BAB 5 KOMBINASI LINEAR
Disusun oleh : Muhamad Adi Suryana Enrico Firstialis H Nashrudin Muhammad Ihsan Firman Hermawan Wisnu Nefrian
( 121 021 007 ) ( 121 021 039 ) ( 101 021 026 ) ( 121 021 048 ) ( 121 021 021 ) ( 121 021 031 )
Pembahasan
Bebas Linear ( tidak bergantung linear ) dan tidak bebas o Linear ( bergantung linear ) o Basis dan Dimensi Ruang atau Vektor o Dimensi Ruang / Vektor o
Definisi c merupakankombinasi linear dari ā dan b, jikaada1 dan2 sehingga c = 1 .a +2.b Artinya : dalampenyelesaiansuatusoal1dan 2harusmeme nuhiseluruhpersamaan yang ada
Contoh soal Kombinasi Linear 1. Diketahui Vektor di R5 a = ( 3,2,1,-1,4 ) b = ( 1,2,-3,-2,4 ) c = ( 11,10, -3,-7,20 ) Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b ?
Solusinya….. c = 1 a + 2 b 11 3 10 2 −3 = 1 1 −7 −1 20 4
31+ 2 = 11 21 + 2 2 = 10
1 2 + 2 −3 −2 4
1 - 32 = -3 -1 - 22= -7 +
1 - 32 = -3
-52 = -10
-1 - 22= -7
2 = 2
41 + 42= 20
Lanjutan… 1 - 32 = -3 1 – 3(2) = -3 1 – 6 = -3 1 = 3
∴
2. Vektor di R4 a = ( 3,2,4,5) b = ( 2,1,3,-4 ) c = ( 16,10,22,1 ) c = 1 a + 2 b 16 10 = 1 22 1
3 2 4 5
2 1 + 2 3 −4
31 + 2 2 = 16
31 + 2 2 = 16 |x1 |
2 1 + 2 = 10
2 1 + 2 = 10 |x2|
31 + 2 2 = 16 41 + 2 2 = 20 - 1
1 = 4
= -4
Lanjutan… 2 1 + 2 = 10 2(4)+ 2 = 10 8 + 2 = 10 2 = 2
∴
Bebas linear ( tidak bergantung linear ) dan tidak bebas linear ( bergantung linear ) Definisi : Vektora,b, dan c disebuttidakbebas linear (bergantung linear), jikaada1,2,3 yang tidaksemuanyanol, sehingga :
1.a + 2.b+ 3 .c = 0
Bebas linear I. 1=2= 3 =0 (jawab trivial) II. A. x = 0 |A| ≠ 0
Tidak bebas linear . 1 =…. 3 2=….3 (jawab non trivial ) 3=3
II. A. x = 0 |A| ≠ 0
contoh 1 a = (1,3) B = (3,9) apakah a dan b bebas / tidak bebas linear I. b = (3,9) = 3(1,3) b = 3.a ( ada ketergantungan) a dan b tidak bebas linear II. λ1.a+ λ2.b = 0 λ1
1 3 0 + λ2 = 3 9 0
λ1 + 3 λ2 = 0
λ1 = -3 λ2
3 λ1 + 9 λ2 = 0
λ1 = -3 λ2
λ1 = -3 λ12 λ2 = λ2
jawab non trivial
a & b tidak bebas
III.
λ1 +3 λ2 = 0
3 λ1 + 9 λ2 = 0
13 39
λ1 0 = λ2 0
BASIS DAN DIMENSI RUANG ATAU VEKTOR Definisi : vektor a, vektor b dan vektor c merupakan basis di Rn, bila
vektor a, vektor b,dan vektor c bebas linear: Contoh : a=(2,1); b=(3,1) ; c=(4,1) apakah vektor a, vektor b dan vektor c merupakan basis di R2? Jawab: λ₁a + λ₂b + λ3c= 0
λ₁+ λ₂+ λ3=0 2 3 4 λ₁ +λ2 +λ3 =0 1 1 1
1. 2λ1+3λ2+4λ3= 0 x1 ->2λ1+3λ2+4λ3=0 2. λ1+ λ2+ λ3= 0 x2 ->2λ1+2λ2+2λ3= 0 λ2+2λ3 = 0 λ2=-2λ3
2. λ1+λ2+λ3= 0 λ1= λ3 λ2=- 2λ λ3= λ3
mempunyai jawab nontrivial
λ1-2λ3+λ3 = 0 λ1= λ3
Atau λ1= λ3=- λ2≠0
vektor a, vektor b,dan vektor c tidak bebas linear
Karena vektor a, vektor b dan vektor c tidak bebas linear,maka vektor a, vektor b,dan vektor c bukan merupakan basis di R2.
DIMENSI RUANG VEKTOR
Suatu ruang vektor ≠ 0 disebut berdimensi n bila basis
s = (v1, v2, v3 ...vn), dapat dituliskan Dim v=n Untuk ruang vektor = 0 maka Dim v = 0, dan bla tidak ada himpunan yang menjadi basis maka v = ~
CONTOH Tentukan basis dan dimensi dari SPL homogen : X1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 3x1 – x2 + x3 – x4 + x5 = 0 2x1 + x2 – 2x3 x5 = 0 3x1 + x4 – x5 = 0
PENYELESAIAN
Matriks lengkap menjadi : 1 2 -1 0 1 3 -1 1 -1 1 2 1 -2 0 -1 0 0 3 1 -1
0 0 0 0
Dengan OBE diubah menjadi Matriks Eselon sbb: 1 2 1 0 1 0 0 1 -4/7 1/7 2/7 0 0 0 1 7/4 5/4 0 0 0 0 1 11/17 0
Maka didapat harga x 1 s/d x5
X1
−
X2
−
X3 X4 X5
=
− −
295
x5
34
x5
x 5
−
125 7
= − x5
51 2
x 5 x5
Dimana x5 adalah sembarang
11
17
Jadi himpunan SPL
295
125 51 ;− ; ; 11; 17 34 7 2
Maka S adalah basis S=
;−
Dan Dim H = 1
;
;11;17
Terima Kasih
