UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD ACULTAD DE INGENI ING ENIERI ERIA A CALCULO CALCULO INTEGRAL TALLER Nº 1
I. 1) Suponga que
f ( x) =
d dx
(1 − x )
y
g ( x ) =
d dx
( x + 3) ,
HALLE:
∫
a) f ( x)dx R/: d
(1 − x ) , entonces reemplazamos: ∫ dx d dx , cancelamos dx y queda la expresión así: ∫ d (1 − ∫ dx (1 − x )dx f ( x ) dx pero f ( x ) =
x ) . Ahora
aplicando las propiedades de la integral nos queda: 1 − x
∫
b) [ − g ( x)]dx R/: g ( x) =
d dx
( x + 3) por lo tanto reemplazamos en la integral: i ntegral:
Cancelamos dx : es:
∫ − d ( x + 3)
d dx − + ( ) 3 x ∫ dx
y por propiedades de la integral el resultado
3 − x
∫
c) [ f ( x) − g ( x)]dx R/: Tenemos Tenemos que f ( x) =
d dx
(1 − x )
y
expresión a evaluar tenemos que:
g ( x ) =
(
d dx
( x + 3) reemp reemplaz lazand ando o en la
d 1 − x
∫
+ d ( x + 3) dx
dx , dx se cancela
con dx se aplican propiedades de linealidad y de las integrales y el resultado final es: x −
x
+4
∫
d) [ x + f ( x)]dx R/:
x + d (1 + ∫ dx
∫
xdx +
d
)
x dx Aplicando linealidad obtenemos lo siguiente:
2
x 1 + ( ) x dx , luego la respuesta es: +1− ∫ dx 2
x
+c
∫
e) [ g ( x ) − 4] dx R/: d
∫ dx ( x + 3) dx − 4∫ dx
de forma análoga al ejercicio anterior obtenemos la x + 3 − 4 x
siguiente respuesta:
2) Demuestre la formula
= −3 x − 3 = −3( x + 1)
2 g ( x ) f ' ( x ) − f ( x ) g ' ( x )
∫
2[ g ( x ) ]
3 2
dx =
f ( x ) g ( x )
+c
R/: Para demostrar esta formula se procede a diferenciar la expresión resultante de la integral así: d f ( x )
+ c = dx g ( x )
f ' ( x ) g ( x )
−
g ' ( x ) 2 g ( x )
f ( x )
realizando las operaciones algebraicas
g ( x ) 2 f '
f ( x ) + c = g ( x ) dx
se tiene que: d
( x ) g ( x) − f ( x) g ' ( x) 2 g ( x ) 2 f ' ( x ) g ( x ) − f ( x) g ' ( x) = 3 2 g ( x ) 2[ g ( x ) ]
Separando variables tenemos:
f ( x ) 2 f ' ( x ) g ( x) − f ( x) g '( x) + c = dx , inte integr gran ando do en ambo ambos s miem miembr bros os de la 3 2 g ( x ) ( ) 2 [ ] g x
d
igualdad.
f ( x ) 2 f ' ( x ) g ( x ) − f ( x) g '( x) + d c dx Luego: ∫ g ( x ) = ∫ 2[ g ( x ) ] 3 2
f ( x ) g ( x )
2 g ( x ) f ' ( x ) − f ( x ) g ' ( x )
+ c = ∫
2[ g ( x ) ]
3
2
dx
II. Calcular Calcular las siguientes siguientes integrales integrales indefinidas. indefinidas.
x m − x n
∫
1)
∫ x
x
2 m− 1
2
x 2 m − 2 x m + n + x 2 n x 2m x m+ n x 2 n = ∫ 1 dx − 2∫ 1 dx + ∫ 1 dx dx = ∫ 1 2 2 2 x 2 x x x m +n− 1
∫
dx − 2 x
2
∫
dx + x
2n − 1
2
2λ t + ϕ dt , hacemos 0 T
∫
2) sen Luego:
T 2λ
∫
senu.du
x 1 − sen 2 3) ∫ x sen 2
T
=−
2λ
dx =
u
x
2 m+ 1
2m + 1 2λ t
=
2
T
−2 2
x
m +n− 1
m+n− 1
+ ϕ 0 ⇒ du =
cos u + c , pero u
=
2
2λ
+ 2
2n+ 1
2
2n + 1
+c
2
T
du = dt 2λ 2λ t 2λ t T + ϕ 0 ⇒ − cos + ϕ 0 + c 2λ T T T
dt ⇒
x
2
x x + sen 2 2 2 dx dx ⇒ ∫ x sen 2 dx x x x 2 2 2 2 cos − + = − − dx sen Ln x + c ∫ x ∫ ∫ 2 2 2 2 sen x
4)
x 4
∫
1 − 2 sen
− 5 x 2 + 1 , apli aplica camo mos s divi divisi sión ón de poli polino nomi mios os para para enco encont ntra rarr una una dx 3 x − 1
expresión mas sencilla de calcular, aunque por tablas se puede encontrar el resultado inmediato de esta integral. La expresión resultante es:
− 5 x 2 + 1 37 1 + 1 x 3 + 1 x 2 − 44 x − 44 , reem eemplaz plazam amo os en la inte integr gra al y = − 81 3 1 3 9 27 81 x 3 x − 1 37 1 + 1 x 3 + 1 x 2 − 44 x − 44 dx , ahora se obtenemos la siguiente expresión: expresión: ∫ 9 27 81 81 3 x − 1 3 x 4
procede a utilizar la propiedad de linealidad li nealidad así: 37
∫
dx
81 3 x − 1
+
1 3
∫
x 3 dx +
1 9
∫
x 2 dx −
44 27
∫
xdx −
44 81
∫ dx
resultado es: 37 243
Ln( 3 x − 1) +
1 12
x 4
+
1 27
x 3
−
22 27
x 2
−
44 81
x + c
, calcu alcula lan ndo las las int integra egrale les s el
5)
senx
∫ cos x 3
2
e tan x dx , en primer lugar le damos otra forma a la integral, para
facilitar su calculo:
senx
∫ cos x cos x 2
2
e tan x dx =
Hacemos u = tan 2 x , entonces, du
tan x
∫ cos x 2
= 2 tan x sec xdx ⇒
el cambio de variable y obtenemos:
1
2 ∫
variable original y el resultado final es:
6)
e arctan x
∫
∫
2
e tan x dx = e tan
e u du
=
1
x
2
e tan
2
1 2
du
eu
2
2
x
tan x sec 2 xdx
= tan x sec
2
xdx , realizamos
+ c , regresamos a nuestra
+c
+ xLn(1 + x 2 ) + 1 . Aplicamos la propiedad de linealidad y la integral dx 1 + x 2
resultante es: e arctan x
∫ 1 + x
2
dx +
∫
xLn(1 + x 2 ) 1 + x
2
dx +
dx
∫ 1 + x
2
, se proc proced ede e a calc calcul ular ar cad cada una de las
integrales como sigue:
Organizando la respuesta de la integral es:
e arctgx
7)
+
1 4
Ln 2 (1 + x 2 ) + arctgx + c dx
∫ ( a + b) + ( a − b) x
2
, para solucionar esta integral es necesario realizar una
transformación algebraica del integrando para facilitar su calculo, en este 1
caso factorizamos ( a − b ) y nos queda:
dx
( a − b ) ∫ a + b
. Luego Luego la integral integral + x 2 a − b
1
∫
du
a+b
y u = x ; por lo tanto el a − b m2 + u 2 a−b 1 1 u arctg + c , reali resultad resultado o es: realizan zando do los cambio cambios s de variab variables les nos a−b m m
tien tiene e la form forma a
, sien siendo do m 2
=
queda: 1
a−b
a−b
a+b
8)
arctgx
a − b
3 x − 2
∫ 19 − 5 x + x
2
1
+ c = + a b
a −b a +b
arctgx
a − b
+ c + a b
dx . En este ste caso aso resul esultta útil útil comp comple lettar cua cuadrad drado o en la
expr expres esió ión n del del radi radica call para para tene tenerr una una inte integr gral al más más fáci fácill de calc calcul ular ar..
∫
25 4
−
25 4
−2
x − 5 x + 25 − 51 4 4
dx
+ 19 dx
2
=u+
a2
∫
− 5 x +
x 2
3 x
∫ x
3 x − x
=
3 x
⇒a=
luego
hacemos
u
= x −
du
5 2
= dx
51 2
5
3u 2
dx
2
expresión:
∫ u
2
x − 5 + 51 2 4
11 − 2 3u + 2 2 du = ∫ 2 2 2 u +a u + a2
3 u +
−2
5
51 4
= ∫
+ a2
du +
11 2
∫ u
du 2
+ a2
du
, aplicamos linealidad y obtenemos la siguiente
Realizando los cambios de variable respectivos nos queda:
)
(
11 Ln 2 x − 5 + 2 x 2 − 5 x + 19 + c 2 senx − cos x 14) . Ha Hacem cemos os u = senx + cos x ⇒ du = cos x − senx ⇒ −du = senx − cos x senx + cos x du = − Ln( u ) + c ⇒ − Ln( senx + cos x) + c realizando el cambio de variable: − u 3 x 2
− 5 x + 19 +
∫
y
∫
III. Resuelv Resuelva a las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones diferenciale diferenciales: s:
1) a x
dy + 2 y = xy . Empezamos por realizar las operaciones algebraicas dx dx
dy
que nos permitan separar las variables adecuadamente. y dy y dx + 2 y = xy dy ⇒ x dy − xy dy = −2 y ⇒ x dy 1 − = −2 y ⇒ 1 − = −2 dx a dx dx a dx dx a y a x 1 1 dx − = − 2 dy . Las variables han sido separadas adecuadamente, por tal x y a
x
dy
motiv motivo o proc proced edem emos os a inte integra grarr en ambo ambos s miem miembr bros os de la igua iguald ldad ad par par conocer la solución general a la ecuación diferencial que se nos ha pedido calcular.
1
1
dx
∫ y − a dy = −2∫ x
y
y
a
a
⇒ Ln( y ) − = −2 Ln( x ) + c ⇒ − Ln( y) = 2 Ln( x) + c .
euler en ambos extremos. y y
ea
− Ln ( y )
= e ( )+ c Ln x 2
⇒
ea y
y
= kx ⇒ e a = kx 2 y 2
Aplicamos
IX.
Calcule las siguientes integrales utilizando la integración por partes
∫
+1 dx . Para Para resolver esta integral resulta útil completar cuadrado en ( x + 1) 2 x 2
x
9) e
el numerador, agregando y sustrayendo 2 x , por tanto la integral queda así:
+ 2 x + 1 − 2 x ∫ ( x + 1) 2 dx , organizando nos queda: 2 2 xe x x ( x + 1) − 2 x x ( x + 1) ∫ e ( x + 1) 2 dx =∫ e ( x + 1) 2 dx − 2∫ ( x + 1) 2 = x
e
x 2
xe x
∫ e dx − 2∫ (1 + x) x
2
dx . Luego nos
queda calcular la segunda integral, pues la primera es inmediata como se ve; x
e
+ c − 2∫
xe x
(1 + x ) 2
dx . Procedemos a utilizar la integración por partes escogiendo
adecuadamente las variables u y dv, dv, para realizar un correcto calculo.
= xe x du = e x ( x + 1) dx
u
−2
dv = ( x + 1) dx v = −( x + 1)
∫
−1
∫
Por lo tant tanto o nos nos qued queda: a: u.dv = u.v − v.du reemp reemplaz lazand ando o y calcul calculand ando o nos queda:
xe x xe x xe x x xe x e x ( x + 1) x − 2∫ + ∫ − ∫ e dx = 2 − e + c =2 − 2e x + c dx = −2 − dx = 2 2 x + 1 (1 + x ) x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 xe x
Ya resuelta la integral que nos ocupaba, procedemos a escribir la respuesta completa de la integral que originalmente era objeto de estudio:
∫ e
x
+ 1 = x xe x xe x x dx e + c + 2 − 2e + c = 2 − ex + c 2 ( x + 1) x + 1 x + 1 x 2
