Proyecto
La deriva aplicada a la Física
El calculo de los arco iris
Unidad Educativa Salesiana “Don Bosco”
Proyecto de Cálculo Aplicaciones de la Derivada Alexi Bombón 3ero Físico Matemático
Tema:
Nombre:
Curso:
Fecha de Envió:
Fecha de entrega:
04-05-2010
Introducción El calculo de los arco iris mediante la derivada Todos hemos visto alguna vez el arco iris, el vistoso y colorido arco circular que algunos días se dibuja en el aire. Todos nos hemos fijado que siempre lo vemos en días lluviosos o con niebla; tal vez también en algún día soleado, pero con la condición indispensable de que el agua esté presente, bien porque manejamos una manguera, bien porque el agua salpique al caer de una fuente o una catarata. Sea cual sea el caso siempre es necesario que el agua esté presente, como formando una pantalla en la que podamos ver el arco, sólo que no es una pantalla, es la mismísima fuente de la que el arco surge. El arco iris o arcoíris es un fenómeno óptico y meteorológico que produce la aparición de un espectro de luz continuo en el cielo cuando los rayos del sol atraviesan pequeñas partículas de humedad contenidas en la atmósfera terrestre. La forma es la suma de un arco multicolor con el rojo hacia la parte exterior y el violeta hacia la interior. Menos frecuente es el arco iris doble, el cual incluye un segundo arco más tenue con los colores invertidos, es decir el rojo hacia el interior y el violeta hacia el e xterior. Han fascinado a la humanidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde el tiempo de Aristóteles. La primera teoría sobre la formación del arco iris se debe a Aristóteles. Para él simplemente era una reflexión especial de la luz sobre las nubes, formando un ángulo fijo. Teodorico de Freidera, monje alemán, propone que cada gota es responsable de la formación del arco iris. Esta teoría es corroborada por Descartes tres siglos después. El arco primario se forma gracias a que la luz se refracta al entrar en la gota y sale tras reflejarse en la cara interna. El arco secundario sufre dos reflexiones. Al haber dos reflexiones en el arco iris secundario, pierde luz respecto al primario, por eso es más débil y más raro de ver en la Naturaleza. En este proyecto usamos las ideas de Descartes y de Newton para explicar la forma y los colores de los arco iris al ser una aplicación de la derivada Pero ¿Que es la derivada? Derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "anti derivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal. La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios También representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. Pobremente hablando, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación
Objetivo General.la información adquirida, y la consulta en otros medios para la realización de este proyecto, el refuerzo de mis conocimientos y la adquisición de nuevos Demostrar y comprobar la aplicación de la derivada en “El Calculo de Los Arco Iris”, mediante
Objetivos específicos 1.- realizar el presente proyecto mediante la información adquirida para la comprobación de mis conocimientos y mi capacidad de investigación 2.- Comprender y explicar 0 el calculo de los arco iris mediante la realización del proyecto y la exposición del mismo para reforzar mis conocimientos 3. Aplicar la derivada en el calculo de los arco iris mediante la información adquirida de distintos medios para realizar un buen proyecto y por ende una buena exposición
Justificación Mediante la realización de este proyecto es daremos las razones para la explicación mediante la derivada de Que?, Como? Y Por que? Que es un arco iris? El como es que se producen los arco iris? Y el por que de los arco iris? Pr que la gama de colores? Por que es que ciertas veces en el cielo aparecen dos arcos y por que es que el uno es mas fuerte que el otro En síntesis el por que es que se da el fenómeno, este proyecto presenta una explicación de las que se ha tratado de dar a este fenómeno a lo largo del tiempo , el que es un arco iris aunque la mayoría de personas ya conocen lo que es un arco iris, aun existe la incógnita de cómo es que este se forma, la mayoría de personas se quedan en un criterio de que es por que la luz solar traspasa las pequeñas partículas de agua que se encuentran después de una lluvia, y el por que es que en algunos casos existen dos arcos en el cielo. Estos criterio dados no son erróneos pero en el presente proyecto se visualizada mas de fondo todas las respuestas alas tres incógnitas El mismo esta estructurado para la demostración mediante las matemáticas en especial la derivada y aspectos físicos cómo o es la demostración de ángulos de incidencia y refracción, la óptica, la gama de colores, el como es que actúa los rayos del sol dentro de una gota de agua para que se de el fenómeno, el por que es que actúan de esta manera, el por que es que hay veces que se dan dos arcos en el cielo por que uno es mas claro que el otro. Este proyecto es realizado con la finalidad de reforzar mis propios conocimientos de conocer más sobre las aplicaciones de la derivada, el de dar una explicación entendible y concreta
Marco Teórico.El arco iris
Todos hemos visto alguna vez el arco iris, el vistoso y colorido arco circular que algunos días se dibuja en el aire. Todos nos hemos fijado que siempre lo vemos en días lluviosos o con niebla; tal vez también en algún día soleado, pero con la condición indispensable de que el agua esté presente, bien porque manejamos una manguera, bien porque el agua salpique al caer de una fuente o una catarata. Sea cual sea el caso siempre es necesario que el agua esté presente, como formando una pantalla en la que podamos ver el arco, sólo que no es una pantalla, es la mismísima fuente de la que el arco surge. Hay otro hecho que suele pasar más desapercibido entre la gente (aunque algunos se dan cuenta, como es lógico). ¿Cuántas veces nos ha deslumbrado el Sol porque nos daba en los ojos cuando observábamos el arco iris? Ninguna que nosotros recordemos, porque siempre que miramos directamente al arco tendremos el Sol a nuestra espalda, como bien saben los que se dedican a fotografiar fenómenos naturales como este. Entonces, ¿qué ocurre en el cielo para que nosotros seamos capaces de ver el arco iris? Por el momento sabemos que el Sol, nuestra fuente de luz principal, estará a nuestras espaldas, de algún modo su luz interactúa con las gotas que tenemos enfrente y vuelve hacia nosotros, llegando a nuestros ojos en colores separados Ley De Snell
Antes de empezar con el calculo del arco iris primero veamos herramientas que nos van a servir luego para el caculo del mismo como lo es la leu de Snell La ley de Snell es una fórmula simple utilizada para calcular el ángulo de refracción de la luz al atravesar la superficie de separación entre dos medios de propagación de la luz y n2 son los índices de refracción. De los materiales. La línea entrecortada delimita la línea normal, la cual es la línea imaginaria perpendicular a la superficie. Los ángulos θ son los ángulos que se forman con la línea normal, siendo θ1 el ángulo de la onda incidente y θ2 el ángulo de la onda refractada. n1
Consideremos dos medios caracterizados por índices de refracción y separados por una superficie S. Los rayos de luz que atraviesen los dos medios se refractarán en la superficie variando su dirección de propagación dependiendo del radio entre los índices de refracción y . Para un rayo luminoso con un ángulo de incidencia sobre el primer medio, ángulo entre la normal a la superficie y la dirección de propagación del rayo, tendremos que el rayo se propaga en el segundo medio con un ángulo de refracción cuyo valor se obtiene por medio de la ley de Snell. Camino que recorre un rayo de luz en una gota
Cuando la luz recorre su camino y cambia del medio por el que se mueve a otro sucede un hecho que todos conocemos: parte de la luz continúa viajando en el segundo medio y parte de la luz ``rebota'' al llegar a la frontera y vuelve hacia atrás Para que podamos ver colores es necesario que la luz recorra cierto tiempo la gota de agua, pero claro, una vez que la luz entró en la gota... ¿cómo hacemos que vuelva? Pues no es necesario hacer que vuelva, porque una vez que la luz está dentro del agua vuelve a encontrarse con un cambio de medio, en este caso
agua-aire, por lo que parte de la luz pasará de largo y volverá al aire y parte de ella volverá hacia atrás, a través de la gota. Una vez hecho esto se volverá a encontrar la frontera agua-aire y por tanto parte de la luz que aún queda saldrá y podrá llegar hasta nosotros. Si nos fijamos bien, podemos ver que este proceso se puede repetir tantas veces como queramos, y es cierto, pero cada vez la intensidad de la luz que nos quede dentro de la gota y la luz que vuelve hacia nosotros es menor, hasta que llega un momento que se nos hace totalmente imperceptible (y de hecho se puede considerar que ni hay luz).
Por qué es un arco?
Indudablemente el arco iris es un arco de circunferencia, por qué esto es así fue resuelto de un modo aproximado por Descartes Nosotros veremos una justificación similar a la dada por Descartes, para ello haremos dos observaciones. * La primera es hacer notar que el hecho de que el arco iris es un arco de circunferencia significa que si miramos hacia el centro del mismo encontraremos que el arco iris está situado siempre al mismo ángulo, tomándonos a nosotros como vértices de dicho ángulo.
* La segunda de las observaciones trata sobre la física del asunto. Sabemos que los colores del arco iris no son más que la luz del Sol refractada en gotas de agua, pues bien, como el Sol es una fuente de luz situada muy lejos podemos considerar que los rayos que nos llegan del mismo vienen todos paralelos aproximación paraxial entre si, es lo que se llama hemos visto en la sección anterior que dependiendo del índice de refracción encontraremos que los rayos de luz se desviarán más o menos, pero esta desviación no sólo depende de ese índice, si miramos la ley de Snell podemos ver que el ángulo refractado también va a depender del ángulo de incidencia . ¿Cuál es este ángulo en el problema que nos atañe? Pues como del Sol nos vienen muchos rayos paralelos entre si tenemos exactamente un rayo para cada ángulo que imaginemos (siempre entre y , como es natural). Si hacemos una pequeña simulación en un ordenador para la luz roja que incide sobre una gota de agua obtenemos lo siguiente:
Luz roja procedente del Sol. Si nos fijamos en la figura anterior el ángulo que forman la luz incidente del Sol y la luz que viene de vuelta tras refractarse, reflejarse y volverse a refractar en la gota va creciendo a medida que el ángulo aumenta, hasta llegar a un ángulo de desviación máximo, a partir del cual ese ángulo comienza a
disminuir. Descartes demostró que, tal y como se ve en el dibujo, hay una concentración de rayos de luz en esa zona, con lo que si esos rayos concentrados llegan a nuestro ojo notaremos que predomina el color rojo en esa zona del cielo. Para conocer el ángulo de desviación máximo (que llamaremos ) fijémonos en el siguiente diagrama:
Diagrama para la resolución del problema. Donde hemos llamado a lo que antes llamábamos y a lo que antes era . Debido a que una esfera son y que la suma de los ángulos de un triángulo son , tenemos que , es decir: En donde, si consideramos que el rayo proviene del aire (
) y tenemos en cuenta la ley de Snell:
. Ahora hemos de echar mano de las reglas del cálculo infinitesimal y encontrar el ángulo desviación cero
es mayor. Para encontrar dicho ángulo sólo tenemos que derivar
respecto a
para el cual la e igualar a
Como vemos al final nos queda una fórmula que nos permite conocer qué ángulo de incidencia nos dará una desviación máxima del rayo que a nosotros nos interesa para cada índice de refracción. Si ponemos el dato conocido de que para la frecuencia correspondiente al color rojo
entonces tenemos
que sen
-n²)/3)
sen
-(1.33²)/3)
sen = 59°
Y para encontrar el Angulo máximo de desviación Remplazamos en
= 4sen-¹ (sen (59)/ (1.33)) – 2(59) = 4sen-¹ (0.644866) – 2(59)
=40°
Con lo que el ángulo de desviación máxima queda en . Resumamos, entonces, lo obtenido en este apartado. Al incidir los múltiples rayos que provienen del Sol sobre una gota éstos se reflejan y refractan de modo tal que algunos de ellos se ``amontonan'' alrededor del ángulo de desviación máxima, de modo tal que el color de esos rayos será predominante en esa zona. Además hemos visto que para el rojo ese ángulo máximo donde ese color será el predominante es aproximadamente . Por lo tanto lo que demostró Descartes es que para observar el arco iris debemos mirar las gotas con un ángulo de respecto a la línea que une la fuente de luz (en este caso el
Sol) con las gotas. Además, se puede ver fácilmente que el ángulo que forman los rayos provenientes del arco iris y el rayo del Sol que atravesaría nuestro ojo forma ese mismo ángulo.
El espectro de colores
En la sección anterior hemos visto que al encontrarse con una frontera entre dos medios parte de la luz vuelve ``rebotada'' y parte de la luz pasa al otro medio, pues bien, al primer fenómeno, en óptica, se le llama y al segundo reflexión refracción . Cuando nos encontramos con un fenómeno de reflexión es muy fácil saber qué camino seguirá la luz: imaginemos la línea perpendicular a la superficie que hace de frontera entre un medio y el otro (en este caso la superficie es una esfera y los medios son el aire y el agua), entonces el ángulo que forma el rayo que incide con esa perpendicular es el mismo ángulo que forma el rayo reflejado ( una vez que la reflexión ya tuvo lugar) con la perpendicular. En el caso de que consideremos la refracción la cosa es sencilla, pero no tanto. En este caso la relación de los ángulos que forman el rayo incidente y el ángulo refractado se da mediante sus respectivos senos y unas constantes dependientes del medio, de forma que la ley que rige la refracción es la ley de Snell:
Donde se denomina índice de refracción del medio y es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio en cuestión. Por lo tanto vemos que en la sección anterior lo que se ha descrito es el caso en el que un rayo de luz se refracta al pasar del aire al agua, después se refleja en la frontera agua-aire y se vuelven a refractar al pasar del agua al aire, desviándose según las leyes de la reflexión y refracción antes dadas. Sin embargo esto no basta para explicar el por qué vemos ese espectro de colores en el arco iris, y es que aún no lo hemos dicho todo acerca del índice de refracción. Es cierto que en algunos casos este índice es una constante, pero en otros es una función de la frecuencia de la luz, por lo que para cada frecuencia vamos a tener una desviación diferente. Este es el caso del agua, en donde tenemos que para el rojo, el verde y el azul (tres colores diferentes no son más que tres frecuencias diferentes) los índices de refracción correspondientes son , y . Por tanto, un simple análisis matemático de la ley de Snell, a la vista de estos datos, nos lleva a la conclusión de que el azul se desviará más que el verde y éste más que el rojo, es decir, los diferentes colores se irán desviando y separándose unos de otros en orden creciente de frecuencia.
Separación del rojo, el verde y el azul dentro de la gota.
Es por esa razón, entonces, que la luz procedente del Sol, al entrar y salir de las gotas de agua, se separa en colores. Ya entendemos la palabra ``iris'' del nombre del arco iris.
Conclusiones: 1.- He aprendido que la investigación es una buena opción para el aprendizaje de los estudiantes en progreso 2.- He aprendido que la derivada puede ser utilizada en muchas aplicaciones y que he reforzado mis conocimientos al investigar sobre el tema 3.- He aprendido que al investigar sobre un tema la información se extiende y los conocimientos al mismo tiempo se extienden también y para poder entender un tema avanzado se debe tener claro varios temas anteriores
Glosario: Fenómeno Meteorológico Un fenómeno meteorológico son los cambios climáticos que hay en la tierra como por ejemplo, la lluvia, la nieve Espectro En física, aparecen varios tipos de espectros: o Espectro electromagnético es el resultado obtenido al dispersar un haz heterogéneo de radiación electromagnética al hacerlo pasar por un medio dispersante y transparente a dicha radiación. También se puede provocar la separación de las radiaciones de distintas frecuencias que componen el haz al reflejarlo en una rejilla de dispersión de tallado adecuado. o Espectro de frecuencias es el gráfico que muestra cómo es la descomposición de una señal ondulatoria (sonora, luminosa, electromagnética,...) en el dominio frecuencial. Reflexión En física se refiere al fenómeno por el cual un rayo de luz que incide sobre una superficie es reflejado. El ángulo con la normal a esa superficie que forman los rayos incidente y reflejado son iguales. Se produce también un fenómeno de absorción diferencial en la superficie, por el cual la energía y espectro del rayo reflejado no coinciden con la del incidente Refracción La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Sólo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si éstos tienen índices de refracción distintos. La refracción se origina en el cambio de velocidad que experimenta la onda. El índice de refracción es precisamente la relación entre la velocidad de la onda en un medio de referencia Propagación Se llama propagación al conjunto de fenómenos físicos que conducen a las ondas del transmisor al receptor. Esta propagación puede realizarse siguiendo diferentes fundamentos físicos, cada uno más adecuado para un rango de frecuencias de la onda a transmitir. Aproximación paraxial La aproximación paraxial se utiliza para el cálculo de sistemas ópticos, suponiendo que las trayectorias de los rayos de luz forman ángulos pequeños con el eje óptico.
En las condiciones de la aproximación paraxial se puede aproximar el seno por el ángulo y el coseno por uno menos el ángulo. Simulación Es la experimentación con un modelo de una hipótesis o un conjunto de hipótesis de trabajo. Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann la define así: "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos". Cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.
Bibliografía: http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/%C3%93ptica/Teor%C3%ADa_completa _del_Arco_Iris http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snell http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n_paraxial http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar http://es.wikipedia.org/wiki/Espectro http://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal http://www.mailxmail.com/curso-formulacion-proyectos-productivos/justificacion proyecto-definicion-objetivos *Calculo: Trascendentes tempranas Escrito por James Stewart *Calculo conceptos y contextos Escrito por James Stewart
*Calculo Diferencial e integral Escrito por James Stewart *Arco Iris Diferente Escrito por Péter Drucker, Enrique Mercad
*El concepto de derivada y sus aplicaciones Escrito por Gerardo Balabasquer
