HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones. El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales. La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a. c.) pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de newton & Leibniz). En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: -
El problema de la tangente a una curva (Apolonio) El problema de los extremos máximos y mínimos (Fermat)
Que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial. Siglos XVII: los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: kepler y cavallieri fueron los primeros en usarlos empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo el descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usados para resolver problemas de cálculos de tangente, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton & Leibniz: a finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus procedesores: lo que hoy llamamos “derivadas” e “integrales” desarrollaron reglas para manipular las derivadas-reglas de derivación y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo. Isaac newton *1642 Woolsthorpe, Inglaterra *1729 cambridge, Inglaterra Desarrollo en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes, en 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedico a reestructurar las bases de su calculo intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para el era la velocidad con la que una variable “fluye”-varia- con el tiempo. Gottfried wilhelm Leibniz “1646 Leipzig, Alemania” “1716 Hannover, alemania” Descubrió y comenzó a desarrollar el calculo diferencial en 1675 fue el primero en publicar los mismos resultados que newton descubriera 10 años antes.
En su investigación conservo un carácter geométrico, y diferensiandose de newton- trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se le deben los nombres de: calculo diferencial y calculo integral así como los símbolos dx/dy y ∫ para la derivada y la integral, respectivamente. Fuel el primero en utilizar el término “función” y el uso del símbolo = para igualdad. Entonces quien descubrió el cálculo? Los descubrimientos fueron independientes y siguieron vías distintas tanto conceptual como método lógicamente. Newton fue el primero en descubrir y desarrollar el cálculo de fluxiones entre 1666 y 1689 año que escribió el manuscrito de análysi pero su fobia a publicar hizo dilatar la divulgación del mismo hasta 1704. Leibniz descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675 su primera publicación sobre el tema fue en 1684. Los bernoulli, los hermanos suizos jaques y jean bernoulli, contribuyeron enormemente al desarrollo del cálculo creado por Leibniz, comunicándose con el mediante correo, formaron casi todo lo que hoy conocemos del cálculo diferencial. Marques de L’ hopital, contrato a bernoulli para que le explicara los nuevos descubrimientos acerca del cálculo diferencial al dominar esta rama en 1696 L’ hopital publico el primer libro de texto de esta materia dando escuetísmo reconociendo a bernoulli, este tipo adquirió mayor celebridad para el resultado más importante que en él aparece: la regla de L’ hopital. La difuncion de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxitos y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a sus severas críticas. La justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos no se dieron hasta avanzado el siglo XIX. Cuando aparecieron otros matemáticos mas preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización e4n la resolución de problemas concretos. Del siglo XIX a nuestros días. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades con los fundamentos del cálculo diferencial se solucionaron y hoy aquel calculo potencialmente enriquecido se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento
Entre los numerosos pasajes que explican su método de «las primeras y últimas razones», el que sigue, que proviene de un escolio que acompaña al lema XI en la segunda edición traducida por Andrew Motte, parece ser el más claro:
"Las razones últimas en las que las cantidades desaparecen no son realmente las razones de cantidades últimas, sino los límites hacia los cuales se aproximan constantemente las razones de cantidades, que decrecen sin límite, y hacia los cuales pueden aproximarse tanto como cualquier diferencia dada, pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos antes de que las cantidades disminuyan indefinidamente." Newton introduce la noción de «diferencial», designada por la palabra «momento», el cual es producido por una cantidad variable llamada «genita». Este constituye una aproximación al concepto de función, y se presenta en el libro II, sección 11 de los Principia. Parece que estas cantidades llamadas «genita» son variables e indeterminadas, y que aumentan o decrecen mediante un movimiento continuo, mientras que sus momentos son crecimientos temporales que pueden generar partículas finitas. En aritmética, las «genita» son generadas o producidas por la multiplicación, la división o la extracción de raíces de cualquier término, mientras que la búsqueda del contenido de los lados o de los extremos y medias proporcionales constituye «genita». Así, las «genita» pueden ser productos, cocientes, raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, etc. Sin embargo, Newton no llega a esclarecer el concepto de momento lo suficiente como para que se pueda hablar aquí de una concepción neta de la diferencial de una función. En el prefacio de sus Principia, Newton ofrece la definición de conceptos de mecánica tales como inercia, momento y fuerza, y después enuncia las tres célebres leyes del movimiento que son generalizaciones de las concepciones de Galileo sobre el movimiento. A continuación, Newton asocia las leyes astronómicas de Kepler y la ley centrípeta de Huygens en el movimiento circular para establecer el principio de su célebre ley de la gravitación universal. Este libro I, titulado: El movimiento de los cuerpos, trata abundantemente de mecánica y comprende también un estudio y una descripción orgánica de las cónicas.
El libro II está consagrado al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos. Es la verdadera introducción a la ciencia del movimiento de los fluidos. Se puede encontrar en él, entre otras cosas,
un estudio de la forma de los cuerpos para ofrecer menos resistencia, una sección sobre la teoría de las ondas, una fórmula para la velocidad del sonido en el aire y un estudio de las ondas en el agua. El libro III, titulado Sobre el sistema del mundo, contiene las aplicaciones al sistema solar de la teoría general desarrollada en el libro I. Newton demostró cómo calcular la masa del Sol en términos de la masa de la Tierra y de los otros planetas que tienen un satélite. Calculó la masa volúmica media de la Tierra y demostró que tenía la forma de un esferoide aplanado, y que, por consiguiente, la atracción no era constante en su superficie. Hizo también un estudio de la precesión de los equinoccios y de las mareas, explicó que la Luna constituía la causa principal de este fenómeno y que el Sol también ejercía en él una influencia. Dedicó también un estudio detallado al movimiento de la Luna, porque debía servir para mejorar la determinación de las longitudes.
Nombre: José Alfredo valencia García
Materia: Análisis derivativos de funciones
Maestro: Juan Carlos Valdés bravo
Grupo: 5204
Turno: Vespertino
Tema: Historia del cálculo integral
