1. Desarrollo: Se tiene z = x 2sin( y )− )− xy . Si tenemos x =s2+t 2 y y =st +t 3 , entonces por regla de la cadena: ∂ z ∂s=∂ z ∂ x ∂ x ∂s+∂ z ∂ y ∂ y ∂s=(2 x sin sin y − y )(2 )(2s)+( x 2cos y − x )t
pero como x =s2+t 2 y y =st +t 3 , se tiene ∂ z ∂s=(2(s2+t 2)sin(st +t 3)−st +t 3)(2s)+((s2+t 2)2cos(st +t 3)−(s2+t 2))t
. Y ahora: ∂ z ∂t =∂ z ∂ x ∂ x ∂t +∂ z ∂ y ∂ y ∂t
Así ,
∂ z ∂t =(2 =(2 x sin sin y − y )∂ x ∂t +( +( x 2cos y − x )∂ y ∂t
Como x =s2+t 2 entonces ∂ x ∂t =2 =2t . Además, como y =st +t 3 , ∂ y ∂t =s+3t 2
. Y esto significa que
∂ z ∂t =2t (2(s2+t 2)sin(st +t 3)−(st +t 3))+(s+3t 2)((s2+t 2)2cos(st +t 3)−(s2+t 2))
2. Desarrollo: a.Se tiene que f (95,70)=124 . Esto quiere decir, que la temperatura del aire percibida es la humedad relativa es de 70
124, dado que la temperatura real es de 95ºF y
%. b.Como se quiere calcular los valores para los que
f (T ,h)=100
, cuando T =90, entones, en la fila correspondiente se tienen los valorees de 87,90,93,96,100,106 correspondiente a las humedades de 20,30,40,50,60,70, respectivamente. El único lugar en el que toma el valor 100 es para h=60 . c. Igualmente, con h=50 , al tomar la columna respectiva, el único valor de T en el que se cumple que
f (T ,50)=88 es T =85
. d. Para calcular la derivada direccional de
I( x , y )=e3 x −4 xy −5 y
(Tomando x =T , y =h ), con respecto al vector
u=12(i+3‾√ j) y como ||u||=1 , se tiene que la derivada direccional est á dada por:
Iu=∇I⋅u Así que ahora se calculará el gradiente
∇I=(∂I∂ x ,∂I∂ y )=(−e3 x −5 y −4 xy (4 y −3),−e3 x −5 y −4 xy (4 x +5))
Y entonces
Iu=−12e3 x −5 y −4 xy (4 y −3)−3√2e3 x −5 y −4 xy (4 x +5)=e3 x −5 y −4 xy (−12(4 y −3)−3√2(4 x +5))
Por último, evaluando en el punto
(1,2)
se tiene
Iu(1,2)=−923‾√e−15−52e−15≈−3.149×10−6
1. Desarrollo: Se tiene $$z=x^2 \sin(y)-xy.$$ Si tenemos $$x=s^2+t^2$$ y $$y=st+t^3$$, entonces por regla de la cadena: $$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z} {\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}=(2x\sin y-y)(2s)+(x^2\cos y-x)t$$ pero como $$x=s^2+t^2$$ y $$y=st+t^3$$, se tiene $$\frac{\partial z}{\partial s}=(2(s^2+t^2)\sin (st+t^3)-st+t^3)(2s)+((s^2+t^2)^2\cos(st+t^3)-(s^2+t^2))t$$. Y ahora: $$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$ Así ,
$$\frac{\partial z}{\partial t}=(2x\sin y-y)\frac{\partial x}{\partial t}+(x^{2}\cos y-x)\frac{\partial y}{\partial t}$$
Como $$x=s^{2}+t^{2}$$ entonces $$\frac{\partial x}{\partial t}=2t$$. Además, como $$y=st+t^{3}$$, $$\frac{\partial y}{\partial t}=s+3t^{2}$$. Y esto significa que
$$\frac{\partial z}{\partial t}=2t(2(s^{2}+t^{2})\sin(st+t^{3})-(st+t^{3}))+(s+3t^{2}) ((s^{2}+t^{2})^{2}\cos(st+t^{3})-(s^{2}+t^{2}))$$ 2. Desarrollo: a.Se tiene que $$f(95,70)=124$$. Esto quiere decir, que la temperatura del aire percibida es $$124$$, dado que la temperatura real es de $$95ºF$$ y la humedad relativa es de $$70$$%. b.Como se quiere calcular los valores para los que $$f(T,h)=100$$, cuando $$T=90$$, entones, en la fila correspondiente se tienen los valorees de 87,90,93,96,100,106 correspondiente a las humedades de 20,30,40,50,60,70, respectivamente. El único lugar en el que toma el valor 100 es para $$h=60$$. c. Igualmente, con $$h=50$$, al tomar la columna respectiva, el único valor de $$T$$ en el que se cumple que $$f(T,50)=88$$ es $$T=85$$. d. Para calcular la derivada direccional de $$I(x,y)=e^{3x-4xy-5y}$$ (Tomando $$x=T,y=h$$), con respecto al vector $$u=\frac{1}{2}(i+\sqrt{3}j)$$ y como $$||u||=1$$, se tiene que la derivada direccional est á dada por: $$I_u=\nabla I \cdot u$$ Así que ahora se calculará el gradiente $$\nabla I=\left(\frac{\partial I}{\partial x},\frac{\partial I}{\partial y}\right)=\left(-e^{3x-5y-4xy}(4y-3),e^{3x-5y-4xy}(4x+5)\right)$$ Y entonces $$I_u=-\frac{1}{2}e^{3x-5y-4xy}(4y-3)-\frac{\sqrt{3}}{2}e^{3x-5y-4xy}(4x+5)=e^{3x-5y-4xy}(-\frac{1} {2}(4y-3)-\frac{\sqrt{3}}{2}(4x+5))$$ Por último, evaluando en el punto $$(1,2)$$ se tiene $$I_u(1,2)=-\frac{9}{2}\sqrt{3}e^{-15}-\frac{5}{2}e^{-15}\approx -3.149\times 10^{-6}$$
