LA DERIVADA UNA RAZÓN DE CAMBIO
Antes de este concepto recordemos el concepto de función lineal. Una función lineal es una relación entre dos variables x y y que cumplen la igualdad y mx b con m y b parámetros, m conocida como la pendiente y b el intercepto con el eje Y. por ejemplo y 3x 2 , si tabulamos resulta x y
0
1
2
3
4
Como se indica en la tabla el valor de m=3 en este ejemplo corresponde al incremento en y, cada vez que se aumenta x en una unidad (Marginalidad). Si consideramos una ecuación de demanda que relaciona precios con cantidades demandadas p 0.05q 100 el valor m 0.05 indica el valor en que disminuye el precio cada vez que se demanda una unidad adicional.
Con la tabla anterior el valor de m se puede calcular así m
f (4) f (2)
42 14 8 m 3 42
que corresponde a la tasa media de variación de la función en el
m
intervalo [2,3] . O también con la fórmula
f (4) f (2)
42 14 8 m 3 42
para la tasa media de
variación de la función en el intervalo [2,4] que ente este caso la tasa media siempre es la misma. En general
la tasa media de variación en un intervalo [a, a h] si
[a h, a ] si h 0 )
se define como TMV TMV
f (a h) f (a) a h a
f (a h) f (a ) h
h0
(ó
como su
nombre lo indica mide el promedio de la variación que experimenta la función cuando “me muevo” de x a a x a h .
Por ejemplo si y f ( x) x2 , a 2 y h 1 ¿A qué es igual la TMV en [2,3]? TMV
f (2 1) f (2) 1
.
5
Y si h=0.5 TMV
f (2 0.5) f (2) 0.5
y si h=0.1,
4.5
h=0.01. ¿Cuál es la interpretación de estos números? Tomando el valor de h cada vez más pequeños se obtendrían tasas de variación f (2 h) f (2)
que se acercan a lim
h
h0
conocida como la tasa instantánea de
variación de la función en x=2. f (a h) f (a)
En general lim
h
h0
esta tasa es denotada por f '(a) y se conoce como
la derivada en x a . Relación con el concepto de velocidad.
Si la velocidad de un automóvil es de 60 km/h luego de tres horas de recorrido, estimamos que a la siguiente hora el automóvil (comparando desde un punto de inicio) se moverá 60km. Si notamos por t el tiempo y s la distancia recorrida entonces v 60
km
cambio en desplazamiento s
h
cambio en tiempo t
lo que es una razón (cociente)
de cambio entre s y t . En algunas aplicaciones la derivada f '(a ) lim
f (a h) f (a)
tomando el valor h 1 y así f '(a)
f (a 1) f (a)
se aproxima
h
h0
1 x a a x a 1 .
que mide el
f (a 1) f (a)
cambio en la función al pasar de Desde el punto de vista netamente matemático es totalmente erróneo ya que h 1 es muy lejano a 0, pero asumirlo así en otras ciencias ha funcionado aparentemente. Por lo tanto al interpretarlo no hay que olvidar que es aproximado. Así la velocidad de 60km/h se puede ver como una derivada
v
ds
dt t
. 3
Este valor aproximado sólo es exacto cuando la función es lineal. Por ejemplo si p representa el número de habitantes de Europa (en millones) y t es el número de años a partir de 1960 y la relación está dada por P 6.4t 641 . En este caso P '(a ) 6.4 m para cualquier valor a de t . Si t 5 (1965) este valor 6.4 indica cuanto aumentará la población al año t 6 (1966) . Este valor como vimos es el mismo de la pendiente.
Así que con esta interpretación, la derivada f '(a) tiene el mismo significado de una pendiente. La derivada no da el cambio exacto de la función sobre la curva y f ( x) x a a x a 1 . Sino que es valor exacto pero si me muevo sobre una recta que pasa por a, f (a) y tenga pendiente m f '(a) . Que tan buena sea la aproximación depende de la “curvatura” de la función. Ejercicios
1. Cada vez que el río Connecticut alcanza un nivel de 105 pies sobre el nivel del mar, dos operadores de la estación de control de inundaciones en Northampton, Massachusetts, inician una vigilancia horaria del río. Cada 2 horas verifican la altura del mismo, utilizando una escala marcada en décimas de pie, y registran los datos en una bitácora. En la primavera de 1996, la vigilancia de la crecida se efectuó del 4 de abril, cuando el río alcanzó 105 pies y se elevaba a razón de 0.2 pies por hora, hasta el 25 de abril, cuando el nivel regresó de nuevo a 105 pies. Entre estas fechas, los registros muestran que el río creció y bajó varias veces, en un punto cercano a la marca de 115 pies. Si el río hubiera alcanzado 115 pies, la ciudad habría tenido que cerrar la autopista Mount Tom (Ruta 5, al sur de Northampton). La gráfica siguiente muestra el ritmo o tasa de cambio del nivel del río durante una parte de la vigilancia de la crecida. Recurrir a la gráfica para responder cada pregunta.
A. ¿En qué fecha el río creció con mayor rapidez? ¿Cómo se puede saber? B. ¿En qué fecha el río tuvo el descenso más rápido? ¿Cómo se puede saber? C. Hubo dos fechas seguidas en las que el río creció, después bajó, después creció de nuevo durante el curso del día. ¿Qué día ocurrió lo anterior y cómo se puede determinar? D. Un minuto después de la medianoche, el 14 de abril, el nivel del río se encontraba en 111.0 pies. Estimar la altura del mismo 24 horas después y 48 horas después. Explicar cómo se efectuaron las estimaciones. E. El río alcanzó su valor más alto en 114.4 pies. ¿En qué fecha ocurrió lo anterior?
2. Los psicólogos piensan que cuando a una persona se le pide que recuerde una serie de hechos, la cantidad de hechos recordados después de minutos, está dado por una función de la forma
t
() = (1 − )
Donde r es una constante positiva y A es el número total de hechos importantes almacenados en la memoria de la persona.
A. Trazar la gráfica de () (considere la cantidad de hechos importantes en la memoria como 100 y r = 0.75) B. ¿Qué le sucede a la gráfica cuando resultado.
t
crece sin límite? Interpretar el
3. De acuerdo con el modelo de Ebbinghaus la fracción F (t ) del contenido de este curso que usted recordará t meses después del examen final, se puede estimar mediante la fórmula F (t ) B 1 B ekt , donde B es la fracción del material que nunca olvidará y k es una constante que depende de la calidad de su memoria. A. Encuentre F '(t ) y explique que representa. B. Demuestre que F '(t ) es proporcional a F B e interprete el resultado. Sugerencia: Qué representa F B en términos de lo que usted recuerda? C. Trace la gráfica de F (t ) para el caso en el que B 0.3 y k 0.2 .
4. Una proyección a 5 años de las tendencias de la población señala que dentro de t años la población de cierta comunidad será () = 3 + 9 2 + 48 + 50 miles.
A. ¿En qué momento, durante el periodo de 5 años, crecerá la población con mayor rapidez? B. ¿En qué momento, durante el periodo de 5 años, crecerá la población con menor rapidez?
5. Suponga que el porcentaje de alcohol en la sangre t horas después de su t
consumo está dado por C(t ) 0.12te 2 A. ¿A qué razón cambia el nivel de alcohol en la sangre en el tiempo t cuál sería la gráfica de dicha razón de cambio? ¿Qué análisis se puede hacer sobre el consumo de alcohol basados en esta gráfica? B. ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que comience a declinar el nivel de alcohol en la sangre? C. Suponga que el límite de alcohol permitido en la sangre es de 0.04%. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir antes de que el alcohol en la sangre ,
alcance este nivel? ¿A qué razón disminuye el nivel de alcohol en la sangre cuando alcanza el límite permitido? 6. Una agencia internacional determina que el número de individuos de una especie en peligro de extinción que permanece en su estado natural t años después de instituir un programa de protección, se puede modelar por N (t )
600 1 3e
0.02 t
A. ¿A qué razón cambia la población en el momento t ? ¿Cuándo crece la razón de la población? ¿Cuándo disminuye? Interprete sus resultados. B. ¿Qué le pasa a la población “a largo plazo” (cuando t )? 7. Los registros de salud pública indican que después de t semanas el brote de cierta forma de influenza, aproximadamente miles de personas han contraído la enfermedad. A. ¿A qué tasa se estaba propagando la enfermedad al final de la segunda semana? B. ¿En qué momento se propaga más rápidamente la enfermedad? 8. Una niña cae en un lago donde la temperatura del agua es de -3C°. Su temperatura corporal después de t minutos en el agua es T (t ) 35e 0.32t . Ella perderá la conciencia cuando la temperatura llegue a 27°C. A. ¿Cuánto tiempo tienen los socorristas para salvarla? B. ¿Qué tan rápido desciende su temperatura corporal cuando llega a 27°C? 9. Se estima que entre el mediodía y las 7:00 p.m., la velocidad del tráfico en una carretera que pasa por la salida del centro de la ciudad es aproximadamente S (t ) t 3 9t 2 15t 45 millas por hora, donde t es el número de horas después del mediodía. ¿En qué momento entre el mediodía y las 7:00 p.m. va más rápido el tráfico, y en qué instante va más lento?
10. La concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente
t
horas después que se inyectó está dada por C(t )
0.05t 2
t
27
miligramos por centímetro cúbico. ¿En qué momento decrece la concentración más rápidamente?
Programas y/o aplicaciones sugeridas: 1. 2. 3. 4.
Matlab. Geogebra. Winplot Mathematics.
BIBLIOGRAFÍA 1. Cálculo. Larson. Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill. 2. Cálculo Aplicado para administración, economía y ciencias sociales. Hoffmann. Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill. 3. Matemáticas para el análisis económico. Sydsaeter k. y hammond p. Prentice Hall 1996. 4. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones. Becerril. Universidad Autónoma Metropolitana.
