Cálculo Financeiro Carlos Rebocho Tlm.: 96 803 31 70; e-mail:
[email protected]
Nuno Angelino
Apresentação Disci p plina onceitos básicos
C
apitalização, apitalização, Actualização e taxas de juros
C
Operações financeiras
Rendas
Empréstimos:
Bancários Obrigacionistas
Conceitos básicos
O tempo
O capital
A taxa de juro
Ca pitalização,
Actualização e Taxas juro
Ca pitalização, Actualização e taxas juro onsumo
C
Aforro (ou Poupança)
Entesouramento (Capital monetário) Improdutivo
Investimento (Capital financeiro) Juro
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Capitalização
Co
Co
= Capital inicial Cn = Capital futuro
Cn
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime de capitalização (Lei de formação do juro)
Regime juro composto
Regime juro simples
Regime puro simples
Regime dito simples
Ca pitalização, Actualização e taxas juro rmula Geral de Capitalização
Fó
C0 C1 C2 C3 C4
0
1 i0
2 i1
3 i2
4
Ct-1
Ct
t-1
i3
t it1
C1 = C0 + C0 io = C0(1+i0) C2 = C1 + C1 i1 = C1 (1+i1) = C0(1 + i0)(1+i1) C3 = C2 + C2 i2 = C2 (1+i2) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)
«
Ct = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)«(1+it-1)
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Fó
rmula Geral de Capitalização
Ct = Ct-1 + Ct-1 it-1 = Ct-1 (1+it-1) = C0(1 + i0)(1+i1)(1+i2)«(1+it-1)
t-1
Ct = C0 . 4 (1+is) s=0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Simples
Hipótese:
i0 it = 1 + i0.t em que : it = Taxa de capitalização i0 = Taxa Juro do período [0,1] t = n.º períodos
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Simples Ct = C0 (1+i0) (1 +
i0 1+i0.1
Ct = C0 (1+i0) (
) (1 +
1+i0.2 1+i0.1
i0 1+i0.2
)(
) (1 +
1+i0.3 1+i0.2
) (
i0 1+i0.3
1+i0.4 1+i0.3
) « [1 +
)«[
Ct = C0 (1+i0.t)
i0 1+i0.(t-1)
1+i0.t 1+i0.(t-1)
]
]
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Simples
Taxa de Capitalização it = Juro periódico = C0 x i0 = Ct x it Juro = Ct ± C0 Juro = C0 x i0.t
i0 i0.t
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Exemplo :
O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 ¼ durante 3 anos à taxa de juro inicial de 10% ao ano. a) Determine o juro vencido em cada ano b) Determine o total de juros vencidos c) Determine o valor acumulado
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Simples
a) Determine o juro vencido em cada ano : Juro periódico = C0 x i0 = Ct x it Juro 1 = 1.000 x 0,1 Juro 1 = 100 Juro 2 = 1.000 x 0,1 = 1.100 x 0,0909 Juro 2 = 100 Juro 3 = 1.000 x 0,1 = 1.200 x 0,0833 Juro 3 = 100
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Simples
Ct
=
C0
(1 i0.t)
b) Determine o total de juros vencidos :
Juro = C0 x i0.t Juro = 1.000 x 0,1 x 3 Juro = 300
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Simples c) Determine o valor acumulado :
= C0 x ( 1 + i0.t ) Ct = 1.000 x ( 1 + 0,1 x 3) Ct = 1.300
Ct
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Composto
Hipótese:
i0 = i1 = i2 = « = it = i Taxa de capitalização constante Ct
=
C0
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
t
vez es
«
(1+i)
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Composto
Capitalização
Ct
= C0 ( 1 + i ) t
em que :
= Capital Futuro (valor acumulado) C0 = Capital Inicial (valor actual) i = Taxa de Juro t = n.º períodos
Ct
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Composto
Capitalização
Ct
=
C0
(1+ i)t
Juro do período t = Ct-1 x i = C0 (1+i)t-1 x i Juro = Ct ± C0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Exemplo :
O Sr. Joaquim depositou a quantia de 1.000 ¼ durante 3 anos à taxa de juro de 10% ao ano. a) Determine o juro vencido em cada ano b) Determine o valor acumulado c) Determine o total de juros vencidos
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Composto a) Determine o juro vencido em cada ano : Juro t = Ct-1 x i Juro 1 = 1.000 * 0,1 Juro 1 = 100 Juro 2 = 1.100 * 0,1 Juro 2 = 110 Juro 3 = 1.210 * 0,1 Juro 3 = 121
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Composto b) Determine o valor acumulado : Ct
= C0 ( 1 + i ) t
Ct
= 1.000 x ( 1 + 0,1 ) 3
Ct
= 1.331
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Composto c) Determine o total de juros vencidos :
Juro = Ct ± C0 Juro = 1.331 ± 1.000 Juro = 331
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Conclusão:
Regime Juro Simples Ct
= 1.300
Regime Juro Composto Ct
= 1.331
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Porquê a diferença ? No regime de juro simples a taxa de capitalização é decrescente, daí resultando um juro periódico constante, enquanto no regime de juro composto, com uma taxa de capitalização constante e igual à taxa de juro inicial, o juro periódico cresce de forma exponencial.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Simples
Regime Juro Composto
Período Juro Vencido
Capital
Acumulado
Juro Vencido
Capital
Acumulado
1
100
1.100
100
1.100
2
100
1.200
110
1.210
3
100
1.300
121
1.331
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Actualização
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Actualização
C0
C0
= Capital inicial
Ct
= Capital futuro
Ct
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Regime Juro Composto
Actualização C0
= Ct ( 1 + i ) -t
em que : Ct = Capital Futuro Co = Capital Inicial i = Taxa de Juro t = n.º períodos
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Exemplo :
Na aquisição de um computador, o Sr. Joaquim pagou 1.000 ¼ e comprometeu-se a pagar os restantes 500 ¼ passados 3 anos. Após um ano, face aos excedentes de tesouraria apurados, propôs, ao fornecedor do equipamento, liquidar a sua dívida. Sabendo que a taxa de juro é de 15% anual, quanto deve pagar ?
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Resolução:
Regime Juro Composto 500 0
1
2
= Ct ( 1 + i ) -t C0 = 500 x ( 1 + 0,15 ) -2 C0 = 378,07 C0
3
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Capitalização
ou Acumulação C0
Actualização ou Desconto
C0
= Capital inicial
Ct
= Capital futuro
Ct
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Taxas
juro
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Taxa juro nominal
Regime proporcionalidade
i (m)
m
m.i·
Nº de vezes que o período da taxa i· cabe no período da taxa nominal i (m)
Taxa juro efectiva
i
Regime equivalência
i·
( 1 + i ) = ( 1 + i· )
m
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Proporcionalidade
m=
i¶ = i (m) / m , em que período taxa referência ± i (m) período taxa pretendida ± i¶
Equivalência ( 1 + i ) = ( 1 + i¶ ) m , em que
i ± taxa maior i¶ ± taxa menor período taxa maior m= período taxa menor
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Fórmula
C0
Actualização
= Ct ( 1 + i ) -t
Fórmula Capitalização
Ct
= C0 ( 1 + i ) t
Tanto na Actualização como na Capitalização i e t têm que ter o mesmo horizonte temporal
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Taxa
corrente/Taxa real
Taxa corrente corrente é a taxa taxa conven convencion cionada ada utilizada no cálculo do valor acumulado de um capital durante um determinado período de tempo. Taxa real é a constante de proporcionalidade proporcionalidade entre o valor real de um capital acumulado e o valor do capital inicial quando aplicado durante a unidade de tempo, ou seja, é o capital acumulado à taxa de juro corrente deflacionado à taxa de inflação.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Taxa
corrente/Taxa real
Juro: ompensação da erosão monetária Remuneração do capital C0 . (1 + i) = C0 . [(1 + I).(1 + r)], em que: i ± Taxa Taxa cor corre rent nte e I ± Taxa Taxa de Inflaç Inflação ão r ± Taxa Taxa real real
C
i = I + r + I.r r
i I
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Taxas de Rendimento/Custo Efectivas T.A.E.G. (D.L. 325/91, de 21/9) Taxa Anual de Encargos Efectiva Global (Crédito ao consumo)
T.A.E. (D.L. 220/94, de 23/8) (Crédito bancário) T.A.E.L Taxa Anual Efectiva Líquida (p/depósitos) . Carta Circular do Banco de Portugal, de 12/11/93
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Se i # n, como se resolve ?
Encontramos o 1º momento de convertibilidade. É o momento em que a tx. Nominal é igual á tx. Efectiva.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro Expressões que definem um horizonte temporal Período da taxa de juro
Convertível
xxx vezes Periodicidade dos juros Pagamento de juros ............................
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo : Dada a taxa anual nominal de 12 %, convertível mensalmente, calcular a taxa efectiva anual.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Resolução :
i (m) = 0,12 e m = 12/1 i¶ = i (m) / m i¶ = 0,12 / (12/1) i¶ = 0,01 ± Taxa Efectiva Mensal
( 1 + i ) = ( 1 + i¶ ) m ( 1 + i ) = ( 1 + 0,01)
12
i = 0,1268 i = 12,68% - Taxa Efectiva Anual i (m) = 12% - Taxa Nominal Anual
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Interpolação Linear
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
O que é a Interpolação Linear ?
Interpolação Linear permite estimar, com um grau de certeza muito elevado, uma taxa desconhecida numa dada operação financeira, assentando no pressuposto de que a função em estudo tem um comportamento linear entre dois valores extremos conhecidos.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Exemplo : Sabendo que o Sr. Joaquim pediu um empréstimo de 10.000 ¼ e que se comprometeu a liquidar essa dívida através do pagamento de 3 anuidades de 4.000 ¼, determine qual a taxa de juro utilizada nesta operação.
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Resolução : +10.000 -4.000
0
-4.000
-4.000
2
3
1 i
ACTUALIZAÇÃO C0
= Ct ( 1 + i ) -t
Ca pitalização, Actualização e taxas juro
Resolução : +10.000 -4.000
0
1
-4.000
2
-4.000
3
i
10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
Ca pitalização, Actualização e taxas juro i = i2 ² [ (C 0 ² C2 ).( i2 ² i1 )] / ( C1 ² C2 ), em que :
0
i = taxa pretendida C0 = Capital dado equação i1 = taxa escolhida que substituída na equação origina um C1 = Capital LIGEIRAMENTE superior a C0 i2 = taxa escolhida que substituída na equação origina um C2 = Capital LIGEIRAMENTE inferior a C0
0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro C
omo se utiliza ? -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) 10.000 = 4.000(1+i) 3
i0 = ? C0 = 10.000 i1 = ? - C1 = i2 = ? - C2 =
C0 C0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro C
omo se utiliza ? 10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
Por exemplo, i1 = 9%
4.000.[(1+0,09) -1
= 10.125,18
+ (1+0,09) -2 + (1+0,09) -3]
C0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro C
omo se utiliza ? 10.000 = 4.000(1+i) -1 + 4.000(1+i) -2 + 4.000(1+i) -3
Por exemplo, i2 = 10%
4.000.[(1+0,1) -1 + (1+0,1) -2 + (1+0,1) -3] = 9.947,41
C0
Ca pitalização, Actualização e taxas juro i0 = i2 ² [ (C 0 ² C2 ).( i2 ² i1 )] / ( C1 ² C2 ), em que : i0 = taxa pretendida C0 = 10.000 i1 = 9% C1 = 10.125,18 i2 = 10% C2 = 9.947,41
Ca pitalização, Actualização e taxas juro i0 = i2 ² [ (C 0 ² C2 ).( i2 ² i1 )] / ( C1 ² C2 ) i0 = 0,1 ² [ (10.000 ² 9.947,41).(0,1 ² 0,09) ] (10.125,18 ² 9.947,41)
i0 = 0,097 i0 = 9,7%
Ca pitalização, Actualização e taxas juro 10.12 5,18
a
b'
c'
10.000,00
9.94 7, 4 1
b
c
9,00%
Tx
a b' a b
=
10,00%
b' c' b c
10.12 ,1 - 10.000,00 x - 9,00% = 10.12 ,1 - 9.947,41 10,00% - 9,00%
= 9,70%
O perações financeiras
Letras
O perações financeiras
O que é uma letra ?
Uma letra é um título de
crédito à ordem que pode ser transmitido por endosso (declaração assinada no verso da letra para ser paga a uma terceira pessoa, que se designa por endossado).
Uma letra é uma ordem de
pagamento emitida pelo credor ( sacador ) que deverá ser paga na data de vencimento ao seu legítimo portador (geralmente o sacador, ou ao tomador ² pessoa a quem foi passada a letra ² ou ao endossado ² geralmente um banco)
A assinatura do sacado ( aceite) confirma
O perações financeiras omo funciona ?
C
Quando o legítimo possuidor de uma
letra pretende a antecipação do pagamento (relativamente à data de vencimento) propõe ao banco o seu recebimento mais cedo, descontando o juro e comissões devidas pela antecipação no recebimento, ou seja, propõe ao banco o seu desconto.
O perações financeiras
O que é o desconto ?
Diferença entre o valor nominal / facial da letra (exigível na data de vencimento ² momento n) e o valor recebido aquando da concretização da operação (momento actual ou momento zero).
D = Cn ² C0
O perações financeiras
Tipos de desconto:
Regime Juro Composto - Desconto Composto Regime Juro Simples - Desconto por dentro, Interno ou Racional Desconto por fora, Externo ou Comercial
O perações financeiras
Regime Juro Composto Desconto Composto - Dc
Dc = Cn ² C0
Dc = Cn ² Cn ( 1 + i ) ²n
Dc = Cn . [ 1 ² ( 1+ i ) ²n ]
O perações financeiras
Regime Juro Simples Desconto por dentro, Interno ou Racional - Dd Dd = Cn ± C0 Dd = Cn ± Cn (1 + i0.n) -1 Dd = Cn [1 ± 1/(1 + i0.n)] Dd = Cn.n.i0/(1 + i0.n) = Cn.n.in
O perações financeiras
Desconto por fora, Externo ou Comercial - Df C0
Cn
0
n
Df = Cn . i . n n ² Nº de dias i ² Taxa diária
O perações financeiras Desconto Bancário - DB DB = Df + Comissão Cobrança + Imposto Selo + Portes
Df = Valor Facial x Tx. Anual nominal/Nº dias ano x (n+2)
Pretende-se obter uma taxa diária. A taxa utilizada neste desconto é uma taxa nominal. n - n.º dias que faltam para o vencimento da letra. Os 2 dias adicionais utilizados na contagem é o período de dilação
O perações financeiras Desconto Bancário - DB
Comissão de cobrança - C Cob C Cob = Valor Facial (Cn) x % C Cob
(A % utilizada no cálculo da Comissão de cobrança varia de banco para banco)
Imposto Selo - Imp Selo Imp Selo = ( Df + C Cob ) x % Imp Selo (Actualmente o Imposto de Selo é de 4%)
Portes ² Valor determinado na negociação (Variável de banco para banco)
DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes
O perações financeiras Desconto Bancário - DB Depois de obtidos todos os custos associados ao desconto de uma letra, pode-se determinar o montante do valor efectivamente recebido, ou seja, o valor actual Co ou PRODUTO LÍ QUIDO DO DESCONTO. Como ? Somam-se todos os custos, obtendo o DESCONTO BANCÁRIO TOTAL - DB DB = (Df + C Cob) x (1 + % Imp Selo) + Portes
Co = Cn - DB
O perações financeiras
O custo do crédito associado ao desconto de uma letra é determinado de acordo com o conceito de T.A. E.G. ( Taxa Anual de Encargos Efectiva Global )
A T.A.E.G. é a taxa anual efectiva associada ao desconto efectuado, incluindo todos os encargos suportados. Como se determina ? Através da Fórmula de Capitalização no regime de juro composto.
O perações financeiras C0 Cn 0
n Como se determina a T.A.E.G. ? Conhecidos os valores de C0 (Produto Líquido) e Cn (Valor Nominal), utiliza-se a fórmula de Capitalização de juro composto para determinar a T.A.E.G.
C n = Co ( 1 + i ) n
Em que i é a Taxa diária e n = Nº dias do Ano civil
O perações financeiras
Uma outra questão que se pode colocar no
cálculo das letras é a T.A.E. ( Taxa Anual Efectiva )
Qual a diferença entre a T.A.E.G. ou T.A.E.
?A ÚNICA diferença entre a T.A.E.G. e a T.A.E. é que esta última não entra em conta com o Imposto de Selo. Tudo o resto é igual. Como a T.A.E. é uma taxa de custo efectiva e não se considerando o Imposto de Selo ² que é uma receita do Estado ² esta taxa reflecte unicamente o quanto custa o crédito
O perações financeiras
Cálculo da T.A.E.
Depois de termos obtido todos os custos associados ao desconto de uma letra, podemos determinar o valor hoje recebido, ou seja, podemos determinar o C0 (Produto Líquido). Como ?
Somam-se todos os custos e obtém-se o DESCONTO BANCÁRIO TOTAL ( DB ) DB = Df + C Cob + Imp Selo + Portes
C0 = C n - D B
O perações financeiras C0
Cn
0
n
Como se determina a T.A.E. ? Conhecidos os valores de C0 e Cn, utiliza-se a fórmula de Capitalização de juro composto para determinar a T.A.E. n
Cn = C0 ( 1 + i )
Em que i é a Taxa diária e n = Nº dias do Ano civil
EQUAÇÃO DO VALOR
0
Substituição de um conjunto de capitais com diversos vencimentos por um único capital (CAPITAL COM UM) com um vencimento comum. C1
C2
C3
C4
Ct
n1
n2
n3
n4
nt
1. Conversão do conjunto de capitais primitivos em capitais equivalentes com vencimento comum n 2. Adicionar os valores obtidos
EQUAÇÃO DO VALOR Capitalizações
0
Actualizações
C1
C2
C3
L A M T U I P M A O C C
n1
n2
n3
n
C4 n4
Ct . . .
nt
Para um capital Cs, com vencimento no prazo ns, o CAPITAL EQUIVALENTE Cn, no momento n, vem:
Cn = Cs . ( 1 + i ) n-ns
EQUAÇÃO DO VALOR ma vez obtido o conjunto de capitais equivalentes com igual vencimento, efectua-se a respectiva soma e obtém-se o C APITAL COMUM (C) com
U
VENCIMENTO COMUM (n). t
n - ns ] C = S=1 7 [ Cs. ( 1 + i )
EQUAÇÃO DO VALOR t
7 Cs.( 1 + i )- ns C.(1+i)-n = S=1
EQUAÇÃO DO VALOR
Determinada a Equação do Valor duas questões se colocam, depois da definição da taxa de avaliação : 1. Escolhido o vencimento comum (n), qual o capital comum? 2. Escolhido o capital comum (C), qual o vencimento comum?
