Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
2. Vektor 2.1 Represe Representa ntass i grafis grafis se buah vektor
Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, seperti panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daya, dan usaha. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nila nila i dan arah, seperti perpindahan, perpindahan, kecepatan, kecepata n, percepatan, percepatan, gaya, gaya, momen momen gaya, gaya, momentum, momentum, luas, impuls dan berat. Vektor adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor sangat bermanfaat bermanfaat untuk untuk menjelaskan menjelaskan besaran fisi fisika ka yang memiliki memiliki besar dan arah. ara h. Operasi Operasi besaran skalar skalar berbeda berbeda dengan dengan dengan operasi operasi vekto vektor. r. Kita akan mempelajari mempelajari vektor menggun menggunakan akan pendekatan pendekatan grafis grafis dan pendekatan analitis. Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah, seperti Gambar 2.1. Panjang anak panah menunjukk menunjukkan an besar vektor dan mata mata panah menunju menunjukkan kkan arah ara h vektor. vektor. Tit Tit ik A disebut titik asal asa l vektor atau titik titik tangkap vektor, vektor, dan titik B disebut disebut titik arah vektor atau ujung ujung vektor. Ada perbedaan perbedaan cara penul penulisan besaran skalar dan besaran vektor. vektor. Besaran vektor ditu dituli liskan skan dengan huruf huruf cetak tebal (bold (bold ) yaitu, F atau menuliskan anak panah di atas huruf, yaitu F .
Nilai vektor
diberikan oleh F oleh F atau atau | F | . Vektor Ve ktor Gambar Gambar 2.1 juga juga dapat ditulis dituliskan kan dalam bentuk AB . B F
A Gambar 2.1 2.1 : Simbol sebuah seb uah vektor
Kalau sebuah anak panah mendekati pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda titik. Karena itu, simbol vektor mendekati pengamat atau vektor keluar bidang adalah . Kalau sebuah anak panah mejauhi pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda silang. Karena itu, simbol vektor menjauhi pengamat atau vektor masuk bidang adalah
. 2.2 Represe Representa ntass i analitis analitis se buah buah vektor
Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan dalam komponen-komponenya disebut disebut representas repres entasii analit analit is vektor. Skalar Skalar hanya memiliki memiliki satu kom komponen, ponen, sedangkan vektor vektor memiliki tiga komponen. Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu dimensi), dimensi), bidang (dua dimensi) dimensi) dan ruang ruang (ti (t iga dimensi). dimensi). Sebuah vektor direpresentasikan direpres entasikan secara sec ara analitis menggunakan notasi vektor satuan. 2.2.1 Komp Ko mponen-ko onen-komp mponen onen sebuah s ebuah vektor vek tor dalam dua dime dime ns i
Sebuah vektor A terletak pada bidang xy bidang xy seperti seperti pada Gambar. 2.2. Vektor A membentuk sudut θ terhadap ter hadap sumbu x positif. Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen A x pada sumbu x dan komponen A y pada sumbu y.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
y
y
A y
A
A
θ
x
A x
A y
θ
A x
x
Gambar ambar 2.2: Kom onen-k onen-kom onen vektor vektor A dalam dua di mensi
Komponen-komponen vektor A diperoleh diperoleh dengan menggunakan men ggunakan aturan a turan trigonometr trigonometrii.
cos sin
A x A A y A
A x A cos
(2.1)
A y Asin
(2.2)
Besar Bes ar vektor dipero diperolleh menggunakan teore teorema ma Phytagoras Phytagoras..
A A x2 Ay2
(2.3)
Arah vektor A terhadap sumbu x positif :
tan
Ay A x
(2.4)
Contoh 2.1 :
Tentukan komponen komponen vektor kec kecepatan epatan v1 dan v2 dalam arah sumbu x dan sumbu y ! Besar kecepatan
v1 dan v2 berturut-turut adalah 20 m/s dan 10 m/s. y v2
v1 0
37
30
x
Pembahasan :
Komponen vektor kecepatan v 1 :
v1,x v1 cos 300 20 12 3 m s 10 3 m s v1,y v1 sin 300 20 12 m s 10 10 m s Komponen vektor kecepatan v 2 :
v 2,x v2 sin 370 10 53 m s 6 m s
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
v 2,y v2 cos 370 10 45 m s 8 m s 2.2.2 Kompone Kompone n-k n-konponen onponen sebuah vektor vektor dalam tiga dimensi
Sebuah vektor A terletak dalam dalam ruang kartesi kartes ian seperti pada Gambar Gambar 2.3. Vektor A membentuk sudut α terhadap sumbu x positif, sudut β terhadap y positif, dan sudut γ terhadap sumbu z positif . Vektor A dapat diuraikan menjadi kom k omponen ponen A x pada sumbu x, komponen kompone n A y pada sumbu y , dan komponen A z pada sumbu z . z
A z
A
A y
y
A x x Gambar 2.3: Komponen-komponen vektor A dalam tiga
Komponen-komponen vektor A : A x
cos
A
cos cos
A y A
A z A
A x A cos
(2.5)
A y A cos
(2.6)
A z A cos
(2.7)
Besar vektor A :
A A x2 Ay2 Az 2
(2.8)
Arah vektor A terhadap sumbu x positif :
tan
2 2 A y Az
A x
(2.9)
Arah vektor A terhadap sumbu y positif : tan
2 2 Ax Az
A y
Arah vektor A terhadap sumbu y positif :
(2.10)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Ax Ay 2
tan
2
(2.11)
A z
Sudut Sudut α, β dan γ disebut disebut sudut cosinus arah. Hubungan Hubungan antara α, β dan γ : cos2 cos2 cos2 1
(2.12)
2.2.3 Vektor ek tor s atuan atuan
Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan. Simbol vektor satuan adalah sebuah topi (^). Vektor satuan A adalah A (dibaca (dibaca A topi topi). Vektor satuan A adalah perbandi perba ndingan ngan vektor A dengan besarnya. ˆ
A= ˆ
A
(2.13)
A
Vektor satuan tidak tidak memiliki memiliki satuan. Vektor satuan A menunjukkan arah vektor A . Koordinat ˆ
kartesian memiliki tiga vektor satuan i , j dan dan k saling tegak lurus. ˆ
ˆ
ˆ
i atau x : vektor satuan searah sumbu x ˆ
ˆ
j atau y : vektor satuan searah sumbu y ˆ
ˆ
k atau z : vektor satuan searah sumbu z ˆ
ˆ
z y
A z A y
A
A i
k
θ
ˆ
x
A x
j ˆ
j
i
A z k ˆ
A x i
ˆ
A y
y
A y j
ˆ
x Gambar Gambar 2.4: Vektor satuan dalam koord koord inat kartesian kartesian
Sebuah vektor dapat direpresentasikan menggunakan vektor-vektor satuan sistem koordinat . Vektor
A dalam dua dimensi : A A xi Ay j atau A Acos x Asin y ˆ
ˆ
ˆ
(2.14)
ˆ
dengan besar vektor A :
A A x2 Ay2
(2.15)
Vektor A dalam tiga dimensi : A A xi Ay j Az k A cos i A cos i A cos k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2.16)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
dan besar vektor A :
A A x2 Ay2 Az 2
(2.17)
Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal
0,0,0 . Vektor posisi A A xi Ay j Az k dapat ˆ
ˆ
ˆ
dituliskan dalam bentuk titik A A x , Ay , Az . Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0 . Semua komponen vektor nol sama dengan nol. Jadi, panjang vektor nol sama dengan nol. Contoh 2.2 : 0 Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 60 terhadap sumbu x positif.
Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan j . ˆ
ˆ
y v0 600
x
Pembahasan : Komponen vektor kecepatan objek searah sumbu x dan searah sumbu y : v0, x v0 cos 10 co cos 60 60 0 5 m s v0, y v 0 sin 10 sin 60 60 0 5 3 m s
Vektor kecepata n awal awal objek dalam vektor satuan i dan j : ˆ
ˆ
v0 v0, 0 , x i v 0, y j 5i 5 3 j m s ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Contoh 2.3 :
Sebuah partikel memiliki vektor posisi r (i 2 j 2k) m . Tentukanlah vektor satuan dari vektor r . ˆ
ˆ
ˆ
Pembahasan : Besar vektor r : r r x ry rz 1 2 2 3m 2
2
2
2
2
2
Vektor satuan dari vektor r : r ˆ
r 1 2 2 i j k r 3 3 3 ˆ
ˆ
ˆ
2.3 Penjumlahan vekto vek torr
Operasi Opera si dasar vektor meliputi meliputi penjumlahan, pengurangan, kesa kesamaan maan dan perkali perkalian an vektor. vektor. Kita terlebih dahulu membahas penjumlahan dua buah vektor. Operasi vektor sangat banyak digunakan dalam persamaan persa maan fisika. Kita akan menyelesaik menyelesaikan an opersi vektor vektor dengan cara geometri geometri dan dan metode metode analitik (aljabar). 2.3.1 Penjumlahan vektor cara grafis
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Penjumlahan vektor cara grafis berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor dan
B ,
A
ditunjukkan oleh Gambar 2.7.
A
B
Gambar 2.5 : Ve Ve ktor
Jumlah vektor
A
dan
B
A dan
disebut disebut resultan r esultan vektor, s imbolnya mbolnya
R
B
:
R=A+B
(2.18)
Jumlah besar vektor
A
dan
B tidak
sama dengan besar vektor
R
.
|R| |R| |A|+|B |A|+|B||
(2.19)
Cara grafis graf is dibagi dibagi menjadi dua aturan, yaitu metode metode segi s egitiga tiga dan aturan jajargen jajargenjjang. a. Metod Meto de segitiga se gitiga (metode poli po ligon) gon)
Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk menghitung resultan vektor titik tangkap vektor
B
ke titik arah vektor
A
A
dan
B,
pertama hubung hubungka kan n
. Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan
sebuah vektor menghubungkan titik tangkap vektor
A
ke titik arah vektor
B
, seperti ditunjukkan
pada Gamb Gambar ar 2.6. B A
A
B
R
Gambar Gambar 2.6 : Metode seg itiga itiga
Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor menggunakan menggunakan hukum hukum kosi kos inus.
A
dan
θ A
A
B.
Nilai resultan vektor diperoleh
B
180
R θ B
Gambar 2.7 : Resultan vektor metode segitiga
Besar resultan vektor : R |A+B|
A B 2 AB co cos (180 - )
R |A+B|
A2 B 2 2 AB cos
Catatan :
2
2
0
(2.20)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Jika
A
sejajar
(θ = = B (θ
0), maka R = A + B
Jika
A
tegak lurus
(θ = = B (θ
Jika
berlawanan A berlawanan
dengan dengan
90 ), maka R 0
(θ = = B (θ
Rentang nilai resul re sultan tan vektor
A
A2 B 2
180 ), maka R A B 0
dan
B adalah
A B R A B
Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan dua vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor lainnya, demikian seterusnya sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau lebih vektor dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga sering disebut disebut metode poligon. Misalkan Misalkan terdapat terda pat tiga tiga buah vektor vektor seperti se perti pada Gambar Gambar 2.8a, maka vektor vektor resul res ultannya tannya ditunjukkan oleh oleh Gambar Gambar 2.8b.
B A
A
C
B
C
R
(a)
(b)
Gbr.2.8 : (a) Vektor A,BdanC . (b) Resultan Resultan tiga buah buah vektor vektor Penj Pe njuml umlahan ahan vektor memiliki memiliki bebera beberapa pa sifat penting. penting. Sifat-s Sifat-sifat ifat penjumlahan penjumlahan vektor vektor : Pertama, Pertama, penjuml penjumlahan ahan vektor ve ktor memiliki sifat komuta komutati tif. f. A B B A
(2.21)
Kedua, Kedua, penjumlahan vektor memiliki sifat asosiatif.
A B C A B C
(2.22)
Ketiga, Ketiga, pengurangan pengurangan vektor adalah bentuk khusus dari perjuml per jumlahan ahan vektor.
C A -B A - B
(2.23) -B θ A
B
A B
A
θ
Gambar 2.9 : Penguranga Pengu rangan n vektor
Besar pengurangan vektor A dan
|A-B| A2 B 2 2 AB cos
B
: (2.24)
Contoh 2.4 :
Dua buah gaya F 1 dan F 2 memiliki memiliki besar besa r berturut-turut berturut- turut adalah 80 N dan 60 60 N bekerja pada sebuah balok. balok. Tentukan Tentukan nila nila i resultan resultan gaya yang dialami dialami oleh ba lok jika jika sudut sudut antara kedua kedua vektor vektor adalah adalah θ 0 0 0 0 sama dengan 0 , 60 ,90 dan 180 .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
F 1
θ F 2 Pembahasan : Diketahu Diketahuii bahwa F bahwa F 1 = 80 N dan F dan F 2 = 60 N. Rumus resultan vektor :
F R |F1 F2 | = F12 F22 2 F1 F 2 cos 0
Jika θ = = 0 , maka
F R |F1 F2 | = F1 F 2 140 N 0
Jika θ = = 60 , maka
cos 60 0 121, 7 N F R |F1 F2 | = F12 F22 2 F1 F 2 co 0
Jika θ = = 90 , maka
F R |F1 F2 | = F12 F 22 100 N 0
Jika θ = = 180 , maka
F R |F1 F2 | = F1 F 2 20 N b. Metod Meto de jajarge jajargenj njang ang
Lihat kembali Gambar 2.5. Untuk mendapatkan resultan vektor ja ja jargenjang, argenjang, pertama hubu hubungkan ngkan titik titik tangkap tangkap vektor vektor ditun ditunjukk jukkan an pada Gambar Gambar 2.10.
A
dan
B
dengan metode
dan titik tangkap vektor
B
. Resultan vektor
A
A
A
R
B
B
Gambar 2.10: Metode jajargenjang
Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor menggunakan menggunakan hukum hukum kosi kos inus.
A
dan
B.
Nilai resultan vektor diperoleh
P
R
A
A
θ
θ B
O
180 B
Q
Gambar Gambar 2.1 1: Resultan vektor metode metode ja jargenjang jargenjang
Besar resultan vektor :
R |A+B| A2 B 2 2 AB cos(180 0 - θ) 2 2 R A B 2 AB cos
(2.25)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dibentuk dibentuk ol o leh vektor ve ktor R sin 180
A sin
B dan
vektor
R .
A
dan vektor
R
. Sudut adalah sudut yang
Nilai sudut dan ditemu ditemukan kan menggunakan menggunaka n hukum sinus.
B
(2.26)
sin
Contoh 2.5 : Sebuah beban beratnya w beratnya w = 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar. Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T 1 dan T2 menggunakan menggunakan aturan a turan sinus. 300
T 2
T 1
w = 300 N
Pembahasan :
Kita dapat menggambarkan hubungan vektor T 1 , T 2 dan w memenuhi hubungan 600
T 2
w
30
90
T 1
Besar tegangan tali T1 dan T2 diperoleh dengan menggunakan hukum sinus. w 0
T 1 0
sin 30
sin 60
w
T 2
0
sin 30
0
sin 90
0
T1
sin60
T1
sin90
0
sin 30
0
0
sin 30
w 200 3 N w 400 N
2.3.2 Pe njumla njumlahan han vek tor cara analitis
Penj Pe njuml umlahan ahan dua dua vektor cara car a analit analit is adalah pen penjjuml um lahan komponen-komponen komponen-komponen kedua vektor vektor pada sumbu sumbu yang yang sama. Penjuml Penjumlahan ahan dua dua vektor diberi diberikan kan oleh oleh
A B A x Bx i Ax Bx j Ax Bx k ˆ
A dan Pengu Pe ngurangan rangan vektor A
ˆ
ˆ
B
(2.27)
diartikan sebagai penjumlahan vektor
A B A ( B) Ax Bx i Ax Bx j Ax Bx k ˆ
ˆ
A
dan
-B
.
ˆ
(2.28)
Dua buah vektor F 1 dan F 2 diberikan diberikan da da lam graf grafiis. Cara menjumlahkan menjumlahkan vektor vektor dengan metode metode analitis, yaitu : Uraikan komponen komponen vektor dal da lam komponen-komponen komponen-komponen skalarnya.
Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama.
R x F1x F2 x F x
(2.29)
R y F1y F2 y F y
(2.30)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Besar vektor vektor resultan resultan R : 2
2
R R x R y
(2.31)
Sudut yang dibentuk oleh resultan vektor R terhadap sumbu x positif :
tan
R y
(2.32)
R x
Cara analitis lebih mudah menyelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk kasus lebih dari dua vektor Contoh 2.6 : Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaya pada gambar di bawah ini!
y
10 3 N
10 N 30
60
x
5N
Pembahasan :
Misalkan F 1 = 10 N, F N, F 2 = 10 3 N, dan F dan F 3 = 10 N. Uraikan masing-masi masing-mas ing vektor vektor gaya pada sumbu sumbu x dan sumbu y, kita peroleh
F x F1x F2x F3x F1 cos 300 F 2 cos 600 5
35 3 0
F y F1y F2 y F3 y F1 sin 30 0 F 2 sin 600 5 5 15 5 15 Besar resultan vektor gaya :
R
2
F x Fy
2
15 2 0 2 15 N
Contoh 2.7 : Diketahui dua buah vektor r1 3i j 2k m ˆ
ˆ
ˆ
r2 3i 4k m ˆ
ˆ
Tentukan : a. besar vekto vektorr r 1 dan r 2 b.
r1 r 2
c.
r1 r 2
d.
2r1 3r 2
Pembahasan : a. Besar vektor r 1 adalah r 1 32 12 2 2 14 m
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Besar vektor r 2 adalah r 1 32 4 2 5 m
r r 3i j 2 k 3i 4 k 3 3 i j 2 4 k j 2 k 2r 3r 2 3i j 2 k 3 3i 4 k 6 i 2 j 4 k 9 i 12 k 15 i 2 j 16 k r1 r2 3i j 2 k 3i 4 k 3 3 i j 2 4 k 6 i j 6 k
b. c.
1
d.
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2.4 Kes amaan amaan vektor vek tor
Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangnya sama, tetapi tidak membutuhkan posisi yang sama, lihat Gambar 2.12a. Secara analitis, dua vektor sama ketika nilai komponen-komponen komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan Ke samaan vektor vektor A dan B dituliskan dalam bentuk A B
(2.33)
atau A xi Ay j Azk B x x B y y B z z ˆ
(2.34)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
atau
A x Bx
Ay B y
Az Bz
(2.35)
Satuan vektor A dan B juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi yang la in asal asa lkan tidak tidak mengubah nilai dan arah ara h vektor vektor tersebut. Vektor Vektor A dikatakan berlawanan dengan vektor A , seperti pada pada Gambar 2.12b. 2.12b. Dua vektor vektor dikatakan dikatakan berlawanan jika jika kedua vektor memiliki memiliki nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan .
A A= A= 5cm
A
B
A
B= B= 5cm
(a)
(b)
Gambar 2.12 : (a) Kes Kesaa maan vektor
A
dan B (b) Vektor A berlawanan berlawana n den gan A
2.5 Pe rkalian vektor 2.5.1 Pe rkalian vektor de de ngan skalar sk alar
Jika k adalah adalah skalar (konstanta) (konstanta) dan dan A adalah sebuah vektor, maka
k A k A xi A y j A zk kA xi kA y j kA z k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2.36)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Perkalian vektor A dan skalar k akan menghasilkan vektor yang baru, yaitu k A . Konstanta k akan akan mempengaruhi besar dan arah vektor A . Jika k konstanta positif, maka vektor yang baru searah dengan vektor A . Jika k konstanta negatif, maka arah vektor yang baru berlawanan dengan arah vektor A . Misalkan kita ambil nilai konstanta k = -1, -1, 2, 1/2, -2 , dan , dan -1/2, hasil perkalian ditunjukkan oleh Gambar 2.6. Jika k Jika k = -1, maka arah vektor A berlawanan dengan vektor A . Contoh perkalian vektor dan skal s kalar ar adalah bentuk hukum kedua kedua Newton, N ewton, F ma .
2A A
-2A
-A 1 A 2
Gambar 2.13: Perkalian vektor
A dengan
12 A
skalar k =k =-1, 1, 2, 1/2, -2 , -2 , dan dan -1/2
2.5.2 Perkalian vektor dengan vektor
Perk Pe rkalian alian vektor dengan vektor merupakan opera operasi si vektor vektor yang sangat banyak digunakan da da lam mekanika. Ada dua macam perkalian dua vektor, yaitu perkalian titik (perkalian skalar atau dot product ) dan perkalian vektor (perkalian silang atau cross cross p roduct roduct ). ). a. Pe rkalian titik
Perk Pe rkalian alian titik titik dua buah vektor adalah perkali perka lian an antara dua dua besar vektor dikalikan dikalikan dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor.
A B AB cos
(2.37)
dimana sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Cara membaca A B adalah A dot B . Hasil 0 0 0 perkalian perkalian titik titik adalah skalar, skalar, yang dapat bernilai bernilai positif 0 90 atau ata u negatif ega tif 90 180 .
Jika θ = 0 (vektor (vektor A searah seara h dengan vektor
B ),
maka A B AB .
Jika θ = 90 (vektor (vektor A tegak lurus dengan vektor
B ),
maka A B 0 .
Jika θ = 180 (vektor (vektor A berlawanan arah dengan dengan vektor
B ),,
maka A B AB .
Secara grafis, perkalian titik adalah proyeksi vektor A ke vektor
B
atau proyeksi proyeksi vektor
B ke
A. A B A B cos A cos B AB cos
(2.38)
vektor
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
A cosθ cosθ B
B
θ
θ A B cosθ cosθ
A
B θ A (b)
(a)
Gambar 2.14 : (a) Dua vektor A dan B membentuk sudut θ (b) Proyeks i vektor A dan B
Hasil Ha sil perkalian perka lian t itik dua vektor vektor yang saling tegak tega k lurus sama dengan nol. nol. Jika vektor A tegak lurus B , maka vektor A dikatakan ortogonal terhadap vektor B . Vektor satuan i , j dan dan k saling ˆ
ˆ
ˆ
ortogonal. ortogonal. Perkali Pe rkalian an dot antara vektor satuan koordinat koordinat kartesi kartes ian mengikut mengikutii aturan :
i i j j= k k = 11 cos 0 1
(2.39)
i j jk = i k = 11 cos 90 900 0
(2.40)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Jika vektor A dan
B
diberikan oleh,
A A x i Ay j Az k ˆ
ˆ
ˆ
B B x i B y j Bz k ˆ
ˆ
ˆ
maka perkal per kaliian t it ik vektor A dan
B
adalah
A B A xi Ay j Az k B xi B y j B z k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A x Bxi i Ax B yi j Ax B zi k A yB x j i A yB y j j A yB z j k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A z Bx k i Az B yk j Az B z k k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Jadi,
A B A x B x A y B y Az B z
(2.41)
Kita juga dapat menuliskan bahwa 2
2
2
2
A A A x Ay Az A
(2.42)
atau
A A A
(2.43)
Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor : cos cos
A B
Ax Bx Ay By Az Bz
AB
A x2
Ay2
Az2
1 2
Bx2
By2
Bz 2
1 2
Catatan : 1.
A B B A
2.
A B C A B A C
Hukum komutatif
3.
k A B kA B A kB kB A B k
4.
i i j j = k k = 1, i j j k = i k 0
5.
A B A x B x Ay B y Az B z
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Hukum distri distr ibuti but if dimana k adalah skalar
(2.44)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
6.
A B 0 dimana A dan
7.
A A A
B adalah
bukan vektor nol, maka A dan
B tegak
lurus
2
Aplikas Aplikasii perkalian skalar dalam dalam fisi fis ika : 1.
Usaha Aplikasi perkalian dot adalah konsep usaha. Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan F bekerja bekerja pada benda benda yang mengal mengalami ami perpindahan perpindahan d diberikan oleh
W F d Fd cos
(2.45) dimana θ adalah sudut yang dibentuk vektor gaya dan perpindahan benda. Usaha adalah perkalian perkalian besar gaya dan perpind perpindahan ahan dikali kosi kos inus nus sudut yang dibentuk dibentuk oleh gaya dan perpindahan. perpindahan. F
θ
Gb r. 2.15 : Kerja Kerja adalah per kalian kalian t itik antara gaya d an perpindahan
2.
Energi kinetik Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kelajuan benda. 1
E k
2
mv v
1 2
mv 2
(2.46)
Contoh 2.8 :
Jika A 2i 2 j k dan B 6i 3 j 2k , hitunglah A B dan sudut antara vektor A dan B . ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Pembahasan :
Menghitung nilai A B :
A B 2i 2 j k 6i 3 j 2 k (2)(6) (2 (2)( 3) (1)(2) 12 6 2 4 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A 2 2 12 22 3 B 6 2 32 2 2 7
Menghitung sudut antara vektor A dan B : A B AB cos cos
cos
A B AB
4 (3) (3)(7) (7)
4 790 21
cos 1
Contoh 2.9 :
4 21
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Tentukanlah nilai a nilai a agar agar vektor A a i j k tegak lurus dengan vektor B i 2 j 3k . Pembahasan : A dan B tegak lurus hanya jika A B 0 . Jadi, A B (a)(1) (1)(2) (1)( 3) a 2 3 0
a = - 5 Contoh 2.10 :
benda yang memiliki memiliki vektor vektor F 2i j 2k N pada benda
Hitunglah usaha yang dilakukan gaya perpindahan perpindahan r 5i j 4k m . Pembahasan :
Usaha = F r 2i j 2k 5i j 4k 10 1 8 19 joule. b.
Pe rkalian Silang Silang
Besar hasil perkalian silang dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian dikalikan dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor. Perkalian silang dua vektor menghasilkan menghasilkan vektor.
C A B dan C AB sin
(2.47)
A B dibaca A cross B .
dimana θ adalah sudut antara vektor A dan
B.
Jika θ = 0 (vektor (vektor A searah seara h dengan vektor
B ),
maka A B 0 .
Jika θ = 90 (vektor (vektor A tegak lurus dengan vektor
B ),
maka A B AB .
Jika θ = 180 (vektor (vektor A berlawanan arah dengan dengan vektor
B ),maka
A B 0 .
Jika besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor adalah 00 dan18 dan180 00 (dua vektor sejajar dan berlawanan berlawanan arah), maka maka hasil hasil perkalian perkalian vektor vektor sama dengan dengan nol nol. Nila Nila i perkalian perkalian s ilang ilang C A B maksimum ketik ket ikaa vektor A dan
B tegak
Perkalian silang antara A dan yang dibentuk oleh vektor A dan
lurus.
B menghasilkan B,
vektor C. Vektor C tegak lurus dengan bidang
artinya vektor C
juga tegak lur lur us dengan vektor A dan
B.
Arah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan. Keempat jari tangan kanan diputar dari vektor A ke vektor B . Jempol Jempol akan menunjukkan menunjukkan arah ar ah vektor C .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
C = A B B
θ A
C=B A
θ
B A
Gambar Gambar 2.16 : Aturan tangan kanan pada perkalian perkalian silang
Lihat Lihat Gambar 2.16, perkalian s ilang ilang memiliki s ifat anti a ntikomutatif. komutatif. A B B A
(2.48)
Aturan perkalian silang dalam vektor satuan koordinat kartesian:
i i j j = k k = 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2.49)
ˆ
i j k , j k = i, k i j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2.50)
ˆ
j i k , k j = i , i k j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2.51)
ˆ
Jika ada dua buah vektor A dan
B
,
A A x i Ay j Az k ˆ
ˆ
ˆ
B B x i B y j Bz k ˆ
ˆ
ˆ
maka perkal per kaliian silang A dan
B
adalah
A B A xi Ay j Azk B xi B y j B z k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A x Bxi i Ax B yi j AxB zi k A yB x j i A yB y j j A yB z j k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A z Bxk i Az B yk j Az B z k k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Kita menyederhanakan persamaan di atas menjadi :
A B A y Bz Az By i Az Bx Ax Bz j Ax By Ay Bx k ˆ
(2.52)
ˆ
ˆ
Hasil Has il perkalian silang juga dapat ditentukan ditentukan menggunakan metode metode determinan. determinan. i
ˆ
j
k ˆ
ˆ
A B A x
Ay
Az
B x
By
Bz
A y
Az
i ˆ
B y
Bz
A x
Az
B x
Bz
j
Ax
Ay
Bx
By
ˆ
(2.53)
k ˆ
Untuk menentukan sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif dalam koordinat kartesian digunakan aturan perkalian silang i j k . Vektor satuan i searah sumbu x positif, vektor ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
satuan j seara se arah h sumbu sumbu y positif dan vektor satuan k searah sumbu z positif. ˆ
ˆ
Catatan Catatan : 1.
A B B A
Tidak Tidak memenuhi hukum komutatif
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
3.
Hukum distri distr ibuti but if k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar
4.
0, i j k , j k i i j j = k k = 0,
5.
A B A y Bz Az By i Az Bx Ax Bz j Ax By Ay Bx k
2.
A B C A B A C
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=i, i ˆ
ˆ
ˆ
k j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
6. Nilai Nilai A B sama dengan luas jajar genjang dengan sisi A dan 7.
A B 0 dan A dan
8.
A A 0
9.
A A B 0 dan B A B 0
B adalah
bukan vektor nol, maka A dan
B B sejajar.
Aplikasi perkalian vektor dalam fisika: 1. Luas Besar perkalian silang A B AB sin menunjukkan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor A dan B , lihat Gambar 2.17. Jadi, luas adalah besaran vektor.
y B cos B
B sin
x
A
Gambar Gambar 2.17 : Jajar genjang representasi dari perkal perkal ian silang silang
2. Momen gaya Perk Pe rkalian alian komponen komponen gaya ( F ) tegak lurus lurus dengan lengan gaya gaya dikali dengan panjang len lengan gan gaya gaya (r ) dinamaka dinamakan n momen momen gaya. Jika Jika gaya dan dan lengan lengan gaya sejajar maka momen momen gaya sama dengan dengan nol. Jika gaya dan lengan lengan gaya tegak lur lur us, maka maka momen m omen gaya sama dengan Fd . Jika gaya dan lengan gaya membentuk sudut θ , maka maka sama dengan rF sin (2.54) Jadi momen merupakan perkalian silang antara lengan gaya dan gaya.
r F
(2.55)
F θ
θ r
Gbr.2.18 : Vektor torsi, .
3. Kecepatan tangensial
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut terhadap kerangka acuan titik titik O yang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan Kecepata n tangensial v benda m di titik P adalah v r Besar kecepatan tangensial :
(2.56)
v r r sin
(2.57)
r sin
v
P
r θ
O Gambar 2.19 : Benda m bergerak melingkar
4. Momentum Momentum sudut Sebuah benda bergerak melingkar seperti pada Gambar 2.19. Momentum sudut benda m didefenisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi dan momentum linear. L r p r mv
(2.58)
Contoh 2.11 :
Jika A 2i 3 j k dan B i 4 j 2k , hitung A B dan dan luas luas ja ja jargenj argen jang yang dibentuk oleh ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
vektor A dan B . Pembahasan : Metod Meto de 1 :
A B 2i 3 j k i 4 j 2k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2i i 4 j 2k 3 j i 4 j 2k k i 4 j 2k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2i i 8i j 4i k 3 j i 12 j j 6 j k k i 4k j 2k k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 8k 4 j 3k 0 6i j 4i 0 10i 3 j 11k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Metod Meto de 2 : i
ˆ
j
ˆ
k ˆ
3 1 2 1 2 3 3 1 i j k 10 i 3 j 11k 4 2 1 2 1 4 1 4 2
A B 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Luas yang dibentuk oleh vektor A dan B sama dengan besar vektor A B . 2 2 2 230satua 230 satuan n Luas = A B 10 3 11
ˆ
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
Contoh 2.12 :
F 3i 2 j 4 k N bekerja bekerja
Sebuah gaya
ˆ
ˆ
ˆ
pada pada benda benda
titik titik dengan dengan
vektor vektor
posi pos isi
r 2i j 3k m . Tentukan momen gaya yang bekerja pada benda terhadap titik asal. ˆ
ˆ
ˆ
Pembahasan : Momen Momen gaya ga ya yang bekerja pada benda : i
j
ˆ
ˆ
k ˆ
r F 3 2 4 2
1
3
4 3 4 3 2 i j k 2i j k 1 3 2 3 2 1 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2.6 Pe rkalian tiga buah vektor vekto r
Perk Pe rkalian alian tiga buah vekt vektor or dinamakan dinamakan perka lian lian triple. Perk Pe rkalian alian triple dibag dibagii menjad menjadii dua macam, yaitu perkalian triple skalar (triple ( triple scalar product) dan product) dan perkalian triple vektor ((triple triple vector product ). ). 2.6.1 Pe rkalian triple sk alar
Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi
A B C
(2.59)
Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah
A B C A x B yC z B zC y A y B zC x B xC z A z B xC y B yC x
B C A C A B
(2.60)
Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk A x
Ay
Az
A B C B x
By
Bz
C x
Cy
C z
(2.61)
Hasil perkalian triple skalar A B C menunjukkan volume ruang yang dibentuk oleh vektor A,BdanC , seperti terlihat dalam Gambar 2.20.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
z
C
B
y A
x Ga mba r 2.20 : Perkalian triple skalar
Contoh 2.13 :
Hitung volume yang dibentuk oleh vektor r1 2i 3 j m , r2 i j k m, dan r2 3i k ! ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Pembahasan : i
ˆ
j
ˆ
k ˆ
1 1 1 1 1 1 1 i j k 1i 2 j 3k 0 1 3 1 3 0 3 0 1
r2 r3 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Volume = r1 r2 r3 2i 3 j 1i 2 j 3 k 2 6 0 4 m 3 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2.6.2 Pe rkalian triple vek tor
Perkalian triple vektor memiliki bentuk
A B C
(2.62)
Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan
A B C B A C - C A B
(2.63)
BAC - CAB CAB . Perkalian triple vektor Pers.(2.63), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC menghasilkan menghasilkan vektor. Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan sudut sudut relatif relatif terhadap kerangka kerangka acuan yang diam O. Momentum Momentum sudut s udut partikel partikel m terhadap titik O , seperti ditun ditunjjukkan Gambar Gambar 2.19 :
L r p r mv mr v
(2.64)
Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut adalah v r . Jadi, L r p r mv mr r
(2.65)
Kita dapat membuat analogi bahwa A r , B dan C r , dengan menggunakan aturan BAC-CAB, kita peroleh L m r r r r
Jika Jika kecepatan kece patan sudut sudut
(2.66)
tegak lurus dengan vektor posisi r , maka r 0 . Kita peroleh,
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com 2
L m r
(2.67)
Besar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut : 2
L mr mvr
(2.68)
Contoh 2.14 :
Diberikan Diberikan tiga vektor A 2i , B 3 j dan C j k , hitunglah A B C . ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Pembahasan :
A B C B A C - C A B 3 j 2 j k 0 6 j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2.7 Turun Turunan an vektor ve ktor
Sebuah partikel bergerak dari posisi awal r t ke posisi akhir r t t dalam selang waktu t (lihat (lihat Gambar Gambar 2.21).
z r t t
r r y
x Gambar Gambar 2.21 : Perubahan Perubahan vektor pos isi partikel partikel
Perpi Pe rpindahan ndahan partike partike l selang waktu t :
r r t t r t
(2.70)
Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t :
r r t t r t t t Turunan vektor r t terhadap waktu: r t t r t r lim t 0 dt t t Vektor r t dalam koordinat kartesian diberikan oleh dr
lim
t 0
r t x t i y t j z t k ˆ
ˆ
ˆ
(2.71)
(2.69)
(2.72)
Turunan pertama vektor r t terhadap waktu : dr dt
dx
i
dy
ˆ
dt
j
ˆ
dt
dz k dt ˆ
Turunan kedua vektor r t terhadap waktu adalah
(2.73)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com 2
d r dt
2
v
2
d x dt
dr dt
i
2
2
d y
d z j k 2 dt
ˆ
2
dt
2
(2.74)
ˆ
ˆ
menunjukkan menunjukkan kec kecepata epatan n partikel partikel dan a
dv dt
2
d r
menunjukkan menunjukkan percepata perc epatan n partikel. partikel.
2
dt
Catatan : Jika A, B dan
C adalah
turunan vektor bergantung waktu t dan dan fungsi skalar bergantung waktu t,
maka 1. 2. 3. 4.
d
dA
A+B dt
d B
dt
d
dt dB
A B A dt dt d
dB
A B A dt dt dA
d
A dt dt
d A
B dt
d A
B
dt
d
A dt
5.
Jika A A x i Ay j Az k , maka dA dA x i dAy j dAz k
6.
d A B A dB d A B
7.
d A B A dB d A B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Contoh 2.15 :
Sebuah partike partike l bergerak bergera k memiliki vektor posisi r r cos t i r sin t j , dimana r dan ω adalah ˆ
ˆ
konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan perce patan a arahnya ke titik pusat pusat lingkaran lingkaran dan memiliki memiliki nilai nilai sebanding sebanding dengan dengan jarak partikel partikel dari pusat pusat lingk lingkaran, aran, (c) r v vektorkonstan vektor konstan .
y v
a
r ωt
x
Pembahasan :
a.
r r cos t i r sin t j ˆ
v
dr
ˆ
r sin t i r cos t j ˆ
dt
ˆ
r v r cost i r sin t j r sin t i r cos t j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r cos t r sin t r sint r cos t 0 Karena r v 0 , maka r dan v tegak lurus.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
b.
a
d 2r 2
dv
dt
2 r cos t i 2r sin t j 2 r cos t i r sin t j 2r ˆ
dt
ˆ
ˆ
ˆ
Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju pusat lingkaran (titik asal koordinat). Nilainya sebanding dengan jaraknya dari pusat lingkaran. c.
r v r cos t i r sin t j r sin t i r cost j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r 2 cos2 t k r sin 2 t k r 2 k , sebuah vektor konstan ˆ
ˆ
ˆ
Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω. Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal. 2.8 Soal dan pemba pe mbahas has
1.
Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk membentuk sudut θ. Jika besar resultan kedua resultan kedua vektor sama sa ma dengan F. Hitung Hitung nilai nila i θ !
2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin 0 bertiup bertiup pada sudut 37 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah gerak pesawat dari arah Utara! 0
3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 30 terhadap sumbu sumbu vertikal, seperti seper ti ditunjukkan ditunjukkan pada pada gambar. gambar. H itung itung komponen komponen gaya pada sumbu sumbu x dan dan sumbu y! y
F = 100 N 30
20 kg kg x
4.
Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P : F1 3i j 3k N ˆ
ˆ
ˆ
F2 2i 2 j 7k N ˆ
ˆ
ˆ
F3 i 8k N ˆ
ˆ
Tentukan vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P! 5.
Sebuah perahu pera hu menyebe menyebera rangi ngi sungai yang yang lebarnya lebar nya 90 m dan kece kecepatan patan arus sungai sungai 4 m/s. Bila Bila perahu diarahkan diarahkan menyilan menyilang g tegak lurus sungai sungai dengan dengan kecepatan 3 m/s. m/s. Tentukan entukan resultan resultan kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai!
6.
Hitung nilai a nilai a agar agar vektor A a i j k tegak te gak lurus lurus dengan de ngan vektor B a i k !
7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot! Cosinus. Buktikan 8. Hukum Sinus. Buktikan Buktikan hukum sinus s inus menggunakan menggunakan perkalian silang! silang! 9. Buktikan bahwa
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com 2
A B A2 B 2 A B
2
10. 10. Buktikan Buktikan bahwa cos cos cos sin sin mengunakan perkalian dot!
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com
