Resolução Do Cap.10 Do Moyses

Curso de

Física Básica H. Moyses Nussenzveig

Resolução do Volume II Capítulo 10 A Segunda Lei da Termodinâmica

Grupo Física-Nussenzveig

Capítulo -10

1 – Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: Supondo que isto fosse possível, complete um ciclo com uma isoterma e mostre que a 2ª lei da termodinâmica seria violada se um tal ciclo existisse. (Resolução) 2 – Uma usina termoelétrica moderna opera com vapor de água superaquecido, a temperaturas da ordem de 500°C, e é resfriada com água de rio, tipicamente a 20°C. Devido a inúmeros tipos de perdas, a eficiência máxima que se consegue atingir na prática é da ordem de 40%. Que fração da eficiência máxima idealmente possível para esses valores isto representa? (Resolução) 3 – Chama-se coeficiente de desempenho K de um refrigerador a razão Q2/W, onde Q2 é a quantidade de calor removida da fonte fria (congelador) e W o trabalho fornecido pelo compressor, por ciclo de refrigeração. a) Para um refrigerador de Carnot ideal, exprima K em função das temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria, respectivamente. b) Exprima K em função da eficiência da máquina de Carnot obtida operando o refrigerador em sentido inverso. c) Um dado refrigerador doméstico tem coeficiente de desempenho 40% do ideal; o motor do compressor tem 220 W de potência e o congelador é mantido a –13°C. Para uma temperatura ambiente de 27°C, qual é a quantidade de calor removida do congelador, em 15 min de funcionamento do motor? Que quantidade de gelo ela permitiria formar, partido de água a uma temperatura próxima de 0°C? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g. (Resolução) 4 – Um mol de um gás ideal diatômico (γ = 7/5) descreve o ciclo ABCDA (fig.), onde P é medido em bar e V em l. a) Calcule a temperatura nos vértices. b) Calcule a eficiência de um motor térmico operando segundo esse ciclo. c) Compare o resultado (b) com a eficiência máxima ideal associada às temperaturas extremas do ciclo. (Resolução)

5 – Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta de 50%, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial. a) Calcule o rendimento deste ciclo. b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução) 6 – Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo ABCA da fig., onde AB é um segmento de reta. a) Calcule o rendimento. b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)

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Capítulo -10

7 – Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático γ, que executa o ciclo da fig., onde BC é uma adiabática e CA uma isoterma. a) Calcule o rendimento em função de r e γ. b) Exprima o resultado em função da razão ρ = T1/T2 entre as temperaturas extremas. c) Para γ = 1,4 e r = 2, qual a razão entre o rendimento obtido e o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre T1 e T2? (Resolução) 8 – A fig., onde AB e CD são adiabáticas, representa o ciclo de Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a gasolina de 4 tempos: AB representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volume inicial V0 para V0/r (r = taxa de compressão); BC representa o aquecimento a volume constante devido à ignição; CD é a expansão adiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; DA simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ. a) Mostre que o rendimento do ciclo é dado por γ −1

T − TA ⎛1⎞ η = 1− D = 1− ⎜ ⎟ TC − TB ⎝r⎠ b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressão máxima permissível para evitar pré-ignição). (Resolução)

9 – O ciclo Diesel, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de 4 tempos. A diferença em relação ao ciclo de Otto (Problema 8) é que a taxa rc = V0/V1 de compressão adiabática é maior, aquecendo mais o ar e permitindo que ele inflame o combustível injetado sem necessidade de uma centelha de ignição: isto ocorre a pressão constante, durante o trecho BC; a taxa de expansão adiabática associada a CD é re = V0/V2. a) Mostre que o rendimento do ciclo Diesel é dado por γ

γ

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ 1 ⎛ TD − TA ⎞ 1 ⎜⎝ re ⎟⎠ ⎜⎝ rc ⎟⎠ ⎟ = 1− . η = 1 − ⎜⎜ γ ⎝ TC − TB ⎟⎠ γ (1 re ) − (1 rc )

b) Calcule η para rc = 15, re = 5, γ = 1,4. c) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução) 10 – O ciclo de Joule, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, é uma idealização do que ocorre numa turbina a gás: BC e DA representam, respectivamente, aquecimento e resfriamento a pressão constante; r = PB/PA é a taxa de compressão. a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por γ −1

⎛1⎞ γ η = 1− ⎜ ⎟ ⎝r⎠ b) Calcule o rendimento para r = 10. (Resolução) http://www.estudefisica.com.br 2


Capítulo -10

11 – O ciclo da fig. é formado por isotermas de temperaturas T1 (BC), T3 (DE) e T2 (FA), e pelas adiabáticas AB, CD e EF. As taxas de expansão isotérmica VC/VB e VE/VD, são ambas iguais a r. Calcule o rendimento do ciclo e mostre que é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)

12 – A partir dos dados fornecidos no Problema 2 do Cap. 8, calcule a entropia molar s do NaCl a baixas temperaturas, T << TD é a temperatura de Debye (para um sólido a baixas temperaturas, CV = CP). Tome s = 0 para T = 0. (Resolução) 13 – Um fluido é submetido a um ciclo reversível. Se o ciclo é representado por um diagrama no plano (T, S), onde S é a entropia do fluido: a) Mostre que o trabalho associado ao ciclo é dado por W = ∫ TdS , a área orientada por ele

compreendida. b) Represente um ciclo de Carnot para um gás ideal no plano (T, S). Verifique o resultado da parte (a) neste caso. c) Calcule o rendimento η do ciclo de Carnot da parte (b) diretamente a partir do diagrama (T, S). (Resolução) 14 – Um quilograma de gelo é removido de um congelador a –15°C e aquecido, até converter-se totalmente em vapor, a 100°C. Qual é a variação de entropia deste sistema? O calor especifico do gelo é de 0,5 cal/g°C; o calor latente de fusão do gelo é de 79,6 cal/g, e o calor latente de vaporização da água é de539,6 cal/g. (Resolução) 15 – Dois litros de ar (γ = 1,4), nas condições normais de temperatura e pressão, sofrem uma expansão isobárica até um volume 50% maior, seguida de um resfriamento a volume constante até baixar a pressão a 0,75 atm. De quanto varia a entropia deste sistema? (Resolução) 16 – Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30°C. Coloca-se nele um bloco de 500 g de gelo.


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Capítulo -10

a) Calcule a temperatura final do sistema. Tome 80 cal/g para o calor latente de fusão do

gelo. b) Calcule a variação de entropia do sistema. (Resolução) 17 – Um litro de água, inicialmente a 100°C, é totalmente vaporizado: a) Em contato com um reservatório térmico a 100°C. b) Em contato com um reservatório térmico a 200°C. O calor latente de vaporização da água é de 539,6 cal/g. Calcule a variação total de entropia do universo devida exclusivamente ao processo de vaporização, nos casos (a) e (b), e relacione os resultados com a reversibilidade ou não do processo. (Resolução) 18 – Um cilindro contendo 1 kg de He a 150 atm, em equilíbrio térmico com o ambiente a 17°C, tem um pequeno vazamento através do qual o gás escapa para a atmosfera, até que o tanque se esvazia por completo do hélio. Qual é a variação de entropia do gás hélio? Que quantidade de trabalho é desperdiçada por esse processo? (Resolução) 19 – Uma chaleira contém 1 l de água em ebulição. Despeja-se toda a água numa piscina, que está à temperatura ambiente de 20 °C. a) De quanto variou a entropia da água da chaleira? b) De quanto variou a entropia do universo? (Resolução) 20 – Chama-se energia livre (de Helmholtz) de um sistema a função de estado F = U – TS, onde U é a energia interna e S a entropia do sistema. Esta função desempenha um papel importante nas transformações isotérmicas, tais como as que se produzem à temperatura ambiente. Mostre que, numa transformação isotérmica: a) Se a transformação é reversível, o trabalho W realizado pelo sistema é igual ao decréscimo de F. b) No caso irreversível, W é menor que este decréscimo, de modo que o decréscimo de F dá a energia máxima disponível para realizar trabalho. c) Mostre que, numa expansão livre, o decréscimo de F dá o trabalho desperdiçado. (Resolução)

Resolução R-2) ηR = 0,40 ⎧ ⎪ ⎨T1 = 500°C = 773K ⎪ T = 20°C = 293K ⎩ 2

Q1 T1 = Q 2 T2 Q T ηI = 1 − 2 = 1 − 2 Q1 T1

⇒


ηI = 0,62

4


ηR 0,40 = ηI 0,62

⇒

Capítulo -10

ηR = 0,644.ηI

R-3) Q2 W W = Q1 - Q2, onde Q1 é a quantidade de calor absorvida (que entra) pela fonte quente. Q T Como 1 = 1 Q2 T2 T Q2 = Q1 1 (*) T2 Substituindo (*) na expressão de K: Q1 (T2 T1 ) Q K= 2 = W Q1 − Q1 (T2 − T1 )

a) K =

K=

T2 T1 − T2

com T1 > T2

T2 T 1 ⇒ 1 = T1 T2 1 − η 1 T1 − T2 T1 1 1 −1+η = = −1 = −1 = K T2 T2 1−η 1 −η 1−η K=

b) Lembrando que η = 1 −

η

c) K I =

Tf

=

260 = 6 ,5 300 − 260

Tq − T f Portanto: Kp = 0,4(6,5) = 2,6

Q2 Q f = onde W = P.Δt = 220(15 x 60) = 1,98 x 105 J W W Q2 = K.W = 2,6(1,98 x 105) ⇒ Q2 = 5,1 x 105 J K=

Q2 =m.L ⇒ m.g = (5,1 x 105)/(80 x 4,186) ⇒ m = 1,5 kg R-8) a) TA .V0

γ −1

⎛V ⎞ TC .⎜ 0 ⎟ ⎝ r ⎠

⎛V ⎞ = TB .⎜ 0 ⎟ ⎝ r ⎠

γ −1

γ −1

= TD .VD

γ −1

γ −1

⇒

⎛1⎞ TA = TB .⎜ ⎟ ⎝r⎠

γ −1

⇒

⎛1⎞ TD = TC .⎜ ⎟ ⎝r⎠

(I) (II)

Substituindo TA e TD abaixo: http://www.estudefisica.com.br

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Capítulo -10

QDA = ΔUDA = n.CV.(TA - TD)

⇒

γ −1

Q DA

⎛1⎞ = n.C V .⎜ ⎟ ⎝r⎠

Q DA

⎛1⎞ = n.C V .⎜ ⎟ ⎝r⎠

Como QDA é o calor que sai do sistema: QDA = - QDA , logo:

.(TB − TC )

γ −1

QBC = ΔUBC = n.CV.(TC - TB)

.(TC − TB )

(III)

(IV) (V)

O rendimento é dado por: η=

Wciclo Q Q = 1 − f = 1 − DA Qq Qq Q BC

n.C V .(1 ) .(TC − TB ) ( n.C V .(TD − TA ) − Q DA ) r = 1− η = 1− = 1− n.C V .(TC − TB ) n.C V .(TC − TB ) Q BC γ −1

⎛1⎞ η = 1− ⎜ ⎟ ⎝r⎠

γ −1

γ = 1,4⎫ ⎬ r = 10 ⎭

b)

1, 4 −1

⇒

⎛1⎞ η = 1− ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

= 0,60

Outro modo de resolver: W η= QBC Caminho AB BC CD DA ABCDA

W WAB 0 WCD 0 WAB + WCD

ΔQ 0 QBC 0 QDA QBC + QDA

ΔU ΔUAB = - WAB ΔUBC = QBC = nCV(TC - TB) ΔUCD = - WCD ΔUDA = QDA = nCV(TA - TD) 0 = - WAB - WCD + QBC + QDA

WT = QBC + QDA nC (T − T ) Q + QDA W WT Q η= = = BC = 1 + DA = 1 + V A D QBC Q fornecido QBC QBC nCV (TC − TB )

η = 1+

TA − TD T −T ≅ 1− D A TC − TB TC − TB

R-14) f

ΔS1 = S f − Si = S gelo( 0° ) − S gelo( −15° ) =

∫

Tf

d' Q = m.g.cgelo T

i


∫ Ti

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⎛ T ⎞ dT = m.g.cgelo .ln ⎜ ( 0° ) ⎟ ⎜T ⎟ T ⎝ ( −15° ) ⎠


Capítulo -10 f

ΔS2 = S f − Si = Sagua − S gelo =

∫

d ' Q Q mgelo .LF = = T T T( 0° )

i

f

ΔS3 = S f − Si = Sagua( 100° ) − Sagua( 0° ) =

∫

Tf

d' Q = mgelo .cagua T

i

∫ Ti

⎛T ⎞ dT = mgelo .cagua .ln ⎜ ( 100° ) ⎟ ⎜ T ⎟ T ⎝ ( 0° ) ⎠

f

ΔS4 = S f − Si = Svapor − Sagua =

∫

d ' Q Q mgelo .LV = = T T T( 100° )

i

Variação de entropia do sistema: ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +ΔS4 ΔS = 2076 cak/k = 8680 J/k V0 = 2 l ⇒ ma = 2000 g Ta = 30°C = 303 K ca = 1 cal/g°C mg = 500 g Tg = 0°C = 273 k

R-16)

a) QF + Qa + Qg = 0 mg.LF + ma.ca (T - Ta) + mg.ca (T - Tg) = 0 T = 8°C b) ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3

dQ F ΔQ m g .L F = = = 146,52 cal/K Tg Tg Tg

f

ΔS1 = ∫ i f

T

dT dQ ΔS2 = ∫ A = m a .c a . ∫ = 150,76 cal/K T T i T a

f

ΔS3 = ∫ i

d' Qg T

T

= m g .c a . ∫ Tg

dT = 14,44 cal/K T

ΔS = 10,2 cal/K 17) V = 1 litro ⇒ m = 1000 g a) Variação de entropia: UNIVERSO = RESERVATÓRIO + ÁGUA ΔSu = Sr − Sa

m.LV 1000.LV = = 1446 , 26 Ta 373 m.LV ΔSr = − = −1446, 26 Tr

ΔSa =


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Capítulo -10

Logo:

ΔSu = 0 ⇒ reversível. b)

m.LV 373 m.LV ΔS r = − 473 ΔSu = 307,26 cal/k ⇒ ΔSu > 0 ⇒ irreversível. ΔS a = −

R-18) Dados: m = 1 kg de He; P = 150 atm; T = 17°C = 290 K; MHe = 4 g/mol. a) Volume ocupado pelo gás a 1 atm: PV = nRT ⇒ 1.Vf = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vf = 5945 l Dentro do cilindro: PV = nRT ⇒ 150 . V = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vi = 39,63 l Escolhe-se um caminho onde o processo seja reversível para calcular ΔS; aproveita-se do fato de T ser constante, logo: ΔU = 0 ⇒ Q = W f

ΔS = S f − Si =

∫

f

d' Q = T

i

∫

f

d'W = T

i

∫

Vf

P.dV = T

i

∫ Vi

ΔS = 1,04 . 10 J/K 4

b) W Desperdiçado: o trabalho que deixou de ser realizado. Expansão livre: ΔU = 0; ΔQ = 0; ΔW = 0 W = ΔS.T = (1,04 . 10 4).290 ⇒ W = 3,02 . 106 J

R-19) T1 = 100°C = 373K; T2 = 20°C = 298K

a)

ΔSchal =

∫

T2

∫

⎛T ⎞ d ' Q1 dT = m.c. = m.c.ln ⎜ 2 ⎟ T1 T ⎝ T1 ⎠ T1

ΔSchal = - 241,4 cal/K b)

ΔS pisc. = ΔS reserv. =

∫

d ' Q1 −Q1 = = 273,0 cal/K 293 T2

ΔS = ΔSchal + ΔSreserv = 31,9 cal/K


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Vf

∫

⎛V ⎞ n.R.T dV = n.R.ln ⎜ f ⎟ dV = n.R V .T V ⎝ Vi ⎠ Vi



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