BAB V INTEGRASI VEKTOR A. Integrasi Biasa Vektor Definisi: Misalkan R(u) = R 1(u) i + R 2(u) j + R 3(u) k suatu fungsi vektor yang tergantung pada variabel skalar tunggal u dimana R 1(u), R 2(u), R 3(u) kontinu dalam suatu selang yang ditentukan, maka
R(u )du i R (u )du j R 1
2
(u ) du k R3 (u )du....................(.1)
!isebut "ntegral #ak #entu #entu dari R(u). $ila terdapat fungsi vektor %(u) sedemikian se&ingga R (U )
d du
S (u ) , maka
d
R(u )du du S (u ) S (u) C !imana ' adala& vektor konstan sebarang yang tak tergantung pada u. %edangkan "ntegral #ertentu #ertentu antara batasbatas u = a sampai u = b dapat ditulis
b
b
b
b
R(u ) du i R1 (u )du j R2 (u )du k R3 (u ) du a a a a b d b S (u ) S (u ) a S (b) S ( a) a du *dapun sifatsifat dari integral vektor ini analog dengan sifatsifat intrgral intrgral pada alkulus "ntegral lementer. lementer. 'onto& %oal 1. -ika diketa&ui R(u) = (2u3u)i + (u+3) / u2k, tentukan
( a ). R (u ) du
3
(b ). R (u ) du 1
2. -ika diketa&ui *(u) = 2i / 3u + k dan $(u) = (u+)i = (3u 2+1) + k, maka tentukan ( a ). AxB du (b ). A B du 3. 0erepatan gerak suatu partikel pada setiap saat t diberikan ole& a = t2i + sin2t / ost k -ika keepatan v dan perpinda&an r sama dengan nol saat t = 4, tentukan keepatan dan perpinda&an pada setiap saat
d 2 A dt . 5itungla& Ax dt 2 0enyelesaian 1.
( a ). R(u )du
(2u
u)i (u 3) u 2 k i (2u 3 u) d u j (u 3)du k u 2 du 2 1 1 ( u u 2 )i ( u 2 3u) u 3k ' 2 2 3 3 3 2 1 3 1 1 2 (b). R (u ) du ( u u )i ( u 3u) u k 1 2 2 3 2 1 1 1 1 ( (81 1) (7 1)i ( (7 1) 3(3 1) (26 1)k 2 2 2 3 2 3i 2 j k 3
3
2.
( a ). AxB du i
k
AxB
3u
1
2
u 3u 2 1 *(u) 2i 3u k dan $(u) (u )i (3u 2 1) k (b ). A B du
5alaman 8 nomor 3 d 2 A dt . Ax dt 2
0andang d dA d 2 A dA dA d 2 A Ax 2 4 Ax Ax 2 x dt dt dt dt dt dt 2 d dA d A Jadi Ax Ax 2 dt dt dt
d 2 A d dA dA C dt Ax Maka Ax 2 dt Ax dt dt dt dt
Soal Latihan
1. 5itungla&
4
92
(3 sin ui 2 os uj ) du
2. * = t i / 3 + 2t k: $ = " / 2 + 2 k: ' = 3 i + t / k 2
5itungla& (a).1 A BxCdt
(b).
2
1
AxBxCdt
&al 143 nomor 32 dan 3 3. 0erepatan a dari sebua& partikel pada sebarang saat t ; 4 diberikan ole& a = eti / (t+14 + 3 sint k. -ika keepatan v dan perpinda&an r adala& nol pada saat t = 4, arila& v dan r pada sbarang saat.
3
. 5itungla&
dA
A dt dt jika A(2) 2i j 2k dan A(3) i 2 j 3k 2
0enyelesaian %oal
4
92
(3 sin ui 2 os uj )du 3 os ui 2 sin uj 4
92
3 os i 2 sin j 3 os 4i 2 sin 4 j 2 2 4i 2 j (3i 4 j ) 3i 2 j 2
2. ( a ).1 A BxCdt i (a ). Hitung BxC 1
j
2
k 2 (2 2t )i 6 j (t )k
3 t 1 A BxC (ti 3 j 2tk ) (2 2t )i 6 j (t )k 2t 2t 2 21 2t 2 12t 1t 21
2
1
1t 21 dt 6t 2
A BxCdt
2
1
i (b). Hitung BxC 1
AxBxC
i
3 j
t
3
2 2t
6
j
2
1
2
1
2
k 2 (2 2t )i 6 j (t )k
t 1 k 2 2t (16t 18)i (t 2t ) j (t )k
t
AxBxCdt (16t 18)i (t 2
21t 1 28 2 (6 21) 1 1 4
2
2t ) j (t )k dt 2
1 16 ( t 2 18t )i ( t 3 t 2 ) j ( t 2 t )k 3 2 2 1 16 1 ( ( 1) 18(2 1))i ( (8 1) ( 1)) j ( ( 1) (2 1))k 2 3 1 3 3 ( 18)i ( 3) j ( )k 2 3 2 86 1 i j k 2 3 2
2
3
.
dA
A dt dt jika A(2) 2i j 2k dan A(3) i 2 j 3k 2
Pandang
d
A A A
dt
dA
1 d
dA dA dt
dt
A 2 A
dA dt
A A dt 2 dt 3 3 1 d dA A dt A A dt 2 2 2 dt dt 1 3 A A 2 jika A(2) 2i j 2k dan A(3) i 2 j 3k 2 1 i 2 j 3k ) (i 2 j 3k ) (2i j 2k ) (2i j 2k ) 2 1 i 2 j 3k ) (i 2 j 3k ) (2i j 2k ) (2i j 2k ) 2 1 1 1 7 ( 1 ) 27 7 14 2 2 A
B. Integral Garis Misalkan r(u) = (u)i + y(u) + >(u)k, dimana r(u) adala& vektor posisi dari (,y,>) mendefinisikan sebua& kurva ' yang meng&ubungkan titiktitik 01 dan 02 dimana u = u1 dan u = u2 untuk masingmasingnya. ita mengganggap ' tersusun dari seumla& ber &ingga kurvakurva dimana untuk masingmasingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu Misalkan *(,y,>) = *1 i + *2 j + *3 k sebua& fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu sepanang '. Maka "ntegral dari komponen tangensial * sepanang ' dari 01 ke 02 ditulis sebagai P 2
P 1
A dr A dr C
*1 i * 2 . *3 k (d=i dy. d>k) C
*1d= * 2dy *3d> C
*1d= A2 dy A3dz C
C
C
!isebut "ntegral garis. -ika * adala& gaya ? pada sebua& partikel yang bergerak sepanang ', maka integral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan ole& gaya. -ika ' adala& kurva tertutup (yang mana akan kita anggap sebagai kurva tertutup sederhana, yakni kurva yang tak memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi ' sering ditunukkan ole&
A dr A dx A dy A dz 1
2
3
!alam erodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dari * mengelilingi ', dimana * menyatakan keepatan fluida. 0ada umumnya, setiap intgral yang di&itung sepanang sebua& kurva disebut integral garis. "ntegralintegral demikian dapat didefinisikan dari segi pandangan limit limit dari umla¨a& seperti &alnya integralintegral kalkulus elementer. #@RM* Jika A = pada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang, yang didefinisikan oleh a 1 A A a2, b1 A y A b2, c1 A > A c2 , dimana (x,y,z berharga tunggal dan memiliki turunan!turunan kontinu dalam R, maka" 1).
P 2
P 1
A dr tidak bergantung pada lintasan ' dalam R yang meng&ubungkan 01 dan 02
2). A dr 4 mengelilingi
setiap kurva tertutup ' dalam R
#alam hal demikian A disebut sebuah medan vektor konservatif dan potensial skalarnya$
adalah
%ebua& medan vektor * adala& konservatif & * = 4, atau uga ekivalen dengan * = . !alam &al demikian *Bdr = *1 d + *2 dy + *3 d> = d %uatu diferensial eksak
P 2
P 1
A dr A dr C
A dx A dy A dz A dx A dy A dz 1
C
2
3
1
C
C
2
C
3
CONO! SOAL
1. -ika * = (32 + y)i / 1y> + 24>2 k, &itungla&
A dr dari (4,4,4) ke (1,1,1) C
sepanang lintasanlintasan ' berikut (a). = t, y = t2, > = t3 (b). Carisgaris lurus dari (4,4,4) ke (1,4,4), kemudian (1,1,4) dan kemudian ke (1,1,1) (). Caris lurus yang meng&ubungkan (4,4,4) ke (1,1,1) "#N$#L#SAIAN 1). (a). -ika = t, y = t2, > = t3, titiktitik (4,4,4) ke (1,1,1) masingmasing ber&ubungan dengan t = 4 dan t = 1, maka
A dr (3= y)i 1y>. 24=> k (dxi dyj dzk ) (3= y)d= 1y>dy 24=> d> (3t t )dt 1(t )(t )d(t ) 24t(t ) d(t ) 2
C
C
2
2
2
C 1
2
2
2
3
2
3 2
t 4 1
3
1
7t dt 1(t )2tdt 24(t )3t dt 7t 3t t t
2
t 4
3
6
2
28t 4t 7 dt
t 4
14 1 4
6
2
Metode lain %epanang ', * = (32 + y)i / 1y> + 24>2 k dengan = t, y = t2, > = t3 adala& * = 7t2i 1t + 24t6 k dan r = i + y + >k = ti + t 2 + t3k maka dr = i + 2t + 3t2k 1
A dr 7t i 1t . 24t k i 2t. 3t k dt 7t 28t 4t dt 3t t t 2
C
6
2
t 4 1
2
7
3
6
14 1 4
t 4
(b). Carisgaris lurus dari (4,4,4) ke (1,4,4), kemudian (1,1,4) dan kemudian ke (1,1,1)
(i). %epanang garis lurus dari (4,4,4) ke (1,4,4), y = 4, > = 4, dy = 4, d> = 4, sedangkan dari 4 &ingga 1
A dr C
C
1
(3=
2
(3=
2
y)d= 1y>dy 24=> 2d>
(4))d= 1(4)(4)(4) 24(=)(4)(4)
x 4
1
(3=
2
)d= = 3
1 4
x 4
(ii). %epanang garis lurus dari (1,4,4) ke (1,1,4), = 1, > = 4, d = 4, d> = 4, sedangkan y dari 4 &ingga 1
A dr C
C
(3=
2
y)d= 1y>dy 24=> 2d>
1
(31
2
y) 4 1y(4)dy 24(4)(4)2 (4) 4
y 4
(iii). %epanang garis lurus dari (1,1,4) ke (1,1,1), = 1, y = 1, d = 4, dy = 4, sedangkan > dari 4 &ingga 1 1 24 3 1 24 (3(1)2 (1))(4) 1(1)>(4) 24(1)>2d> z 4 3 3 z 4
A dr = 1 + 4 + 2493= 2393 C
0R kumpulkan sebelum mengerakan uian ak&ir semester 1. 5alaman nomor 36 2. 5alaman 68 nomor 3. 5alaman 81 nomor 7 . 5alaman 81 nomor 77 . 5alaman 143 nomor 34 . 5alaman 143 nomor 36
1
