Índice 1. 2. 3. 4.
Introducción Justificación Objetivos Límites 4.1 Aplicación de limites en Física 4.2 Aplicación de límites en Estadística 4.3 Aplicación de límites en Ing. Eléctrica 4.4 Aplicación de límites en Ing. Ambiental 5. Derivadas 5.1 Aplicación de derivadas en Periodismo 5.2 Aplicación de derivadas en Astronomía 5.3 Aplicación de derivadas en Física 5.4 Aplicación de derivadas en Ing. Civil 6. Derivadas Implícitas 6.1 Aplicación de derivas implícitas en Física 6.2 Aplicación de derivadas implícitas en Ing. Eléctrica 6.3 Aplicación de derivadas implícitas en Medicina 6.4 Aplicación de derivadas implícitas en Matemáticas 7. Derivadas Trigonométricas 7.1 Aplicación de 7.2 Aplicación de 7.3 Aplicación de 7.4 Aplicación 8. Conclusiones 9. Recomendaciones 10. Bibliografía
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1
Introducción
Mediante esta investigación se explicará las diferentes aplicaciones que se puede dar de límites, derivadas, derivadas trigonométricas y derivadas implícitas; en los diferentes campos profesionales, mediante ejemplos y ejercicios aplicados. Podremos observar como los límites nos ayudan a determinar la velocidad instantánea, a calcular ganancias, determinar temperaturas, etc. Casos y ejemplos como como estos se estudiarán estudiarán y explicarán
en el siguiente
informe pudiendo así de esta manera importancia del mundo matemático en nuestro diario vivir.
2
Justificación
Esta investigación ayudará a que los estudiantes comprendan que la matemática es aplicada en casi todas las circunstancias de la vida e incluso en áreas que no creímos factibles. Mediante esta investigación pretendemos incrementar los conocimientos de los estudiantes en el campo matemático y de esta manera adquirir rapidez en los diferentes procesos matemáticos. Gracias a nuestra investigación podremos responder muchas de las interrogantes que tenemos cuando vemos los diferentes temas matemáticos y nos preguntamos cuando usaremos aquello en nuestro diario vivir, es más estaremos satisfechos de que todo lo aprendido lo aplicaremos en la vida profesional y nuestro esfuerzo por comprender aquel tema en un futuro brindará los frutos deseados deseados al aplicar nuestro nuestro conocimiento para beneficio de la sociedad.
3
Objetivos
Demostrar mediante ejemplos aplicados la dependencia que poseen las profesiones con la matemática.
Determinar el momento de aplicación de los diferentes temas en cada una de las carreras relacionadas. Aplicar técnicas de resolución de problemas de límites y derivadas mediante la resolución de casos para demostrar la utilidad de la matemática en el diario vivir.
Incrementar el conocimiento y la agilidad del estudiante al momento de aplicar y resolver los problemas con límites.
Explicar la correlación de las diferentes profesiones para el desarrollo de la vida.
4
Límites
Lo que distingue al cálculo de álgebra es la aplicación de límites. Límite se refiere a examinar el comportamiento de una función f(x) cuando x, se aproxima a un número c, el mismo que puede o no estar en el dominio de f. Se usa el límite en cálculo(por lo que también se usa en el (análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad,derivación,integración, y muchas otras cosas. Se utiliza límites matemáticos en múltiples ocasiones por ejemplo en el ámbito empresarial, o en casos de la vida real como lo es la velocidad instantánea.
5
1
Aplicación de Límites Física
Los límites son utilizados en Física para determinar la velocidad instantánea. Una bola rueda hacia abajo en una rampa de tal manera que su distancia s, desde la parte superior de la rampa después de t segundos, es exactamente pies. ¿ Cuál es su velocidad instantánea después de 3 segundos?
Podemos ver directamente lo que está sucediendo al cociente expresándolo como un límite de la velocidad promedio en el intervalo (3,t) conforme t se aproxima a 3:
=
)() (
=
( )
( )
=
=6
1
Pre cálculo Gráfico Numérico- Algebraico. Demana Waits Foley Fennedy. 7ma Edición
6
2
Aplicación de Límites en Estadística
En la planeación de una cafetería se estimó que la ganancia diaria es de $16 por lugar si se tienen de 40 a 60 lugares de capacidad. Sin embargo, si se cuenta con más de 80 lugares, la ganancia diaria por cada lugar disminuirá en $0.08 veces el número que exceden a 80. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese la ganancia diaria como una función del número de lugares de la cafetería. (b) Demuestre que la función del inciso (a) es continúa en su dominio. Sea x el número de lugares para la capacidad de la cafetería y P(x) dólares de la ganancia diaria. P(x) se obtiene al multiplicar x por el número de dólares de
la ganancia por cada lugar. Cuando 40≤ x ≤80, la ganancia por el lugar es de $16, de modo que Px= 16x. Cuando x > 80, el número de dólares de la ganancia por cada lugar es 16 – 0.08 (x-80), de donde P(x)= x {16-0.08 (x-80)}, esto es, P(x)= 22.40s -0.08 . Por tanto:
{
P (x)=
}
El limite superior de 280 para x se obtiene al observar que 22.40x – 0.08 =0 < 0 cuando x >280. cuando x= 280;
Aunque, por definición x es número entero no negativo, para tener continuidad se considerará que x toma todos los valores reales del intervalo {40, 280} b) Como P(x) es un polinomio en {40,80} y (80,280}, entonces P es continua en estos intervalos. Para determinar la continuidad es 80se calcularán los límites laterales en ese valor:
() =1280
() ( ) =1280
()
Como P(80)=1280 y , P es continua en 80. En consecuencia P, P es continua en su dominio {40,280}
2
El Cálculo. Louis Lethold. Séptima Edición
7
Aplicación de Límites en Ingeniería Eléctrica 3
Planta de Energía
La eficiencia teórica máxima de una planta de energía está dada por
E=
Donde Th y Tc son las temperaturas absolutas respectivas del depósito más caliente y del más frío. Encuentre a) y b)
Respuestas: a) 1 b) 0
3
Matemáticas para la Administración y Economía. Ernest F.Haeusster, Jr. Richard S.Paul, Richard J. Wood
8
Aplicación de Límites en Ingeniería Ambiental 4
Contaminación del Agua
Un tubo roto en la plataforma petrolera del mar del Norte produce una mancha circular que tiene un espesor de y metros a una distancia de x metros de la ruptura. La turbulencia hace difícil medir directamente el espesor de la mancha en la fuente (donde x=0); sin embargo, para x>0 se encuentra que
( ) Y= Suponiendo que la mancha está distribuida continuamente, ¿qué espesor se supone que tiene en la fuente?
4
Cálculo Aplicado para administración, Economía y Ciencias Sociales. Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Kenneth H. Rosen
9
Derivadas
Es una rama muy importante del cálculo por lo que se la aplica en cualquier campo ya sea físico, químico, económico, en nuestra vida cotidiana, otros; la derivada es una función y la aplicamos cuando queremos medir la velocidad, magnitudes, etc. Es fundamental para nuestro diario vivir ya que busca en toda acción, circunstancia y hasta en nuestra especialización nos encontramos con cambios constantes ya sea de la velocidad si disminuye o aumenta, el máximo o mínimo también las magnitudes En cálculo lo rotularon como derivada a la mediciones de los fenómenos; en esta investigación se aplicado los diferentes casos de derivadas para las carreras universitarias, como las podemos aplicar en nuestra vida cotidiana para así solucionar problemas y llevarlos a cabo con eficacia.
10
Derivadas Aplicadas a la Comunicación Periodismo
Una agencia de noticias reporto en mayo de 2004 que el desempleo en Asia oriental estaba aumentando en forma continua a una taza creciente. Por otra parte, el precio del alimento estaba aumentando, pero a una tasa más lenta que ates. Interprete estos enunciados en términos de funciones crecientes/decrecientes y concavidad. Sea u=f (t) el numero de personas desempleadas en el instante t . Aunque en realidad u salta en cantidades enteras, seguiremos una practica estar al representar a u por medio de una curva suave, como en la figura 1. Decir que el desempleo esta aumentando es decir que du/dt >0. Decir que esta aumentando a una tasa creciente es decir que la función du/dt esta creciendo; pero esto significa que la derivada de du/dt debe de ser positiva. Por lo tanto d2u/dt2>0.en la figura 1, observe que la pendiente de la recta tangente aumenta conforme t aumenta. El desempleo es creciente y cóncavo hacia arriba. De forma similar, si p=g (t) representa el precio del alimento (por ejemplo, el costo común de comestibles diarios para una persona) en el instante t, entonces du/dt es positiva pero decreciente. Por lo tanto, la derivada de du/dt es negativa, por lo que d2u/dt2>0. En la figura 2, observe que la pendiente de la recta tangente disminuye conforme t aumenta. El precio del alimento esta aumentando, pero es cóncavo hacia abajo.
U=f (t)
Figura1
11
Como usted podría suponer, los puntos en donde f”(x)=0 o donde f”(x) no existe son candidatos a puntos de inflexión. Utilizamos la palabra candidato de manera deliberada. Al igual que un candidato a un cargo político puede
fracasar en una elección, también, por ejemplo, un punto en donde f”(x)=0 puede fracasar en ser un punto de inflexión. Considere f”(x)=x4, que tiene la grafica mostrada en la figura 3. Es cierto que f” (0)=0, pero el origen no es un punto de inflexión. Por lo tanto, para buscar los puntos de inflexión empezamos
por identificar los puntos en donde f”(x)=0 (y en donde f”(x) no existe). Después verificamos para ver si en realidad son puntos de inflexión. 5
5
Calculo Novena Edición. Purcell, Varberg, Rigdan.
12
Aplicación de las Derivadas 6
Astronomía
Puesto que la luna carece de atmosfera, un objeto que cae en ella no encuentra resistencia del aire. En 1971, el astronauta David Scott verifico que una pluma de ave y un martillo caen con la misma velocidad. La función posición para cada uno de eso objetos es: S (t)= -0.81t2+2 Donde s (t) es la altura en metros y la t el tiempo en segundos. ¿Cual es la relación entre la fuerza de gravedad de la tierra respecto a la de luna? Para calcular la a aceleración, derivar dos veces la función posición. S (t)=-0.81t2+2
Función posición
S´ (t)=-1.62t
Función velocidad
S” (t)=-1.62
Función aceleración
De esta forma resulta la aceleración de la gravedad en la luna es de -1.62m/s 2. Puesto que la aceleración de la gravedad en la tierra es de -9.8m/s2, la fuerza de gravedad de la tierra respecto a la de la luna es:
Fuerza de gravedad en la tierra/fuerza de gravedad en la luna=
≋
-9.8/-1.62 6.05
6
Calculo Octava Edición. Larsan, Hostetler, Edwards.
13
Aplicación de Derivadas Física 7
Lanzamiento de Proyectil
Ignorando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil que se lanza a un Angulo es:
⦵
Donde (y) es la altura, x es la distancia horizontal, g es la aceleración debida a la gravedad. Vº es la velocidad inicial y h es la altura inicial. Sea g=-32pies por segundo, vº=24pies por segundo y h=9pies por segundo. ¿Que valor de producirá una máxima distancia horizontal?
⦵
Para encontrar la distancia que el proyectil recorre, sea y=0, y utilizar la formula cuadrática para resolver con respecto a x.
⦵
En este punto, se necesita determinar el valor de que produce un valor máximo de x. la aplicación del criterio de la primera derivada en forma manual resultaría tediosa. Sin embargo, el uso de tecnología para resolver la ecuación dx/d =0 elimina la mayoría de los cálculos engorrosos. El resultado es que el valor máximo de x ocurre cuando:
⦵
⦵≋0.61548radianes, o 35.3’. Esta conclusión se refuerza dibujando la trayectoria del proyectil para diferentes valores de como se indica en la figura. De las tres trayectorias indicadas, notar que la distancia recorrida es mayor para =35’.
⦵
7
⦵
Calculo. Larsan, Hostetler, Edwards. Octava Edición.
14
Aplicación Derivada en Ingeniería Civil Un pasillo de 6 pies de ancho da la vuelta en Angulo recto. ¿Cuál es la longitud de la varilla delgada mas larga que puede transportarse alrededor de la esquina, suponiendo que la varilla no puede doblarse?
La varilla tocara apena las esquina interna de la vuelta y las paredes exteriores del pasillo. Como se sugiere en la figura, sean a y b las longitudes de los segmentos AB y BC, y sea la medida de los ángulos DBA y FCB. Considere los dos triángulos rectángulos semejantes ADB y BFC; estos tienen hipotenusas a y b, respectivamente. Un poco de trigonometría aplicada a estos ángulos da:
⦵
⦵=6sec⦵
a=6/cos
⦵=csc⦵
y b=6/sen
⦵
Observe que el Angulo determina la posición de la varilla. Así que la longitud total de la varilla en la figura 6 es=
⦵)= a +b= 6sec⦵+6csc⦵ El dominio para ⦵ es el intervalo abierto (0, 3.14). La derivada L es: L(
Por lo tanto L’ (⦵)=0 siempre que sen3⦵ - cos3⦵=0. Esto lleva a
⦵
⦵
⦵
⦵
sen =cos . El único Angulo en (0,3.14/2) para el que sen =cos es el Angulo 3.14/4. Nuevamente aplicamos la prueba de la primera derivada. Si 0< <3.14/4, entonces sen
⦵
⦵
⦵
⦵
⦵
⦵
Por lo tanto, L ( ) es decreciente en (0, 3.14/4). Si 3.14/4<0<3.14/2, entonces sen >cos , por lo que sen3 -cos3 >0. Así L ( ) es creciente en (3.14/4,
⦵
⦵
⦵
⦵
⦵
15
⦵
3.14/2). Con base en el criterio de la prueba de la primera derivada, =3.14/4 produce un mínimo. No obstante, el problema pregunta por la varilla mas larga que puede dar la vuelta alrededor de la esquina. Como lo indica la figura, en realidad determinamos la varilla mas corta que satisface las condiciones de la figura1; en otras palabras, determinamos la varilla mas corta que no da vuelta alrededor de la esquina. Por lo tanto, la varilla mas larga que puede dar la
vuelta alrededor de la esquina L (3.14/4)= 6sec 3.14/4 + 6csc 3.14/4= 12√2 ≋ 16.97pies.8
8
Calculo .Purcell, Varberg, Rigdan. Novena Edición
16
Derivadas Implícitas Las derivadas están íntimamente ligada al concepto de límite; por ejemplo al trazar en un plano cartesiano una secante , se introduce el concepto de límites para que esta se vaya convirtiendo en tangente , una vez convertida en tangente se llega a ver la derivada de una función. Las funciones implícitas son ecuaciones en las que la Y no aparece despejada y en cambio lo que aparece es una relación entre la X y la Y , estas son las dos incógnitas de la ecuación , cuyo segundo miembro es el 0 (cero) . Por ejemplo:
1)
En este ejercicio la Y ya está despejada.
2)
En este otro ejemplo se trabaja con SEN ,COS ,SEC ,TG; ya que en la ecuación no esta despejada la Y se despeja la Y prima y para esto se pone el signo negativo antes de una raya de fracción y en la parte del numerador se deriva lo que esté en relación a la X , y en la parte del denominador se deriva lo que está en relación a Y , luego se le puede dar el signo negativo al denominador o al numerador.
17
Aplicación Derivadas Implícitas Física En la física se puede realizar esta clase de ejercicio que se ve a continuación ya que se utilizan variables como el tiempo. El agua está llenando un tanque cónico a razón de 9 pies³ / min . El tanque tiene diez pies de altura y 5 pies de radio. Determine como esta esta subiendo el nivel del agua en el tanque cuando su profundidad es de 6 pies . 5 pies
Datos: Dv/dt= 9 pies³ /min
10 pies
Volumen =(1/3)(Volumen del cilindro) Vcono =(1/3)( π)(R ²)(Y)
Dv/Dt = 1/3 (π){ (2RY)(dr/dt) +R ²(1) (dy/dt)} 9 = 1/3 π { 3(6) dy/dt +(3)² dy/dt} 9 = 1/3 π {27 dy/dt } → 27 = π {27 dy/dt} 27 dy/dt = 27/ π
→
dy/dt = 1/π R//.
18
Aplicación Derivadas Implícitas Ingeniería Eléctrica
En la ingeniería eléctrica se ven a menudo esta clase de problema cuando se hacen construcciones de todo tipo , ya sea civiles , industriales , etc..
La figura representa un circuito eléctrico básico. La ecuación que relaciona al voltaje , la corriente y la resistencia es V = 1 voltio/seg mientras que la corriente está descendiendo a razón de 1/3 de amp/seg . Determinar como la resistencia está cambiando cundo el voltaje es 12 voltios y la corriente 2 amperios. R Datos: V= i R
dv/dt= 1 voltio/seg
I dR/dt =1/3 amp/ seg
V
(1)Dv/dt = I (dR/dt)+ R (dI/dt) (1)(1) = I (dR/dt)+ R (dI/dt) 1 = 2 (dR/dt) + 6 – 1/3 1= 2 (dR/dt) -2
→ 3 = 2(dR/dt) → (dR/dt)=3/2 R//.
19
Aplicación Derivadas Implícitas Medicina En la medicina, se utiliza cuando se quiere estimar el tiempo en la que una enfermedad se propaga , o el tiempo que se requiere para realizar alguna clase de operación.
Lo registros de salud pblica indican que semanas después del brote de cierta clase de gripe , aproximadamente (t) = 80/(4+76e ) miles de personas habían contraído la enfermedad. ¿A qué ritmo se propagaba la enfermedad al final segunda semana?
N(t) = 80/(4+76e ¹ʹ² ͭ ) dN/dt = 0.80 { 0 +76¯ ¹ʹ² ͭ (-1,2)} / (4+76e ¹ʹ² ͭ ) dN/dt = (80)(1,2)(76) e ²ʹ⁴ ͭ ) / (4+76e ¹ʹ² ͭ )² 661,878/118,691
→ 5.57 miles de personas
20
Aplicación Derivadas Implícitas Matemáticas
El área de un triángulo con lados ¨a¨ y ¨b¨ que forman un ángulo Ө entre ellos es A = (a)(b)(senӨ) /2 1 )El cambio dA/dt si ¨a¨ y ¨b¨ son constantes
2) El cambio dA/dt con respecto a dӨ/dt y da/dt siendo ¨b¨ constante
1) dA / dt = (ab/2)(cosӨ)(1 dӨ/dt) R//.
11
2)dA/dt= b/2 {(a cos Ө)(1 dӨ/dt) + (senӨ)(1 da/dt)
R//.
21
Aplicación Derivadas Trigonométricas en Física Se usa las derivadas de funciones trigonométricas en el movimiento de cuerpos(dinámica) aplicando las leyes del newton cuando se ponen fuerzas para sacar del reposo un objeto o masa con algún ángulo de inclinación de la fuerza aplicada, muchas veces el cuerpo tiene un coeficiente de fricción con la superficie, el cual impide su movimiento o disminuye su velocidad y necesita un ángulo para que se pueda empezar el movimiento del cuerpo y dependiendo del ángulo y del valor que se desea descubrir o tomar se usan las funciones trigonométricas. Supongamos:
22
Aplicación de derivadas Trigonométricas Arquitectura Se utiliza las derivadas de funciones trigonométricas en la arquitectura ya que en muchas edificaciones se necesitan diferentes paredes o partes de la casa con alguna inclinación debido al terreno o a otros factores. Se usa también en la construcción de los techos ya que estos necesitan una inclinación para la buena salida del agua para lo cual debe haber un ángulo exacto para que el escape del agua sea el correcto y para el calculo de las medidas de las diferentes partes con este ángulo se usa las funciones seno, coseno, tangente.
23
24
Aplicación de Derivadas Trigonométricas Lanzamiento de proyectiles
Se usa esta derivada en lanzamiento de proyectiles para ver la trayectoria de un objeto lanzado y como realiza una trayectoria parabólica debido a que su función es una cuadrática y este tipo de funciones describen un movimiento parabólico el cual tiene un vértice que divide la parábola en 2 partes. Muchos problemas nos piden encontrar el vértice para saber que coordenadas tiene y saber cual es la altura máxima que tendrá el proyectil u objeto al ser lanzado. 9
A continuación un ejemplo de su aplicación.
9
http://www.slideshare.net/fdespinoza/aplicaciones-de-la-derivada
25
Aplicación de derivadas Trigonométricas en Diseño Diseño de iluminación En este caso se usa la derivada para la iluminación ya que se necesita saber el campo de iluminación que tendrá una luminaria artificial y se utilizan los cálculos para determinar a que altura deberá estar la lámpara para que el ángulo con que esta sale alcance para todo el lugar que se desea iluminar. 10
10
http://www.slideshare.net/fdespinoza/aplicaciones-de-la-derivada
26
27
Conclusión
Después de realizar el presente trabajo se llegó a la conclusión que ninguna profesión puede desenvolverse sin prescindir de las matemáticas en algún momento. Hemos comprobado una vez más que la matemática ha sido, es será el mayor aliado del hombre para su desarrollo científico e intelectual, pues es gracias a esta que se ha logrado la construcción de muchos por no decir de todos los avances tecnológicos, e incluso son las matemáticas quienes son la herramienta fundamental de la estadística y la economía puesto que es gracias a ellas que se resuelve problemas de oferta y demanda, balances, o se determina el límite que una variable podría tomar. Como punto final se quiere expresar que las matemáticas forman parte de nuestra vida laboral, sea cual sea el campo en el que nos desempeñemos nos daremos cuenta que en un punto dado las necesitaremos.
28
Recomendaciones
Al momento de realizar ejercicios con límites, tener mucho cuidado con los procesos matemáticos.
Procurar agilitar el proceso matemático mental en los alumnos para resolver problemas matemáticos de manera rápida eficiente y rápida en la vida cotidiana.
Aprender y reconocer el momento de uso de las diferentes reglas de derivación e integración con perfección.
29
