La matemática y el trabajo colaborativo
Al enfrentarnos a un problema matemático, el diálogo y el debate son muy importantes, debido a que la diversidad de puntos de vista, opiniones y estrategias de solución enriquecen el trabajo para obtener mejores resultados. En este sentido, la clase de Matemáticas es un espacio para negociar, reflexionar y debatir con la finalidad de construir de manera conjunta nuevos conocimientos conocimientos.. En este bloque conocerás acerca de las sucesiones, donde hay que identificar regularidades; las relaciones de variables con temas de física, economía y biología; y el estudio de gráficas de proporcionalidad directa. En lo que se refiere a geometría, estudiarás los ángulos del círculo. Por Por último se explica la media ponderada, con la que interpretarás y resolverás diversas situaciones en las que la media aritmética resulta insuficiente.
B l lo q o ue 4 164
Aprendizajes esperados 1.
Representa sucesiones sucesion es de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.
2.
Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + + b = = cx + + d , donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
3.
Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.
4.
Resuelve problemas que implican calcular calcular,, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
165
Aprendizajes esperados 1.
Representa sucesiones sucesion es de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.
2.
Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + + b = = cx + + d , donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
3.
Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.
4.
Resuelve problemas que implican calcular calcular,, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
165
Lección 32 Sucesiones 32 Sucesiones de números enteros Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones Contenido
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros
Entrenamiento Agustín se prepara para competir en una olimpiada regional de ciclismo. Su plan de entrenamiento contempla aumentar a sus recorridos 0.5 km cada día. 1. Responde los siguientes planteamientos. planteamientos. a) Un día recorrió 5 km. ¿Cuántos debe recorrer el siguiente día?
5.5 km
Complétala. b) La tabla muestra el plan de entrenamiento de Agustín. Complétala. Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
km
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
c) ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 15?
9.5 km
13.5 km
¿Y en el día 23?
d) Subraya la expresión que determina el número de kilómetros que deberá recorrer Agustín para un
determinado día n. Explica en tu cuaderno por qué los primeros términos de la sucesión generada por la expresión coinciden con los valores de los recorridos de Agustín. 0.5n 2.5n + 0.5 0.5n + 2 0.5n + 2.5 e) Explica, en tu cuaderno, por qué la expresión que elegiste es la correcta. Oriéntate
Las reglas algebraicas son fórmulas que permiten obtener valores para todos los casos.
R. P.
f) En tu cuaderno escribe los primeros 20 términos que genera la expresión que elegiste en el inciso
d) y explica qué relación tiene con los de la tabla del inciso b). Comenta con tus compañeros de grupo tus observaciones observaciones.. R. T. La tabla es igual a la del inciso b), pero con los
siguientes diez términos de la sucesión 0.5n + 2.
g) Otro competidor inicia su plan de entrenamiento con 10 km y cada día subsecuente aumentará
0.5 km. ¿Qué modificaciones necesitas hacer en la expresión anterior para que puedas obtener el
+ número de kilómetros que deberá recorrer este deportista? Anota la nueva expresión. 0.5n +
9.5
h) Otro ciclista se prepara para la misma competencia. Su plan de entrenamiento está determinado
por la expresión 7.5 + n. Explica en tu cuaderno en qué consiste su plan. R.
T. Que en su primer día de entrenamiento recorre 8.5 km y cada día subsecuente aumenta 1 km.
i) Completa la tabla a partir de la expresión del inciso h). Explica en tu cuaderno por qué los primeros
términos de la sucesión generada por la expresión coinciden con los valores de los recorridos de Agustín. Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
km
8. 5
9.5
10.5
1 1. 5
12.5
13.5
14.5
15. 5
16.5
17 . 5
j) Responde en tu cuaderno. ¿Cuántos kilómetros deberá recorrer en el día 39? ¿Recorrer un total de
88 km en un día forma parte de su plan de entrenamiento? Explica.
46.5 km. R. T. No, la cantidad de kilómetros nunca es entera (8.5, 9.5, 10.5, …).
k) Un cuarto deportista efectuó el siguiente plan de entrenamiento: 2, 3.5, 5, 6.5, 8… ¿Qué expresión
determina los kilómetros que deberá recorrer el deportista para un determinado día n?
0.5 + 1.5
n
l) Comparte tu respuesta anterior con tus compañeros. Observen diferencias y comprueben que la
expresión sea correcta. Comenten si las expresiones tienen sentido para cualquier valor de n en estos ejemplos de entrenamiento de un ciclista. 166 Bloque 4 Lección 32
Lección 32
Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y contesten.
En un laboratorio se lleva a cabo un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en diferentes temperaturas. Se coloca una muestra de la sustancia y se introduce en un enfriador que es controlado automáticamente. El sistema disminuye la temperatura 2 °C por minuto. a) El experimento inicia con una temperatura ambiente de 8 °C. ¿Qué temperatura habrá después
de 4 minutos? Escriban en su cuaderno el procedimiento que usaron. 2
C; R. T. Como disminuye dos grados por minuto, en el minuto 1 estaría a 8 C, en el 2 a 6 C, en el 3 a 4 C y en el minuto 4 a 2 C. °
°
°
°
°
b) Completen la tabla. Expliquen en su cuaderno por qué los valores coinciden con los primeros
términos de una sucesión infinita. Tiempo (min)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Temperatura (ºC)
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
c) Denominen n a los minutos transcurridos y escriban una expresión algebraica en términos
8–2
de n que permita determinar la temperatura despues de n minutos.
n
d) Una forma de verificar si la expresión algebraica anterior es correcta es sustituir el valor de n por
cualquier tiempo. Los resultados deben coincidir con los datos de la tabla. e) Si el experimento inicia con una temperatura de 4 ºC, ¿qué modificaciones deberán hacer en la
expresión algebraica anterior para que se determine la temperatura en cualquier minuto? Escriban
4–2
la nueva expresión.
n
f) Completen la tabla usando la nueva expresión algebraica. Tiempo (min)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Temperatura (ºC)
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
g) Compartan con sus compañeros de grupo las dos expresiones algebraicas que encontraron. ¿Qué regularidad o característica observan en cada sucesión? Comenten sus ideas y anoten una conclusión. 3. Fíjate en la siguiente sucesión numérica y responde.
–1, –8, –15, –22, –29, –36, –43…
Oriéntate
a) Observa que la diferencia entre un término y el siguiente es 7; escribe los siguientes seis términos
de una sucesión con la regla –7n = –7 ,
–14
,
–21
,
–28
,
–35
,
–42
,
–49
b) Compara término a término (uno a uno) la sucesión inicial y la sucesión que acabas de escribir.
¿Qué operación aritmética debes efectuar en cada término para que la segunda sucesión sea igual a la primera?
Sumar 6
c) Escribe la regla general de la primera sucesión a partir de esta información.
En una sucesión de números, los puntos al final de la lista indican que la sucesión continúa. Los elementos de una sucesión de números se llaman términos.
–7 + 6 n
d) Con la ayuda de tu profesor validen las respuestas anteriores y escriban una conclusión.
Lección 32
Bloque 4 167
Lección 32 Sucesiones de números enteros
Profundiza 4. Relaciona cada sucesión de la columna de la izquierda con su correspondiente regla o expresión algebraica de la columna de la derecha.
a) –10, –20, –30, –40, –50, –60...
9n
b) 3, 7, 11, 15, 19, 23...
–3n
c) 1, 6, 11, 16...
–10n
d) 6, 7, 8, 9, 10, 11…
4n – 1
e) 9, 18, 27, 36, 45, 54...
5n – 4
f) –3, –6, –9, –12, –15...
+ 5
n
5. Resuelve los planteamientos.
–49
a) Indica el término 10 de la sucesión –4, –9, –14, –19…
5n + 2
b) Escribe la regla de la sucesión 7, 12, 17, 22, 27…
–7n + 4
c) Anota la regla de la sucesión –3, –10, –17, –24, –31…
d) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Escriban una conclusión sobre el
procedimiento que usaron en cada caso: cuando se tienen los primeros términos de la sucesión y cuando se conoce la regla o expresión algebraica. Lee de forma grupal. Propongan un ejemplo. Las sucesiones numéricas con progresión aritmética son aquellas donde la diferencia entre cada término es constante y, por lo tanto, cada nuevo término de la sucesión se obtiene sumando o restando un mismo número. La expresión algebraica de una sucesión describe el comportamiento de la misma, permite determinar el valor de cualquier término de la sucesión e indica la relación entre dos términos consecutivos. Por ejemplo, en la sucesión de números 3, 5, 7, 9, 11, 13…, la expresión algebraica es 2n + 1. En este caso 2n indica que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre 2. En los ejemplos del recorrido de los ciclistas y las temperaturas del enfriador, los valores que calcularon coinciden con los primeros n, términos de la regla general que se obtuvo en cada caso. 6. Escribe con un compañero los términos de la sucesión. Analicen la tabla y respondan. Término de la sucesión
–8
–12
–16
–20
–24
–28
–32
Posición
1
2
3
4
5
6
7
a) Escriban la regla general que genera la sucesión. b) Escriban la regularidad en la sucesión. 168 Bloque 4 Lección 32
–36 –40 –44 8
9
10
–4n – 4 Disminuye de 4 en 4
…
-4n -4 n
Lección 32
c) ¿Cómo pueden obtener el término de la sucesión que ocupa la posición 20 a partir de la regla
general?
Sustituyendo n por 20 en la regla general de la sucesión.
d) Prueben que, con la expresión anterior, obtengan cualquier término a partir de la posición n. 7. Analiza con un compañero la regla general de la última fila de la tabla de la derecha. Respondan.
Término de la sucesión
Posición
–10
1
Sí. Si sustituimos, en la regla que genera la sucesión, n por cada posición suce-
–15
2
–20
3
siva, obtenemos los términos de la sucesión.
–25
4
–30
5
a) ¿La regla –5(n – 1) – 10 genera los mismos términos de la sucesión de la tabla? Expliquen.
b) ¿Cómo calcularían el término de la sucesión que se localiza en la posición 20? Sustituyendo
n
… –5n – 5
por 20 en la regla que genera la sucesión.
n
c) Comparen los procedimientos que utilizaron con los de otros compañeros.
Lee en grupo la siguiente información. Propongan un ejemplo en sus cuadernos. La expresión general para determinar cualquier término de una progresión aritmética es an = a1 + d (n – 1) donde an = término de la sucesión a1 = primer término de la sucesión d = diferencia entre dos términos de la sucesión n = número del término de la sucesión que se busca 8. Completa la tabla. a
b
an + b
Diez primeros términos de la sucesión
2
–30
2n – 30
–28, –26, –24, –22, –20, –18, –16, –14, –12
–2
–3
–2n – 3
–5, –7, –9, –11, –13, –15, –17, –19, –21, –23
–2
10
–2 + 10
8, 6, 4, 2, 0, –2, –4, –6, –8, –10…
–4
7
–4 + 7
n
n
3, –1, –5, –9, –13, –17, –21 ,–25 , –29 ,–33
9. Concluye con el grupo sobre las diferencias entre las sucesiones de la forma kn, donde k es una constante negativa, y las sucesiones de la forma – an – b, donde a y b son constantes negativas. TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-169a, donde se presentan actividades interactivas sobre sucesiones. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-169b. Completa las sucesiones y encuentra la expresión algebraica asociada con cada una. Comparte tus respuestas con un compañero.
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 32 en la bitácora de la página 194.
70
60
50
20
30
40
10
...
...
...
...
...
¿Cuál es la regla de la sucesión que se observa?
–10 + 80 n
Lección 32 Bloque 4 169
Lección 33 Planteamiento y resolución de ecuaciones lineales Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones
Las piezas de colores 1. Responde con un compañero los problemas.
Contenido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos
=
x
= –x
a) Miguel y Mariano están modelando ecuaciones con piezas de colores. Los valores de las piezas se
–2x + 1 = –x + 4
indican a la izquierda. ¿Qué ecuación representa la figura 4?
es igual a
es igual a
=1
Figura 4
= –1
Figura 5
b) Para mantener la igualdad se agrega una pieza amarilla a ambos lados de la igualdad (figura 5).
¿Qué ecuación representa la figura 5?
–2x = –x + 3
es igual a
es igual a
Figura 6
Figura 7
c) Expliquen por qué en la figura 6 ya no aparecen las piezas amarillas.
R. T. Porque al colocar una pieza amarilla en el lado izquierdo de la ecuación, se elimina la única roja que existe, y las cuatro piezas rojas del lado derecho Oriéntate Una igualdad relaciona dos expresiones; cada expresión contiene términos. Cada lado de una igualdad es un miembro.
disminuyen a tres ya que una amarilla anula a otra roja. d) Se agregó una pieza azul marino a cada miembro de la igualdad (figura 7). Dibujen en sus cuadernos
lo que se obtendrá en la siguiente figura y escriban la expresión resultante. e) En su dibujo debe estar representado el valor de x . ¿Cuál es?
–x = 3
–3
f) Comprueben en la ecuación inicial que con este valor la igualdad se cumpla.
3+3+1=3+4
g) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten lo siguiente: en las ecuaciones
es fundamental mantener la igualdad entre las dos expresiones. Escriban una conclusión en el pizarrón sobre cómo se mantuvo la igualdad agregando valores en ambos lados de la ecuación.
170 Bloque 4 Lección 33
Lección 33
Lee en grupo. Propongan más ejemplos. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Resolver una ecuación consiste en determinar el valor o los valores de la incógnita que permiten que se cumpla la igualdad. Por ejemplo: la ecuación 2x + 3 = x + 5 tiene como solución x = 2, pues al sustituir el valor se cumple la igualdad. En la expresión 2x + 3, si x = 2 se obtiene 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7. Por otro lado, en la expresión x + 5, si x = 2, entonces 2 + 5 = 7. Así, con el valor x = 2 la igualdad se cumple. 2. Con base en la información anterior, responde las preguntas. a) Manuel y Miriam juegan con una balanza usando piezas de madera. El valor de cada pieza se muestra
a la derecha. Manuel colocó las piezas como se muestra en la figura 1. Escribe una ecuación que
2x + 2x + x = 5x
refleja la igualdad de la balanza.
5x
3x
2x
x
Figura 1
Figura 2
b) Miriam agregó 2x a un lado de la balanza (figura 2). ¿Cuánto debe agregar Manuel para que la
2x
balanza esté en equilibrio?
c) Escribe la ecuación que refleje la igualdad de la balanza.
3(2x ) + x = 5x + 2x
d) Analiza en grupo el concepto de equilibrio en una ecuación. 3. Responde en tu cuaderno las preguntas. a) La igualdad 2x + 1 = 3 nos dice que si un número (x ) se multiplica por 2 y se suma 1 al resultado,
se obtiene el número 3. ¿De qué número se trata?
1
b) Resolver la ecuación 6x + 5 = 29 significa encontrar un valor de x para que se cumpla la igualdad.
¿Qué número hace que se cumpla?
4
c) De acuerdo con lo obtenido en el inciso anterior, ¿cuántos valores para x permiten que al sustituir
en la expresión se cumpla la igualdad?
Un valor.
d) Un compañero de clase propuso que el valor que debe tomar x es 5. ¿Cómo comprobarías
que ese valor no es el adecuado? Porque
al sustituir x por 5 no se cumple la igualdad: 6(5) + 5 no es igual a 29. Lección 33
Bloque 4 171
Lección 33 Planteamiento y resolución de ecuaciones lineales Un paso adelante 4. Responde con un compañero las preguntas.
Mario y Mauricio leerán el mismo libro de cuentos. Mario lee seis páginas por día; Mauricio empezó a partir de la página 12 y lee tres páginas por día. a) ¿Cuántas páginas habrá leído Mario en diez días?
60
90
¿Y en quince?
b) Describan en sus cuadernos el procedimiento que siguieron para responder. R. P. c) Elijan la expresión algebraica que indique hasta qué página habrá leído Mario después de x días.
6x
6 + x
6x + x
6 – x
d) ¿Hasta qué página habrá leído Mauricio después de dos días?
18
¿Y después
42
de diez días?
e) Escriban una expresión algebraica que les permita determinar hasta qué página ha leído Mauricio
después de x días.
12 + 3x
f) ¿En qué día Mauricio y Mario habrán llegado a la misma página? Igualen la expresión algebraica
que eligieron para el caso de Mario con la que determinaron para el de Mauricio y anótenla. 12 + 3x = 6x g) Existe un número para x tal que se cumple la igualdad. ¿Cuál es? Una opción es probar diferentes
números. Sustituyan el valor elegido en x , simplifiquen la expresión y determinen si se cumple la 4
igualdad. Prueben con 1, 2, etc. ¿Qué número satisface la igualdad?
h) Compartan su resultado con sus compañeros. Comprueben que el número sea correcto. Escriban
en sus cuadernos una conclusión sobre su estrategia para encontrarlo.
Profundiza 5. Resuelve la siguiente ecuación.
3x + 5x – 2 = – 4x + 4 a) Completa la tabla. Efectúa las operaciones necesarias para dejar de un lado de la igualdad
los términos que contengan la incógnita y del otro los valores numéricos. Operaciones
Descripción de operaciones (aplicadas a ambos miembros)
Resultado
3x + 5x – 2 + 2 = –4x + 4 + 2
sumar 2
3x + 5x = –4x + 6
3x + 5x + 4x = –4x + 4x + 6
Sumar 4x
12x = 6
12 6 ___ = __ 12 12
Dividir entre 12
x
b) El valor de la incógnita es
172 Bloque 4 Lección 33
_1 2
1 = __
x
2
Lección 33
Resolver una ecuación significa determinar el valor de la incógnita. Un procedimiento es separar la incógnita mediante operaciones en ambos lados de la igualdad, cuidando que se mantenga la igualdad. Para que se preserve la igualdad se aplican a ambos lados de la ecuación las mismas operaciones.
1. Reducir términos semejantes en ambos miembros de la igualdad. 2. Aplicar las operaciones necesarias para dejar de un lado la incógnita y del otro los demás términos. A este procedimiento se le conoce como despeje. 6. Resuelve con un compañero las ecuaciones. Determinen el valor de x con el que la igualdad se cumpla. Escriban las etapas paso a paso en sus cuadernos.
= __73
b) 5x – 3 = 3x + 1
= 4
e) 3x + 1 = 28 + 5x
a) 3x + 1 = 10x – 2
x
d) 4x – 2 = 2 x + 6
x
= 2
c) 5x – 5 = 20 – 2x
x
–27 = ___ 2
f) 10x – 10 = 2x – 6
x
x
x
25 ___ 7 = __21
=
7. Determinen si las expresiones son una ecuación y expliquen en sus cuadernos por qué. a) 2x + 1 = 3 Sí,
es una igualdad algebraica.
b) 3(x + 3)
8. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones. a) 9x + 4x – 2 = 4x + 3x + 12 c) 6(6x –1) + 4 x = 5x + 50
=
c) 5x = 1
Sí, es una igualdad algebraica.
14 = __ 6
b) 3.2x + 4.5x + 3 – 2 = –2.2x + 5x – 7
56 ___ 35
d) 4x + 2(10 – x ) = 50
x
x
No, no es una igualdad algebraica.
–8 = ___ 4.9
x
= 15
x
9. Resuelve con un compañero la siguiente ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es igual a 193 menos el primer número.
+ 1
i) Si al primero le llamamos x , ¿cómo escribimos su “consecutivo”?
+ x + 1 = 193 –
ii) Escriban la ecuación correspondiente. iii) ¿Cuál es el valor de x ?
x
x
x
= 64
x
10. Debate en grupo el concepto de igualdad : cómo preservar la igualdad, la equivalencia entre ambos miembros y el despeje manteniendo la igualdad. TIC
Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-173a. Explica los procedimientos que conozcas para resolver las ecuaciones de primer grado. Comenta con un compañero tu respuesta. Explora el sitio www.e-sm.com.mx/matret2-173b. Resuelve los ejercicios de nivel 4. Si tienes errores, revisa de nuevo las actividades 1 y 5 de esta lección.
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 33 en la bitácora de la página 194.
Un terreno rectangular tiene un perímetro de 80 m. Determina las dimensiones del terreno sabiendo que un lado mide 20 m más que el otro.
30 m de largo por 10 m de ancho
Lección 33 Bloque 4 173
Lección 34 Resuelve problemas con ecuaciones Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones
Un acertijo matemático El doble de un número más 6 es igual a ese número más 10. ¿Sabes qué número es?
Contenido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos
1. Responde con un compañero las preguntas.
R. P.
a) ¿Cómo representarían el valor desconocido? b) Escriban una expresión algebraica para el doble de un número.
R. T. 2z
c) Anoten una expresión algebraica para el enunciado “el doble de un número más 6”.
d) Escriban una para “un número más 10”.
R. T. z + 10
e) Igualen la expresión del inciso b) con la del c) y resuelvan la ecuación correspondiente.
¿Cuánto vale x ?
2z + 6 = z + 10; z = 4
f) Para comprobar si el valor encontrado es correcto, se sustituye este en la ecuación y se revisa
que se cumpla la igualdad. Comprueben que el resultado sea correcto. Cuando se resuelven problemas que conducen a ecuaciones, frecuentemente se requiere pasar del lenguaje coloquial a expresiones algebraicas (lenguaje algebraico). Existen palabras clave si se trata de suma, resta, multiplicación o división. Suma
Resta
Multiplicación
División
más aumentar incrementar adición mayor que más grande que ganar
menos diferencia disminuir perder menor que
producto veces multiplicado doble, triple, etc.
cociente mitad, tercera, etc. razón divido por
2. Escribe la expresión algebraica que corresponda. Si es necesario usa paréntesis. Observa el ejemplo. a) El triple de un número más 2. 3x + 2
3x – 5
b) El triple de un número disminuido en 5. c) La suma de tres números consecutivos.
n + n +
1 + n + 2 x __ – 2y 2
d) La mitad de un número menos el doble de otro.
e) El triple de un número, menos su mitad aumentada en 4. x __
f) La tercera parte de un número. g) Un número agregado a 5 es 12. h) La suma de los cuadrados de dos números.
174 Bloque 4 Lección 34
x 3x – (__ + 4) 2
3
x +
5 = 12 2 x + y 2
R. T.
Lección 34
Un paso adelante 3. Trabaja con un compañero. Repártanse los siguientes problemas. Planteen la ecuación correspondiente y respondan lo que se pide. Al final comparen sus procedimientos y validen sus respuestas con ayuda del profesor. a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 27 menos el número más pequeño. ¿Qué
6, 7 y 8
números son?
b) Felipe repartirá $180.00 entre sus tres hijos: a Juan le tocarán $10.00 más que a Ramiro, y Luis
recibirá lo de Juan y Ramiro juntos. ¿Cuánto le tocará a cada uno? A
Juan, 50; a Ramiro, 40; y a Luis, 90.
c) En una granja hay tres veces más gallinas que gallos, y los pollitos son el doble que las gallinas
y los gallos juntos. Si hay 180 animales, ¿cuántas gallinas, gallos y pollitos hay?
45 gallinas, 15 gallos y 120 pollitos. d) La edad de Alberto es el doble de la de Julián. Hace diez años, la edad de Alberto era el triple
de la de Julián. i) Determina las expresiones algebraicas que indic an las edades de Alberto y Julián.
R. T. Alberto: 2x y Julián:
x
ii) Escribe una expresión algebraica para indicar “la edad de Alberto hace 10 años”.
2x – 10 iii) Escribe una expresión algebraica para indicar el triple de la edad de Julián hace 10 años.
3x – 30 iv) Construye una ecuación igualando los inci sos ii) y iii). Determina las edades actuales de Alberto
y Julián.
2x – 10 = 3x – 30; Julián 20 años y Alberto 40 años.
e) Un autobús recorre una autopista a 100 km/h. Otro se dirige al mismo destino pero lleva tres horas
de ventaja, aunque viaja a 60 km/h. ¿En qué tiempo ambos estarán en el mismo punto?
4.5 horas. 4. Resuelve las ecuaciones. Analiza en grupo las diferencias y expliquen por qué los resultados son diferentes. No olviden considerar el orden de las operaciones. R. T. Las soluciones son
diferentes porque, al considerar los paréntesis, las operaciones son distintas y por tanto las ecuaciones también lo son.
a) x + 1 · 3 = 4x + 2 __1
b) (x + 1) · 3 = 4(x + 2)
3
–5
5. Resuelve en tu cuaderno. Compara las respuestas con tus compañeros de grupo. a) x + 3(x – 3) = 3x + 2 + 2x
–11
c) (x + 1) – ( x – 1) = [( x + 1) + 4)] – (2 x + 2)
b) 12 + 2x + 2 – (x – 3) = 10x – (2x + 7x + 1)
1
d) (2 + x ) – 3x – 2 – (10x + 1) = 3 x + 3
No hay solución.
–4 __ 15 Lección 34
Bloque 4 175
Lección 34 Resuelve problemas con ecuaciones 6. Resuelve el siguiente acertijo matemático.
Una cuarta parte de un número más su tercera parte es igual al doble de ese número menos 17. a) Escribe la expresión que representa la situación anterior.
x x __ __ + 4 3 =
2x – 17
b) Ahora es posible reducir términos semejantes y simplificar la expresión, dejando del lado izquierdo
de la igualdad los términos que contienen x , y del derecho, los valores numéricos. Finalmente se
12
resuelven las operaciones para obtener la solución. ¿Cuál es el valor de x ? 7. Completa las tablas que muestran un proceso para resolver la ecuación. a) __14 x + _13_x – x = x + __14 x + 32 Operaciones
Descripción de operaciones (efectuadas a ambos miembros)
_1_x + _1_x – x = x + _1_x + 32
restar x restar __14 x
4
3
4
x __ –
2x = 32
3
Resultado
x __ 3
– 2x = 32 –5x ___
simplificar términos semejantes
3
= 32
dividir entre – _53_
–96 x = ___ 5
Operaciones
Descripción de operaciones (efectuadas a ambos miembros)
Resultado
__x + 10 = _1_ –2x
sumar 2x restar 10
–5x ___ 3
= 32
b) __6 + 10 = __14 –2x x
6
x __ 6
4
+ 2x =
__1 4
– 10
x __ 6
+ 2x = 13x ___ 6
simplificar términos semejantes
__1 4
– 10
–39 = ___ 4
13 dividir entre __ 6
–117 x = ___ 26
Operaciones
Descripción de operaciones (efectuadas a ambos miembros)
Resultado
_1_x + 2 = _1_x + 5
restar 2 restar __16 x
13 __ x 6
–39 = ___ 4
c) __12 x + 2 = _16_x + 5
Oriéntate
La ecuación __12 x = 4 se puede resolver multiplicando por dos en ambos lados de la igualdad: 2 (__12 x ) = 2(4).
2
x __ 2
6
–
x __ 6
=5–2
x __
=3
s simplificar términos semejantes
x __ 2
–
x __ 6
=5–2
x __
=3
3
Entonces x = 8.
3 176 Bloque 4 Lección 34
multiplicar por 3
x=9
Lección 34
Profundiza 8. Trabaja con un compañero. Respondan los problemas en su cuaderno. a) Hace seis años, la edad de Pablo era la mitad de la que tendrá dentro de 20 años.
32 años
i) Escriban una ecuación que iguale la edad de Pablo hace seis años y la mitad de la edad
que tendrá dentro de 20 años, y resuélvanla. ¿Cuál es la edad actual de Pablo? x –
+ 20 6 = _____ 2 x
b) Hugo tiene seis años más que Gabriel. Hace seis años la edad de Hugo era _52_ de la edad de Gabriel.
¿Cuáles son las edades de Hugo y Gabriel?
Hugo: 16 años; Gabriel: 10 años
i) Escriban una ecuación que iguale la edad de Hugo hace seis años con los __52 de la edad de Gabriel _5_ hace seis años. ¿Cuáles son las edades de Hugo y Gabriel?
+ 6 – 6 = ( 2 ) (x – 6)
x
c) Con la ayuda del profesor validen las respuestas de los incisos a) y b). Resuelvan sus dudas
y dificultades. d) Planteen un problema semejante a los que acaban de resolver en los incisos a) y b) y resuélvanlo. 9. Reúnete con un compañero.Analicen el siguiente planteamiento y escriban una justificación. a) Una de las condiciones al resolver una ecuación es mantener la igualdad en todo momento. ¿Se
puede escribir la ecuación 6x + 2 = 3x – 2x +1 como 6x – 3x = –2 – 2x +1? Argumenten su respuesta y propongan una forma de validarla.
Sí; R. T. Porque a ambos miembros de la ecuación se les ha restado 2 y 3x .
10. Las ecuaciones se utilizan en muchos contextos de la vida cotidiana; por ejemplo: en el cálculo de dimensiones de superficies. Resuelve los planteamientos. a) Determina las dimensiones de un terreno de forma rectangular, donde el largo es dos veces
el ancho menos 3 m, y el perímetro es de 36 m.
11 m de largo por 7 m de ancho
b) Reúnete con un compañero. Comparen sus respuestas y analicen el procedimiento de solución.
R. T. Se iguala el valor del perímetro (36) con la expresión algebraica que lo representa: 2(2x – 3) + 2x = 36; donde 2x – 3 es el largo y x es el ancho, posteriormente se despeja x para conocer las dimensiones del rectángulo. 11. Efectúa un debate grupal coordinado por el profesor. Analicen el concepto de igualdad en una ecuación y su proceso se solución. Escriban una conclusión al respecto. TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-177a. En tu cuaderno, elabora una explicación de las estrategias que te ayudan a resolver problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-177b , donde encontrarás una lista de ecuaciones para resolver. Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 34 en la bitácora de la página 194.
Una persona ganó en cuatro días $900.00. Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó cada día?
Ganó $480.00 el primer día, $240.00 el segundo día, $120.00 el tercer día y $60.00 el cuarto día.
Lección 34 Bloque 4 177
Lección 35 Ángulos inscritos y centrales de un círculo Eje: forma, espacio y medida Tema: medida
Los puntos en un círculo 1. Analiza los siguientes ángulos y responde con un compañero.
Contenido Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones
Figura 1 Oriéntate
Elementos del círculo y el ángulo.
Circunferencia
a) ¿Dónde se ubican los vértices?
Figura 3
Figuras 1 y 3, en el centro. Figuras 2 y 4 sobre la
b) ¿Qué elementos del círculo son los lados de los ángulos en las figuras 1 y 3?
Radio Arco
c) ¿Y los de la figura 2?
Ángulo Lado
Cuerdas.
e) Discutan lo siguiente: por la posición del vértice, ¿cuántos tipos de ángulos se forman con los
elementos del círculo? Escriban su conclusión.
Lado
Radios.
Cuerdas (una de ellas es un diámetro).
d) ¿Qué elementos son los de la figura 4?
Ángulo
Figura 4
circunferencia.
Cuerda Diámetro Centro
Vértice
Figura 2
R. T. Dos tipos de ángulos: unos forma-
dos por radios y otros por cuerdas (centrales e inscritos, respectivamente). f) ¿Se puede formar un ángulo con dos diámetros? Expliquen de qué tipo puede ser.
Sí. R. P.
g) Compartan las dos últimas respuestas con el grupo. Escriban en su cuaderno una conclusión. h) Lean la siguiente información y compárenla con lo que escribieron en el inciso e). Con ayuda del profesor validen sus respuestas del inciso g). Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro del círculo y sus lados coinciden con los radios.
Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas o una cuerda y un diámetro.
178 Bloque 4 Lección 35
Lección 35
Un paso adelante 2. Haz con un compañero lo que se pide. Después respondan. a) Tracen tres círculos del mismo tamaño y en ellos un ángulo inscrito y uno central, de manera que
sus lados coincidan con el mismo arco, como lo indica el ejemplo. En los tres círculos deben ser iguales los ángulos.
Oriéntate Recuerda que un arco es una parte de la circunferencia. b) Recorten el ángulo inscrito de los dos primeros círculos y sobrepóngalos en el central del tercero.
R. T. Sí, los dos ángulos
¿Observán alguna relación entre los dos ángulos? Expliquen.
inscritos caben exactamente en el central. c) Reúnete con cuatro compañeros. Comparen sus observaciones, midan sus ángulos y completen
la tabla. Alumno
Medida del ángulo central
Medida del ángulo inscrito
1
R. T. 80 90 64 52
40 45 32 26
°
2
°
3
°
4
°
°
°
° °
d) Con base en los resultados de la tabla discutan en grupo lo siguiente. ¿Qué relación observan entre
la medida de un ángulo inscrito y la de uno central cuando sus lados coinciden con el mismo arco?
R. T. La medida del central es el doble que la del inscrito. e) Lean en grupo la siguiente información y validen con lo que respondieron en los incisos b) y d).
Si un ángulo central y uno inscrito comparten el mismo arco, el ángulo central mide dos veces lo que el inscrito. Si dos ángulos inscritos comparten el mismo arco, miden lo mismo. 3. Resuelve los problemas. a) Si dos ángulos, uno central y uno inscrito, comparten un arco, y el central mide 120º, ¿cuánto mide
el ángulo inscrito?
60
°
b) Si dos ángulos, uno central y uno inscrito, comparten un arco, y el inscrito mide 90º, ¿cuánto mide
el ángulo central?
180
°
c) Con la participación de tu profesor validen las respuestas de los planteamientos anteriores, analicen
dudas y dificultades, y resuélvanlas. Lección 35
Bloque 4 179
Lección 35 Ángulos inscritos y centrales de un círculo Profundiza 4. Efectúa con un compañero lo que se pide. Completen la tabla. P
P
Q
Q
R A
R
A
A S
S
T B
B
a) Tracen una circunfe-
b) Tracen una cuerda AB y
rencia y marquen dos puntos sobre ella. Ángulo
B
c) Marquen el arco AB y tracen
marquen otros cinco puntos en la circunferencia. APB
∠
Medida del ángulo
T
AQB
ARB
∠
63
∠
63
°
cinco ángulos con vértices en los puntos anteriores. ASB
63
°
ATB
∠
∠
63
°
63
°
°
Constante
i) ¿Cómo es la medida de los ángulos anteriores?
5. Haz con otro compañero lo que se pide. Completen la tabla. A
P
A
Q
A
P
Q R
R O
S
O
S
O
T
T B
B
B
a) Tracen una circunferen- b) Marquen el arco AB y c) Tracen cinco ángulos con vértices en los puntos anteriores y arco cia y un diámetro AB otros cinco puntos en la sobre ella. circunferencia. AB. Ángulo Medida del ángulo
APB
∠
90
°
AQB
∠
90
°
ARB
∠
ASB
∠
90
90
°
°
i) ¿Qué triángulos se forman con los lados de los ángulos y el diámetro? Triángulos ii) ¿Cómo es la medida de los ángulos anteriores?
90
°
rectángulos.
Constante (90 ) °
iii) ¿Cuánto mide el ∠AOB?
180
iv) ¿Qué concluyen de la actividad?
R. T. Que los ángulos inscritos en una circunfe-
°
rencia que abarcan un mismo arco miden lo mismo. v) Tracen tres ejemplos de ángulos inscritos que midan más de 90º. 180 Bloque 4 Lección 35
ATB
∠
Lección 35
6. Mide los ángulos y contesta. B
X
A
W
Y C
D
Z
Figura A
Figura B
a) ¿Qué elemento del círculo es el segmento AC?
72
°
b) ¿Cuánto mide el ángulo ABC? c) ¿Y el ángulo ADC?
108
°
180
°
d) ¿Cuánto suman los ángulos ABC y ADC? e) ¿Qué elemento del círculo es el segmento WY?
Diámetro.
90
°
f) ¿Cuánto mide el ángulo WXY? g) ¿Y el ángulo WZY?
Cuerda.
90
°
h) ¿Cuánto suman los ángulos WXY y WZY?
180
°
i) Concluyan en grupo sobre el análisis anterior. 7. Rescata las características y propiedades de un ángulo central y uno inscrito, y las relaciones entre ellos; y coméntalas en grupo. B
A
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-181a. Contesta las preguntas y, si tienes dudas, revisa las actividades 2 y 4 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-181b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, elabora una explicación de lo que aprendiste usando tus propias palabras. Coméntala con un compañero.
O
C
Observa la figura y responde. Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 35 en la bitácora de la página 194.
¿Cuál es la medida del ángulo inscrito ∠ACB? 45
°
Lección 35 Bloque 4 181
Lección 36 Análisis de gráficas de proporcionalidad Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones
Contenido
Los polígonos en el plano cartesiano 1. Analiza los elementos de un plano cartesiano.
Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano
y
8 7 6 cuadrante II 5 (–, +) 4 3 2 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1
Oriéntate En el plano cartesiano los puntos se ubican mediante una pareja de números (x , y ); al primer número (x ) se le nombra abscisa y al segundo (y ) se le llama ordenada.
cuadrante III (–, –)
eje de las ordenadas cuadrante I (+, +)
origen
1 2 3 4 5 6 7 8 eje de las abscisas
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
x
cuadrante IV (+, –)
2. Trabaja en pareja. Efectúen lo que se pide y contesten. y
W
X
1 Y
Z
1
a) ¿En qué cuadrante se encuentra el polígono?
x
En el cuadrante I.
b) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del polígono anterior?
W( 1 ,4 ); X(4 , 4); Y( 1 , 1 ); Z(4 , 1 ) c) Si le suman tres unidades a la abscisa de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma?
Cuadrado
¿Cuáles son sus coordenadas? W(4, 4); X(7, 4); Y(4, 1); Z(7, 1)
d) Si le restan una unidad a la ordenada de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma?
Cuadrado
¿Cuáles son las coordenadas del nuevo polígono? W(1, 3); X(4, 3);
Y(1, 0); Z(4, 0) e) Si duplican las coordenadas de cada vértice del polígono original, ¿qué polígono se forma? Cuadrado ¿Cuáles son sus coordenadas?
W(2, 8); X(8, 8); Y(2, 2); Z(8, 2)
f) Compartan sus respuestas con sus compañeros de grupo. Con la participación del profesor analicen
las dudas y dificultades, y escriban una conclusión en sus cuadernos.
182 Bloque 4 Lección 36
Lección 36
Un paso adelante 3. Reúnete con dos compañeros. Lean el planteamiento, analicen las gráficas y contesten en sus cuadernos.
Alicia trabaja en una empacadora de chocolates y debe entregar al encargado cierta cantidad de cajas por hora. Este registra el número de cajas a lo largo de la jornada y presenta la información en gráficas como se muestra a continuación. Alicia trabaja ocho horas diarias, seis días a la semana. 300
300 240
250
210
s a j a c
200
150
150
s a j a
120
100 50
200
180
200
90
60
260 230
250
c
170 140
150 80
100
30
110
50
50 20
0
1
2
3
4
5
6
7
0
8
6
7
250
160
230
100 100
c
70 10 1
30
110 100
40
80 50
50
20 2
3
4
5
6
7
0
8
2
3
4
horas
Día 3
Día 4
120 80
s a j a c
40
180
7
140 100
100 50
6
8
240
150
20 5
7
220
200
60
4
6
250
100
3
5
300
160
2
1
horas
140
1
170 140 140
150 s a j a
8
200
200 150
180 160 140 120 s 100 a j 80 a c 60 40 20 0
5
240
150
0
4
Día 2
200
50
3
Día 1 250
c
2
horas
300
s a j a
1
horas
8
0
40
60
20 1
2
3
4
horas
horas
Día 5
Día 6
5
6
7
8
a) ¿En qué parte de la gráfica se indica la hora de inicio?
En ninguna, la hora de inicio no se sabe aunque el inicio de la jornada es el punto (0, y ).
b) ¿En qué días, las horas trabajadas y el número de cajas son conjuntos de cantidades directamente
proporcionales?
En los días 1 y 5.
c) ¿Qué día o días Alicia inició su jornada de trabajo con cajas listas para entregar?
Los días 2 y 4.
d) ¿Qué día o días Alicia trabajó de manera constante e inició su trabajo desde 0?
Los días 1 y 5.
e) ¿Qué similitudes tienen entre sí las gráficas anteriores?
R. T. Son gráficas crecientes.
f) ¿Qué gráfica tiene asociada la expresión algebraica y = 20x ?
La gráfi ca del día 5.
g) Compartan sus respuestas con el grupo. Concluyan sobre la gráfica correcta. Lección 36
Bloque 4 183
Lección 36 Análisis de gráficas de proporcionalidad Profundiza 4. Reúnete con dos compañeros. Analicen la gráfica y respondan.
La gráfica registra el desplazamiento de un móvil. 140 120
120 100
100 80
) m 80 k ( a i c 60 n a t s i 40 D
60 40 20
20 0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (horas)
20 km
a) ¿Qué distancia recorrió el móvil en 1 h? b) Completen la tabla. Tiempo (h)
0
1
2
3
4
5
6
Distancia (km)
0
20
40
60
80
100
120
c) ¿Qué distancia recorrió el móvil en 6 h?
120 km
d) Si la velocidad del móvil no hubiera sido constante, ¿cómo sería la gráfica? R. P.
e) Si el móvil se hubiera desplazado más lento, ¿cómo sería la gráfica? R. T. Menos inclinada.
f) Si el móvil se hubiera desplazado más rápido, ¿cómo sería la gráfica? R. T. Más inclinada.
g) Discutan en grupo. ¿La gráfica podría cortar a los ejes en otro punto diferente del origen? Sí.
Justifiquen sus respuestas. R. P. h) Si el tiempo es x y la distancia y , ¿cuál es la expresión algebraica que representa la gráfica? y = 20x
i) Comparen las expresiones con las de otros compañeros y validen sus respuestas con ayuda del profesor.
184 Bloque 4 Lección 36
Lección 36
5. Escribe en cada gráfica el inciso que le corresponde. a) Andrea tenía $20.00 en su
b) Leonor gana $30.00 por día.
c) Israel ahorra $5.00 diarios; inició
alcancía; el lunes le dieron $30.00 y el martes, $50.00.
con $12.00.
40
b
35
160
a
120 100
30 25
80
20
60
c
140 120 100 80 60
15
40
10
40
20
5 0
1
2
3
4
20 0
0
5
Lunes
Martes
1
2
3
4
5
Analiza en grupo la siguiente información. En una gráfica, si todos los puntos pertenecen a una misma recta que pasa por el origen, se está representando una situación directamente proporcional. 6. Traza en tu cuaderno la gráfica correspondiente a cada planteamiento. a) Un móvil se desplaza a velocidad constante de 100 km/h. ¿Cómo cambia la distancia recorrida? b) Juán es mesero. Hoy comenzó su jornada con $50 en la bolsa, después ganó $40 de propinas
en la primera hora, $60 en la segunda y $20 en la tercera. ¿Cómo cambia el dinero que tiene Juán? c) Ramiro ahorrá $200 por mes, pero este año comenzó con $500 extra que recibió por su cum pleaños.
¿Cómo cambia el ahorro de Ramiro a lo largo del año? 7. Para cada gráfica argumenta si es de proporcionalidad directa. Compara tus argumentos con los de un compañero. 300
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
R. T. La primera sí, pues es una recta que pasa por el origen; la segunda no, pues no pasa por el origen.
8. Analiza con el grupo si la gráfica del desplazamiento de un móvil depende de su forma, de su punto de partida o de su velocidad. TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-185a. En tu cuaderno, elabora una explicación de la relación que encuentras entre los datos de las tablas y la elaboración de las gráficas asociadas.
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-185b . Comenta con un compañero qué dificultades tuvieron. Si tienes dudas de alguna sección consúltalas con tu profesor.
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 36 en la bitácora de la página 195.
Un móvil se desplazó con rapidez constante en una pista circular. Dibuja en tu cuaderno la gráfica que representa la distancia recorrida (el tiempo es el eje x y la distancia, el eje y ) .
Trazar como respuesta una recta en el plano cartesiano que pase por el origen. Lección 36 Bloque 4 185
Lección 37 Variación lineal Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones
Contenido Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b
De la biblioteca al parque Carlos, Octavio y Jaime salieron juntos de la biblioteca y se dirigieron al parque por el mismo camino. Se desplazaron en línea recta 1.2 km; cada uno recorrió el trayecto de forma distinta: Carlos caminó, Octavio corrió y Jaime fue en bicicleta; los tres mantuvieron un avance constante, es decir, sin aumento ni disminución de su rapidez. 1. Contesta con un compañero.
Jaime.
a) ¿Quién de los tres hizo el recorrido en el menor tiempo?
Carlos.
b) ¿Quién tardó más tiempo en llegar?
c) Jaime tardó cuatro minutos en llegar de la biblioteca al parque. ¿Qué distancia avanzó los primeros
0.6 km
dos minutos?
d) Carlos, por su parte, demoró diez minutos en llegar. Completen las tablas. Jaime
Carlos
Tiempo (s)
Distancia (m)
Tiempo (s)
Distancia (m)
20
100
50
100
40
200
100
200
60
300
150
300
80
400
200
400
100
500
250
500
120
600
300
600
140
700
350
700
160
800
400
800
180
900
450
900
200
1 000
500
1 000
220
1 100
550
1 100
240
1 200
600
1 200
e) ¿Cuántos metros por segundo avanzó Jaime?
5 m/s
Escriban una expresión
que permita determinar los metros recorridos (y ) en un tiempo dado (x ). f) ¿Cuántos metros por segundo avanzó Carlos?
2 m/s
y =
5x
Escriban una expresión
que permita determinar los metros recorridos (y ) en un tiempo dado (x ).
y =
2x
g) Verifiquen las expresiones anteriores con las tablas que completaron y escriban una conclusión
sobre el procedimiento que siguieron para obtener las expresiones. h) Comenten lo siguiente y escriban sus argumentos. ¿Las expresiones que obtuvieron en e) y f) son
de la forma y = ax + b ? Expliquen qué sucede con el término b .
b = 0.
186 Bloque 4 Lección 37
R. T. Sí, en ambos casos
Lección 37
Un paso adelante 2. Lee los planteamientos y responde. a) En un laboratorio se formula una nueva bebida para deportistas. En una probeta hay 50 cm3
de un concentrado de sabor y cada hora se le agregan 2.5 cm3 de una solución de agua y endulzante para lograr una mezcla homogénea.
55 cm3
i) Después de 2 h, ¿cuánto líquido hay en la probeta?
80 cm3
ii) En 12 h, ¿cuánto líquido tendrá la probeta? iii) Completa la tabla. Tiempo (h)
1
Volumen (cm3)
52.5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
55 57.5 60 62.5 65 67.5 70 72.5 75 77.5 80
iv) ¿El volumen depende del tiempo o el tiempo depende del volumen? Justifica en el cuaderno.
R. T. El volumen depende del tiempo (el recíproco también es cierto). v) Escribe una expresión que te permita determinar el volumen a partir del tiempo. R. T. v = 2.5t vi) Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias, compartan sus
dudas para resolver posibles dificultades y escriban en su cuaderno una conclusión sobre el procedimiento que usaron para hallar la expresión. A algunas cantidades que dependen de otras se les puede asociar una expresión algebraica que permite encontrar el valor de una de las variables cuando se conoce el valor de la otra. Normalmente, la literal x se usa para nombrar la cantidad variable cuyos valores se escogen de manera arbitraria (variable independiente) y la letra y se emplea para la cantidad, tambien variable, que depende del valor que tome x (variable dependiente). b) Considera individualmente la información anterior y resuelve. En algunos países del mundo, la
temperatura ambiental se mide con la escala Fahrenheit (°F). En nuestro país usamos la escala Celsius (°C). Para convertir grados Celsius a Fahrenheit se utiliza la fórmula F = (1.8) C + 32. i) 0 °C equivalen a
32
°F. El punto de ebullición del agua al nivel del mar es de 100 °C.
212 F °
¿A cuánto equivale en grados Fahrenheit?
ii) Completa la tabla. Determina la variable dependiente e independiente. Variable
depen-
diente F; Variable independiente C °
°C
–5
°F
23
°
–4
–3
–2
–1
0
24.8 26.6 28.4 30.2 32
1
2
3
4
33.8 35.6 37.4 39.2
5
6
41
42.8
iii) Compara tus respuestas con las del grupo. Valídenlas con ayuda del profesor. Lección 37
Bloque 4 187
Lección 37 Variación lineal
Profundiza 3. Trabaja en pareja. Hagan lo que se indica y contesten.
Los árboles no tienen un crecimiento constante. En su primera etapa de vida el crecimiento es muy rápido, después es constante y finalmente se vuelve lento. Al cuarto año de edad, un árbol mide 6 m y crecerá 4.8 m por año de forma constante hasta que cumpla siete años de edad.
8.4 m
a) ¿Cuánto medirá el árbol después de cuatro años y seis meses? b) Completen la siguiente tabla. Edad (años) (x )
4
4.5
Altura (m) (y )
6
8.4 10.8 13.2 15.6
5
5.5
6
6.5
7
18
20.4
c) Escriban una expresión que determine el tamaño del árbol ( y ) para cualquier edad ( x ) en el periodo
comprendido entre el cuarto y séptimo año de edad.
R. T. y = 4.8(x – 4) + 6; x solo toma valores entre 4 y 7
d) Anoten una expresión que indique el tamaño del árbol (y ) para cualquier semestre (x ) en el periodo
comprendido entre el cuarto y séptimo año de edad. R.
T. y = 2.4(x – 8) + 6; x solo toma valores entre 8 y 14
e) Indiquen una expresión que describa el tamaño del árbol ( y ) para cualquier mes ( x ) en el periodo
comprendido entre el cuarto y séptimo año de edad. R.
T. y = 0.4(x – 48) + 6; x solo toma valores entre 48 y 84
f) Elaboren con las fórmulas obtenidas las tabla s correspondientes en sus cuadernos (para el periodo
comprendido entre cuatro y siete años de edad). No olviden que en una de las tablas la variable x está asociada con los semestres y en otra, con los meses. 4. Lee el plantemiento y responde.
Rubén contrató un plan de renta para teléfono celular, que incluye 60 minutos de llamadas locales por $190.00 al mes; después de agotar los 60 minutos debe pagar $0.75 por minuto. a) Al finalizar la tercera semana llevaba un total de 100 minutos consumidos. ¿Cuál es su cuenta
$220.00
actual de teléfono?
b) Al finalizar el mes acumuló un total de 155 minutos. ¿Cuál fue la cantidad total que pagó? $261.25 c) Escribe una expresión que determine la cantidad que debe pagar Rubén ( y ) a partir de los minutos
consumidos (x ). (Considera que la fórmula será de utilidad una vez que se hayan agotado los 60 minutos del plan.)
= 190 + 0.75(x – 60); x solo toma valores a partir de 60
y
d) Con la ayuda del grupo y el profesor valida los resultados obtenidos en las actividades 3 y 4.
Corrijan lo que sea necesario. 188 Bloque 4 Lección 37
Lección 37
Lee la siguiente información de forma grupal. Escriban un ejemplo. La expresión y = –2x + 3 es un ejemplo de una ecuación lineal con dos variables, donde el valor de y depende de los valores que tome x en la expresión –2x + 3. La forma general de una ecuación lineal es ax + by = c . La ecuación y = –2x + 3 también puede expresarse como 2 x + y = 3 (forma general). En ambos casos existe una infinidad de pares de valores que cumplen la igualdad como se muestra en la tabla. x
y
–2
7
–1
5
0
3
1
1
2
–1
5. Con base en la información anterior, resuelve con un compañero.
César pidió un préstamo de $5 400.00 a una caja de ahorros. Le cobrarán una tasa de interés fija de 5% mensual sobre la cantidad prestada. a) ¿Cuánto debe en total después de un mes?
$5 670.00
b) Completen la tabla de la derecha.
Mes (x )
Deuda (y )
1
270 540 810 1 080 1 350 1 620
2
c) Escriban una expresión que determine la cantidad total que debe para cualquier mes.
3 4
= 5 400 + 270x
y
d) ¿Cuánto debe pagar César después de dos a ños y siete meses?
5
$13 770.00
6
e) Con la ayuda del profesor validen los resultados obtenidos anteriormente; corrijan lo que sea
necesario. Comenten en grupos sus procedimientos para determinar la expresión algebraica. 6. Analiza con tu grupo cómo se integra lo estudiado en la lección anterior (sobre gráficas) con el contenido de esta lección. TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-189a. Comenta con un compañero las estrategias que utilizaste para ganar el juego. Si tienes alguna duda, revisa la actividad 4 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-189b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, explica cuándo hay una variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 37 en la bitácora de la página 195.
Para calcular el volumen de sangre de una persona se multiplica su peso por 0.07. Escribe una expresión para obtener el volumen de sangre a partir del peso.
= 0.07 p
v s Lección 37 Bloque 4 189
Lección 38 Resolución de situaciones de medias ponderadas Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos
Contenido
La calificación final En la clase de Historia de México, el profesor explicó que para obtener la calificación final asignaría un porcentaje (peso de importancia) a cada bimestre según su nivel de dificultad.
Resolución de situaciones de medias ponderadas
Bimestre
1º
2º
3º
4º
5º
Peso
15%
20%
20%
40%
5%
1. Con base en el planteamiento anterior, responde. a) Elías obtuvo 8, 9, 7, 10 y 8 en sus calificaciones. Si se aplicara un promedio convencional, ¿cuál
sería su calificación?
8.4 8.8
b) Considera el peso de cada bimestre y obtén el promedio. c) Explica cómo lo calculaste.
R. T. Multiplicando cada calificación por el peso dado y
sumando los valores obtenidos de cada periodo. d) Discute con un compañero cuál es la mejor forma de obtener el promedio. Escriban sus conclusiones.
R. P.
2. Analiza las calificaciones de Alicia y Verónica de la siguiente tabla y responde. Bimestre
Peso
Alicia
Verónica
1º
15%
7
8
2º
20%
8
8
3º
20%
8
7
Oriéntate
4º
40%
6
8
Ponderar significa determinar el peso o el valor de algo.
5º
5%
8
6
a) ¿Qué observas en las calificaciones de ambas alumnas?
si no se considera el peso de cada periodo.
b) ¿Quién de las dos alumnas obtendrá mejor promedio?
consideras así?
R. T. Tienen el mismo promedio Verónica
¿Por qué lo
porque obtuvo mejor calificación en el bimestre con
más peso. c) Comenta con un compañero por qué el profesor le asigno al 4º bimestre más peso y al 5º bimestre
menos peso que al resto de los bimestres. Escriban sus conclusiones.
190 Bloque 4 Lección 38
R. P.
Lección 38
Un paso adelante 3. Lee el siguiente anuncio del periódico y responde. Trabaja desde casa empacando juguetes. Pago por pieza: $30.00; mínimo 1 000 piezas por mes. Ofrecemos bono bimestral por productividad como se muestra en la tabla.
Núm. de bimestre
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Bimestre
dic-ene
feb-mar
abr-mayo
jun-jul
ago-sep
oct-nov
Mínimo número de piezas para alcanzar bono
4 500
2 500
4 500
2 500
2 500
3 500
Bono
30%
5%
30%
5%
5%
25%
Ganancia
$175 500.00
$78 750.00
$175 500.00
$78 750.00
$78 750.00
$131 250.00
a) ¿Cuál sería el ingreso promedio bimestral de una persona que lograra vender el mínimo de piezas
$119 750.00
por bimestre?
b) Completa la tabla anterior y comenta con un compañero cómo obtuviste el resultado. Escribe tu
procedimiento.
R. P.
c) Si una persona decidiera trabajar medio año, ¿en qué temporada le convendría?
Explica la razón.
R. T. De diciembre a mayo, porque hay bonos mayores.
d) ¿Por qué razón se le asignó un peso mayor de comisión al primer y tercer bimestre?
R. P.
e) Con ayuda del profesor valida en grupo tus respuestas. Corrijan lo que sea necesario.
En grupo discute la siguiente información. Cuando en un conjunto de datos se requiere obtener un promedio pero el “peso” asignado a cada dato es diferente, a la media se le llama media ponderada. 40 Por ejemplo: en la actividad 1, el cuarto bimestre pesa 40%, por lo que cada punto vale ___ de la 100 40 40 × 10 _____ ___ calificación final. Elías obtuvo 10 de calificación. ¿Cuál es su valor? 100 × 10 o 100 Lección 38
Bloque 4 191
Lección 38 Resolución de situaciones de medias ponderadas Profundiza
4. Trabaja en pareja. Con la ayuda del profesor validen los resultados obtenidos en las actividades y corrijan lo que sea necesario. a) Rosaura tiene un puesto de mariscos en el mercado. La tabla muestra los precios de algunos
de sus productos. Producto
pulpo
camarón
pescado blanco
almeja
Precio por kg ($)
$92.00
$143.00
$65.00
$27.00
i) Rosaura preparó un surtido para sopa, mezclando 8.5 kg de pulpo, 4.25 kg de camarones y
5.1 kg de pescado blanco. ¿A cuánto debe vender el kilogramo de la mezcla para que la ganancia
$96.43
sea igual que si vendiera cada producto por separado?
ii) Rosaura hizo también una mezcla para paella, usando 8.2 kg de pulpo, 12.7 kg de camarón
$81.85
y 16.5 kg de almeja. ¿A cuánto debe vender el kilogramo esta vez?
5. Julio presentó un examen de ingreso a la universidad. A continuación se muestran las
ponderaciones por áreas de conocimiento de acuerdo con las políticas de la institución, así como el puntaje que obtuvo Julio. Área de conocimiento
Ponderación
Área de conocimiento
Puntaje
Matemáticas
40%
Matemáticas
230
C. Sociales
20%
C. Sociales
330
Física
30%
Física
310
Inglés
10%
Inglés
350
286
a) Determina la media ponderada de puntos que obtuvo Julio.
6. Un examen de matemáticas consta de cinco secciones. Raúl y Pablo obtuvieron el siguiente
puntaje. Sección A
Sección B
Sección C
Sección D
Sección E
Raúl
5
7
5
7
6
Pablo
3
5
6
4
7
a) El profesor asignó una ponderación a cada sección como se muestra en la tabla. Sección
A
B
C
D
E
Ponderación (puntos)
2
1
2
4
1
b) ¿Quién tiene mejor puntaje en el examen? c) ¿Cuál es el promedio ponderado de cada uno? 192 Bloque 4 Lección 38
Raúl. Raúl: 6.1 y Pablo: 4.6
Lección 38
7. Reúnete con un compañero. Contesten los planteamientos. a) Cuatro mujeres y dos hombres viajarán en una avioneta. El piloto les advierte que el peso máximo
es de 450 kg. Si se sabe que el peso promedio de los hombres es de 85 kg y el de las mujeres es de 63 kg, ¿cuál es el peso de las seis personas?
422 kg
b) En la clase de Inglés, los primeros cuatro exámenes tienen el mismo valor, pero el examen final vale
el doble que uno de los cuatro primeros. César obtuvo las siguientes calificaciones. Evaluación
Calificación obtenida
1ª
8.3
2ª
9.5
3ª
6.8
4ª
9.3
5ª (final)
7.7
8.21
i) ¿Cuál es su calificación final?
8.32
ii) ¿Cuál sería su calificación si se aplicara un promedio convencional?
8. Resuelve y comenta con un compañero tus estrategias de solución. Valídenlas con el profesor. a) Un taxista consumió los siguientes litros de gasolina por mes. Mes
enero
febrero
marzo
abril
mayo
junio
Litros
210
198
189
230
240
254
i) Considera que el precio del combustible era de $10.00 en enero y cada mes subsecuente aumentó
$0.15. Calcula el gasto mensual promedio en c ombustible.
$2 289.07
9. Analiza de forma grupal y con el profesor las diferencias entre la media aritmética y la media ponderada.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret2-193a, donde se muestran actividades interactivas sobre media. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-193b. Sigue las instrucciones y, en tu cuaderno, explica cuándo hay una variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 38 en la bitácora de la página 195.
El precio del gas en enero era de $10.73 por litro; cada mes aumentó $0.63. En la fonda de doña Mary le surtieron cada mes, desde enero, los siguientes litros: 96 L, 90 L, 88 L, 95 L y 93 L. Obtén el gasto mensual promedio en gas.
$1107.75
Lección 38 Bloque 4 193
Bitácora
Lección 32
a) Un edificio ubicado en un puerto tiene su planta baja justo a 4 m sobre el nivel del mar. El primer
piso se ubica a 4 m de la planta baja; el segundo, a 4 m del primer piso; etc. Escribe una regla algebraica para determinar a qué altura está el piso n sobre el nivel del mar.
= 4 + 4; y es la altura y n , el número del piso. PB es el piso 0.
y n Lección 33
a) Completa la tabla que muestra el proceso de solución de la ecuación 5x – 2x + 4 = 3x – 5x – 12. Operaciones
Descripción de operaciones (efectuadas a ambos miembros)
Resultado
5x – 2x + 4 – 4 = 3x – 5x – 12 – 4
Sumar 5x Restar 3x
5x – 2x + 5x – 3x = –12 – 4
5x – 2x + 5x – 3x = –12 – 4
simplificar términos semejantes
5x = –16
5x = –16
Dividir entre 5
16 = –__ 5
x
Lección 34
a) Un atleta se prepara para un maratón y se ha propuesto aumentar cada día 3 km más a su rutina diaria, empezando desde 1.5. Otro competidor aumentará 1.5 km diarios a su rutina, aunque
inició su cuenta a partir de 15 km. ¿Qué día ambos corredores recorreran los mismos kilómetros?
El décimo día. Plantea una ecuación para la situación y resuélvela en tu cuaderno. Lección 35
a) Escribe en cada polígono regular la medida del ángulo marcado.
B
A
A =
194 Bloque 4
60
°
B =
36
°
Bitácora
Lección 36
a) Identifica la gráfica correspondiente al planteamiento.
Jesús gana en su trabajo $70.00 por hora. ¿Qué gráfica representa el dinero que ha ganado a lo largo del día? La gráfica de la derecha. 600
5 000 4 500
500
4 000 3 500
400
3 000 o d l e u S
o d l e u S
2 500 2 000
300
200
1 500 1 000
100 500 0
0 8
16
32
64
128
256
512
1
2
3
Horas
4
5
6
7
8
Horas
Lección 37
a) Una familia va de vacaciones a una reserva natural. El paquete que compraron de $3 700.00 incluye
transporte terrestre, ida y vuelta desde una ciudad, alimentos y hospedaje por cinco noches. Sin embargo, deciden quedarse otros días más, y el gerente les informa que el costo por noche adicional es de $355.00. Anota una expresión que determine el precio total ( y ) que deben pagar tomando en cuenta los días adicionales ( x ). y = 3 700 + 355x Lección 38
a) Una papelería registró en una tabla sus ventas. Papel
Venta ($)
Porcentaje de ganancia
Bond blanco
12 560.00
5.2
Opalina
7 430.00
2.1
Color
3 540.00
3.3
i) ¿Cuál fue el total obtenido por las ganancias? ii) ¿Cuál fue la venta total?
$925.97
$23 530.00
iii) ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia real?
3.94% Bloque 4 195
Laboratorio de matemáticas
Ángulo central y proporcionalidad directa aplicada al reloj 1. Observa la imagen de la izquierda.
90
°
a) Al prolongar las manecillas, ¿cuánto mide el ángulo central que forman?
A B
Si el ángulo central más grande de una circunferencia es de 360º y en una hora hay 60 minutos, 360 entonces el minutero avanza ___ = 6º por minuto. 60 b) Completa la tabla.
Manecilla de los minutos Minutos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Grados
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
17
18
19
20
102 108
114
120
360 En un reloj, un ángulo completo incluye 12 h; por lo tanto ___ = 30º, es decir, la manecilla horaria 12 30 avanza 30º por hora, pero como cada hora tiene 60 minutos, entonces __ = 0.5º por minuto. 60
c) Completa la tabla.
Manecilla de las horas Minutos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Grados
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
El punto de partida de las manecillas es el número o la marca que representa las 12:00. Si se desea representar las 05:10, primero se obtienen los grados de la manecilla de los minutos. 1 min 10 min ____ = _____ 6°
x
x
= _______ 1 min 6° (10 min)
60° = ___ 1
x
x
= 60°
La manecilla de los minutos debe estar en 60º a partir de la marca de las 12:00. Ahora se debe transformar la hora en minutos: 5 (60 min) + 10 min = 310 min. 1 min 310 min ____ = _____ 0.5°
x
x
= _________ 1 min 0.5° (310min)
x
155° = ____ 1
= 155°
x
La manecilla de las horas debe estar a 155º a partir de la marca de las 1 2:00. Una vez ubicadas las manecillas se resta al ángulo mayor el ángulo menor 155º – 60º = 95º para saber el ángulo que se forma entre las manecillas cuando son las 05:10. 2. Traza en tu cuaderno cinco relojes con las horas indicadas; calcula el ángulo comprendido entre las manecillas y escríbelo.
196
Bloque 4
a) 10 :35
107.5
b) 12:15
82.5
d) 01:25
107.5
e) 07:42
21
°
°
°
°
c) 03:30
75
°
En el tintero
Más sucesiones Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170-1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano. Difundió en Europa el sistema de numeración indoarábigo (base 10 o decimal) y describió la sucesión que lleva su nombre: la sucesión de Fibonacci. 1. Analiza el planteamiento y completa la tabla.
Patricia pidió a su abuela que le regale algunas monedas de su enorme colección, a lo que ella le contestó: “Cada vez que vengas a visitarme te daré una moneda”. Su nieta, no conforme, le planteó la siguiente oferta: “Mejor me das la cantidad de monedas que ll eve acumuladas” y la abuela le dijo: “Hoy te daré una moneda y en la siguiente visita, otra; pero a partir de la tercera visita te entregaré el número de monedas de tus dos últimas visitas”, y Patricia aceptó. a) ¿Cuántas monedas tendrá Patricia después de haber visitado doce veces a su abuela?
609 monedas.
b) Completa la tabla. Número de visitas
Monedas que le da su abuela
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8 13 21 34 55 89 144
7 8 9 10 11 12
c) La colección de monedas de la abuela consta de 609. ¿En qué número de visita se las habrá dado
todas a Patricia?
En la visita 13.
d) Cualquier número natural se puede escribir como una suma de términos distintos de la sucesión
de Fibonacci. Por ejemplo, 14 = 8 + 5 + 1. Escribe los números 34, 71 y 123 como una suma de términos distintos de la sucesión de Fibonacci. 34 = 21 + 13; 71 = 34 + 21 + 13 + 3;
123 = 55 + 34 + 21 + 13
e) Calcula la longitud del lado de cada cuadrado azul y escríbelas de menor a mayor. ¿Forman parte
de la sucesión de Fibonacci?
1, 1, 2, 3, 5, 8. Sí forman parte de la sucesión de Fibonacci.
Bloque 4 197
Bloque 4 Evaluación
Lee con atención los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. Si en una sucesión la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es 6 y el cuarto término es –12, ¿cuál es su expresión general? A) 6n – 12
B) 6n – 36
C) 6n – 24
D) 6n + 12
2. ¿Cuál es el término mil de la sucesión 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51…? A) 7 995
B) 8 000
C) 8 003
D) 8 005
3. Para comprar juntos un coche de $30 000, Andrea y Alejandro ahorran, respectivamente, $800.00 y $1 200.00 al mes. ¿Qué ecuación permite saber en cuántos meses ( x ) juntarán el dinero? A) 800 + 1 200x = 3 0000x
B) 800x + 1 200x = 3 0000x
C) 800x + 1 200 = 3 0000x
D) 800x + 1 200x = 3 0000
4. Juan tiene el doble de dinero que Luis; entre los dos juntan $36.00. ¿Cuánto dinero tiene Luis? A) $24.00
B) $16.00
C) $12.00
D) $8.00
5. ¿Qué gráfica muestra una relación de proporcionalidad directa? A)
y
B)
y
x
C)
y
x
D)
y
x
x
6. Un grupo de voluntarios organizó una feria para recaudar fondos; la entrada cuesta $50.00 y cada juego, $10.00. ¿Cuál es el costo total ( c ) de subirse a n juegos? A) c = (50 + 10) n
B) c = 50 n + 10
C) c = 50(10 + n)
D) c = 50 + 10 n
7. Federico tiene una rosticería; el lunes vendió 20 pollos chicos, a $40.00 cada uno; 20 medianos, a $55.00 cada uno; y 10 grandes, a $80.00 cada uno. ¿Cuál fue el precio promedio por pollo? A) $50.00
198 Bloque 4 Evaluación
B) $54.00
C) $57.50
D) $58.33
