LENGUAJE ALGEBRAICO
Es esencial, para tener un buen manejo algebraico, el saber la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, te entregamos un listado de palabras con su respectivo significado algebraico que es fundamental que te aprendas para su posterior aplicación, en especial, en el planteamiento de problemas verbales. Aquí vamos: Más, suma, adición, agregar, añadir, aumentar -----> + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -----> Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor -----> · División, cuociente, razón, es a -----> : Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a -----> = Un número cualquiera -----> x Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1 Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1 Cuadrado de un número cualquiera -----> x2 Cubo de un número cualquiera -----> x3 Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 -----> 2x Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 -----> 3x Cuádruplo de un número -----> 4x Quíntuplo -----> 5x Mitad de un número ----->
1 2
x
x ó
Tercera parte de un número ----->
2 1 x
3
x
ó
3
Número impar cualquiera -----> 2x+1 ó 2x - 1 Semi-suma de dos números ----->
x+y 2
Semi-diferencia de dos números ----->
x−y 2
Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4, .....
Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8 ..... Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 ..... Con respecto a los múltiplos consecutivos, aquí van dos de ejemplo, supongo que te darás cuenta del patrón que forman: Múltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10, 5x+15, 5x+20, ...... Múltiplos de 6 consecutivos -----> 6x, 6x+6, 6x+12, 6x+18, ..... Inverso multiplicativo (recíproco) de un número cualquiera ----->
1 x
Número cualquiera de dos dígitos -----> 10x + y (Ya que , por ejemplo, 59 = 5·10 + 9)
Ejemplos: Vamos a escribir en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas: 1) x - 4: "La diferencia entre un número cualquiera y 4" 2) 2x + 3y: " Al doble de un número agregarle el triple de otro n úmero" 3) 5x - y: "El exceso del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera" 4)
x
4
+ 3y: "A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número"
5) (x - 3)2 : "El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3" 6) x2 - 3: "La diferencia entre el cuadrado de un número y 3" 7)
2 x −3 y
4 número"
8)
( x + y)
2
3
9) x +
x 4
: "La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro
: "La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números"
: "A un número cualquiera añadirle su cuarta parte"
10) (5x)2: "El cuadrado del quíntuplo de un número" 11) 5x2: "El quíntuplo del cuadrado de un número" 12) (2x)3 - 4y2: "El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro número" 13)
3x
2
− (2 y ) 3 5
: “La quinta parte de la diferencia entre el triple del cuadrado de un número y el
cubo del doble de otro número”
Ahora el proceso inverso y que es e l que más nos ayudará a resolver problemas verbales algebraicos. 1. El doble de un número disminuido en el triple de otro número: 2x – 3y 2. Un número aumentado en su mitad: x +
x 2
3. El exceso de un número sobre 3: x – 3 4 El cuádruple del exceso de un número sobre 8: 4(x – 8) 5. El exceso del cuádruple de un número sobre 8:
4x - 8
6. El doble del cubo de un número: 2x3 7. El cubo del cuádruple de un número: (4x)3 8.
La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número:
9.
x
3
4
−
y
2
3
La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del cubo de otro número:
(3 x) 2
−
2y3
2
10. Un múltiplo de siete cualquiera:
7x
11. La suma de dos múltiplos de cinco cualesquiera: 5x + 5x+ 5
EJERCICIOS
1.
El antecesor del número natural 5(n – 1) está representado por: a) 5n
2.
b) 5n - 1
b) m + n
c) 2x + y
b) 2x + 3
e) m : n
d) x – 2y
e) 2x – y
c) 2x + 4
d) 2x + 6
e) 2x + 8
El promedio entre 5 números naturales consecutivos es k, ¿cuál es el número central? b) k - 5
c) 5k
d) 3k
e) k
La expresión que representa al enunciado “el cuadrado de la diferencia entre dos números” es: a) 2x – 2y
7.
d) n : m
Si y es el antecesor de x + 2, entonces el doble del sucesor de y, expresado en función de x es:
a) k + 5 6.
c) m – n
b) x + 2y
a) 2x + 2 5.
e) 5n - 5
El papá de Alvaro tenía x años cuando él nació. Si ahora Alvaro tiene y años. ¿Qué edad tendrá el papá en y años más? a) 2y
4.
d) 5n - 4
¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número que tiene m unidades menos que el número n? a) n – m
3.
c) 5n - 3
c) x2 - y
b) 2x - y
d) (x – y)2
e) x2 – y2
“Al número h se le suma m, dicha suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”, se representa por: a) (h + m : k) · p
b) (h + m · p) : k c) h : k + m · p d) [(h + m) : k] · p e) h · p + m : k 1 8. Si el inverso multiplicativo de es –6, entonces n = n −4 a) -2 9.
b) -10
c) 23/6
d) 25/6
e) –25/6
¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “encontrar un número x cuyo cubo es 3
igual a
a)
3 8
8
x
3
de 56”?
=
56
b)
x
3
3 =
8
3
3
⋅
56
c)
3 x = ·56 8
d)
3 x = ·56 8
e)
x
=
3 8
: 56
10. El enunciado: “el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al doble de la diferencia de los cuadrados de esos números”, se expresa: a) a2+b2 =2a2–b2
b) a2+b2 =2(a-b)2
c) a2+b2 =2(a2-b2) d) (a+b)2 =2(a-b)2 e) (a+b)2 =2(a2-b2)
11. Sean a, b, y c números enteros tales que a – b = c. Si a = 3 y c = 10a, entonces el cuádruplo de b es: a) 120
b) 30
c) –27/4
d) -108
e) -27
12. “El cubo del doble de la diferencia de p y q”, se representa por: a) 2(p3 – q3)
b) 2(p – q)3
c) (2p – 2q)3
d) [2(p – q)]3
e) 3[2(p – q)]
13. Si a = 2/3 y b = 1/2, entonces el aditivo inverso de a b es: •
a) –1/3
b) 1/3
c) 1/6
d) –1/6
e) 3
14. La expresión (2x)3 se lee: a) El doble del cubo de un número b) El doble del triple de un número c) El cubo del doble de un número d) El cubo del cuadrado de un número e) El triple del doble de un número 15. Dentro de 10 años Rafael tendrá el triple de la edad que tiene ahora. Entonces ahora tiene: a) 2 años
b) 3 años
c) 4 años
d) 5 años
e) 6 años
16. Siendo n un número entero, el cuociente entre un número impar cualquiera y el número impar que le antecede es: n
a) n
+1
b)
n +2 n
c)
1+
2
d) 1 +
n
1 2n
e)
2n −1 2n − 3
17. El triple de la diferencia entre 0,6 y su inverso multiplicativo es: a) 3,2
b) 32
c) –3,2
d) 45/16
e) -3
18. Si el largo de un rectángulo se triplica y su ancho disminuye al 50%, entonces se afirma que su área: I) se hace 1,5 veces mayor II) se incrementa en el 50% III) aumenta en el 150% de estas afirmaciones son verdaderas: a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) I, II y III
d) 96
e) 915
19 . Si se triplica la expresión 3 5 se obtiene: a) 36
b) 315
c) 95
20. El doble de un número n más su cuadrado, se expresa por: a) 2n2
b) 2n3
c) n2(n+1)
Respuestas
d) 3n
e) n(2+n)
1. Alternativa A: Incorrecta. La expresión 5n representa a un múltiplo de 5 y no al antecesor de 5n-5. Alternativa B: Incorrecta. La expresión 5n-1 representa al antecesor de 5n. Alternativa C: Incorrecta. El antecesor de un número n es n - 1 y no n - 2 como lo señala esta alternativa. Alternativa D: CORRECTA. Desarrollamos el producto 5(n – 1) = 5n – 5 y como el antecesor de un número x es x-1, entonces el antecesor de (5n – 5) será (5n – 5) –1 = 5n – 6. Alternativa E: Incorrecta. El producto 5(n-1) corresponde a 5n - 5. Si marcaste esta alternativa, de seguro no leíste correctamente el enunciado, ya que se solicita el antecesor de 5n-5. 2. Alternativa A: CORRECTA. Pensémoslo numéricamente: el número que tiene 2 unidades menos que el 7 es 7 – 2 = 5, por lo que el número que tiene m unidades menos que n es n – m Alternativa B: Incorrecta. Si se habla de menos unidades, no corresponde el sumar m y n. Alternativa C: Incorrecta. El error está en escribir la expresión tal como está enunciada, sin verificarla con algún ejemplo numérico. Alternativa D: Incorrecta. Optar por es alternativa es pensar que para tener menos unidades se debe dividir el número, en este caso n.. Alternativa E: Incorrecta. Optar por es alternativa es pensar que para tener menos unidades se debe dividir el número, en este caso m. 3. Alternativa A: Incorrecta. 2y representa la edad de Alvaro en y años más y no la de su padre. Alternativa B: CORRECTA. Cuando nació el papá tenía x a ños y Alvaro 0 años. Actualmente Alvaro tiene y años lo que implica que su papá tiene x + y años. Entonces en y años más tendrá x + y + y = x + 2y Alternativa C: Incorrecta. La expresión 2x + y representa la suma de la edad que tenía el papá con la que tiene actualmente y no la que tendrá en y años. Alternativa D: Incorrecta. Representa la edad del padre, pero años atrás. Alternativa E: Incorrecta. No guarda relación con lo solicitado. El marcar esta alternativa señala poca comprensión del enunciado. 4. Alternativa A: Incorrecta. La falta de paréntesis produce este error ya que lo correcto es 2(x+2) Alternativa B: Incorrecta. Al no colocar el paréntesis correspondiente a 2x+2, se llega a la conclusión errónea de que el sucesor es 2x + 3 Alternativa C: CORRECTA. Si y es el antecesor de x + 2, entonces y es x + 1. El sucesor de y es x+2 y su doble 2(x+2) =2x+4 Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene 2x+4, pero luego se confunde el sucesor con el par sucesor, obteniéndose 2x+ 6. Alternativa E: Incorrecta. Se aplica que después de 2x+4 viene 2x + 8. 5. Alternativa A: Incorrecta. Se suma 5, pero sin tener claridad del concepto de promedio. Alternativa B: Incorrecta. Se resta 5, pero sin tener claridad del concepto de promedio. Alternativa C: Incorrecta. 5k representa un número múltiplo de 5 y no el promedio entre 5 números. Alternativa D: Incorrecta. Se puede obtener 3k al pensar que los números son k, 2k, 3k, 4k, 5k, siendo el promedio de ellos, precisamente 3k. Alternativa E: CORRECTA. Representemos cinco números consecutivos cualesquiera: n, n +1, n+2, n+3, n+4, donde n+2 es el número central. Determinemos su promedio, o sea, los sumamos y dividimos por 5. (5n+10):5 = n + 2 Nos señalan que el promedio es k, o sea n+2 = k
6.
Alternativa A: Incorrecta. No confundir cuadrado con doble. La expresión de esta alternativa se lee como la diferencia entre el doble de un nú mero y el doble de otro número cualquiera. Alternativa B: Incorrecta. Aquí se presentan dos errores, la confusión de cuadrado por doble y el no colocar el paréntesis correspondiente al enunciado. Alternativa C: Incorrecta. Aunque se aplica correctamente el cuadrado, la falta de paréntesis h ace que la expresión resulte falsa. Alternativa D: CORRECTA. Siguiendo el orden correspondiente del enunciado, al señalarnos “el cuadrado”, nos da pauta de que todo lo que se enuncia a continuación está afectado por este cuadrado, o sea debe ir con paréntesis. Alternativa E: Incorrecta. Al decirse “el cuadrado de la diferencia” se está señalando que el cuadrado afecta a toda la expresión y debe llevar paréntesis. 7. Alternativa A: Incorrecta. Al no colocarse el paréntesis a la adición h + m, se produce el error ya que como está señalado en la a lternativa, k divide sólo a m y no a h . Alternativa B: Incorrecta. La misma situación anterior al no colocarse el paréntesis Alternativa C: Incorrecta. El enunciado señala que k divide a la suma de h y k, pero vemos aquí que sólo está dividiendo a h. Alternativa D: CORRECTA. La suma entre h y m se representa por h + m La suma dividida por k es (h + m) : k. La división multiplicada por p es [(h + m) : k] p Alternativa E: Incorrecta. El resultado debe multiplicarse por p y no sólo h. •
8. Alternativa A: CORRECTA. Sabemos que el inverso multiplicativo de x es 1/x y viceversa. Por lo tanto se determina que el inverso de la expresión dada es n – 4 = -6. Despejando obtenemos que n = --2 Alternativa B: Incorrecta. Se hace el planteamiento correcto, pero se produce un error de signo al resolver la ecuación n – 4 = 6 Alternativa C: Incorrecta. No se considera el inverso y se resuelve la expresión como está presentada. Alternativa D: Incorrecta. Al no aplicarse el inverso multiplicativo se obtiene 1 = -6n + 24 y al resolver la ecuación se obtiene incorrectamente que n = 25/6. Alternativa E: Incorrecta. La misma situación anterior con errores al resolver la ecuación planteada, 9. Alternativa A: Incorrecta. Esta expresión señala los 3/8 del cubo de x, lo que no corresponde con el enunciado. Alternativa B: CORRECTA. Los 3/8 de 56 se refiere al producto de ellos, por lo que la expresión que representa al enunciado está representado por esta alternativa. Alternativa C: Incorrecta. Ya que el cubo no es del número si no de 3/8. Alternativa D: Incorrecta. El cubo afecta al producto de 3/8 por 56 y no a x que es lo correcto. Alternativa E: Incorrecta. No aparece el cubo en ninguno de los elementos de la expresión. 10. Alternativa A: Incorrecta. Esta señala al inicio de la igualdad que “la suma de los cuadrados de dos números a y b es igual a ...” que no corresponde al enunciado. Alternativa B: Incorrecta. Contiene el mismo error que la planteada en la alternativa anterior. Alternativa C: Incorrecta. Contiene el mismo error que los planteados en las alternativas anteriores. Alternativa D: Incorrecta. Aunque el primer miembro de la ecuación está correcto, en e l segundo se expresa “ el doble del cuadrado de la diferencia de dos números” Alternativa E: CORRECTA. Ya lo señalábamos anteriormente, al decir “el cuadrado” lo que viene va entre paréntesis. Lo mismo ocurre con el doble de la diferencia, donde nos indican el producto de 2 por una resta entre paréntesis.
11. Alternativa A: Incorrecta. Se determina b, en forma errada, como 30 y el cuádruplo resulta 120 Alternativa B: Incorrecta. Se obtiene 30 para b y luego no se efectúa e l cuádruplo. Alternativa C: Incorrecta. Se confunde cuádruplo con cuarta parte y en vez de efectuar el producto por 4, se divide por 4. Alternativa D: CORRECTA. Como c=10a y a = 3, entonces c = 30. Reemplazando en a – b = c, obtenemos 3 – b = 30, de donde se determina que b = -27 y su cuádruplo 4 por –27, o sea –108. Alternativa E: Incorrecta. Faltó determinar el cuádruplo. 12. Alternativa A: Incorrecta. El cubo no afecta al 2 como lo señala el enunciado. Alternativa B: Incorrecta. El cubo corresponde a la diferencia de p y q y n o al doble, que es lo correcto. Alternativa C: Incorrecta. Se lee: el cubo de la diferencia..., lo que no corresponde al enunciado Alternativa D: CORRECTA. Se inicia el enunciado con “el cubo”, lo que nos indica que todo lo que viene a continuación va entre paréntesis, o sea la alternativa D. Alternativa E: Incorrecta. Se confunde cubo con triple. 13. Alternativa A: CORRECTA. Primero se efectúa el producto entre a y b, obteniéndose 1/3, siendo su inverso aditivo –1/3. Alternativa B: Incorrecta. Se obtiene el producto 1/3, pero no se aplica el inverso aditivo Alternativa C: Incorrecta. Se efectúa mal la operación con las fracciones dadas. Alternativa D: Incorrecta. Se efectúa mal la operación con las fracciones dadas. Alternativa E: Incorrecta. Se obtiene el producto 1/3, pero se aplica el inverso multiplicativo. 14. Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a 2x3 Alternativa B: Incorrecta. Corresponde a 2(3x) Alternativa C: CORRECTA. Debemos iniciar su lectura por lo que afecta a toda la expresión, o sea, el cubo. Y ya vimos que 2x representa el doble de un número. Alternativa D: Incorrecta. Corresponde a (x2)3 Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a 3(2x) 15. Alternativa A: Incorrecta. No se consideran los d iez años. Alternativa B: Incorrecta. El planteamiento de efectúa en forma incorrecta Alternativa C: Incorrecta. El cálculo no se efectúa correctamente Alternativa D: CORRECTA. Si consideramos que actualmente tiene x años, en 10 años más tendrá x+10 = 3x. Determinamos x y obtenemos que actualmente tiene 5 años. Alternativa E: Incorrecta. Mal planteada. 16. Alternativa A: Incorrecta. La expresión representa el cuociente entre un número y su sucesor Alternativa B: Incorrecta. Es el cuociente entre el número subsiguiente a n y n. Alternativa C: Incorrecta. Corresponde, al resolver la suma, al cuociente señalado en la alternativa anterior Alternativa D: Incorrecta. Al sumar se obtiene el cuociente entre un número impar y el par antecesor a él. Alternativa E: CORRECTA. Un número impar se puede representar por 2n – 1, donde el número impar que le antecede es 2n – 1 – 2 = 2n – 3.
17.
Alternativa A: Incorrecta. Se resta en forma incorrecta 9-25, lo que lleva a marca esta alternativa. Alternativa B: Incorrecta. Error en la resta y al efectuar la operación 1 6:5. Alternativa C: CORRECTA. 0,6 = 6/10 = 3/5, siendo su inverso multiplicativo 5/3. −16 −16 3 5 9 − 25 = = −3,2 ) =3⋅ Luego 3( − ) = 3( 5 3 15 15 5 Alternativa D: Incorrecta. Se efectúa el producto del triple por la diferencia como una división de fracciones, lo que produce el error. Alternativa E: Incorrecta. Se restan las fracciones incorrectamente, sin mínimo común múltiplo, obteniéndose –1; que al aplicarle el triple, resulta –3. 18. Alternativa A: Incorrecta. Aunque la afirmación I es correcta, no es sólo ella la que cumple con el enunciado. Falta comparación entre porcentajes. Alternativa B: Incorrecta. La afirmación es correcta, pero no es única. Alternativa C: Incorrecta. El área aumenta de ab a 1,5ab por lo que su aumento es de 50% y no de 150% Alternativa D: CORRECTA. Consideremos un rectángulo de largo “a” y ancho “b”. Su á rea es ab. 3 Si el largo se triplica y su ancho disminuye a la mitad, el área es ab , o sea se hace 1,5 veces 2 mayor o, lo que es lo mismo, se incrementa en el 50%. Alternativa E: Incorrecta. Aunque la I y II son correctas, la III no lo es como se explicó anteriormente.
19. Alternativa A: CORRECTA. Al triplicar 3 5 se obtiene 3 35 = 36 Alternativa B: Incorrecta. El error viene de pensar que triplicar corresponde a sumar tres veces 35, o sea, 35 + 35 + 35 y aplicar la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base, siendo que es una suma. Alternativa C: Incorrecta. El producto de 3 por 35 debe efectuarse de acuerdo a las propiedades de las potencias y ellas señalan que al multiplicarlas se debe conservar la base, o sea, el 3. Alternativa D: Incorrecta. La suma de los exponentes corresponde al producto de 3 por 35, pero la base debería haberse conservado. Alternativa E: Incorrecta. Doble error, ya que al triplicar se multiplicó la base y también el exponente. •
20. E Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a el doble del cuadrado de un número Alternativa B: Incorrecta. Corresponde a el doble del cubo de un número Alternativa C: Incorrecta. Aquí se expresa el producto entre el cuadrado de un número y su sucesor. Alternativa D: Incorrecta. Corresponde al triple de un número Alternativa E: CORRECTA. El doble de un número n es 2n. Su cuadrado es n2. La suma de ellos es 2n + n2 = n(2 + n)
