BAB 9
Konvergensi Konvergensi dalam distribusi 9.1 Definisi dan sifat-sifat dasar Dalam bab ini, akan dibahas konsep-konsep konvergensi dalam distribusi variable acak. acak. Pentingnya dan dan kegunaan kegunaan dari konsep konsep ini terletak pada peninjauan berikut : Jika urutan variable acak X n konvergen untuk suatu suatu variable variable acak acak X,
maka salah satu perkiraan probabilitas untuk kelas himpunan A untuk
untuk n besar
.Dalam beberapa situasi, penilaian yang tepat
lebih sulit dibandingkan menilai
seseorang menyelesaikan nilai limit
Akibatnya,
dibandingkan
ketika n
besar. Misalkan Y 1, Y2, … menjadi dari variable acak iid dengan momen kedua terbatas. Misalkan seseorang tertarik dalam menemukan pengamatan signifikan atau p-value untuk uji statistic dengan hipotesis alternative
∑ ,,
̅ √√ ̅ √√ ̅ *+ √ ̅ || bertentangan dengan
tentang populasi rata-rata
. Jika uji statistic
digunakan dan tolak H 0 untuk nilai besar dari
maka uji p-
value dapat ditemukan dengan menggunakan fungsi
dibawah
(
dinotasikan sebagai distribusi bersama dari
=0. Perhatikan disini , susah menemukan
, karena bergantung
pada distribusi gabungan dari Y 1, . . . ,Y n . jika diketahui bahwa
konvergen dalam distribusi normal variable acak Z ( yang sebenarnya sebenarnya dijamin oleh teorema limit pusat ,lihat bab 11), maka dapat diperkiraan
dari (
yang dapat ditemukan dengan menggunakan table probabilitas normal.
Defenisi umum dari “konvergensi dalam distribusi” adalah sebagai berikut :
Definisi 9.1.1: Misalkan
* + * +
misalkan
,
adalah kumpulan variabel acak dan
merupakan Konvergen dalam distribusi f dari
,
dapat dikatakan sebagai kovergen dalam distribusi pada
sebagai
dimana
d
, jika
.
Untuk setiap
. Kemudian, , ditulis
(1.1)
*+ (-)
Definisi 9.1.2: Misalkan
*+
menjad menjadii pelu peluang ang ukuran ukuran ( , B, B, ( )). Kemudian dengan
dikatakan konvergen ke
ditunjukkan dengan
d
lemah atau dalam distribusi ,
jika (1.1) dihubungkan dengan
Berbeda dengan pengertian pengertian konvergen konvergen dalam peluang
.
dan konvergen konvergen hampir
pasti, pengertian dari konvergensi dalam distribusi tidak memerlukan variabel
* + * + ,
acak yakni setiap
,
dapat didefinisikan sebagai probabilitas umum. Untuk
dapat didefisinikan pada probabilitas berbeda (
dikonversikan dalam distribusi ke
konvergensi dari
ke
,
) dan
. Dalam konteks, pengertian
pada probabilitas atau hampir pasti tidak
didefinisikan dengan dengan baik. Definisi 9.1.1 9.1.1 hanya konvergen konvergen dalam distribusi dari ke konvergensi
untuk setiap
, tetapi tidak memerlukan
konvergensi konvergensi (hampir pasti atau pada probabilitas) dari variabel acak
. / { *+
Contoh 9.1.1: Untuk
, Misalkan
seragam
itu sendiri.
, sebagai contoh,
memiliki Konvergensi dalam distribusi
dan bila
adalah turunan variabel acak ambil nilai 0 sebagai probabilitas 1,
sebagai contoh konvergensi dalam distribusi dari
Perhatikan bahwa fungsi
adalah
tidak kontinu hanya pada
, Oleh karena itu,
. Hal ini sangat mudah untuk memeriksa bahwa untuk setiap
,
dimana
Oleh karena itu,
d
.
*+ *+ ./ ∫ ⁄ , Contoh 9.1.2: Misalkan
untuk
dan
semua
barisan bilanganral sehingga
.
Misalkan
Kemudian,konvergensi dalam distribusi dari
.
diberikan oleh
(1.2)
Dimana
dan
. Jika
untuk beberapa
, kemudiangunakan (1.2), salah
d
satunya dapat ditunjukkan bahwa d
dimana
jika dan hanya jika
d
dan
. (Masalah 9.8)
Selanjutnya beberapa implikasi sederhana dari definisi 9.1.1 adalah sebagai berikut.
| | | | | | | | Bagian 9.1.1: Jika Bukti: Misalkan
p
d
, maka
.
merupakan cdf dari
,
. selesaikan
.
Kemudian, untuk setiap
(1.3)
dan juga
.
(1.4)
Oleh karena itu, dari (1.3) dan (1.4),
.
Setelah itu
p
, dimana
, sehingga didapatkan
(1.5)
Untuk semua
Oleh karena itu, dimana
Sebagai catatan bahwa
.
pada (1.5), salah satunya memiliki
. Perubahan ini adalah hasilnya.
Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, kebalikan dari bagian 9.1.1 adalah
salah pada umumnya. Berikut adalah kebalikan parsial. Bukti berdasarkan pada definisi konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi dalam distribusi dan sebagai latihan (Soal 9.1)
Bagian 9.1.2: Jika
p
d
dan
untuk beberapa
kemudian
.
Teorema 9.1.3: Misalkan
dapat menjadi kumpulan dari variabel acak
dengan masing-masing cdfs
. Kemudian,
* +*+ ̅ | | terdapat pada himpunan D di
Bukti: Karena
c
d
jika dan hanya jika
sehingga
Untuk setiap
(1.6)
mempunytai banyak titik hitung, yang bagian „hanya jika ‟.
Untuk membuktikan bagian „jika‟, misalkan menggunakan (1.6). Selesaikan Kemudian, terdapat barisan
dan
sebagai
pada
sehingga
. Oleh karena itu, untuk setiap
Dari (1.6), untuk setiap
.
Karena (1.7),
(1.7)
. Oleh karena itu,dari
ada dan sama dengan
. Hal ini melengkapi bukti dari
teorema 9.1.3.
Teorema 9.1.4:
masing-masing cdfs
. Misalkan
. Jika
kontinu pada
variabel acak dengan
, kemudian
Bukti: Ini kasus spesial dari Lemma 8.2.6 dan menggunakan bagian berikut.
Bagian 9.1.5: Jika cdf F kontinu pada
, kemudian secara bersama kontinu pada
.
Bukti dari bagian 9.1.5 sebagai latihan (Soal 9.2)
* + *+ | | | | [( ) ] Teorema 9.1.6:
.Misalkan
barisan variabel acak b untuk setiap probabilitas
d
. Jika
dan
.
dan
menjadi dua
didefinisikan pada ruang
p
untuk setiap
, kemudian
d
(i)
d
(ii)
, dan
d
(iii)
dimana
Bukti: bukti bahwa dari bagian (i) yang dijabarkan disini. Bagian lain mungkin
terbukti sama. Misalkan
menyatakan cdf dari
diperoleh oleh
. Kemudian, cdf dari
.. Selesaikan
Kemudian,
.
Untuk setiap
(seperti dalam penurunan (1.3) dan (1.4)),
(1.8)
dan
(1.9)
Sekarang selesaikan
sehingga
dimungkinkan karena
. Hal ini
dapat dihitung. Kemudian, dari (1.8) dan (1.9), hal
ini mengakibatkan
Dan dengan cara yang sama,
Sekarang misalkan
sedemikian sehingga
dan (1.11), ini sesuai dengan
Karena
, (i) terbukti.
, dari (1.10)
9.2 Konvergen Samar-Samar, Teorema Helly-Bray, Dan Keketatan
Satu versi dari teorema Bolzano-Weirstrass dari analisis real bahwa jika
,
* +
adalah sebuah himpunan tak terbatas, maka terdapat barisan
sedemikian sehingga
terdapat dalam[0,1]. Catat bahwa x tidak
dalam A kecuali A tertutup. Terdapat analogi dalam sub ukuran peluang pada ( , ( )),i.e., untuk ukuran µ pada
( ,
( )) sedemikian sehingga µ ( )1.
Pertama, dibutuhkan sebuah defenisi konvergenan dari ukuran sub-peluang. Defenisi 9.2.1
*+ (-)(-) * + * + Misalkan
*+ ,
ukuran peluang pada ( ,
samar-samar, disimbolkan denan
sedemikian sehingga D padat di
( )). Maka
konvergen ke
, jika terdapat himpunan
dan
di mana
untuk semua
Contoh 9.2.1
Misalkan
, X adalah variabel acak sedemikian sehingga
konvergen ke
X dalam distribusi, i.e.,
himpunan titik kontinu di F . Karena komplemen dari C (F )
untuk semua
terhitung, (2.2) mengakibatkan
dimana
dan
.
Catatan 9.2.1 :
Sesuai dengan di atas bahwa jika
,
adalah ukuran peluang, maka
Dan sebaliknya, tidak susah untuk menunjukkan bahwa (masalah 9.4) jika dan
dan
adalah ukuran peluang, maka
.
Contoh 9.2.2
Misalkan
[-n, n], n
adalah ukuran peluang berkoresponden ke distribusi seragam pada
1. Sangat mudah menunjukkan bahwa
, dimana
adalah
ukuran yang memberikan nilai 0 pada himpunan Borel. Ini menunjukkan bahwa
jika
, maka
konvergen ke
dan
bahwa
tidak konvergen ke
dan jika
dimana
dan
. Tetapi jika
, maka dapat ditunjukkan
.
Teorema 9.2.1
(Teorema pemilihan Helly ). Misalkan A adalah kumpulan tak hingga dari ukuran
*+ * + *( -) + , *+ ( -) *+ *+ *+ ( -) } *+ ̃ *+ ̃ ̃ ̃ peluang pada ( ,
( )). Maka, terdapat barisan
dan ukuran peluang
µ sedemikian sehingga
.
Bukti: Misalkan
adalah himpunan terhitung dalam
contoh,
, adalah himpunan rasional atau bilangan bulat
rasional dari bentuk untuk setiap x,
, himpunan semua diadik
bilangan bulat positif ). Misalkan
. Maka
(sebagai
dan dengan
mengaplikasikan teorema Bolzano-Weirstrass pada himpunan sebuah barisan
sedemikian sehingga
dimana
sedemikian
ada,
. Selanjutnya aplikasikan teorema Bolzano-
Weirstrass pada
, ambil
menghasilkan sub barisan
sehingga
ada,
dimana
. Dengan melanjutkan langkah ini, akan diperoleh sebuah
barisan dari sekumpulan subbarisan untuk setiap j,
sedemikian sehingga
ada. Secara terpisah, untuk subbarisan
,
(2.4)
ada untuk semua j. Sekarang himpunan
(2.5)
Maka,
adalah fungsi kontinu kanan tidak turun pada
sama dengan
pada
diperluas oleh
Karena
(masalah 9.5) dan
. Misalkan µ adalah ukuran Lebesgue-Stieltjes yang
untuk semua n dan x, ini sesuai bahwa
untuk semua x dan karena itu µ adalah ukuran sub-peluang. Anggap
bahwa (2.4) juga mengimplikasikan bahwa
̃ ̃ ̃ ̃ (-)̃̃- ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ (2.6)
untuk semua
himpunan titik kontinu pada
. Maka semua
dan karena itu
. Untuk membuktikan (2.6), menentukan
terdapat
dan
. Maka
sedemikian sehingga untuk semua
. ini mengakibatkan bahwa terdapat
dan
karena
, ini sesuai dengan
membuktikan (2.6).
Selanjutnya, beberapa karakter hasil dari konvergen sama-samar dan konvergen dalam distribusi akan dibuktikan. Ini dapat digunakan untuk mendefenisikan konvergen dari ukuran sub-peluang dalam beberapa perluasan ruang metric. Teorema 9.2.2 (Teorema Helly-Bray pertama atau teorema Helly-Bray untuk
* + *| | || + | || | (-)(-) | | - dan µ adalah ukuran sub-
kekonvergenan samar-samar ). Misalkan
peluang dalam ( ,
( )). Maka
untuk semua
.
Bukti : misalkan
dan misalkan
besar sedemikian sehingga himpunan padat
untuk
diberikan
pilih K yang
. Karena
, terdapat
sedemikian sehingga
sekarang pilih
untuk semua
sedemikian sehingga
Karena f kontinu seragam dalam [ a,b] dan D padat dalam dalam
untuk semua
D
dan
, terdapat titik
sedemikian
. Sekarang
sehingga
dan juga
- () ∫ ‖ ‖ (-)- ‖ ‖ *| | + *+
Sebuah taksiran yang sama untuk
. Karena
, µ adalah ukuran sub-
peluang, ini sesuai dengan
dimana dan
Misalkan
dan catat bahwa
,diperoleh
Karena
sembarang, maka (2.7) mengikuti dan terbukti hanya jika bagian ini
lengkap.
Untuk membuktikan kekonvergenannya, misalkan D adalah himpunan
**++ (-) ∫ ∫ (-) (-) (-) (-) (-) , (-)(-) . Menentukan a, b
titik
D,
a < b. Misalkan
adalah fungsi yang
didefenisikan oleh
Kemudian,
dan oleh (2.7),
Tetapi
dan
Misalkan
Sehingga,
dan anggap bahwa
, diperoleh
Dengan anggapan yang sama dengan dan
dan linear antara, menghasilkan
pada
(2.8) dan 0 untuk
Teorema 9.2.3 : (Teorema Helly-Bray kedua atau teorema Helly-Bray untuk
* + M *| + (-) *+*+ | | ∫ ∫ ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ‖ ‖[(-)- kekonvergenan lemah ). Misalkan
dan µ adalah ukuran peluang dalam
untuk semua
: Misalkan
misalkan
sedemikian sehingga
dan
diberikan. Pilih K besar
Juga, pilih a < -K dan b > K .
sedemikian sehingga
yang dipilih sehingga
Misalkan
dan
untuk semua i =1, …, m-1. Karena
, ini sesuai dengan
* + *+ * + ‖‖ ,- | , *| + , Ingat bahwa barisan
jika untuk setiap
dalam ruang metrik
, terdapat
Sebuah ruang metrik konvergen dalam
disebut
sehingga
.
lengkap jika setiap barisan
di
, yakni, pada barisan
sehingga
untuk
, ada
dalam
.
Contoh 9.3.1: Untuk setiap
,
dengan metrik Euclidean sudah lengkap
tetapi himpunan semua vektor rasional tidak lengkap. Himpunan
dengan metrik Euclidean
dari semua fungsi kontinu pada
lengkap dengan supremum metrik
tetapi himpunan semua polinomial pada
tidak lengkap untuk metrik yang
sama.
Ingat bahwa himpunan D disebut padat pada
untuk semua
dan untuk semua
dengan pusat di
, di mana
dan radius . Juga,
himpunan padat terhitung
jika
adalah bola terbuka
disebut dapat dipisahkan jika ada satu
.
Definisi 9.3.3: Sebuah ruang metrik
disebut Polandia jika lengkap
dan dapat dipisahkan.
Contoh 9.3.2: Semua ruang Euclid dapat dikatakan metrik Euclid dengan metrik
untuk
,
lengkap. Ruang
,-
dari fungsi kontinu pada
dengan metrik supremum lengkap. Semua ruang dengan ukuran σ-terbatas dan σ-aljabar terhitung, (lihat Bab 3). Teorema
berikut
memberikan
beberapa
,-
memenuhi ruang ukuran
kondisi
,
sudah lengkap
ekuivalen
untuk
kekonvergenan lemah dari ukuran peluang pada ruang Polandia. Teorema 9.3.1: Misalkan
menjadi Polandia dan
ukuran peluang. Maka berikut ini adalah ekuivalen: i.
.
ii. Untuk setiap himpunan terbuka G,
* + ,
.
menjadi
* + ∫ ∫ *+ , * + * + *+ ∫ iii. Untuk setiap himpunan tertutup C,
iv. Untuk semua
,
sehingga
.
lim n → ∞ μ n (B) = μ (B),
dimana
adalah batas dari
, yaitu
.
v. Untuk setiap fungsi
kontinu seragam dan terbatas
.
Untuk membuktikan gunakan fakta berikut.
Proposisi 9.3.2: Untuk setiap himpunan terbuka G dalam ruang metrik
terdapat barisan untuk
dari fungsi kontinu terbatas dari untuk semua
Bukti: Misalkan
sehingga
.
dimana untuk setiap himpunan A dalam
,
. Jika G terbuka,
untuk semua
. Misalkan untuk setiap n ≥ 1,
di . Maka
Periksa (Soal 9.10) untuk setiap
di
ke
,
dan 0 pada
adalah kontinu pada
untuk semua
di
. Selanjutnya,
Bukti dari Teorema 9.3.1:
Misalkan
untuk
terbuka. Pilih
di Proposisi 9.3.2. Kemudian
,
(oleh
). Tetapi
Oleh karena
, menurut teorema konvergen terbatas.
berlaku.
Anggap
Jadi oleh
berlaku. Misalkan C tertutup. Maka
,
terbuka.
̅ * + ̅ * *+ + ̅ ̅ ̅ ̅ (-) (-) *+ - *+ sejak
dan
adalah ukuran probabilitas. Dengan demikian,
Demikian pula,
berlaku.
.
: Untuk setiap
masing, interior dan penutup
, misalkan
dan
menyatakan, masing-
. Artinya,
dan
. Kemudian,
untuk setiap
,
dan dengan
dan
Tetapi
,
dan
berarti
. Dengan demikian,
.
Ini akan dibuktikan untuk kasus di mana
adalah garis nyata.
Untuk kasus umum Polandia, lihat Billingsley (1968). Misalkan dan
kontinuitas dari dengan
Misalkan
. Maka
. Karena jika
adalah titik
, maka
,
,
Jadi,
. Berdasarkan Teorema 9.2.3,
memiliki dan karenanya
berlaku.
Anggap bahwa dalam bukti Teorema 9.2.2, aproksimasi fungsi
dan
keduanya kontinu seragam. Oleh karena itu, pernyataan mengikut dari
Teorema 9.2.2 dan Catatan 9.2.1. Ini melengkapi bukti Teorema 9.3.1.
Contoh berikut ini menunjukkan bahwa ketimpangan bisa ketat dalam
dan
dari teorema di atas.
Contoh 9.3.3: Misalkan
adalah variabel acak. Himpunan
.
Karena
dan
konvergen dengan X.
keduanya konvergen ke
w.p. 1, distribusi
dan
( ) () - - ( ) - - - ()()
Sekarang anggap bahwa nilai
ada
sehingga
. Maka,
keduanya konvergen di distribusi ke
. Namun,
dan
Perhatikan bahwa
dan
untuk himpunan ditutup
dan untuk himpunan terbuka
Catatan 9.3.1: Barisan konvergen dari distribusi peluang muncul dengan cara
alami dalam keluarga parametrik dalam statistik matematika. Contohnya,
* + *+ misalkan
menunjukkan distribusi normal dengan mean
Maka,
.
misalkan
, dimana
Misalkan
dan
adalah
dan varians
Demikian
matriks definit positif.
menjadi distribusi normal -variate dengan mean
varians kovarians
. Maka,
kontinu dalam
dalam metrik Euclidean, maka
pula,
dan matriks
yang berarti bahwa jika . Kebanyakan
keluarga parametrik dalam statistik matematika memiliki properti kontinuitas ini.
Definisi 9.3.4: Misalkan
dimana
menjadi barisan dari ukuran peluang
adalah ruang Polandia dan
,
adalah Borel aljabar-σ pada . Kemudian
disebut padat jika untuk setiap
, terdapat himpunan padat K
sehingga
(3.4)
*+ * + *+ *+ ‖ ‖ ‖‖ *+ *+ Barisan
-nilai variabel acak
barisan
disebut padat atau batas stokastik jika
adalah padat, di mana
adalah distribusi peluang dari
pada Jika
,
, dan
adalah barisan vektor acak k-dimensi, maka,
dengan Definisi 9.3.4, terdapat
padat jika dan hanya jika untuk setiap
sehingga,
,
(3.5)
dimana
menunjukkan norma Euclidean biasa pada ,
maka kepadatan
. Selanjutnya, jika
setara dengan kepadatan dari
k-barisan dari variabel acak
(Soal 9,9).
*+
Analogi dari Teorema 9.2.4 berlaku untuk ukuran peluang pada adalah Polandia.
Teorema 9.3.3: (Teorema Prohorov-Varadarajan). Misalkan
*+ *+ * + *+ *+ barisan ukuran peluang pada
dimana
aljabar-σ Borel pada . Maka,
, terdapat lagi
pada
ketika
menjadi
adalah ruang Polandia dan
adalah
adalah padat jika diberi beberapa barisan dari
dan ukuran peluang
sehingga,
(3.6)
Bukti dari hasil ini, lihat Bagian 1.6 dari Billingsley (1968). Hasil ini berguna untuk membuktikan konvergensi lemah di ruang fungsi (misalnya, lihat Bab 11 di mana fungsi teorema limit pusat telah ditetapkan).
9.4 Teorema Skorohod dan Teorema Pemetaan Kontinu
Jika
*+
adalah barisan variabel acak yang konvergen ke variabel acak
dalam peluang, maka
konvergen dalam distribusi ke
(bdk. Proposisi 9.1.1).
Berikut ini adalah bukti dari fakta tersebut menggunakan Teorema 9.2.3. Misalkan
berarti bahwa
akan terbatas dan kontinu. Maka
dalam peluang
dalam peluang (Soal 9.13) dan dengan BCT,
* + * - + * + () *+ () *+ - *+ - - - *+ dimana
dan
.
Oleh
Pada saat tertentu, ini berarti bahwa jika
karena
w.p. 1, maka
. Teorema Skorohod merupakan kebalikan ini. Jika
selanjutnya terdapat variable acak dan
berdistribusi
dan
dan
sehingga
untuk
sehingga
berdistribusi
,
setiap
dan
dan
,
menjadi ukuran
adalah variabel acak pada
adalah ukuran Lebesgue. Selanjutnya,
berdistribusi
Bukti: Untuk setiap cdf
berdistribusi
. Misalkan,
. Selanjutnya, dimana
,
w.p. 1.
Teorema 9.4.1: (Teorema Skorohod). Misalkan
peluang pada
itu,
dan
w.p. 1.
, misalkan
Maka untuk
, dapat diverifikasi bahwa
dan karena itu, jika
adalah sebuah uniform
variabel acak
(Soal 9.11),
menyiratkan bahwa,
memiliki cdf
Hal ini menunjukkan bahwa
dan
.
memiliki distribusi yang
dinyatakan. Itu masih perlu menunjukkan bahwa
w.p. 1
Anggap
dan misalkan
Sekarang
sedemikian sehingga
. Karena
dan
dan juga
menunjukkan
bahwa
. ,
untuk n besar. Ini
untuk
besar
dan
karena
. Karena ini adalah benar untuk semua
, dan karena himpunan semua , padat di
, itu berarti bahwa,
itu
dengan
*+ - *+ - - .
Selanjutnya,
anggap
dan
,
. Karena
dan
.
,
Maka
.
Proposisi 9.1.1
Disini terdapat bukti lain dari penggunaaan Teorema 9.2.3.
* + ( -)} *( -)+ () * + () Misalkan
membatasi dan kontinu. Maka
dinyatakan dengan
pada peluang (Problm 9.13) dan dengan BCT,
dimana
dan
. Karena itu,
Faktanya, hal ini mengikuti bahwa jika
w.p. 1, maka
Skorohod adalah kebalikan dari ini. Jika dan
distribusi
sehingga
dan
pada peluang
, maka
.
. Teorema
terdapat variable acak
mempunyai distribusi
dan
,
mempunyai
w.p. 1.
Teorema 9.4.1 :
(Teorema Skorohod). Misalkan
pada
sehingga
,
adalah peluang terukur
. Misalkan
untuk
Maka,
dan
adalah variable acak pada
dimana m adalah ukuran Lebesgue. Selanjutnya, , dan
mempunyai distribusi
dan
mempunyai distribusi
w.p. 1.
Bukti :
Untuk setiap cdf
setiap
dan
, misalkan
, hal tersebut dapat diverifikasi bahwa
dan karenanya, jika
acak (Problem 9.11),
. Maka untuk
adalah Uniform
variiabel
Menunjukkan bahwa
*+ ( -) *+ ( -)( -) ( -) *+ *+ ( -) *+ ( -)( -) ( -) *+ Ini menunjukkan bahwa
dan
mempunyai asserted distribution. Yang
menunjukkan bahwa
Memperbaiki
dan misalkan
Sekarang
sehingga
menunjukkan bahwa
sedemikian sehingga
. Karena
,
untuk n besar. Ini
. Karena bukti terbeut benar untuk semua
, dank arena himpunan dari semua
adalah padat di
,
itu mengikuti bahwa
Perbaikan berikutnya
dan
. Karena
demikian, untuk untuk
dan
. Maka
besar,
besar dan karena
. Dengan
. Ini menunjukkan bahwa
. Karena hal ini benar untuk semua
Dengan demikian telah ditunjukkan untuk semua
Karena
adalah nondecreasing fungsi pada
, ini mempunyai paling
banyak angka yang dapat dihiitung dari diskontinu dan sehingga
Akibat langsung dari teorema diatas adalah continuity dari konvergensi pada distribusi dibawah transformasi kontinu. Teorema 9.4.2 :
* +
( Lanjutan Teorema Pemetaan ). Misalkan sedemikian sehingga
. Misalkan
adalah variable acak
adalah ukuruan Borel
sedemikian
() * ̃+ ̃ ( ) ̃̃ ̃ ̃ ̃̃
sehingga
adalah
himpunan
dari
diskontinu dari . Maka
Bukti : Berdasarkan teorema Skrohod, terdapat variable acak
didefinisikan
sebagai
ruang
Lebesgue
ukuran
Lebesgue sedemikian sehingga
Dengan demikian,
,
dan
w.p.1 dan karenanya
.
9.5 Metode Moment dan Permasalahan Moment 9.5.1. Konvergensi Moment
* + | | | | | | * + | | | | | | | | *| | + | | | .| | |/ + *| | | | Misalkan
dan
konvergen ke
adalah variable acak sedemikian sehingga
di distribusi. Kita menduga bahwa untuk beberapa
untuk
menunjukkan
. Pertanyaan umum adalah : kapan keadaan ini
Berdasarkan teorema Skorohod, satu yang dapat diasumsikan w.l.o.g. bahwa w.p.1.
Teorema 9.5.1 :
Misalkan
dan
sehingga i.
adalah kumpulan dari variable acak sedemikian
. Maka, untuk
ii.
untuk
,
persamaan dibawah ini :
dan ,
.
adalah integral unform, i.e., untuk setiap
sedemikian sehingga
Remark 9.5.1.
Kondisi cukup untuk integral uniform dari
terdapat
Contoh 9.5.1
Misalkan
. Maka
* + | | ||
bahwa
mempunyai distribusi
tapi
tidak ke 0. Catatan
bukan integral uniform.
Remark 9.5.2.
Pada teorema 9.5.1, dibawah hipotesis (ii), seperti dibawah ini
Dan
9.5.2. Metode Moment
* +
Diduga bahwa
* +
unik . Teorema 9.5.2.
acak sedemikian sehingga untuk
.
* + * + * +
. Karena barisan
adalah barisan dari variable
samar-samar konvergen ke
sempit. Karena
ada dan terhingga.
maka
, distribusi peluang
. Karena
}
harus menjadi distribusi harus bertepatan dengan
determinasi distribusi unik,
titik batas samar-samar yang unik dari
Apakah
Jawabannya adalah ya
peluang dan berdasarkan teorema 9.5.1, moment dari
determinasi unik distribusi dari variable acak
membatasi barisan,
* +
* + * +
Bukti : Diduga bahwa untuk beberapa sub barisan
* +
tentukan distribusi dari variable acak
(Teorema Frechet-Shohat). Misalkan
sedemikian sehingga
dapat dibuktikan dengan moment
* +
terdapat untuk semua bilangan bulat
terdapat variable acak
Jika barisan
adalah variable acak sedemikian sehingga
* +
unik dan adalah
dan berdasarkan teorema
9.2.6,
. Jadi jika
adalah variable acak dengan distribusi
, maka
.
9.5.3. Permasalahan Moment
Diduga
* +
adalah barisan dari bilangan real sedemikian sehingga
terdapat paling sedikit satu peluang terukur sehingga untuk semua
Apakah terdapat barisan
pada
* +
determinasi
sedemikian
bagian ini dari masalah
Hamburger-moment, yang termasuk mencari kondisi dibawah ini
, *+ *+ *+ *+ *+ *||| + *||| + * + *+ *+ * +
9.8 (a) Misalkan
dan
i.
Tunjukkan
ii. Tunjukkan
(
bahwa
bahwa
jika
jika
Pertama tunjukkan bahwa
kemudian bahwa
terbatas dan
terbatas, dan terakhir bahwa
adalah satu-satunya titik limit dari
dan
dan
,
masing-masing.)
(b)
Misalkan
adalah matriks stokastik
dan
definit positif,
terbatas
jika
dan
. Kemudian,
hanya
adalah
jika
dan
terbatas.
9.9
Misalkan
menjadi urutan variable acak.
Perhatikan
Tunjukkan bahwa urutan
vector acak
adalah terikat dalam
, urutan variabel acak
9.10
Misalkan
adalah terikat dalam
, Misalkan
*( )
Tunjukkan bahwa untuk setiap (b) Misalkan
+
adalah kontinu pada .
menjadi seperti pada (3.3). Tunjukkan bahwa
adalah kontinu pada
dan
Perhatikan bahwa
untuk semua
di .)
9.11
.
adalah ruang metric
(a) Untuk setiap himpunan
(
jika untuk setiap
Untuk setiap
, misalkan
. Tunjukkan bahwa untuk setiap
,
(
(
Untuk
gunakan kontinuitas kanan F dan untuk
,
gunakan definisi sup.) 9.12
* + *+ *+ T Sy’ * + *+ *+ ∫ ∫
Untuk fungsi
, mendefinisikan
adalah kontinu pada
Tunjukkan bahwa
9.13
Jika
dan
kontinu, maka
9.14
(Metode Delta). Misalkan
menjadi
.
menjadi urutan variabel acak dan
urutan
konstanta
seperti
bahwa
dan
untuk beberapa variabel acak dan untuk beberapa suatu fungsi yang terdiferensialkan pada
. Misalkan
dengan
derivatif. Tunjukkan bahwa
(
Dengan ekspansi Taylor, untuk setiap
Dimana
9.15
karena
Misalkan
. Sekarang gunakan Problem 9.7 dan
adalah variabel acak dengan
. Memberikan dua contoh urutan memenuhi
dan
untuk setiap
dan
sehingga
tetapi
(
ambil
,
dikatakan.) 9.16
Misalkan
adalah ukuran probabilitas pada
sehingga
untuk semua
* | * | * | | | | | ∫ ∫ * *+ *+ | | *+ * + || | | || untuk setiap koleksi Apakah
fungsi dari
ditentukan dibawah ini.
jika
a)
adalah terbatas dan diferensial kontinu
pada
dengan turunan terbatas}?
b)
adalah terbatas dan diferensial tak hingga
pada
}?
c)
adalah sebuah polynomial dengan
koefisien Real} dan semua
9.17
untuk
?
Untuk setiap dua
, diketahui
untuk semua
Pastikan
(6.1)
mendefinisikan metric pada semua koleksi distribusi
probabilitas pada 9.18
}
Misalkan
. Metric
disebut Levy metric.
adalah ukuran probabilitas pada
sesuai dengan
dan
Tunjukkan
,
jika
dimana
9.19
a) Tunjukkan bahwa untuk setiap dua
(6.2)
dimana
(6.3)
(
disebut jarak Kolmogorov atau metrik antara
b) Berikan contoh-contoh dimana dan
9.20
berlaku dalam persamaan (6.2),
dimana berlaku dalam pertidaksamaan (6.2).
Misalkan
sehingga
berbatasan dari
adalah ukuran probabilitas pada
. Misalkan
bahwa
,
adalah kumpulan fungsi
sehingga
untuk semua
beberapa
)
dengan
untuk semua
dan
dan untuk
. Tunjukkan
9.21
* + *+ * + Misalkan
adalah dimensi vektor-vektor acak sehingga
. Misalkan
menjadi urutan matriks
bilangan real dan
. Definisi
dimana
dan
dan
menunjukkan transpos dari . Misalkan
. Tunjukkan bahwa
a)
, dimana
b)
, dimana
(
dari
Di sini konvergensi dalam distribusi dari urutan matriks
,
nilai
variabel
mempertimbangkan
acak
dapat
ditafsirkan
dengan
dimensi vektor acak yang sesuai diperoleh
dengan menggabungkan deretan matriks
dengan sisi-sisi dan
menggunakan definisi konvergensi dalam distribusi untuk vektor acak.)
9.22
*+ (}) *+ ∑ | | / . Misalkan
adalah ukuran probabilitas pada satuan yang bisa
dihitung
. Misalkan
. Tunjukkan bahwa, dimana
semua 9.23
.
Misalkan
. Misalkan
Tunjukkan bahwa 9.24
a)
jika untuk
Misalkan
, dimana
.
dan
. Tunjukkan bahwa dimana
maka
(6.4)
dimana
b)
.
bilangan bulat positif k. Misalkan untuk
dimana
.
,
,
dimana jika
i.
Pastikan untuk setiap
*+
adalah distribusi probabilitas, yaitu,
∑ *+ *+ *+ .
ii. Misalkan
adalah variabel acak dengan distribusi
. Tunjukkan bahwa dimana
jika
maka
konvergen dalam distribusi dan teridentifikasi dalam limit.
9.25
Misalkan
dan
ada dua urutan
sehingga, untuk pada
,
pada
di mana
.
a) Tunjukkan bahwa untuk setiap
dan
sedemikian
adalah
,
* + adalah
pada
.
b) Tunjukkan bahwa, untuk
,
dimana
, dengan
perhitungan langsung dan oleh teorema Skorohod (yaitu, Teorema 9.4.1) dan Soal 7.14.
9.26
Misalkan
memiliki distribusi peluang diskrit pada bilangan bulat
Tunjukkan bahwa
dan misalkan
variable acak. Tunjukkan bahwa
menggunakan tiga metode yang
berbeda sebagai berikut : a) Teorema Helly-Bray b) Metode Momen c) Menggunakan cdfs 9.27
Membuktikan (5.4) dalam Catatan 9.5.3. (
9.28
Tunjukkan
*||+ ||
Misalkan
bahwa
untuk
setiap
.)
adalah distribusi probability pada
sehingga
∫ ’5 h T ’ cy untuk beberapa
(
3.1.5)
. Tunjukkan bahwa kondisi
’ √ * + || || * + dan kemudian menggunakan pendekatan Stirling : (Feller(1968)).)
9.29
(Teorema Kontinuitas untuk mgfs). Misalkan acak tunjukkan bahwa untuk beberapa
dan
, mgfnya
yang terbatas untuk semua untuk semua
(
Selanjutnya, misalkan
adalah rapat dan nyata dengan
ditentukan oleh
Andaikan
Misalkan
. Tunjukkan
( 9.31
dan
Tunjukkan
yang pertama tunjukkan
Catatan 9.5.3, distribusi 9.30
adalah variabel
. Misalkan
, dimana
.
gunakan problem 9.29.)
Gunakan teorema kontinuitas untuk distribusi konvergensi dalam
* +
untuk menentukan (6.4) dan
pada Soal 9.24 (b) (ii).
