Cap 5. Flujo Rayleigh..pdf

U

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

N

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

E

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA SECCIÓN DE TERMOFLUIDOS DINAMICA DE GASES

X P O

DINAMICA DE GASES (322678)

Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2013.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana

CAPITULO V FLUJO UNIDIMENSIONAL CON TRANSFERENCIA DE CALOR. 5.1 Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor. Ecuaciones. 5.2 Línea Rayleigh. 5.3 Resumen de ecuaciones. 5.4 Aplicaciones. 5.5 Problemas. 5.6 Tablas. 5.7 Bibliografía.

UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

2


CAPITULO V FLUJO UNIDIMENSIONAL CON TRANSFERENCIA DE CALOR

5.1.- FLUJO UNIDIMENSIONAL CON TRANSFERENCIA DE CALOR. ECUACIONES. Corresponde a este capítulo estudiar el flujo de un gas calóricamente perfecto, unidimensional, permanente, sin fricción y con transferencia de calor a través de una sección constante, también denominado Flujo Rayleigh. Considérese las ecuaciones básicas aplicadas al volumen de control de la figura 5.1. Ducto Ducto con con transferencia cia de calor . q 

1

2

D

VC

x

FIGURA 5.1 Flujo Rayleigh y aplíquese las leyes básicas V 1  1  V 2  2

(2.1)

p1   1V 12  p2   2V 22

(2.2)

h1 

V 12 2

 q  h2 

V 22 2

(2.6)

Si las condiciones en la región 1 son conocidas así como una cantidad específica de calor por unidad de masa q , las ecuaciones anteriores, junto con la ecuación de estado, permiten calcular las propiedades en la región 2. Las ecuaciones se deducen iniciando con la ecuación (4.6), recordando que h  c pT , de la siguiente manera


3


 V 22   V 12     c pT 1   q   c pT 2  2 2    

(5.1)

Por la definición de la temperatura de estancamiento, indicada en la ecuación (4.13), la ecuación (5.1) queda q  c p T o 2  c p T o1  c p T o 2  T o1 

(5.2)

La ecuación (5.2) indica claramente que el efecto de la transferencia de calor es consecuencia directa del cambio de las temperaturas de estancamiento del campo de flujo. Obsérvese que  V 2   a 2M 2  

kp

M 2  kpM 2



y combinándola con la ecuación (4.2), se obtiene p2  p1   1V 12   2V 22  kp1M12  kp2M22 y por lo tanto p2 p1



1  k M12 1  k M 22

(5.3)

De la ecuación de estado y para un gas calóricamente perfecto, se tiene T 2 T 1

De la ecuación a 



p2  1 p1  2



p2 V 2 p1 V 1

(5.4)

kRT y de la definición del número de Mach, se logra V 2 V 1



M 2 a2 M1 a1



M 2  T 2 



1

2



 T  M1  1 

(5.5)

sustituyendo la ecuación (5.3) y (5.5) en la (5.4), se obtiene

 1  k M12     T 1  1  k M 22 

T 2

2

2

 M 2    M  1 


(5.6)

4


puesto que

 2

 p2  T 1  , y tomando en cuenta las ecuaciones (5.3) y (5.6)   1  p1  T 2   1  k M 22     2   1  1  k M1 

 2

2

2

 M1     M 2 

(5.7)

La relación de las presiones de estancamiento se obtienen directamente de las ecuaciones (4.16) y (5.3),

p o 2 p o1

 2 1 1  k M 1   1  k M 22  1 

k  1

 M  2  k  1 2  M1  2  2 2

k

 k 1

(5.8)

La relación de la temperatura de estancamiento se logra directamente mediante las ecuaciones (2.14) y (5.6),

 1  k M   T o1  1  k M

T o 2

2 1 2 2

  

2

 M 2    M  1 

2

 k  1 2  M2  1 2    1  k  1 M 2   1  2  

(5.9)

Finalmente, el cambio de la entropía queda de la siguiente forma

 1  k M 2 2  M 2   1  k M12  1 2     R ln  s2  s1  c p ln  2   2  1 k 1 k   M M M  2   1   2   

(5.10)

Las condiciones características pueden obtenerse asignando, en las ecuaciones anteriores, a M1  1 , y por lo tanto las correspondientes propiedades se denotan como: p1  p , T 1  T  ,  1    , pO1  pO , T O1  T O , y M 2  M , es decir p p





1  k 1  k M 2

(5.11)

2

 1  k   M  2  T   1  k M  T

2

UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

(5.12)

5


  



1  1  k M 2 





M 2  1  k 

(5.13)

po 1  k  2  k  1M 2     k  1 p o 1  k M 2   T o 

T o



k  1M 2

1  k M 

2 2

k

 k 1

(5.14)

2  k  1M  2

 1  k   2  1  k M 

s  s   c p ln M 2 

(5.15)

k 1 k

(5.16)

Conocer el cambio en las propiedades en base a las ecuaciones anteriores, resulta algo difícil, por ello las ecuaciones (5.11) hasta la (5.15) están tabuladas en el anexo del capitulo para k = 1,4 y adicionalmente se han graficado en la figura 5.2. Para este tipo de flujo las propiedades se comportan de una manera más irregular que para el flujo Fanno. Si se está calentando y aumentando el número de Mach hasta condición sónica, las presiones estáticas y de estancamiento van disminuyendo y la densidad y la temperatura de estancamiento van aumentando. Por otro lado si se está enfriando y aumentando el número de Mach en condición supersónica, la presión de estancamiento y la densidad van en aumento y la temperatura de estancamiento así como la presión estática van disminuyendo. Es importante señalar que para un campo de flujo dado las propiedades locales estas referidas a las propiedades para un Mach 1, las cuales son constantes y se representaban con un asterisco. Estas propiedades o valores, si bien fueron definidas para la condición de Mach 1, son fundamentalmente diferentes a las propiedades definidas como T  , p , y  en el capitulo primero. En aquella ocasión T  fue definida como la temperatura que correspondería a un punto particular de una línea de corriente de un campo de flujo si era lograda en forma imaginaria y mediante un proceso adiabático hasta llegar a un Mach 1, estando el campo de flujo subsónico o supersónico. En la presente sección se está tratando un campo de flujo unidimensional con transferencia de calor, es decir, un proceso no adiabático. Aquí T  , p , y  son, entonces, condiciones logradas, en un campo de flujo unidimensional, en donde se llega a un Mach 1 con transferencia de calor. Para entender mejor este planteamiento considérese dos secciones diferentes, en un campo de flujo unidimensional, con adición de calor, indicadas por 1 y 2, tal y como se señala en la figura 5.3a. El flujo en la sección 1 tiene las propiedades M 1 , p1 y T 1 , para un Mach (para esta discusión) de 3. 







Si se adiciona una cantidad de calor q1 , entre las secciones 1 y 2, resulta que las propiedades varían a M 2 , p 2 y T 2 , tal y como se indica en la figura 5.3a. El número de Mach debe de disminuir según las graficas de la figura 5.2 y la ecuación 5.1. Para esta UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

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discusión se supondrá que se logra un Mach de 1,5. De nuevo observemos la sección 1, en donde el Mach es 3. Imaginémonos que se adiciona calor aguas abajo hasta lograr que el número de Mach sea la unidad, tal y como se indica en la figura 5.3b. Este calor se indica como q1 y obviamente q1  q1 .

Figura 5.2. Comportamiento de las propiedades para un flujo Rayleigh y para k = 1,4. UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

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a b c Fig. 5.3.- Ilustración de la referencia de las condiciones a Mach 1 para un campo de flujo unidimensional con adición de calor.

Las condiciones en el ducto donde M  1 , luego de que es adicionado q1 son indicadas como T  , p ,  , po , y T o . Regresemos a la sección 2, donde M 2  1,5 . Imaginémonos, de nuevo, que se adiciona calor aguas debajo de esta sección hasta lograr que el número de Mach sea la unidad, tal y como se indica en la figura 5.3c. Este calor se indica como q 2 . Las condiciones en el ducto donde M  1 , luego de que es 







adicionado q 2 son indicadas como T  , p ,  , p o , y T o . Estos son, precisamente, los 







mismos valores que se obtuvieron luego de adicionar q1 . En otras palabras, para un flujo unidimensional determinado, los valores de T  , p ,  , po , y T o que se logran cuando se adiciona calor, a ese campo de flujo, hasta lograr M  1 , serán los mismos si se adiciona un calor q1 , desde la sección 1, o un calor q 2 desde la sección 2.lo anterior es porque de la ecuación 5.11 hasta la ecuación 5.15, las cantidades indicadas con asterisco son simples cantidades referenciales que se establecen cuando en un campo de flujo unidimensional dado se somete a una adición de calor y el Mach llega al valor de la unidad. De allí la generación de las tablas del anexo de este capitulo. Se deja al 








8


estudiante analizar si ocurre lo mismo si en proceso de transferencia de calor es de enfriamiento. Otro detalle importante a señalar en el flujo Rayleigh es el comportamiento de la temperatura estática y de estancamiento. Analizando las ecuaciones 5.12 y 5.15, en forma grafica (ver figura 5.2 o 5.3), se observa que la temperatura estática y la de estancamiento presentan un continuo aumento si existe un proceso de adición de calor o una disminución si existe en extracción de calor. Este detalle podría entenderse como lógico, pero lo que se observa es que, para ambas variables, existe un valor máximo. La temperatura de estancamiento tiene su valor máximo cuando el número de Mach tiene el valor unitario. Esto quiere decir que existe una cantidad máxima de transferencia de calor (enfriamiento o calentamiento), cualquiera que sea la condición del flujo Rayleigh, es decir, condición subsónica o supersónica, que se puede producir en un campo de flujo unidimensional determinado. Se puede concluir que para un campo de flujo unidimensional Rayleigh, determinado por sus condiciones iniciales de estancamiento, estaría estrangulado o limitado en la cantidad de transferencia de calor, al llegar en número de Mach al valor de la unidad. En lo que respecta a la temperatura estática ésta se mantiene, en un rango apreciable de valores del numero de Mach subsónico y supersónico, siempre por debajo del valor de T  ; y es solo en un reducido rango de valores del numero de Mach subsónico que está sobre el valor de T  y es allí cuando logra su máximo valor y sobre el valor de T  .

5.2.- LINEA RAYLEIGH. Al igual que en el flujo adiabático o unidimensional predecir, en forma inmediata, los diferentes cambios que se generan en las propiedades de un flujo Rayleigh, solo en base a las ecuaciones anteriores, resulta algo difícil, o se debe poseer todas las gráficas de todas las ecuaciones del flujo Rayleigh. Por lo tanto la necesidad de una sola gráfica para conocer el comportamiento de todos los cambios de las propiedades de un flujo Rayleigh, facilitaría el estudio del mismo. Considérese un campo de flujo unidimensional, permanente, sin fricción de un gas calóricamente perfecto, con transferencia de calor, a través de un ducto de sección constante, (flujo Rayleigh), como se indicó en la figura 5.1. Para el volumen de control indicado, la ecuación de la cantidad de movimiento lineal es

 V 1  p2 A2  m V 2 p1 A1  m o p 

  V 2 

 const


(5.17)

9


Fig. 5.3.- Comportamiento de la temperatura estática y de estancamiento para un flujo Rayleigh y k = 1,4


10


incluyendo la ecuación de estado en la ecuación (5.17), se tiene p 

  V 2 RT p

 const

(5.18)

Al igual que en el flujo adiabático o unidimensional, el producto de la densidad y la velocidad,  V , es constante para un flujo Rayleigh dado, en donde al área, A , es constante. Por lo general también se conoce T o y p o . Por otro lado, de la segunda ley de la termodinámica, s  s1  c p ln

T T 1

 R

p p1

y conociendo los valores de temperatura, T 1 , presión, p1 , y la entropía, s1 , de algún punto de un campo de flujo Rayleigh, se pueden determinar diferentes valores de T y de s  s1 para diferentes valores de p que se asignen a ese campo de flujo Rayleigh. De tal forma que se puede crear una tabla de valores entre p , T y s  s1 , graficarlos en un diagrama T  s y obtener la correspondiente curva. La curva que se obtiene, de esta forma, es la denominada Línea Rayleigh. (ver figura 5.4). Dicha curva representa cualquier flujo Rayleigh y por lo menos se puede establecer rápidamente como varía la temperatura y presión. Sin embargo aún es necesario determinar la variación de la velocidad y por lo tanto, del número de Mach. Línea de temperatur a cons tan te dT T

ds

0

b

a

Línea de entropía cons tan te ds dT

0

s Fig. 5.4 Línea Rayleigh


11


a se cumple que ds

Observando la figura 5.4 en el punto

determinar la importancia termodinámica del punto ecuaciones importantes.

 0 . Para dT a , se estudiarán algunas

Diferenciando la ecuación (5.17), se obtiene dp    VdV

o dp

 VdV



(5.19)

combinando la ecuación (5.19) con la (2.15), se tiene

Tds  dh  VdV

(5.20)

Para un gas calóricamente perfecto, dh  c p dT y sustituyéndola en la ecuación (5.20), da Tds  c p dT  VdV

o ds dT



cp T



V dV T dT

(5.21)

reuniendo las ecuaciones (5.19); (5.21); la ecuación de estado, p   RT ; y dh  c p dT en la (5.21) y luego de algunos trabajos algebraicos, (se deja al estudiante el desarrollo del mismo), se obtiene: ds dT



cp T



V

1

   

T T  V V R

(5.22)

Como ya se señaló, para el punto a , sobre la línea Rayleigh ds

 0 . Por lo dT tanto igualando la ecuación (5.22) a cero y realizando las operaciones algebraicas necesarias, (se deja al estudiante el desarrollo del mismo) resulta: V a 

kRT a


(5.23)

12


es decir, el número de Mach en el punto a es la unidad Ma  1

(5.24)

Para el punto b , de la misma figura, se cumple que dT

ds

 0 . De la ecuación

(5.22) se obtiene dT ds



1 1   1 ds  c  dT  p T   V T T V  V R  

    

e igualándola a cero da como resultado Mb 

1 k

(5.25)

Al ser siempre k mayor a la unidad, en el punto b , el campo de flujo es subsónico. Pero aún falta conocer algo más de la línea Rayleigh. Considérese la ecuación de la energía, en la forma diferencial, sobre el volumen de control de la figura 5.1 dh  VdV   q

(5.26)

donde  q es el calor transferido por unidad de masa del fluido en el volumen de control. Recordando que dh  c p dT  RkdT k  1 y sustituyendo en la ecuación (5.26), se logra obtener la relación dV V



 q V dT



c pT  T dV



V 2 k  1 

1



kRT 

(5.27)

Combinando las ecuaciones de la velocidad del sonido para un gas calóricamente perfecto; la ecuación de estado para un gas calóricamente perfecto; y la (5.19) con la ecuación (5.27), se obtiene dV V



 q

1

c pT 1  M 2 

(5.28)

La ecuación (5.28) indica que cuando el flujo Rayleigh es subsónico ( M  1 ), se incrementa la velocidad del flujo al calentarse (  q  0 ) y decrece la velocidad del flujo al UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

13


enfriarse (  q  0 ). Cuando el flujo Rayleigh es supersónico ( M  1 ), disminuye la velocidad del flujo al calentarse y se incrementa la velocidad al enfriarse. Por otro lado y por la experiencia, la segunda ley de la termodinámica establece que la entropía se incrementa con el calentamiento y disminuye con el enfriamiento.

h

b

b

h

Enfriar a

h

Enfriar

M 1

Calentar s

Enfriar a

a

Calentar

a 

Calentar b

b

s

Choque Normal Calentar

c 

s

Fig. 5.5.- (a) Flujo Subsónico. (b) Flujo Supersónico. (c) Choque Normal

En base al análisis anterior se puede concluir que en la zona inferior de la curva el campo de flujo es supersónico y en la parte superior es subsónico y se puede conocer como varían las propiedades de un flujo Rayleigh y para ello se obtiene la tabla 5.1 y en la figura 5.5 se muestra lo indicado antes. A lo largo de la zona superior de la línea Rayleigh el flujo es subsónico. El calentamiento del flujo hace que se acelere hasta llegar a un M  1 en al punto a . Entre el punto b y el punto a el calentamiento hace que la temperatura disminuya y un enfriamiento hace que la temperatura aumente. A lo largo de la zona inferior de la línea Rayleigh el flujo es supersónico. El flujo Rayleigh puede estar o no bloqueado al llegar al punto a y la existencia de una onda de choque será factible. Cada punto en la curva Rayleigh corresponderá a un q diferente. En la figura 5.6, además de reafirmar lo anterior, también muestra la variación de la entalpía de estancamiento durante los procesos simples de calentamiento y enfriamiento. Nótese que la entalpía de estancamiento es máxima en el punto de máxima entropía. La entalpía de estancamiento siempre aumenta a lo largo de una línea de Rayleigh durante el calentamiento y disminuye con el enfriamiento.


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Tabla 5.1.- Variación de las Propiedades en un Flujo Rayleigh. Calentar

Calentar

Enfriar

Enfriar

M<1

M>1

M<1

M>1

V

Aumenta

Disminuye

Disminuye

Aumenta

M

Aumenta

Disminuye

Disminuye

Aumenta

T

Aumenta para 0 ≤ M ≤ 0.845 Decrece para 0.845 ≤ M ≤ 1

Aumenta

Disminuye para 0 ≤ M ≤ 0.845 Aumenta para 0.845 ≤ M ≤ 1

Disminuye

T O

Aumenta

Aumenta

Disminuye

Disminuye

p

Disminuye

Aumenta

Aumenta

Disminuye

pO

Disminuye

Disminuye

Aumenta

Aumenta

La cantidad de calor agregada a las velocidades supersónicas o subsónicas no puede ser mayor que aquella que hace que el numero de Mach a la salida sea la unidad. Aumentos posteriores de calor reactivaran el flujo, esto es, las condiciones del flujo inicial cambiaran para permitir la entrada de una cantidad especifica de calor.

Fig. 5.6.- Línea de Rayleigh sobre un diagrama entalpía-entropía..


15


5.3.- RESUMEN DE ECUACIONES. V 1  1  V 2  2 (2.1)

 k  1 2  M2  2 1 1  k M1 2    k  1 2  1  k M 22  M1  1 2  

pO 2 pO1

p1   1V 12  p2   2V 22 (2.2) h1 

2 1

V

2

 q  h2 

2 2

 1  k M   T O1  1  k M

V

2 1 2 2

T O 2

2

 V 22   V 12     c pT 1   q   c pT 2  2 2     (5.1)

T 2 T 1

V 2 V 1





(5.10) p p

1  k M

2 1 2 2

1  k M (5.3)

p2  1

M1 a1





M 2  T 2 



1



 1  k M   T 1  1  k M

T 2

 

2

M1  T 1 

  

pO 2

 M 2     M1 

2

 1  k M 22     1  1  k M12 

pO



T O 2



1  1  k M 2 





2 M  1  k 

 M1    M  2 

1  k  2  k  1M 2 



1  k M 2 

k  1

 

k

 k 1

(5.14)

(5.6)  2

2

2

(5.13)

(5.5) 2 1 2 2

1  k M 2 (5.11)

(5.12)

p1  2 p1 V 1 (5.4)

M 2 a2

1  k



 1  k  M    2 T  1  k M  T

p2 V 2



 k  1 2  M2  1 2   k 1  1 M12   2  

 1  k M 2 2  M 2   1  k M12  1 2        R ln s2  s1  c p ln  2   2    1  k M 2   M1    1  k M 2 

(5.2)

p1

 M 2    M  2 

2

(5.9)

q  c pT O 2  c pT O1  c p T O 2  T O1 



 k 1

(5.8)

(2.3)

p2

k

2



T O



k  1M2

1  k M 

2 2

2  k  1M  2

(5.15)

(5.7) UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

16


 1  k  s  s   c p ln M 2   2  1  k M  (5.16)

  V 2

p 

p 

k 1

ds

k

dT



cp



Ma  1

(5.24)

 const

Mb 

Tds  dh  VdV (5.20)

dT

cp

dh  VdV   q (5.26) dV V



V dV

T T dT (5.21)

1

k (5.25)

 VdV  (5.19)



kRT a

(5.23)

dp

ds

   

V a 

 (5.17)

p (5.18)

1

T T  V V R (5.22)

T

 const

  V 2 RT

V



 q V dT



c pT  T dV



V 2 k  1 

1



kRT 

(5.27) dV V



 q

1

c pT 1  M 2 

(5.28)


2


5.4.- APLICACIONES. Nº 1.- Circula aire a través de una tubería de sección constante y en forma adiabática. En el momento en que la velocidad es u 1 = 750 m/s; p 1 = 190 kPa; y T 1 = 343,03 K, se le adicionan, a éste campo de flujo, 43,02 kJ/(kgmasa). Calcule: a) las condiciones de temperatura; presión y densidad de estancamiento iniciales. b) las condiciones de temperatura; presión y densidad características iniciales. c) las condiciones de velocidad; temperatura y presión estática después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque. d) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo. e) los cambios a realizar, a la entrada del ducto, para incrementar a 75 kJ/(kg masa) el flujo de calor, manteniendo constante la temperatura de estancamiento y presión estática inicial. f) en que forma, (puede expresarlo en porcentaje), se ve afectado el flujo de masa por unidad de área al variar de 43,02 a 75 kJ/(kgmasa) el flujo de calor. g) el cambio de entropía para antes y después de la adición inicial de calor. h) de producirse una onda de choque normal, luego de adicionar los 43,02 kJ/(kgmasa), determine las condiciones de velocidad; temperatura; presión estática y cambio de entropía después de la onda de choque. i) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo, luego de la onda de choque. j) indicar en una curva Rayleigh todo el proceso. Considere R igual a 287 J/kgK; c p = 1005 J/(kg.K) y k igual a 1,4. Solución 1.- Leer. 2.- Datos: u 1 = 750 mt/s; T 1 = 343,03 K; p 1 = 190 kPa; q = 43,02 kJ/(kg masa); k = 1,4; R = 287 J/(kg.K); cp = 1005 J/(kg.K); q = 125 kJ/(kg masa); presión inicial constante; temperatura de estancamiento inicial constante. 3.- Pregunta: a) las condiciones de temperatura; presión y densidad de estancamiento iniciales.

b) las condiciones de temperatura; presión y densidad características iniciales. c) las condiciones de velocidad; temperatura y presión estática después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque. d) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo. e) los cambios a realizar, a la entrada del ducto, para incrementar a 125 kJ/(kg masa) el flujo de calor, manteniendo constante la temperatura de estancamiento y presión estática inicial.


2


f) en que forma, (puede expresarlo en porcentaje), se ve afectado el flujo de masa por unidad de área al variar de 43,02 a 125 kJ/(kgmasa) el flujo de calor. g) el cambio de entropía para antes y después de la adición inicial de calor. h) de producirse una onda de choque normal, luego de adicionar los 43,02 kJ/(kgmasa), determine las condiciones de velocidad; temperatura; presión estática y cambio de entropía después de la onda de choque. i) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo, luego de la onda de choque. j) indicar en una curva Rayleigh todo el proceso

a 

kRT ; M 

u a

p2

;

p1



s2  s1  c p ln

T 2 T 1

p2

 R ln

p1

2c p

;

1  kM 12 1  kM 22

 1  kM 12   ;  T 1  1  kM 22  T o  k  1  2  1   M ; 2 T   T 2

2

 M 2    ; M  1 

;

k

 k  1 2  k 1 ; M   1  p  2 

po

1

 k  1  1  M    2 

 k 1 2 

 o *

T

T o



 2     o  k  1 

k  1



;

 2    po  k  1 

Onda de choque

;

*

2

p

4.- Esquema:

calor

T o  T 

q  c p T o 2  T o1  ;

u2

*

1 k 1

;

k k 1

.

7.- Desarrollo.

Corriente

Cálculos iniciales a1 

a1  371,25m/s

5.- Hipótesis: Gas Calóricamente perfecto. 6.Leyes y Ecuaciones. Conservación de la masa. Segunda Ley. Energía. Tablas de Flujo Rayleigh. Tablas isentrópicas.

kRT 1  1,4 x287 x343,03 

M 1 

u1 a1



750 371,25

 2,02condicion  sup ersonica 

M 1  2,02 a) las condiciones de temperatura; presión y densidad de estancamiento iniciales.


2


T o T T o T

 1

 1

T o T

k  1 2

1,4  1 2

p

M 2

pO

 2,02

2

 0,12389 

pO 

p 0,12389

 1  0,82  1,82

 1,4  1 2,02   1    2   o

 0,55064 

0,55064



343,03 0,55064

 o 

 622,97K

1

2  1, 4 1

 1  0,82

 4,44

2,5



T

1

k 1 2 

 o

por tabla de flujo isentrópico se tiene:

T O 

 1533,62kPa

 k  1  1  M    2 

T o  623,03K

T O

0,12389

 o

T o  343,03 1,82  623,03K

T

190,00



190  1000 287  343,03

 o  8,57

 4,44  1,93  4,44 kg

kg m3

k

 k  1 2  k 1  1  M  p  2 

po

1, 4

1, 4 1  1,4  1  1  2,022  p  2 

po

po p

 1  0,61

3,5

 8,07

 o  8,57 kg

m3

por la tabla de flujo isentrópico se tiene:   O

 022499 

 O 

 0,22499



1,93 0,22499

 8,58 kg

m

3

po  190,00  8,07  1533,65kPa po  1533,65kPa

por tabla de flujo isentrópico se tiene:

b) las condiciones de temperatura; presión y densidad características iniciales. T * T o



2 k  1


3

m3




T 



T o

2 1,4  1

 0,83

T o T o*

T *  623,03  0,83  517,11K



T o* 

T o1 T o*

 0,78941 

T o1 0,78941



623,03 0,78941

 789,23K

T *  517,11K q  c P T 02  T 01   T 02 

k

 2  k 1   po  k  1  p*



 2   po  1,4  1  p

T 02 

1, 4

 1, 4 1

 0,83

3, 5

 0,52

1005 T o 2 T o*

 2    o  k  1 

789,23

 0,84366

 0,84366

1

1

 2  1, 4 1 2, 5   0,83  0,63   o  1,4  1 



 *  8,57  0,63  5,40  *  5,40

665,84

T o*

 k 1



 T 01

 623,03  665,84K 

T o 2

p*  797,50kPa *



c p

T 02  665,84K

p*  1533,65  0,52  797,5kPa



43020

q

en base al resultado anterior y de la tabla de flujo Rayleigh se tiene un número de Mach, luego de la adición de calor y sin condición de onda de choque, de M 2 = 1,77 aproximadamente y se puede crear la siguiente tabla: M 2  1,77

kg m

3

kg m3

c) las condiciones de velocidad; temperatura y presión estática después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque.

M 2,02 1,77

T/T 0,52 0,62

p/p 0,35 0,44

V/V 1,45 1.39

Por lo tanto las condiciones de velocidad; temperatura y presión después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque

De la tabla de flujo Rayleigh y para M = 2,02, se tiene: UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

4


p2 

p2

p*

p

p1

x *

T 2  T 1 1,20  343,03 1,43  410,87K

xp1 

p2  0,44559 x

1 0,35754

x190  236,79kPa

u2



u1 u2

p2  236,79kPa T 2 

T 2 T *

x

T * T 1

T 2  0,62205 x

u2 

u

*

x

u1

xu1  1,3960 x

p1

u2 u1

1 1,4589

M 1

T 2



T 1

410,87



343,03

0,88  1,09  0,96 

s

las

1  kM   1  1,4 x2,02    1  kM  1  1,4 x1,77  2 1 2 2

2

2

1  5,71 6,71    1,25  1  4,39 5,39

 1  kM 12    T 1  1  kM 22 



M 2



M 1 

1,77 2,02

a2 a1





M 2



M 1 410,87 343,03

T 2



T 1 

0,88  1,09  0,96 

x 750 

p2  p1 1,25  190 1,25  236,70kPa 2

d) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo T o 2  T o*  789, 23 K  ya  calculada   q  c p T o*  T o1   1005

x789,23  623,03  1000 q  167,03kJ/(kgmasa)



q  167,03kJ/(kgmasa)

2

 M 2      M 1   1,77 2  T 2 2   1,56 x0,77  1,20   1,25   2  2 , 02 T 1   T 2



2,02

u1

o en su lugar, utilizando ecuaciones, se tiene:

p2

1,77



u2  u1  0,96  750  0,96  720,00m/s

u2  717,66 m

p1

a1

M 2

x343,03  409,08K 0,52161

u2  714,66m/s

p2



1

T 2  409,08K u*



a2

u2  u1  0,96  750  0,96  720,00m/s

u2

u2



M 1

u1

xT 1 

M 2

e) los cambios a realizar, a la entrada del ducto, para incrementar a 125 kJ/(kg masa) el flujo de calor, manteniendo constante la temperatura de


5


estancamiento y presión estática inicial.

producirse una onda de choque normal, luego de adicionar los 43,02 kJ/(kgmasa), determine las condiciones de velocidad; temperatura; presión estática y cambio de entropía después de la onda de choque.

Debido a que el incremento de calor es menor al máximo permisible no es necesario variar alguna condición inicial. f) en que forma, (expresado en porcentaje), se ve afectado el flujo de masa por unidad de área al variar de 43,02 a 115 kJ/(kgmasa) el flujo de calor.

 INICIAL m A

  1u1  1,93 kg

 1u1  1447,5

kg

m

3

De las tablas de choque normal y para un Mach de 1,77 se tiene la siguiente tabla Por lo tanto T 3  410,87 1,5093  620,13K

 750 m  s

T 3  620,13K

s  m  2

p3  236,70  2,4884  589,00kPa

 nuevo m A

  2u2 

236790 287  409,08

kg  2u2  1447,41

 717,66 

p3  589,00kPa

s  m 

 3 

2

M

1

2

1 , 7

0 , 6

p 3/ p

T 3/ T

ρ 3/ ρ

2

2

2

2 , 4

1, 5

2 , 3

m3

m3

u3  0,62335 * 1,4 * 287 * 620,13  311,16 m

g) el cambio de entropía para antes y después de la adición inicial de calor

M

287  620,13

 3,31kg

kg  3  3,31

porcentaje  de  dis min ución  0,01%

s2  s1  c p ln

589,00  1000

T 2 T 1

 R ln

p2



u3  311,16 m

s

s

p1 s  s  1005  ln1,5093  287  ln2,3113   1005 x ln1,20  2873 x ln21,25  s3  s2  173,25 kJ s2  s1  119,19kJ/kg.K kgK

s2  s1  119,19kJ/kg.K

h)

s3  s2  173,25kJ

kgK

de


6


i) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo, luego de la onda de choque.

 k  1  2  1   M  T  2 

T o T o

 1  0,2  0,62335 2  1,08

T o  711,82K

T o*

 0,83982  T 

711,82 0,83982

1005 1000

q  136,45kJ

b) las condiciones de temperatura; presión y densidad características iniciales.

p*  797,50kPa  *  5,40 kg

 847,59K

T o*  847,59K q  c p T o*  T o  

m3

T *  517,11 K

de las tablas de flujo Rayleigh se tiene, para un Mach de 0,62335 aproximado a 0,62 * o

po  1533,65kPa  o  8,57 kg

T T o  660,49 1,08  711,82K

T o

T o  623,03K

 847,59  711,82 

m3

c) las condiciones de velocidad; temperatura y presión estática después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque. p2  236,79kPa T 2  409,08 K

kgmasa

u2  717,66 m s

j) indicar en una curva Rayleigh todo el proceso

d) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo. q  167,03kJ /(kgmasa)

RESULTADOS a) las condiciones de temperatura; presión y densidad de estancamiento iniciales.

e) los cambios a realizar, a la entrada del ducto, para incrementar a 125 kJ/(kg masa) el flujo de calor, manteniendo constante la temperatura de


7


estancamiento y presión estática inicial.

u3  311,16 m s

s3  s2  173,25 kJ

ninguno f) en que forma, (puede expresarlo en porcentaje), se ve afectado el flujo de masa por unidad de área al variar de 43,02 a 125 kJ/(kgmasa) el flujo de calor. porcentaje  de  dis min ución  0,01%

kg  3  3,31

m3

i) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo, luego de la onda de choque. q  136,45 kJ

g) el cambio de entropía para antes y después de la adición inicial de calor.

s2  s1  119,19kJ / kg . K h) de producirse una onda de choque normal, luego de adicionar los 43,02 kJ/(kgmasa), determine las condiciones de velocidad; temperatura; presión estática y cambio de entropía después de la onda de choque.

kgK

kgmasa

To*=789,23K (652,40K) To2=665,84K T

To3=584,22K qmax = 847, kJ/kg

To1=623,03K po=1533,6Kpa

3 T3=620,13K p3=589,00Kpa M3=0,62335

qmax = 167kJ/kg

T 3  620,13 K p3  589,00kPa

T1=343,03K p1=170Kpa M1=2,02 1

2 T2=409,08K p2=236,79Kpa M2=1,77

q = 43,02 kJ/kg

Δs

= 119,19 kJ/kgK

Δs


= 173,25 kJ/kgK s

8


5.5.- PROBLEMAS 5.1.- Circula aire a través de una tubería de sección constante y en forma adiabática. En el momento en que la velocidad es u 1 = 650 m/s; p 1 = 170 kPa; y T 1 = 343,03 K, se le adicionan, a éste campo de flujo, 33,02 kJ/(kgmasa). Calcule: a) las condiciones de temperatura; presión y densidad de estancamiento iniciales. b) las condiciones de temperatura; presión y densidad características iniciales. c) las condiciones de velocidad; temperatura y presión estática después de adicionar el calor y sin que se produzca una onda de choque. c) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo. d) los cambios a realizar, a la entrada del ducto, para incrementar a 75 kJ/(kg masa) el flujo de calor, manteniendo constante la temperatura de estancamiento y presión estática inicial. e) en que forma, (puede expresarlo en porcentaje), se ve afectado el flujo de masa por unidad de área al variar de 33,02 a 75 kJ/(kgmasa) el flujo de calor. f) el cambio de entropía para antes y después de la adición inicial de calor. g) de producirse una onda de choque normal, luego de adicionar los 33,02 kJ/(kgmasa), determine las condiciones de velocidad; temperatura; presión estática y cambio de entropía después de la onda de choque. h) la máxima cantidad posible de calor que puede ser adicionado al flujo, luego de la onda de choque. i) indicar en una curva Rayleigh todo el proceso. Considere R igual a 287 J/kgK; c p = 1005 J/(kg.K) y k igual a 1,4. 5.2.- Circula aire a través de una tubería de sección transversal al flujo constante y en la misma las propiedades estáticas son: p = 10 psia; T x = 1240 ºF; y u = 3000 pie/seg. Realice la gráfica Rayleigh en un gráfico Ts y compare con los valores señalados en tabla. 5.3.- ¿Cuanto calor debe transferido por kg para que el número de Mach aumente de 2 a 2.8 en un conducto sin fricción que transporta aire? A razón de u 1 = 500 m/s? 5.4.- Demuestre que el número de Mach para la condición de máxima temperatura sobre la línea Rayleigh y para un gas calóricamente perfecto, es (1/k) 1/2. 5.5.- Freón líquido, empleado para enfriar componentes electrónicos, fluye establemente dentro de un tubo horizontal de diámetro constante, D = 15.9 mm. Se transfiere calor al flujo, y el líquido hierve y sale del tubo como vapor. Los efectos de la fricción son despreciables comparados con los efectos de la adición de calor. Antes de de transferirse calor las propiedades son: h 1 = 60.9 kJ/kg; ρ 1 = 1620 kg/m3; y el flujo de masa es de 0,835 kg/s. Las propiedades a la salida del tubo son: h 2 = 145 kJ/kg; ρ 2 = 13.4 kg/m3. Calcule: a) el calor transferido; b) la diferencia de presión, p 1 – p2; y c) el máximo calor a transferir.


2


5.6.- Aire entra a un ducto de sección constante a p 1 = 90 kPa; u1 = 520 m/s; y T 1 = 558ºC. Se enfría, despreciando la fricción, hasta una presión p 2 = 160 kPa. Calcule: a) u 2; b) T 2; y c) la cantidad de calor intercambiado en kJ/kg. 5.7.- Circula aire a través de una tubería de sección constante. En una sección aguas arriba las propiedades estáticas son las siguientes: p 1 = 530 ºR; y u 1 = 200 pie/seg. En una sección aguas abajo las propiedades son las siguientes: p 2 = 10 psia; y T 2 = 1760 ºR. para este campo de flujo determine las relaciones: T o2/To1 y po2/po1; y el calor transferido por unidad de masa entre dichas secciones. 5.8.- Calcule, para el problema anterior, el máximo calor a transferir luego de producirse una onda de choque normal para cuando u 1 = 1640 pie/seg. 5.9.- Entra aire a un ducto caliente a p 1 = 1 atm y T 1 = 288 K. Ignorando el efecto de la fricción, calcule el calor transferido por unidad de masa (joules/kg) necesario para estrangular el flujo a la salida del ducto y a las propiedades de presión y temperatura de la misma, para: a) M 1 = 2.0; y b) M 1 = 0.2. Calcule el máximo calor a transferir por unidad de masa (joules/kg), si se produce una onda de choque para la condición de M 1 = 2.0. 5.10.- Circula aire a través de una tubería de sección transversal al flujo constante y en la misma las propiedades estáticas son: p = 10 psia; T x = 1240 ºF; y u = 3000 pie/seg. Realice la gráfica Rayleigh en un gráfico Ts y compare con los valores señalados en tabla. 5.11.- Demuestre que la ecuación sobre la línea Rayleigh para un gas calóricamente perfecto es:

  s  sb T  2  ln c p T b  T 2  k  1  k  1  4k T b 

     

k 1 k

donde sb y Tb son respectivamente la entropía y la temperatura del punto de máxima entropía sobre la línea Rayleigh. 5.12.- Demuestre que el número de Mach para la condición de máxima temperatura sobre la línea Rayleigh y para un gas calóricamente perfecto, es (1/k)1/2. 5.13.- En un ducto de gran longitud que tiene un área constante, el aire fluye con una temperatura que se mantiene constante e igual a 540ºR. Para un número de Mach, a la entrada igual a 0,20, calcular la cantidad de calor que debe ser transferido para aumentar la temperatura de estancamiento en un 10%. Con una


3


presión a la entrada de 50 psia, calcular la presión a la salida y el cambio de entropía por libra de aire. Resolver el problema en Sistema Internacional. 5.14.- Gas ideal entra a una tubería con p 1 = 20 psia, T 1 = 80 ºF, y V 1 = 200 pie/s. Cual será la rata de transferencia de calor necesaria para que la temperatura a la salida del ducto, T 2, sea de 1500 ºF?. Determine p 2; V2; y M 2. El gas es: a) aire; b) helio. Resolver el problema en Sistema Internacional. 5.15.- Entra aire a un ducto en condición subsónicaan1.2 kg/s. Si se adicionan 650 kW de calor las propiedades del flujo en condición de estrangulamiento es de p 2 = 95 kPa y T 2 = 700 K. Calcule: (a) la velocidad y (b) la presión de estancamiento en la sección 1. 5.16.- Una mezcla de aire combustible, la cual se puede aproximar o considerar como aire con k = 1,4 y cp = 1005 J/kg K, entra al ducto de la cámara de combustión con un número de Mach = 0,22 y unas condiciones de velocidad (u 1); presión (p1); y temperatura (T 1) desconocidas. La adición de calor por el efecto de la combustión es de 900 kJ/kg de mezcla, obteniendo, la mezcla, las siguientes propiedades después de la combustión: velocidad (u 2) = 438,8 mt/s; presión estática (p2) = 106,49 kPa; y temperatura estática (T 2) = 1124,79 K. Determine: a) las condiciones de velocidad (u 1); presión estática (p 1); y temperatura estática (T 1) a la entrada de la cámara; b) temperatura de estancamiento a la entrada y luego de la adición de calor; c) la cantidad total de calor adicionado con el cual se logre un flujo sónico; y d) indique las propiedades calculadas en una curva Rayleigh.


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5.6.- TABLAS. TABLA D1.- Flujo Compresible Unidimensional con Transferencia de Calor para un gas calóricamente perfecto con calor especifico y peso molecular constante k = 1,4

M

To /To*

T/T*

p/p*

po /po*

V/V*

0.0000 0.0125 0.0250 0.0375 0.0500 0.0625 0.0750 0.0875 0.1000 0.1125 0.1250 0.1375 0.1500 0.1625 0.1750 0.1875 0.2000 0.2125 0.2250 0.2375 0.2500 0.2625 0.2750 0.2875 0.3000 0.3125 0.3250 0.3375 0.3500 0.3625 0.3750 0.3875 0.4000 0.4125 0.4250 0.4375 0.4500 0.4625 0.4750

0.00000 0.00075 0.00300 0.00673 0.01192 0.01856 0.02661 0.03603 0.04678 0.05880 0.07205 0.08646 0.10196 0.11850 0.13599 0.15437 0.17355 0.19347 0.21404 0.23519 0.25684 0.27890 0.30131 0.32399 0.34686 0.36986 0.39291 0.41596 0.43894 0.46179 0.48445 0.50688 0.52903 0.55084 0.57229 0.59333 0.61393 0.63405 0.65368

0.00000 0.00090 0.00359 0.00807 0.01430 0.02226 0.03190 0.04317 0.05602 0.07038 0.08619 0.10336 0.12181 0.14145 0.16219 0.18395 0.20661 0.23009 0.25428 0.27908 0.30440 0.33013 0.35619 0.38246 0.40887 0.43533 0.46174 0.48804 0.51413 0.53996 0.56544 0.59052 0.61515 0.63926 0.66280 0.68574 0.70804 0.72965 0.75055

2.40000 2.39948 2.39790 2.39528 2.39163 2.38695 2.38125 2.37455 2.36686 2.35822 2.34862 2.33811 2.32671 2.31444 2.30133 2.28742 2.27273 2.25730 2.24116 2.22435 2.20690 2.18884 2.17023 2.15108 2.13144 2.11134 2.09082 2.06991 2.04866 2.02708 2.00522 1.98311 1.96078 1.93827 1.91559 1.89279 1.86989 1.84691 1.82388

1.26788 1.26774 1.26732 1.26663 1.26567 1.26443 1.26293 1.26117 1.25915 1.25687 1.25436 1.25161 1.24863 1.24543 1.24201 1.23840 1.23460 1.23061 1.22645 1.22214 1.21767 1.21307 1.20834 1.20350 1.19855 1.19351 1.18839 1.18320 1.17795 1.17265 1.16732 1.16196 1.15658 1.15119 1.14581 1.14044 1.13508 1.12976 1.12448

0.00000 0.00037 0.00150 0.00337 0.00598 0.00932 0.01339 0.01818 0.02367 0.02985 0.03670 0.04420 0.05235 0.06112 0.07048 0.08042 0.09091 0.10193 0.11346 0.12547 0.13793 0.15083 0.16412 0.17780 0.19183 0.20619 0.22084 0.23578 0.25096 0.26637 0.28198 0.29778 0.31373 0.32981 0.34600 0.36229 0.37865 0.39507 0.41151


5

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana 0.4875 0.5000 0.5125 0.5250 0.5375 0.5500 0.5625 0.5750 0.5875 0.6000 0.6125 0.6250 0.6375 0.6500 0.6625 0.6750 0.6875 0.7000 0.7125 0.7250 0.7375 0.7500 0.7625 0.7750 0.7875 0.8000 0.8125 0.8250 0.8375 0.8500 0.8625 0.8750 0.8875 0.9000 0.9125 0.9250 0.9375 0.9500 0.9625 0.9750 0.9875 1.0000 1.0125 1.0250 1.0375 1.0500 1.0625 1.0750 1.0875

0.67279 0.69136 0.70937 0.72680 0.74365 0.75991 0.77557 0.79063 0.80508 0.81892 0.83217 0.84481 0.85686 0.86833 0.87922 0.88953 0.89929 0.90850 0.91717 0.92532 0.93296 0.94009 0.94675 0.95293 0.95866 0.96395 0.96881 0.97325 0.97730 0.98097 0.98426 0.98720 0.98980 0.99207 0.99403 0.99569 0.99705 0.99814 0.99897 0.99955 0.99989 1.00000 0.99989 0.99958 0.99907 0.99838 0.99750 0.99647 0.99527

0.77072 0.79012 0.80875 0.82660 0.84364 0.85987 0.87529 0.88991 0.90371 0.91670 0.92890 0.94031 0.95094 0.96081 0.96992 0.97829 0.98595 0.99290 0.99916 1.00476 1.00971 1.01403 1.01775 1.02089 1.02345 1.02548 1.02698 1.02797 1.02849 1.02854 1.02815 1.02733 1.02612 1.02452 1.02255 1.02023 1.01759 1.01463 1.01138 1.00785 1.00405 1.00000 0.99572 0.99122 0.98651 0.98161 0.97652 0.97127 0.96587

1.80083 1.77778 1.75475 1.73176 1.70883 1.68599 1.66324 1.64060 1.61810 1.59574 1.57354 1.55152 1.52967 1.50801 1.48656 1.46531 1.44429 1.42349 1.40292 1.38259 1.36250 1.34266 1.32307 1.30373 1.28465 1.26582 1.24726 1.22896 1.21092 1.19314 1.17562 1.15837 1.14138 1.12465 1.10818 1.09196 1.07601 1.06030 1.04486 1.02966 1.01471 1.00000 0.98554 0.97132 0.95733 0.94358 0.93006 0.91677 0.90371

1.11924 1.11405 1.10893 1.10387 1.09888 1.09397 1.08915 1.08442 1.07979 1.07525 1.07083 1.06651 1.06230 1.05821 1.05425 1.05041 1.04669 1.04310 1.03965 1.03633 1.03315 1.03010 1.02720 1.02444 1.02182 1.01934 1.01701 1.01483 1.01280 1.01091 1.00917 1.00758 1.00614 1.00486 1.00372 1.00273 1.00190 1.00122 1.00068 1.00030 1.00008 1.00000 1.00008 1.00030 1.00068 1.00122 1.00190 1.00273 1.00372

0.42798 0.44444 0.46090 0.47732 0.49369 0.51001 0.52626 0.54243 0.55850 0.57447 0.59033 0.60606 0.62167 0.63713 0.65246 0.66763 0.68265 0.69751 0.71220 0.72672 0.74107 0.75524 0.76924 0.78305 0.79668 0.81013 0.82339 0.83646 0.84934 0.86204 0.87455 0.88688 0.89901 0.91097 0.92273 0.93431 0.94571 0.95693 0.96796 0.97882 0.98950 1.00000 1.01033 1.02049 1.03048 1.04030 1.04995 1.05945 1.06878


6


0.99392 0.99244 0.99082 0.98907 0.98721 0.98524 0.98316 0.98098 0.97872 0.97637 0.97394 0.97143 0.96886 0.96622 0.96353 0.96078 0.95798 0.95513 0.95225 0.94932 0.94637 0.94338 0.94036 0.93732 0.93425 0.93117 0.92807 0.92496 0.92184 0.91871 0.91557 0.91242 0.90928 0.90613 0.90298 0.89983 0.89669 0.89355 0.89042 0.88730 0.88419 0.88108 0.87799 0.87491 0.87184 0.86878 0.86574 0.86272 0.85971

0.96031 0.95462 0.94881 0.94289 0.93685 0.93072 0.92451 0.91821 0.91185 0.90542 0.89893 0.89239 0.88581 0.87920 0.87255 0.86587 0.85917 0.85246 0.84574 0.83901 0.83227 0.82554 0.81882 0.81210 0.80539 0.79870 0.79203 0.78537 0.77874 0.77214 0.76556 0.75902 0.75250 0.74602 0.73958 0.73317 0.72680 0.72047 0.71418 0.70794 0.70174 0.69558 0.68946 0.68340 0.67738 0.67140 0.66548 0.65960 0.65377

0.89087 0.87825 0.86584 0.85365 0.84166 0.82988 0.81831 0.80693 0.79576 0.78477 0.77398 0.76337 0.75294 0.74270 0.73263 0.72274 0.71301 0.70346 0.69407 0.68484 0.67577 0.66686 0.65810 0.64949 0.64103 0.63271 0.62453 0.61650 0.60860 0.60083 0.59320 0.58569 0.57831 0.57106 0.56393 0.55691 0.55002 0.54324 0.53657 0.53001 0.52356 0.51722 0.51098 0.50484 0.49880 0.49287 0.48703 0.48128 0.47562

1.00486 1.00615 1.00759 1.00918 1.01093 1.01282 1.01487 1.01707 1.01942 1.02192 1.02457 1.02737 1.03033 1.03343 1.03669 1.04010 1.04366 1.04737 1.05124 1.05526 1.05943 1.06376 1.06823 1.07287 1.07765 1.08259 1.08769 1.09294 1.09835 1.10391 1.10963 1.11551 1.12155 1.12774 1.13409 1.14061 1.14729 1.15412 1.16112 1.16828 1.17561 1.18310 1.19076 1.19858 1.20657 1.21473 1.22306 1.23156 1.24024

1.07795 1.08697 1.09583 1.10454 1.11310 1.12151 1.12978 1.13790 1.14589 1.15374 1.16145 1.16902 1.17647 1.18379 1.19098 1.19805 1.20499 1.21182 1.21852 1.22511 1.23159 1.23796 1.24422 1.25037 1.25641 1.26235 1.26819 1.27393 1.27957 1.28512 1.29057 1.29593 1.30120 1.30639 1.31148 1.31649 1.32142 1.32626 1.33102 1.33571 1.34031 1.34485 1.34930 1.35368 1.35800 1.36224 1.36641 1.37052 1.37455


7


0.85672 0.85374 0.85078 0.84784 0.84492 0.84202 0.83914 0.83628 0.83344 0.83062 0.82782 0.82504 0.82228 0.81954 0.81683 0.81414 0.81146 0.80882 0.80619 0.80358 0.80100 0.79844 0.79590 0.79339 0.79090 0.78842 0.78598 0.78355 0.78114 0.77876 0.77640 0.77406 0.77175 0.76945 0.76718 0.76493 0.76270 0.76049 0.75830 0.75613 0.75399 0.75186 0.74976 0.74768 0.74561 0.74357 0.74155 0.73954 0.73756

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0.47006 0.46459 0.45920 0.45390 0.44868 0.44355 0.43850 0.43353 0.42863 0.42381 0.41907 0.41440 0.40980 0.40528 0.40082 0.39643 0.39211 0.38786 0.38366 0.37954 0.37547 0.37147 0.36752 0.36364 0.35981 0.35604 0.35232 0.34866 0.34505 0.34150 0.33799 0.33454 0.33114 0.32778 0.32448 0.32122 0.31801 0.31484 0.31172 0.30864 0.30561 0.30261 0.29966 0.29675 0.29388 0.29105 0.28826 0.28551 0.28279

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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana 6.5000 6.5125 6.5250 6.5375 6.5500 6.5625 6.5750 6.5875 6.6000 6.6125 6.6250 6.6375 6.6500 6.6625 6.6750 6.6875 6.7000 6.7125 6.7250 6.7375 6.7500 6.7625 6.7750 6.7875 6.8000 6.8125 6.8250 6.8375 6.8500 6.8625 6.8750 6.8875 6.9000 6.9125 6.9250

0.52970 0.52955 0.52940 0.52926 0.52911 0.52897 0.52883 0.52868 0.52854 0.52840 0.52826 0.52812 0.52798 0.52784 0.52771 0.52757 0.52743 0.52730 0.52716 0.52703 0.52690 0.52676 0.52663 0.52650 0.52637 0.52624 0.52611 0.52598 0.52586 0.52573 0.52560 0.52548 0.52535 0.52523 0.52510

0.06726 0.06701 0.06677 0.06652 0.06627 0.06603 0.06579 0.06555 0.06531 0.06507 0.06483 0.06459 0.06436 0.06412 0.06389 0.06366 0.06343 0.06320 0.06298 0.06275 0.06252 0.06230 0.06208 0.06186 0.06164 0.06142 0.06120 0.06098 0.06077 0.06055 0.06034 0.06013 0.05991 0.05970 0.05950

0.03990 0.03975 0.03960 0.03945 0.03930 0.03916 0.03901 0.03886 0.03872 0.03858 0.03843 0.03829 0.03815 0.03801 0.03787 0.03773 0.03759 0.03745 0.03732 0.03718 0.03704 0.03691 0.03678 0.03664 0.03651 0.03638 0.03625 0.03612 0.03599 0.03586 0.03573 0.03560 0.03547 0.03535 0.03522

54.68303 55.13599 55.59208 56.05131 56.51371 56.97928 57.44806 57.92005 58.39527 58.87373 59.35547 59.84048 60.32880 60.82043 61.31540 61.81372 62.31541 62.82048 63.32897 63.84087 64.35622 64.87503 65.39731 65.92309 66.45238 66.98520 67.52157 68.06151 68.60503 69.15216 69.70291 70.25730 70.81536 71.37709 71.94252

1.68579 1.68589 1.68600 1.68611 1.68621 1.68632 1.68642 1.68653 1.68663 1.68673 1.68683 1.68694 1.68704 1.68714 1.68724 1.68734 1.68744 1.68753 1.68763 1.68773 1.68783 1.68792 1.68802 1.68811 1.68821 1.68830 1.68840 1.68849 1.68858 1.68867 1.68876 1.68886 1.68895 1.68904 1.68913

1.8.- BIBLIOGRAFÍA. UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Dinámica de Gases. Flujo Unidimensional con Transferencia de Calor.

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Cap 5. Flujo Rayleigh..pdf

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