Solución: Como la cardioide en su mitad va desde 0 a π y la circunferencia va de o a π / 2 , calculamos el área de media cardioide y le restamos medio círculo.
π 2(1 +cosθ ) = 2 A ∫ ∫ 0 0
π 2 θ rdrd − = 4∫ (1 + cos θ ) 2 0 2
π ⋅1
π
=
∫
4 (1 + cos θ ) dθ
− π =4
∫ (1 + 2 cosθ + cos θ )d θ − π = 2
θ+
π
sen 2θ sen + 2 4 0
θ
y a
r = 2 (1 + cos θ )
r
=
−π =
3π −π 2
4
5π
=
2
2 senθ
Solución:
Ambas curvas se observa gráficamente que se cortan en θ =
π
2
. Para calcular la zona común a ambas calculamos
el área de la cardioide desde
θ =
π
2
hasta
θ = π
y
sumamos medio círculo.
2(1 + cosθ )
π
∫ ∫
=A π
=
=
/2
2 θ 3π 2
⋅
+ r θdrd
+ 2 sin θ + π
2
=
θ
+
π
sen2θ
2
2π − 4
4 u2
∫ 2 (1 + cosθ )
=
2
0
−4+
π
2
π ⋅1
/2
π
+ π / 2
π
2
=
2
θ+ d
π
π
2
3π 3π − 2 4
2
0
=4 θ +2
Halla el área interior común a
π
2
0
5)
θ − π d=
=2
+
∫ (1 + 2 cosθ + cos θ ) 2
θ+ d
π / 2
2 +
π
2
=
3π 4
2
− 2 +
π
2
=
π
2
u
6)
Halla el área interior a
y exterior a
r = 2 (1 + cosθ )
r = 4cos θ
Solución: Ambas curvas se cortan en θ = 0 y θ = π . Calculamos el área de media cardioide y restamos el área de medio círculo.
Basta hacerlo con medio pétalo y multiplicar por 8 mitades de pétalos. El pétalo de dicha rosa va al polo en θ = 0 y θ = π . Las dos curvas se cortan en θ = π /12 y θ = 5π /12 . El pétalo alcanza su máxima longitud en θ = π / 4 .
Solución: El área que nos piden es el doble del área sombreada. Primero tengo que calcular cuándo las curvas vuelven al polo a partir de θ = 0 . Esto ocurre cuando
Mediante el cálculo integral calcular el área exterior a la gráfica de la función r=4 e interior a la gráfica de la función r = 8 cos θ ( Sept 2005)
2
+ 2π +
2
=
El área que nos piden, que es la sombreada, se obtiene calculando primero el corte de las dos curvas:
4 = 8cos θ
π θ= 1 3 ⇒ cos θ = π 2 θ=− 3
El área comprendida entre ambas curvas será el doble de la comprendida entre 0 y
π
3
.
π / 3 8cos θ
A=2
∫ ∫ 0
=
π/ 3
rdr dθ = 2
4
0 π/3
[16θ + 16sen2θ]0
13)
∫
=
8cos θ
r 2 2 4
16 π
+
π/3
dθ =
2
θ − 16
) dθ = [32θ + 16sen2 θ −16θ ]
π/3
0
=
0
16 3
3
∫ ( 64 cos
=
16 π
2
3
+8
3
=
16 + 24 3 3
u2
Hallar el área interior común a r = 3 (1 + senθ ) y a r = 3 (1 − senθ )
Solución:
Si calculamos el corte entre ambas, se cortan en: θ = 0 3 + 3 sen sen θ = 3 − 3 sen θ ⇒ θ = 0
θ
0
=
A4
trozos
∫ −π
/2
3(1+ senθ )
4 θ = rdrd 2
∫ 0
= π
0
∫
( 3 (1 +
)
2
θsen )
θ d=
− π / 2
0
= 18
∫ (1 + 2 senθ +
sen2θ ) d θ =
−π / 2
θ sen 2θ 18 θ − 2 cos θ + − 2 4
0
3π 4
== 18 −π / 2
−2 =
27π 2
2 − 36 u
14) Hallar el área del bucle interior de r = 1 + 2 cos θ Solución: Calculamos las rectas tangentes en el polo: 2π θ = 1 3 r = 1 + 2 cos θ = 0 ⇒ cos θ = − → 4π 2 θ =
=−
2π
3
3
Luego 4π / 31+ 2cos θ
=
=
1 2
=
1 2
A
∫
∫
2π / 3
0
4π / 3
1 θ rdrd = 2
∫
(1 + 2 cosθ )
2
θ =
d
2π / 3
4π / 3
∫ (1 + 4 cosθ + 4 cos θ ) d θ = 2
2π / 3
[3θ + 4
θ sen +
4π / 3
2θsen ]2π / 3
=
1
( 4π + 3 3 ) 2
2
u
r = 2 (1 + cos θ )
15) Hallar el área común a r = 2 − 2 senθ y a Solución:
Calculamos el corte de las dos 2 − 2 senθ = 2 + 2 cosθ ⇒ 3π θ = 4 cosθ = − senθ ⇒ θ = 7π = − π 4 4
curvas:
El área la calculamos en dos trozos, uno en r = 2 − 2 senθ entre θ = − curva anterior vuelve al polo y entre θ =
θ cos 2θ 2 +8 − = 2´9629 + 1´7892 = 4´7521 u 2 4 2.2143 y exterior a r=2
(Feb 2005 ext)
Solución:
Basta hacerlo con medio pétalo y multiplicar por 8 mitades de pétalos. El pétalo de dicha rosa va al polo en θ = 0 y θ = π . Las dos curvas se cortan en θ = π /12 y θ = 5π /12 . El pétalo alcanza su máxima longitud en θ = π / 4 . π
