 2: Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de
. Si el sentido positivo de la distancia, desde el punto de partida, es hacia arriba, la ecuación de movimiento es . Si es el tiempo, en segundos, que ha transcurrido desde el momento de lanzar la pelota, y en la distancia de la pelota, en metros, desde el punto de partida a los segundos, hallar: a) la velocidad instantánea de la pelota al término de 1s; b) la velocidad instantánea de la misma al término de 3s; c) ¿cuántos segundos tarda la pelota en alcanzar el punto más alto?; d) ¿qué altura máxima alcanzará la pelota?; e) la rapidez de la misma al término de 1 y 3 s; f)¿cuántos segundos tarda la pelota en llegar al suelo?; g) la velocidad instantánea de la pelota cuando llega al suelo. Solución:
es la velocidad instantánea de la pelota, en metros por segundo, a los segundos. a. ; así, al término de 1s la pelota esta subiendo con una velocidad instantánea de . b. ; así, al término de 3s la pelota está cayendo con una velocidad instantánea de . c. La pelota alcanza su punto más alto cuando el sentido del movimiento cambia, es decir cuando . Haciendo obtenemos . Por consiguiente, . d. Cuando ; por tanto, la pelota alcanza su punto más alto de sobre el punto de partida. e. || es la rapidez del objeto (en metros por segundo a los segundos. || y || .
f. La pelota llegará al suelo cuando . Haciendo tenemos , de lo cual obtenemos y . Consecuentemente, la pelota llegará al suelo en 4s. g. ; cuando la pelota llega al suelo, su velocidad instantánea es de
B io lo g ía Sea el número de individuos de una población de animales o plantas en el tiempo . El cambio del tamaño de la población entre los tiempos y es ∆ , de modo que la rapidez de crecimiento promedio durante el periodo es Rapidez de crecimiento promedio
∆ ∆
La rapidez instantánea de crecimiento se obtiene a partir de esta rapidez promedio al hacer que el periodo ∆ tienda a 0: Rapidez de crecimiento ∆
∆ ∆
En términos estrictos, esto no es muy exacto porque la gráfica real de una función de población sería una función escalón que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por lo tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, es posible reemplazar la gráfica con una curva de aproximación como en la siguiente figura. Ejemplo 1:
Consideremos una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Supongamos que, por medio de la toma de muestras de la población de ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es y el tiempo se mide en horas, en consecuencia. y en general,
La función de la población es , de la cual:
, por eso, la rapidez
de crecimiento de la población de bacterias, en el tiempo , es
Por ejemplo, suponga que inicia con una población inicial . En consecuencia, la rapidez de crecimiento después de 4 horas es
| Esto significa que, después de 4 horas, la población de baterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora. E j em p l o 2 : Cuando considera el flujo de la sangre por un vaso sanguíneo, como una vena o una
arteria, puede tomar la forma de un vaso como el de un tubo cilíndrico con radio y longitud , como se ve en la figura.
Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad de la sangre es máxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia al eje, hasta que se vuelve 0 en la pared. La relación entre y al eje, está dada por la ley del flujo laminar descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En ésta se afirma que
(1)
Donde es la viscosidad de la sangre y es la diferencia en la presión entre los extremos del tubo. Si y son constantes, en tal caso es función de , con dominio . La razón de cambio promedio de la velocidad, al moverse de hacia afuera, hasta es ∆ ∆ y si hace que ∆ , obtiene el gradiente de velocidad, es decir, la razón de cambio instantánea de la velocidad con respecto a : ∆ ∆ ∆
Al aplicar la ecuación (1) obtiene
Para una de las arterias humanas más pequeñas, puede tomar =0.027, , lo cual da
En la sangre fluye a una rapidez de y el gradiente de velocidad en ese punto es | Para tener una idea de lo que esto significa, cambie las unidades de centímetros a micrómetros ( . Por lo tanto el radio de la arteria es de , la cual disminuye hasta a una distancia de . El hecho de que
significa que cuando , la
velocidad disminuye en una cantidad de casi por cada micrómetro que se aleja del centro.
Qu ím ic a
REACCIONES QUIMICAS El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustancias (llamadas productos) a partir de uno o más materiales ( reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” Indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Consideremos la reacción donde y son los reactivos y es el producto. La concentración de un reactivo es el número de moles por l itro y se denota con . La concentración varía durante una reacción, de modo que son funciones del tiempo . La velocidad de reacción del producto en un intervalo de tiempo es ∆ ∆ Pero los químicos tienen más interés en la velocidad instantánea de reacción , la cual se obtiene tomando el límite de la velocidad promedio de reacción conforme el intervalo ∆ tiende a 0: ∆ ∆ ∆
Como la concentración del producto aumenta a medida que la reacción avanza, la derivada
será
positiva, y así la velocidad de reacción de es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reacción; por eso, para que las velocidades de reacción de y sean
números positivos, ponga signos negativos delante de las derivadas
y
. Dado que y
disminuyen con la misma rapidez que [C]crece, tiene
De modo más general, resulta que para una reacción de la forma
tiene
La velocidad de reacción se puede determinar a partir de datos y con mñetodos gráficos. En algunos casos existen fórmulas explícitas para las concentraciones como funciones del tiempo, que permiten calcular la velocidad de reacción.
Ec o n o m ía
COSTOS MARGINALES Y COSTOS TOTALES Costo Marginal
La variación de una cantidad con respecto a otra se describe por un concepto medio o promedio, o por un concepto marginal. El concepto “promedio” expresa la variación de una cantidad sobre un intervalo específico de valores de una segunda cantidad, mientras que el concepto “marginal” es el cambio instantáneo en la primera
cantidad que resulta de un cambio unitario muy pequeño en la segunda cantidad. Para definir el concepto marginal con precisión, utilizamos el concepto de límite, el cual nos lleva a la derivada. Supóngase que es el valor del costo total de la producción de mercancía. La función se denomina función del costo total. En condiciones normales, y son positivas. Como representa el número de unidades de cirta mercancía, suele ser un entero no negativo. Sin embargo para aplicar el cálculo suponemos que es un número real no negativo lo cual nos da los requisitos de continuidad para la función . El costo promedio de producción de cada unidad de una mercancía se obtiene al dividir el costo total entre el número de unidades producidas. Representado por el valor del costo medio tenemos
y recibe el nombre de función del costo promedio.
Ahora, supongamos que el número de unidades de cierta producción es y que ésta cambia en ∆. Entonces el cambio en el costo total está definido por ∆ , y el cambio promedio en el costo total con respecto al cambio en el número de unidades producidas está dado por (1) ∆ ∆ Los economistas emplean el término costo marginal para el límite del cociente en (1) cuando ∆ tiende a cero, con la condición de que exista dicho límite. Este límite, al ser la derivada de en , nos da la siguiente definición Si es el valor o importe del costo total de la producción de unidades de cierta mercancía, entonces el costo marginal, cuando , está dado por ′ si existe. La función ′ recibe el nombre de función del costo marginal.
Ejemplo 1: Suponiendo que es el número de dólares en el costo total de la manufactura de
juguetes, y a) La función del costo marginal es ′ y b) El costo marginal cuando está dado por ′ y Por lo tanto, la razón de cambio del costo total, cuando se fabrican 50 juguetes, es de $6 dólares por juguete. c) El número de dólares en el costo de la manufactura del juguete quincuagésimo primero es y Notemos que las respuestas en (b) y (c) difieren en 0.02. Esta discrepancia se produce porque el costo marginal es la razón de cambio instantánea de con respecto a un cambio unitario en . De aquí, ′ es el número aproximado de dólares en el costo de la producción de juguetes quincuagésimo primero. Observemos que el cálculo de ′, en el ejemplo, es más simple que el cálculo de . Por lo general, resulta más fácil calcular un valor de la función de costo marginal que calcular dos valores de la función del costo total. Por esta razón los economistas suelen aproximar el costo de la producción de una unidad más, empleando la función de costo marginal. Específicamente, ′ dólares representa el costo aproximado de la -ésima unidad después de que se han producido unidades. Ejemplo 2: Consideremos una función lineal del costo total.
Observemos que representa el costo indirecto. El costo mafinal está dado por . Si es la función del costo promedio,
y
La curva del costo total es un segmento rectilíneo e el primer cuadrante cuya pendiente es , y es la intersección con el eje . La curva del costo promedio es una rama de una hipérbola equilátera en el primer cuadrante que tiene como asíntota horizontal la recta . Como ′ siempre es negativa, la función del costo promedio siempre es decreciente, y cuando crece, el valor de se acerca más y más a . El concepto del costo promedio que tiende a una constante suele presentarse en condiciones de producción en gran escala, donde el número de unidades producidas es muy grande.
