41
BAB 7 PERSEKITARAN
7.1PERSEKITARAN (NEIGHBOURHOODS) Definisi 7.1 Dibe Diberi rika kan n (X, (X,
τ ) adal adalah ah ruan ruang g topo topolo logi gi pada pada X. Suat Suatu u himp himpun unan an V
⊂
X adalah adalah )) jika jika terdap terdapat at suatu suatu himpunan himpunan U ∈
persekitaran dari x (dalam ruang topologi (X, τ τ sedemikian sehingga x ∈ U ⊂ V. V. Disin Disinii V ⊂ X adalah persek persekitar itaran an dari x ∈ X bila dan hana bila V memuat suatu himpunan terbuka ang memenuhi x.
X U .x
V
!elas bah"a suatu himpunan terbuka ang memuat x adalah pasti merupakan persekitaran dari x. #etapi suatu persekitaran tidak harus terbuka. Dalam buku ini, notasi $ (x) menatakan sebagai sebagai himpunan himpunan dari perseki persekitara taran n dari dari x dalam dalam ruang ruang topologi topologi (X, τ ). %ang ang disebut disebut sebagai sistem persekitaran dari x. Contoh 7.1 1. &ada topologi usual U pada garis bilangan riil '. apakah interalinteral diba"ah ini merupakan persekitaran dari o* ¿ i. ii. (1 , + 1 +, - iii. i. (+,1 &enelesaian i.
arena +
∈
(
−1 2
,
1 2
)⊂
¿
dan
(
−1 2
,
1 2
) adalah terbuka maka
¿
adalah
titik persekitaran dari titik + ii. ii. Dan Dan iii adal adalah ah tida tidak k meru merupa paka kan n perse perseki kita tara ran n dari dari titik titik + karen karenaa tidak tidak ada ada inter intera all terbuka ang memuat titik + sedemikian sehingga interal terbuka tersebut termuat dalam kedua interal tersebut. i, i, karena karena interal interal (+,1 (+,1 tidak tidak memuat memuat titik titik +, maka jelas bah"a interal interal (+,1 (+,1 tidak tidak merupakan persekitaran dari titik + -. Diberikan τ / {∅ , X , { a } , { a , b } , { a , c , d } , { a , b , c , d } , { a , b , e } } adalah topologi pada X / 0a, b, , d, e2. tentukan $(b)3 *
Persekitaran
Pengantar Topologi
4-
&enelesaian 5impunan terbuka ang memuat b adalah X, 0a,b2,0a,b,e2,0a,b,,d2. 5impunan bagian dari X ang memuat X adalah X. 5impunan bagian dari X ang memuat 0a,b2 adalah 0a,b2,0a,b,2,0a,b,d2,0a,b,,d2, 0a,b,,e2, 0a,b,d,e2, X. 5impunan bagian dari X ang memuat 0a,b,e2 adalah 0a,b,e2, 0a,b,,e2,0a,b,d,e2, X. 5impunan bagian dari X ang memuat 0a,b,,d2 adalah 0a,b,,d2, X Dari sini diperoleh bah"a $(b) / 0X,0a,b2,0a,b,2,0a,b,d2,0a,b,e2,0a,b,,d2,0a,b,d,e22 Teoe!" 7.1 Diberikan (X, τ ) adalah ruang topologi pada X dan x ∈ X maka berlaku ". !ika V ∈ $(x) maka x ∈ V. #. !ika V1 ∈ $(x) dan V1 ⊂ V- maka V- ∈ $(x). $. !ika V1 dan V- dalam $(x) maka V1 ∩ V- ∈ $(x). %. !ika V ∈ $(x) maka terdapat 6 ∈ $(x) sedemikian sehingga ∈ 6 ∈ $().
⟹
V
7ukti a. !ika V ∈ $(x) maka V merupakan salah satu persekitaran dari titik x. τ 8enurut de9inisi :.1 maka terdapat U ∈ Sedemikian sehingga x ∈ U ⊂ V Dari sini jelas bah"a jika V ∈ $(x) maka x ∈ V. b. 8enurut bagian a diatas, berarti x ∈ V1 karena V1 ∈ $(x). karena V1 ⊂ V- maka τ sedemikian sehingga x ∈ U1 ⊂ V1 ⊂ V-. terdapat U1 ∈ %ang berarti bah"a x ∈ U1 ⊂ V- sesuai dengan de9inisi :.1, maka V - ∈ $(x). . arena V1 ∈ $(x) maka terdapat U 1 ∈ τ sedemikian sehingga x ∈ U 1 ⊂ V 1 ;;;i) arena V- ∈ $(x) maka terdapat U - ∈ τ sedemikian sehingga x ∈ U - ⊂ V ;;...ii) Dari i) dan ii) maka U 1 ∩ U- ⊂ V1 ∩ V-. τ dan U - ∈ τ maka U1 ∩ U- ∈ τ . arena U1 ∈ %ang berarti bah"a V 1 ∩ V- adalah persekitaran dari titik x. dengan demikian V 1 ∩ V- ∈ $(x). τ sedemikian sehingga x U ⊂ V. d. arena V ∈ $(x) maka terdapat U ∈ !ika diambil 6 / U dan ∈ 6 maka berlaku ∈ 6 ⊂ V. ang berarti bah"a V ∈ $(). Contoh 7.& 1. Sesuai dengan ontoh :.1 a. 7ila V / 0a,b2 ∈ $(b) maka b ∈ V. b. 7ila V1 / 0a,b2 ∈ $(b) dan V- / 0a,b,2 maka 0a,b,2 ∈ $(b). . 7ila V1 / 0a,b2 ∈ $(b) dan V- / 0a,b,2 ∈ $(b) maka 0a,b2 ∩ 0a,b,2 / 0a,b2
∈ $(b). d.
Persekitaran
Pengantar Topologi
4=
5impunan bagian dari X ang memuat 0a,,d2 adalah 0a,,d2,0a,b,,d2,0a,,d,e2, X. 5impunan bagian dari X ang memuat 0a,b,,d2 adalah 0a,b,,d2,X Sehingga $(d) / 0X,0a,,d2,0a,b,,d2,0a,b,,d2,0a,,d,e22 -.
a δ , a? δ , dengan pusat a adalah suatu persekitaran dari a karena interal tertutup ini memuat interal terbuka (a @ δ , a ? δ ) ang memuat a
+ δ
δ
a
−δ
?
δ
a begitu juga, jika p adalah titik dibidang ' -, maka setiap dis tertutup 0A ∈ ' -3 d(p,A) ≤ δ ≠ 0 2 dengan pusat p adalah persekitaran dari p karena dis tertutup itu memuat dis terbuka dengan pusat p dan jarijari δ .
p
p
D
D
=.
Dalam ruang topologi indiskrit (X,!). persekitaran dari titik p adalah hana X. !adi $(p) / 0X2. 5al ini dapat di jelaskan bah"a karena ! /0 ∅ ,X2, maka himpunan terbuka ang mengandung p adalah hana X saja.
Teoe!" 7.&
Suatu hmpunan B adalah terbuka jika dan hana jika B merupakan persekitaran dari setiap titik ang didalamna. 7ukti ( ⇒) misalkan B adalah himpunan terbuka, maka setiap titik p ∈ B manjadi anggota pada himpunan terbuka B ang didalam B. %ang berarti p ∈ B ⊂ B Dari sini B adalah persekitaran dari setiap titik ang didalamna
B p
( ⟸ ¿ misalkan B adalah suatu persekitaran dari setiap titik ang didalamna.
.p Gp
Persekitaran
G
Sehingga untuk setiap titik p ∈ B, terdapat suatu himpunan terbuka B p sedemikian sehingga p ∈ B p ⊂ B. dari sini diperoleh bah"a B / ∪ >0p2 C p ∈ B ⊂ >B p C p ∈ B ⊂ B Pengantar Topologi
44
%ang berarti bah"a B / ∪ >0p2 C p ∈ B dan B adalah terbuka karena gabungan (union) dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. Contoh 7.' 1. Sesuai ontoh :. $(b) / 0X,0a,b2,0a,b,2,0a,b,d2,0a,b,e2,0a,b,,d2,0a,b,,e2,0a,b,d,e22 τ
5 / ϕ Contoh 7. 1. &andang τ adalah topologi pada garis bilangan riil ' ang dihasilkan oleh interal terbuka tertutup (a,b. tunjukan bah"a (', τ ) adalah terpisah (hausdro99). &enelesaian
Persekitaran
Pengantar Topologi
4E
Untuk a ≠ b $(a) / 00a,b2,X2 $(b) / 00b2,0a,b2,0b,2,X2. Untuk Va / 0a,b2, V b / 0b2 Va / 0a,b2, V b / 0a,b2 Va / 0a,b2, V b / 0b,2 Va / 0a,b2, V b / X Va / X , V b / 0b2 Va / X , V b / 0a,b2 Va / X , V b / 0b,2 Va / X , V b / X
maka maka maka maka maka maka maka maka
Va Va Va Va Va Va Va Va
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
V b V b V b V b V b V b V b V b
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Untuk b ≠ $(b) / 00b2,0a,b2,0b,2,X2. $() / 00b,2.X2 ϕ Dengan ara ang sama, untuk b ≠ maka V b ∩ V ≠ Untuk a ≠ $(a) / 00a,b2,X2. $() / 00b,2.X2. Dengan ara ang sama, untuk a ≠ maka Va ∩ V demikian ruang topologi (X , τ ).
Persekitaran
≠
ϕ . Dengan
Pengantar Topologi
