ANALISIS SISTEM LTI
Metoda analisis sistem linier
Resolusi sinyal waktu diskrit
Respon sistem LTI
Sifat-sifat konvolusi
Sistem FIR dan IIR
Kausalitas sistem LTI
METODA ANALISIS SISTEM LINIER Metoda Langsung
Konvolusi Persamaan Beda (Difference Equation)
Metoda Tidak langsung
Transformasi Z
Jawab langsung dari hubungan input-output : y(n) F [ y(n 1), , y(n N), x(n), x(n 1), , x(n M)]
Sistem LTI :
y( n )
N
a k 1
k
y(n k )
M
b x(n k ) k
k 0
Persamaan Beda
{ak } dan {bk } parameter-parameter konstanta tidak tergantung pada x(n) atau y(n)
Sinyal
input diuraikan menjadi sejumlah sinyal-sinyal dasar Sinyal-sinyal dasar dipilih agar respon sistem terhadapnya mudah ditentukan Menggunakan sifat linier, respon total adalah jumlah dari respon sinyal-sinyal dasar x (n )
c x k
k
y k (n) T[ x k (n )]
(n )
k
y(n ) T[ x (n )] T c k x k (n ) k c k T[ x k (n )] c k y k (n ) k
k
RESOLUSI SINYAL WAKTU DISKRIT
Dipilih sinyal unit impuls sebagai sinyal dasar x k (n) (n k )
x(n)(n k ) x(k )(n k )
x (n )
x(k )(n k ) k
Contoh Soal 4.1
Diketahui sinyal dengan durasi terbatas x(n) = {2, 4, 0, 3} Nyatakan sinyal ini dalam unit impuls Jawab : x (n )
2
x(k )(n k ) k 1
x(n) x(1)(n 1) x(0)(n) x(1)(n 1) x(2)(n 2) x(n) 2(n 1) 4(n) 3(n 2)
RESPON SISTEM LTI
Unit impuls sebagai input y(n, k ) T [(n k )] h(n, k )
Respon impuls
Sinyal input dinyatakan dengan unit impuls
x (n )
x(k )(n k ) k
Sinyal output dinyatakan dengan unit impuls
y(n ) T[ x (n )] T x (k )(n k ) k
k
k
x(k )T[(n k )] x(k )h(n, k )
Sistem time-invariant : h(n) T [(n)]
h(n k ) T [(n k )]
Sistem linier dan time-invariant (LTI) :
x (n )
x(k )(n k ) k
y( n )
x(k )h(n k ) k
Konvolusi
KONVOLUSI (4 operasi)
Operasi folding
h (k )
Operasi shifting
h(k )
Operasi perkalian
x(k ) h(n k )
Operasi penjumlahan
h(k )
x(k )h(n, k ) k
h(n k )
Contoh Soal 4.2
Respon impuls suatu sistem LTI adalah : h(n) = {1, 2, 1, -1} Tentukan respon dari sistem bila inputnya : x(n) = {1, 2, 3, 1} Jawab : v n (k ) x(k )h(n k )
y( n )
x(k )h(n k ) v k
k
n
(k )
h(n) = {1, 2, 1, -1} x(n) = {1, 2, 3, 1}
y( n )
x(k )h(n k ) k
y(0)
x(k )h(k ) k
v 0 (k ) x (k )h (k )
y(0)
v (k ) 4 0
k
x(k )h(n k )
y( n )
k
x(k )h(1 k )
y(1)
k
v1 (k ) x (k )h (1 k )
y(1)
v (k ) 8 1
k
y( n )
x(k )h(n k ) k
y(1)
x(k )h(1 k ) k
v 1 (k ) x (k )h (1 k )
y(1)
v k
y(n) = {…, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1, 0, … }
1 ( k )
1
y( n )
x(k )h(n k ) k
m n k
k n m
y( n )
x ( n m) h ( m) m
y( n )
x(n k )h(k ) k
k
k
x(n k )h(k ) h(n k )x(k )
Contoh Soal 4.3
Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon impuls :
h(n) a u(n), a 1 n
bila inputnya suatu unit step, yaitu : x (n ) u (n ) Jawab :
h(k) tetap, x(k) yang di folding dan digeser menjadi x(n - k)
y( n )
x(n k )h(k ) k
y(0) 1 y(1) 1 a 2 y(2) 1 a a
y( n ) 1 a a a 2
2
1 a
n 1
1 a
Latihan Soal 1
Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon impuls :
3 2 1 bila inputnya :
1 2 2 1 1 Jawab :
y(n) 3 8 11 9 7 3 1
Perhitungan dengan tabel 0
0
1
2
2
1
1
0
n
y(n)
1
2
3
0
0
0
0
0
0
3
1
2
3
0
0
0
0
1
8
1
2
3
0
0
0
2
11
1
2
3
0
0
3
9
1
2
3
0
4
7
1
2
3
5
3
1
2
6
1
Perhitungan dengan matriks y(n) 3 8 11 9 7 3 1
1
2
2
1
1
3
3
6
6
3
3
2
2
4
4
2
2
1
1
2
2
1
1
Latihan Soal 2
Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon impuls :
1 1 0 1 bila inputnya :
1 2 2 3 Jawab :
y(n) 1 3 4 6 5 2 3
Komutatif x(n)
SIFAT-SIFAT KONVOLUSI
h(n)
x ( n ) h (n ) h (n ) x (n ) h(n)
y(n)
x(n)
y(n)
Asosiatif [x (n) h1 (n )] h 2 (n ) x (n ) [h1 (n) h 2 (n)] x(n)
h1(n)
h2(n)
x(n)
y(n)
h(n) = h1(n)*h2(n)
y(n)
SIFAT-SIFAT KONVOLUSI
Asosiatif dan komutatif
x(n)
h1(n)
h2(n) x(n)
x ( n ) h ( n ) h (n ) x ( n ) y(n)
h2(n)
h1(n)
y(n)
Distributif x (n ) [h1 (n ) h 2 (n)] x (n ) h1 (n ) x(n) h 2 (n )
x(n)
h1(n)
+ h2(n)
y(n)
x(n)
h(n) = h1(n)+h2(n)
y(n)
Contoh Soal 4.4
Tentukan respon impuls h(n) dari dua sistem LTI yang dihubungkan seri (kaskade), yang masing-masing mempunyai respon impuls : n
n
1 h1 ( n ) u ( n ) 2
1 h 2 (n ) u ( n ) 4
Jawab :
h ( n ) h1 ( n ) h 2 ( n )
Asosiatif
h (n )
h (k )h 1
k
2
(n k )
v k
n
(k )
n
n
1 h1 ( n ) u ( n ) 2
1 h 2 (n ) u (n ) 4 k
1 1 v n (k ) h1 (k )h 2 (n k ) 2 4 n0
v n (k ) 0
k 0
n k 0
1 1 h (n ) k 0 2 4 n
h (n ) 0, n 0
n k 0 k
n
1 n 1 (2 4
n k
n k
1 4
v n (k ) 0
n n
2k
k 0
2 1 1 1) 2 2 2 n
SISTEM FIR DAN IIR
Sistem FIR
Finite-duration Impuls Response
h(n) 0, y( n )
n 0 dan n M
M 1
h(k )x(n k ) k 0
Output pada waktu n = kombinasi linier dari input-input : x(n), x(n-1), ……., x(n-M+1) yang diberi bobot dengan harga-harga respon impuls : h(k), k = 0, 1, ……, M -1
Mempunyai memori terbatas sebanyak M
Sistem IIR
Infinite-duration Impuls Response
y( n )
h(k )x(n k ) k
Output pada waktu n = kombinasi linier dari input-input : x(n), x(n-1), x(n-2), ……… yang diberi bobot dengan harga-harga respon impuls : h(k), k = 0, 1, ……
Mempunyai memori tak terbatas
KAUSALITAS SISTEM LTI
Sistem Kausal
Output tidak tergantung pada input yang akan datang
h(k )x(n
y( n o )
k )
o
k
y( n o )
1
h(k )x(n
o
k
k ) h (k ) x (n o k ) k 0
y(n o ) [h(1)x(n o 1) h(2)x(n o 2) ]
[h(0)x(n o ) h(1)x(n o 1) ] h (n ) 0
n0
Sistem Kausal y( n )
n
k 0
k
h(k )x(n k ) x(k )h(n k )
Sistem dan Input Kausal
h(n) = 0, n < 0
y( n )
x(n) = 0, n < 0
n
k 0
k
h(k )x(n k ) x(k )h(n k )
y( n )
n
n
k 0
k 0
h(k )x(n k ) x(k )h(n k )
Contoh Soal 4.5
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
h(n) a u(n) n
a 1
Tentukan outputnya bila inputnya unit step x(n) = u(n) Jawab :
Sistem dan input kausal y( n )
n
n
k 0
k 0
h(k )x(n k ) x(k )h(n k ) n
y( n )
a k 0
k
y( n )
1 a
n 1
1 a
