62 Transformasi Linear
BAB VIII Transformasi Linear VIII.1 Pendahuluan
Suatu fungsi yang yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W ( dinotasikan dengan T : V W ) disebut sebagai transformasi linear bila untuk setiap u , v ∈ V berlaku: 1. 2.
T (u + v ) = T (u) + T (v) T ( k u ) = k T ( u ) , denga dengan n k skalar skalar..
Contoh 8.1.1
Diketahui
2
T : R
3
R
dengan
x − y x T = x , Apakah T merupakan y y
transformasi linear ? Jawab
x 1
x 2
Misalka Misalkan n u = 1 , v = 2 y y Syarat 1
x + x 1 2
u + v = 1 2 maka y + y
x + x − ( y1 + y 2 ) x1 + x 2 1 2 T ( u + v ) = T = x1 + x 2 = y1 + y 2 y1 + y 2
x1 − y1 x1 + y1
x 2 − y 2 x 2 y 2
= T (u) + T (v) Syarat 2
k x
Untuk sembarang sembarang skalar k , k u = 1 k y1
kx − ky1 x1 − y1 k x1 1 T ( k u ) = T = kx = k x = k T ( u ) 1 1 k y1 ky y 1 1 x − y x Kedua syarat terpenuhi , jadi T x = merupakan transformasi linear. y y Contoh 8.1.2
2 x x Apakah T :R 2 R 3 dengan T = x 2 merupakan transformasi linear ? y y 2
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
63 Transformasi Linear
Jawab Fungsi diatas bukan transformasi linear karena tidak memenuhi syarat ke–2
k 2 x1 2 x1 yaitu untuk sembarang skalar k, T( k u ) = ( kx1 ) 2 ≠ k T(u ) = k x12 (ky ) y 1 1 2
2
Beberapa istilah dalam transformasi linear Diketahui ruang vektor V, W - Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama , T : V V disebut operator linear . - Transformasi linear T : V W dengan dengan T( u ) = 0 disebut transformai nol . - Transformasi linear T : V W dengan dengan T( u ) = A u disebut transformasi matriks sedangkan A disebut matriks transformasi.
VIII.2 Kernel ( inti ) dan Jangkauan
Diketahui transformasi linear T : V W dengan fungsi T( u ) , u ∈ V Kernel dari T ( disingkat Ker(T) ) adalah himpunan u sedemikian hingga T(u ) = 0 atau { u | T(u ) = 0 }. Ker (T) juga disebut ruang nol dari T. Himpunan dari b sedemikian hingga T( u ) = b disebut Jangkauan dari T atau disingkat R(T) R.(T) disebut juga dengan bayangan u oleh T( u ) Contoh 8.2.1 Tentukan basis dan dimensi dari Ker(T) dan R(T) dari transformasi linear
T : R 3 R 2 dengan T( u ) = A u , dengan u
∈ R 3 dan
1
A= − 2
−1 2
2
− 4
Jawab
a. Kernel Ker(T) adalah ruang nol dari T( u ) = A u = 0 . Jadi Ker(T) merupakan ruang solusi dari SPL A u = 0 . Dengan melakukan eliminasi Gauss– Jordan
s − 2t 1 − 2 didapatkan solusi SPL adalah u = s = 1 s + 0 t t 0 1 1 − 2 Jadi basis Kert(T) = 1 , 0 dan dim Ker(T) = 2 0 1
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
64 Transformasi Linear
b. Jangkauan R(T) merupakan himpunan dari b dengan A u = b . Kalau kita perhatikan maka R(T) merupakan ruang kolom dari A. Dari eliminasi Gauss – Jordan
1 −1
2
0
0
pada A didapatkan A ~ …~ 0
1
Jadi basis R(T) merupakan basis ruang kolom A yaitu : dan dim R(T) = 1. − 2 VIII.3 Matriks transformasi
Ketika membahas masalah transformasi matriks , maka hal utama yang ingin diketahui tentunya adalah bayangan suatu vektor dari transformasi tersebut dan matriks transformasinya . Penentuan matriks transformasi tergantung dari faktor – faktor yang diketahui. Contoh 8.3.1 Misal { v 1, v 2, v 3 } merupakan basis R 3. Transformasi linear T : R 3 P2 memiliki fungsi T( v i ) = w i dengan v 1= ( 1,1,–1 ) , v 2 = ( 0,1,–1 ) , v 3 = ( 0,0,–1 ) , p(x) = 1 – x +x2 , q(x) = 1+ 2x2 r(x) = 2x – x 2 . a. Tentukan matriks transformasi A sedemikian hingga A v i = w i ! b. Tentukan bayangan ( 1,2,1 ) dari transformasi tersebut !
c.
− 1 Jika [ z ]A = − 1 , tentukan bayangan z ! 1
Jawab A v i = w i , jika B =[ v 1 v 2 v 3 ] dan C = [ p(x) q(x) r(x) ] maka AB = C Karena v 1, v 2, v 3 basis R 3 , maka B bujursangkar dan B –1 ada sehingga didapatkan A = CB –1 . Pada soal diatas
a.
1 0 0 B = 1 1 0 , C = − 1 − 1 − 1
1 − x 2 x
2 x − x 2
1
0
0 2 x 2
1 0 0 Kemudian B dicari dan didapatkan B = − 1 1 0 0 − 1 − 1 –1
1 0 Jadi A = CB = − x − 2 x − x 2 − 2 x 2 –1
–1
− 2 x x 2 0
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
65 Transformasi Linear
b.
Bayangan dari ( 1,2,1) adalah 1 1 1 0 T 2 = A 2 = − x 2 − 2 x2 1 1 − x − 2 x
c.
− 2 x x 2 0
1 2 2 = − 5 x = 2 –5x –4x2 1 − 4 x 2
− 1 [ z ]B = − 1 berarti z = – v1 − v 2 + v 3 , bayangan z dapat ditentukan 1 dengan beberapa cara , yaitu : 1. T( z ) = A z , dengan A adalah matriks transformasi pada jawaban (a)! 2.
− 1 dapat dicari tanpa menggunakan A . Karena [ z ]A = − 1 = k , 1 maka
z = B k sehingga T( z ) = T( B k ) = ABk = C k . Jadi
1 T( z ) = C k = − x x 2
1 0 2 x 2
2 x 2 − x 0
− 1 − 1 = 1
−2 3 x = −2 +3x – 4x2 − 4 x 2
Matriks baku / standar
Misal transformasi matriks T : R n R m dengan T( x ) = A x memiliki basis standar S = { e 1, e 2,… , e n } . Maka matriks transformasi dari transformasi diatas ( matriks standar untuk T ) adalah A = [ T( e 1) T( e 2) … T( e n) ] Contoh 8.3.2
2 x + 2 y x x − y 3 4 , Diketahui transformasi matriks T : R R dengan T y = x + z z y + z Tentukan matriks standar untuk T !
Jawab
2.1 + 2.0 2 2 0 1 0 0 1− 0 = 1 , T [e2 ] = T 1 = − 1 , T [e3 ] = T 0 = 0 T [e1 ] = T 0 = 1 + 0 1 0 1 0 1 0 1 + 0 0 0 1
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
66 Transformasi Linear
2 2 1 − 1 Jadi matriks standar untuk T = A = 1 0 0 1
2 x + 2 y x 0 dengan A y = x − y x + z 1 z 1 y + z 0
Matriks Transformasi terhadap basis A dan B
Diketahui ruang V,W dengan dimensi ruang vektor berturut–turut n dan m dan transformasil linear T: V W dengan fungsi T( x ) , x ∈ V. Jika A,B merupakan basis V,W maka untuk setiap x ∈ V dapat ditentukan [x ]A
[x ]A ∈ V. [T( x )]B ∈
dengan dengan
Karena T( x )
∈V
maka juga dapat ditentukan
[T ( x )]B
B.
Sekarang misalnya dimiliki transformasi linear yang lain T: V W dengan fungsi T( [x ]A ) = [T( x )]B = D [x ]A , maka matriks transformasi dari transformasi linear diatas ( D ) disebut matriks T terhadap basis A dan B. Menentukan matriks T terhadap basis A dan B.
a11 a Misal D = 21 : a m1
a12
:
a m2
a 22
:
a m2
, A = { a 1, a 2,…,a n } , B = { b 1, b 2,…,b n } : : : a m 2 ... a m1 a11 a Maka untuk x = a 1 didapatkan T( [ a 1]A ) = D [a 1]A = D e 1 = 21 = : a m1
[T(a 1 )]B
, kalau diperhatikan secara seksama maka vektor ini merupakan
kolom pertama dari D. Secara umum matriks Transformasi (T) terhadap basis A dan B
=
[ [T(a 1 )]B [T(a 2 )]B ...[T (a n )]B ]
.
Jika transformasi linear bekerja diruang vektor yang sama , T : V matriks T terhadap basis A =
V , maka
[ [T(a 1 )]A [T(a 2 )]A ...[T (a n )]A ]
Contoh 8.3.3
y x = − 5 x + 13 y Diketahui transformasi linear T : R R = dengan T y − 7 x + 16 y 2
3
Jika A = { (3,1), ( 5,2) } dan B = { ( 1,0,–1) , ( –1,2,2 ) , ( 0,1,2) } berturut – turut merupakan basis R 2 dan R 3 . a.
Tentukan matriks T terhadap basis A dan B !
b.
Untuk x = ( 2,1 ) , tentukan T([x ]A ) !
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
67 Transformasi Linear
Jawab
a.
Misal D
adalah matriks T terhadap basis A dan B , maka D =
3 5 T T 2 1 B B 3 T = 1
1 − 2 , − 5
2 5 1 T = 2 − 3
1 1 3 T = − 2 = ... = 0 , 1 B 5 − 2 B
2 5 T = 2 1 = …= − 3
3 1 − 1
1 3 Jadi matriks T terhadap basis A dan B = 0 1 − 2 − 1
b.
k [x ]A = 1 k
2
3 1
2 k − 1 = didapatkan 1 = 2 k 2 1 k 2 1
5 k 1
1 3 2 − 1 Jadi T( [x ]A ) = 0 1 = 1 1 − 2 − 1 1
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
68 Transformasi Linear
Latihan 8
1.
Periksa apakah T : R 3
a P2 dengan T b = (abc ) +(a+b)x +(a+c)x2 c
merupakan transformasi linear ? 2.
a a + b Periksa apakah T : R M22 dengan T b = c a − b 3
c −b
merupakan 2b + c
transformasi linear ? 3.
V dibangun oleh vektor – vektor yang orthonormal Periksa apakah
proyeksi orthogonal
z
a 1, a 2, …,a n .
terhadap V merupakan
transformasi linear ! 4.
Diketahui transformasi nol T: R 3
R 2 , dengan T( x ) = A x . Tentukan
basis dan dimensi dari ker (T) dan R(T) ! 5.
Diketahui transformasi matriks T : R 4
1 transformasi D = 2 0
0
−1
2
1
2
3
R 3 memiliki matriks
2
. Tentukan basis dan dimensi dari ker − 3 1
(T) dan R(T) ! 6.
Transformasi linear T :R 2 R 3 memiliki fungsi transformasi T( a i ) = bi dengan
a 1 = ( 2 , 1 ) , a 2 = ( 3 , 2 ) , b 1 = ( –1,2,2 ) , b 2 = ( –2,1,2 ) .
Tentukan Tentukan basis dan dimensi dari ker (T) dan R(T) ! 7.
Transformasi linear
T : R 2
a T = (a + b) + ( 2a − b) x b
+ (a + 2b) x 2 . Tentukan basis dan dimensi dari ker
P2
memiliki fungsi transformasi
(T) dan R(T) ! 8.
Transformasi linear T :R 3
R 2 memiliki fungsi transformasi T( a i ) =
b i dengan a 1 = ( 1, 0 ,1 ) , a 2 = ( 0 ,1, 0 ) , a 3 = ( 0,1,–1 ) , b 1 = ( 1,3 ) ,
b 2 = ( –1,1 ), b 3 = ( 1,1 ). Jika A = { a 1, a 2, a 3 } basis R 3 dan
B = { b 1, b 2 } basis R 2 . a.
Tentukan basis dan dimensi dari ker (T) dan R(T) !
b.
Matriks T terhadap basis A dan basis B !
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
69 Transformasi Linear
9.
c.
T( [x ]A ) , dengan x = ( 2,1,2 ) !
d.
T( [x ]A ) , dengan x = –3a 1 + 2 a 2 – a 3
Transformasi linear T : R 2
a a + b b = b
T
1 0
dan W =
M22 memiliki fungi transformasi
. Jika A = { ( 1,1 ), ( 0, –1 ) } merupakan basis R 2 a − b a
0 0 , 1 1
1 1 , 0 0
− 1 0 1 , adalah basis M22 . 1 1 − 1
a. Matriks T terhadap basis A dan basis M ! b. T([x ]A ) , dengan x = ( 2,–2 ) !
10.
Transformasi linear
T : :R 2
a T = (a + b) + ( a − b) x b
+ (2a + 2b) x 2
P2
memiliki fungsi transformasi
a. Matriks T terhadap basis A dan basis M ! b. T([x ]A ) , dengan x = ( 2,–2 ) !
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
