APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL DALAM STATISTIKA

APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL DALAM STATISTIKA Abu Syafik Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak Salah satu distribusi yang penting dan banyak digunakan dalam statistika adalah distribusi normal. Karena distribusi normal merupakan dasar dari statistika maka distribusi normal merupakan dasar hukum untuk semua distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu yang mengikuti hukum distribusi normal adalah distribusi lognormal. Distribusi Lognormal mengikuti hukum distribusi normal, karena distribusi lognormal diperoleh dari transformasi peubah acak pada fungsi densitas distribusi Normal. Kata Kunci: distribusi normal, fungsi densitas, aplikasi Pendahuluan Statistika adalah ilmu

yang

Dalam

penerapan

statistika

berhubungan dengan pengumpul- an

digunakan berbagai metode statistika

pengaturan,

peng-

sesuai dengan kebutuhan. Salah satu

gambaran dari penganalisisan data,

metode statistika yang diguna-kan

serta

adalah

perhitungan,

penarikan

kesimpulan

dan

distribusi

peluang.

Pada

pengambilan keputusan yang rasio-

Statistika Matematika1 telah dipela-

nal berdasarkan hasil analisis yang

jari

dilakukan.

(aplikasi)

khusus yang penting baik distribusi

statistika digunakan dalam berbagai

peluang dengan peubah acak diskrit

bidang seperti ilmu fisika, ilmu

maupun distribusi

teknik, perdagangan atau usaha, ilmu

peubah acak kontinu. Salah satu

kesehatan dan biologi, ilmu sosial dan

distribusi peluang dengan peubah

Penerapan

beberapa

distribusi

peluang

peluang dengan

pendidikan. Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 1

acak

kon-tinu

adalah

distribusi

normal.

Fungsi densitas dari peubah acak X didefinisikan sebagai :

Distribusi normal merupa-kan

f ( x)  1 ( 2 y2 ) 2

salah satu distribusi yang penting dan

banyak

digunakan.

2

       exp  -  1      2   

Karena

distribusi normal merupakan hukum peluang untuk distribusi pelu-

1

= 0,

2 y

(ln x

     )²  , x   0         

x lainnya

ang Fungsi densitas pada definisi 1

terutama. Distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Ada satu

diperoleh dari

distribusi normal

distribusi peluang dengan pe-

ubah

dengan mentransformasikan peu-bah

acak kontinu yang mengikuti distribusi

acaknya. Berikut uraian bagai-mana

normal yaitu distribusi lognormal.

fungsi distribusi lognormal diperoleh. Misalkan X dan Y adalah dua

Distribusi Lognormal

buah

Distribusi lognormal dalam bentuk

sederhana

adalah

peubah

acak

dengan

Y

mengikuti distribusi normal. Jika

X

fungsi

= exp (Y) atau Y = ln X, maka

densitas dari sebuah peubah acak

distribusi peubah acak X diperoleh

yang logaritmanya mengikuti hu-

dengan mentransformasikan peu-bah

kum distribusi normal.Adapun de-

acak Y = ln X, yaitu:

finisi dari distribusi lognormal adaf(x) = g(y)

lah sebagai berikut :

dengan g(x) adalah fungsi densitas

Definisi 1: Misalkan sebuah peubah acak X mempunyai ruang range atau daerah hasil Rx  {x / 0  x  } dan

dx dx

Y

dari distribusi normal. Hubungan nilai y dari Y dengan x dari X diberikan dengan

= lnX mengikuti distribusi normal dengan rata-rata µ1 dan varians  y2 . 2 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika

dy 1 dx = sehingga dx x dx

y = ln x, maka

=

1 x



0







  ,a  0

2  exp  au du 

1 2

1  2 a

0



lognormal berbentuk: 1 2



1

 2 (2 ) 2 exp  12 z 2 dx Kita ingat bahwa

maka fungsi densitas dari distribusi

f (x)  1 (2y2 ) 2



 f ( x)dx 1.

Maka

1 exp [- 2 (lnx π)² , x > 0] 2σ y

= 0 , x lainnya



Jadi, fungsi (fx) pada definisi 1 merupakan fungsi densitas.

Kita periksa bahwa f(x) yang dipe

Kita

akan

menentukan

pa-

roleh merupakan fungsi densitas.

rameter dari besaran-besaran yang

f (x)  0, untuk setiap x > 0

berkaitan dengan distribusi lognor-

(i)

(ii) ∫_ f (x) dx

mal, seperti: rata-rata, varians, mo-

[ 2σ1

=∫0-½(2 σ y2 )-½exp -

Misal z = dz 

ln x   y

y

2 y

(lnx- y)²]dx

dus, median, momen,ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan. 1. Rata-rata dan Varian

maka

Jika kita memperhatikan definisi

1 dx x y

1,maka terdapat dua para- meter dan distribusi lognormal yaitu µy

Batas-batas dalam z

dan σ y2 . Rata-rata dan varians dari

untuk x  0 , maka z  

distribusi lognormal adalah

untuk x   , maka z  

E(X )  y 

sehingga diperoleh 









 x . f ( x ) dx



1





f ( x)dx   (2 ) 2 exp  z dx 1 2

2





 x.

1 x

( 2 

2 y

)



1 2





misal z =

e xp   

ln x σy

μy

1 2

2 y

(ln x   y ) 2  dx 

,

Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika 3

maka dz =


1 dx xσ y

sehingga:

x = exp ( σy z + µy )





1





E( X 2 )   exp(2 y z  2 y )(2 ) 2 exp  12 z 2 dx 

Batas-batas dalam z





1



 exp(2y ) 2 y2  (2) 2 exp 12 (z2 4 y z 4 y2 )2 dx

untuk x  0 , maka z  





1





 exp(2y )  2 y2  (2 ) 2 exp  12 z2  2 y )2 dx




sehingga:

 exp(2y )  2 y2 

1





E(X)  x   exp( y z  y )(2) 2 exp 12 z 2 dx 





1



sehingga:





 exp(x  12 y2 ) (2) 2 exp 12 (z2 y2 ) dx

Var ( X )   x2  E ( X 2 )  E ( X ) 2

 x  exp y  12   y2 

 exp 2 y  2 y2  exp( y  12  y2 )





 

 x2  exp 2  y  2 y2   exp( y2 )  1



2

Apabila rata-rata dan varians Sedangkan untuk memperoleh varians kita perlu menghitung

varians dari X, maka dari  x2  exp 2  y  2 y2   exp( y2 )  1



E( X 2 ) 

x

2

. f ( x) dx

 



2 2  x. 1x (2 y ) 2 exp  21 2y (ln x   y )  dx 1





1



 exp(x  12 y2 ) (2) 2 exp 12 (z2 y2 ) dx 

misal z =

ln x

μy

σy

maka dz =

dari Y dinyatakan dalam rata-rata dan

,

1 dx xσ y

x = exp ( σy z + µy ) Batas-batas dalam z

= π y2 [exp( σ y2 )-1] 2 exp ( σ y2 ) = 1 + x 2 μ x σ

2 atau σ y2 = ln 1 + x 2 μ x σ

,

dan dari µx = exp (µy + ½ σ y2 )

untuk x  0 , maka z   4 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika

ln µx

= µy + ½ σ y2

µy = ln µx - ½ σ y2 2 = ln µx - ½ ln 1 + x 2 μ x

µy = ln µx - ½ ln





σ

µy



1 1 2y2 2 exp 21 2 (lnx  y )2  2  y  x 2 ln(x)   y  1 1  1  2   ln x  y )2   2 (2y ) 2 exp 2 2  2y    y  x

f ' (x)  



Karena f’ (x) = 0, maka





1 1 2y2 2 exp 21 2 (lnx  y )2   2  y  x 2 ln(x)   y  1  1  1 ln x  y )2   2 (2y2 ) 2 exp  2 2   y  x  2y 

μ x2 + σ y2



μ y2



µy = ln µx - ½ [ln ( μ x2 + σ x2 ) – ln μ y2 )

sehingga σ y2 = [ln x - µy] atau

µy = lnµx-½ [ln ( μ x2 + σ x2 )+ ½ln μ x2

ln x = - σ y2 atau x = exp (µy- σ y2 )

µy = 2 ln µx - ½ ln ( μ x2 + σ x2 )

Jadi modus dari distri-busi

µy = ln µx - ½ [ln ( μ x2 + σ x2 )

lognormal terjadi pada:

μ x2

µy = ln

x = exp (µy- σ y2 )

μ y2 + σ x2

Sedangkan median dari sebuah distribusi didefinisikan sebagai

2. Modus dari Median Modus dari sebuah dis-

nilai x sedemikian sehingga (X 

tribusi didefinisikan sebagai nilai

x ) = P (X > x). Dari definisi 1

x yang mengakibatkan nilai fungsi

kita ketahui bahwa Y =

kepadatan peluang f(x) mencapai maksimum.Nilai

f

(x)

akan

ln X

dengan rata-rata µy dari varians σ y2 , sehingga:

maksimum jika dan hanya jika

P (X  x) = P (X > x)

f’(x) = 0. Dari definisi 1 kita tahu

P (ln X  ln x) = P (ln X > ln x)

bahwa:

P (Y  ln x) = P (Y > ln x)



f ( x)  1x 2 y2

maka



 12

exp 21 2 (ln x   y ) 2 , x  0  y 

P Z

ln x

μy σ 2y

=P Z>

ln x

μy σ 2y


Hal di atas akan terjadi jika hanya jika

ln x

μy σ 2y

distribusi lognormal ada-lah: µ3 = exp (3µy +

=0

Secara umum momen ke-k:

Sehingga ln x - µy = 0 atau

µk = exp (k1µy + ½ k² σ y2 )

x = exp (µy) Jadi media dari distribusi lognormal terjadi pada x = exp (µy)

Sedangkan momen ketiga dan keempat sekitar rata-rata adalah µ3 = µ3 - 3 µ1.µ3 + 2(µ1)3

3. Momen Nilai ekspektasi dari X (ditulis

9 2 σ ) 2 y

E(X)

adalah

momen

kesatu sedangkan E (X) adalah rata-rata, maka rata-rata merupakan momen kesatu. Sehingga momen kesatu distribusi lognormal adalah :

Nilai ekspektasi X² (ditulis E(X²)) merupakan momen kedua. Sehingga momen kedua dari distribusi lognormal adalah : µ2 = exp (2µy + 2 σ y2 ) Nilai ekspektasi X

(ditulis E

(X3)) merupakan momen ketiga. Sehingga momen

ketiga

9 2 σ )–3 2 y

  4   exp( x  12  y2 ) exp 2 y   y2  2   





  1   2exp  y   y2  2   

9     exp( 3  x   y2 )  2    5    3  exp  3  y   y2   2   

µ1 = exp (µy + ½ σ y2 )

3

= exp (3µy +

dari

 3    2  exp  3  y   y2   2    3     exp( 3  x   y2 )  2   2 2 exp  y  exp  y  2



 

 



1 2 3   exp(  x   y )  2   2 exp 3 y  3 exp  y2  2

  

  

6 Abu Syafik: Aplikasi Distribusi Lognormal dalam Statistika

4. Ukuran Kemiringan

5. Ukuran

Untuk menentukan mo-del lengkungan

kurva

dari

Keruncingan

(Kur-

tosis) Untuk

suatu

menentukan

distribusi ditinjau dari koefisien

runcingan

kemiringannya, kita harus meng-

distribusi digunakan rumus:

hitung dahulu koefisien kemiringan.

Koefisien

kemiringan

diperoleh dengan menggunakan

2 =

kurva

dari

kesuatu

μ4 –3 σ4 2 : koefisien

dengan

keruncingan

rumus:

µ4 : momen keempat

μ3 σ3 1 : koefisien ketiga 1 =

dengan

sekitar rata-rata σ = simpangan baku

sekitar rata-rata

Sehingga

µ3 : momen ketiga

koefisien

keruncingan

distribusi lognormal adalah:

sekitar rata-rata

 2  [exp( y2 ) 1]4  6[exp( y2 ) -1]3

σ = simpangan baku

15[exp( y2 ) 1]2 16[exp( y2 ) -1]

suatu distribusi Sehingga

koefisien

kemiringan

distribusi lognormal adalah: 1 

Dari hasil perhitungan sebelumnya,

(  x ) 3 ([exp( y2 )  1]3  3[exp(3 y2 )  1]2 ) (  [exp( )  1]) 2

2

3 2

3 2

 1  [exp( )  1]  3[exp( ) - 1] 2 y

2 y

Grafik Distribusi Lognormal

1 2

seperti

rata-rata

ukuran

kemiringan

keruncingan, distribusi

modus,

maka

lognormal

median,

dan grafik

ukuran dari

digambarkan

sebagai berikut:


= 7,20 x 1010

f(x)

Me = exp (µy) = 5,18 x 1010 b. P (X)  1021) = P (ln X  1021) Mo

Me

x

= P (Y  1021)

x

= P (Z 

Gambar 2.

10 21

50 5

Contoh soal dan penyelesaian:

= P (Z  - 0,33)

1. Misalkan x adalah peubah acak

= 0,3707

dengan Y = ln X yang meng-ikuti distribusi lognormal dengan ratarata

2. Buktikan

jika

X

)

mempunyai

distribusi lognormal dengan rata-

µy = 50 dan

rata dan varians σ 2y dan a,b beserta

varians σ 2y = 25.

d adalah tiga buah konstanta

Tentukan:

dengan b = exp (d) maka W = b

a. Rata-rata, varians, modus, dan

Xa

median dari peubah acak X b. P (x  10)21

distribusi

lognormal dan rata-rata (d + σ 2y ) dan varians (a² σ 2y ).

Penyelesaian:

1 a. µx = exp (µx + σ 2y ) 2 = 1,39 x 1027

σ 2x =exp(2µy+ σ 2y )[exp( σ 2y )– 1] = 1,39 x 1085 Mo = exp (µy -

mempunyai

σ

2 y

)

Bukti: Diketahui : X berdistribusi lognormal, maka :  f ( x)  12  2 y2 







1 2

   1  ln x   y 2 , x  0 exp   2     2 y  

a

W = bx , maka X =


W b

1 a

Hubungan nilai w dari W de-ngan x dari X diberikan dengan

w b

x=

=

w b

1 a

, sehingga

dx 1 = x dw ab

1 1 a

Batas dalam w Untuk x > 0, maka w > 0. g(w)



1 1

=f

w b

1 a

dx dw

2 

1 2  2 y

 w a b      1 exp  2  2 y 

1     w a   ln    y   b   

2

  1 wa   ab b 









1 1 2 2   2a  y 2 w 2 1      1   w a   exp  2 2  ln    a y      2a  y   b      1 1 2 2   2a  y 2 w

  1 2 exp  2 2 ln w  ln b  a y    2a   y   1 1   2a 2 y2  2 w   1 2 exp  2 2 ln w  d  a y    2a   y   Jadi g(w) merupakan fungsi densitas dari distribusi lognor-mal dengan rata (d + aµy) dan varians (a² σ 2y ). Penutup 1. Definisi Distribusi Lognormal Misalkan sebuah peubah acak X mempunyai range atau dae-rah hasil Rx = {x0 < x < ~} dan Y = ln X mengikuti distribusi normal dengan rata-rata y dan varians σ 2y .


Fungsi densitas dari peubah acak X didefinisikan sebagai:



f ( x)  1x 2 y2



 12

exp 21 2 (ln x   y ) 2 , x  0  y 

=0

,x lainnya

2. Rata-rata dan Varians distribusi lognormal adalah: µx = exp (µx +

1 2 σ ) dan 2 y

Daftar Pustaka Freud, J. E. and Walpole, R. F. 1980. Mathematical Statitics. Third Edition. Englewood New York: Prentice-Hall. Inc. Heryanto, Nar. 1992. Pengantar Statistika Matematika. Jilid 1. Bandung: Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP Bandung.

lognormal terjadi pada:

Hinnes, William W. and Montgomery, Douglas C., 1972. Probability and Statistics in Engeneering and Mana-gement Science. New York: John Willey & Sons. Inc.

x = exp (µy - σ 2y )

Pollet,

σ 2x = exp(2µy+ σ 2y )[exp( σ 2y ) – 1] 3. Modus dan median distribusi

ke-k

A dan Nasrullah. 1994. Penggunaan Metode Statistika untuk Ilmu Hayati. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

5. Koefisien kemiringan distribusi

Purcel and Varberg (terjemahan I.N. Susilo dkk). 1990. Kal-kulus dan Geometri Analitik. Jilid 1. Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.

dan x = exp (µy) 4. Secara umum diberikan oleh:

momen

1 k = exp k.y + k² σ 2y 2

lognormal adalah: 3 2

1 2

 1  [exp( y2 )  1]  3[exp( y2 ) - 1] Koefisien keruncingan distri-busi lognormal adalah:

R. V, Hogg,. and Craig, A. T. 1978. Introduction ot Mathematical Statistics. Fourth Edition. New York: Macmillan Publishing Co. Inc. Supranto, J. 1991. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 2. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga



APLIKASI DISTRIBUSI LOGNORMAL DALAM STATISTIKA

Recommend Documents