tr
medi median ante te line lineas as seca secant ntes es
linea tangen tangente. te.
rese resent ntac acio io
te st di
prel prelim imin inar ar
iv de calc calc lo inve invest stig igan ando do lo lfrn lfrnit ites es
diferencial: la derivada.
82
el cdlc cdlcul ul
tant tanto, o, resu result lt
adec adecua uado do empe empeza za Cl
ia
nu stro stro li
te
La pala palabr br
tangens, la cual cual sign signif ific ic
tangente
"tocar",
i,De
C. La ecta ecta
t,
(a)
0qu
parabola
en el ejem ejempl pl
gu ente ente
punto SOLUC!Otl
(b)
an pr nt
cono conozc zc
pend pendie ient nt
In
P, de t,
t.
cercano lfne lfne seca secant nt Elija
ca1c ca1cul ul la pend pendie ient nt
mpQ
PQ ,p P. Po 10ta to
m-e=
ml'Q
1111'(,
--
.5
.5
cercanos
I11I'Q
1.
de
de
y,
debe
1nPQ
ser
ellimite rect rectas as se ante ante
lf
111/,(,
ange angent nt qu pasa pasa po (1 1) como como 0.999
1.999
1)
y=2x-1
83
La pala palabr br
tangens, la cual cual sign signif ific ic
tangente
"tocar",
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C. La ecta ecta
t,
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en el ejem ejempl pl
gu ente ente
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(b)
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P, de t,
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cercano lfne lfne seca secant nt Elija
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ellimite rect rectas as se ante ante
lf
111/,(,
ange angent nt qu pasa pasa po (1 1) como como 0.999
1.999
1)
y=2x-1
83
84
1111
CAPiTULO
Ifrnite
ejer ejernp nplo lo
se aproxirna
Conf Confor orme me
secantes f.
.r
se prox proxim im
desd desd la dere derech ch
pj!/ .\'
se prox proxim im
Ii:iI1I3 func funcio ione ne
nVi
desd desd la izqu izquie ierd rd
tr ci expl explfc fcit ita: a: se defi define ne po rnedio de info inform rm ci indi indica ca como como esti estima ma la te ta
12.1
adic adicio iona nale les. s.
jE M PL PL O Ii.'!ii E jE CJ.OO 0.Q2
100,00
0.04 0,06
67.03 54.88
0.08
44.93
0.10
36.76
La unidad
de dest destel ello lo (jiash)
expe experi rime ment ntal al te ic un carn carnar ar
fu cion cion
ia te el ejem ejempl pl sigu siguie ient nt ti po
el almacena-
ie
BI.B7
estime
flas flas
(med (medid id
en micr microa oamp mper eres esj. j.
SOlUCION
aproxirne
funcion, (m icrocoulomb icrocoulombs) s)
90
r-,
70
C-"'"
50 ~B 0.02
=-::i
0.1
(segundos)
se
TANGENTE
LO
PROBLEMA
DE LAVELOCIDA
1111
P(O.04,
rect
ecan
es 824.25
/JlI'U
/111'/:
10'{)0 100.(0)
-824.25
10.02, 81.g7)
~742.00
10.06. 54.88)
~607.S0
10.08.44.93) 10.
~552.50
674.75
figura
de triangul !fiii
E I s ig n f ic ad o I l i c d e l a r e p ue st a d e
ejemplo
es ue la c or ri en t
f lu v d e
a p c i o r a l f oc o d e f l a s h despues de
e l e ct ri c
que
53.6
670
de
microamperes
trafico bserva el velocfrnetro, memento, Wero
vehfculo
te
'e SOlUC10N
egun os
eno
set) 4.9r2
set)
tante (t
),
1a hasta velocida La Torr bl
ma
en To nt
es
promedio
ca nb
en la po ic on
------!----tiempo transcurrid
ed ci ut es en la actualidad.
0.1
.1
.1:
me iant
85
86
IIII
CAPiTULO
LlMITE
DERI ADAS
Interval
de tiempo
Velocida
promedio (m/s 53.9 49.49
5~f,s;5.1
5.01
49.245 49.049
5.001
49.0049
s ; 5 .0 5
velocidad instantanea, cuando se defi ra la velocida (instantanea despue de es
tr puntos p e 4 . secante PQ es
(a
10
10
is
valo limite
esta velocidade terminos,
la
h , 4 .9 (
/nPQ
co
id co sidera lo
h)2)
4.9(a
4.9a
(a
]. Por 10 tanto,
id in (e limite
la pe diente
de la re ta seca tes)
pendient de la tangente velocidad instantane
de veloci
lfrnites. hallar tangente
velocidades.
If-
LA TANGENTE
1.
LO
III!
PROBLEMA DE LA VELOCIDA
87
ti te ia tabl rnuestra el volume galones) un ve que transcurren
lor
la
694
(gall
te
minutos.
10
15
20
444
250
[11
(min)
[JJ 30
25
xpresa pa encuentr
pendient
de la
ecta
inicia cuando
la
de do re ta
(iii)
b)
se antes.
Esta pendient
pr sent
stim
se proporcion
instantane
10
b)
ta pa minuto 36
(min)
segundos despue 1.8612.
mediante
te
[1,2]
(ii)
stimar la velo id
2948
te
(iii) [t 1.1]
[I 1.5]
inst nt ne
uand
1.
(segundos)
3080
(metros
1.4
25.8
5.
lo
ta
im
a)
te lo
2.
44
curdiaco
ti
entr
uand
ll qu se proporcionan (i)
Latido
la velo id
la canti-
minutos.)
ulan
dura: 1s
ec nt PQ cuando 10,20,25 30. promediando
la pendie te
3,
la
la
unto
alla la el cida (i)
(a)
42
(b
(c)
42
(d)
38 42
[1 3]
(il)
ro edio para
[2 3]
da pe iodo
(iii) [3 5]
(iv) [3,4]
42
la velocida
instantane
cuando
l,Cuales so su conclusiones x] (I
EI punt (x, x/(1
x).
x»
de movimiento segundos.
PQ (correct hast qu se enumeran
continuaci6n: 0.5 (v) 1.5 (I
(ii)
0.9
(iii)
0.99
sen
1Tt
(iii)
donde
[I 1.1J
(i)
iv .9 (viii) 1.00
1Tt,
[I 1.01]
(iv)
[1,1.001]
I,
[]J EI punt
P(I, P(3, 1)
2) me ia te un calcul do PQ co seis
tt
P(l,
en(I01T/x}.
/x la rect secant PQ (correct hast cuatro cifras decimales) para 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1,0.5,0.6,0.7,0. 0.9. ie
(ii)
P. ia P.
88
1111
PiTU
iM TE
DERIVADA
E U
lo metodo numerico graficos para calcularlos. lnvestigue el cornportamient de la funcio j'definida re cercanos
orf( f(x)
f(x)
j(x)
f(xj
y=x -.r+
lo cercanos
1.0
2.000000
1.5
2.750000
1.8
3.440000
1.9
3.710000
1.95
3.852500
1.99
3.970100
1.995
3.985025
.r
f(x)
esta
def(x)
una 10 cion f(x)
2, cuando
lim (x
2)
.\'-).2
ral,
IT
ig
Escriba
DEFINICION
Ifrn/(x)
.1i:-'a
f(x) cuando
si pu de acerca arbitrariament lo bastante cerca de a,
in al m i m e r o
cuando
Un nota io
al re de f(x)
(tanto como desee) escogien
lo
def(x) a)
para Ifmf(x) X-·~(I
es
f(x)
le
"f(x)
L"
a.
to ir se aeerea
alternativ
a,
->
cuando
uanda
x->a a"
pero
;6 a.
CCJO
j(x) cuando j(x)
a, nune
2.2 LIMITEDEUNA FU CI6N
IIII
89
eonsider a.
finidaj j(a) no esta definida a,
(a) G UR A
lim j(x) ,r-a
10 que
lfmx_aj(x)
L.
(c)
(b)
en o s
e s c as o
x-I x~1
x<1
fix)
SOLUCION
x-
Advierta qu la funei6nj(x) definicion
if
id
(r de Ifm.<-,aj(x)
(x
a. j(x)
0.99 0.9999
1). 0.SOO025
lfm, x>l
fix)
l.l
0.476190
l.01
0.497512
0.5
x-
J,
enominando
como g.
x-I g(x)
Esta nuev funcio
todavf tien el mism
si si
limite co form
y=g(x)
x2-1
---~
G UR A
G UR A
la fu ci
resultante
1111
90
LiMITE
CAPiTULO
DERIVADA
E JE M L O
t:
I~O
cer-
WLUCION
I: 12
id ig
::tI.O
0.16228
::+:0.5
0.16553
::'::0.1
0.16662
:to.05
0.16666
::to.Ot
0.16667
te
If
t:
1--0
in
f~
::to.OOO5
0.16800
::'::0.00005
0.00000
::to.OOOOI
0.00000
de t? te
tr io
inte ta realizar st
calc lo en su caIculador
podrfa obtene valore ,co
detallad
Additional Lies
Ca culato
Me. En particular Hamada Th
es 10 suficien-
teme te
tcatculus.ocm
Para un explicacio
er
10 suficiente l,Signific esto qu
'/t WVNrstewDI
if rentes
eq efio
valo para .)
de
Topics
an
ompute
refieras
Told la se cion
Perils a/Subtraction.
la
ic
ne
0.2 0.1
(a) GU
POf
---[-0.1, 0.3]
0.2 0.1
(b) [-0.1,0.1] por [-0.1,0.3]
(c) [-10- ,10-
por [-0.1,0.3]
(d [-10-
1O~7J
-0.1,0.3]
NC
IIII
O.Co
un
al ul dora radianes
it
mediante la
SECCION
senx
:5
)OlUCIOH
(y es x),
se
La funci6nf(x) rd
sen x)/x no esta definida cuando IR sen angulo
0.:\41-[70% ·:::05
O.9588510S
c.:::OA
0.9735-f5X6
:::0.3
0.98506736
.:':0.2
O.l)(J334(J65
:::0.1
O . 9 % 3 3 tI7
91
sen lfm-X-cl'O
De hecho, esta ic io
:::0.05
l)995833l)
.':0,01 :':0,005
O.9l)C)lJ8333
:':O.()O!
0.99999983
probata
0.[)9999583
G UR A
..
la funci6nf(x)
SOLUC!OII
i6
lor f( 1)
S IS T M A A LG EB M K m
L o s is te m a
AM
a lg eb ra ic o
{ C A S : c om pu te r a lg eb r ma da
qu
s ys te m s
qu
s cn ic a
ma
n um e c a e !a bo ra da s
series i nf in i a s mp
respuestas
os
mi es
s in o q u
es
en2w=
f(i) 1(0.01)
ti
.O
f(O.OOOl)
.Co
te ta
CAS,
seccion
o s e je rc ic io s
,f
ap
c om o e l c a c u
S i i en e
m a d o fmite, c a l c u os
f(D
tr
on
nc en an
p o e xp e m en la c 6 n
sen
definida en
x, resulta
1(0.1)
de
S8 d em o
mp
tienen
mies
io
fW
p ar a c om p u a do r
c a u la n
a s d if ic u a de s
ca
M PU T A D
esta
os
i t e s de
mp eb
hmsen-
us
d e este capitulo,
conjet ra es erro ea Advierta qu f(x) para cualquie entero n, ta ie le de ic 0, SLl
un cuandof(1/n)
sent
G UR A
sen rutt to
17Ix)
0,
1111
92
LfMITE
CAPiTULO
DERIVADA
is in menu infinitarn nt dej(x)
-]
je
1r/x)
cuando
ms
.r
.r
PL
5x
Encuentre li
COos ).
. , 0
10000
tr
~OLUCI6u
lore
cos 10000
,-·0 lo .v
...+
x,
5x
lim
.000100
.<->0
0.005
. -
0.00010009
,,
as
oc
5x
se
es 0.0001 limite.
lo
x, pero es diff il sabe
li vece la calculadoras la omputadora da valore erroneos. se desarrolla meto os infalibles para calcular lfmites.
in embargo, ma
delant
i6
H(t)
GU
SI
si
in ta te Conforme H(t) tiende O.Cuan desd la dere ha H(t) H(t) se aproxime cuando tiende O.POl'consiguiente, 1fmi~o H(t) no existe,
L1MITE
LATERALES H(t)
ti situacion escribiendo
cuando
10
lfrn H(t)
(-·o~
El simbol modo "t
.De
is
.2
MITEDE UN
FU
1111
93
Escriba
D E F IN IC IO N
lim f(x)
,,,....__._,,_(l~
f(x)
de f(x) que a.
[0
cuando
L, pued ta 10
ie
pr xirn
1s6
a. De
a, def(x)
cuando
L"
Asi, el sfrnbolo definiciones
+"
-0
escrib
signific qu consider
solo
a.
_v ...
J(x)
Jlx)
(a If
(b) lim j(x)
J(x)
~ _ " { l +
siguiente Ifm f(x)
lfrn f(x)
lim f(x)
En la figura grafica valore (s existen) de lo lfrnites siguientes y=g(x)
.\,-,.2+
x-5~
2
3
4
5
g(x)
x-.----:--s+
g(x)
(c)
g(x)
(D
WlUCIOII
funcion
Ifm g(x)
.t:-~2
11
x-·5
g(x) g(x)
Por consiguiente .1'-:.-2-
concIuye
g(x)
.\:---=--2+
g(x)
ue Ifmx~2 g(x) no existe
(d
lim g(x)
x-5-
cuando lo alor pero meno
f(x)
x~~5ct-
g(x)
g.
1111
94
TE
CAPiTULO
DE
DA
(f)
(3) lfmg(x)
x->~
2.
g(5)
LlMITE
INFINITO
EjEI'ljPLO }OLU(I(m
Halle lfrn
X~~O
'"
si existe.
x"
Conforme
/x /jI
11 10 uf ci ntemen
:::1
::0.)
.;
f{x) lo ce ca de
f(x)
(l/x
no existe
:.'::0.2
:'.:0.1
1(1)
:.'::O()
400
:'.:O.ill
notacion
10000
1000000
: .- O ,{ )
i]
00
mi
exis e.
implemente expres
co
un
imero.
sign ic
qu el lf
1a
lI
10 ufic en emente
En general, se eserib
qu er
ce ca de
simbolicamente
1'=~.r-
lim f(x)
co
x-oa
pa
ndiear qu lo valo es def(x)
vuelve
as'y
as grande
es deci
incremen an
a. [1
a, excepto posible-
I)EFINICI6~~ 10 tanto,
lim f(x) .t...--.-'J-tl
a, a.
Ot
no acio
ar lim
-,
es
f(x)
cuando
00
Ifm,_"f(x)
co
co frecue ci
"e lfrnit def(x)
~,
x=a
bien bien
lim
\ ( /
j(x)
co
co
"f(x)
vuel
"f(x)
cuando in ni
es el infinito euando
a" a"
2.
1111 de
l1i
g ra nd e
qu
u n p u m e r o e s " n e g a ti v
s ig n c a q u
magn tu
e s n eg a
pe
95
uy
su
mu grande
( va lo r a b so lu to ) e s c o ns id e ra b e .
cuando
a,
DEFINICION
a, e x e p
definida
a.
p o b le -
10 tanto,
x=a
lim f(x)
00
.I,..~(I
f(x)
.v
a, a.
m..-,,f(x)
mb
UR
it
cuando a". Como ejempl
def(x)
''f(x)
lfm fix) ,t ...
ci
(1
tiene lim
.\'~o
ef ni
ne
mi
pu en
(-J,)
ar
os
li
lim f(x)
x_",,-
x-.a+
lfrn f(x)
"x
al
(a li
f(x)
(b lim
.>;-(1+
flx)
---l>
an
er
f(x)
lim f(x)
co
x-'a-
da
00
....
00
x-a""'-
gn "x ---l> a+"
ue co er ci
a:"
co
f(x)
er ue co
al mp
Q.
=-co
(d
es os
fm f(x)
0
,\ -11
G UR A
llam asintota vertical
ct
DEFINICION.
de la curva
(x
si
par 10 lfm f(x)
00
x~n
lim f(x)
00
lim f(x)
x-~a-
If
lim f(x)
00
.\'-)-(1+
f{x)
;(-)-(1-
.\·-;Ol
1/x Ifmx~o (1/x
pa
az
0.
as
porque
96
1111
iTUL
fMIT
DERIVADA
MP
x-+3-
S O L U C I O I I Si
entonces
denominador 3)
2x positivo 2x
pequefia que 3, entonces De manera similar, si esta un m i m e r o negativo pequefio, pero 2x es an un rnirnero manera, es desd to numerico un m i m e r o negativo gran e. Po esto 2x
00
.,-+3~
La rect asintota vertical. EjEMPL
10 Determin
Puesto
SOlUCION
la asintota
verticales def(x)
ue senx
tanx ay asfntota --:>
y=tanx
an x.
erticaie
(71/2t
potenciale
--:>
O~ cuando
on
cos co
--:>
(7T/2t,
--:>
0+ cuando
es positiva cuando
7T/2, lfrn
x-+("./2f-
ra de f(x)
ritm
tan
'<-+(1T/2)
7T/2 2n+-l)7T/2,
la re tan x.
natura
rt
to
donde
intota
10
x.
.1:--""0+
es un asfntota vertical de la funci6 logaritm natural.
y,
umpl
para
og"
10
siem re qu
EJERCICIOS nte mediante la ecuaci6n lfm f(x)
lfmf(x)
&Esposibl qu se curnpl esta proposici6 una explicacion.
Ifrn f(x)
),'-,.1+
,T~ ...
todaviaj(2)
sp De un explicaci6n.
Iim.,~d(x) exista?
la
UN
f(x)
x-+4+
Para la funcio
uy grafic
f(x)
97
la raz6n.
= " "
se proporciona, establ zc
1->0-
el valo
1-~2-
(b)
cr~O
x-)o,3
1111
i fi c
siguientes, x~~~J
FUNCJON
f(x)
(c)
Ifrn f(x)
.1;:-3-
Ifm f(x)
get)
(b)
get)
(e)
(g) g(2)
_"1:-3+
(h)
Ifm g(t)
lim g e t )
(c)
1~)oO+
I~·O
get)
Li
.1.:-;00+
lim g e t )
t-~2
Ifmg(t)
t-~4
(e) f(3)
'"
1"'-._
r-, ,\
5. Use I a g r af ic a de
proporciona
pa
stable er el valo
8.
existe, f(x)
.r-
.o;~"i+
(d) lim f(x)
f{x)
.T--I
f(x)
(x)
,"\"-..2
(e) f(5)
x~5
euya grafica se r n ue st ra , e st ab l ez c
l a f un c io n
siguiente,
R(x)
~-~3-
e) La
(x)
x-"'5
-.. l+
cuacione
de la
R(x)
slntotas vertic les.
-:
J\
II
r--
r-...
-J
/1
0"",,
-3
\j
.\
II
6.
l a funcion
euya grafica 9.
.1"---'>--3-
hex)
(b)
(d) h(-3)
Ifrn hex)
........ 3+
_t-O-
(g) lfrn h e x )
(b) h(O)
(j) h ( 2 )
(k)
_1:-0
hex)
Ifm hex)
,"(-5+
......-3
hex)
(f) lfrn hex)
-:2
.T~~-7
f(x)
) :-
f(x)
;r-~O
f(x)
.\'"-0+
(i) Ifm hex) ,T~)o2
(1
.t-~6'"
(D
Ifm hex)
as ecuacion
f(;r)
de la asintota
vertic les.
.;,....,.5-
----
-4
siguiente.
1\ -7
-3
..
I....... '\
rng
10
1111
98
LlMITE
CAPITULO
DERIVA AS
horas. x-
-1.1, -1.0
xpliqu
ignifi do de stos li it
-1.001
late al s, 19
e"-]-x
Ifm
: ! I , :!:0.5 :!:0.1, :!:0.05,
:!:O.O
I{t)
20
30
llm
xln(x
x~~o+
ia
21-24
15
dispon
de un calculador
usel para confirma 21
23
~ITIJ
funci6nf(x)
l/x
1/(1
para estable-
0.5, 0.1,0.05,0.0],0.005,0.001
),
de un
omputa or
ar gr fi ar
graficamente su resultados
Jx
Ifm -'----
22
Ifm
24
X-~O
1 0 -
x-ol
tan 3x lfm-.,-·0 tan 5x lfm---
.,-·0
de
la razon.
25-32 Determin f(x)
,'(-,0-
2.
1:-0+
grafica
f(x)
lo
.\'~"'o
siguiente
funcion
pa
Ifm f{x)
(c)
uale
xist
25
Jim,_."f(x)
.«x)
29
si 1)2
,, ;;
si x;?:
31
26
?-
!ill !~
si:
x+
,-.-.1+
iisela para determinar
six<-I
2-X
lim
el lfmite infinito
lfrn
.. 2:7-
_" .... ,~~J-
28
lim
.,;-5 .-
0.
,t-~3+
x+
If
x+
eel' (x
lim cotx ,1.:-';;'
If
2.
xcscx
4x
.T~-'2-
qu cumpla on toda la condicione
adas
lfrn f(x)
-2,
f(x)
,,--I
f(1)
(a) evaluandof(x Iim f(x)
>~r-c·o+
.T-~O-
lfrn f(x)
I,
x-~2-t
f(2)
Iirn f(x) 3,
If
:r-:o-I
.,,~~2~
f(x)
/(x
desd
0,
je
f r O ) no e st a d ef in id a
I,
2,
Ifm fex)
ta
2,
3x
If .10 ..
4-
la izquierd
derecha.
f(-2)
f(x)
f(1)
If
-1
lim f(x)
X-"':\+
f(3)
f(x)
.,~I·
X'
lfrn f(x)
f(x)
x-~4+
3,
b) Confir
su respuesta
2x
de inciso (a graficando l a f u nc io n .
f(4)
(1
cifras decimales. i,Le resulta
X)I/.'
hast cinc
familiar este ruimero? (I
te
cuan
xist
va (a Grafique la funcionj'(x)
Ifm <-.2
2x x-
to ,x
.5,2.1,2.05,2.01
1.9, 1.95 1.99 1.995, 1.99
X)I/,.
Ifmx-.of(x).
2.005, 2.001, valo es de
tan 4x)/x
realic un acerca y, estimar
