Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil

Director Académico Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia

Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio Colegio de Bachilleres Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Tercera edición 2011. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer María Elena Conde Hernández

Revisor de Contenido: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez

Corrección de Estilo: Jesús Alfonso Velasco Núñez

Edición: Ana Isabel Ramírez Vásquez Vásquez

Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri

Coordinación General: Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010 . Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 2,623 ejemplares.

2

Ubicación Curricular

COMPONENTE:

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

QUÍMICO–BIOLÓGICO

Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es ____________________________ y se relaciona con ____________________________________________________.

HORAS SEMANALES: 3

CRÉDITOS: 6

Nombre: _____________________________________ ______________________________________________________ _________________ Plantel: _________________________ _______________________________________________ ________________________________ __________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Teléfono:_______________ Domicilio: __________________________________________ _____________________________________________________ ___________ ______________________________________________________________

3

Mapa Conceptual de la Asignatura

4

Índice Recomendaciones para el alumno ......................................................................6 Presentación .........................................................................................................6

UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9 1.1. La diferencial .................................................................................................11 Sección de tareas ................................................................................................31 Autoevaluación .....................................................................................................39 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................43

UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45 2.1. Integral Indefinida .........................................................................................47 2.2. Métodos de integración ................................................................................55 Sección de tareas ................................................................................................65 Autoevaluación .....................................................................................................71 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................75

UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ..................................77 3.1. Integral definida ............................................................................................79 3.2. Teorema fundamental del Cálculo ...............................................................83 3.3 Aplicaciones de la Integral Definida ..............................................................89 Sección de tareas ................................................................................................95 Autoevaluación .....................................................................................................99 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101

Claves de respuestas ...........................................................................................103 Glosario ................................................................................................................104 Bibliografía ............................................................................................................105

5

Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: 

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.



Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.



Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.



Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.



Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.



Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.



Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Presentación Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria la identificación). : justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo de conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece esta asignatura al campo de _________? : describe la importancia e intencionalidad de la asignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación de los estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué es importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?

6

RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. Elige y practica estilos de vida saludables. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 7

Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1.

2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

8

Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

Unidad 1 1

Aplicará los conceptos de diferencial, para resolver valores aproximados de funciones; además de problemas prácticos, tras conocer las reglas de diferenciación; mostrando una actitud analítica y participativa.

(1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial e Integral, que también fue inventado de manera paralela por (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en la Tierra.

¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado de la formación matemática que se requiere en las universidades para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, la economía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a la matemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVII y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una nueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la que somos parte.



La diferencial.

Definición de Diferencial

Nos permite enunciar

Reglas de diferenciación

Para resolver problemas

De aproximación al incremento y de errores de aproximación

10

Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite.  

Razón de cambio. Derivadas explícitas.

L A D DIFERENC A I AL dy ” ). Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos ejemplos de esto son: a) Aproximar valores de funciones. b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado). c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco”. Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de tangencia.

y = f ( x ) una función cualquiera y ( x, f ( x)), ( x + ∆ x, f ( x + ∆x )) dos puntos sobre Sea

sean

los

puntos

la función como se

muestra en la siguiente figura:

f ( x + ∆x)

f ( x ) x

x + ∆ x

11

∆ x , representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos el

incremento real que sufre la función que lo denotaremos como diferencia que existe entre

∆ y como la

f ( x) y f ( x + ∆x) , es decir: ∆ y =

f ( x + ∆ x) − f ( x)

Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos apreciar en la siguiente figura:

f ( x + ∆x)

∆ y =

f ( x) x

12

∆ x

x + ∆ x

f ( x + ∆ x) − f ( x)

Tracemos la recta tangente a la función

f ( x) en el punto x , llamaremos dy al

incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en la siguiente figura:

f ( x + ∆x )

∆ y =

f ( x + ∆ x) − f ( x)

dy f ( x) x

∆ x

x + ∆ x

Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de inclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre dy y ∆ x , además si recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál esta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo lo anterior podemos decir que:

dy ∆ x

=

Ahora bien si denotamos a ∆ x como si despejamos

f ´( x )

dx tendremos que

dy dx

=

f ´( x) , o bien

dy se obtiene: dy = f ´( x) dx

A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE

f en

el punto x , con respecto al

incremento ∆ x = dx , conocido también con el nombre de Valor Aproximado del cambio total ∆ y .

13

A la diferencia que existe entre el Valor real ( ∆y ) y el Valor Aproximado ( dy ), le llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir: ∆ y − dy

E.A =

Sea f ( x ) = x 2 . Hallar ∆ x = dx = 0.01 .

Como y = f ( x ) = x 2 , entonces como f ( x + ∆ x) = ( x + ∆x)

2

∆ y , dy

∆ y =

y E.A cuando x = 1 y

f ( x + ∆ x) − f ( x) , calculamos:

(1 + 0.01)2 = (1.01)2 = 1.0201

2

f ( x) = x = (1)2 = 1 Sustituyendo estos valores en: ∆ y =

f ( x + ∆ x) − f ( x ) , obtenemos:

∆ y = 1.0201 − 1 =

0.0201

Que corresponde al incremento real que sufre la función f ( x) = x 2 cuando la x se incrementa de 1 a 1.01. Ahora bien como f ( x ) = x 2 , entonces, f ' ( x ) = 2 x de tal forma que: dy = f ´( x) dx = 2 x dx , sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 0.01

obtenemos: dy = 2 x dx = 2(1) (0.01) dy = 0.02

Que corresponde al Valor Aproximado de la función f ( x ) = x 2 a través de la recta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1.01. Si calculamos E.A. E.A =

∆ y − dy

Es decir: E.A = 0.0201 − 0.02 E.A = 0.0001

E.A = 0.0001 Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos un error de una millonésima. 14

2

Sea f ( x ) = x − 2 x − 3 . Hallar ∆ y , dy y E.A cuando x = 1 y

dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 .

∆ x =

Como

f ( x) = x

2

− 2x − 3 ,

entonces

como

∆ y =

f ( x + ∆ x) − f ( x ) ,

calculamos:

f ( x + ∆ x ) = ( x + ∆ x) f ( x ) = x

2

2

−

2( x + ∆ x) − 3 = x 2

+

2( x )(∆ x) + (∆ x ) 2

−

2 x − 2∆x − 3

− 2x − 3

Sustituyendo estos valores en: ∆ y =

f ( x + ∆ x) − f ( x) , obtenemos:

∆ y = x

2

+

2( x)(∆ x) + (∆ x ) 2

−

2 x − 2∆ x − 3 − ( x 2

∆ y = x

2

+

2( x )(∆ x ) + ( ∆ x) 2

−

2 x − 2∆ x − 3 − x 2

∆ y =

−

+

2 x − 3)

2x + 3

2( x)(∆ x) + ( ∆ x) 2 − 2∆ x si sustituimos por ejemplo los valores de

x = 1 y ∆ x = 1 tendremos que: ∆ y =

2( x )(∆ x ) + ( ∆ x ) 2

− 2∆ x

2(1)(1) + (1) 2 − 2(1) ∆ y = 2 + 1 − 2 ∆ y = 1 ∆ y =

Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir: Para x = 1 y ∆ x = 1 tendremos que: f ( x + ∆ x) = ( x + ∆ x) f ( x + ∆ x) = (1 + 1) 2 f ( x + ∆ x) = ( 2)

2

2

−

− 2( x + ∆ x ) − 3 =

2(1 + 1) − 3 =

− 2( 2) − 3 =

f ( x + ∆ x) = 4 − 4 − 3 = f ( x + ∆ x) = −3

f ( x ) = x

2

f ( x ) = (1)

− 2x − 3 2

− 2(1) − 3

f ( x ) = 1 − 2 − 3 f ( x ) = −4

15

Por lo tanto, si sustituimos estos valores en: ∆ y = f ( x + ∆ x) − f ( x) , obtenemos: ∆ y = −3 − ( −4) ∆ y = −3 + 4 ∆ y = 1 2

Como f ( x) = x − 2 x − 3 entonces:

dy = f ´( x) dx = (2 x − 2) dx sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 1 , se obtiene:

dy = (2 x − 2) dx = ( 2(1) − 2)(1) dy = (2 − 2)(1) dy = (0)(1) dy = 0 De tal manera que: E.A =

∆ y − dy

Es decir: E.A = 1 − 0 E.A = 1 E.A = Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular ∆ y podemos terminar

el ejemplo para el ∆ x = 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 utilizando la siguiente tabla:

EJERCICIO 1

de

resolver

x = 1

de

y

x

∆ x

f ( x + ∆x)

f ( x)

∆ y

dy

E.A

1 1 1 1 1

1 0.5 0.1 0.01 0.001

-3

-4

1

0

1

: Hallar ∆ y y dy y E.A para las funciones y los valores dados:

1) f ( x) = 3 x para x = 8, ∆ x = dx = 0.2 2) f ( x) = Sen x para x = 3) f ( x ) = x 2

π

y dx = 0.1 3 para x = 1 y dx = −0.1

4) f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 3 para x = 2 y dx = 0.01 5) f ( x) = Ln x 16

valor

para x = 1 y dx = 0.5

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, le corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.

Para

f ( x) y g ( x) , funciones derivables de x : d [c ] = 0

:

:

[ ]

d [cg ( x)] = c g ' ( x )dx −1

d x n = n x n dx

:

d [ f ( x) ± g ( x)] = d ( f ( x )) ± d ( g ( x ))

= f ' ( x)dx ± g ' ( x)dx

d f ( x) ⋅ g ( x ) = f ( x) ⋅ d g ( x) + g ( x) ⋅ d f ( x)

= f ( x) ⋅ g ' ( x)dx + g ( x) ⋅ f ' ( x)dx

⎡ f ( x) ⎤ g ( x) ⋅ d [ f ( x)] − f ( x) ⋅ d [g ( x)] ⎥= g x ( ) [g ( x)]2 ⎣ ⎦ g ( x) ⋅ f ' ( x)dx − f ( x ) ⋅ g ' ( x)dx = 2

d ⎢

[g ( x)]

d [( f

o

g )( x)] = d [( f ( g ( x) )] = f ' ( g ( x)) ⋅ g ' ( x) dx

17

. Sea y

=

5 x 2

−

2 x + 4 Calcula dy

Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones.

dy dy

2

d (5 x ) − d ( 2 x) + d ( 4) = 10 xdx − 2 dx =

Factorizando

dx obtenemos la diferencial de la función y

dy

=

=

5 x 2

−

2x + 4

(10 x − 2)dx

(10 x − 2)dx Sea y

=

Hacemos a la función y

dy

= −

dy

= −

1 x =

, Calcula dy 1

−

x y utilizamos la regla de las potencias.

2

−

x dx y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:

1 x

2

dx dy

[ [16 x [56 x

= =

5 6 6

dx x 2

( 2 x 5

−

9)(4 x 2 + 2) , Calcula dy

−

9)(8 x) + ( 4 x 2

+

2)(10 x 4 ) dx

−

72 x + 40 x

+

20 x 4

Sea y

dy = ( 2 x

= −

−

=

6

+

]

20 x

4

] dx

]

72 x dx

[

6 dy = 56 x

18

+

20 x 4

−

]

72 x dx

x + 7 3

Sea

y =

x 2 + 5

, Calcula

dy

⎡ ( x 2 + 5)(3 x 2 ) − ( x 3 + 7)(2 x) ⎤ dy = ⎢ ⎥ dx 2 2 ( x 5 ) + ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 3 x 4 + 15 x 2 − 2 x 4 − 14 x ⎤ =⎢ ⎥ dx 2 2 ( x 5 ) + ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ x 4 + 15 x 2 − 14 x ⎤ =⎢ ⎥ dx 2 2 ⎢⎣ ( x + 5) ⎥⎦ ⎡ x 4 + 15 x 2 − 14 x ⎤ dy = ⎢ ⎥ dx 2 2 ( x 5 ) + ⎢⎣ ⎥⎦

Sea

(

)

6

(

)

7

y = 5 x − 9 , Calcula dy 6

dy = 7 5 x − 9 (30 x ) dx 6

5

= 210 x 5 (5 x 6 − 9) 6 dx dy = 210 x (5 x − 9) dx 5

6

6

19

EJERCICIO 2

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1) y

4x 2

=

−

3

13) y

=

2 (3 x − 2)

1

2) y 3) y

2 x 3

=

2

=

5

4) y

7) y

8)

2 x − 1 5 x 4

=

6) y

2

x + 1

=

5) y

x

y

=

( −2 x 2

+

9)(5 x − 2)

8 x 2

−

2 x + 7

=

=

3 x 2

+

3

5 x −

1 x

20

15) y

6x + 8

x

9) y

=

(9 x 5 − 2 x + 1) 3

=

=

−

14) y

10) y

=

( 2 x + 7) 2

11) y

=

9x +1

12) y

=

1 3

x − 2

5

+

x

−

1 x

+

1

2 5 x + 3 x

−

1

x

+

2

2

d [Sen( g ( x))] = g´( x) ⋅ Cos ( g ( x)) dx

d [Cos( g ( x ))] = − g´( x ) ⋅ Sen( g ( x)) dx d [Tan( g ( x))] = g´( x) ⋅ Sec ( g ( x )) dx 2

d [Cot ( g ( x ))] = − g´( x ) ⋅ Csc ( g ( x )) dx 2

d [Sec( g ( x))] = g´( x ) ⋅ Sec( g ( x)) ⋅ Tan( g ( x)) dx d [Csc( g ( x))] = − g´( x) ⋅ Csc( g ( x )) ⋅ Cot ( g ( x )) dx

( )

d e g x

=

g ' ( x) ⋅ e g

d [ Ln( g ( x)] =

( x)

g ' ( x ) g ( x)

⋅

dx

dx con g ( x) ≠ 0

21

y = Sen(3x − 7) , Calcula dy 2

Sea

dy = 6 x ⋅ Cos (3 x − 7) dx 2

dy = 6 x ⋅ Cos (3 x − 7) dx 2

Sea

2 x + 9 x − 3

y = e

2 x + 9 x −3

dy = ( 2 x + 9) ⋅ e

, Calcula

dy

dx 2 x + 9 x −3

dy = ( 2 x + 9) ⋅ e

Sea

dx

y = Ln (5 x + 3 x + x + 8) , Calcula dy 3

2

⎛ 15 x 2 + 6 x + 1 ⎞ ⎟ dy = ⎜ 3 ⎜ 5 x + 3 x 2 + x + 8 ⎟ dx ⎝ ⎠ ⎛ 15 x 2 + 6 x + 1 ⎞ ⎟ dy = ⎜ 3 ⎜ 5 x + 3 x 2 + x + 8 ⎟ dx ⎝ ⎠

Sea

y = Ln(Tan( x 3 − 5)) , Calcula dy

⎛ 3 x 2 ⋅ Sec 2 ( x 3 − 5) ⎞ ⎟ dx = 3 x 2 ⋅ Csc ( x 3 − 5) ⋅ Sec( x 3 − 5) dx dy = ⎜ ⎜ Tan( x 3 − 5) ⎟ ⎝ ⎠ dy = 3 x 2 ⋅ Csc ( x 3 − 5) ⋅ Sec( x 3 − 5) dx

22

EJERCICIO 3

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1) y

= Sen(4 x 2 − 3)

13) y

=

14) y

=

2 Sec(3 x − 2)

2

1

2) y = Ln( 2 x 3 )

3)

⎛ 2 y = Tan⎜ ⎜ 5 x 2 ⎝

4)

y = e

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

x +1

2 x −1

6) y

5 3 = Csc⎛ ⎜ (9 x − 2 x + 1) ⎞⎟ ⎝ ⎠

7) y

= Cos (−2 x 2 + 9)(5 x − 2)

9)

Csc(5 x + 3)

⎛ x − 1 ⎞ ⎟ 15) y = Ln⎜ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠

= Sec(5 x 4 − 6 x + 8)

5) y

8)

2

⎛ 8 x 2 − 2 x + 7 ⎞ ⎟ y = Ln⎜ 3 ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ y = e

1 1 +1 3 x 2 +5 x − + x − 5 x x

10) y

= Sen(2 x + 7) 2

11) y

= Cos(9 x + 1)

12) y

=

1 3

Tanx − 2

23

Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.

5m

A = l 2 Fórmula del área de un cuadrado. l = 5m dl = ∆l = 0.002m dA = Entonces: Como A = l

2

su diferencial es: dA = 2l.dl y sustituyendo los datos

tenemos: dA = 2(5m)(0.002m)

por lo tanto

dA = 0.020m 2

: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.

Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a

25.4

Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena aproximación a la función y = f ( x) alrededor del punto de tangencia x0 , lo que nos permite afirmar que:

f ( x ) ≅ f ( x0 ) + dy donde dy = f ' ( x0 ) dx Como el problema consiste en aproximar 25.4 , entonces, podemos definir una función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función

f ( x) = x de igual manera escogeríamos un punto x0 donde podamos conocer con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso es conveniente tomar x0 = 25 , entonces si sabemos que:

f ( x) ≅ f ( x0 ) + dy f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx

24

Haciendo: 1) f ( x ) = x 1

Como f ( x) = x entonces f ( x ) = x 2 por lo tanto f ' ( x ) =

2) f ' ( x ) =

3) x

=

4) x0

1 2

x

−

1 2

1

=

2 x

1 2 x

25.4

=

25

dx = x − x0 5) dx = 25.4 − 25

dx = 0.4 Entonces:

f ( x )

25.4

≅

f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx

25

≅

1

+

(0.4)

2 25

25.4

≅

5+

≅

5+

1 ( 2)(5)

(0.4)

1

≅

(0.4) 10 5 + (0.1)(0.4)

≅

5 + 0.04

≅

5.04

El valor real de calculadora.

25.4

=

5.039841 lo podemos obtener haciendo uso de la

De tal manera que el error de aproximación sería: E.A =

=

Valor real − Valor aproximado

5.039841 − 5.04

E.A = − 0.000159 =

0.000159

25

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente una diezmilésima. . Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Ln 1.1 Hagamos: 1) f ( x) = Ln x Como f ( x ) = Ln x entonces f ' ( x) = 2) f ' ( x ) = 3) x

=

4) x0

1 x

1 x

1.1

=

1

dx = x − x0 5) dx = 1.1 − 1

dx = 0.1 Entonces:

f ( x) Ln 1.1

≅

f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx

≅ ≅

0 + 0.1

Ln 1.1 ≅

Ln 1 +

1

(0.1) 1 0 + 1(0.1)

≅

0.1

El valor real de Ln 1.1 = 0.0953 lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería: E.A =

=


0.0953 − 0.1

E.A = − 0.00047 =

0.00047

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente cuatro diezmilésimas.

26

. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? La cantidad de concreto requerida es la diferencia ∆V entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la siguiente figura: ∆V

Calcularemos ∆V a través de dV recordando que la fórmula para calcular el volumen del cilindro es: 2

V = π r h Como h = 1 m = 100 cm entonces tenemos una función para el volumen del cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente manera: V ( r ) = 100

2

π r

Por lo tanto: dV =

200 π r dr

Si sustituimos r = 50 y dr = 3 , en dV , obtenemos:

dV =

200 π (50)(3)

= 94247.77961 cm

3

Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito cilíndrico.

27

. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Cos 30.5º Hagamos: 1) f ( x ) = Cos x Como f ( x) = Cos x entonces f ' ( x ) = − Sen x 2) f ' ( x ) = − Sen x 3) x = 30.5º 4) x0 = 30º

dx = x − x0 5) dx = 30.5º −30º

dx = 0.5º Para poder aproximar correctamente el valor de Cos 30.5º es importante que el π

rad

dx = 0.5º lo expresemos en radianes, es decir, dx =

π

360

rad .

Entonces:

f ( x)

≅

Cos30.5º ≅

≅ ≅ Cos 30.5º ≅

f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx

⎛

⎞ ⎟⎟ ⎝ 360 ⎠

Cos 30º + Sen 30º ⎜⎜

π

⎛ 1 ⎞⎛ π ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 360 ⎠ 3

3 2

+

π

720

360 3 + π 720

El valor real de Cos 30.5º calculadora.

= 0.87038

= 0.86162 lo podemos obtener haciendo uso de la

De tal manera que el error de aproximación sería: E.A =


= 0.86162 − 0.87038 E.A

= − 0.00876 = 0.00876

28

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente ocho milésimas.

EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analítica típica de problemas de aproximación al incremento, utilizando la diferencial y compara el proceso de solución con tu compañero.

EJERCICIO 4

1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2m al aumentar el lado 0.003m.

2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor. 3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo s e hace con un posible error de 0.3º. 4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área? 5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores: 9.5

A) B)

5

C) e

32.1 0.5

D)

3

E)

Sen 45.5º

F)

Cos 60.25º

64.01

G) Tan 30.75º H) Ln 1.3 I)

J)

37

1 4.5

29

30

Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

Hallar ∆ y y dy y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

1) f ( x) = 3 x para x = 64, ∆ x = dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 π

2) f ( x) = Cos x para x =

3

y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

3) f ( x) = x 2 − 1 para x = 1 y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 2 4) f ( x) = x

− 4 x + 3 para

5) f ( x) = Ln x 6) f ( x ) = e x

para x = 1 y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 para x = 0 y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

7) f ( x) = Tan x para x = 8) f ( x) = x 2

x = 1 y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

+ 2 x − 1 para

π

4

y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

x = 0 y dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

9) f ( x) = x para x = 1, ∆ x = dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 10) f ( x) =

1 x

para x =1, ∆ x = dx = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001

31

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

32


Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

1) y = 5 x 3 − 2 x 2 + x − 10

2) y =

1 x

1

+ x − 5

5

x

2

−2

3) y = ( 4 x 7 − 9)(2 x 3 + 1)

4) y =

5) y =

6) y =

x 6 − 2 x + 3

12) y =

2 x − 1 x 2 − 5 x + 9 x 3

13) y = 8 (3x 2 − 1) 5 14) y = (3 x10 − 1)( x 3 + 5)

x 2 + 5 x 3 − 8 x 2 + 2 x + 4 x 2 − 2 x − 15 x − 5

7) y = (3x 2 − 5) 3

8) y = 3 x − 2

9) y =

1

11) y =

1

5

16) y =

4 x 2 + 2 7 x 4 + 8

17) y = 6 x 3 − 4 x 2 − x + 3

18) y =

x + 3 x 4

x

⎛ x + 2 ⎞ ⎟⎟ 19) y = ⎜⎜ x 5 − ⎝ ⎠

x + 7

10) y =

1

15) y =

3

6

20) y = (3 x + 6) 7 ( 2 x − 1) 3

( x 2 + 9) 6

33


34


Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

1) y = Sen ( x 3 + 1) 2) y = Cos ( 2 x 5 + 7)

3) y = Tan ( 4 x 7 − 9)

⎛ x − 2 ⎞ ⎟⎟ + x 5 ⎝ ⎠

4) y = Cot ⎜⎜

5) y = Sec [(3 x + 2)( x − 1)]

6) y = Csc ( 2 x 5 − 11) 5 7) y = Ln (3 x 2 − 5) 3

⎛ x + 3 ⎞ ⎟⎟ 8) y = Ln ⎜⎜ ⎝ x + 4 ⎠ 9) y = Ln ( x − 2)( x + 6) 10) y = Ln ( Sen( x 3 ))

11) y = Ln 12) y =

7

x −9 5

Sen ( x − 3) Cos ( x − 3)

13) y = Sen 2 ( x − 1) + Cos 2 ( x − 1) 14) y =

1 5

Sec ( x )

⎛ x 3 − 5 x + 1 ⎞ ⎟ 15) y = Ln ⎜ ⎜ x 2 − 2 ⎟ ⎝ ⎠

9

16) y = e x −3 x +8

17) y = e x + 2

18) y =

x 2 +5 x + 2

e3

x 2 − x − 2

e

19) y = e

Sen x 5

Cos Ln x 20) y = e ( ( −3))

35


36


Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su

revisión. 1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular: a) El volumen del cubo. b) El área superficial del cubo.

2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. al aumentar el lado 3mm. 3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7.3m al aumentar el lado 0.007m. 4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radio cuando el radio aumenta 3cm. 5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta en 0.04 cm. ¿Cuánto aumento aproximadamente su área? 6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? 8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su lado incrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %. 9) Al calcular la altura de un cerro, se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

37


38

Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. La diferencial de la siguiente función

dy

=

(12 x 3

−

y

=

3 x 4

−

5 x 2

+

4x − 1

es:

10 x + 4) dx

dy

=

(12 x 3

−

10 x + 4 x − 1) dx

dy

=

(12 x 3

−

10 x + 3) dx

dy

=

(12 x 3

−

10 x 2

+

4) dx

2. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0.007m es: 0.698 0.725 0.589 0.456 3. La diferencial de la siguiente función

dy

=

Cos ( x 4

+

=

dy

= −

dy

= −

+

4 x 3 Cos ( x 4 Cos ( x 4

=

Sen ( x

4

+

7) es:

7) dx

4 x 3 Cos ( x 4

dy

y

+

7) dx +

7) dx

7) dx

4. El valor aproximado de 3 8.5 es: 2.041 2.083 2.416 2.004

39


2 x

dy =

dy

=

= Ln

y

=

e

y

=

(x 7

( 2 x + 1) es:

dx

2 x + 1 0 2

dy = dy =

y

2 x + 1 2

dx

Ln (2 x + 1)

dx

6. La diferencial de la siguiente función x −5

dy

=

e

dy

=

( x − 5) e x −5 dx

dy

=

dx

dy

= −e

es:

dx

x −5

dx


dy

= x

7

dx

dy

= ( x

7

+ 9)

dy

= x

dy

=

7

x −5

+ 9) es:

dx

dx

7 x 6 dx

8. El valor del incremento real ∆ y de la función:

f ( x ) = x

40

2

− 5,

∆ y =

0.1

∆ y =

0.01

∆ y =

0.001

∆ y =

0.0001

para x

=

0 y

∆ x =

dx

=

0.01 es:

9.

El

valor

f ( x ) = ( x − 3) 2

+ 5,

del

para x

error =

4 y

∆ x =

de

dx

aproximación =

(E.A)

de

la

función

0.5 es:

E . A = 0.0025 E . A = 0.0025 E . A = 0.025 E . A = 0.25 10. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en el que se incrementa su área es: 2% 3% 4 % 8 %



Si todas tus respuestas fueron correctas: invitamos a continuar con esa dedicación.

por lo que te



Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es necesario que nuevamente repases los temas.



Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es , por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

, pero es

41

42


Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. Completa la siguiente tabla para la función: y =

x

dx = ∆ x

2

1

2

0.5

2

0.1

2

0.01

∆ y

dy

∆ y −

1

x

dy

2. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores: a)

37

b)

(1.8)

c)

5

5

32.5

d) Sen 60.5º e) Ln 1.25

3. Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales: Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. el radio mide 8m, con un error posible de ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.

43

4.

dy utilizando los teoremas:

Hallar

x − 2 x + x + 7 3

b) y =

d ) y = Sen ( 4 x − 8)

⎛ x 7 − 2 ⎞ ⎟ e) y = Ln ⎜ 2 ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠

g ) y = Sec ( x )

h) y =

2

4

44

2

a ) y = 3 x − 11 x + 5 2

1 x

x 3

+ x − 1

c) y = 7 x + 6 x + 7

f ) y = e 2

(

i ) y = 3 x + 5 8

)

10

j ) y = e

tan 2 x

Unidad 2 2

La presa Hoover en E. U. tiene uno de los diques de arco de concreto más altos del mundo . Ésta contiene las aguas del Río Colorado, la estructura depende tanto de las paredes del Black Canyon como de su propia masa. Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua que contiene y casi siempre se construye en cañones angostos. Para determinar el área y el volumen de concreto para la construcción de la obra se requiere de conocimientos matemáticos, como los de integración que en este capítulo te presentaremos. Si quieres investigar más acerca de esta monumental obra, consulta en Internet bajo el nombre de la “presa Hoover”.

Aplicará el concepto de integral indefinida, integrando diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse de manera inmediata, a partir del conocimiento de algunos métodos de integración (cambio de variable, integración por partes); mostrando una actitud analítica y participativa.

• •

http://integrals.wolfram.com

Integral indefinida Métodos de integración

Integrales

Integral Indefiinida

Cambio de variable o por sustitución

Para integrarlas se usan

Métodos de integración

Integración por partes

46

L A IINTEGR A L IINDEFINID A .

Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la posición original. Decimos que las dos son . Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f ´( x ) de una función f ( x ) . Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función f ( x) buscaremos obtener la función F ( x ) , tal que al derivar F obtengamos la función f ( x) . A F ( x) se le conoce como la antiderivada de f ( x) . Veamos los siguientes ejemplos: Encuentra la antiderivada de f ( x)

=

2 x y represéntala gráficamente.

Buscamos una función F ( x) que satisfaga la igualdad F ' ( x)

=

2 x . Recordando los conocimientos

de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es 2 x , es: 2

F ( x ) = x ; 2

ya que la derivada de F ( x ) = x es F ' ( x ) = 2 x . Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si derivamos las siguientes funciones:

F ( x) = x 2

−

F ( x) = x 2

+

3, 3

,

2 F ( x) = x 2 − 2π , obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir F ( x) = x cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función f ( x ) Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:

=

2

+

C , donde C es

2 x .

Observa que la diferencia entre las parábolas se da en el corte de éstas con el eje y . Los valores de las ordenadas en dicho corte representan los valores que puede tomar la constante

C .

47

Encuentra la antiderivada de f ( x) = 3x 2 . Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función F ( x) que satisfaga la igualdad F ' ( x) = 3x 2 . Ésta es: 3 F ( x ) = x + C ,

ya que si derivamos F ( x) , obtenemos F ' ( x) = 3 x 2 , recuerda que la derivada de la constante C es igual a cero. Por lo tanto la antiderivada de f ( x) = 3x 2 es F ( x ) = x 3 + C . Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. Más adelante se verá que hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea.

Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente: Sea F ( x ) una función tal que F ´( x) = f ( x) , la cual llamaremos la como F ( x) = ∫ f ( x) dx ; Al término ∫ f ( x) dx también se le conoce como integral indefinida.

F es una antiderivada de f ( x) “Integral indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra “antiderivada”. El símbolo

∫

es la inicial

de la palabra suma.

48

de f , y la denotaremos

Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones.

∫ 3 x

1)

2

dx es una función F ( x ) tal que F ' ( x)

Por lo tanto:

∫ 3 x

2

dx

∫ 4 x

3)

∫

4)

∫ 5 dx = 5 x + C .

5)

∫ − 3 dx = −3 x + C .

6)

∫ (4 x

7)

∫ (20 x

8)

∫ cos x dx = sen x + C .

9)

∫e

10)

∫ (cos x − sen x + sec

dx

F ( x)

= x 3 + C .

= x 3 + C .

2)

3

= 3x 2 , es decir,

= x 4 + C .

20 x19 dx = x 20 + C .

x

3

+ 5) dx = x 4 + 5 x + C . 19

dx

− 3 x 2 + 3) dx = x 20 − x 3 + 3 x + C .

= e x + C .

EJERCICIO 1

2

x + e

− 5) dx = sen x + cos x + tan x + e x − 5 x + C .

x

EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de las siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros: 1) 2) 3) 4) 5)

∫ 5 x dx ∫ 7 x dx ∫ (3 x − 2 x + 1) dx ∫ (2 x − 4) dx ∫ 4 dx 4

6

2

∫ dx 7) ∫ − csc x dx 8) ∫ sec x ⋅ tan x dx 9) ∫ ( 4 x + 3 x + 2 x + 1) dx 10) ∫ (e + sec x ⋅ tan x − csc x ⋅ cot x) dx 6)

π

2

3

2

x

49

50

: Si F ( x ) es una

de f ( x) se expresa:

∫

y = f ( x ) dx = F ( x ) + C

Si y solo si F ´( x ) + C = f ( x)

Donde: C = Constante arbitraria.

∫ kdx = kx + C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ x dx = n

x

n +1

n +1

∫ e dx = e x

1

∫ x dx = ∫ x

+ C n ≠ 1 x

−1

+ C

dx = ln x + C

∫ cos xdx = senx +C ∫ senxdx = − cos x + C ∫ sec

2

xdx = tan x + C

∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc

2

xdx = − cot x + C

∫ csc x cot xdx = − csc x + C

51

Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración. 1)

∫ 5dx = En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así:

∫ 5dx =5∫ dx = 5 x + C = 5 x + C . 2)

∫ 4 x dx = 3

En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así: x

3+1

∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 4 3 + 1 + C 3

3

Por lo tanto:

∫ 4 x dx = x 3

4

+ C

= x 4 + C 3)

∫ (3 x

2

− 2 x + 3)dx = En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta:

∫ (3 x

2

− 2 x + 3)dx =3∫ x 2 dx − 2∫ xdx + 3∫ dx = =3

x

3

−2

3

= x − x 3

4)

∫ (2 x + 3)

2

dx

2

x

2

+ 3 x + C = x 3 − x 2 + 3 x + C

2 + 3 x + C .

=

Aplicando el álgebra tenemos:

∫ (4 x

2

+ 12 x + 9)dx = 4∫ x 2 dx + 12 ∫ xdx + 9∫ dx =4 =

52

x

3

3

4 x 3

3

+ 12

x

2

2

+ 9 x + C =

+ 6 x 2 + 9 x + C .

4 x 3 3

+ 6 x 2 + 9 x + C

5)

∫ 2sen xdx = Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

2 ∫ sen xdx = 2(− cos x) + C Simplificando tenemos:

6)

∫ 8 sec

2

xdx

= −2 cos x + C .

=

Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

∫

8 sec 2 xdx = 8(tan x) + C Simplificando tenemos:

7)

∫ (2 x

∫ (6 x

3

2

= 8 tan x + C

+ 3)(3 x − 2)dx =

− 4 x 2 + 9 x − 6)dx = 6∫ x 3 dx − 4∫ x 2 dx + 9∫ xdx − 6∫ dx =

= 8)

∫

x dx

6 x 4 4 3 x 4 2

−

−

4 x 3 3 4 x 3 3

9 x 2

+

2 9 x 2

+

2

− 6 x + C

− 6 x + C .

=

Aplicando la regla de potencias tenemos: 3 1

∫ ( x)

2

dx

=

x 2

3

+ C =

2 3

3

x 2

+ C ;

2 simplificando nos quedaría de la siguiente manera:

=

2

x

3

+ C

3

53

9)

∫ (e

x

+ cos x)dx =

Esto quedaría de la siguiente forma:

∫e

x

dx +

∫ cos xdx = e

x

+ sen x + C

= e x + sen 10)

x + C .

3 ⎞ ⎛ 5 2 2 x − + ⎜ ⎟dx = 4 ∫ ⎝ x x ⎠

Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos:

5

1

∫ x dx + 2∫ x dx − 3∫ x 2

−4

dx

=

= 5 ln x +

2 x 3

−

3

3 x −3

−3

+ C ;

simplificando tenemos la solución:

= 5 ln x +

2 3

x

3

+

1 x

3

+ C

INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)

∫ 2 x

2)

⎛ 1 ⎞ 6 4 ⎜ ⎟⎟dx = 2 x 8 x − + + ∫ ⎜⎝ x 3 x ⎠

3)

∫(

3

x

− 5 x + 8 − 10 x 2

dx

=

+ 7 x − 2)dx =

⎛ 1 ⎞ ∫ ⎜⎜ 5 ⎟⎟dx = ⎝ x ⎠ 2 5) ∫ ( 4 x − 3)(2 x + 5)dx = 4)

6)

∫ (3 x − 2) dx =

7)

∫ (e

2

x

+ 6 cos x − sec 2 x + 3 x 3 )dx =

−4 ∫ x + 2 dx = 3 9) ∫ ( x − 2 ) dx = x

2

8)

⎛ 4 x 3 − 6 x 5 + 7 − 8 x ⎞ ⎟dx = 10) ∫ ⎜ 2 ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 54

EJERCICIO 2

MÉTODOS D DE IINTEGR A CIÓN.

En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto de funciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo ), calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así podemos integrarla. Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable. La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación. Recuerda que para funciones derivables dadas por y = F (u) y u = g ( x) , la regla de la cadena expresa que

d

[F ( g ( x))] = F ' ( g ( x)) g ' ( x) . dx De la definición de una antiderivada, se deduce que

∫ F ' ( g ( x)) g ' ( x)dx = F ( g ( x)) + C = F (u ) + C . Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Es decir, si F es la antiderivada de f y u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x) dx , y la integral anterior toma la forma

∫ f ( g ( x)) g ' ( x)dx = ∫ f (u)du = F (u ) + C . En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la presencia de f ( g ( x)) y g ' ( x ) . Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa f y una función interna g. Además, la derivada g ' ( x ) está presente como un factor del integrando.

Función externa

∫ f ( g ( x)) g ' ( x)dx = F ( g ( x)) + C . 1 2 3

Función interna

Derivada de la función interna

El teorema no indica cómo distinguir entre f ( g ( x)) y g ' ( x) en el integrando. A medida que adquieras más experiencia en la integración, tu habilidad para hacer esto se incrementará. Por supuesto, una parte clave es la familiaridad que tengas con derivadas.

55

∫

Encuentra ( x 2 + 1) 2 ( 2 x ) dx. Primero, haz que u sea la función interna, u = x + 1 . Después , calcula el diferencial de u que es du = 2 xdx , despejando dx de la expresión de du , tienes dx = du / 2 x . Ahora, usando ( x 2 + 1) 2 = (u ) 2 , sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente: 2

∫ ( x

2

⎛ du ⎞ + 1) 2 ( 2 x ) dx. = ∫ u 2 2 x⎜ ⎟ ⎝ 2 x ⎠

Integral en términos de u

= ∫ u 2 du

Antiderivada en términos de u

⎛ u 3 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ + C ⎝ 3 ⎠

=

1 3

( x

2

Antiderivada en términos de x

+ 1) + C . 3

Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, en una integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En este ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones ( x 2 + 1) 2 (2 x) dx 2

como una potencia de funciones correspondiente. Encuentra

∫ x

u du

con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico

2 x − 1dx.

Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, u = 2 x − 1 , el diferencial de u es du = 2dx y obtenemos dx = du / 2 . Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder cancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue: u +1 u = 2 x − 1 ⇒ x = 2 Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente: ⎛ u + 1 ⎞ 1 ⎛ du ⎞ ∫ x 2 x − 1dx = ∫ ⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟u 2 ⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟ 1 4 2 4 3 x

1 1 ⎛ 3 2 ⎞ ⎜ u + u 2 ⎟du ⎠ 4 ⎝ 5 3 ⎛ ⎞ 1 ⎜u 2 u 2 ⎟ = ⎜ + + C 3 ⎟⎟ 4⎜ 5 2 ⎠ ⎝ 2 1 = (2 x − 1)52 + 1 (2 x − 1) 32 + C . 10 6

∫

=

Encuentra

∫

sen x

dx .

x

Como el integrando involucra la función trigonométrica sen x el cambio de variable adecuado es u

=

x

1

= u 2 , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función 1 − 12

trigonométrica. De modo que du dx

=

2du x

56

=

−1

2

x

dx , despejando dx tenemos:

2

= 2 x

1

2

du

=2

x du .

Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:

∫

sen x

dx

x

senu

= 2 ∫

x

(

x du

),

= 2 ∫ sen u du , = −2 cos u + C , = −2 cos

∫ sen 3 x cos 3 xdx. 2

Encuentra Como

sen

2

x + C .

3 x = ( sen3 x) 2 , haz u

Ahora, despejamos dx , obteniendo dx =

= sen3 x . Entonces du

3 cos 3 x

du =

(cos3 x)(3)dx. .

, se sustituyen u y

du

3 cos 3 x

en la integral dada

produciendo lo siguiente:

∫ sen

2

3 x cos 3 xdx =

=

∫u

1

2

cos 3 x

du

3 cos 3 x

,

u du , 3∫ 2

1 ⎛ u 3 ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎟ + C , 3 ⎝ 3 ⎠ =

Encuentra

∫

( x + 1)e x

2

1

sen

9

+ 2 x+ 6

3

3 x + C .

dx .

En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función exponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así u = x + 2 x + 6 , diferenciando u obtienes: du = ( 2 x + 2) dx , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener 2

un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo, dx =

du

2( x + 1)

.

Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:

∫

( x + 1)e x

2

+ 2 x +6

dx

= ∫ ( x + 1)e u =

1

=

1

=

du

2( x + 1)

;

e du , 2∫

2 1 2

u

e

u

e

x

+ C , 2

+ 2 x+ 6

+ C .

57

3 x 2 − 2 x + 4

∫ (4 x

Encuentra

3

− 4 x 2 + 16 x) 2

dx.

En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que el denominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a

u = 4 x − 4 x + 16 x , diferenciando obtienes 2 du = (12 x − 8 x + 16)dx , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del

los

ejemplos

anteriores

es

3

precisamente

2

integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos

dx de du , dx =

du

3 x 2 − 2 x + 4

∫ (4 x

3

− 4 x + 16 x) 2

y sustituimos en la integral:

4(3 x − 2 x + 4) 2

2

dx =

=

∫

3 x 2 − 2 x + 4 u

1 du 4∫u

2

1 u −1

= ⋅

4 −1

=−

=

du

4(3 x − 2 x + 4)

2

2

1

u 4∫

+ C = −

−2

du ;

1 4u

+ C ;

1 4( 4 x − 4 x 2 + 16 x ) 3

;

+ C .

Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos. 1.- Elige un cambio de variable u = g ( x) . Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc. 2.- Calcula du = g ' ( x ) dx y despeja de ella dx . 3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable. 4.- Evalúa la integral resultante en términos de u. 5.- De nuevo sustituye u por g ( x) para obtener una antiderivada en términos de x. 6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología. (Busca “The Integrator” en el Google).

58

INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la técnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1

∫ (2 x

3

− 5 x + 8 − 10 x 2 ) (6 x 2 − 20 x − 5)dx = 3

sen2 x

∫ cos

2

3)

∫

x

4)

2 3 5 ∫ (3 x − 4)(2 x − 8 x) dx =

∫

x

5) xe

3

−2 x 2

=

7)

2 x 4

dx

∫ x

x 2

e

2)

dx

6)

+ 5 dx =

8)

9)

=

−1 − 2 x

t

dt =

2

senx

∫

dx

=

x dx

=

2 − cos x 1

∫

=

1

∫ t

10)

dx

EJERCICIO 3

cos

x

∫ t sen t

2

dt =

Si una integral no puede resolverse por cambio de variable, puedes intentarlo por integración por partes. Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones, es muy útil particularmente para integrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse directamente por medio de los teoremas básicos de integración. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien para integrales similares a

∫ x ln xdx, ∫ x e dx 2

x

y

∫e

x

sen xdx ,

ya que puede transformarlas en una forma estándar. La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto d dx

[uv] = u

dv dx

+v

du dx

= uv'+ vu ' ,

donde u y v son funciones diferenciables de x . Si u ' y v ' son continuas, es posible integrar ambos miembros de esta ecuación para obtener uv

= ∫ uv' dx + ∫ u ' vdx = ∫ udv + ∫ vdu.

Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:

Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces

∫ udv = uv − ∫ vdu. 59

Esta es la fórmula de integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otra integral. Con base en las selecciones de u y dv , puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la original. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes, se proporciona las siguientes recomendaciones: 1. dx siempre forma parte de dv . 2. dv tiene que ser integrable. 3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica de integración. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. 4.- Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u . Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez, como en el ejemplo que se planteará más adelante. Integración por partes que contiene producto de una función exponencial.

∫

x

Encuentra xe dx. Para aplicar la integración por partes, es necesario es cribir la integral en la forma

∫ udv. Hay

varias formas de hacerlo.

∫ ( x)(e dx), ∫ (e x

{1 2 3

u

x

)( xdx),

{1 2 3

u

dv

dv

∫ 1( xe dx),

∫ ( xe

x

{

u

x

)( dx).

1 2 3{

1 4 2 4 3 dv

dv

u

De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la adecuada, ya que la derivada de u = x es más sencilla que x , y dv = e dx es la parte más complicada del integrando que se ajusta a una regla básica de integración. x

u dv

= x

⇒

du

= dx.

= e x dx integrando tenemos

∫ dv = ∫ e dx x

v

= e x .

Ahora la integración por partes produce:

∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ xe dx = xe − ∫ e dx x

x

Fórmula de integración por partes

x

= xe x − e x + C = e x ( x − 1) + C .

Integramos Factorizamos

Para comprobar el resultado, trata de derivar e ( x − 1) + C para ver si obtienes el integrando original. Busca “The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida. x

Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica.

∫

2

Encuentra x ln xdx. 2

En este caso es más fácil integrar x que ln x . Además, la derivada de ln x es más simple que

ln x . Por consiguiente, debes hacer

dv = x dx. 2

u

60

= ln x ⇒ du =

1 x

dx.

dv

= x

2

⇒

dx

v

= ∫ x

2

dx

=

x

3

3

,

la integración por partes produce:

∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ x

2

ln xdx =

= =

x

3

3

x

3

3 x

3

3

Fórmula de integración por partes

ln x −

ln x − ln x −

1

x 3∫

1

3

1

dx

Sustituimos

x

x dx 3∫

x

2

3

9

Simplificamos Integramos

+ C .

Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología. Si derivas te queda: 3 3 2 ⎡ x 3 x ⎤ x ⎛ 1 ⎞ x 2 2 ln x − ⎥ = ⎜ ⎟ + (ln x )( x ) − = x ln x. ⎢ dx ⎣ 3 9 ⎦ 3 ⎝ x ⎠ 3

d

Integración por partes de la función logaritmo natural. Encuentra

∫ ln x dx.

Considera u dv

= ln x ⇒ = dx ⇒

du v

=

1 x

dx ,

= ∫ dx = x.

Por tanto, la integración por partes produce:

∫ udv = uv − ∫ vdu 1 ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x x dx

Fórmula de integración por partes Sustituimos

= x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x( ln x − 1) + C .

Reescribimos Integramos

Uso repetido de la integración por partes .

∫

2

Encuentra x sen xdx. 2

2

Los factores x y sen x son igualmente fáciles de inte grar. Sin embargo, la derivada de x es más sencilla que la de sen x . Por consiguiente, haz u = x . 2

u dv

Y la integración por partes

= sen

= x 2 ⇒

xdx

⇒

v

du

= 2 xdx.

= ∫ sen

xdx

= − cos x .

∫ udv = uv − ∫ vdu produce: Primera integración por partes

∫ x

2

sen xdx

= − x 2 cos x + ∫ 2 x cos xdx + C 1 61

Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral del miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integral puedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasió n, haz u = 2 x.

= 2 x ⇒

u dv

= cos x dx ⇒

v

du

= 2dx,

= ∫ cos x dx = sen x.

La integración por partes produce ahora:

∫ 2 x cos xdx = 2 xsenx − ∫ 2senxdx

Segunda integración por partes

= 2 xsenx + 2 cos x + C 2 . Al combinar estos dos resultados escribimos

∫ x ∫e

x

senxdx = − x

cos x + 2 xsenx + 2 cos x + C .

2

+ C 2 .

Donde C es la suma de C 1

Encuentra

2

cos x dx .

Haz u = e . x

= e x ⇒

u dv

= cos x dx ⇒

du

v

= e x dx,

= ∫ cos x dx = sen x .

∫ udv = uv − ∫ vdu produce: ∫ e cos x dx = e sen x − ∫ e sen x dx + C

Y la integración por partes x

x

x

1

Aplicando nuevamente la integración por partes:

= e x ⇒

u dv

∫e

x

= sen x dx ⇒

cos x dx = e x sen x − − e x cos x +

∫e

x

v

du

= e x dx,

= ∫ sen x dx = − cos x .

cos x dx + C

= e x sen x + e x cos x − ∫ e x cos x dx + C , pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:

2

∫e

x

cos x dx = e x ( sen x + cos x) + C

=

Encuentra

u dv

62

∫

ln( x + 1) x + 1

− 12

e

2

x

( sen x + cos x ) + C .

dx.

= ln( x + 1) ⇒ = ( x + 1)

1

dx

du

⇒

=

1 x + 1

v

dx,

= ∫ ( x + 1)

− 12

dx

= 2( x + 1)

1

2

∫

∫

Aplicando el teorema de integración por partes udv = uv − vdu obtienes:

∫

ln( x + 1) x

dx

+1

= 2( x + 1)

1

2

= 2( x + 1)

1

ln( x + 1) − 2∫ 2

1 x

+1

( x + 1)

ln( x + 1) − 2 ∫ ( x + 1)

− 12

1

2

+ C ,

+ C ,

Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes: 1

= 2( x + 1) 2 ln( x + 1) − 4( x + 1)

1

2

+ C

1

= 2( x + 1) 2 (ln( x + 1) − 2) + C .

INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la técnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

∫

∫

1 xe dx = 2x

6) x e

2)

∫e

3)

∫ x e

4)

∫ t ln t dt =

x

cos x dx =

2 3x

∫

2

dx

5) ln(3 x ) dx

=

=

−6 x

dx

=

7)

∫ sec x dx =

8)

∫ x

9)

∫ x

10)

EJERCICIO 4

3

2

ln x dx = 1 + x

∫ sen

2

dx

=

t dt =

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio encarta.com

63

64


Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos.

1)

∫ (6 x

3

− 3 x + 8) dx =

2)

∫ (5 x

2

− 4)( x − 4) dx =

3)

⎛ 1 ⎞ 3 ⎜ ⎟⎟ dx = 9 x 4 x 4 − + − − ∫ ⎜⎝ x x 2 ⎠

4)

∫ (3 x − 7)

5)

∫ (5 x − 1)

6)

∫ (e

7)

∫(

8)

∫ (sen x + cos x + sec

x

2

dx

=

3

dx

=

+ 5 csc 2 x) dx =

x

+ 1)

dx

= 2

x − csc x cot x ) dx

=

⎛ 4 x 5 − 5 x 4 − 2 x + 3 ⎞ ⎟ dx = 9) ∫ ⎜ 3 ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 10)

∫

3 2 1 ( x − 3 x + 2 x + x − − x

1

2

+ x

−2

3

+ 1) dx =

65


66


Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el resultado por diferenciación.

1.-

∫ (1 + 2 x)

2.-

∫

9 − x 2 (−2 x)dx

∫

3

4.-

∫ x

2

5.-

∫ t

6.-

∫ 5 x

3.- x ( x

7.-

8.-

9.-

4

(2)dx

+ 3) 2 dx

4

( x 3 − 1) 4 dx t

+ 2 dt

3

1 − x 2 dx

2

x

∫ (1 − x x

)

2

∫ (1 + x ∫

3

x

dx

1 − x

2

12.-

senx

∫ cos

3

3

3

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟dt ⎝ t ⎠

dx

x

csc 2 x

∫ cot

dx

)2

⎛ 1 ⎞ 10.- ∫ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎝ t ⎠ 11.-

dx

2 3

dx

x

67

13.-

∫

14.-

∫ 4 x senx dx

15.-

∫ sec(1 − x) tan(1 − x)dx

16.-

∫ cos

17.-

∫ 1 + sen x + cos x

18.-

π senπ xdx

3

4

x 2

dx x dx

dx

∫ 2 + sen

x

dx

19.-

∫ 4sen x − 3 cos x

20.-

∫ 5 − 4sen x + 3 cos x

dx

Revisión: _________________________________________ _____________________________________________________ ____________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

68

Nombre _____________________________________ ____________________________________________________________ _______________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

Encuentra la integral indefinida usando la técnica de integración por partes y verifica el resultado por diferenciación.

∫

1.- xe 2.-

−2 x

dx

∫ t ln(t )dt ∫

−3

x

3.- x e dx 4.-

∫ ( x ∫

3

∫ x

2

2

− 1)e x dx

5.- x sen xdx 6.-

7.-

e

cos xdx

1

∫ t

t

dt

2

∫

2

8.- x sec xdx

∫

9.- x ( x − 2) 2 dx 3

2

∫

3

∫

2

∫e

−2 x

∫

4

∫

3

10.- x cos 2 xdx 2x

11.- x e dx 12.-

sen3 xdx

13.- x senπ xdx 14.- x ln xdx 15.-

∫ x

4 + x dx

69

∫

2

−x

16.- x e dx 17.-

∫ tan

−1

xdx

∫

18.- xsen(3 x + 1)dx 19.-

20.-

∫ sen(ln x)dx xe

2x

∫ (2 x + 1)

2

dx

Revisión: __________________________________________ _____________________________________________________ ___________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

70


Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. El resultado de la integral

5 x 3

−

3 5 x 3

−

3

5 x

3 x 2 2 3 x 2

3

−

3

2

3 x 2

∫ (5 x

− 3 x + 1) dx

2

es:

+ 1 + C . + x + C .

+ x + C .

5 x 3 − 3 x 2 + x + C . 2. El resultado de la integral x

− x

3

x

2

∫

x

2

−1

dx

x

= es:

+ C .

2 x + C . 1 2 x − ln x + C . 2 x

3

− x

3 x

2

+ C .

2 3. El resultado de la integral

∫ (sec

2

x − csc x ) dx es: 2

2 sec x tan x + 2 csc x cot x + C . tan x + cot x + C . tan x − cot x + C . sec 3 x 3

−

csc 3 x 3

+ C .

4. El resultado de la integral x + 2 x

∫

x

+1 x

dx

= es:

+ C .

n x + C .

71

2

x

+ x

3

3

+ C .

2

x

3

3 x

2

+

x

3

3

+ C .

5. El resultado de la integral

∫ (4 x

3

+ 3 x 2 + 2 x + 1)dx

es:

12 x 2 + 6 x + 2 + C . 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + x + C . 12 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + C . 4 3 2 x − x + x + x + C . 6. Para resolver la integral

∫ xe

2x

dx es necesario utilizar:

Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable. 7. Para resolver la integral

∫

x

2

xe dx es necesario utilizar:

Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable. 8. El resultado de la integral

1 6 1 6 1

( x

3

(4 x )

3

3

3

(

x x

6 3 x 2

72

+ 5) + C .

4

( x

4

4

2

2

+ C .

+ 5) + C . 3

2

+ 5) + C . 3

2

∫ x

3

x

4

+ 5 dx por cambio de variable es:

10. Resultado de la integral 1

5 x − 6

xe

5 5

2

x e

5 x −6

2

x

1

e

5 x−6

25

5 x−6

dx por el método de integración por partes es:

+ C .

+ C .

2

e

5 x −5

+ C .

5 x −6

+

2 1

−

∫ xe

xe

5

1 5

e

5 x −6

+ C .



Si todas tus respuestas fueron correctas: invitamos a continuar con esa dedicación.

por lo que te



Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es necesario que nuevamente repases los temas.




, pero es

73

74


Resuelve los siguientes ejercicios.

I) Encuentra el resultado de las siguientes integrales mediante el uso de teoremas básicos.

∫ ( sen x − 2 x )dx. 2. ∫ (sec x + x − 1) dx. 3. ∫ 6 dx. 2

1.

2

4.

∫

5.

∫

− 81 dx. x + 9 3 2 x − 2 x + 5 x − 7

x

2

x

3

dx.

II) Encuentra las siguientes integrales por partes, verifica tu respuesta a través de diferenciación.

∫ x sen3 xdx. 2. ∫ x cos 2 xdx. 3. ∫ ( x + e ) dx. 4. ∫ cos(ln x )dx. 2

1.

2

2

x

∫

5. x x − 2 dx. III) Encuentra las siguientes integrales por cambio de variable, verifica tu respuesta a través de diferenciación. 1.

∫ 3 x

2

cos x 3 dx.

∫

2. x ( x 3. 4.

∫ (t

3

∫

2

− 4) 7 dx.

2

t

− 3) −10 1

4 − x

dt .

dx.

∫

5. x x − 2 dx.

75

76

Unidad 3 3

Aplicará la integral definida y el teorema fundamental del cálculo a la solución de problemas de área bajo una gráfica en situaciones de aplicación de las ciencias naturales y sociales; a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida; mostrando una actitud analítica, reflexiva y colaborativa

•

•

•

La integral definida y sus propiedades. El teorema fundamental del cálculo y sus aplicaciones. Aplicaciones de la integral definida.

Integral definida y el teorema fundamental del cálculo

Se usan para

Aplicaciones

En problemas de

Cálculo de áreas

78

Ciencias naturales, sociales y administrativas

Teorema ffundamental d del c cálculo y l aplicaciones d de lla iintegral d definida y las a

INTEGR A L D DEFINID A .

Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del área nos llevará a la integral definida. Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función f ( x) comprendido entre x

=

0 y x

=

=

3 en el intervalo

4 como se muestra en la siguiente figura:

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 x

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1 −2 −3

Como te puedes dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área de un rectángulo de largo 4 unidades y ancho 3 unidades, por lo que su área entonces es de 12 u 2 . De la misma manera el área bajo la función f ( x ) comprendido entre x

=

0 y x

=

=

x en el intervalo

6 de acuerdo a la figura.

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 x

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1 −2 −3

79

(b)(h)

El área correspondiente del triángulo es A

=

(6)(6) =

2

=

2

18 u 2 .

En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para calcular el área de cada uno de ellos es conocida. Sin embargo si queremos calcular el área bajo la función f ( x)

=

2

x entre x

=

0 y x

=

2,

y

6

5

4

3

2

1 x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área. El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la figura: y

6

5

4

3

2

1 x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

El área aproximada sería de 8 u 2, que obviamente no es una buena aproximación al área sombreada debido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos de base 1 cada uno, pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales como f (1) y f (2) , es decir, como f ( x) rectángulos son f (1)

80

=

(1) 2

=

1 y f ( 2)

=

( 2) 2

2

=

x entonces las alturas de los

=

4 respectivamente.


y

6

5

4

3

2

1 x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos, esto es, A = f (1)(1) + f (2)(1)

= (1)(1) + (4)(1) 2

= 5u Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos el intervalo de 0 a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos

xi −1 , xi ,

con longitud ∆ x = xi − xi −1 y altura f ( xi ) ), está dada por:

A = f ( xi )∆ x . De tal manera que el área aproximada es la suma (que denotaremos con la letra griega sigma, ∑ ) de las áreas de los n rectángulos, y la expresamos por:

y

6

n

A = ∑i =1 f ( xi )∆x .

5

4

Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos, entonces 1 cada rectángulo tendría base de longitud igual a

3

3

, (ya que el intervalo es de

longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como lo muestra la Figura 3.2.

2

1 x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

Fig. 3.2 Aproximación del área bajo la curva por rectángulos circunscritos.

81

6

Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es:

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 1 ⎞ A = f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 9 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 16 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 36 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 3 ⎠ = y

6

5

4

3

2

1 x

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

5

6

1 27

+

4 27

+

27

+

16 27

+

25 27

+

36 27

=

91 27

= 3.3703u 2 .

Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite, tal como se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva (ver Fig. 3.2) como por encima de la misma es:

Área = lim ∑i =1 f ( xi )∆ x. n

−2

Fig. 3.2 Área por debajo de la curva mediante rectángulos inscritos.

9

n →∞

Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por encima de la misma, coinciden en un valor. Pero obviamente este procedimiento es muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva. Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo, dicha definición es la de integral definida. Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite n lim∑i=1 f (ci )∆xi ∆ →0

entonces f es

en [a,b] y el límite se denota por lim

∆ →0

∑i

n =1

b

f (c i )∆ xi = ∫a f ( x ) dx.

El límite se llama de f de a a b. El número a es el b de integración; el es el Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann, particiones irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una familia de funciones.

82


De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que nos permiten calcularla de manera práctica y sencilla, en el caso de la integral definida también se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso del teorema Fundamental del Cálculo integral, el cual enunciamos a continuación.

TEOREM A F FUND A MENT A L D DEL C Á L CUL O. En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema de la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema del área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. ∆ y

Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente ∆ x (la pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de una región bajo una curva se utiliza el producto ∆ y∆ x (el área de un rectángulo). El teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta reacción inversa.

Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f sobre el intervalo [a,b], entonces b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a

Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema fundamental del cálculo. 1.- Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f; entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma. 2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo, es conveniente usar la siguiente notación:

∫

b

a

b

f ( x) dx = F ( x) a

3

Por ejemplo, para evaluar 3

∫ x dx, puedes escribir 3

1

∫1 x dx = 3

= F (b) − F ( a)

x

4

4

3

= 1

34 4

−

14 4

=

81 4

−

1

=

4

80 4

= 20.

3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada, ya

que b

∫ f ( x)dx = [F ( x) + C ] a

b a

= [F (b) + C ] − [F (a ) + C ] = F (b) − F (a ) .

Si quieres saber acerca de la demostración de este teorema consulta en Internet la página http://www.mat.uson .mx/eduardo/calculo

83

Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. a)

∫

2

( x 2 − 3)dx

1

∫

a)

1

c)

∫

3

4

0

∫

0

∫

e

x dx

1

2

4

= 3∫1 x

1

⎡ 32 x 2 dx = 3⎢ ⎢3 ⎣ 2

sec 2 xdx = tan x

2e x x

c)

∫

π

4

0

sec 2 xdx

⎤ 2 ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 − 3x ⎥ = ⎜⎜ − 3(2) ⎟⎟ − ⎜⎜ − 3(1) ⎟⎟ = ⎜⎜ − 6 ⎟⎟ − ⎜⎜ − 3⎟⎟ = − . 3 ⎣ 3 ⎦ 1 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

π

2

1

x dx

⎡ x 3

4

1

∫

3

( x 2 − 3)dx = ⎢

∫

b)

d)

2

b)

4

dx

e)

2

4 0

= 1 − 0 = 1.

= 2 ∫0 e x dx = 2[e x ]0 = 2(e 2 ) − 2(e 0 ) = 14.77 − 2 = 12.77.

+ x − 1 x

π

4

⎤ ⎥ = 2(4) 32 − 2(1) 32 = 14. ⎥ ⎦1

2

2

e

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ dx = ∫ ⎜1 + − 2 ⎟⎟ dx =⎜⎜ x + ln x + ⎟⎟ 1 ⎜ x ⎠ 1 ⎝ x x ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ e + 1 + ⎟⎟ − (1 + 0 + 1) = 4.08 − 2 = 2.08. e ⎠ ⎝ e

En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral, debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes. En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo a la solución de problemas de cálculo de áreas.

Evalúa 6

∫

2

0

2 x − 1 dx, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

y

Si usas la figura y la definición de valor absoluto, puedes escribir de nuevo el integrando como sigue:

5 4

⎧− (2 x − 1), ⎪ ⎪⎩ 2 x − 1,

3

2 x − 1 = ⎨

2 1 x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3

Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes.

∫

2

0

2 x − 1 dx =

∫

1

2

0

2

− ( 2 x − 1)dx + ∫1 ( 2 x − 1) dx 2

−4

Fig. 3.3 La integral definida de y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.

< 1 ⎫⎪ 2 ⎬. 1 x ≥ 2 ⎪ ⎭ x

1

= [− x 2 + x ] + [ x 2 − x] 2

0

2 1

2

⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 2 2 2 ⎜ ⎟ = − ⎜⎜ ⎟⎟ + − ((0 ) + 0) + ( (2 ) − 2) − ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜⎜ − + ⎟⎟ − (0 + 0) + (4 − 2) − ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 5

= . 2

84

1 ⎞⎟ 2⎟

⎠


La Figura 3.3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales que es de 5/2.

Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de

y = 2 x 2 − 3x + 2,

el

5

eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 , como se muestra en la Figura 3.4.

y

4 3 2

Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2]. 2

1 x

Área = ∫0 (2 x − 3 x + 2)dx 2

−4

Integra entre 0 y 2

2

Encuentra la antiderivada

⎛ 16 ⎞ = ⎜ − 6 + 4 ⎟ − (0 − 0 + 0) ⎝ 3 ⎠

Aplica el teor. fundamental

10 3

−2

−1

1

2

3

4

−1

⎡ 2 x 3 3 x 2 ⎤ =⎢ − + 2 x⎥ 2 ⎣ 3 ⎦0

=

−3

−2 −3 −4 −5

.

Fig. 3.4 El área de la región acotada por la gráfica de y , el eje x, x=0 y x=2, es 10/3.

Simplifica

Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de rectas verticales x = −2 y x

y = x el eje x y las

= 0 , como se muestra en la Figura: 4

y

3

2

1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

Observa que el intervalo [-2,0].

y < 0

(es decir, está por debajo del eje de las x ) sobre

0

Área = ∫ 2 x dx −

Integra entre -2 y 0

0

⎡ x2 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ −2

Encuentra la antiderivada

⎛ 0 ⎞ = ⎜ ⎟ − (2) = −2. ⎝ 2 ⎠

Aplica el Teor. Fundamental

Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo, esto se debe a que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . Evidentemente el área de una región no puede ser negativa, el signo (-) resultante de una integral definida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por debajo del eje x .

85

5

Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de rectas verticales x = −2 y x

= 2.

y = x el eje x y las

2

Área = ∫ 2 x dx −

2

⎡ x2 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ −2

= (2) − (2) = 0. Elabora la gráfica correspondiente para que te des cuenta de por qué el resultado del área es cero. Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida pueda interpretarse como un área, la función f debe ser continua y no negativa sobre [a,b], como se indica en el siguiente teorema. (La demostración de este teorema no se hará aquí, pero es muy clara, simplemente hay que usar la definición de área que se dio en la subsección anterior).

Si f e s continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f , el eje

x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por b

Área = ∫ f ( x)dx. a

Como un ejemplo del teorema anterior, considera la región acotada por la gráfica de f ( x) = 4 x − x y el eje x como se muestra en la Figura 3.5. En virtud de que f e s continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0,4], el área de la región es 2

,

4

Área = ∫ (4 x − x 2 )dx. 0

8

En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral definida como ésta. Sin embargo, ahora puedes evaluar la integral definida en dos formas: puedes usar la definición de límite o puedes comprobar si la integral definida representa el área de una región geométrica común, digamos, de un rectángulo, un triángulo o un semicírculo.

y

7 6 5 4 3

Traza la región correspondiente a cada integral definida. Después evalúe cada una de las integrales usando una fórmula geométrica.

ci

2 1

a)

x

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2

Fig. 3.5. El área de la región acotada está dada por

86

6

7

3

∫ 4dx 1

b)

3

∫ ( x + 2)dx 0

c)

∫

2

−2

4 − x 2 dx


En la Figura 3.6 se muestran los dibujos de cada región. a) Esta región es un rectángulo de alto 4 y ancho 2. 3

∫ 4dx = b × h = 4(2) = 8. 1

b) Esta región es un trapecio de alto 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5. 1

La fórmula del área de un trapecio es 2 h(b1 + b2 ). 3

1

0

2

∫ ( x + 2)dx =

h(b1

+ b2 ) =

1 2

(3)(2 + 5) =

21 2

.

c) Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula del área de un 1

2

semicírculo es 2 π r

2

∫−

2

4 − x 2 dx =

1

=

2.

π r

2

1

(22 ) = 2π .

π

2

y x+2; 0. 000000 <= x <= 3. 000000 y = y y = 4

8

8

9

7

6

8

6

5

5

4

5

4

3

4

3

2

3

2

1

7 6

y

7

x 2

1 x

1

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

−1 x 1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9 −2

9

a)

Fig. 3.6.

1

b)

c)

Como ya mencionamos anteriormente, cada vez que quieras calcular un área mediante una integral definida, no es necesario hacer este tipo de procedimientos, basta con aplicar algunas de las técnicas de integración directa de la integral definida. EJERCICIO 1

INDIVIDUAL

Evalúa la integral definida de la función algebraica. Emplea un instrumento graficador para verificar tu resultado.

1

∫ 2 xdx 2. ∫ ( x − 2) dx − 3. ∫ 3dv 1.

0

0

1

7

2

1

∫− (t − 2)dt 5. ∫ v dv − 4.

2

1

3

1 3

3

Visita el sitio: The Integrator, es el sitio indicado para resolver una integral en cuestión de segundos, es ideal para verificar si nuestras respuestas son correctas.

6

∫

3

0

2 x − 3 dx

87

7.

∫

2

8

1

dx

x 3

8.

∫

9.

⎛ 1 ⎞ ⎜ − u ∫−2 ⎜⎝ u 2 ⎠⎟⎟du

x

0

2

− 4 dx

−1

10.

88

∫

2

0

( 2 − t )

t dt


APLICA CIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser expresada como una integral definida. Típicamente esto puede suceder cuando la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto a lo largo del desarrollo de este capítulo. Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral definida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc.

La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del centro de la ciudad: a r millas del centro, la densidad es P = f ( r ) gentes por milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio de 5 millas. Escribe una integral definida que exprese el total de la población de Ringsburg.

Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la población en cada pieza resultante de la partición. Si tomamos la partición de la región en línea recta, la densidad de la población podría variar en cada una de las piezas resultantes, ya que ésta depende de la distancia del centro de la ciudad. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente constante en cada una de las piezas, tal que sea posible estimar la población multiplicando la densidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son anillos delgados alrededor del centro, a una distancia constante del mismo (ver Figura 3.7), ya que el anillo es muy delgado, podemos aproximar su área enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. (Ver Fig. 3.8) El ancho del rectángulo es ∆r millas, y su longitud es aproximadamente igual al

Fig. 3.7. Ringsburg. Cada pieza tiene un ancho de y un largo de

anillo de la circunferencia, 2π r millas, entonces su área es aproximadamente

2π r ∆r mi2. De esta manera,

La densidad de población ≈ Densidad ∗ Área.

Así

Población del anillo ≈ ( f (r ) gentes / mi 2 )(2π r ∆r mi 2 ) = f (r ) ⋅ 2π r ∆r gentes.

Fig. 3.8. Anillo de Ringsburg.

Sumando sobre todos los anillos, tenemos

Población total ≈ ∑ 2π rf (r )∆r gentes.

Como la suma se aproxima a la integral, entonces 5

Población total = ∫0 2π rf (r )dr gentes.

Encontrar la población total en Ringsburg del ejemplo 1 si la densidad de población en la milla r e stá dada por

P = f (r ) = 170e

1.05 r

gentes.

Usando el resultado del ejemplo previo, tenemos 89

= ∫0 2π r [170e1.05r ]dr gentes. 5

Población total

5

= 340π ∫0 re1.05r dr 340π ⎡

5 − ∫0 e1.05r dr ⎤ ⎥⎦ 1.05 ⎢⎣ ⎡ 1.05 e1.05 r ⎤ 5 = 1017.28⎢re − ⎥ 1.05 ⎥⎦ 0 ⎢⎣

=

re

1.05 r

= e1.05 [1017.28r − 968.838]

5 0

= 190.566[(5086.4 − 968.838) − (0 − 968.838)] = 969,294.90 gentes.

Calcula el volumen, en pies cúbicos, de la gran pirámide de Egipto, cuya base es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies; cuyo volumen esta dado por la expresión 2

⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ 3 V = ∑ s ∆h = ∑ ⎢⎜ ⎟(410 − h)⎥ ∆h pies . ⎣⎝ 410 ⎠ ⎦ 2

Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen. La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos como ∆h , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la pirámide. La primera capa, la de la base, es una losa cuadrada de 755 pies por

755 pies por ∆h pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide, las capas tienden a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud de la base, entonces el volumen de cada capa es aproximadamente s ∆h pies , donde s varía de 755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta. El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas, 2

3

s 2 ∆h . Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , debemos expresar s como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de h . Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza s = (410 − h) de triángulos, tenemos De esta manera 755 410 .

s = (755 / 410)(410 − h) , y el volumen total, V , es aproximadamente 2

⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ 3 V ≈ ∑ s ∆h = ∑ ⎢⎜ ⎟(410 − h)⎥ ∆h pies . ⎣⎝ 410 ⎠ ⎦ 2

Fig. 3.9. Corte vertical de la pirámide donde se relaciona y . es el grosor de una pieza horizontal de la pirámide.

90

Como el grosor de cada capa tiende a cero, la suma da la integral definida. Finalmente, ya que h varía de 0 a 140, la altura de la pirámide, tenemos


∫

h = 410

h =0

2

⎡⎛ 755 ⎞ ⎤ ⎛ 755 ⎞ ⎢⎜ 410 ⎟(410 − h⎥ dh = ⎜ 410 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦

2

∫

410

0

2

( 410 − h) 2 dh

2

3 1 ⎛ 755 ⎞ ⎡ (410 − h) ⎤ 410 1 ⎛ 755 ⎞ 3 2 =⎜ = ⎜ ⎟ ⎢− ⎟ (410) = (755) (410) ⎥ 3 3 ⎝ 410 ⎠ ⎣ ⎦ 0 3 ⎝ 410 ⎠ = 77,903,416 .67 ≈ 78 millones pies 3 .

Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está colgando del techo de un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para jalar la cadena hasta el techo del edificio? Ya que la masa de la cadena es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg 2) =196 newtons, puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28 m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28 m, los eslabones que están cerca del techo se mueven menos. Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud

∆ y ,

cada

una de ellas pesa 7 ∆y newtons. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons, así 1 m pesa 7 newtons). Si ∆ y es pequeña, todas las secciones de la cadena serán jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza de gravedad que va en contra de la fuerza de 7 ∆y newtons. De esta manera, el trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es aproximadamente:

(7∆ y newtons)( y metros) = 7 y∆y joules.

Como ∆ y tiende a cero, obtenemos la integral definida. Ya que y varía de 0 a 28 m, el trabajo total realizado es

W =

∫

28

0

(7 y ) dy =

7 2

y

2

28

= 2744 joules.

0

Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares por año sobre un período de 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10% compuesto continuamente. El de un pago futuro $B, es la cantidad que debería ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente $B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro. La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por

Valor presente =

T

∫

0

P(t )e − dt , rt

donde r es la tasa de interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad depositada. Por otro lado el de un pago $P, es la cantidad que debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un tiempo pertinente. La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por

Valor futuro =

T

∫

0

P (t )e

r ( T −t )

dt . 91

20 ⎛ e −0.1t ⎞ 20 − 0.1t ⎜⎜ − ⎟⎟ = 1000(1 − e − 2 ) ≈ $864.66. 100 100 = = e dt Valor presente ∫0 ⎝ 0.1 ⎠ 0

Valor futuro

20

20

0

0

= ∫ 100e 0.1( 20−t ) dt = ∫ 100e 2 e −0.1dt

⎛ e ⎞ 20 ⎟⎟ = 1000e 2 (1 − e −2 ) ≈ $6389.06. = 100e 2 ⎜⎜ − ⎝ 0.1 ⎠ 0 −0.1t

¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo? Explica tu respuesta. Ya que el valor presente = 1000(1 − e

−2

) ≈ $864.66 y 2 −2 el valor futuro = 1000e (1 − e ) ≈ $6389.06. Puedes ver que el valor futuro es

= ( valor presente)e 2 . valor futuro La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de

$864.66 a un tiempo t = 0. Con una tasa de interés del 10%, en 20 años ese monto habrá crecido a un valor futuro de

B = Pe = 864.66e 0.1( 20) = 864.66e 2 ≈ $6389.02. rt

Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del anillo metálico resultante? Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del círculo cuya ecuación es x

2

+ y 2 = 25 ,

como se ilustra en la Figura 3.10. En

virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas, puedes hacer y ecuación x

2

+ y 2 = 25 para

= 3 y resolver la

determinar que los límites de integración son

x = ±4 . Por consiguiente, los radios interior y exterior son r ( x ) = 3 y R ( x) =

25 − x 2 y el volumen se obtiene por

∫

b

V = π [( R ( x) ) − (r ( x ) ) ]dx = π 2

2

a

(

2 ⎡ ∫−4 ⎢⎣ 25 − x 4

4

= π ∫ (16 − x 2 )dx −4

Fig. 3.10. Región plana que se hace girar sobre el eje x para formar el sólido que se va a retirar de la esfera.

92

3 ⎡ x ⎤4 = π ⎢16 x − ⎥ 3 ⎦ −4 ⎣

=

256π 3 pu lg adas . 3

)

2

− (3) 2 ⎤dx ⎦⎥


EJERCICIO 2

INDIVIDUAL

Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la integral definida.

1.. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica de

1

2

2 − x y el eje x alrededor del mismo eje, (vea la Figura 3.11), donde 8 x y y están expresados en metros. Calcula el volumen del tanque. y = x

Fig. 3.11 Tanque de combustible.

2. Una cadena de 20 pies de longitud y peso de 5 libras por pie, yace enrollada en el piso. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo de la cadena a una altura de 20 pies de manera que quede extendida por completo?

3. Una función de costo marginal está definida por c ' ( x) = 3 x costo fijo es de $6.00. Determina:

2

+

8 x + 4 , y el

a) La función costo total co rrespondiente. b) El costo total dentro de los primero 3 años. c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año?

4. para un artículo particular, la función de ingreso marginal es i' ( x) = 15 − 4 x . Si x son las unidades demandadas. Determina: a) La función ingreso total. b) ¿Cuál es el ingreso total dentro de los primeros cinco años? c) ¿Cuántas unidades demandadas se requieren para que el ingreso total sea máximo? d) ¿Cuál es el máximo ingreso?

93

94


Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Ex ediente

Fecha

Evalúa las siguientes integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo. Recuerda usar los diferentes métodos de integración. Entra a la página http://integrals.wolfram.com para comprobar tus respuestas. 1

1.

∫− x( x ∫

2

2.

∫

4

∫

9

∫

2

∫

π

3.

4.

5. 6.

1

2 x 2

1

x

+ 1dx

3

1 2 x + 1

0

dx

1

dx

x (1 +

1

x )

2

( x − 1) 2 − x dx

1

2

0

cos

4

7.

+ 1) 3 dx

2

∫− x 2

2

2 x

dx

3

( x 3 + 8)dx

π

8.

∫−

2

cos xdx

π

2

π

9.

∫−

2

senx cos xdx

π

2 2

10.

∫

11.

⎡ x ⎤ + − ( x 1 ) ⎥dx ∫0 ⎢⎣ 2⎦

sen

2

0

2 x cos 2 xdx

4

1

12.

∫− [(1 − x 1

2

) − ( x 2 − 1)]dx

⎡ − x 3 x ⎤ 13. ∫0 ⎢4( 2 ) − ⎥dx 6⎦ ⎣ 3 ⎞ x ⎤ 3 ⎡⎛ x ⎜ − x ⎟⎟ − ⎥dx 14. ∫2 ⎢⎜ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ 3 ⎥⎦ 6

2

15.

∫− [( x 2

2

+ 2 x + 1) − (2 x + 5)]dx 95

1

∫ [( x − 1) − ( x − 1)]dx 17. ∫ [3( x − x ) − 0]dx 18. ∫ [( x − 4 x + 3) − ( − x 19. ∫ [ x − x ]dx 20. ∫ [( x − 6 x) − 0]dx 16.

3

0

3

3

0

6

2

0

1

2

2

+ 2 x + 3)]dx

3

0

6

2

0

21.

22.

23.

∫

π

4

sec 3 x dx

2

sen x dx

0

∫

π

2

π

∫

4

e

(ln x) 2

1

dx

x

π

24.

25.

∫−

4

cot x dx

π

∫

4

ln 2

x

xe dx

1


96


Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Ex ediente

Fecha

Resuelve los siguientes problemas de aplicación.

1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f ( x) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que f ( x ) durante los primeros cuatro años.

=

2700 x

+

900 si 0 ≤ x ≤ 5 . Calcule las ventas totales

2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de

f ( x) pesos al año donde

+ 5000 x . f ( x) = 1000

¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio http://dieumsnh.gfb.umich. mx/INTEGRAL/ http.//www.fca.unl.edu.ar/In tdef/AplicacionesEconomia .htm

97

98


Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo el valor de la integral definida

∫

3

−1

(3 x 2 − x + 6) dx es:

54 48 45 84

2. El resultado de la integral definida

∫

π

0

cos x dx

0 1 No existe −1 2 3. Determina el área de región comprendida entre la función h( x) = f ( x) − g ( x) , donde f ( x) = x − 1 y g ( x) = −3 x − 2 , y las rectas x = 0 y x = 3 .

6 57 25.5 18

4. La función de costo marginal de un fabricante es CM (q) = 0.6 q + 2 . Si la producción actual es q = 80 unidades por semana, ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unidades por semana. $2,100 $1,520 $1,120 $5,280

5. Índice de severidad. En un análisis de la severidad en el tránsito, Shonle considera cuánta aceleración puede tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias. El índice de severidad se define como sigue: índice de severidad =

∫

5

T

0

α

2

dt ,

Donde α se considera una constante implicada con la aceleración media ponderada y T es la duración del choque. El índice de severidad es: 5 α

2

5

α

2 2

T

α

5

α

T

T

T

99

6. El resultado de la integral definida

∫

4

−4

− x dx es:

0

− 16 8

−8 7. Para que la integral definida pueda ser interpretada como un área, es decir, que el valor de la integral sea positivo. La función f en el intervalo [a,b] debe ser:

Continua y negativa . Discontinua y positiva . Discontinua y negativa . Continua y positiva . b

8. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral

∫ f ( x) dx es igual a: a

b

− ∫ f ( x) dx a

a

− ∫ f ( x) dx b

∫ ∫

−b

−a b

a

f ( x) dx

− f ( x) dx

9. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral

∫

a

a

f ( x ) dx es igual a:

No existe a 0 f ( x ) 10. El resultado de la integral definida

∫

1

6

2 x x 2 + 3 dx es:

38 3 157.03 38

−

3

70 3 Si todas tus respuestas fueron correctas: invitamos a continuar con esa dedicación. Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es necesario que nuevamente repases los temas.

por lo que te , pero es


100



Resuelve las siguientes integrales y problemas, y preséntalos a tu profesor.

Evalúa las siguientes integrales.

I.

2

∫− 2. ∫− 1.

(4 x + 5) dx

2

π

(cos x + sen x ) dx

π

3. 4. 5.

6. 7.

2

∫

5

1

3

x − 2

∫

e

∫

3

1

ln x dx

1

∫ ∫

e

2

6

3

1

x

x 2

π

0

dx

dx sen x

1 + cos x

dx

(cos 2 x + sen 2 x) dx

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Para cierta población supongamos que la función l ( x) representa el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo x + n

condiciones apropiadas, la integral

∫

x

l (t ) dt da el número esperado de gente en la población

que tiene exactamente x y x + n , inclusive. Si l ( x ) = 10,000 100 − x , determina el número de gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. Da tu respuesta al entero más cercano, ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido. 2. En un estudio sobre mutación genética, aparece la siguiente integral

10 −4

∫

0

x

−1

2

dx . Evalúa la

integral. 3. El economista Pareto ha establecido una ley empírica de distribución de ingresos superiores que da el número N de personas que reciben x o más dólares. Si

dN dx

= − Ax − B , donde A y B

son constantes, encuentra una expresión que te represente el número total de personas que reciben $100 o más dólares.

101

102

Claves de Respuestas

1. A

1.

B

1. B

2. C

2. A

3. A

2. C 3. B

4. B

4. A

4. C

5. A

5. D

5. A

6. D

6. C

6. A

7. A

7. D

7. D

8. A

8. B

9. C

9. C

10. A

10. A

3. C

103

Glosario

104

Cálculo Diferencial e Integral II

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