BAB 4 Turunan

BAB 4 TURUNAN Latihan Kompetensi Siswa 1 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. A.

y x2 4 x 3 , pada titik  2 ,1 f h 2  f  2 m tan lim h h 0

lim

h 22 4h 2 3   2 2 4  2 3

lim

h 4h 4 4h 8 34 8 3

h

h 0

2

h0

h

lim h 0 h0

5. C. f  x x2 x 4 df  4 f /  4 dx f 4 h  f  4 lim h h 0 2  4 h  4 h  4 4 2 4 4 lim h h 0 2 8 h h h lim 7 h h 0



6. E.

g x 2 x 3 dg  2 / g  2 dx g 2 h  g  2  lim h h 0 3 3 2  2 h 2  2  lim h 0 h 2 12h 6 h h 3 lim 12 h h 0



2. D.

1  1 y , pada titik  1,  x 1  2 f c h  f  c msec  h 1 1 1 1 1h 1 11 h 2 2 h h 2 h 2 1   2h h 2  2 h 2 



7. C.

4 f  x  5x

5 4 2 h 0 h 8  4h 8 lim h 2 h  0 10h 4 1 lim  0,2 h  0 10 h 2 5

f /  2 lim

3. A.

y 3 x , pada titik  8, 2

8 h 3 8 3 8 h 2  h h 8 h 2 6 h  3  h 8 h 2 2h h 3 8 h 3

msec 





4 5 2 h 

f /  2 0,2  0,1 2 2



8. E.

4. A.

f  x 1 x , pada x 3 f 3 h  f  3 / f  3 lim h h0 2 1  3 h 1 32  lim h h 0 2 6h h lim h h 0 lim 6 h 6 2

f  x x 2 8x 5 , pada titik P 1, 4

mtan lim

2  1 h 8 1 h 5 12 8 15

h0

h

2 h h 8h 10 h h 0

lim

2

Maka gradient garis yang tegak lurus

1 10

terhadap f  x pada titik P adalah  atau 0,1

h 0

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 144

9. B.

f  x 2 x 2 2



df  x 2 x h2 2 x 2 2 lim dx h h 0 2 4 xh 2 h lim 4 x h h 0 2



x p 2 1 x2 1

lim

2

dy lim dx h  0

2 x h 1



2xp p 2x p h 0

h

2 x 1  x h 1

15. A.

f  x 4x

x 1  x h 1

x h 1 x 1 x 1 

3

2

4 x h 2 4 x 2 1 f  x lim 6 x 2 h h 0 3

x 1  x h 1  2

h0

2

lim

2 x 1

  lim x h 1 x 1 h  0 h  lim

p

h 0

x 1



14. D.

f  x x 2 1 f x p  f  x lim p h0

10. E. y

dg 2 3 2 4 2 3 17 dx

3

/

x h 1



1

2 1  1  f  6  2 9  9 

/

1

x 1x 1

16. D.

11. D.

T  x 3 x 2 2ax 7 , T /  10

P  x x 2 x , pada x 6

 

df  6 6 h 6 h 6 6 lim dx h h0 2 12h h h lim 11 h h 0 2

2

12. B. T  x 5 x3 2 x 2 3 x 4 , x 2 3 2 5 x h  2  x h  3 x h  





dT 4 5 x 2 x 3 x 4 lim dx h  0 h 2 15 x 4 x 3 Untuk x 2 , maka dT 2 15 2 4 2 3 71 dx 3

2

3 x h 2a  x h  7  2

3x T  x lim h 0

g  x x3 2 x 2 3x 5 , x 2

3 2 x h  2 x h   3 3 x h5 x 2 x 2 3

dg lim dx h  0 h 2 3 x 4 x 3x 2 Untuk x 2




2ax 7 h

6 x 2a / T  10 6 2a 0 a 3 / T  2 6 2 2 3 6 17. A. R x 

2 x

R  x lim /

h 0

2 x h

2

h



x



2 x  x h x  x h  2  x  x h h  0 h  x xh    1  x x 2 2x R x 2xR /  x   0 x x x lim

13. C.

2

/

Bab 4 | Page 145

Untuk x 3  m 25

18. C.

T t  t

x 1,5  m 5,75 x 0,3  m 1,73

3

t h 3 t h h0 1 1 3  3 3 t 2 3t t 1 T t  / 3 t 3 t 2 3 t 3t T  t T / t lim

3

19. B. y 3x 2 5 x 7 ,

b. y x 2 3 x 2 m lim

h0

2x 3

Untuk x 2  m 7 1 x 1  m 0 2 1 x 2  m 2 2





2 3 x h 5 x h7 3x 2 5 x 7 h h0 6 x 5 Untuk P 1,1 , maka gradien garis singgung : m 6 5 11

m lim

20. C.

K  x nx 3 9x 2 , K  10

3 n x h 9 x h 2



nx 3 9x 2 h h0 2 3nx 9 / K  1 0  3n 9 0 n 3 2 / K  19 19 0 K /  x lim

h

2

P 1,1

Gradien garis singgung :

x h2 3x h 2 x 2 3x 2 



B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. y x 3 1

1 x 1

3. y 

Gradien garis tangen

x11 1  h x 12 h 0 1  1 Untuk titik  1, , maka : m  4  2 m lim

1 xh 1

Karena garis normal tegak lurus garis tangen gradien garis normal :

1 mnormal  1 4 4 2 x 2

4. y 

Gradien garis tangen

x 22 2  2 h h 0 x 2  Untuk titik  0, 1 , maka : 2 1 m   2 2  0 2 m lim

2 xh 2

gradien garis normal pada titik :

1 mnormal  1 2 2

5. a. y 6 x 8

6 x h  8  6 x 8  h 0 h 6h lim 6 h0 h

y / lim

2. a. y x 3 2 x

m lim

3 x h  2 x h   x 3 2 x 

h 0

h

3 x 2 2


Bab 4 | Page 146

b. g  x x 2 3

g  x lim /

x h3 x 2

2

3



h

h 0

2 xh 2 x h0 h c. y 5 x 2 9x 10 lim

2 5 x h  9 x h  10 

5 x



9x 10 h0 h 2 10xh h 9 h lim 10x 9 h0 h 2 d. a 9 8x 2 x 2 9 8 x h  2 x h  y lim /

a / lim

2

9 8 x 2 x  2

h0

h 8h 4 xh 2h2 lim 8 4 x h0 h 3 e. a 2 y 5 y 8



2 xh h 2 h   lim     h 0  h hx  x h   1 2 x  2 x

3 2 y h  5 y h  8 

2 y



5 y 8 h0 h 2 2 6 y h 6 yh h3 5h lim h0 h 2 6 y 5

a / lim

3

6. a. R x 3

1 x

R /  x lim

 3   3  1 x h

1 x

h x  x h 1 lim  h  0 hx  x h  x 2 8 b. R  x  x 4 8 8 R /  x lim x h 4 x 4 h0 h x 4 x h 4   lim h  0 h x h 4 x 4 8  x 42 1 c. R  x 3  x 4 4 2 2 x / xh  R  x lim h0 h h 0




4 x 2 x 2 2 xh h 2 lim 2 h0 hx 2  x h  8x 8  4  3 x x x 3 3 d. R  x  1  x x 3  1 x h   1 3x  R /  x lim h h0 3 x  x h   3 lim  2 hx  x h x h0 1 2 e. R x x  x x h2 x 1h  x 2 1x  R /  x lim h 0 h 2 2 xh h  x  x h  lim     h  0 h hx x h 

f. R  x   1 x

3

x

2

 

 x 1h x 3h 2   1x x32   R  x lim h 0 h 2  x  x h x 2  x h  lim   3 2 2  hx  x  h  h0 hx  x  h    2   h 2 xh h  lim  3 2 2   hx  x  h  h 0  hx  x h  1 6  2  3 x x /



x 1 g. R x  x R /  x lim



x h 1 

1 x  x

xh

h x xh x  x2 hx x h lim h  x x h  h0 h 1 lim  2 2 h  0 h x xh x h0



2







6 x 5

h. R  x 

R /  x lim

h0

x 65 h

6 x h 5

Bab 4 | Page 147

6 x 5 x h 5 x 5  x h 5 h  0 h 6  x 52

4 x 1 x h 1 4  2 x 1 x h 1 x 1 h  0 h

lim

lim

7. a. y x2 4 x ;  1,3

Untuk  2 ,4  ,

1 g. y x  ;  1,0  x













dy  x h 4  x h  x 4 x lim dx h  0 h 2 2 xh h 4 h lim 2 x 4 h 0 h dy Untuk  1,3, 2 dx b. y 4 x x2 ;  2 ,4 2

2

dy 4 x h   x h 4 x x2 lim dx h  0 h 2 4h 2 xh h lim 4 2 x h 0 h dy Untuk  2,4  , 0 dx c. y x 3 x 2 ;  1,2 2

dy  x h  3 x h x 3 x2 lim dx h  0 h 2 h 6 xh 3h lim 1 6 x h 0 h dy Untuk  1,2  , 5 dx d. y 4 x 5 x2 ;  2 ,12 2



dy 4 x h  5 x h 4 x 5 x2 lim dx h  0 h 2 4h 10 xh 5h lim 4 10 x h 0 h dy Untuk  2,12 , 16 dx 2

1 x

dy x h x 1h x 1x  lim dx h  0 h  x hx x  x h lim     h0 h h  x x h  1 1  2 x dy Untuk  1,0  , 2 dx

1 h. y  ;  1,1 x 2 3 3 dy lim x h 2 x 2 dx h  0 h 3 x 2 x h 2  3 lim  2 h  0 h x 2  x h 2  x 2 

Untuk  1,1 ,

dy 1  dx 3

8. a. f  x  1 9 x ; x 7 1 9  x h  1 9 x  h 1 9  x h  1 9 x

f /  x lim

h 0

1 9  x h  1 9 x 1 9 x 9 h 1 9 x



e. y  3 ;  1,2

dy lim dx h  0

dy 4 dx

x1 h 3  1x 3

h x  x h 1 lim  h  0 hx  x h  x 2 dy Untuk  1,2, 1 dx 4 f. y  ;  2,4  x 1 4 4 dy lim xh 1 x1 dx h  0 h Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

lim

1 9x h x 9x 

h0h

9  2 1 9 x 9 9 f /  7   2 64 16

b. h  x 4x 2 5x 3 ; x 1

2 4 x h 5 x h





3 4x 2 5 x 3 h 0 h 2 8 xh 4h 5h lim 8x 5 h0 h

h /  x lim

h/  1 13

Bab 4 | Page 148

2 c. T  x  3 ; x 6 x T  x lim /

2

x h 3

1 P /  7  4

g. g  x x 2 2 x 4

x23

h 3 2 x x3 3 x 2 h 3 xh2 h 3 lim 3 h 0 hx3  x h  6  4 x 1 T /  6  216 h0





d. K  x  x2 9 ; x 5 K  x lim /

x h 2 9 

h0

x 2 9

h 2 x h  9  2 x h  9 



x2 9

 

e. V  x 

1 ; x 3 2 x 3 1  1 2 x h  3 2 x 3 / V  x lim h h 0

2 x 3  2  x h  3  h  0 h 2 x h  3 2 x 3







2 x 3  2 x h  3 2 x 3  2 x h  3

2 x 32 x 3

h0



x  1 x 2     g  x lim  h h 0 /

h 2 1  x h  1 x 2   lim    h h0 h       2 2 2  h 1  x  2 xh  h  1  x  lim   2 2  h  0 h h 1  x h  1 x       x 1  2 1 x

a. g /  0 1 

0 1 0 2

1

b. g tidak mempunyai turunan pada x 1 , karena untuk x 1 , g /  x tidak terdefinisi

1. R  x ax bx c 2

R 12 R /  0 0 R /  12

x h 2  h

2 x 2

a x hb  x h  c  2



R /  x lim

2 x h  2  2 x 2 2 x h  2  2 x 2

2 x 2h 2 2 x 2 h  0 h 2 x h  2  2 x 2

lim

10. g  x x  1 x 2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

2 V /  3  27 f. P x  2 x 2 ; x 7 P  x lim



2

1



/

x

2 x 4 h h 0 2 2 xh h 2h lim 2 x 2 h h 0 g /  0 2 / g  10 / g  2 2 g /  x lim

x h  1 x h 2 

x2 9

x 2 3 xh h 2 9 x 2 9 lim 2 h 0  h  x h 9  x 2 9     x  x 2 9 5 5 K /  5   2 5 9 4

lim

2  x h  2 x h4 



h0



1 2 x 2


ax

2



bx c h

2ax b R 12  1 b c 2 …..(1)

R /  0 0  c 0 …..(2) / R 12  2a b 2 …..(3)

Bab 4 | Page 149

Dari (1), (2), dan (3)

f a x h  f ax  h h 0 f  b f  b b. f /  b lim 0 h h0

2. a. f

ax lim

/

c. f /  ax b  lim h 0

f a x h  f  ax b  h







2 f 3 x h 1 f 3x 2 1 3. a. f / 3x 2 1 lim h0 h







  

f 3 x h f 3 x 2 b. f 3 x lim h0 h /

  2

2

x h3 3x h2 2x h 

2

h0

4. f /  x lim

t x t 3t  x 2 3x a. f /  x lim tx t x 2 t x 2 3t 3 x lim tx t x  t x   t x  3 t x  lim t x tx lim   t x  3 2 x 3



2









tx



t 3 5t x 3 5 x t x t x 3 3 t x 5 t x  lim tx t x  t x t 2 tx x 2 5 t x  lim tx t x 2 3x 5 t x c. f /  x lim t5 x5 tx t x tx 5t  tx 5x  lim t x   t 5   t 5  tx  b. f

/

 x lim











2

h

tx

2

3x 6 x 2 2 2 3x 6 x 0 x 3 x 60 x 0 atau x 2

2

f t f  x

3

b. f /  x 2

2

2



5 x 3x 2 x 5 h h0 2 3x 6x 2

a. f /  x lim

 h  0 f 3x hh1f 3x 1 f x h3f x 3 f x 3 lim 

2

c. f / 3x 2 1 lim d.

5 t x  t x   t 5  x 5 tx  5  x 52 t 3 3 x / x d. f  x lim t tx t x xt 3 x  tx 3t  lim xt  t x  tx 3 t x  3 lim  t x  xt x 2 tx  5. f  x x 3 3 x 2 2x 5 lim

a b 2 2a b 2  a 0 a 0 b 2  R x 2x

6. g  t  2t 

2 t



2 2 t h  t  dg  t h  2t  lim dt h h 0 1 2   2t 2t t dg  1 1 2   dt 2 2

2 t



dg  4 1 2   dt 2 2 16

dg  25 1 2   dt 5 2 50

7. T  x 2 x3 4 x 2 x

3 2 2 x h 4 x h  

T  x lim /

x h  2 x 3 4 x 2 x  h

h 0

6 x 8 x 1 2 T  0 6 0 8 0 1 1 2

/

T/ 1 6 18 1 1 13 2

T/ 2  6 28 2  1 7 2


Bab 4 | Page 150

x 1 x 1 1   2 x 1  x 1 x 1 x 1 1 1 dy 1 xh   1 x  1 lim  dx h  0 h x 1 dy 1 1  1 dx x 1 x 1 1  x 2

8. y 

dy 1 2x x 2 dx dy 0  x 2 2 x 1 0 dx x 12 0 x 1 0 x 1 10. y  1 ax  3

h

h2 2h lim 2 h0 h

Karena garis normal tegak lurus garis tangen, maka gradien garis normal : 1 mnormal  2

1 xy 1  y  x Gradien garis tangen y :

x  x h h x h  h0 h  0 hx  1 1 lim  2 x h  x h  0 x x h x 1

lim

1

lim

 1  2

Gradien garis singgung pada titik  2, :

1  4  2

m 

dy 2 3a 1 ax  dx dy 0 dan x 0 dx 2 3a  1 ax 0 1 ax 0 ax 1 1 x  a Agar x 0 maka a 0

1

2

Gradien garis normal :

mnormal 4 4. A.

y 4 x 2 , titik  3,  5


 

4  x h 4 x 2 m lim h h0 2 2xh h lim 2 x h0 h 2

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

y x 3 16 x 2 18 x 3 Gradien garis singgung untuk x 1

3 2  1 h  16 1 h  18 1 h   3 2 3   116 118 1 3

h0

3 h 2 43 h3   3 2 4 3 3

3. E.

x3 3

9. y x x 2 

m lim

m lim

h

h3 2h 2 11h 11 h h0

Persamaan garis singgung pada titik  3,5

y 5  2 3 x 3 6 x y 13 0

5. B.

y  x 3

Gradien garis tangen :

m lim

h0

lim

lim

2. B.

y x 2 4 x 3 , pada titik  3,0 

Gradien garis tangent y :

l : 3 x 6 y 4 0

h0

lim

h0

x h3 

x 3

h x h 3  x 3

  x h 3  x 3  h 1 1  x h 3  x 3 2 x 3

h0


Bab 4 | Page 151

Gradien m sejajar garis l : 3x 6 y 4 0

1 y 4   x 4 2 1 y  x 2 2

1 4 1 L : y  x   m mL  2 3 2 Maka :

Persamaan garis singgung tersebut memotong sumbu x jika y 0

1 1  2 x 3 2 x 3 1  x 4, y 1 mnormal tegak lurus m : mnormal 2

1 0  x 2  x 4 2  Persamaan garis singing tersebut memotong sumbu x pada titik  4,0

Sehingga persamaan garis normal :

y 1 2 x 4  y 2 x 9

8. C.

1 y  pada abis 2 x Gradien garis singgung :

6. C.

1x h0 h x  x h  1 lim  x h x 2 h  0 xh 1 1 Untuk x 2 , maka m  , y  4 2 mnormal 4

1 y 2 x 2  x

m lim

Untuk x 1  y 2 1 1 2


1 1





2 x hx1h 2 x 1x m lim h h0 2 4 xh h h lim  h0 h hx  x h  2 4x  2 x Untuk x 1  m 5 Persamaan garis singgung pada x 1 y 1 5 x 1 y 5x 4 2

2

Maka persamaan garis normalnya :

1 y  4 x 2 2 2 y 1 8x 16 8 x 2 y 15 0 9. D.

S f  t 4t 2

Kecepatan rata – rata merupakan total jarak dibagi waktu tempuh

7. D.

y 2 x pada abis x 4 Gradien garis singgung :

2 x h 2 x h0 h 2 x h 2 x 2 x h 2 x lim h0 2 x h 2 x h 4 lim h  0 2 x h 2 x 4 1   4 x x 1 Untuk x 4  m  , y 4 2 Persamaan garis singgung pada x 1 m lim









1 x h




 f 4,5  f  4 V 4,5 4 4 20, 25 16 m  34 detik 0,5

10. D.

S f  t 3t 2 6

Kecepatan rata – rata pada interval

3 t 4 2 2  3 4 6 3 3 6 V  21m detik 4 3





11. D.

S f  t 5t 2

Kecepatan sesaat pada t 5 Bab 4 | Page 152

2  5 t h5t 2 V lim h0 h 10th h 2 lim 10t h h0 10 5 50 m detik

Gradien garis tangen :

m lim

3 x h  4 x h  x 3 4x 

h 3hx 3h x h3 4h lim h0 h 2 3x 4 h0

2

2

Garis normal dari y sejajar l , maka :

12. E.

1 mnormal  , sedangkan : 8 m 8 3x 2 4 8 3x 2 12 x 2 4 x 2 atau x 2

S f  t 5t 2 25t 30 V t S  t V t  10t 25 Saaat menyentuh tanah S 0 5t 2 25t 30 0 5t 5 t 6 0 t 6 Bola menyentuh tanah pada akhir detik ke – 6

V  6 10 6 25 35 meter

detik  kecepatan sesaat bola sebelum menyentuh bola adalah 35 meter detik 13. D.

S f  t t  t 1 , 0 t 10   t h   t h 1 t  t 1 V lim h0 h 2 2th h h 15 lim h0 h 15 2t 1 t 8 detik

Karena yang diminta adalah yang melalui abis positif, maka dimabil x 2 x 2 , maka y 0 Persamaan garis normalnya :

1 y 0   x 2  8 8 y x 2 x 8 y 2 0

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. Persamaan garis singgung a. y 9 x 2 ;  1,8





9  x h 9 x 2x h h0 2

m lim

2

Persamaan garis singgung :

14. A.

1 Q  t 2 4t 2 2 1 t h 4 t h  12 t 2 4t 2 V lim h0 h 1 2 th 4h 2 h 16 lim h0 h 16 th  40 t 12 detik





15. A.

y x 3 4 x 1 l : x 8 y 8 0  y   x 8 8 1 mL  8 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

y 8 2 1 x 1 y 2 x 10 0 b. y 4 x ;  2,8 4 x h  4x m lim 4 h0 h Persamaan garis singgung :

y 8 4 x 2 y 4 x 0

c. y  x ;  4, 2

m lim

h0

x h  x 1  h 2 x


Bab 4 | Page 153

i. y x3 2x 2 4 ;  2,4

1 y 2  x 4  2 4 4 y x 4 0 1  1 d. y  ; 1,  4x  4  1 1 1 m lim 4 x h  4 x  2 h 4x h0

2 2 x h  2 x h  



e. y 7 6x x 2 ;  0,7

7 6 x h   x h 2

7 6 x x  m lim 2

h

y 7  2 0 6 x 0 y 6x 7 0 f. y x 2 6 x 9 ;  1, 4

2  x h  6 x h  9  x 2 6 x

h

h0

2 x 6 Persamaan garis singgung : y 4  2 1 6 x 1 y 4 x 0

1  1 g. y  2 ;  1,  2x  2 1 1 2  2 1 2 xh  2x m lim  3 h x h0 Persamaan garis singgung :

1 1 y   3  x 1 2  1 2 y 1 x 1 2 y x 2 0

8 2 y 8   4  x 4 8 y 3x 4 0 2. y 2x 3

h

h0




y 18 3 3 3  x 3 y 24x 54 0 2

L 8x y 3 0 atau y 8x 3 Gradien garis singgung :





2 x h3 2 x 2 3 4 x h0 h

m lim

2

Karena garis singgung sejajar L, maka :

m mL 4 x 8x x 2 dan y 11 Persamaan garis singgung adalah :

y 11 8 x 2 y 8x 5 0

3. y 3 x 2 8 Gradien garis singgung :





3 x h8 3 x 2 8 m lim 6 x h h0 3

y 4 6 2 x 2 y 12 x 20 0

3 x h 3 x h   x 3 3 x




Persamaan garis lurus yang dimaksud adalah :

h. y x3 3x ;  3,18

m lim

2

2


m lim



y 4 3 2 4 2  x 2 y 4 x 4 0 1 j. y  x 3 ;  4,8 8 3 3 1 x h  18 x 3 m lim 8  x2 h0 h 8

1 1 y   2  x 1 4 4 1 4 y 1 x 1 4 y x 2 0

h0





2 x 6



4 x 3 2 x 2 4 h h0 2 3x 4 x

m lim

4. A 3,2

y 7 x 2  y x 2 7 Gradien garis singgung y :

m lim

h0


2 x h  7  x 2 7 

h

2 x

Bab 4 | Page 154

Persamaan garis singgung melalui A :

y 2 2 3 x 3 y 6x 16 0

5. S f  t 4t 2 (S dalam meter, t dalam detik)

4 4,14 4 a. V  4,1 4 16,81 16  8,1m detik 0,1 2 2  4 4 h 4 4 b. V lim h h0 32h h 2 lim 32 m detik h h0 2

6. S f  t 3t 1



7. a. S 8 t 2 ; t1 5

63 m







3 2  4 h   4 h  9 4 h   2 3 4  4 3 4 9 4 ?

h

d. S  t 1 ; t1 3 h0

3 h 1  h

a. V  t1 lim

24t1 10t1 2

h 24 20t1 b. V  t1 48 24 20t1 48 20t1 24 24 6 t1   1,2 detik 20 5 C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. S f  t 2t 2 2 a. Kecepatan rata – rata selama 2 t 3





2 3 2 2 2 2 V  10 m detik 3 2 2

2





2 2 h2 2 2 2 b. V  8 h 2 h 2 2 2  2 2 h 2 2 2 2 c. V  2 lim h h0 8 m detik 2

2





2. S  t a. kecepatan pada saat t c , c 0 h0

3 1



h0

 V  c lim

detik

 V lim

h

h0

f. S 2t 3 3t 2 12t 8 ; t1 4

detik S 24t 10t 2 2 24 t1 h  10 t1 h 

c. S t 3 3t 2 9 t 4 ; t1 4

h0

4  25

8. VO 24 m

2 2  8  5 h 8  5 V lim h h0 2 10h h lim 10 m detik h0 h 1 1 b. S  ; t1  4t 2 1  11h   1 4 h 4 1  2 V  lim 2 2 m detik h 2  h  0

 V  4 lim

1 1  22







1 2 1 2 h 

 8 2 4 3 3 4 2 12 4 8 V lim h h0 m 60 detik

2 3 3,5 1 3 3 2 1 3,5 3 6,5 m detik 2 2  3 3 h 1 3 3 1 b. V lim h h0 2 18h h lim 18 m detik h h0



 V  2 lim

3 2 2 4 h 3 4 h  12 4 h

2

a. V 

1 ; t1 2 1 t 2

e. S 

c h  c 1  h 2 c

1  2


Bab 4 | Page 155

 t  5 1  V  t negatif, maka partikel

1  1 1 b. V    6 6  2 16 2  Kecepatan

bergerak ke kiri

1m saat detik 6 detik

1 ke 6 2

2 0,2 t h  0,09 t h 



3. P t 120t 2 2t 3 , 0 t 40

120 t h 2 t h  2



3



2  120 t 2 t V t lim h0 h 2 240t 6t  2 V 10240 10  6 101.800  2 V 20240 20 6 20 2.400  2 V 40240 40 6 40 0

4. a. S f  t t 3 3t 9t 4

3 2 t h  3 t h  9 t h 





 4 t 3 3t 2 9t 4 V t lim h0 h 2 3t 6t 9 3 t 3 t 1  t 1  V  t negatif, maka partikel  bergerak ke kiri t 1  V  t 0 , maka partikel berhenti  t 1  V  t positif, maka partikel bergerak ke kanan

1 t b. S f  t  2 4 t 1 t h  1t  2  2 t 2 2t 4 4 t 4 t h  V t lim  2 h0 h 4 t 2

 

t 5 1t 5 1



 

4t  2 2

t  5 1  V  t negatif, maka

 

partikel bergerak ke kiri

 t  5 1  V  t nol, maka partikel

 

5. W  t 0,2t 2 0,09t (t dalam Minggu)

berhenti

  5 1 t  5 1  V  t positif, maka partikel bergerak ke kanan  t  5 1  V  t nol, maka parktikel Berhenti




 0,2t 2 0,09t V t lim h0 h 0,4t 0,09  V 10 0,4 10 0,09 3,91 gram Minggu 6. y 2x 3 Gradien garis singgung y : 2





2 x h 3 2x 2 3 m y lim h0 h 4x 4 x 3 3 x 4 3 Hanya x  yang memenuhi gradien 3 4 3 33 Untuk x   y  4 8 2

/

Persamaan garis singgungnya :

33  3 y  3x   8  4 8 y 33 24 x 18 8 y 24 x 15 0 7. y x 2, A  1,3 , B  2,6 Gradien garis singgung : 2

m y / 2 x Persamaan garis singgung A pada kurva :

y 3 2 1 x 1 y 2x 1

Persamaan garis singgung B pada kurva :

y 6 2 2 x 2 y 4 x 2

Perpotongan kedua garis singgung :

2x 1 4 x 2 6 x 3 1 1  x   y 4 2 0 2 2   terbukti perpotongan garis singgung  1,3dan  2,6terhadap y x 2 2 Bab 4 | Page 156

adalah pada gambar x, yaitu pada titik

1   ,0  2 

10. y x x 1 x 2 

x 3 x 2 x 3

2

Kurva berpotongan dengan sumbu x jika y 0

8. y 4x 2 dititik  1,4  Gradien garis singgung :

x x 1 x 20 x 0 atau x 1 atau x 2

m y / 8 y

Persamaan garis singgung pada titik  1,4 :

y 4 8 1 x 1 y 8x 4

Persamaan tersebut memotong sumbu x di P :

1 0 8 x 4  x  2 1  Maka P   ,0  2 

Gradien garis singgung : Untuk titik  0,0   y 0 2 x 0 

y 2x Untuk titik  1,0   y 0 1 x 1 y x 1 Untuk titik  2,0  y 0 2 x 2 y 2 x 4

Latihan Kompetensi Siswa 3

Persamaan tersebut memotong sumbu y di Q :

y  8 0 4  y 4 Maka Q  0,4

1. Diketahui : Panjang sisi x cm Keliling K f  x 4 x

2 2 PQ   y1 y 2   x1 x2  2

1    0  4    0  2  2

1 65  16   4 4 1 PQ  65 2 9. f  x x 3 6 x 2 9 x 4 Gradien garis singgung :

m f /  x 3x 2 12 x 9

Jika persamaan garis singgung sejajar sumbu x, maka gradien garis singgungnya adalah nol

m 0 2 3x 12 x 9 0 3 x 2 4x 3 0





3 x 3 x 10 x 3 atau x 1 Untuk x 1 3 2  y f  x  16 19 1 4 8 Untuk x 3 3 2  y f  x  3 6 3 9 3 4 4  terbukti y 8 dan y 4 memiliki

5 h f  5 dk  lim f    h0 h dx  x 5 4 5 h  4 5 lim h h0 4k lim 4 h0 h

Jadi, laju perubahan keliling K terhadap panjang sisi x saat x 5 cm adalah 4 cm

f 8 h  f  8 h0 h 2 8 h 82 lim h0 h 64 16h h2 64 lim h0 h h h 16  lim 16 h0 h

2. f /  8 lim

Jadi, laju perubahan luas terhadap sisi x untuk x 8 cm adalah 16 cm 3. Diketahui persegi panjang : lebar x cm Panjang y cm

y 2x 1 L x .y x  2x 1 2x 2 2

garis singgung sejajar sumbu x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 157

L 5 h L  5 dL    lim h dx  x 5 h  0



lim

2

h  0 2h



2 5 h 5 h2.5 5 h0 h 50 20h 2h 2 5 h 55 lim h0 h h 2 h 21 lim 21 h0 h 2

2 9 3h 4 9

lim

Jadi, laju perubahan luas terhadap x untuk lebar 5 cm adalah 21cm

12h

lim

h  0 2h

9 3h  9 

6  1 3 3

d.

df  1 f 1 h  f  1 lim dx h0 h 3 3 2 1 h 5 2 15 lim h0 h 2 2 6 h 6 h 2 h 3 5 3 lim h h0 2 h 2 h 6 h 6 lim 6 h0 h



4. Diketahui : Lingkaran berjari – jari r cm Luas L f  r r 2 cm 2

f 10 h f  10 dL    lim h0 h dx  x 5

2 2  10 h  10 h0 h  100 20h h 2  100 lim h0 h h 20 h lim 20 h0 h

9 3h  9 







lim

df  2 f 2 h f  2 lim dx h0 h

e.

lim

 1 3.1 1 

h 16 24 h 12 h2 2h3 1 15 lim h0 h 2 h 2h 12h 24 lim 24 h0 h



h0








df  1 f 1 h  f  x lim h0 dx h 3 1 h 3 1 3 1 h 3 1 lim h0 h h lim

f.

2

h 1 3 3h 1 2h h 2 3 lim h0 h h 1 h lim 1 h0 h df  1 f 1 h f  1 b. lim h0 dx h 1 h  1 1 h  1 lim h0 h 1 h  1 1 h 1 1 lim  h  0 h 1 h  1 2 df  3 f 3 h  f  3 c. lim dx h0 h 2 3 3 h 2 3.3 lim h h0 2 9 3h 2 9 2 9 3h 2 9



h0

Jadi, laju perubahan luas terhadap jari – jari untuk jari – jari 10 cm adalah 20cm

df  1 f 1 h  f  1 5. a. lim dx h0 h 2 1 3 1 h  1 h 



2 2 h 1 2. 23 1 3

lim

h0

Latihan Kompetensi Siswa 4 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. 2 x x 2

1 f  x x 2  1 x 1 f  x 2x x 2

1 1 3x 2  2 x 2x 1 3 g  x  x  2 x x

2. A.

Bab 4 | Page 158

dg  x 1 1  2 3 x 2  dx x 2x

20 3 x 2 10 3 3 3 x 2 2 1 H 1  x  x 3 4 x 5x 3  4 3 2 8 2 10 1  x 3  x 3 4 x 3 3 3 20 23 10 13  x  x 3 3 3 2 20 x 10   3 3 3 x

3. B.

2 3 t 2 3 2t t dR  t 3 3 5  t t 2 dt 2 2 3 3  t 2 2 2t t

4. C.

8. E. 9

f 1  x 2 3x 3 2 x 5 3 6 x 6 6x 15 12 x 9 1 f  0 9

9. A. 5 x 4 3 x 2 2x

    

y1 2 x x 3 1 x 2 1 3 x 2 2x 4 2 x 3x 4 3x 2 5 x 4 3x 2 2x 10. E. 8 x 12

f 1  x 2 2 x 3 2 x 32 4 x 6 4 x 6 8 x 12

11. A. 3

3 1 6 15 f 1  x 4 x 4 10  x 4  5  3 4 12 5 x x 3 5 f1 1 4 1 12 1  3 5 5

5. C. 2

3 1 1 1 f 1  r 2. r 2 2. r 2 2 2 1 3 r  r 1 f 1 13 1  1 3 1 2 6. D. 1 atau 2

y 1 x 2 3 x 2 0 x 2 x 10 x 2 x 1 11 7. A. 4 3 1 2 1 1 f  n  n 4 3. n 3 4 3 3 2  4 3 4 n n 3 2 1 f  1 4 3 4 1 1 3 11 2  4 4 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

12. A. 0

1 2  T  x 3 x T 1  x 3 x 3x x 3  3 

3 x 3 x 0 13. E. 2

f

 1

2 x 1  x  1 2x 1

f  x 2 1

1

x 4 6 1 f  x 6 x 4 1 x 4  1 f  x  6

14. D.





15. E. 1

f 1  x 4x 1 x 1 f  x  4





Bab 4 | Page 159

f  x 1

1

x 4

16. D.

x 3 x 1 m y 2x 2 mx 3 2 3 2 4

4  1 4

1

mx 1 2 1 2 4

1 3

Persamaan garis singgung

x 5 f 1  x  3 1 5  x 3 3 1 1 f 1  x  3

y 2 4 x 3  4 x y 10 0 atau y 2 4 x 1 4 x y 2 0

  17. A. 8

23. D. 2 y x 11 0







f 1  2 2 2 22 3 22 3  2.2 8

18. B. 12 Luas f  x x 2

f 1  6 2 6 12

19. B. 7 x y 10 0

m y1 3 x 2 10 x 2 mx1 3 1 10 1  7 Persamaan garis L y 3  7 x 1 y 3 7 x 7 7 x y 10 0

20. D. y 8x 4

      

m y1 2 x x 2 1  x 2 1  2x  2 2x x 2 1 4x x 2 1 mx 1 4 1  12 1 8

  y  1 14 2

2

2

2

y 1 1 8 Persamaan garis singgung

y 8 12 x 2  y 8 12 x 24 12 x y 16 0 22. B. 4x y 2 0

y x2 2x 1 y 2  x 2 2 x 1 2 x 2 2x 3 0 x 3 x 10 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

m1 y1 2 x 6

1 2

1 1 m2   2 2 1 1 2 x 6  2 2 2x 6 6 x  3 2 1 1 2 y  36  3 14 2 2 39 29 9   4 2 2 Persamaan garis singgung

1 y 4   x 3 2 2 y 8 x 3 2 y 8 x 3 2 y x 11 0 24. C. 3x 3 y 1 0

m1 y1 x 2 2 x 1 m2  1 1 m1 .m2  1 1 Berarti m1  1 m2 2 x 2 x 1 x 2 2x 1 0 x 12 0 x 1 1 2 3 2 y  1 1 3 3

Bab 4 | Page 160


2 y  1 x 1 3 3 y 2 3 x 3 25. C. 9.500 pertahun

p t 103 t 3 5.10 2 t 10 6 p1  t 2.103 t 5.102 p1  5 2.103.5 5.102 10.000 500 9.500 pertahun

26. C. 2,0

y1 3t 2 4t 1 21 2 3t 4t 20 0  3t 10  t 20 10 t  t 2 3 (tidak mungkin) 27. D. 3

y1 a 2bx 3 2b a  3 x 2b 4 a 4 3  1 1 a 2b 4 .....(1) b y ax  2 x b 1 a 1  12 1 a b a 2b 4 1 b 1  3b 5 5 b 3 5 a  1 3 5 2 a  1  3 3 2  5 2a b 2  3 3  3

28. D. 1

mh 2 x 1 2 1 1 1 1 1 mg   1 mh 1

y  1 1 a a g melalui  0,0 dan  1, a y a mg   1 x 1 a 1 2

29. A. 2

m1 y1 6 x 2 m1 x a 6a 2 m2 4 x 6 m1 m2 (sejajar) 6a 2 4 a 6 2a 4 a 2 10  7

 

30. D.  ,0 

m y 3 110 1 7 1

2

Persamaan garis singgung

y 3 7 x 1

Memotong sumbu x, berarti y 0

0 3 7 x 1 3 7 x 7 10 7 x 10x  7 7 x 7

10 7

 

Memotong sumbu x di  ,0 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. f 1  x 4

b. f 1  x 2 x 5

c. f 1  x 3x 2 6 x 2 d. f 1  x x 2 x 1

e. f 1  x 3x 2 6 x  2

f. f 1  x 5x 4 20 x 3 20 x g. f 1  x x 7 4x 3 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 161

h. f  x 2 2 x  3 1

3 12 3 12 3  x x 2 2 2 1 3 j. g  x 4 x 2x 3 16x 5 i. g  x  x 1

k. g  x  6x

3

3

x 2 1 1 l. h  x 7 x 6 4 x 3 3 x2 1 1 m. h  x 6 x 5 12 x 3 2x 1 n. h  x 40 x 3 33 x 2 50 x 1 1 o. h  x 2 2x 6 x 5 1

2. a. f  x 2 x 

b.

c.

d.

e.

1

2 x 1 1 1 2 x 2  x 2 2 1 1 3  f 1  x x 2  x 2 4 1 1   x 4x x f  x  2 x 2 x 1 1 f 1  x   2x x 1 4 f  x  2 2x x 1 2 f 1  x  3 x x x 2 6 f  x  3 x x 1 2 f 1  x   3 x x x x 3 5 g  x  2 4 x x 6 20 g1  x  3  5 x x





f. g  x 4 x 2 3 1

2

1

16 x 24 x 2 9 12 g1  x 16  x 4  g. g x  2 x 2 5  1 x  4   4  1 2 g  x 4 x 1 2x 5  2  x  x 


20 6 4 x 8  2 x 20 8 4 x  2 x 2 3a a h. g  x  2  4 x 3x 2 6a 4a g 1  x  3  5 x 3x 1 7 1 i. T  x  23 x x 3 2 21 1 T  x  3  4 x x



j. T  x  x 3 x 1

3

2

 2

2

x 3 2 x 3 x 6 2 20 7 1 5 T  x  3  x 3 6x 3 x 3 4 1 k. T  x 5 x 3  4 x3 20 1 3 T 1  x  x3  7 3 4x 4

 

l. T  x x 5 x 3 0 x 1

28

5

7

x 15 x 10 28 13 7 3 1 T  x  x 15  x 10 15 10 3 ax bx 2 cx d m. R  x  x4 a b c d   234 x x x x a 2 b 3 c 4d 1 R  x  2  3  4  5 x x x x 3x 1 n. R x  2x x 3 2   2 x x x 3 3 1 R  x   2 4x x 2x x 2 x 2 1  x 2  o. R  x  3 x 3 2x 4 x 2 x 2 R  x  x3 4 1 2 2     3 x x x





Bab 4 | Page 162

4 2 6 1 R  x  3  3  4 x x x 2 2 x 2 x 4 x 4 R x  3  7 x x x2 3

5

7

x 2 x 2 4x 2 3 5 7 9 1 R  x  x 2 10 x 2 14 x 2 2 3 10 14  2  3 4 2x x x x x x 3. f  x 3x 2 6 x 10 a. f 1  x 6 x 6

b. f 1  0 6 0 6 6

1  1  f 1  6 6 4 3  3  1  1  1 f  6 6 3 2  2  1 f  16 16 0

f 1  5 6 5 6 24

6 ; 3,2  x2 6 mtan  2 x 6 2 mtan  x 3  9 3 3 mnormal  2

4. a. y 


2 y 2  x 3 3 3 y 6 2 x 6 2 x 3 y 12 0 Persamaan garis normal :

2 y 2   x 3 3 2 y 4 3 x 9 3x 2 y 5 0 b. y x 3 ;  8,2 1

1 mtan  3 2 3 x 1 1 mtan  x 8  3 2  12 3 8 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

mnormal ??? Persamaan garis singgung :

1 y 2   x 8 12 12 y 24 x 8 x 12 y 16 0 Persamaan garis normal :

y 2 12 x 8  y 2 12 x 96 12 x y 98 0 8 c. y  ;  4,4 x 4 mtan  x x 4 1 m tan  x 4  4 4 2 mnormal 2


1 y 4   x 4 2 12 y 8 x 4 x 12 y 12 0 Persamaan garis normal :

y 4 2 x 4  y 4 2 x 8 2 x y 4 0 d. y x 3 3 x 2 2 ;  8,2 mtan 3 x 2 6x

2 mtan  x 13 1 6 1 3 1 mnormal  3


y 3 x 1 y 3x 3 3x y 3 0

Persamaan garis normal :

1 y  x 1 3 3y x 1 x 3 y 1 0

e. y 4 x 13 x 4 x 3 ;  0,3 3

2

mtan 12x 26 x 4 2

mtan  x 0 4

Bab 4 | Page 163

1 mnormal  4 Persamaan garis singgung :

y 3 4 x 4 x y 3 0


1 y 3  x 4 4 y 12 x x 4 y 12 0 x 1 1 1  1  ;  ,3  x x 2  1 mtan  2 x 1 1 mtan  x   1 2 43  2   2 1 mnormal  4

f. y 


 1 y 3 4x    2 y 3 4 x 2 4 x y 5 0 Persamaan garis normal :

1 1 y 3  x   4 2 1 4 y 12 x  2 1 x 4 y 11 0 2 g. y  4 x 3 4 2 x ; 2,0 4x 8x 2 12 6 x 8 x 2 10x 12 mtan 16x 10

mtan  x 216 2 10 22 1 mnormal  22 Persamaan garis singgung :

y 22 x 2 y 22 x 44 22 x y 44 0


x 22 y 2 0 2

 3 3 h. y x   ;  1,1  2 4 2 x 3 x 3 mtan 2 x 3

mtan  x 12 1 3 1 mnormal 1


y 1 1 x 1 y 1 x 1 x y 2 0


y 1 1 x 1 y 1 x 1 x y 0

3 2 2 m y1 3x 4 m x 23 2 4 2 3 2 y   2 4 2 3 2 6 8 3 1

5. a. y  x 4 x 3 ; x 2


y 1 2 x 2  2 x y 3 0 c. y x 2 x ?? ; x ?? m y1 6x 5 m x  16 1 5 1 y 3 15 1 2 0 2


y 1 x 1

???? d. y 2x 3x 1 ; x 2 2

m y1 4 x 3 m x 24 2 3 5 y 2 2 3 2 1 8 6 1 3 2


y 3 5 x 2  5x y 7 0

1 y  x 2 22 22 y x 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 164

e. y 2 x 2 7 x ; x 2

m y 1 6 x 2 7 m x 2  6 2 7 17 2

y 2 2 7 2 2

a 16 4 16  b 32 b 64 32 32 7. a. y  4x 31

3

2


y 2 17 x 2 17 x y 32 0 4 f. y 3 x  ; x 2 x 4 m y 1 3  2 x 4 m x 23  2  2  3 1 2 4 y 3 2   2 6 2 8


y 8 2 x 2  2 x y 4 0

6. a. y 4 ax 2

16 x 2 24 x 8 m y1 32x 24 1 m2  2 1 1 32xx 24   1 2 m2 2 32x 26 26 13 x  32 16 2

15  13  y 4. 3 1  16  16  Persamaan garis singgung :

15  13  y  2x   16  16  16 y 15 32 x 26 32x 16 y 41 0 b. y x 3 5 x 2 8 x 1

y 2 a x m y 2 a 1


y 2 a 2 a  x a 





2 a x y 2a a 1 0

 

a b b a x  x a b m y 1   2 x 2x x a b m x 4    2 4 2 4 4 a b   2 b 16 4a b 32 …..(1) b  b 8 a   4 2 a  2  4

b. y  a  x

???????

4a b 32 4a b 16  8a 48


m1 y1 3x 2 10x 8 m2 5 3x 2 10x 8 5 3 x 2 10 x 3 0  3x 1 x 30 1 x1  x2 3 3 1 1  1  y1  5 8 1 27 9  3  1 15 72 27 85   27 27 y 2 27 45 24 1 7 Persamaan garis singgung :

85  1 y  5x  atau y 7 5 x 3 27  3 27 y 85 135x 45 5 x y 8 0 135x 27 y 40 0 1 4

8. y  x 2 ; x 2

1 m y 1  x 2 Bab 4 | Page 165

1 m x 2    2 1 2 1 2 y   2 1 4 Persamaan garis singgung :

y 1 1 x 2  y x 1

Memotong sumbu x , y 0

0 x 1  x 1

Titik potong sumbu x adalah P  1,0 Memotong sumbu y , x 0

y 0 1 1

Titik potong sumbu y adalah Q 0, 1

1 0 0 1  ,  2  2 1 1   ,  2 2 

Titik tengah PQ 

(terbukti) 9. y 2 x 13x 5x 9 3

2

m y 1 6 x 2 26 x 5

2  1  y  mx  2  m  m  1 2 y mx   m m 1 y mx  m 1 Berarti c  (terbukti) m 11. s 10t 2t 2 a. v 10 4t

v t t1  10 4t1 m s b. v t 110 4 16 m s c. 10 4t 0 4t 10 10 t  2,5 s 4

12. s 12t 2 6t a. v 24t 6

v  3 24 3 6 78 m s b. v 0 24 0 6 6 m s 2

13. q 6t 3 1

i 4t 3 1 3 i 0,34 0,3 14. v 30 t 2

dv c  2t 2ct dt 2 3 t 6t 14 2 12 a. m AB   2 7 1 6 m p 2 x 6 2 i c

10. y mx c

y 2  mx c  2

m 2 x 2 2mcx c 2 m 2 x 2 2mcx c 2 4 x m2 x 2 2 mc 2 x c 2 0 (terbukti)

y 2 4 x y 2 x

1 1  x m x 1 x 2 m 2 y 2 x  m

m y1 

Persamaan garis singgung : Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2 x 8

x p 4

y p 42 6 4 7 1

Koordinat titik P  4,1

1 2

1 2

b. mnormal di P  

persamaan garis singgung :

1 y 1   x 4 2 2 y 2 x 4 x 2 y 2 0 Bab 4 | Page 166

c. ???? Persamaan garis normal :

1 y  x 1 2 1 x 2 6 x 7  x 1 2 11 x 2  x 6 0 2 2 2x 11x 12 0 2 x 3x 40 3 x  x 4 2 1 3  1 y   1 y   4 1 2 2  2 3 1  1  1 4 4 3 1  Koordinat titik Q ,  atau  4,  1 4 4  C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a. f  x x

67

x . x

5

x x

3

5 3 2

x 6 30

x 70 3 53 63 1 f  x x 7 6 x 7 7 45 5 7 3  x x 7 2 b. f  x  x5 6 x5 5 x2 2  5 5. 52 x .x 6. 5 2 2  59  5 9 x 10 x 10 9 6 9 1 f  x 10 x 10 10 109  6 9 10 x 10 6

7.5 .2



2. f  x  4 x 34 x 2



16x 4x 12 3 x 2 f 1  x 16 12x 2 6 x 3





2 6 x 2 3x 8 (terbukti)


3. f  x ax 2 bx c

f 1  x 2ax b 1 f  0 2a 0 b 2 b 2 1 f  12 a 1 b 4 2a b 4 2a 2 4 a 1 f  2 6 6  1 22 2 2 c 6 4 4 c c 2

4. a. f  x ax 3 bx 2 cx d

f 1  x 3ax 2 2bx c f 14

4 a 1b 1c 1 d 4 a b c d …..(1) f 10 3

2

0 a 1b 1c  1 d 0 3a 2b c …..(4) f 1  0 3 3

2

3 3a  0 2b  0 c c 3 …..(5) c  3  2 2 34 2a 2 a 1 a 1  3a 2b 3 3 1 2b 3 2b 0 b 0 a b c d 0 1 0 3 d 0 d 2 Jadi, a 1, b 0, c 3, d 2 2

b. f  x 2 1 x 0 2 x 1

f 1 12 12  2 4 1 2  f  2   3  3 3

5. f  x x 4 ax 2 b

f 1  x 4x 3 2ax

f 1 1a 1b a b 1 4

2

Bab 4 | Page 167

f  14 1a  1b a b 1 3 1 f  14 12a 1 4 2a f 1 1 f 1  1 2 0 a b 1 1 4 2a 2 0 2a 2 0 2a 2 a 1 a b 0 b  a  11 1

4

2

6. a. g  x ax 2 bx c

0 g  0 a 0 b 0 c c 0 1 g  x 2ax b 2

g1  0 b x 1 g 1  x 2g  x 4 0 1 x 0   0 1 g  0 2 g  0 4 0 b 2.0 4 0 b 4

x 1 g 1  x 2 g  x 4 0 x 1  2 ax b  2 ax 2 bx c  4 0 2 ax 2 bx 2 ax b 2 ax 2  2 bx 2 c 4 0  2 a b  x b 2 c 4 0  2 a  4  x 4 2  0 4 0  2 a 4  x 0

7. Misal : f  x ax 2 bx c f 1  x 2ax b

2ax b 2ax b 1





5 ax 2 bx c x 2 x 3 2 2 2 4 a x 2abx 2ax 2abx b b 2 2 5ax 5bx 5c x x 3 4 a2 x 2  4 ab 2a  x b 2 b  5a 1 x 2  5b 1 x 5c 3 2 4 a 5a 1 2 4 a 5a 1 0 4a 1 a 10 1 a  a 1 4


4ab 2a 5b 1 4 1 b 2 5b 1 1  1  4b 2 5b 1 4  b 2 5b 1 b 3 4  4  1 b  5b 1 2 3 4b  2 3 b  8 2 b b 5c 3 2

2  3 3 3 3 5c 3   5c 3  8 8 12 3 5c 9 24 c 3  5c 3 64 4 33 192 5c  3  64 64 192 c 320 1 2 3 192 Jadi, f  x  x  x atau 4 8 320 f  x x 2 3 x 3

y ax 3 bx2 c 1,0 0 a b c …..(1)  0,5 5 c …..(2) Persamaan (1) menjadi a b  5 …..(3) 1 2 m y 3ax 2bx m x 13a 12b  1 0 3a 2b 0 …..(4) a b 5 2 2a 2b 10 3a 2b 0 1 3a 2b 0  5a 10 a 2 ??b 5 b 5 2 3 a. jadi, a 2, b  3, c 5 2

b.

Bab 4 | Page 168

Latihan Kompetensi Semester 5 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. 5x 4 3x 2 2 x

  

f  x  x 2 1 x3 1 du u x 2 1  2 x dx du u x 3 1  3x 2 dx dy d  u .v  f /  x   dx dx du du u v dx dx 2  x 1 3x 2  x3 1 2 x 3x 4 3x 2 2 x 4 2 x 5x 4 3x 2 2 x

 

2. A. 3 x 8 x 5

 

2



2







y  x 2 x 1x 2 x 2x 1 du u x 2  1 dx du d  u.v  / y   dx dx dv du u. v. dx dx  x 2  2 x 2 x 2 2 x 1 1 2

2 x 6x 4 x 2 x 1 2 3 x 8 x 5 2

2

3. D. 12 x 7

T  x  2 x 3 3x 1 du u 2x 3  2 dx du v / 2 x 3  3 dx  u .v  t /  x d dx dv du u. v. dx dx  2 x 3 3  3 x 1 2 6 x 9 6x 2 12 x 7


4. E. 18 x 50x 34 2

y  x 1 2 x 3 3x 5 du u x 1  1 dx dv v 2x 3  2 dx dw w 3x 5  3 dx dy d  u.v.w  dx dx dw dw du u.v u. w  u .w dx dx dx  x 1 2 x 3 3  x 1 2 3x 5  1 2 x 3  3x 5 2 2 6 x 15 x 96x 16 x 10  2 6 x 19 x 15 2 18x 50 x 34

5. D. 9









 



y 2 x 2 5x 3x 3 x du u 2 x 2 5x  4 x 5 dx dv v 3 x3 x  9 x 2 1 dx y / ax 4 60 x3 bx 2 cx dy du y / u. v. dx dx 5 2 x 5 x 9 x 2 1 3 x3 x  4 x 5  4 3 2 4 18x 45 x 2x 5 x 12 x  15 x 3 4 x 2 5 x 30 x 4 60 x 3 6x 2 10 x ax 4 60x 3 bx 2 cx 30 x 4 60 x 3 6x 2 10x a 30, b 6, c 10 a 30  b  6   c 10  6 3 9



26 4 x 32 2 x 5 f  x  4 x 3

6. D.

u 2 x 5 

du 2 dx Bab 4 | Page 169

dv 4 dx v. du v. dv / f  x  dx 2 dx v 4 x 32  2 x 5 4  2 4 x 3 8x 6 8 x 20  4 x 32 26  4 x 32

v 4 x 3 

1 2 x 1 x y x 1 ad bc y/  2 cx d   1  1  0 1 1   2 x 1 x 12

11. C. 2

2 x 3 5 y 2 x 3x 3 du u 2 x3 5  6 x 2 dx dv v x 2 3 x 3  2 x 3 dx



v y/ 

2 x 32 x 1 y 3  1 3 1  1 2 y/   2 x 3 x 32

9. E. 23 2 x 5  2

3 x 4 y 2 x 5  3  5  4  2 2 / y  23 2 x 5 2 2 x 5  10. E.

v

dv dx

2

x 3 x 36 x 2 x 5 2x 3 x 3x 3 2

3

2

2

6 x 4 18 x3 18 x 2 4 x 4 6x 3 10 x 15  2 x 2 3 x 3





2x 12 x 18x 10 x 15  2 x 2 3x 3 4

3

2





2x 4 12 x 3 18x 2 52 x 3  2 x 2 3x 3





y 2x 12 x 18 x 2 5 nx 3 Jadi, nilai n adalah 2 /

12. B.

4

3

x 12 2 2 x 1

2 x 1  0 1 2 1 / g  x 1  2 x 1 2 1  x 12 g  x  x 1 

x 12 2  x 12

2 3 x x 2 1 y 2 x

13. D. 

4x

x 25 2

u

2



7. C.

8. D.

du dx



2

2 y 2 x 25 du u 2  0 dx dv v x 2 25  2 x dx u dv dy v du 4x  dx 2 dx  2 2 dx v x 25






u x 2 1 

du 2 x dx

dv 2 x dx v dv u dv y /  dx 2 dx v 2 x  2 x  x 2 1  2 x  2 2 x

v x 2 



  

Bab 4 | Page 170

2 x 2 5x x 2 5 x 4  x2 x 2 4 4  2 1  2 x x

2 x 3 2 x 3 2x  4 x 2x 2  4  3 x x 7. B. 7

17. B. 3 dan 1

x 4 R x  x 2 v du v dv R x  dx 2 dx v x 22x  x 2 4 1  x 22

x 2 3 g  x  3 x 6 / g  x 0

2



3x 62x x 2 3 3 0 2 3x 6



6x 2 12 x 3 x 2 9 0 2  3x 6 

2 x 4 x x 4  x 22 2

2

3x 2 12 x 9 0 2  3 x 6

x 4x 4  2 x 2  2

 3 4 3 4 7 2  3 2

R /  3  15. C. 0

3 x 2 5 h x  6 x v dudx v dv dx h x  2 v  6x 1 6x 3x 2 5 1  2 6 x 



x 2

3 5

    

6x 12 x 6 x 3x  2 3 x 2 5

2



3 0 5 3 0 36 0 5 / h 0 6.h  0  6 6 0 6 02 2



5 5   6  6 36  5 5   0 6 6



4 2 x  1 x  4 x  x 2 5 x 4 T  x   x x 2 x 2 x 5x 5x 4 1 T /  x  x2




5

2



15x 2

x 2 3

2

15 2 f  2  3 2 2 2 60 3   100 5 2

/

16. E. 1 



3x 6 0





2



3 x2 4x 3 0 x 2 4x 3 0 x 3 x 10 x 3 dan x 1

2x 3 1 f  x  3 x 2 3 2 3 2 x 2 6 x  2x 1 3 x f /  x  2 x 3 2



3x 2 36 5  2  6 x 

3x 62 0

18. D.

36 x 6x 3x 5  2 6 x  2

3x 2 12 x 9 0



2

19. C.





31

2  5 x 3

3 x 2 f  x  5x 7 7 x 2 / f  x  5x 3 Bab 4 | Page 171

 5x 3 7  7 x 2 5 f  x  1 /

 5 x 3 2

35 x 21 35x 10  2  5 x 3 31  5x 32 x  3x 2x 3 1 h x  h  x 4x 2  0 4x 2 3  4  2 4 x 2 12 h/  x  4 x 22

20. A.

x 2 6 x 9 k  x  3x 2 k /  x 0

  

5 x2 8 x 7

2

x2 2 x 3 T  x  2 x 3 x 1

x 3x 12x 2x 2x 32x 3 x 3x 1 2

2

2

2

2 x3 4 x2 8x 2 2 x 3 x2 9  2 x2 3 x 1





5 x 8 x 7 2

x 3x 1 2

2

22. A. 20

3x 2 k  x  2 x 2 x 3 ax 2 bx c / k  x  2 x 2 2 x 3

  x 2 x 3 3  3 x 2 2 x 2 k  x  x 2x 3 2

/

2

2

3x 2 6 x 9 6 x 2 2 x 4  2 x 2 2x 3





3x 4 x 13  2 x 2 2 x 3 a 3, b 4, c 13 c  a b 13  4 3 13 7 20 2





3x 2  2 x 6   x 2 6 x 9  6 x 0 2 2 3x

x 3x 1





24. C. 0

2x

T /  x 



2

1 1

2

5 x 2 3x 6 y x 2 dy  x 2  10x 3 5 x 2 3 x 6  1  2 dx x 2  2 10x 23x 6 5x 2 3x 6  x 22 5x 2 20 x 12  x 22 dy 5 2 20 2 12  2 dx x 2 2 2  72  4,5 16

x  3x  h 

21. B.

23. C. 4,5




6 x 3 18 x 2 6x 3 36x 2 54 x 0 9 x4 18 x 2 54 x  0 9 x4 18x 2 54 x 0 x 18 x 54 0 54 x 0 x  3 18 2 3 6 39 x 3  k  3  2 3 3 9 18 9  0 27 25. E. 1 x 1 atau 1 x 3

x 2 3 v  x  x 1 / v  x 0

x 1 2 x  x 2 3 1 0 2 x 1 2 x 2 2 x x 2 3 0 2 x 1

Bab 4 | Page 172

   g  x  x 3 x 3 2x 5 

h. g  x  x 2 3 2 x 3 5

x 2 2 x 3 0 2 x 1 x 1 x 3 0 x 12 x 1 x 30

2

2

2

du 2 x dx dv 2 v x 3  2x dx dw 3 2 w 2 x 5  6 x dx u x 3  2

x 1 0 x 1

g /  x u v

dw dv dv u w  v.w dx dx dx

       2 x x 3 2x 5  x 3 6x 18 x  x 3  4x 10 x  x 3 4x 10 x  x 3 6x 18 x 4x 10 x 4x 10x   x 3 14 x 18x 20x 

1 x 1 atau 1 x 3

 x2 3 x 2 3 6 x2 x 2 3  2 x2 x3 5  2

2

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

y/

y

3

/

3

2

    x 3 x   14 x 1  7x

2

2



x  2 x 3 

  x  x 1 2 x 2 x 2 x 2   1 2

2 x2 4 x 2 x 2 2 x 2 3 x 2 6 x 4

    x  9 x 7 x 6x 16 x 1 2 x 8 x x   18x 7 

f  x 9 x 7 x 2 x 8 x x 3

2

2 x 3 3x 2 2 x2 3 x 10 x 15  2 x3 x 2 6 x 3 x 14x 7 6 x 3 8 x 22 c. v x  x 1 x 2  x 3

v/  x  x 1 x 2   1  x 1  1 x 3 1x 2 x 3 

x2 2 x2 4 x 3 x 2 x 6 3 x2 4 x 5 d. N  x x 2 2 x 1  x 1x2 2



N

/

    x  x 2 x 1 x 1  2 x  x 2 x 11x 2







g  x  x 1 4 x 32 x2 3x 4  1 4 x 2 3 x 4 x 3 2 x 2 3 x 4 6 x2 10x 7 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2 2

2

2 x 4 2 x3 2 x2 2 x 2 x 4  4 x 3 2 x2 8 x 4 4 x 4 6 x3 6 x 4

90 x 4 232 x 3 215 x 2 14x





3

2

2

g. g  x  x 12 x 2 3 x 1

2

2

2

3

4

   R  x  x x 5  2 x 3  x 3x 72 x 1 /



2

2

b. R x  x2 x 5 x2 3x 7

 x  2  2 x 1  4 x 1

2

4 x

3

10 x 4 4x 3 12 x 2 4x 2

2

2

  2x

4

2 x 4 x 2 8 x 8x 4 x 4x

2

f  x  x 1x2 2 x 2

/

4

2

4

4 x 2 2 x 8x 2 6 x 1 12 x 2 8 x 1

f/

4

4

d. y  2 x2 x  2x 1

f.

4

   x 2 x 1 2x 1 T  x  x 2x 1  2 2 x 1 4 x

2

y  x 3 x 7 x x

f/

4

2. a. T  x  x 2 1  2 x 1

14 x3 11x 2 3 x 14x 3 19x 2 3 x 28 x3 60 x 2 6 x

e.

2

4

4

2

   3 x  5  5 x 1 3x  2

y/

2

2

15 5x 15 x 3 x 20 x3 3x 2 15

y/

2

2

3

c.

2

2

3 3x 2 6 x 2 14 x 9 x 2 14x 3 b. y 3 x 3  5 x 1 /

3

4

2

 3x 7   1 x   3  3x 7  2x

1. a. y 1 x

3

2 x 1 2 x 1  2 1  1  2 4 y/   2 2 2 x 1 2 x 1

3. a. y 

Bab 4 | Page 173

1 2 x 2 x 1  1 2 x 2 x 1  2 1 1  2 4 / y   2 2 2 x 1  1 2 x  x y 1 x  1  1  0 1 4 / y   2 2 x 1 x 1 2x y x 3  2 3  0 1 6 / y   2 2 x 3 x 3 8 y 2 3 x  0  2  8 3 24 / y   2 2 2 3x   2 3 x  3x y 1 x  3 1 0 1 3 / y   2 2  1 x   1 x  x 4 y x 3  1 1 4 1 7 / y   2 x 3 x 32 2x 9 y 3x 5  2 5  9  3 37 / y   2 2  3x 5  3x 5 7 4x y 2x 1  4  1 7 1 11 / y   2 2 2 x 1  2 x 1

b. y 

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

4. a.

1 y 2 x x 2  0  1  2 x  2 x y/   4 2 2 x x



2x x 6 x 2  2 3 x 2 3

2





x 1 y 3 2 x 1 2 x 3 1 3 x 2   x 3 1 6x 2  / y  2 x 3 12 6 x 5 3 x 2 6x 5 6x 2  2 2 x 3 1 3

e.



9x





2

2 x





 

2

1 5x f. y  1 2x 2 1 2 x 2  5  5x  4 x  / y  2 2 1 2 x 3



5 10 x 2 20x 2  2 1 2x 2





10x 5 2

2 2

x 2 2 x 1

g. y 

x 2 2 x 1

x 2x 12x 2x 2x 12x 2 x 2x 1

y/ 

3 x 7x 7 x  2 3 x 2  7 y/  2 7 x 

2

2

2

2

2 x 3 2 x 2 2 x 2 2 x 3 2 x 2 2 x 2  2 x 2 2 x 1





14 x 21 7 x 7 x 14 21   2 49x 49 x 2 2





 1 2 x 

2



 





b. y 

5x 2 x 3 y x  x 6 x 2 5 2 x 3  1 / y  2 x 3 6x 5 2x 3  x2 6 x 3 2 x 3 5  x2 x 2 2 d. y  3 x 2  3 x 2  2x  x 2 2  1 / y  2 2 3 x  6 x 2 x 3 x 2 2  2 3 x 2 c.

2






4 x 4 2

x 2x 1 2

2

Bab 4 | Page 174

12 x4 34 x3 3x 2  2 7 x3 x2

x2 3x 2 5 x  3x 2 5 x  2 x x 2  6x 5 / y  2 2 3x 5 x  6 x 3 10 x 6 x3 5 x 2  2 3x 2 5x

h. y 





a2 x

5. a. f  x  

 x  0 a 2  a  a x2   0 b 2  2 x 



3 x

b. f  x  f

12 x 42





7x

y/ 

3

x



2

x f. f  x 

2

x

3

4x 5 3x 4 x 3  3

12 x 3 4 x 3 x 21x 7x x  2

3

2

2 x



2 2

84 x5 12x 3 12x 4 3 x 2  84 x5 8 x 3 63 x3 6 x 2  2 7 x 3 x 2





 x 4x x 3

3

3 x 2 x 5 2

4 x 6 x 4 15x 2  x6

2

2

2 x 5

16x 6 2 x 4 12x 6 3 x 4 15x 2  x6

9 x 3 x

4 x3 3 x y 3 2 7 x x

x 1 x2 3x 

2 x 5  3x 2 4 x 3 x 3 2 x2 3 x  2 2 2 x 5 

x 5x 8

l.

6 x 2 60x 6  2 x 5 

f /  x 

2

2



12 x2 61x 5 6 x2 x 1  2 x 5 

3

9 x 2 45 x 72 18 x 2 45x  2 x 2 5x 8 

2



x 2x 

2



2 2

x 5 6 x x 1 f  x  x 5 x 5   12x 1 6 x 2 x 1  1 f /  x  2 x 5

d. f  x 

3x 7 9x k. y  2 x 5x 8 x 2 5x 8  9  9 x 2 x 5  / y  2 2 x 5x 8



22

2





2



 2 x 1  3 x 1

2



 x 

c. f  x 



2

6 x  0 4 2 x  6 x 

 1  2  3  0

 





/

2

4  6 x 2

1 8x   4 6 x 2

x 4 14x 3  2 7 x x 2 6x j. y  2 2x 3 x 7 2 x 2 3x 7  6  6 x 4 x 3 / y  2 2 2x 3x 7  2 12 x 18 x 42 24x 2 18x  2 2 x 2 3x 7

2 x

2 2

 



x3 i. y  7 x x 2 7 x x 2  3 x 2  x 3  7 2x  / y  2 2 7 x x  3 21x 3x 4 7 x 3 2 x 4  2 7 x x 2



a x 

x2

a 2 2b 2 x  2  2 x a x2

5 x 2 10 x  2 3x 2 5x



b2

a x 2

f /  x 










3



x

4

3

  4x x 

x 20x 12x 3 x

f  x 

2

5

4

3



3x x 3 x

2

32

20 x 7 12x 6 3 x 5 12 x 7 9 x 6 3x 5  x6 8x 7 3x 6  x6 x6  8x 3 8x 3 x6



Bab 4 | Page 175


x x 1

6. a. y 

m1 y

/

y x

x 1x  2 x 1

Persamaan gais normal :

y x

8. a. g  x  3x 5 x 8

m2 1 1

m1 m2 

x 1 2

1  x 1

1

Gradien m 3 x 8  3x 5  1

3x 24 3 x 5 6x 29

2

Gradien sejajar sumbu x berarti 6 x 29 0

x 2 x 0 x x 20 x 0 x 2 x 0  y 0 2

2 x 2  y  2 2 1 Persamaan garis singgung :

y 0 1 x 0 x y 0 atau y 2 1 x 2 x y 4 0 x x b. y  x 1 x 1  x 1 m1 y /  x 12 2  x 12 m2 2 x 4 x 1  m 2 1 4 2 2 1 1 m1    2 x 1 m2 2

6 x 29 29 5 x  4 6 6 29   29  29  9 3 5   8  6   6  6  19   19  461     2   6  12

29 6

2 x 2  x 1 x 2 2 x 1  1 2 x 1

b. m h/  x 

2 x 2 4 x 2 x 2 2 x 1  x 12 x 2 x 1  1 x 12 2

Gradient garis singgung kurva tidak akan pernah sejajar sumbu x

 8 x 12  2 x 3  4 x 2 12x 9   2 2  2 x 3

c. m f /  x 

16 x2 48 x 36 8 x2 24 x 18  2 x 3 2


1 y 1   x 1 2 2 y 2 x 1 x 2 y 3 0 7. y 

mtan

x x 1 x 2 1 x 2 x  1 x 2   2 2 x 2 1 x 2 1

mtan  x 0 

1 0

 

2

0 1

mnormal

2

2

8x 2 24 x 18  2 2 x 3 

8x 2 24x 18  2 4 x 2 12 x 9

2

 

461   12 

Koordinat titik  ,

1

1  1 1


Gradien garis singgung kurva tidak akan pernah sejajar sumbu x

 m  3x

 4x  x 2 x 2 x   1

9. a. y 13 2.12  1 12 2

3

mx1  3 4  1 2  1 2   1 3 1 4 Persamaan garis singgung :

y 2 4 x 1 4 x y 2 0

Bab 4 | Page 176

4 x 2 24x 24  2 x 3 2

1 4

b. mnormal 

persamaan garis normal :

x d. f  x 

1 y 2   x 1 4 4 y 8 x 1 x 4 y 9 0



f

e.







10. m1 3 x 2 4 x  x 2  x3 2x 2  1

3x 2 x 8x x 2 x 4x 3 8x 1 1 m2   16 16 64 x 3 128x 1 0 3

2

3

ax 2 bx c

f

/

px 2 qx r

px ax  x 

2

2

 bx c  2 px q  px qx r  2

bpx 2 aqx 2 2arx 2cpx br qc  2 px 2 gx r





aq bpx 2 2ar pc x br cq 

px



2. a. g  x 

2

qx r 2



2x x 6 2

3x 2 10 x 2

2. 10 1. 32 22236  x   1 2 6 10 g /  x  2

3x

2

10x 2



17 x 3 28 x 58  2 3 x 2 10 x 2





x 5 b. h x  2

x 5

 1.1 0 .0  x2 2  1.5 0.5  x  0. 5 5. 1 2 x 5 

h /  x 

x2 10 x 5



 1.0 2.1 x  x 

2

2 1.1 1 1 x 2.1  1 0

x 1 2

2

3x 2 5

p x 

2x 2 x 3

p  x  /

2  3.1 0.2 x 2 3 325 1  0 3 5.1

2x

2

x 3

 2

2

3x 38x 5  2 2 2x x 3





2

x 3 f. k  x  2 x 5

k  x 

2  1.0 0.1 x 2 1.5 1.3 x  0.5 3.0

x 5  2

2

4x



x 52 2

3 1 x  3x 5  1 2  1 x  2  2  1 x  2 m2  2 1 2 1 1   2  1 x  m2 2

3. m1 y / 

qx r  2ax b 2

2 x 1

x 2 1

2

C. Evaluasi Kemampuan Analisis. 1. f  x 

/

2

x 5 2

4 x2 12 x 9 c. t  x  2 x 3

4. 2 12.0 x 2 24 .3 0  9 x   2 . 3    9 . 2   t /  x  2 2 x 3  Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2  1 x4

1 x 2 x1 1 x2 3 8 y1  4 y2 2 2 Persamaan garis singgung :

1 y 4   x 1 2 2 y 8 x 1 x 2 y 9 0 atau 1 y 2   x 3 2 2 y 4 x 3 x 2 y 1 0 4. T  x 

f  x .g x h x

v T /  x 

du dx

u dv dx v2

Bab 4 | Page 177





h x f x g /  x f /  x f  x g x h /  x  2 h  x 

f

/

 x g x h x f  x g  x h x f  x g x h  x 2 h  x /

/

f .g f  x h.t

5. Misal : f

/

5. E.

v du dx u

 x 

dv dx

v2



 

ht fg / gf / gf ht / th/  h.t 2 



f / . g. h.t f . g / .h.t f . g.h.t fgh / .t

h.t 2

Latihan Kompetensi Siswa 6 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B. 3 cos x sin x

y 3 sin x cos x

y / 3 cos x sin x 1 x

 h     sin     2   / h    1 sin  cos  2  sin cos cos 2 6. E. 1 sin  g   sin 3 cossin 3 1 sin  cos / g   2  sin 3 sin cos 3cos cossin cos  sin 32 2 cos  sin 32

7. D.

sin t cos t R t  cos t sin t  cos t sin t   cos t sin t  

 sin t cos t   sin t cos t  2 cos t sin t 

R/  t 

2. A. 6x  3 2 sin x

cos2 t sin 2 t 2 sin t cos t 

1 2 g  x 3 x  2 2 cos x 2x 1 / g  x 6 x  3 2 sin x x 3. B. 1

h x 2 sin x cos x / h  x 2 cos x sin x 1    / h  2 cos sin   2  2  2  0 1 1

4. C.

T  x  sin x 1 sin x 2

T /  x cos x  sin x 2   sin x 1 cos x  sin x cos x 2 cos x sin x cos x cos x 2 sin x cos x cos x sin 2 x cos x

cos t sin t 2 sin t cos t  cos 2 t sin 2 t 2 sin t cos t 2  1 sin 2t 2

2

8. E.

y tan x cot x dy sec 2 x cosec 2 x dx 1 1  2  2 cos x sin x dy 1 1   2 1 1 dx x4 2 2 2 2 2 2 4

   2

9. E.

y sec t cosec t y tan t sec t cot cosec t

sin t cos t sin 3 t cos3 t  2  2  2 cos t sin t  sin t cos t 


Bab 4 | Page 178

10. A.

14. D.

cos x 2 y sin x cos  2 y  2  2 sin 2 mtan 1

y x 3 tan x y / 3x 2 tan x x 3 sec 2 x 3x 2 tan x x 3 1 tan2 x 3x 2 tan x x 3 x 3 tan 2 x x3 tan 2 x 3x 2 tan x x 3





mnormal 1

11. B.

h x x 2 cot x h/  x 2x cos x x 2 cosec 2 x cos x x2 2 x  2 sin x sin x  2  cos   / 4 h  2    42  4  4 sin 4 sin  4





 1 2 16  21  2 2 2 12

2

 2 42    2 8 8    4  8 12. C.

y tan x m y / sec 2 x  m x  sec2 2 4 4


  y 1 2x    4   y 2 x  1   2 13. B.

cos x 2 g  x  sin x sin 2 x  cos x 2 cos x g /  x  2 sin x 2 sin x cos 2 x 2 cos x  sin 2 x  sin 2 2 cos 2 2 2 cos 2 g /   sin 2 2 2  1 0 0  1 1



  y 2 1x    2  x y 2  0 2 2 x 2 y 4 0

2 f  x sin x 2 cos x  / f  x cos x  2 cos x  sin x  sin x  2 2 cos x 2 cos x sin x 2 2       / f  cos 2 cos  sin  4  4 4   4 

15. C.

2

2

1 1  1   2 2 2  2  2 2  2 

 2 B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. y 2 x sin x

dy 2 cos x dx b. y 5 sin x 6 cos x dy 5cos x 6 sin x dx c. y 8x 3 sin x 6 dy 24 x 2 cos x dx d. y 6 cos x 8 x 2 x





6 cos x 8 x 8 x dy 6sin x 16 x 8 dx e. y 2 sin x tan x dy 2 cos x sec2 x dx 2

Bab 4 | Page 179

f. y x cos x cos 2

d. k  x sin x  1 cos x 

 4

k /  x cos x 1 cos x  sin x  sin x  2 2 cos x cos x sin x cos x cos2 x sin 2 x cos x cos 2 x

dy 2 x sin x dx 2. a.



f t 2 sec t 3 tan t tan

f/ t 2 tan t sec t 3 sec2 t

 3

e.

     f /  2 tan sec 3sec  4 4 4   4 2 2 6 2 2 3 b. f   2 sin3 cos



f /   2 cos 3 cos    f /  2 cos 3 sin 4 4 4  1  1  2 2 3 2  2  2  1  2 2 c. f t sin 2 t cos2 t 1 f/ t 0  f /  0 4  d.

cos x cos 2 x sin x sin 2 x

     f /  cot cosec tan sec 4 4 4 4 4 

f  x tan x cot x / f  x sec 2 x cosec 2 x

     f /  sec cosec  4 4   4   2 2 4 2

cos x sin x cos 2 x

 

p t t 2 2 sin t p/  t 2t sin t t 2 cos t cos t 2t sin t t 2 cos t cos t g. f  t sin 2 t sin t. sin t / f  t cos t sin t sin t cos t 2 sin t cos t sin 2t h. g  x cos 2 x cos x cos x / g  x sin x cos x cos x  sin x  sin 2x i. y x 2 sin x y / 2 x sin x x 2 cos x j. y x cos x 3 x 1 x 1 x cos x 3 x 2 1 y / cos x x  sin x  0 3 2x  cos x x sin x 6 x f.

 

f   cosecsec

f /   cot αcosectan sec

e.

p x  1 sin x   1 cos x 

p /  x  cos x   1 cos x  1 sin x sin x  2





2

3. a. f  x x sin x

f /  x  1 sin x x  cos x  sin x x cos x b. g   2 cos  g /   2cos2  sin  2 2cos  sin  c. h t sin t cos t h /  x cos 2 t sin 2 t cos 2t


4. a. y 4 x 2 sin x 3x 2 cos x

y / 8 x sin x 4 x 2 cos x  6 x cos x 3x 2  sin x  2 8 x sin x 4 x cos x 6 x  cos x 3 x 2 sin x  4 x 2 6 x cos x 3x 2 8 x sin x













b. y sin x x cos x x 4 x 3 2

y / cos x  1 cos x x  sin x 2 x 4 cos x cos x x sin x 2 x 4 x sin x 2 x 4 c. y x2 sin x 2 x cos x 2 sin x y / 2 x sin x x 2 cos x 2 cos x  2 x sin2 cos x  2 x sin x x2 cos x 2 cos x  2 x sin x 2 cos x x2 cos x Bab 4 | Page 180

d. f  x  x cos x x cot x 1 f /  x  cos x  x  sin x  x

 1 cot x x cosec 2 x 

cos x   x sin x cot x xcosec 2 x x

e. f  x 2 x 3 sin x 3 x cos x f /  x 6 x sin x 2 x3 cos x  3 cos x 3 x sin x  

6 x sin x 2 x3 cos x 3 cos x 2 xsin x

f.

f  x cos2 x sin x 2 sin x f /  x  sin x  cos x cos x sin x  2 2 x cos x sin x sin x 2 cos x 2 sin 2 x 2 x cos x sin x  2 sin x cos x





sin  sincos   1  1  0 1 g /   2  sin cos 1  2 sin cos  2 sin t cos t b. h t  3 sin t cos t 2 1 1  3 h/ t  3sin t cos t 2 5  3sin t cos t 2 sin 2 cos  c. p  3 sin   1   0 2 3 p/   2  3 sin  6  2 9 sin  4 cos x 2 sin x d. k  x  5 cos x 3sin x 2  5 4 3 k /  x  2 5cos x 3 sin x  22  5 cos x 3 sin x 2

5. a. g  


sin x x cos x  x sin x 1 1 q  x  2 x x cos x sin x  x2 tan t b. h  t  t sec 2 t  t tan t  1 h/  t  2 t 2 t sec t tan t  t2 tan x c. f  x  1 2 x sec2 x 1 2 x  tan x  2 / f  x  2  1 2 x 

6. a. q x 

sec 2 x 2 x sec 2 x 2 tan x  1 4x 4 x 2 2 sin t D. f  t  t 2 cos t t 2   2 sin t  / f  t  2  t 2 t cos t 2 cos t .2 sin t  t 2 4t 4  e. k   sin  sin  cos 1 / k   2  sin  sin cos  2  sin  x f. r  x  sin x sin x x cos x / r  x  sin 2 x sec  g. g     tan sec  sec 1 / g   2  tan sec sec  2 sec tan 1  2

Bab 4 | Page 181

6 x 2 4 x tan x 3 x sec2 x 

1sin t t cos t t  1 sin t 1t g/  t  2 t

h. g  t 

2 tan x sec2 x 3 x2 2 x 2 sec 2 x 

 



sin  p   1 cos   1 cos  1 cos sin  sin  p /   2  1 cos 

2  1 cos sin sin 2  2  1 cos 1 k. p  1 cos  1 sin  / p   2  1 cos  sin   2  1 cos  x l. h x  sin x cos x sin x cos x x cos x sin x  / h t  2  sin x cos x  sin x cos x x cos x x sin x  2  sin x cos x 



cos x 1 m. g  x  cos x  sin x cos x  cos x 1  sin x  g /  x  2 cos x sin x  2 tan x sec x cos x x2 tan x n. f  x   3 x 2 tan x 

2 x sec x 3x 2 tan x x tan x 3 2 sec x  t  2

2

f/

9 x 2  4 x 3  tan x 

t cos t 1t sint t

t t cos t sin t 1  t t 1 i. f   2 cos  1  2 cos   1 sin  / f   2 2 cos 2 cossinsin   2 cos2 j.

3 tan x 2 tan x sec 2  2  3 x 2 tan x 

2

2  3 x 2 tan x 


2x



2

3 x sec2 x 4 tan x sec2 x 2  3 x 2 tan x 



sin x cos x sin x cos x  1  1  1  1 y/  2  sin x cos x  2   sin x cos x  2 y / 1  1 2  sin x cos x 

7. y 

2  sin x cos x   2  sin x cos x  2

2 sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x  2  sin x cos x  2 1 2sin x cos x  1 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x  1 2 sin x cos x sin x cos x  2  y sin x cos x  (terbukti) x sin x 8. f  x  sin x cos x  sin x x cos x   sin x cos x 

x sin x cos x sin x  2  sin x cos x

f /  x 

sin 2 x sin x cos x x sin x cos x  x cos2 x x sin x cos x x sin 2 x  sin 2 x cos2 x 2 sin x cos x x sin x sin x cos x  1 sin 2 x 

f /  x 1 sin 2 x  x sin xsin x cos x    1 sin 2 x    1 sin 2 x  x sin x sin x cos x

Bab 4 | Page 182

9. a. f   tan

m f   sec      m sec 2 2 4 4   f  tan 1 4 4  /

2


  y 1 2x    4  y 1 2x  2  2 x y 1  0 2 b. f  x sin x

m f /  x cos x

  3 x   m cos  6 6 2  1  f  sin  6 2 6  Persamaan garis singgung :

1 3   y   x   2 2  6

3 2 y 1  3x  6  3x 2 y 1  3 0 6 c. g   sec

m g /   tansec     x   m tan sec 3 3 3 2  3. 2 3   y 2 2x    3 2 y 2 2 x  3 2 2 x y 2  0 3 d. g  x cos x m g /  x sin x

  3 x   m sin  3 3 2


 1  g  cos  3 2 3  Persamaan garis singgung :

1 3  y   x   2 2  3  2 y 1  3 x  3  3x 2 y 1  3 0 3 10. a. h   sin

0 sin  sin  0 mtan h /   1 cos 1 cos 0 2 1 mnormal  2 Persamaan garis normal :

1 y  x 2 2 y x 0 b. f  x x cos x     f   cos  3 6 3  3

mtan f  x cos x x sin x  cos x x sin x     x   mtan cos  sin 2 3 3 3 1 3   2 6 1 6 3 3 mnormal   3 3 3  3 3  3 6 /

18 6 3  2 9 3 Persamaan garis normal :

 18 6 3   y  x   6 9 32  3  3 3 2 9  y   2 2 3     18 6 3 x 622 3   2  





18 6 3 x 9 3 y 2  3

2

Bab 4 | Page 183

2t sin t 3 cos t sin t 3t cos t 2 sin t 2t cos t 3sin t  sin t 3t cost    2t sin t 3 cost   cos t 3 cos t 3t sin t  / f  t  sin t 3t cos t 2

4. f  t 

15 2 2 3  0 2 c. p t t sec t

mtan p  t sec t t tan sec t /

x 0  mtan sec 0 0 tan 0 sec 0 1 mnormal 1

2 sin 2 t 6t sin t cost 2t sin t cos t  6t 2 cos 2 t 3 sin 2 t 9 t sin t cos t  2 t sin t cost 6 t sin t cos t 6t 2 sin 2 t 


y x x y 0

3 cos2 t 9 cos2 t 9 t sin t cos t  sin 2 t 6 t sin t cos t 9 t 2 cos2 t





sin 2 t 6 t 2 sin 2 t cos 2 t 12 cos2 t  sin 2 t 6 t sin t cos t 9t 2 cos 2 t sin 2 t 12 cos2 t  2 sin t 9 t 2 cos2 t 6t sin t cos t

C. Evaluasi Kemampuan Analisis. 1. h y y 3 y 2 cos y 2 y sin y 2 cos y





h /  y 3y 2 2 y cos y y 2  sin y  2 sin y 2 y cos y 2 sin y 3 y 2 2 y cos y y 2 sin y  2 sin y 2 y cos y 2 sin y 3 y 2 y 2 sin y

2. h x x.g  x a sin x b cos x g  x  c sin x d cos x ad bc g /  x  2  c sin x d cos x 

a sin x b cos x ad bc x h  x   2 c sin x d cos x  c sin x d cos x 

5. y Ax cos x Bx sin x y / A cos x Ax sin x B sin x Bx cos x y Ax cos x Bx x xy/ Ax cos x Ax 2 ... x Bx sin x Bx 2 cos



y xy /  Ax 2 ...x Bx 2 cos x



A dan B yang memenuhi adalah semua bilangan positif

Latihan Kompetensi Siswa 7 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

/

g x xg  x /

xh /  x xg  x x 2 g /  x h x x 2 g /  x

3. f   sin 

g   cos / f   cos g   sin  / a. f  .g  f   g /    cos  cos sin  sin 2 2 cos sin 1 / b. f  .g  f  g /   cos cos sin  sin 2 2 cos sin  2 2 cos 1 /

(terbutkti)

1. B.

F  x 3 x 3 3x



 1

 x3 3 x 3 23 1 3 F /  x   x 3x  3x 2 3 3 x 2 1  2 3 x 3 3x a 1 2 b 1   a b22 4





2. E.

G x 

1

x x 5   x x 5 G  x 2 x x 5 2 x 1 2

2

2

2

/

3

2



2 2 x 1

x x 5


2

3

Bab 4 | Page 184







G /  x x 2 x 5 2 2x 1 f  x 2x 1

 

g   cos 3  g /   3cos 2  sin  2 3 cos sin 

4 x3 10 x 2 4x 2  4 x 2 1

  2 x 1 2 x 3x 1  x 1 2

y tan  23 / 2 y sec  23 .2 2 2 sec  23

h x x 1

h x 1 x 1 1 x

10. E.



y  x 2 x

5. E.

h x x 2 sin x h /  x 2 x sin x x 2 cos x





p /  x 2 x x 1 x 2  x 1  1

x 1 f  x  x 1 x 1  x 1 2 / f  x   2 x 12 x 1 2 f /  2  2 2 12

x 1 x 1x 13x 12x 2 x 1  x 1 2 x 1 x 1x 16 x  x 1 3

2

2

2

2

1 2

2

6

2

2

   

g t  1  t 1 t 2 1 1 2 1 1 1 / g  t  1 t 2 . t 2 2 2 1  4 t 1 t 1 g  t  . g t  . 1 t 4 t 1 t 1  4 t 1

x 12

3

 2

2x  x 1x 2 x 2 2 x   2 x 1 x 12 x x 2  2 x 1

12. C.

2

 3

1

8. B.

2



p x x 2  x 1

F  x sin 2 x cos 3x F /  x 2 sin x cos x 3 sin x sin 2x 3 sin 3x

y

2

11. A.

7. C.

9. A.





y / 2 x 2 x .2 x 1 2 2x 1  3 3 x  x 1 g  x  2 x 1 ; h x x 1 g  x h x 3x 2 2 3x

p x cos2 x sin 2 x cos 2x / p  x 2 sin 2 x   p /  2sin 2 1 12  12 

/

4

2

4. D.

6. E.



2 x 3 2x 2 2x 2 6 x3 12 x 6x  4 x 2 1

3. C.

y

  

2 x 3 x 2 x 1 x 2 2 x 1 6 x  4 x 2 1

3

4


13. C.

dr 4 cm detik L r2  9r2  r 3 dL 2r dr

2 3 .4 24cm 2 detik

Bab 4 | Page 185

14.

20. D.

f  x  2 x 3 x 8 4

3

3 f /  x 4 2x 3  2 x 3 8  2 x 34 . 13 .3 x 2 2 x 8 1 f /  2 4 7 3  2 72 7 4. .12 2 72 

x 22 2  1 2 x  3 2 3 3 x 2  1 2 x  x 2 4  1 2 x  f /  x  4  1 2 x  3 1  49   1  4   7 f / 3   f  x 

74 147 28  0, 073 2 .401

sin 2 x cos x g  x  cos 4 x 2 cos 2x sin x cos 4 x 

sin 2x cos x  4 sin 4x  2 cos 4 x  1   2 1 1 12 2  0 / g   2 2 4  1 g  x 

dr 7 cm detik

V r 2 dv 3r dr 2 3 3 157 4.725 cm detik 3

23. C.

17. C. f  x cos3 3 x 2 1

   x 3 cos  3 x 1 sin 3x 16x  18x cos  3 x 1 sin 3 x 1 9 x cos 3x 1 sin 2  3 x 1 9 x cos 3x 1 sin 6 x 2  2

2

2

2

2

2

2

2

2

1  2 2

22. B. h   sec 4  p q  / h   4 sec 3  p q  tan p q  sec p q  p 4 4 p sec  pq  tan pq  4 p tan p q  h

16. D.

f

21. D.

/

15. D.

/

f  x 2 cos3  1 2 x  f /  x 6 cos 2  1 2 x  sin 1 2 x   2 6 cos 1 2x  sin  2 4 x 

2

y sin 3x cos 3x dy 3 cos 3x 3sin 3x dx dy 3 cos1353 sin135 dx x 45 3 3  2  2 0 2 2

24. B. 18. C. Turunan dari f  ax b adalah af /  x

x 2 10   10  y   x   x  x     

19. D.

 10  10 y / 10x  .1  2 x  x

4 3 2 V  r  dv 4r dr 3 20 dr  2 4r 2 L 4r dL 8r dr 20 8r 2 4r 40 40   8 r 5 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

10

10

9

x 10x   10  10x  100 x2  x 9

9

9

100 y 10 10 y  2 x  9 10

Bab 4 | Page 186

25. B.

f   tan  3sec  3 f /   2 tan 3 sec2  3  2 sec  3 tan 3 sec 3 2 4 tan 3 sec  3 4 tan 3 1 tan 2  3 3 4 tan  3 4 tan 3 3 4 tan  3 tan 3 2

2



t 1  c. P t   t 1  3

t 1 t 1  t 1  P t 3 . 2 t 1 t 1   2

/








t 1  2  3 . 2 t 1   t 1  2

x 2 f  x 

d.

x

/

f

1. a. y  2 x 1



 5 2x





 y 3 x  4 x 3  20x 15 2 x 3x  c. y  2 x 4x 5 y 6 2 x 4 x 5  4x 4   24x 24  2 x 4 x 5 d. y  2t 7t 2t 1 y 2 2t 7t 2t 1 8t 21t 2  e. f  x  x 3 x 1 f  x 5 x 3x 1 3x 6 x  5

b. y 2 x 3 x 2

4

2

4

2

6

2

/

5

2

5

2

4

/

x2 x2 2



6 4 x 2 4 x 1 2 24 x 24 x 6

4

3

3

2

/

e. h t 

3

h/ t 

2

x2 2



9 x 2 3



2 2 x 2  x 2



6x



x 2 x 2

3 x2 24 x 3

2 2 x 2

3 x2 8x 1  2 2 x 2 x 2  x 2

x 1 g. T  x  1 2

2

x 12 x 2 x 4  x 1 2 x 4 2 T  x  1 2

2

/

F /  x 3 x 4  3  4 x 4  4

1 4

34

1 4

2 x 4 1 2

x 4 2 x4



b. G x  x 1 x 2 

x2  1

G /  x 3 x 1 x 2  x 14 x 2 4

3

3

 x 1 x 2 3x 6 4x 4 3

 x 1 x 2 7 x 2 3

1 2 4 x2 x 3 4  2

2 x 4

4

2

12

2

1 2

3

2



1 4

 x 4 

2

x 2 x 2 2 t

2 x 4

1 2. a. F  x  x 43

2

 x 2 2

3 52 32 R /  x   x 2  3 x 2 1  x 2   6 x 2

2

6

2

1 2

t 1 2 t 1 t t 2   2 t 1t 1 2 t 1t 1 3 2 f. R  x  x 2  3x2 1

5

3

2

t 1 t 1 t 2 1t1

2

3

12

2

2

/

/

x 22 x  x  x 2 1  x  x 1 2

2

3

y 3 2 x 12

1 2

2

  y cos 4x 3x   8x 3 b. y  1 sin x   1 sin x   1sin x 

3. a. y sin 4 x 2 3x /

2

2

2

4

y / 4 sin 3 x. cos x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 187

3

 cos x   1 sin x 

c. y 

1 sin x cos x cos x   cos x  sin x y / 3   2 1  sin x    1 sin x  2

3 cos2 x 1 sin x  4  1 sin x

  

3 cos 2 x



3  1 sin x  3

 cos x   1 sin x  

d. y 

1 sin x cos x cos x   cos x  sin x y 3   2 1  sin x    1 sin x 2

/

3 cos2 x



3  1 sin x 3  1 cos x e. y  2 2

sin x cos x



2

2



 1 cos x 2 sin x cos x  2 sin x cos x

2  1 sin x

f. y 

2

x cos 2 x

x3



y 2 1  y 14 du du dx  . dy dx dy 2 y y 2 1  . y 12 y 14

2



2 2 2 1 sin x  cos x x3  1 sin x y/  x6

2 x 3 cos x 2 x 3 sin x cos x  3 x2 3 x2 sin 2 x 6 x2 sin x  x6

2 y 3 2 y  y 16 b. v y 3 y x 2 2 x dv dy 3y 2 2 x 2 dy dx

2 x 3 cos x x 3 sin 2 x 3 x 2  3 x2 sin 2 x 6 x2 sin x  x6 2 cos x sin 2 x 3  3  3  4 x x x

3 sin 2 x x4



6 sin x  4 x

  3  x 1 2 x cos 3 x 2   x 1sin3x 23 6 x  x 1cos 3 x 2  3 x 1sin  3 x 2

g. y x 2 1 cos 3x 2  3

y/

3

2

2

2

3

x  2cosecx  cot x cosecx. 2 1 x

h. y cosec

2

cot x cosec2 x  x

x 3 2 sinx 3  cosx 3  2

i. y sin

y/

 

3 x 2 2x dv dv dy  . 3 x 2 2 x dx dy dx 2

2

1 x 3


2x 2 2



 6 x 6x 3 2 x

2

2

2

y/

du 2y 2 x  dx y 12 y x 2 y 1 2

3

sin

4. a. u x 2

dx  y 1y 2 y 2  dy y 14

3 1 cos x sin x  sin x cos x  2

y/ 

sin x 3 cos x 3  x 3 1 1 2  j. y   cos x 2 cos x 2 3 1 / 2  2 y   cos x 2 . sin x .2 x 2 x sin x 2  cos x 2 cos x 2

 2

y y 2 dy 1 3  v 2 dv 2 1  2v z 1

c. x y 3 2 y 1

dx 3 y 2 2 y dy

  2

3 v 2 2 v 2 1

1

3 2   v v dx dx dy 3 2  1  .    . dv dy dv v v  2v v

Bab 4 | Page 188

  1 h  x   sin x . cos x .2 x 2

d. h  x  sin x sin x

3 2  2  2 2v v v

2

1 2 2

/

3 v 2  3  2 2v v

3 y 1 y u 2 5u y 7 dx 3 y 7  3 y 1 dy  2u 5 2 dy du y 7  22  2 2 u 5u 7 dx dx dy  . dy dy du 22  2 .2u 5 2 u 5u 7 44u 110  2 2 u 5u 7

d. x 

x cos x 2  sin x 2 e. T  x sin x

 1 T  x 2 sinx  .cos x  . 2 x sin x  cosx   /







  f. R  x 302 x  c cos5 x  





  R /  x 2 cos 5 x   4 

x x sin 2 x  2x

 



sin 5 x 4 . 5 2 cos  5 x   4

 2 x 3  f /  x 2 x 2 3 x 7  2 x 2 3 x 7



2 x 2 1 2

1 2x h  x  2

 4 x3 x 2  2x  3x 2

1 2 3x 2 2

 1

 2

2x  1 3 x2 1

3x

2

2

14x

3 x

2

2

2



1

2

 2

7x



c. p  x 

.

2

12

2



2

2

2x 2  1 3 x 2 2

3x 2 9 x 2 4

3 9 x 2 4  3 x 2 . 18 x2 2 9 x 4 p  x  2 9x 4 2 6 9 x 4 54 x 2 36 x  2 9x 2 4 9x 2 4 24 36 x  2 2 9 x 4 9 x 2 4 12 18x  2 9x 4 9 x 2 4 /

    





10x 15 sin 5 x 4     2 cos 5 x   4  2 cos 5 x 

2

/

4

 3 2 x 

5. a. f  x  2 x 3x 2 3 x 7

3 x 2

1 2

2



b. h x 

2






4







sin ax g. F  x  cosbx a cos ax cos bx siax b sin bx  F /  x  2 cos bx a cos ax cos bx b sin ax sin bx  cos2 bx

 sinx  2  x   sin  x .cos x .3x 5

h. M  x 5 sin x 2

M

/

3

3

3

35

2 5

3

6x 2 cos x 3  5 5 sin 3 x3 6. a. f  x  x 2 5 dititik  2,3





1 1 m f /  x  x 2 5 2 .2 x 2 x  x 2 5 2 2 m x2   2 2 5 3

Bab 4 | Page 189

e. g   2 tan  4 3 0


2 y 3  x 2 3 3 y 9 2 x 4 2 x 3 y 5 0

y 0

m g /   2tan  4 332 sec 2  4 3 m 0 0

b. g  x  5x 4 dititik  1,  1 3

m g /  x 3 5x 4.5 10 5x 4  2

y 0 0 x 0 y 0 2

5 t 2   dititik t 0  3t 1 

f. h t  

m x 1 10 110 2

 

3t 1 5 t 2  3 5 t 2t m h /  t 2  2 3t 1  3t 1


y 1 10 x 1 10 x y 9 0

 

1 2

2



2 5 t 2 3t 2 2t 15  3  3t 1

c. h x x 2  x 1 x  2


m

2

1 1  y   1 2 2  1 1 1  .  4 4 16 2 m h/  x 2 x x 1x 2  2 x 1 2x  x 12x 2  x 1 2

2

2

1 1  1 1  m x 1 2  12  1 2 2 2  2 2  1 1   0 4 4 Persamaan garis singgung :

1  1 y  0x   16  2 1 y 16 16 y 1 0

t0

2 5 15  150 13 2

5 02   25 y  3.0 1   

Persamaan garis singgung : y 25 150 x 0 y 25 150x 150x y 25 0

 f  x 7 cos  x sin  x 3x 21x sin x  cos  x b. g  x cot  2x  g  x cosec  2x  8x 8x cosec  2x  c. r  x  sin 3x 9 cos x  r  x 6 sin 3x 9 cos x  3cos 3x 27 cos x 

7. a. f  x cos x 7

/

3

6

3

3

2

3

6

2

3

4

3

2

4

6

3

/

 2

  y sin3  2   sin 1 2 / m f   3cos 3   m x  3 cos3 0 2 2  Persamaan garis singgung :

  y 1 0x    2 y 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

3

4

/

d. f   sin  3

2

5

3

2



18 cos 3 x 162 sin x cos2 x

sin 3x 9 cos x 



5

3

8. a. f  x  4x 1

4 2 f /  x   2 4x 1 4 x 1 2 2 f /  2   4.2 1 3 7 x 2

1

7x 2 2 b. g  x    x 3 x 3 

Bab 4 | Page 190

1 7 x 2 2 7 x 3  7 x 2 g /  x   . 2 x 3  x 32 1









 2

d. H  x sin  sin sin x  



9. Tabung r 50cm

detik

V r h dv r 2 dh dv r 2 dh 2  50.50 12.500 2

L 2r 2 2rh dl 2r dh dl 2rdh 2 50  5 500 10. dv 20 cm

1 1   G /  x  2 x   2 x 3 3 x 2 2 x  2x  x  3 2 3x x 2 x

h /  x 2 sin 2 x 15   /  h  2 sin 15  4  2   2 cos15 dh 5 cm

2

2

c. h x cos 2 x 15



3



7 x 2  . 2 2 x 3 7 x 3 19

19 9 / g  1 2. 16 4 19 3 57   32 2 64

c. G  x  x 2 x

3

detik

4 V  r 3 3 dv 4r 2 dr dv 20 r2   4dr 4.20 1  4 1 r  cm 2 11. a. f   sin sin 

f /   cos sin  cos b. h x sin  2 cos x  / h  x cos 2 cos x  2 sin x 


H /  x cos sin sin x  sin  sin x  . cos x

12. a. f  x x 13 x

x 3 m 0  1 3 x  0 2 1 3 x 3 x 1 3x 13x 0 21 3x 3x   13x  1 0  2 6 x  3x 13x 0 1 0 2 6x 3x 1 3x 0 1 2 6 x 1 x1  3 x 2 6 x 3 9 x 2 2 x2  9 1 2 5 x1 x2    3 9 9

2 b. g  x x2  2 x 3

2 m g /  x 2 x 2 x 3  x 2  4 2 x 3  





 2 x 4 x 2 12 x 9 x 2  8 x 24  8 x 24 x 18 x 8 x3 24 x2  24x 3 48x 2 18 x 0 4 x 3 8 x2 6 x 0 8 x1 x2 x3  2 4 3

2

x 1 c. h x  3 2

x 2  2 2 x 1 x 2 3 x 1 3 x 2  m h /  x  6 x 2  2 2 x 1  x 1   0 3 x 2  x 24 2 x 1 x 2x 12 0 2 x 2 2 x 2 x2 2 x 1 0 x 2 4 x 3 0

Bab 4 | Page 191

4 x1 x2  4 1

3

13. f  x  x 13 x 1

L r r r h 2

2

3

dL 

5

2

3

2

5

2

4

2

4

3

2

2

4

2

2

3

2

2

4

4

5  3 x2 5     

 4  2 2 2x 2 2  8 x 3 x2 2  3x 5     12 4 x 1 4 x 1                  4  4 3  2   2   4x 1x 2 30x 3x 5            10  2  3 x 5    

2

2

2

1. L x dengan L/  x 

  x L  x  2x

a. f  x L x 2

f

/

/

1 x

2

1 2 .2 x  2 x x 1  b. g  x L  x  1 1 1 f /  x  .  2  1 x 2x x

2   3 x 

c. h x L

1  1     2 3 x x   3 x

h /  x 

3 x 1 1    2 3x x 2x

3x 2 3 x 1 x x 6 x 3

x  x  3x 2 3x 1 1

G/  x 2 3x 3 x1

2 x

2

x x

6 x3 x x 

2

100



 4 3  2 4 x2 2   3 2  2 x   3 4 x 1    4 x 14x 2          5  4  4   2  3  2   2  3x 5  4 x 1x 2 53 x 5 6 x               F /  x  10 3x 2 5     

c. G x 

 50 40

2 2


3

2  4 x 13  x 2   

b. F  x 

2

50 50 40  80 80   4. 100 10 41 8 2  ?? cm detik 41

4

2

2 4

2 2

2

4

2

2

2 r h r h dL  dh  2 4 2 2 2 2  r  r h r r 2 h 2

5

2

2

r   r  r

   F  x 4 2 x 1 4x  x 2  2x 15x 22x  16 x 2x 1 x 2  10 x  2 x 1 x 2  2 x 1 x 2  16 xx 210 x2x 1  2x 1 x 2 36 x 22x 

14. a. F  x  2 x 1 x 2 2

2

h 40cm  dL ?

(terbukti) 4

dv r dh dv dh  2 r 100  2  50

r 50cm

1 3 3 1 2 f /  x   x 1   x 12 2 2 3 3  x 1  2 2 x 1 3 x 1 3  2 x 1 3x 6 3 x 2   2 x 1 2 x 1

2

2

h 100cm

12

3 2

/

v r h

15. dv 100 cm detik

2

2 3x 3s 1

2 x 13 x 3x



2

4 x x x

x x


2. a.

df sin x  u x cot x dx x df df dx  . du dx du df sin x dx  cosec 2 x du x dx





Bab 4 | Page 192

sin x  1  1   2  x  sin x  x sin x 3. f  2 3 f

/

 x 

x 2 5

 x  2 / x  g /  x 2 xf  x f   x 1  x 1  2 2 x  x  g /  x 2 x   5 x 2   5 x 1  x 1 

x2

2x

x 12

5 x

2

x2

x 12

4 4 5 4 5 1 1 4.3 4.3 1 12 12 0

g  2 4

1 x 1 a. g  x f  3x 1 1 / g  x  .3 2  3 x 11 3  2 9x 6 x 2 1  b. h x f   x  1  1  h /  x  1 2  2   1  x  x

4. f  x 

2 3 x x x1 1 .x x x x2

x 1

7. a. f  x x

2 x  g  x x f   x 1 

/

g/ 1f /  0 4 g/  1 .3 4 4 / g 1 3

/

2

x2  1  1  2   2  2 x 1  x  x 1 5. g  x f  u x

m g /  3 u /  35 f /  5 3 y g  3 u 35 f  5 3


y 3  3 x 3 3x y 6 0

f /  x 

2

x 1x xx1 x 2   3 2 x x 1 x x b. g  x  2 2 x 3 x3 4 5 x v 1 g  5 4 p x  x x w v  3 3 x p w  2 2 x dp 1 1  2 dx x dw dw dp  . dx dp dx 1  1 1 1  2 1  2  2  4 x  x  x x dv dv dw  . dx dw dx 1 1 1  1 1  3  2  4  5  7 x x x  x x dg dg dv  . dx dv dx 1 1 1  1 1  5  5  7  10  12 x x x  x x

  f  t n t  a t  ?????? a t  n t  a t  a t n t  a t  nf  t  

8. f  t t  a 2 t 2 /

n

2

2

2

2

n 1

n 1

2

2

2

6. g f  x x 4x 3

g 1 03 4.0 0 g / f  x f /  x 3 x 2 4


2

a 2 t 2

2

2

n

a t 2

2

Bab 4 | Page 193

9. g f  f f  x 

x 1 x x 1   2 x2 2x x x x x  2x 2 d 2 y 2 x x  x 1 3 x e. y  2  3 dx 4x 2x x 3x x 3 x  4 x3 x x 3 x  4 x3

f  0 1 / f  10 / f  0 1 /

Turunan g di x 0 adalah 1 10. G  t f  h t 

G/  t f /  h t  h/  t / / / G  1f  h 1  h  1 / / f  4h 1 3 618

3. a. f  x sin 5x cos 5 x

Latihan Kompetensi Siswa 8 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. y 3x 7x 2 x 3 3

2

dy 2 9 x 14 x 2 dx d 2y 18 x 14 dx 2 2 3 b. y  x 4 1 3x dy 3 2 2  2 x 4  1 3x x 4 9 x dx d 2y 2 1 3x 3  2x 49x 2  2 dx 2 x 9 x 2 x 2 4  18x 



   



 

     

2 6 x 18x 36 x  3 3 18 x 18 x 72x 3 2 60x 36 x 72 x 2 c. y  8x 5 dy 4  dx 8 x 5 3

3

2

d 2y 2.8  2 dx 8x 58 x 5 16   8 x 58x 5 1 d. y  x  x dy 1 1   dx 2 x 2x x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

f /  x 5 cos 5 x 5sin 5 x // f  x 25 sin 5 x 25 cos 5 x b. g  x sin5 x g /  x 5 sin 4 x cos x g //  x 20 sin 3 x cos x cos x  5 sin 4 x  sin x  3 20 sin x cos 2 x 5 sin 5 x c. h t sec t tan t h/ t tan t sec t sec 2 t h //  t sec 2 t  sec t  tan t  t sec t   2 sec t  tan sec t  3 sec t tan 2 t sec t  2t sec t 2 sec 2 t d. g  y cosecy cot y / g  y cot y cosec y cosec 2 y g //  y  cosec 2 y  cosec y   cot y cosec y  2cosec y  cot y cosec y  cos ec 3 y cot 2 y cos ec y  2 cot y e. f   sin  / f   sin cos // f   coscossin  2 cossin 

 









3. a. y f  x x 2 2 x 3

y / 2 x 2 y // 2 y /// 0 Bab 4 | Page 194

y /// y // y / 0 2 2 x 2 2x 1 x 1

b. y f  x x 3 x 2 x y / 3x 2 2x y // 6 x 2 y /// 6

y /// y // y / 6 6x 2 3 x 2 2 x 2x 1 x 1

1 c. y f  x  x 2 3 2 / y x

y // 1 y /// 0 /// // / y y y 0 1 x x 1 d. y f  x 2 x 2 x y / 4x y // 4 y /// 0 y /// y // y / 0 4 4x x 1 y 5 cos x 2 sin x

4.

dy dx

d2 y dx 2

d y dx

2

2

5sin x 2 cos x

5 cos x 2 sin x

y 5cos x 2sin x 5 cos x 2sin x 0

5. y x 3 6 x 2 10 x 9

y / 3x 2 12 x 10 y // 6x 12 0 x 2 2 3 y 2 6 2 10 2 9 8 24 20 9 5 6. y A cos x B sin x y / A sin x B cos x y // A cos x B sin x y // 2 y / 3y 2 sin x A cos x B sin x 2 A sin x B cos x   3 A cos x B sin x 2 sin x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

A 2B 3Acos x B 2A 3B sin x 2 sin x 2 A 2B cos x 2 B 2 Asin x 2 sin x

2 A 2B 0 2 A 2 B 2  4 B 2 1 B 2 0 1 1 A  2 2

7. y Ax 3 Bx C

y / 3 Ax2 B y // 6 Ax y /// 6 A y /// 2 y // 3 y / y x 6a 12 Ax 9 Ax 2 3B Ax 3 Bx C Ax3 9 Ax2  12 A B  x 6 A 3B C A 0 12 A B 1 B 112 A 1 12 0 1 6 A 3B C 0 6 0 3 1 C 0 C 3 Jadi, A 0, B 1, C 3 8. y sin x cos x

dy cos x sin x dx d 2y sin x cos x dx 2 d3 y cos x sin x dx 3 d 4y sin x cos x y dx 4 d 137 y d 3 45 2 y d 2 y  3 452  2 dx137 dx dx sin x cos x 9. a. y 3 x 4 2 x 2 x 5

y / 12 x 3 4 x 1 y // 36 x 2 4 y /// 72 x

Bab 4 | Page 195

e. t  x x sin x

b. f  x  2 3x 2

f  x  /

2 3 x

2

 

3 2 3x 2 3x f  x  2 3x 2 3 2 3x 2 9x 2  3 2 3 x 2 2 18 x 2 6  3 2 3 x 2 2 //

 







  18 x 6 2 3x 6x      x  2 3x  36 x  2 3 x 2 3x  18x 69 x 2 3x  2 3x  2 3x  72 x 108x 162x  2 3 x  2

f

3 x 2 3 x2

 

36 x 2 3x

///

t /  x sin x x cos x // t  x cos x cos x x ?? 2 cos x x sin x /// t  x 2 sin x sin x x cos x f. y 4 sin x 3 cos x y / 4 cos x 3sin x y // 4 sin x 3cos x y /// 4 cos x 3 cos x

3x

2

10. f  x sin x cos 3x

2 3

2

3 2

a. f /  x cos x cos 3x sin x 3 sin 3 x 

1 2

cos x cos x3x 3 sin x sin 3x    f /  cos cos 3 sin sin  3 3 3  1 1 1    1 3 3   0  2 2 2 

2 3

2

2

2

2

2 3

2

3

3

54 x



2 3



270 x 126x 3

2 3x  2 3 x

c. g  x 

g /  x 

2 2

2

x x 1 x 1 x 2 1x1

x 1 2 x 1 x x 2   2 x 1x 1 2 x 1x 1

2 x 1 x 2 . .2 x 1 g //  x  3 4 x 1 3 2

3 2

2 2 x 1  6 3x x  3 4 x 1 3

3 x 1 3x 1   4 x 12x 16 3xx 1  6 3 x 2 x1

3 2

3

12x 1

g x ///

2

16 x 1 6

d. h x sin x 

h /  x cos x  // h  x sin  x  /// h  x cos x 


b. f //  x sin x cos 3x cos x 3sin 3x 

 3 cos x sin x 3 sin x 3 cos 3x  

sin x cos 3x 3cos x sin 3 x  3 cos x sin 3 x 9 sin x cos 3x 10sin x cos 3x 6 cos x sin 3x    f //  10sin cos x 6cos sin  3 3 3  1 1   10 3  16   0 2   2 

5 3

c. f

///

 x  10 cos x cos 3 x 3sin x sin x  6 sin x sin 3 x cos x 3 cos 3x  

28 cos x cos 3 x 36sin x sin 3x     f ///   28cos cos 36 sin sin  3 3 3  1 1  28 136  0 14   3 2  2 

11. a. f  x 2 x3 7

f /  x 6x 2 f //  x 12x // f  2 12 2 24 3 b. f  x 5 x 1 / f  x 15x 2 f //  x 30x // f  2 30 2 60

Bab 4 | Page 196

f //   cos  2 2 22 cos 2 // 2 f  2 2 cos 422 h. f   cos  / f   cos    sin    cos  sin   // f   sin     sin    cos      sin  sin   2 cos  2sin   2 cos  f //  2 2sin 222 cos 2 2 2 0 2  122

1 t

c. f  t 

1 / f  x  2 t 2 // f  x 3 t 2 1 // f  2  3  2 4 1 d. f  u  2u 5 2 / f  u  2 2u 5  8 // f  u  2u 53 8 // f  2  8 3  2.2 5

f

f

/

3

2

3

2

3

//

2

3

2

//

2

2



2

2

2



dn n x n n 1 n 2  .....3.2.1 dx n n! n d b. a x n an 1 x n 1 ..... a1 x a0 dx n n an .n!

3 2  2 12 5 24 5 24.8.5

1.500 600 960 3.060



2 x 1

f. f  x 

x 2 1

   

2 x 2 1  2x 1 2 x  f /  x  2 2 x 1

13. a.

2 x 2 2x 2  2 x 2 1

  4 x 2x 1 2x 4 x x 1  x  x 1 2

2

f

//

f

//



d n x nx n1 dx d2 n x n n 1 x n 2 2 dx d3 n x n  n 1 n 2 dx 3



2

2

2

f

12. a.

   x  x 1x  6 x x 1  x 16 x  x 1  x 6 x x 112x  x 1 6 x 4 xx 1

e. f  x x x 1 2

2

2 x ?



2

2

4

1025 6 8 25

 2 

625  250 1.200 1. 450   625 625 58  25

g. f   sin   2

f /   2 sin  cos   sin  2 





     45x 10 3x 2x 19  d 3x 2x 19 dx  90x  3x 2x 19 45x 1036 x 83x 2x 19  270 x 180 x 1 .710    3 x 2 x 19   5 4 d 3 x2 2 x 19 5 3 x3 2 x 19 9 x2 2 dx 2

2

4

3

5

2

4

3

2

3

2 4

3

3

2

1.620 x4 720 x 2 80  

  d 3x 2x 19  dx  27x 6  3x 2x 19  1. 890x 900 1. 710x 80 3 x 7. 560x 1. 800x 1.710 3

3 x 3 2 x 19 1.890 x 4 900 x 2 1.710 x 8 3



5

2

2

2

4

2

3

2 x 19

 3

3


Bab 4 | Page 197

  54 x 3x

 2 x 19

5 d4 3 x 3 2 x 19 dx 3

2







 1.890 x 4 900 x 2   27 x 2 6 18 x2 4   1 . 710 x  80  

3x

3



 1. 890 x 4 900 x 2   2 x 19    1. 710 x 80  

27 x

2

2 7. 560 x3    6 3 x3 2 x 19   1 .800 x 1 .710   

27 x

2

2 7. 560 x3    6 3 x3 2 x 19   1 .800 x 1 .710   

3x

3









 3

2 x 19 22.680 x 2 1.800



g //   2 sin2cos 2 2cos  sin   2 2 sin 4cos g //   2 2 sin 4cos  g   2 sin  2 2 4  2  cot    2 4 2  2  cot  2    2 4    2  cot 1    

   

(terbukti)

d 1  1 1 b.   2  11 dx x  x x

d 2 1  2 2.1   3  21 dx x  x x d 3 1  6 3.2.1    31 dx x  x 4 x r!  r 1 untuk r ganjil x r d 1    dx x  r! untuk r genap x r1 14. f  x x 3 3 x 2 45 x 6

f /  x 3x 2 6x 45 f /  c 0  3c 2 6c 45 0 c 2 2c 9 0 2  4 36 c 2 1 10 f //  c 6 x 6



 



f // 1  10 6 1  10 6

6 10 f 1  10 6 1  10 6 //



 



6 10

Jadi, f

//

 c yang mungkin adalah

6 10 15.

g   2 sin  g /   2sin2 cos


B. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a. f  x 

1 x 2 2 x / f  x 2 x 3 2 2 .1  3  1 2 x x // 4 f  x 6 x 6 3 .2 .1  4  2 2 x x 24 4 .3 .2 .1 f ///  x  5  32 x x  n 1 !  n2 untuk n ganjil x n f  x  n 1 ! untuk n genap x 2 x 1 b. g  x   3 x 2 3 g /  x  2 3x 2  6 g //  x  3 3x 2  3n  untuk n ganjil n 1  3 x 2

g n  x 

3n untuk n genap n 1 3x 2 

Bab 4 | Page 198

2  1 2 1 x  1 x  1 / h  x 2 1 x  1 2  2  1 x  4 // h  x   1 3  1 x  4  3  1 x  2n n h  x  n 1  1x  d. p x sin ax b 

y /// y // y / y cos x 2 sin x sin x 2 cos x  cos x 2 sin x sin x 2 cos x 0

c. h x 

p /  x a cos ax b  // 2 p  x a sin ax b /// 3 p  x a cos x  ax b  /v 4 p  x a sin ax b

u g  x dy dy du a.  . 2 dx du dx 2 d y d 2 y du du dy d 2 u  .  dx 2 du2 dx dx du dx 2 2 dy d 2u d 2 y du    2  2 du dx du dx 

4. f  x  1 x

1 1 f /  x  2 1 x 2 x 1 1   4 x 1 x 4 x x x 5. x A sin kt B cos kt a.

k 2 x (terbukti)

2. y f  u

(terbukti) 3

b.

d y dy du d 2u dy d 3u    dx3 du dx dx 2 dx dx 3 2

d y du du    du 2 dx dx  2

2

d y du d y 3 2  2 du dx  dx 2

2

3. a. y 3 sin  2 x 3 y / 6 cos sx 3 y // 12sin  2x 3 y // 4 y  12 sin 2x 34 3 sin 2 x 3  0

(terbukti) b. y sin x 2 cos x

y / cos x 2 sin x y // sin x 2 cos x y /// cos x 2 sin x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

dx Ak cos kt Bk sin kt dt d 2x Ak 2 sin kt Bk 2 cos kt dt 2 k 2  A sin kt B cos kt 

b.

d 3x Ak cos kt Bk 3 sin kt 2  dt d 4x Ak 4 cos kt Bk 4 sin kt dt 4 k 4  A cos kt _ B sin kt   1k x 2

2. 2

d 2n x n 1k 2 n x 2 n  dt (terbukti) 6. g t at 2 bt c

g 15  a b c 5 g/ t 2at b / g t 2a b 3 g //  t 2a // g  12a 4 a 2 a 2  2a b 3 b 3 2 27 a 2 dan b 7 2 7 c 5 c 0 Jadi, a  2, b 7, dan c 0

Bab 4 | Page 199

Latihan Kompetensi Siswa 9 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C. 1 x 3

f /  x 3x 2 12 x 9 0 x 2 4x 3 0 x 1 x 30

f  x turun pada interval 1 x 3

6. D. 1 x 1 atau 1 x 3





2 x x 1  x 2 3 y/  0 2 x 1 x 2 2 x 3 0 2 x 1 Kemungkinan I x 1 0 x 1 …..(1) 2 x 2 x 3 0 x 3 x 10 1 x 3 …..(2) Irisan (1) dan (2) :

1 x 3

2. C. x 1 atau x 2

g /  x 6 x 2 18x 12 0 2 x 3x 2 0 x 2  x 10

Kemungkinan II x 1 0

x 1 …..(3) x 2x 3 0 1 x 3 …..(4) 2

Irisan (3) dan (4) :

1 x 1

g  x naik pada interval x 1 atau x 2 3. B. x 2 atau x 6

p /  x  6 x x  2 6 x  1 0 2

36 1x x 2 12 x 2 x 2 0 3x 2 24 x 36 0 x 2 8 x 12 0 x 6 x 20

p x tidak pernah turun pada interval x 2 atau x 6 4. A. 2 x 0

/  x 3 x 2 6x 0 3x  x 20

 x tidak pernah naik pada interval 2 x 0 5. B. Tidak pernah turun

R /  x 3x 2 6 x 3  3 x 2 2x 1





 3 x 10 Berarti R  x tidak pernah turun 2


Kurva itu selalu turun pada interval 1 x 1 atau 1 x 3 7. D. 12 dan 36

f /  x 3x 2 2ax b 0 2 x 6   3 x 6  x 60 2a  6 6 3 24 24 a 12 2 b 36

8. C.

f /  x 3ax 2 .2x 0 x x 20 x 2 2x 0 3a 1 1 a 3

9. C. 3

T /  x 6 x 2 9 ax 4b 0 4 x 1   x 1 x 40 2 x 3x 4 0 2 6 x 18 x 24 0 9a 18 4b 24 a 2 b 6 b 6  3 a 2 Bab 4 | Page 200

b. f /  x 2 3 x 2 0

10. C.

L  x 3ax 18bx 24 0 x 1 x 40 2 x 3x 4 0 2 6x 18 x 24 0 3a 6 18b 18 a 2 b 1 a b 2 1 3 /

2

3x 2 2 2 x  3 2

x 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. f

/

 x 2x 0 x 0

f  x selalu naik pada interval x 0 / b. g  x 2 x 30 x 3 f  x selalu naik pada interval x 3 c. t /  x x 2 x 6 0 x 3 x 10 x 3 atau x 1 t  x selalu naik pada interval x 3 atau x 1 3 2 d. l /  12 2 x 3x  12 2x  2  12 2 x 6 x 12 2 x 0 3

2

2  12 2 x  12 2 x 6 x  0 2  12 2 x  12 8x 0

3 l  x selalu naik pada interval x  atau 2 3 x 6 2 2. a. f

/

 x 2 x 1 0 1 x 2

1 f  x selalu turun pada interval x  2 f  x tidak pernah turun pada interval 1 x 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2 6  3 3

f  x x 

6 selalu turun pada 3 6 6 interval x  atau x  3 3 6 f  x x  tidak pernah turun pada 3 6 6 interval  x  3 3 c. g /  x 3x 2 8x 5 0 3x 5 x 10 5 x x 1 3

g  x selalu turun pada interval 5 1 x  3 g  x tidak pernah turun pada interval 5 x 1 atau x  3 3. a. f

/

 x 32x 0 x 0

f  x selalu naik pad interval x 0 f  x tidak pernah naik pada interval x 0 / b. g  x 24x 2 6 x 18 0 2 4 x x 3 0 4 x 3 x 10 3 x  x 1 4

Bab 4 | Page 201

3 g  x selalu naik pada interval x  4 atau x 1 g  x tidak pernah naik pada interval 3  x 1 4 1 1 c. k  x  x 2 x 0 2 x 2 2 x 2  x 0 2 x 2 3x 2 0 2 x 2

k  x selalu naik pada interval x 2 k  x tidak pernah turun (tidak ada interval yang memenuhi)





d. h/  x  x 2 7 x 29  x 1  2 x 7 

0 x 7 x 29 2 x 2 5 x 7 0 3 x 2 12 x 36 0 x 2 4x 9 0 2

4  16 36 x 2 2  13

h x selalu naik pada interval x 2  13 atau x 2  13 h x tidak pernah naik interval 2 13 x 2  13 x 2 x 1  2 x 1 e. p /  x  2 x x 1 2 x x 2  2 x x 1 / p  x 0 x 2 x 2 0 dan x 2 x 1 0 Selalu x 0 untuk x R

x 2 x 2 0 dan 2 x x 1 0 Tidak ada x R yang memenuhi Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Selalu naik pada interval 2 x 1 Tidak pernah turun pada interval x 2 atau x 1 4. a. f

/

 x 4 x3 6 x 2 0  3 4x 2 x  0  2

f  x turun pada interval x 0 atau 3 0 x  2 b. h /  x 12 x 3 24 x 2 12 x 0 x 3 2 x 2 x 0 2 x x 10 h x turun pada interval x 1 atau 1 x 0 / c. k  x 15 x 4 20x 3 0 5 x 3 3 x 40

3 k  x turun pada interval x  atau 4 3  x 0 4 5. a. f

/

 x 3x 2 2ax b 0 x 3 x 10

x 2x 3 0 2 3x 6 x 9 0 2a 6 b 9 a 3 a b 3 9 12 / b. h  x 3ax 2 2b 0 2

 2   2  x   x  0 3 3   4 2 x  0 3 2 3x 4 0 3a 3 2b 4 a 1 b 2 a b 1 2 3 Bab 4 | Page 202

6. f /  x x 2 0

f  x tidak pernah turun semua x

b. g /  x 3x 2 2kx 2k 0

2k 2 4 3 2k 0

(terbukti) Garis singgung sejajar sumbu

x  f /  x 0 x 2 0

1 2 x 0  f  0   0 1 1 3 Jadi, a x 0 b f  0 1 P a, b P  0,1 7. g  x x nx n 0 /

4k 24k 0 4 k k 60 2

Agar g  x tidak pernah naik untuk semua nilai x bilangan real, maka

0 k 6


2

n 4 1  n 0 2 n 4n 0 n n 40

1. a. f

/

g  x selalu naik untuk semua x bilangan real jika 0 n 4

 x x 2 4 0 f  x selalu naik untuk semua x bilangan

8. a. f

/

real

b. h/  x 2x 4 5 x 2 0

h x tidak pernah turun semua x bilangan

real

 x 3x 2 24 x 48 0 f  x tidak pernah naik untuk semua x

9. a. f

/

bilangan real

b. k /  x 3 x 4 3 x 2 0

k  x tidak pernah naik untuk semua x

bilangan real 10. a. f  x 2 x 2 kx k 0 /

2

2k 2 4 2  k 0

4k 8k 0 4k  k 20 2

Agar f  x tidak pernah turun untuk semua nilai x bilangan real, maka

0 k 2


 x 4 x 3 4 x 0

 

2

4 x x 2 1 0

f  x naik pada interval 1 x 0 atau x 1 x 1x 0 b. g /  x  x 1 1 0 x 1 x 1 0 x 1 g  x naik pada interval x 1 8 2 4 1 c. f /  x  x 3  x 3 0 3 3 8 43  x 0 3 3 x2 3 8 4 x

0 33 x 2 8 4 0 4 x 8 x 2 dan x 0 f  x naik pada interval x 0 atau 0 x 2 2. a. f

/

 x 16x 3 12x 2 24 x 0





x 16 x 2 12x 24 0

f  x selalu turun pada interval 3 73 x   8 8

Bab 4 | Page 203

2x

b. g  x  x 1 x /

2

2. D. 0 atau 1

f /  x x 2 2 0 x x 10 x 0 x 1

2 x 1 x2  x 2 1  2 0 x 1 x 2 1 x 2 0 x 2 1 2x 2 1 0 x 2 1 2

3. B  1,1dan  1,5

g  x selalu turun tidak ada interval yang memenuhi. 2 2 x 1x2 2  x 1 2 x c. g /  x  0 2 x2 2









2 x 2 6 x 4

x 2 2

2

0

Kemungkinan I

2 x 2 6x 4 0 dan x 2 2 0 2 x 4 x 10 dan x 2 2 1 x 2 dan  2 x  2 Interval irisan : 1 x  2 Kemungkinan II

2 x 6x 4 0 dan x 2 0 1 x 2 dan  2 x  2 1 x  2 Jadi, g  x selalu turun pada interval 2

2

1 x  2 3. f naik pada a x b untuk 2 a b

g /  x 3x 2 3 0 x 2 1 0 x 1 x 10 x 1 x 1 3 x 1  y  13 1 3 5 3 x 1  y 1 3 13 1 Titik stasioner  1,1dan  1,5

4. B  1,5dan  2,4

p /  x 6 x 2 28x 12 0 x 2 3 x 2 0 x 2 x 10 x 2 x 1 x 2  p 2 16 36 24 4 x 1  p 12 9 12 5 Titik stasioner  1,5dan  2,4

5. C.

f / t 4t 1 0 4t 1 1 t 4 2

f naik pada 2 x 

Latihan Kompetensi Siswa 10 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. y 1

y / 3x 2 6 x 3 0 2 x 2 x 1 0 x 12 0 x 1 2 3 y 1 3 13 1 2 1 3 3 2 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

1  1  1 f  2  3 4  4  4 1 1   3 8 4 1 2 24  8 25  3,125 8 a 2 0  nilai balik maksimum y 3,125 6. B.

2t 6 3t 2 t 2 6t 9  6t 

y/ 

9t 4 18t 2 54t  0 9t 4 18t  t 30 Bab 4 | Page 204

t 0 t 3 (tm)

2  36 3 9 0 2 3 3

t 3  y 

 36t 54  9t 4  18t 2 54t  36t 3

y // 

81t 8  54   729  162 162  36 27 y //  3    8 81 3

Titik balik minimum  3,0  7. B.

y / 2t 5 0 5 t 2 // y 2 0

10.

2

5  5  y  5 6 2  2  25 25   6 4 2 25 50 24 1   4 4

f /  x 2nx 4 0 4 2 x  2n n 2

1 4

Nilai ekstrim minimum y  8. C.

f /  x x 3 4 x 0 x x 2 4 0 x 0 x 2 x 2 f  0 0 1 4 2 f 2   22 2  4 4 8 4 1 4 2 f  2   2 2 2 4 4 8 4 // f  x 3x 2 4



1 5 x  x 2 2 1 1 1  1 f  4 18 15 20 4 2 2  8 1 9 15    20 2 2 2 1 23 2 5  125 225 125 40 f  4    8 2 2 2 2  15  2 Maksium pada saat x 2,5



f //  0 3 0 4 4 0 2

Titik balik maksimum  0,0 9. B.

f /  x 12 x 2 36 x 15 0 4 x 2 12x 5 0 2x 1 2 x 5 0


2  2  n 4 n 2 1 n  n  4 8  n 2 1 n n 4  n 1 0 n 2 n n 4 0 1  1 16 n 2 1 17   2 2 11. A.

2 f/ t 1  2 a 2t 1 1  0 a 2t 1 1 a 2t a 2t 1 a 1 t 2 a 1  a 1 f  a  a 110  2  2 a 1   1 10 2 Bab 4 | Page 205

a 1 9 2 a 118 a 19

25 3 23 Nilai minimum  6 Nilai maksimum 

25 23  3 6 50 23 27   6 6 9  2

12. D.

f /  x x 3 4 x f //  x 3x 2 4 0 4 x2  3

2 f 3

2 f 3

2 x  3 3  1 16 4  3  2   4 9 3  20  9  1 16 4 3  2 3  4 9 20  9

13. D.

f /  x 3 x 2 6 x 9 0 x 2 2 x 3 0 x 3 x 10 x 3 x 1 f 3 27 27 27 27 f 11 3 9 5 // f  x 6x 6 f //  3 18 6 12 0 // f  16 6 12 0 Nilai balik minimum 5

14. C.

f  x x 2 x 2 0 x 2  x 10 x 2 x 1 8 25 f 2 2 4 5  3 3 1 1 23 f 1  2 5  3 2 6 f //  x 2 x 1 f //  2 2 2  1 0 // f  12 11 3 0


15. A.

y / 12 x 2 36x 15 0 4x 2 12 x 5 0 2 x 1 2x 50 1 5 x x 2 2 // f  x 24x 36 1  f //  12 36 24 0 2  5  f //  60 36 24 0 2 

5 2 1 2

5

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. f

/

 x 3x 2 14 x 5 0  3x 1 x 5 0

1 x  x 5 3 // f  x 6 x 14 1  f //  2 14 16 0 3  1 Jadi, x  adalah penyebab maksimum 3 / b. f  x 4x 3 6 x 2 6 x 4 0 4 –2 4 1 4 12

6 –8 –2 4 2 –2

4

–6 4 –2 2 0

–4 4 0

0

f  x 12x 12 x 6 // f  248 24 6 18 0 // f  112 12 6 18 0  1 f //  3 6 6 6 0  2 Jadi, x  2 dan x 1 penyebab //

2

Bab 4 | Page 206

1 2 / 3 c. f  x 16 x 8 x 0

minimum x  penyebab maksimum





8 x 2x 2 1 0 1 1 x 0 x  2 x  2 2 2 // 2 f  x 48 x 8 // f  0 8 0 1  f //  2 24 8 16 0 2  1  //  f  2 24 8 16 0 2  Jadi, x 0 penyebab maksimum dan 1 1 x  x dan x  2 adalah 2 2 penyebab minimum

d. f /  x 3 2 x 0 2

x 2 f //  x 6 2 x 

f

//

 2 6 2 20

Jadi, x 2 adalah penyebab stasioner e. f /  x  x3  1 x x 3  10

5 3

2

5

5 3  1 x  x 2 x 3 x 2 0 3 5 5   3 x 2   x x 0 3 3  5 8  3 x 2   x 0 3 3  8 5 x 0 x 3 3 5 x 8 1 2  5 8  2  8  f //  x  x 3   x x 3   3 3 3   3  // f  0  tidak terdefinisi 

5  2 f //   8  3 3 58

5 8 5  3 2  8    .    3 3 8  64  3 

 8  3 25   12  2  3 25 0 3


5 8 2 / e. f  x  x 2 x 1 2 x 2 0 x 2x 2 2 x 20 x 2 3x 0 x 2 x 0 // f  x 3 x  x 2 3 6 x 6 // f  0 6 0

Jadi, x  adalah penyebab maksimum

f

//

 26 0

Jadi, x  2 adalah penyebab maksimum dan x 0 adalah penyebab minimum 2. a. f

/

2  x  x 12x  x 1  x 1 x 12 x 0 x 1  3x 10

1 x 1 x  3 // f  x 3 x 1 3 x 1 6 x 4 // f  12 0 1  f //  2 0 3  f 11 0 0 2

2

1  1  2  f     3  3  3  14 4   3 9 27 Nilai stasioner maksimum

4 27

Nilai stasioner minimum 0

b. f /  x 4x 3 12x 2 0

4 x2  x 30 x 0 x 3 // f  x 12x 2 24 x f //  0 0 // f  3 108 72 36 0 f  0 0 f  3 3 4 4 3 81 108 27 3

Nilai stasioner minimum  27  0,0 bukan nilai ekstrim tapi merupakan titik belok fungsi f Bab 4 | Page 207

7 4 4 1 3 3 1 1 3 x 7 x 4 0 3 4 x 0 x  7 1 28 4 f //  x  x3  3 2 9 9 x

c. f  x  x 3  x 3 0 /

f

//

 0  tidak terdefinisi

4. f

/

 x 2ax b 0

x 1  2a b 0 f 1a b 4 1 a b 5 2a b 0 a b 5  a 5 b 10 ab 5 1050

2

4  4  4 4 4 f   3  3 1 7  7  7 7 7 //

12 4  3 1 9 7 Jadi, nilai stasioner minimum adalah

12 4 1 3 49 7 / d. f  x  x2 3  x 3 2 x 0 2 2 x 3 2 x 6 x 0 3 x 2 6 x 3 0 x 2 2 x 1 0 x 12 0 x 1 // f  x 6 x 6 // f  10 f  0 3.3 9 0,9 bukan titik ekstrim tapi titik belok





 

2x 2  x 2 1 1 x2 x 2 1  2 0 x

e. f /  x 

Tidak punya titik stasioner 3. y  n 2  x 2 x 5n 0 /

2

y // 2 n 1 x 2 1 2 x 3   n 2  27 9 15n 27 3 9n 2 36n 36 15n 9 27 0 9n 2 51n 72 0 3n 2 17n 4 0 ????


a  x 

b  0 2 x 2x x a b x 4   0 2 4 2 .4 4 a b  0 4 16 16 4b 0 4 a b 0 b 4a b f  4 a 4  13 4 b 2a  13 2 b 2a  13 2 4 a 13 13 a 4 13 b 4. 13 4

5. f

/

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. f  x a x r1  x r2  x r3 

f /  x a  x r2  x r3 ax r1  x r3  a x r1  x r2 0

2. f  x x 2 x 2

f /  x 2 x 2x 3 2 2x  3 0 x 4 2 x 2 0 x3 x 4 1 x 1 Bab 4 | Page 208

f //  x 2 6x 4 6 2  4 x // f  12 6 8 0 f 1 2 6 8 0 f 1 2 6 8 0 1 2 f 1 1  2 2 1 1 2 f 1 1 12 Nilai minimum 2

Latihan Kompetensi Siswa 11 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. y 2 x 53 (i) Titik potong sumbu y  x 0 2

y 2 0 53 2.25 3 53  0,53 2

Titik potong sumbu x  y 0

2 x 5 3 0 2

32 x 8 x16x 2  16 2 x 3. g /  x 2 x  4  8 x  2

2 x 8 x32 8 x32 x 2  8 x  4  8 x 4

2

4. f  x ax 2 bx c

f  x 2 ax b 0 b x  2a //

2

Jadi, tidak ada titik potong sumbu x (ii) Titik stasioner :

dy 4 x 50 dx x 5

/

f //  x 2 a Karena a 0 maka f

2x 20 x 53 0 20  400 4.2.53 x1,2  ; D 0 2 .2

dy dx

 x 0

Jadi, fungsi kuadrat tepat mempunyai satu titik kritis (terbukti) 5. f  x ax 3 bx 2 cx d

f /  x 3ax 2 2bx c 0

 a 0

x 5

x 5

x 5

–

0

+

Untuk x 5  y 2 5 5 3 3 2

Maka titik  5,3adalah titik balik minimum (iii) untuk x besar maka y 2x 2 jadi, untuk x besar positif dan besar negatif, nilai y besar positif

??? dapat memilih satu, dua atau tanpa titik kritis Satu titik kritis Contoh : f  x x 3

f /  x 3x 2 0 x 0

Dua titik kritis

f  x x 3 x 2 f /  x 3x 2 2 x 0  2 3x x  0  3 2 x 0 x  3

Tanpa titik kritis

f  x x 3 2x 1 f /  x 3x 2 2 0

b. y x 3 2 (i) Titik potong sumbu y  x 0

y 03 2 2

 0,2


x 3 2 0

3 x 3 2 x  2  1

Titiknya

2,0  3

Tidak ada x yang memenuhi Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 209

(ii) Titik stasioner

6 x  1, f  10 6 Titik belok  1,0 

dy 3x 2 0 dx x 0 x 0 dy dx

x 0

+

0

x 0

x 1 13 3

x 1 13 3

+

0

dy dx

Titik balik :

d 2y 6x 0 dx 2 x 0 dx 2

3

1 13 3

+

x 0  fungsi naik, x 0  fungsi naik

d 2y

1 1 3 x 

x 1 13 3

x 1 13 3

0

+

dy dx

x 0

x 0

x 0

–

0

+

Untuk x 0  y 03 2 2

–

 1   1  f //  1  3 6 1  3 6  3   3 

 0,2 

Jadi, titik  0,2 merupakan titik balik

2 3 0  1  Maka f  1  3 nilai balik  3  maksimum

 1   1  f //  1  3 6 1  3 6  3   3  2 3 0  1  Maka f //  1  3 nilai balik  3  c. y x 3 3x 2 2 x (i) Titik potong sumbu y  x 0

y 03 3.0 2 2.0 0  0,0 Titik potong sumbu x  y 0 x3 3x 2 2 x 0 x x 2 3x 2 0 x x 2 x 10 x 0 atau x 2 atau x 1 0,0  , 2,0  , 1,0



Minimum (iii) Untuk nilai x yang besar maka y x Untuk x besar positif maka y bernilai besar positif Untuk x besar negatif maka y bernilai besar negatif




dy 3x 2 6 x 2 0 dx 6  36 4.3.2 x1 ,2  2 .3 6 2 3 1  1  3 6 3 1 1 Maka x 1  3 atau x 1 3 3 3 Titik belok :

d 2y 6 x 6 0 dx 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

2. a. g  x 3x 4 (i) Titik potong sumbu y  x 0 4

y 3.04 4 4

0, 4


3x 4 0 2 2 3 x 2 3 x 2 0 2 x 2  (TM) 3 4







   3x  2   3x 2     

Bab 4 | Page 210

2

x

x 

3 1 2

x 0, x 3, x 1 x 0  y 0 0 0 2 2  0,  2

3

2 81 3

x 3  y 35 5.34 5.33 2 26  3,26 5 4 x 1  y 1 5.1 5.13 2 1  1,1

 2 3 81   ,0    3  

3

2 34  1 3 34 3 4 2 3 81 3 3  2 81     3 ,0    

d 2y 20 x3 60 x2 30 x dx 2 x 0 x 0 0 x 1 x 1 1 x 3 x 3 x 3 dy dx


dy 12 x3 0 dx x 3 0 x 0 2 d y 36x 2 dy 2 dy dx

d y dx 2

x 0

x 0

–

0

+

2

0

dx 2

+

0

–

0

+

0

–

+

Jadi,  0,  2titik belok

 1,1titik balik maksimum 3,26titik balik minimum

x 0

d y

0

2

(iii) Untuk nilai x besar maka y x 5 Jika x besar positif maka y besar positif Jika x besar negatif maka y besar negatif

x 0  f  0 3.04 4 4 0, 4 Titik belok  0, 4 (iii) Untuk nilai x besar y 3x 4 Jadi y bernilai besar positif untuk x besar positf maupun negatif c. y x 3x (i) Titik potong sumbu y  x 0 6

4

0,0 

y 06 3.04 0


x 3x 0 x 4 x 2 3 0 x 0 dy 5 3 6 x 12 x 0 dx 6x 3 x 2 2 0 x 0 2 d y 30 x 4 36 x 2 2 dx 6

b. y x5 5x 4 5 x 3 2 (i) Titik potong sumbu y  x 0

y 05 5.04 5.03 2 2 0, 2 Titik potong sumbu x  y 0 x 5 5 x 4 5 x 3 2 0 Sulit menentukan akarnya (ii) Titik – titik stasioner

dy 4 3 2 5 x 20 x 15x 0 dx 5x 2 x 2 4x 3 0





5x 2  x 3 x 10


4







dy dx d2y dx 2



x 0

x 0

x 0

–

0

+

+

Jadi,  0,0 titik balik minimum Bab 4 | Page 211

(iii) Untuk nilai x besar positif maupun negatif menghasilkan y besar positif

3. a. f  x 4 x 2 Titik potong sumbu x  y 0

d 2y 3  x dx 2 2 dy dx

x  2

x 0

 2 x 2

x 2

x 2

+

0

–

0

+

d2y

4 x 2 0 2 x  2 x 0 x 2 atau x 2 2,0 , 2,0 

–

dx 2

+

Jadi,  2,4titik balik maksiumu dan

 2,4titik balik minimum

Titik potong sumbu y  x 0

0,4

y 4 0 2 4

1 3 k  2  .2 3.2 4  2, 4 4 1 3 k 2  23 2 4 4  2,4

1 4

(iii) Untuk x besar k  x  x

3

x besar positif  k  x besar positif

x besar negatif  k  x besar negatif Grafiknya pada gambar (i)

Jadi, grafiknya pada gambar (ii)

6 x 6 x 2 3

4. y 

a. Titik potong sumbu y  x 0

b. k  x  x3 3x

1 4

(i) Titik potong sumbu y  x 0

1 y  .03 3.0 0 4

0,0


1 3 x 3x 0 4





1 x x 2 12 0 4







1 x x 2 3 x 2 3 0 4 x 0 atau x 2 3 atau x 2 3

0,0  , 2

 

3 ,0 , 2 3 ,0


Penyebut selalu positif jadi, hitung pembilang 0 agar nilai fungsi 0

6x 6 0

6 x  1 6

Titik potong sumbu x adalah  1,0 b. Titik – titik stasioner



   18  12 x 12 x  0 x 3

dy 6 x 3  6x 6   2 x  0 2 2 dx x 3 2

6 x2

2

2

2

6 x 12 x 18 2

dy 3   x 3 0 dx 4 3 2 x 4 0 4 3 x 2 x 20 4 x 2 x 2



6.0 6 6 y  2 0 3 3 Titik potong sumbu x  y 0 6x 6 0 x 2 3




x 3 2

2

0

6 x 2 12 x 18 0 x 2 2x 3 0 x 3 x 10 x 3 atau x 1

Bab 4 | Page 212

x 3

6 3 6  y 2 33 18 6  1  3,  1 12 x 1 6 16 12  y 2  3  1,3 1 3 4 Jadi, titik stasionernya  3,1dan  1,3 x  3

x  3

+

0

dy dx

 3 x 1 x 1

+

0

x 1

–

3,1adalah titik belok  1,3adalah titik balik maksimum Untuk x besar positif

6 x 6 2 x   x 3 6x 6x 2  2 0 0 lim xx 2 x3  0 x 2  2 1 0

y lim

x

x 3 atau x 5 x 3  y 3 32 12.3 45 3.18 54 x 5  y 5 5 2 12.5 45 10 Titik staioner  3,45 dan  5,10









x 3

x 3

3 x 5

x 5

x 5

+

0

–

0

–

dy dx

Jadi,  3,45adalah titik balik maksimum dan  5,10adalah titik balik minimum  Untuk x besar maka f  x x 3 x besar positif maka f  x besar positif x besar negatif maka f  x besar negatif

x

Untuk x besar negatif

6 x 6 0 0  0 2 x   x 3 1 0

y lim

b. x 3 12 x 2 4 x a 0 untuk interval nilai – nilai a manakah persamaan x 3 12 x 2 4 x a 0 punya tiga akar





5. a. f  x x x 12 x 45 2

x 12 x 45x  Titik potong sumbu y  x 0 3

2















15x x  2 x  2 0 2

x 0 atau x  2 atau x  2 f  0 0 0 1 1  0,1

     5

x 0 D 0

3

f  2 3  2 10  2 1

Tidak ada akar Titik potong sumbu x  0,0  Titik stasioner

dy 3x 2 24 x 45 0 dx 3 x 2 8 x 15 0 3 x 3 x 5 0



dy 4 2 15 30x 0 dx 15 x 2 x 2 2 0



y 0 0 2 12.0 45 0 Titik potong sumbu y  0,0  Titik potong sumbu x  y 0 x x 2 12 x 45 0



6. f  x 3x 5 10 x 3 1, 2 x 2 a. Titik stasioner




3.4 2 10.2 2 1 8 2 1  2 ,8 2 1

 f  2 32 102 1 5



3

12 2 0 2 1  8 2 1 2 ,8 2 1





Bab 4 | Page 213

Jadi, titik stasioner adalah  0,1

 2 ,8

2, 8

2 1 ,  f  x 1



2 1

3x 10x 1 1 5 3 3x 10x 0 x 3 3x 2 10 0 5

3



x

3



3x  10 3x  10 0

x 0 atau x 

30 atau 3

30 x 3 2 x 

Latihan Kompetensi Siswa 12 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

v t t 2 6t 5 a t  2t 6 0 t 3

30 30 atau 0 x  3 3

 f  x 1 apabila

2. C.

v t 3t 2 12t 12 a t 6t 12 48 6t 60 t 10 detik

30 30  x 0 atau x 2 3 3 b. Nilai maksimum f untuk 2 x 2 adalah 8 2 1 7. fungsi f kontinu dan diferensiabel dalam interval tertutup D  0,6yang memenuhi syarat /  f  x 0 pada  0,3artinya di interval

0,3fungsi f turun /  f  x 0 pada  3,6artinya di interval  3,6fungsi f naik

Jadi x 3 merupakan titik balik minimum  f //  x 0 pada  0,5artinya di interval

0,5fungsi f cekung ke atas  f //  x 0 pada  5,6artinya di interval  5,6fungsi f cekung ke bawah

3.

4. C.

v t 3t 2 4t 1 21 2 2t 4t 20 0 3t 10   t 20 10 t  t 2 3 (tidak mungkin negatif)

5. C.

v  t 2.103 t 5.10 2 2.000t 500 v 5 2.000 5 500 9.500 pertahun

6. E.

B. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. c. f  x  sin x

0 x 


v t 2t 6 a t 2 a 5 2 m detik2

7. D.

v t 3t 2 12t 9 0 t 2 4t 3 0 Bab 4 | Page 214

t 1 t 30

2. s t 6t 9t 4 2 a. v 3t 12t 9 0 3

t 1 t 3

2

t 4t 3 0  t 3 t 10 t 3 t 1 s 3 27 54 27 4 4 m s 11 6 9 4 8 m a 6t 12 a 3 18 12 6 m 2 s a 16 12 6 m 2 s b. a 6t 12 0 t 2 s 2 8 24 18 4 6 m v 2 12 24 9 3 m s 2

1 atau 3 8. D.

v 2 pt q

v 2 4 p 2t 2 4 pgt q 2

v 2 q 2 4 p 2 t 2 4 pqt  4p 4p 2 pt qt  pt 2 qt r r s r





9.

3. 128t 12t 2

d 128 24t dt d 128 24 3 56 rad detik dt t 3 b. 128 24t 0 16 t  detik 3 a.

10.

2

Jarak dari B ke O





s 3t 2 14t 9 t 2 6t 10 s 2t 2 8t 1

Jarak terdekat dicapai pada saat

s 0  4t 8 0 t 2 2 s 28 2 1 9 /

16  16  128  12  3  3  6.144 192 5.952   9 9 1 661 radian 3 1 4 4 3 v t 2 a 3t

4. s  t B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

 27v 27 t 27t 3

a3 3t 2 27t 6

1. s f  t 3t 3

a. t 2  s 3 2 24 m 3

b. v 9t 2

a 18t c. v 0  9t 2 0 t 0 d. a 0  18t 0 t 0


3 2

2

Jadi, a 27v 3

6

2

c v

5. pv c  p 

dp c  2 dv v

Bab 4 | Page 215

v

dp  c v  2  dv v  c  p v

10 10 20 cm 20 cm

6. bt at 2

 b 2at 2 a 2 2 b 2  b 2at b2 b2 4a 2t 2 4abt b 2 2,2a  bt at 2  2 1 3

a. s 0 10

2

detik

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1.

(terbukti) 2

detik

Luas bertambah dengan kecepatan

(terbukti)

7. s 10 8t 3t  t

2

1 2

2. s  10t 2 5t 2 3

b. v 8 6t t 2 c. 8 6t t 0 2

4 t  2 t 0

t 4 t 2 d. a 2t 6

a  4 2 4 6 2 m

s2 a  2 2 2 6 2 m 2 s 8.

Latihan Kompetensi Siswa 13 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. A. 3x 2

f  x x 3 f  x p f  x lim p0 p f x p  f  x lim p0 p / 2 f  x 3x

2. B. f /  x

f  h f  x h  h0 h f x h  f  h / lim f  x h 0 h lim

9. v 0,1 cm

jam

1 2 l 10 p 20 cm dl dp dl 0,5  2 1 dt dt dt dL dl dp p l dt dt dt 20 0,5  10 1

10. l  p


4 3 x 4 4 x 3 16 lim x2 x 3 8 4x 3 12x 2 lim x2 3 x2 32 48 4   12 3

3. B. 

Bab 4 | Page 216

a 1 3a 2 x 2  a 1 x a lim 3 3 xa x a 2 x  a 1 lim xa 3 x2 2a  a 1 a 1   2 3a 2 3a

4. B.

5. A.

8. A.

x n a n x  a x n 2 a n 2 nx n 1 na n 1 lim  xa n 2 x n 3  n 2 an 3 n n  a n 1n 3  a2 n 2 n 2 lim

9. A.

2 5

x 2 n x 3 n x 4 n x n lim x 1 x 5 n 1 2nx 2 n 1 3nx 3n 1 4nx 4 n 1 nx n 1 xlim 1 5n x5 n 1 2n 3n 4n n 2   5n 5 5 9

6. B. 

3

lim

a sin a 5 5 cos 4 a 

lim

2 1 a2 4a 2 95 5 lim   cos a   sin 2 a cos a 5  0   0

a a2  5  2 10 2

10. C.

3 x 2 4x 1 3 5 x 3

x 1

lim x 1

1 5 cos a  0 2 lim

3

2x 2  x 2 3 x 6 x 4 3 5 2 3 2

3 x



4 x 1

2 2 2 x 2

2

3

 5 x 3 

2 x 3 x 2 3 x

5 125 12  5 34 4 4 5  4 5    12  3  9 10

122

 3 3 cos n lim   0  1 cos m  3n sin n lim  0 3m sin m  3n 2 cos n n 2 lim   0 3m 2 cos m  m 2 11. E. 48

lim x 8

3

lim

x 8 x 2 1

x 8

7. E.

lim

x0

  k x  k  6 6

1 33 x 4

lim 3 3 x4 x 8

3.16 48

x

 k /   6    2 cos 2 sin 2  2 6  6    4 cos sin 3 3 1 1    4   3  3 2  2 


12. C. 1

2 2 cos x 2  2 x  2 x 4 x 4 2 sin  x 2  lim x 2 2 x 4 2 cos x 2 lim 1 x 2 2 lim

Bab 4 | Page 217

17. E. 5

13. D. 2 3

x x  0 tan x sin x 3 x2 lim x  0 sec2 x cos x 6x lim x  0 2 sec2 x tan x sin x 6x lim 2 x  0 2 sec x tan x sin x 6 lim x  0 4 sec2 x tan 2 x 2 sec 3 x cos x 6  2 0 2 1 lim

14. E. n

x 1 lim x1 n x  1 1 lim 1 lim n n x1 n n x 1 x 1

n n x1n

15. A. 23

1 cos 4 x x sin x 4 sin 4x lim x  0 sin x x cos x 16 cos 4 x lim x  0 cos x cos x x sin x 16  8 23 2 lim

x 0

16. B. D. 2

2  x a b x0 x 3 2  3 a 0 lim

3 a 2 3 a 4 a 7 1  b 2 3 a 1  b 2 4 1 7 b   a.b  4 4


2 a 3 b 5  2 3 2 4 6a b 5  4 4 6a b 5 b 5 6 a 9 a 3b 3 0 9a 3 5 6a  3 0 9 a 18 a 2 b 5 6 2 7 a b 2  7  5

18. D.

f  x 2 2 x f  0 0  d 0

lim

x 0

f /  0 0  c 0 f //  0 2 2 f //  0 4  6a  0 2b 4 b 2 f  x lim 4 x  2 2 x f/ 2 4 1 f / 24

3a 22 2 20 4 12a 8 4 12a 12 a 1 3 2 Jadi, f  x x 2x 2

f 1 12 1 1 2 1 3

2

19. B. 5

f  0 1  b  a 1

b  a 1 a b 5  2 2 a  a 1 5

a  a 4 a 4

Bab 4 | Page 218

b  4 1 2 1 1 b 1 a b 4 1 5

5 x8 11x7 6 x6 x2 x 3 x 1 x 1 x 2 

f. lim

40 x7 77 x6 36c 5 2 x 1 2 3 x  1 3 x 1 x 2  x 1

lim

280 x 6 462 x 5 180 x 4 2 2 2 x  1 6 x 1 x 13  x 1 3 x 1

1 20. B.  4

lim

x 0

lim

x 0 0

2

4

1 .680 x5 2 .310 x4 720 x3 12 x 12 x 1 x1 1 .680 2.310 720 90   7 ,5 12 12

cos x 3  sin x 4 x sin x cos x  2 cos x 3 2 sin x 4

lim

lim

1



1 2 0 4

1

1  4

3x 2 5x 9 2 x   3 2 x 

2. a. lim


x3 8 x  2 x 2 2 x 3x 3 3 22 lim  6 x  2 2 x 2 2 2 2

3x 2 5 x 9 3  x   4x 2 12 x 9 4 3 x 1 1 b. lim  2 3 x   5 3x 4x 7 x 7 lim

1. a. lim

a a b b b. lim ab a b 3 a lim 2 1 lim 3a 3b ab

ab

2 a

x 3 2 x 2 4x 3 x3 x 3 27 18 12 3  0 6 3 x 3 2 d. lim 7 x2 x 7 2 c. lim

1

xlim 2

7

3 x2 1 7

7 x

6



1 33 4

1 7 7 64

7 7 64  3 3 4

x n k a n k e. lim k n xa x a k n  n k  x n k 1  n k  a n k 1 xlim  a  n k  x n k 1  n k  a n k 1 n k n k 1 k n 1 n k 2 n  a  a k n k n


x 1 5 1 x x 1 3 1 x 1 5 1 5 4

5

3. lim

x0 3

lim

5

x0

x 1 1

2 33  x 1

5

3 3

4 x1 

1 2  x 1 

15 25 3   13 23 5 3 1

51

4. a. lim

x 1 tanx 1

x  1 1 cos x 1

tan  x 1  x 1 sec 2  x 1 sin  x  1  x 1

lim

2 sec 2  x 1 2 x 2  tan  x 1 sec 2  x 1 cos  x  1  x 1 2  2 1 sin 4 x sin 4 x cos 8x lim x  0 x tan 8 x sin 2 x 4 cos 4 x 4 cos 4 x cos 8 x 8 sin 4 x sin 8 lim x  0 tan 8 x 8 x sec 2 8 x sin 2 x  x tan 8 x 2 cos lim

b.



lim



4 cos 4 x 4 cos 4 x cos 8 x  8 sin 4 x sin 8 x

x  0 tan 8 x sin 2 x 8x sin 2 x sec 2 8 x 

2 x tan 8 x cos

lim

x 0

Bab 4 | Page 219

1 coscos 2  0 2 sin cos 22 cos sin 2 lim  0 2 coscos 22 sin sin 2

c. lim

2 sinsin 24 coscos 2  0 2 1 0 0 4 5   2 2 sec 4 x sec 5 x 1 1 d. lim    0 sec 3x sec 2x 0 0 sin 21  tan 21 e. lim  0 3 2 cos 2  sec 2   lim sin 2 1 2 tan 21  0 3 cos 4cos 3 f. lim  0 tan 2 4 sin 43 sin 3 lim  0 tan 22sec 2 2 16 cos 49 cos 3 lim  0 2 sec 2 22 sec 2 2 lim





2sec 2 2tan 2 16 cos 49 cos 3 lim  0 4 sec 2 24tan 2sec 2 2 16 9 25   4 4 5. Diketahui f /  a terdefinisi dan diferensiabel

xf  a af  x x a f  a x.0 af /  x lim xa 1 / f  a af  a (terbukti) 2 x 1 a. lim 3 x  1 7 x 2 2 2 lim  1.12 24 x 1 lim

xa

1 2 33  7 x 

1 3. 4

2 cossin  42 sin cos lim  4 8 4

b. lim

cossin 12 2 12 2 lim    4 32 32 1  2 32

2 2  cossin c. lim   4 1 sin 2 2 3 cossin  cossin  lim   4 2 cos 2 2 6 cossin   cos2in  3

3 cossin  lim   4 4 sin 2 3



 6

6 2  03 2  4 1 2

3

2

3  2 4 2

sin x x 16 x 3 d. lim x0 x5 cos x 1 12 x 2 lim x0 5x 4 sin x x lim x0 20 x 3 cos x 1 lim x0 60x 2 sin x lim x  0 120 x cos x 1 lim  x  0 120 120 x cos x sin x e. lim x0 x 2 sin x cos x x sin x cos x lim x  0 2x sin x x 2 cos x sin x sin x x cos x sin x lim x0 2 sin x 2 x cos x  2 x cos x x 2 sin x sin x x cos x lim x  0 2 x 2 sin x 4 x cos x cos x cos x x sin x lim x  0 2 x sin x 2 x 2 cos x  4 cos x 4x sin x 1 10 2 1    0 2 4 0 6 3









  4


Bab 4 | Page 220

f  x 3 x 3

7. lim

x 9

f  x 2 f  x /

lim

x9

1 2 x



4 2 9 1 2 9

4

61 4 6

x 2 ax 8 1  2 x  2 x  2 b x 2b 6 2 2 a 2 8 0 2a 12 a 6 2 2 a 1  2 2  2 b 6 2 1  2 b 6 12 2 b b 2 12 14

8. a. lim

b. lim

x 1a cos x  b sin x

1 3 x  1 a cos x  ax sin x b cos x

x0

1 3 x2  a sin x a sin x ax cos x bsin x lim 1 x0 6x 2a b sin x ax cos x 1 lim x0 6x  2a b  cos x a cos x ax sin x lim 1 x0 6 lim

x0

2a b a 6 3a b 6 b 6 3a 1 a b 0 1 a 6 3a 0 2a 5 5 a  2

5 b 6 3  2 15 3 6   2 2 x  x 2 c. lim b x4 x a 1 2 1 x 1 14 lim  1 b 1 x4

2 x

f a 2h  f  a h0 h / 2f  a 2h lim 2 f /  a h0 1

9. lim

4

3 4 1 4

b  3

4 a 0 2 a 0  a 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a 1b  1c  1 d 0 3

2

a b c d 0 .....(1) 2 a 2b 2c  2 d 0 8a 4b 2c d 0 …..(2) 3

2 3a  1 2b  1 c 1 2 1 1 3a 2b c 3 …..(3) 2 3a  2  2b 2 c 4 2 2 1 12a 4b c 12 …..(4) (1) – (2)  9a 3b 3c 0 …..(5) 9a 6b 15 (3) – (4)   3b 3c 15 b c 5 .....(6) (5) – 3 (3)  9a 3b 3c 0 9a 6b 3c 0  9b 9 b 1 1 c 5 c 4 3a 2 1 4 3 3a 6 3 a 1 1 1 4 d 0 d 4

x a b cos x c sin x 1 5 x 0 x a b cos xbx sin x c cos x lim x 0 5x 4 b sin x b sin x bx cos x c sin x lim x0 20 x3  2 b c  sin x bx cos x lim x 0 20 x3  2 b c  cos x b cos x bx sin x lim x0 60 x 2  3b c cos x bx sin x lim x0 60 x 2

2. lim

Bab 4 | Page 221

lim

3b c sin x b cos x bx cos x

x0

120 x  3b c  cos x b sin x b cos x bx sin x lim x0 120

 3b c  b

1 120 4b c 120 …..(1) a b c 0 3b c 0 c 3b a b c 0 …..(2) 3b c 0 c 3b …..(3)

 1  1 x 20  20   x  1 1 x 1 x   20 1 x 20 lim  2 x 1  1 x  1 x

5. lim



(3) disubtitusi ke (1)

4b 3b 120 b 120 c 3 120360 a 120 360 0 a 240

1 x 20 20 1 x  2 x 1  1 x  1 x 20 20 20x 2 x 1  1 x 

lim

f a 3h  f  a 2h  h0 h / 3f  a 3h 2 f /  a 2h  lim h0 1 / / 3 f  a 2 f  a f /  a af  x xf  a b. lim xa x a af /  x f  a lim xa 1 / af  a f  a f  x sin a f  a sin x c. lim xa x a / f  x sin x f  a cos x xlim a 1 f /  a sin a f  a cos a





lim

x 20 19 20x 2 x 1  1 x 

3. a. lim

 

lim

20 x19 20 x  1 2 1 x  380 x18 380 lim  190 x 1 2 2 lim

Latihan Kompetensi Siswa 14 A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. f  x 

1 ; 0 x 1 x



f a 2h 2 f a h3 h0 h2 4hf a 2h2 3h 2 f a h3 lim h0 h2 16h 2 f a 2h2 9h 4 f a h3 lim h0 2 0 0  0 2

d. lim

x n f  x an f  a n n xa x a nx n 1 f  x x n f /  x lim n 1 xa nx n 1 na f  a a n f /  a  n 1 na a / f  a  f  a n

4. lim

















f  x tidak mencapai maksimum atau minimum lokal pada interval tersebut

b. g  x x 2 ; 1 x 4

g  x mencapai nilai minimum lokal pada x 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 222

f /  x : 4 x3 24 x 0 4 x x 2 6 0

c. h x x 3 1 ; 1 x 1











4 x x  6 x  6 0 x 0 atau x  6 atau x  6

h x tidak mencapai nilai maksimum ataupun minimum lokal pada interval tersebut

1 d. f  x  2 ; x  x 1

f  x mencapai nilai maksimum pada x 1 1 e. f  x  ; 2 x 3 x 1 x 

f  x tidak mencapai maksimum ataupun minimum lokal pada interval tersebut 2. a. f  x 25 4 x 2 ; 2 x 3

f /  x 8x

Titik – titik kritis f  x diperoleh :

f /  x : x 8 0 x 0 x f  x Jenis

–2 9

0 25

3 –11

Max

Min

2

f /  x 3x 2 6 x

Titik – titik kritis f  x diperoleh :

f /  x : 3x 2 6 x 0 3 x x 20 x 0 atau x 2 x –1 0 f  x Jenis Min

–3

f  x –27 Jenis

6

0

–36 Min

0 Max

6

–36 Min

3 –27

d. f  x 4  x 5 ; 6 x 4 2

f /  x 2 x 5  Titik – titik kritis f  x diperoleh : / f  x : 2 x 5  0 x 5 x –6 f  x 3 Jenis Min

–5 4 Max

–4 3 Min

e. f  x  x 5 x 35 ; 5 x 2

f /  x  x 3 x 5 2 x 2 Titik – titik kritis f  x diperoleh : / f  x : 2 x 2 0 x 1 x –5 5 f  x Jenis Max

–1 –11

2 –2

Min

3. a. g  x 3x 5 5 x 3 ;  2,2

g /  x 15x 4 15x 2 Titik – titik kritis f  x : 4 2 15x 15x 0 15x 2 x 2 1 0 x 0 atau x 1 atau x 1

 

b. f  x x 3x 4 ; 1 x 4 3

x

0 4

2 0

4 20

Min

Max

2. C. f  x x 4 12 x 2 ; 3 x 3

f /  x 4 x 3 24 x Titik – titik kritis f  x diperoleh :


x –2 f  x –56 Jenis Min

–1 2

0 0

1 –2

b. f  x x 1 x 1 ; 2,2

2 56 Max

pada interval  2,0 

 f  x  x 1  x 1 2 x / f  x 2 Pada interval  0,2  f  x  x 1 x 1 2x / f  x 2 x f  x Jenis

–2 4

–1 2

0 2

1 2

2 4

Bab 4 | Page 223

Titik – titik kritis t  x :

1 x ; 2,5 x 2 3 1 x 2 3  1 x  2x / k  x  2 x 2 3

c. k  x 







1 3 x



x 2 2 x 3  x 3 x 1   2 2 x 2 3 x 2 3





Titik – titik kritis f  x :





x 3 x 3

0 , syarat x  3

x 3 2

2

x 3 atau x 3 x k x

Jenis

–2

3

5

3 7

2 12

 4 28

Max

Min

1

h  x 

4 3x 2

4 x  1 2

2

 12





h  x

2 3

3

2

0

2 3

6

0

Jenis

k  x  2 x  1  x 2 x  2 x x 2 1 x    2 2 2 x 3 2 x 3 Titik – titik kritis k  x : 2 1 x  0 2  2 x 3 x 1 23

3 –3 Min

f. t  x x 2 x 2 ;  0,4 1

Max

Min

4. a. g  x x 4 x 2 3

4 x 2 x 0 2 x 2 x 2 1 0 x 0



Oleh karena :

 

 

2 x 2 x 2 1 0 untuk  0,  2 x 2 x 2 1 0 untuk  ,0  Maka x 0 adalah titik balik minimum,

Tidak terdapat nilai t yang memenuhi

1

x 1 k x 1 Jenis Max

Jenis

2 h/  t  3 3  t 2  Titik kritis h  t : 2 3 0 3  t 2

3 e. k  x x  2 x  ; 1,3 1 3

–6

2

Max

/

3

3 b. h  t  t 2 

0

–2

8 27

dengan nilai minimum 3

2 x  3 3 x

4

t  x 0



4 x 2 2 x 2 4 3x 2   1 1 4 x 2 2 4 x 2 2 Titik – titik kritis h  x : /

1 3

0

3

  



x

Titik – titik kritis g  x :

h /  x  4 x 2 2 2 x 2 4 x 2



1 x 3

g /  x 4 x3 2 x

d. h x x 4 x 2 ;  0,2



0

1

2x 2

3

1 1 3 1 t /  x  x 2  x2 2 2 1 3x  1 2x 2


h/  t 0

Tapi dari formula :

3 h t  t 2 2

Didapat :

 t 20 Maka h t mencapai nilai maksimum  2 3

Pada t 2 c. k  x 

x2 x 2 4



 x x 4 x 4 

2 x x 2 4 k  x  /

12

2

2

32

2

2 x3 8x x 2  5 x 2 4 2 Titik – titik kritis k  x :





Bab 4 | Page 224

2 x 3 8 x x 2

 Maksimum lokal g   1 untuk  3  , 2 2 Minimum lokal g   0 untuk  (karena 0,2 diluar interval)

0

x 4  x 2x x 80 5 2

2

2

x 0 atau 2 x x 8 0 2

(akar tidak rill)

karena :

k  x k  0 untuk x 0 , dan k  x k  0 untuk x 0 k  x mencapai nilai minimum pada x 0 k  0 0

cos d. m  , 0 2 1 sin  sin  1 sin  cos  cos  m /   2  1 sin 





sinsin 2 cos2   2  1 sin   1 sin  1   2  1 sin  1 sin 

Titik – titik kritis m  diperoleh :

1  1 sin   0 1 sin   1 sin  sin 1 0 2 cos  sin 1   2   Karena m   m  untuk 0  2 2    dan m   m  untuk 2 2 2 

5. f  x 6 x 4 x pada interval  0,9

f /  x 

3 4 x Titik kritis f  x : 3 4 0 x 3 9 4  x  16 x 9 x  berada pada interval  0,9 16 Untuk : x 0  f  x 0 1 5 1 x   f  x  1 16 4 4 9 18 1 x   f  x  4 16 4 2 x 1  f  x 2 x 9  f  x 18 Dari titik – titik uji tesebut disimpulkan :

9 1 untuk x  2 16 Nilai minimum f  x  18 untuk x 9 Pada interval  0,9 Nilai maksimum f  x 4

maka disimpulkan :

 m  mencapai nilai minimum di  2 e. g   sin , 0 2 sin , 0  g   sin , 2 Diketahui 1 sin 1 Karena g   sin , didapat 0 g   1 sin 0 untuk 0, ,2  sin 1 untuk  2 3 sin 1 untuk  2


B. Evaluasi Kemampuan Analisis 27   pada 0 x  2 sin x cos x

1. f  x 

64

f  x 64 sin x  27 cos x 1

f

/

1

 2 2  x 64 sin x  cos x  27 cos x  sin x 

64 cos x 27sin x   sin 2 x cos 2 x

Tentukan titik kritis :

64 cos x 27 sin x  0 2 2 sin x cos x 27 sin x 64 cos x  2 2 cos x sin x sin 3 x 64 sin x 4    atau 3 cos x 27 cos x 3 Bab 4 | Page 225

4 tan x  , dapat digambarkan 3

4. f

Nilai ekstrim dapat ditentukan untuk

3 5

2. f /  x 2 x 2  x 1x 2 x 3 2

4

 Pada interval  , 2 ,f

/

3

 x 0

artinya f  x naik pada interval tersebut  Pada interval  2,1 , f /  x 0

Artinya f  x turun pada interval tersebut  x 2 adalah titik balik maksimum  Pada interval  1, 2 , f /  x 0  x 1 adalah titik balik maksimum  Pada interval  2,3 , f /  x 0  x 2 adalah titik balik maksimum  Pada interval  3,  , f /  x 0  x 3 adalah titik balik maksimum 3. f  x x 5 5 x3 4 , pada interval

 2,2,5 f /  x 5 x 4 15 x 2



5 x 2 x 2 3



x 2 

1 x  / f  x cos x  sin  2 2  x  1 x  2 1 2 sin   sin   2  2 2  x  1 x  2 sin 2   sin  1 2  2 2 

4 3 4  x arc tan  dengan 3  64 27 f  x   125



  x sin x cos , pada interval

2,2

Dari tan x  diperoleh titik kritis

4 5

/

   Titik – titik kritis:  2, 3,0, 3,2,5  Pada interval  2, 3  , f  x 0  Pada interval   3 ,0  , f  x 0

f /  x 0 x  1 x  2 sin 2   sin 1 0 ; 2  2 2  x  Misal : t sin  2  1 2t 2  t 1 0 2 1  t 2

1 2  4 2  1 2 2 2

1 1   33 atau 8 8 x  1 sin  1  33 atau 2  8 x  1 sin  1  33 2  8 1 x 2arc sin 1  33 atau 8 1  x 2arc sin  1  33 merupakan nilai 8  ekstrim dari f  x









 

 

5x x  3 x  3 2

/

Latihan Kompetensi Siswa 15

/

 x  3 adalah titik balik maksimum lokal  Pada interval 0, 3 , f

   x 0  Pada interval 3 ,2,5 , f  x 0 /

/

 x  3 adalah titik balik minimum lokal

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B.

x y 40 x 40 y

Hasil kali kedua bilangan :

H x. y 40  y y

40 y y 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 226

500 500 2 y 2  2 2 0   0 y y2 2 y 2 500

H / 40 2 y H akan maksimum jika H 0 /

 40 2 y 0 40 2 y  y 20 ; x 20 H  20   20 400

2. D.

y  250 5 10 250 x 5 10 5 10



k 2 5 10 5 10

a b 2n b 2n a



20 10 5. A. Misal : B : Biaya produksi x unit pakaian J : Harga jual pakaian perunit K : Keuntungan yang diperoleh (semua dalam ratusan ribu)

Luas persegi panjang

L a.b a 2n a 

2na a 2

B x 2 4 x 10 J 20 x

Luas terbesar diperoleh jika L/ 0

2n 2a 0 2n 2  n a ; b n a

Keuntungan untuk penjualan x unit pakaian :





K x  20 x   x 2 4 x 10 20 x x 2 x 2 4 x 10 2 2 x 16 x 10 x 2 8 x 5 Keuntungan maksimum jika K / 0 2x 8 0 x 4 2 K  4 8 4 5 11  Jadi keuntungan maksimum jika terjual

3. D.

Panjang alas kotak a 2x Lebar alas kotak b 2 x Luas alas minimum, jika L/ 0

4 unti pakaian, dengan keuntungan

2a 2b 8 x 0 a b x 4

Rp 1.100.000 2

a b  a b  a b  L ab 2a 2b 4   4   4  4 

a 2 b 2 ab  4

4. E.

250 y

Luas : xy 250  x  Maka keliling :

k 2 x y 

250  500 2  y y   y 2 y   500 k /  2 2 y Keliling maksimum jika :

6. A.

1 B  x 2 35x 25 (dalam juta rupiah) 4 1 J 50  x (dalam juta rupiah) 2  1  1 2  K x50  x  x 35x 25  2  4  1 1 50x  x 2  x 2 35x 25 2 4 3  x 2 15 x 25 4 Keuntungan maksimum jika :

3  x 15 0 2 x 10  Kentungan akan maksimum jika setiap hari diproduksi 10 radio


Bab 4 | Page 227

7. A. Misal : A = bilangan pertama B = bilangan kedua

A B 4n  A B 4n A.B  B 4 n B B 2 4nB Nilai terkecil dari A.B diperoleh jika : 2 B 4n 0 B 2n 2 A.B  2n 4n n

4n 2 8n2 4n 2 8. C.

1 1 A  AP  PB 6 10

2

13  49  6 20 10 5 x   6 3 2 20 Maka x  bukan solusi maka volume 6 maksimum untuk x 1 dimana volume : 2 3 V 40 1 26 1 118 10. D.

AP   x 0  0 5 2

13   134 3 10  x 2 3

2

 x 2 5 2 PB  10 x ; 0 x 10 1 2 2 1 A  a 5   10 x  6 10 1 2 x 2  x 5 1  6 10 Akan dicari x yang meminimumkan A

x

1 A/   , tentukan titik kritis : 6 x 2 52 10 x 1  0 2 2 6 x 5 10 10 2 2 x  x 5 6 100 2 36 2 52 .62 2 2 x  x 5  x  2 36 36 8 3 x 3 4 3    P 3 ,0  4 

P r 2 Keliling daerah terasir :

  K 2 p 2q  p 100 2  4  q 50  p 4  Luas daerah terasir 2

1 p  L p.q    2 2  8  2 50 p  p 8 

L akan maksimum jika L 0

8 200 50  p 0  p  4 8 200  8 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. Keliling persegi panjang 200 m

9. A.

2 p q 200 q 100 p

Dari gambar :

0 x  2 Volume  8 2 x  5 2 x   x





V 40 26x 4x 2  x 2 2 40x 26x 4 x

Volume maksimum jika :

40 52 x 12 x 2 0 10 13 x 3x 2 0 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Luas p.q

L p 100 p  10 p p 2

Luas terbesar dicapai jika L/ 0

100 2 p 0  p 50 q 50

Luas terbesar  50  50 2.500 m 2 Bab 4 | Page 228

2. h t 500t 5t

48 p2     4p 

Volume kotak : V p 2 x p2  

2

Tinggi maksimum jika h 0 /

Volume maksimum, untuk :

500 10t 0 t 50

V 0 /

3 2 12  p 0 4 1    1  32  p  2  p 0  2   2  p 4 atau p 4

Tinggi maksimum 500 50 5 50  2

25.000 12.500 12.500 m 3. x y 20, x 0, y 0 a. x 20 y

Maka p yang memaksimumkan V adalah

p 4

xy 20  y y 20 y y 2

xy maksimum jika  xy 0 20 2 y 0  y 10 x 10

Panjang kotak 4 cm Lebar kotak 4 cm Tinggi kotak 2 cm

/

5.

b. Jumlah kuadratnya minimum :

x 2 y 2  20 y y 2 2

4000 40 y y 2 y 2 400 40 y 2 y 2 Jumlah kuadrat minimum jika :

Biaya yang diperlukan untuk lapangan :

400 40 y y 2 y 3

Luas lapangan akan maksimum jika lapangan berbentuk persegi atau a b , maka

B 2.500.2 a b  1.000b 5.000a 6.000b

40 4 y 0  y 10 x 10 2 2 3 c. x y  20 y y 3

x 2 y 3 maksimum jika : 40 2 y 3 y 3 0  3 y 10  y 4 0 10 y y 4 (bukan solusi) 3 50 x ?? 4.

B 5.000a 6.000a 11.000a Dengan dana Rp 480.000 , maka di peroleh ukuran :

11.000a 480.000 480.000 a 43,6 11.000 a 43m , b 43 m

6.

V 108 cm 3 108 t 2 x Panjang alas kotak = p Lebar alas kotak = P Tinggi kotak = x Luas permukaan kotak : p2 4 px 48

48 p2 x 4p


Luas permukaan kotak :

L x 2 4 xt 108  x 2 4 x 2  x  432 x 2  (terbukti) x

Bab 4 | Page 229

Agar luas permukaan minimum : L/  x 0 dengan L//  x 0

Gradient PQ :

     1

2 2 1 2 / 2 m  PQ   t 2 t 2 1    2 t 8t t 1 2 

432 L/ 2 x  2 x 864 L// 2  3 x

t 4t 3 4t



 

t 2 2 t 2 1 4t 3 5t



Luas permukaan minimum jika :

432 2 x  2 0  x3 216 x x 6 864 L//  6 2  0 216  Luas permukaan kotak minimum untuk x 6 ukuran kotak : x 6 , t 18

2

 

t 2 2 t 2 1

2

4 t 3 5t



2t 1t 1 2

2

Agar PQ minimum, titik kritis PQ :

m 0 4t 3 5t

2t

2

0

  t 4t 5 0

1 t 2 1 2

7.

 2 L PQ   r  2  L PQ  2 r 2

t 0  agar PQ minimum pilih t 0 , maka PQ  2 9. Dari gambar dapat dirumuskan : Jari – jari tabung :

 16 Diketahui : L  PQ16   2 r 2

2

1 2 1  2 r  R  h   R  h 4 2  2

Maka panjang busur PQ :

 PQ   2r  2 16 32  2 2r  r r

Volume tabung :

V r t  3  2 1 2 2 R  h  h R h  h 4  4  2

a. keliling busur PQ :

P 2r PQ 32  16  2r  2r   r  r 

a. Volume tabung maksimum jika :

V / 0

3 R 2  h2 0 4 R 2 4 h2  3  R 2 3 4

b. Titik kritis P :

P 0 32 32 2  2 0  2 2 r r r 4 r 4 akan meminimalkan P dengan /

h

3

nilai :





8. P 2, t 2 2 , Q t 2,3t 2 4 , t 0

  2 t 1 

 

2 PQ   t 2 2   3t 2 4 t 2 2

 t2

2

2 R  2 R  b. V maksimum  R      3 4  3 2 8 R 3   R3     4 3 3 3  2 2 3  R2  R 3 3 3 4  3 R3 9 2

 16  P 24  16  4



4 2 2R R  3 3

2

2


Bab 4 | Page 230

1 x r 4

10. Silinder tanpa tutup , V 20 cm 3

V r t 2

2

15 2 1  y  r 2  r   r 16 4  1 y  r 15 4

20 2 20 r t  t  2 r Luas permukaan :

L L alas L selimut r 2 2rt 40 20  2 2 r 2r 2 r  r r 

12. 2 x 4 y 600

x 2 y 300  x 300 2 y Luas kandang :

L xy  300 2 y  y


L 0 /

300 y 2 y 2

40 40 2r  2 0  2r  2 r r

Luas maksimum diperoleh jika :

L/ 0 300 4 y 0 y 75 dan x 150

40 20 r3   r 3 2  r 3

20 , adalah ukuran yang 

meminimalkan luas permukaan jika

Dan luas maksimum :

L//  r 0

L  150 751.1250

80 L  r 2 3 r 80 220 //

13. Suatu persegi panjang dengan luas maksimum di capai jika persegi panjang merupakan persegi

D 16 S 2 16 16 S 8 2 2



2460

 luas pernmukaan minimum jika 20 20 r 3 dan t  3  400

Luas maksimumnya adalah :

L S 2

 

11.

2

x 2 y 2 r 2

8 2 128 cm 2

y  r2 x 2 P 2 x

14.

y 12 x , y 0 2

l 2 y 2 r 2 x 2 L p.l  2x  2 r 2 x 2 Luas persegi panjang tersebut :

4 x r 2 x 2 Tentukan titik kritis : L/ 0 1 1  4 r 2 x 2 2 4 x  r 2 x 2 2  1 4 r 2 8 x 2 0  x 2  r 2 2









L 2x 12 x 2 24 x 2 x 3

 2x 0 12






L 0 2 24 6 x 0 2 x 4  x 2 /

Maka ukuran persegi panjang

l 4 p 8


Bab 4 | Page 231

x  4  Rp 120.000 Biaya tambahan  jam x kecepatan, 40 x 55 S 400 mil S 400 S xt  t   x x x  400  Biaya  25   400 120  4  x  48.000 B 10.000 100x  x

15. Biaya operasional  25  ribu mil

17.

L ∆DEF L x LII LIII L x Luas persegi  LI LII LIII 



62 2 x 2 36 12 x 12 x 2 x 2 Tentukan titik krtitis :

L/  x 0 12 4x 0  x 3 Luas ∆DEF akan maksimum jika x 3 2 L ∆DEF maksimum 12 3 2 3

Biaya minimum dicapai pada :

B / 0 48.000 100  2 0  x 2 480 x x 4 30 21,88

18 cm 2

Kecepatan yang meminimumkan biaya adalah 21,88 mil

jam . Tapi kecepatan



18.

tersebut diluar interval kecepatan yang diperbolehkan karena itu pilih kecepatan minimum yang diperbolehkan, yaitu :

1 x 2 8 y  y  x 2 8

x 40 mil jam yang akan meminimumkan biaya 16.

L 2r2 2r 400 2r 2 2rt 400 2r2 200 t  r 2r r V r 2 t 200  r 2t  r 200r r 3 r  Volume maksimum diperboleh jika :

V / 0 2 200 3r 0

r

200 10  6 3 3

Dengan volume maksimum :

2.000 2.000 V 6 6 3 9 4.000  6 9


Panjang 2 x

1 8

Lebar 4 y 4  x 2

L p.l

1  1  2x 4  x 2 8x  x 3 4  8  Titik kritisnya :

L/ 0 3 32 8  x 2 0  x 2  4 3 16 2 3 16 x   6 3 3 3 1 32  4 y    8 2  3 Ukuran persegi panjang adalah :

32 P 2 x  6 3 l 4 y 4 8 4   3 3 Bab 4 | Page 232

2 2 x2 2 x 2 x 2 2 2 x2 x 1 0 2 2 x 1 x 10




1.

 0  2



2

1 1  1 x   y  1    3 2 2  2 Luas maksimum trapezium :

 1   1  L     3 2 2  2   2   3  3 2

t 2 sin a 3 cos Luas pancuran :

L  3 3 2 cos   t  6 6 cos 3 sin 18 sin sin cos  1   18 sin  sin 2 2  

3.

Kapasitas pancuran maksimum jika :

L 0 18 cos cos 20 cos cos 20 2 cos1 2 cos 0 2 1 cos 2 cos 0  1 cos  1 2 cos0  cos1 cos 3   atau  3  Karena 0  , maka agar kapasitas 2  pancuran maksimum  3 /

4. Keliling kerucut  k  k keliling lingkaran – panjang juring sektor yang dibuang

 2r 10   2  10  2010

Misal : R = jari – jari alas kerucut

2R 2010

Misal : t = tinggi kerucut

t  102 R 2 2

2.

y  1 x 2 P alas 2 P sisi alas 2 x Tinggi y  1 x 2 Luas trapezium :



L  2 2 x  1 x 2



Titik kritis :

L/ 0

  2 x 0   2x 2 x 0 1 x 

1  2 1 x2  2 2 x  1 x 2  2 

12

 5 25  100  10    2   42  5  42 





Volume kerucut :

V 2Rt  5 5 2  2 10    4      50 2 2 100 4  4 

Nilai  yang memaksimumkan V, diperoleh dari V / 0

2

2

2

1 x2


Bab 4 | Page 233

50 22    50 42   42 42 50   2 42  

  0       

200100300100 100 2 422 0

29 1  2 1 3 g / 1 f / 1 2 g  1  2 1  1 g/  1 / 1 g  13 2 1

2





 

4 16 4 12  2 2 2 1 Karena 0 2, mak yang 2

2

memaksimumkan volume kerucut adalah 2 2

Uji Kompetensi Akhir BAB 4 A. Pilihan Ganda 1. A.

f  x x 3 8x 2 5 x 2 f x t  f  x lim 0 t t0  f /  x 0 2  3x 16 x 5 0  3x 1 x 50 1 x  atau x 5 3

2. A.

   x 6 2 x 7 6x  36 x  2 x 7 

f  x  2 x3 7 f/

6

5

3

2

3

2

5

3. B.

2 x 3 f  x  g  x / f 1f  11

29 x  2 x 3 g /  x f /  x  2  g  x 2 1 3 f 1 g 1 1 1  g 11 g 1


4. D.



g x 



1 1  x 2 x 6 2 x 2 x 3 3 1 2 g x   x x 6 2  2x 1 2 1 2 x  2 2 x 2 x 12 x 2 x 6



5. E.





 1

y x x 1  x 3 x 2 2 dy 0 dx 1 1  x 3 x 2 2 3x 2 2 x 0 2 2 3x 2x 0 2 x x 1







3x 2 2x 0 , x 1 2 x x 1 3x 2 0  3x 2 6. B.

y  x 5 2 x 1

Gradient kurva bernilai nol :

dy 0 dx x 5   2 2 x 1  0 2 x 1 2 1 2 x 10 1 0 , x  2 x 1 2 4 x 11 0 11 x 4 7. A.

3 x2 y 4x 1 dy 0 dx

Bab 4 | Page 234

 

6 x 4 x 1 3x 2  4 0 2 4x 1 12 x 2 6 x 0 2 4 x 1 6 x 2 x 1 0 2  4 x 1 6 x 0 atau 2 x 1 0 1 x 0 atau x  2

11. A.

y 10 x 2  p 2 x 2 dy 20 x p 2 dx

Abis titik balik :

20 x p 2 0

20

Abis titik balik = ordinat titik balik  p 2    p 2 p 2     10  p 2     20 2 20  20    2

8. C.

2 x 3 3 y 2 x  x x dy 3 2  2 dx x 2 d y 6  dx 2 x3 2 dy 6   3  2 d y x x x 2  3 x  2 2  2 dx dx x   x  2

2

6 2x 3    x x x 2 2x 3  y x

p 2 p 2 4 p 4 p 4 p 4   2 20 40 20

0

2 p 4 p 2 4 p 4 2 p 2 8 p 8 80 0 40 p 2 2 p 80 0 40  p 8  p 100 p 8

atau p 10

12. A. f  x 

sec x tan x  1 sin x2  1 sec x tan x  1 sin x2 1

  1 sin x  cos x  1 sin x    1  1 sin x 1 sin x  cos x 2  f /  x   1 sin x cos x 1 sin x  cos x 1 sin x  2  1 sin x   1 sin x  1 sin x  1

1 2

1

9. D.

y x 2 2 x 3 dy 2 x 2 dx d 2y 2 dx 2 3 2 2 dy  d y  2 3   2 x 2  2     dx  dx  4 x 8 x 4 8 4 x 2 2 x 3 4 y 2



p 2 

x 



10. C. 5

y ax 4 x ax 4 Perubahan y terhadap x

dy 5 14  ax dx 4 5 5 1 a  ax 4 100 4 1 5 a 4 x4   4% 100 5a Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

1

2

1

2

2

2

1 2

2 cos x  1 2 1 sin 2 x 2  1 sin x 2 cos x 1   2 cos x 1 sin x 1 sin x





13. C.

y ax 3 bx 2 c Kurva y dilalui  1,0dan  0,5 garis singgung y pada x 1 sejajar sumbu x, berarti x 1 adalah titik balik atau dy 0 utnuk x 1 dx dy 3ax 2 2bx 0 , untuk x 1 dx 2 3a 12b 10 3a 2b 0 3a b  2 Bab 4 | Page 235

3 2  1,0 a 1b 1c 0

a b c 0 3a a  c 0 2 5a  c 0 2 3 2  0,5 a 0 b 0 c 5 c 5 Substitusi nilai c pada (1)

5a 5a  5 0   5 2 2 10 a 2 5 3 Substitusi nilai a : b   2 3 2 a b c 2 3 5 4 14. B.

y ax 3 bx 2 9 x 5 dy 2 3ax 2bx 9 dx dy x 1  12 dx 2 3a  12b  1 9 12 3a 2b 3 …..(1) 2 d y 0 untuk x 1 dx 2 6ax 2b 0 , untuk x 1 6a 1 2b 0 6a 2b 0 …..(2) Proses eliminasi :

6a 2b 0 3a 2b 3  3a 3 a 1 , b 3 2 2 2 2 a b  1 3 10

2a y 4  3 2b 1  1 Maka :

2a 2b 0 2a 2b atau a b

salah satu titik kurva adalah  1,4 

a b 1 4 2  1 a b 2 a 4 a 2 , b 2 2 a b 4 2 2 4

16. C.

y x 3 2x 2 3 Gradient garis tangent :

m y 3 x 2 4 x m untuk x 2 adalah : 2 m 3 2 4 2 4 1 mnormal  4 Untuk x 2  y 3 Persamaan garis normal :

1 y 3   x 2 4 4 y 12 x 2 4 y x 14 0 17. C.

y 2 x 2 kx 1

Garis normal kurva y pada titik  1,2 Sejajar garis 3 y x 9

1 L 3 y x 9  y   x 9 3 1 mL  3 1 3

Garis normal y // L , maka mnormal  Gradient garis tangent pada kurva y :

m y / 4x k mnormal tegak lurus terhadap m

15. B.

a bx 4 y  2 , 1, 4 x

Maka

Gradien garis singung : 4 a b  xh  2 xh 

a xbx2  4

2a  3 2b h x h0 Persamaan garis singgung pada titik  1, 4 adalah y 4 0 m lim


1 4 1 k  1 3

4 k 3 k 3 4 1

Bab 4 | Page 236

Untuk x 3  y  5 33 2 Persamaan garis singgung :

18. A.

1

y x 3 x 2 3

Titik – titik staioner pada y ditentukan

dy oleh : 0 dx  3 x 2 3 0 3 x 1 x 10 x 1 dan x 1 3 x 1  y  13 1 2 0

x 1  y  13 1 2 4  Titik – titik stasioner y  1,0dan 1,4  3

19. C.

4 y 27 x  2 x 8 y / 27  3 x 24 y ///  4 0 x

1 2 y 2   5 33  x 3 3 1 y 2   x 3 12 12 y 24 x 3 x 12 y 21 0 23. E. 2 g  x  3 x 4 sin 2 x g /  x 6 3 x 4  sin 2 x  3x 4 2 cos 2 x 2 3 x 4   3 sin 2 x  3 x 4  cos 2 x  6 x 8  3 sin 2 x  3 x 4  cos 2 x 2

24. C.

Titik minimum dicapai saat y / 0

8 27  3 0 x 3 27 x 8 0  27 x 3 8 0 2 x 2 x 3 2 2 4  x   y 27   2 2 27 3 3   3 20. C. g  x sin 2 x 2 2 x

  g  x 2  sin  x 2 x cosx 2 x2 x 2  2 x 2 sin  2 x 2 x  2 x 1 sin 2 x 4 x  /

2

2

2

2

21. B.

       

f  x sin 4 3 x 2 2 f /  x 4 sin 3 3 x 2 2 cos 3 x 2 2  6x  2 2 2 12 x sin 3 x 2 sin 6x 4

22. A.

y  5 x , absis 3 1 2 m y /   5 x 3 3 1 3


Panjang PQRS x Lebar PQRS y 8 x

L PQRS x  8 x 

Luas maksimum dicapai untuk :

L 0 8 2 x 0 2 x 8  x 4 y 8 4 4 Luas maksimum PQRS : L PQRS 4 4 16 satuan luas /

25. A.

R  x  14 x 2 R /  x  1 4 x / Untuk x 0  R  x 0 R  x selalu turun

Untuk x 0  R /  x tidak bernilai riil Pada interval 20 x  6 R  x selalu turun Min R  x dicapai pada x 6

R 6 1 4 6 5

Bab 4 | Page 237

Max R  x dicapai pada x 20

y/ 1 y / 3 y /  3 1  6 6 / 23 y 13 13 / y  23

R 20   14 20 9

26. B.

y 2 x 2  x 3 3 2 x 6 x 2

29. A.


m y 6 x 12x M tegak lurus l : 4 x 24 y 1 0 1  1 l : y  x  , maka 6 4 2 6x 12 x 6 6 x 2 2 x 1 0 /



2

at 2 y 2 1t

3at x 2 1 t dx 3a 1 t 2  2 dt 1 t 2

   

dy 2at  2 dt 1 t 2 dy dy dt  . dx dt dx



 

6 x 10  x 1 , y 4 2


y 4 6 x 1 6x y 2

 1 t   1 t   1 t 3a  2 at

2 2

2 2

2at 2t   2 3a 1 t 3 1 t 2

27. D. sin x f  x  sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x  f /  x  2 sin x cos x  cos 2 x sin 2 x

 2 sin x 2 sin x cos x cos 2 x 1  1 sin 2 x

2

   

30.

8x y 2 0 y  8x , titik A 4,2

28. D.

x y  x y  x y 62 1

y  x y  x y 62 x 1

 

y / 1 y1  x y 62  1  1 2 x y  x y 6   1 y  1  2  1

 x y 6  x y   1 y  1

y / 1 y /

/

2

x y 6

Untuk titik  2,1:

 2 1 6  2 1  1 y  1

y / 1 y /

/

2 2 1 6 1 y/ 3 3 y /   1 6 6


31. B. Tangki air terbuka, alas persegi Misal : x panjang sisi alas t tinggi

V x 2t 8 8 t 2 x Pemakaian plat besi :

L x 4xt 32 2 x  x 2

Agar pemakaian plat minimum :

32 2 x  2 0 x Bab 4 | Page 238

2 x 2 32 0 x2 3 x 16 atau x 2 3 2 32. A. Persamaan parabola :

y 4 x 2

Titik singgung g pada kurva : A a, b 

b 4 a

2


m y / 2 Maka garis g memenuhi :

y b  2 a x a  y 2ax 2a 2  4 a 2  y 2 ax a 2 4 a 2  diperoleh B   ,0 , C  0, a2 4 2 a  1 a 2  2 L OBC     a 4 2 2 a  1 4  a 3 2a  4 a Agar luas minimu, nilai :

3 2 4 a 2  2 0 4 a 3 4 2 a 2a 4 0 4 3 2  2  a 1a 4 0 4  3 2 4 2 a 1  a   3 4 3 3 4 8 b 4   3 3 8 2  A  3,  3 3





33. C. Luas kertas 2m 2 x panjang kertas y lebar kertas

2 Maka : xy 2  x  y p panjang bidang cetak l lebar bidang cetak 2 p x 14  14 y Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

l y 21 Luas bidang cetak :

LB p.l

2   y 21 y 14     42 LB 2  14 y 294 y 42 14 y  296 y Luas maksimu jika Lb / 0 42 14  2 0 y 42 14  y 2 3 y  3 2 y 2 2 x  y 3 2  3 3 2 Maka : x y  3  3 3 5  3 3 34. B.

2.000 B 5x 160  x (dalam puluh ribu rupiah) Biaya minimum diperoleh untuk B / 0

2.000 5  2 0 x 2.000 x2  400  x 20 5 Biaya minimum perhari :

2.000 B 5 20  160  20 100 60 100 4010.000 Rp 400.000 35. C.

1  y  a 2 x3 x 2 5ax 3 Nilai minimum 27 untuk x 3 1 2 3 2 27   a 2  3  3 5a 3 3 9 a 2 4 a 4 15a 9 27 0





Bab 4 | Page 239





3 a 2 4a 4 5a 12 0 2 3a 17a 24 0  3a 8 a 30 8 a  atau a 3 3 36. C.

f  x x sin 3 x g  x x 2 u  x g f  x

 x sin 3x 

x 5 y x 4 xy 4 y x 5 xy x 4 y 5 4 y 5 x y 1 4 x 5 1 f  x  x 1

4 x 1  4 x 5   1 f 1  x  2 x 1

2

u /  x 2 x sin 3x   1 3 cos 3x  2x 6 x cos 3x 2 sin 3 x  6 sin 3x cos 3 2x 2 sin 3 x 6x cos 3 x  3 sin 6x



9

, x 1

x 12

39. B.

f  x  2x 154x 10 3

f /  x 6 2 x 154 2

Grafik fungsi turun jika f /  x 0

37. C.

y x 2 4 l : y x 3

6 2 x 154 0 2

6 2 x 154 2

Gradient garis singgung y :

m y / 2 x

2 2 x 1 9

m tegak lurus mL 1

2 x 1 3 atau 2 x 1 3 2 x 4 2 x 2 x 2 x 1

Persamaan garis singgungnya :

1 x 2

2 x 2 1 x  2

Jadi, grafik fungsi akan turun pada selang

1 15 x   y  2 4 15  1 y  x   4  2 17 y x  4 Persamaan garis singgung ini memotong sumbu y jika x 0

17 17 y 0   4 4 38. B.

f x 3

x 2 x 7

x 32 f x 33 x 37

40. D.

y ax 3 2x 2 pada titik  1, a 2


m y / 3ax 2 4 x m tegak lurus mL , L : x 2 y 4 1 1 L : y   x 2 mL  2 2 Maka : m 2 , untuk x 1 2 3a 14 12 3a 6 a 2 Titik  1, a 2 1,0 Persamaan garis singgungnya :

y 0 2 x 1 2 x y 2 0

x 5 f  x  x 4 Misal : y f  x Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

Bab 4 | Page 240

B. Bentuk Uraian

lim

x  0 24 cos x

1.

cos x cos x x sin x 96 sin x 144x sin x 

72 x cos x 48x cos x 16 x sin x  2

2

3

4 x sin x x cos x 3

4

2 cos x x sin x x  0 24cos x 96 sin x 144x sin x 

lim

120x cos x 20 x sin x x cos x 2

3

4

2 1   24 12

4. y x  x 2  2

2.

L r S L rs r

m y /  x 2 x.2 x 2 2

 a b c  2

L  S s a s b  s c minumum S s a  s b s c minimum 2 cos x 3   4 3 x  0x sin x x  2 x x cos x 3sin x lim 4 x 0 x sin x 2 cos x x sin x 3 cos x lim 3 4 x 0 4x inx x cos x sin x sin x x cos x 3sin x lim x 0 12 x 2 sin x 4x 3 cos x 

3. lim 

4 x 3 cos x x 4 sin x sin x x cos x lim 2 x  0 12x sin x 8 x 3 cos x x 4 sin x cos x cos x x sin x lim x  0 24x sin x 12x 2 cos x 24 x 2 cos x  8 x 3 sin 4x 3 sin x x 4 cos x x sin x lim x  0 24x sin x 36x 2 cos x 12x 3 sin x  x 4 cos x lim

x  0 24sin

sin x x cos x x 24x cos x 72x cos x 

36x sin x 12 x cos x 4 x cos x  2

3

x 2 4x 4 2 x 2 4 x 3x 2 8 x 4

m x1 3 18 1 4 1 y y 1 0 mOA  2 1  1 x2 x1 1 0 m mOA m gradien garis singgung 2

maka????? Di titik A Jadi, OA adalah garis normal kurva

y x  x 2 dititik A 2

5. x y 5

y 5 x

x, y 2 x 2 xy 3 y 2 2 2 x 2 x  5 x  3 5 x  2 x 2 35 x 75 4x 35 0 35 x 4 35 15 y 5   4 4

35 dan 4

Nilai maksimum dicapai untuk x 

15 y  4

3

4

x sin x

sin x x cos x x  0 24 sin x 96 cos x 72 x 2 sin x 

lim

2

2

35 15  35  35  15   15  f  ,  2    3  4  4  4  4   4  4 2.450 525 675  162,5 16

16x 3 cos x x 4 sin x


Bab 4 | Page 241

Uji Akhir Semester 2

x 1  1 1 m 1 n 0 m n 1 Dari (1) dan (2) :

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B.

x 2 2 x 3  x 3 x 1 P 3 27 18 3a b 3 4 3a b 10 …..(1) P 1 1 2 a b  1 4 a b 2 .....(2)

Dari (1) dan (2) :

a 2 b 4 P 2   8 8 2a b 16 2 2  4 16

2. D.

x 2 1  x 1 x 1 P 12 a 3 5 b 6 1 5 a b 5 .....(1) P 12 a 3 5 b 6 1 5 a b 7 …..(2)

Dari (1) dan (2)

a 1 b 6

m 7 n 6

1 3 1 –1 1

–1 3 2 –1 1

–7 6 –1 –1 –2

1 –3 –2 2 0

6 –6 0

+

x x 2  x 2 x 1 2

6. B.

x 2 x 2  x 2 x 1 f  3  1 f 12 g 3 2 g 15 h 3 f  3 .g 3 1.2 2 h 1f  1 .g 1 2 5   10 2  10  3 10  1 2  S  x  x 3  1 3  1 2 x 8

7. C. 3. A.

f  2 11  2a b 11 .....(1) f 15  a b 5 .....(2)

Dari (1) dan (2)

a 2 b 7 Sisa ax b 2 x 7

 

4. A.

f 12 2 P 1 2 0 P 3 4 3 2 f  x 2 x 2 x 3x x 2 2 –1 2 2 2

–2 –2 –4 4 0

–3 4 1 0 1



x 2 2 x 3  x 3 x 1 P  3 15 3 7 52 P 115 1 7  8 P 16 P  x dibagi x 2 1 sisa x 2 1  x 1 x 1 Sisa ax b P 18  a b 8 a b 6 P 16   2a 14 a 7 b 1 Sisa 7 x 1

–1 –1 –2 2 0

–2 2 0

+



f  x  x 1 x 22x 2 1

8. B.

x 1  5 8 2 a b 0 a b 5

5. C.

x 2 2 x 3  x 3 x 1 x 3  81 27 9 m 3 n 0 9m n 57


Bab 4 | Page 242

9. D.

x 2 x 5 0  .,  3 25 0 3 25 0 2

3 25 0  3 3 3 2   15 0 3 3 3    2.0 15 0 3 3 3 15 10. B.

f 2 x 44 x 2 8x 3 x 4  x 4  f  x  8 3  2  2  2 x 8x 16 4 x 16 3 2 x 4 x 3 2

11. C.

g f  x 2 f  x 3 f  x 6 18x 2 15 8 2

32 12 6 18 x 2 15x 8 50 18x 2 15 x 8 18x 15x 42 0 2

6 x 2 5 x 14 0 6x 7  x 2 0 7 x 6

x 2

x 1 3  3x 3 g  x  x1x1  5 2 3x 7 x 1 9 3 6 g  3   3 9 7 2

14. D.

h

15. A.

f g   x f  g x 4 x 2 3 g  x 29 x 4 4 x 3

12. E.

2

5 2 x 3 f  x   8 x 4 5 x 20 16x 24 11x 44 x 4 5  g f  x g 42 7.4 8 4 8  x 1 x 1 x 1  1 h  x  x 1 h x 

f g  x 

1 2x  4 5 x 3 3x g f 1  x  5x 2 x 1  3x 1 g f  x g  x 1  5 x 2  1



2

2 2 g  x 14x

g  x 1  4x 2 2 x g  x 12x g 2 3  g  x 1 2 x g 31 2 35 16. C.

13. B.





g 1 f 1  3 a f x 23 x 8  f  x 3x 2 x 2 f 1  x  3 1 f 1  3  3 2 x 1 3x 1 g  x   g 1  x  x 3 x 2 1  g 1  0 3  2 h  x x 2x 1  h1  x x 1 1 h  0 1 1  h1 g 1  f 1 3  h 1 g 1   3  1 h  0 1 1

x 1 x 1 x 1 x 1






x 5  h x f   2  x5 3 x 1  2x5  22  1 2 x 8 8 x 1 h 1  x  2x 1 17. A.

y 2  2 3 log x 5  2 y 2  2 3 log x 5

Bab 4 | Page 243

y 2 4 y 4 2 3log  x 5 2

4 y 2

x 5 2 x 3y 4 y2 5 2 f 1  x 3x 4 x 2 5

3y

18. B.

g f  x f  g y g  y f  x x y

19. C.

f  x x 3 12x 2 36 x 17 f  x naik  f /  x 0 3 x 2 24 x 36 0 x 2 8x 12 0 x 6 x 20

 x 2 atau x 6

22. A. Biaya x hari f  x

10 x 2 1.000 x 33.000 Biaya minimum f /  x 0 20x 1.000 0 x 50 f 50 10 2.500 1.000 50 33.000 8.000 33. D. 2 Luas s 6 st 432

432 s 2 t 6s 3 432s s V s2 t  6 432 3s2 V / 0  0 6 s 12 34. B.

20. D.

f  x 8 x 3 12 x 2 6 x 1 54 x 10 8x 3 12 x 2 48 x 9 f  x turun  f /  x 0 2 24 x 24 x 48 0 x 2 x 2 0 x 2 x 10

f /  x 2 sin  x  cos x  3     f /  2 sin  cos  4   4  4 1 1 2.  2. 2 1 2 2

25. C. Tidak pernah naik : f

/

 x 0

x 10 x 24 0 x 6  x 40 2

1 x 2 21.

4 x 6 26. E. f

Volume  40 2x  25 2x x

1.000 x 80 x 2 50 x 2 4x 3 V / 0  1.000 260 x 12 x 2 0 3x 2 65 x 250 0  3 x 10 x 250 10 x  x 25 3


/

sin x  sin x   1 cos x cos x   x  2 sin x 





1 12  12    1 3 12 3  f /   2 2 3  12 3 3

4

34 3 4





2

Bab 4 | Page 244

27. D.

1 2.1 4

Jarak 

1 x 2 y 4  m1  2  m2 2

12  22



3 3  5 5

32.

m2 y / 3ax 2 4 x 2 3a.12 4.1 6 3a  a 2 a 2 0 Persamaan garis :

y y1 m2  x x1  y 0 2 x 1 y 2 x 2 33. C.

28. C.

2

f  x 4 sin  2 x 3 cos 2x 3 2 /

3

4 sin2  2 x 3 sin 2x 3 cos 2 x 3 2 4 sin2  2x 3 sin 4 x 6

29. D.

AC 10 cos 60 5 BC 10 sin 60 53

1 2 25  3 2

Luas max  5 5 3

2

y3 4 16 y 4 2

 16  2 d  4   2 4 2 2  8 5a 5b 10 a 2 b Luas L 3ab 3 2 b  b

2 2 2  1 t  2  1 t t  t t 

 t 2 2 t 1 1 4t 4 t 2  5t 2 2 t 2 / 10t 2 PQ 0  0 2 5t 2 2t 2 10t 2 0  t 0 ,2

31. A.

   

2 4 y8  28y  2 2 y  d 0  0 2 y2 2 4 8  2 y  /

34. A.

30. D. PQ 

 y2  2 d   2 y  4  8    

6b 3b / L 0  6 6b 0 b 1 a 1 Luas maks 3ab 3 2

35. A.

4 x 3  4 x 1 2 x 2 3x 5  4 2 4 x 1

f /  x 

m2 2 m1 y / 2x m1 m2

8 x 2 4 x 17  2  4 x 1

36. E.

2 x 2 x 1 y x 2 12 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 2B - Sukino

V r 2 t 1L 1.000 cm 3 1.000 t 2 r Bab 4 | Page 245

L 2r 2rt 2.000 2 2r  r 2.000 / L 0  4r  2 0 r 3 4r 2.000 2

40. D.

lim

x 2

4 x 2 3  x 5 2

lim

x 2

2 x 2 x 2 x 2 5

lim 2 x 2 5 6 x2

1

500 3 r    

B. Evaluasi Pengertian dan Penguasaan Materi.

2 500 2 3 500 500 3 t  2 2  3 500 3      37. E.

  3x 3cos  x  sinx 2 x  x   cos   6 x cos  x     x   3x sin  

f /  x 6 x cos3 x 2   2

2

2

2

2

2

2

2

2

38. C.

sin 2 x 1 sin 2 x 1 lim  lim  2 x  3 2 cos x  1 x 3 cos 2x 4 4 2 cos 2 x 10 lim  0  6 sin 2 x 31 x





4

39. A.  4 x 2 4 x  9 x 2 6 x 1     4 x 2 4 x  9 x2 6 x 1      4 x 2 4 x  9 x2 6 x 1  lim   x    25x 2 10 x  16 x2 24 x 3    2 2  25x 10 x  16 x 24 x 3    2 2  25x 10 x  16 x 24 x 3    5 x2 10 x 1    2 4 x 4 x  9 x2 6 x 1  lim   2  x  9 x 34 x 3   2 2   25x 10 x  16 x 24 x 3   2  5x   10x 2x x12 x2    4 x42 4 x4  9 x42 6 4x  14  x x x x x   lim  9x 2 34 x 3 x   x 2 x 2  x2   25 x 2 10 x 16 x2 24x 3   x4  x 4  x4 x4    x4  


1. P  x ax bx c 3

2

P 110  a b c 10 …..(1) P  2 20  8a 4b c 20 …..(2) P  3 30  27 a 9b c 30 …..(3)

Dari (1) dan (2) :

7 a 3b 10 …..(4)

Dari (2) dan (3) :

19 a 5b 10 …..(5)

Dari (4) dan (5) :

10 a  11

60 b 11

Dari (1) :

a b c 10 10 60   c 10 11 11 60 c 11 10 60 60 P  x  x 3  x 2  11 11 11 10 60 60 P 12  12 3  122  780 11 11 11 10 60 60 3 2 P  8   8  8 820 11 11 11 P 12  P  8  780 820  4 10 10

2. x1 3, x 2 3, x3 3 Menggunakan invers

x x x   1 ,  2 ,  3 3 3 3 Persamaan : 3

2

x  x  x  2  2 5 0 (dikalikan 27) 3  3  3  2 x 3 3x 2 18 x 135 0

Bab 4 | Page 246

3. f  x 2 x 3

5.

x 3 / f  x  2 3 x 5 g  x  x 7 7 x 5 1 g  x  x 3  1 f f g 1  g f





1  h x 3

 x 32 x 3 7 2

f f  g 1

1

f

 1

g hx 3 1

 x 32 x 3 7 2

f f g 1

1

f

 1

g h x   1

x 2 x 7   7h x 5   1  1 1  f f g f   h   x 3    2 x 2 x 7  x 5   1 7hh   3   x  3   1     f f g          2    2 x 2 x 7 x 5 7 3 7 hh  5  x  3  2  x 2 2 x 7 7 h  x 5   33 h   x2 3  2











49 h  x  35 21h  x 63 10 h  x  30 2 h  x 6 7 h  x 53 h  x 9 6 h  x 18 2 h  x 6

Menggunakan kesebangunan :

a 3 4 4a  b a b a 3 1 LOBC  ab 2 1 4a  2a 2  a   2 a 3  a 3 Agar Lminimium : L/OBC 0

4a  a 3 2 a2 0 2  a 3 2a 2 12a 0 2 a a 6 0 a 6 b 8 1 LOBC  .6.8 24 2

x 2 2 x 7

80h x 58 x 2 2 x 7 4h x 14 80h 2  58 2  2 2 2 7 4h  2 14 80h 2  58 28h 2 89 52h 2156 h 23 1cos 2 x 2 sin x  1 x  3 cos x sin x  2 2 sin 2 x 2 cos x 0 0 lim  0  3 0 x  3sin x cos x

4. lim

2


Bab 4 | Page 247

BAB 4 Turunan

Recommend Documents