Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior en Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Computación
Materia: Análisis de Señales
SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO (SISTEMAS LTI) Un sistema lineal invariante en el tiempo , el cual será referido en adelante por la abreviatura en inglés de Linear Time Invariant Systems como LTI, es un sistema que además de ser lineal, es invariante en el tiempo. En la Clase 3, se demostró que cualquier señal discreta x[n] puede escribirse en términos de impulsos como sigue: !."# $rá%camente se demuestra: &ada una señal discreta '(n):
*eñal discreta '(n)
+a podemos descomponer como:
&escomposición de la señal discreta '(n)
&escomposición de la señal discreta '(n)
'(n) "- (n ") /- (n)3-(n0") '(n) '(0")- (n ") '(1)- (n) '(")-(n0") 2ora señalaremos otro e4emplo: 5(n)
'(n) "-(n 3) 0/#-(n /) 3-(n ") /-(n) "-(n0") /-(n0/) 0"#-(n03) '(n) '(03)-(n003#) '(0/)-(n00/#) '(0")-(n00"#) '(1)-(n) '(")-(n0") '(/)-(n0/) '(3)-(n03)
Entonces, si un sistema reali6a una transformación T[*] sobre una entrada x[n] a partir de la cual se obtiene la salida y[n], se dice que el sistema es +78 si la respuesta y[n] puede escribirse como
!./# donde h[n] es la respuesta al impulso unitario del sistema, esto es
!.3#
2 la operación e'presada en la Ecuación !./#, representada también como x[n]*h[n], es conocida como convolución discreta o suma de convolución. Como consecuencia de la Ecuación !./#, se tiene que un sistema +78 puede ser completamente caracteri6ado por su repuesta al impulso h[n] en el sentido de que, dada h[n], es posible calcular la salida y[n] producida por cualquier entrada x[n].
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999 Demostración:
&ado que y[n] = T{x[n]}, x[n] puede ser representada como lo indica la Ecuación !."#, h[n] = T{δ[n]}, tenemos que
a que el sistema es lineal,
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999
CONVOLUCIÓN Una forma de determinar cómo responden los sistemas a una e'citación impulso unitario#, que proporcionan información relativa a las propiedades del sistema, se conoce como Convolución. +a respuesta al impulso es la salida de un sistema +78 debido a una entrada de impulso aplicada al tiempo t1 o n1. +a respuesta al impulso caracteri6a por completo al comportamiento de cualquier sistema +78. +a convolución puede, además ser representada grá%camente mediante soft;are, como es el caso de la función conv(x, h en <27+2=.
!"em#$o:
Considere que la respuesta al impulso de un sistema +78 de tiempo discreto es h[n] = %n&[n] la entrada es x[n] = &[n], donde % es una constante tal que ' % ). >btenga la salida y[n] para la entra dada x[n]. +a entrada x[n] la salida y[n] de un sistema +78 de tiempo discreto están relacionadas por las ecuaciones de convolución:
?or lo tanto,
?ara audar en la evaluación de la ecuación anterior, en la %gura siguiente se muestran las versiones de re@e'ión despla6amiento de la respuesta al impulso para dos casos. Cuando n ', se puede apreciar que las señales no se traslapan, por lo que x[]h[n+] 1 para todos los valores de .
Figura 6.1. a# Caso ": n ', las señales no se traslapan b# Caso /: n ', las señales se traslapan entre ' n.
?or lo tanto,
Cuando n ', como se puede observar, las curvas se traslapan de = ' a = n. ?or lo tanto, el producto es diferente a cero en este rango. En consecuencia,
Uniendo los resultados para n ' para n ', se obtiene
lo cual puede ser combinado como
En la Aigura !./ se pueden apreciar muestreos de x[n], h[n] y[n] para % = '-./.
Figura 6.2. *eñales del e4emplo para % = '-./ .
+as propiedades de la convo$&ción 0iscreta (s&ma 0e convo$&ción son similares a las de la convo$&ción an1$o2a (inte2ra$ 0e convo$&ción :
3onm&tativa
!.B#
lo que implica que la salida del sistema puede ser representada también como !.# 4sociativa
!.!# Distri5&tiva
!.D#
Propiedades de un Sistema LTI •
Sistemas con memoria y sin memoria
a que la salida y[n] de un sistema sin memoria depende Fnicamente del valor presente de la entrada x[n], entonces, si el sistema es +78, se tiene que !.G# donde 6 es una constante ganancia#. Entonces, la respuesta al impulso correspondiente es simplemente !.H# ?or lo tanto, si h[n' ] 7 ' para n' 7 ', el sistema discreto +78 tiene memoria.
•
Sistemas 3a&sa$es y 4ntica&sa$es
*e sabe que un sistema es ca&sa$ si la salida depende Fnicamente de los valores presente pasado de la entrada. &e la ecuación !./# se desprende que !."1#
?or lo tanto, para que el sistema sea causal, cada término de la segunda sumatoria del miembro dereco de la ecuación debe ser cero porque contiene los valores futuros de la entrada. Esto se cumple solamente si solo si !."1# *i se aplica este resultado en la Ecuación !.#, se tiene que !.""# 2plicando la condición de causalidad de la Ecuación !."1# en la Ecuación !./#, obtenemos de manera alternativa que !."/# Esta Fltima ecuación muestra que los valores de la entrada x[n] usados para calcular la salida y[n] son solamente aquellos para los que 8 n. 2demás, si la entrada x[n] es causal x[n] = ' para n '# , se tiene que !."3#
•
Sistemas !sta5$es (9I9 + 9o&n0e0 In#&t 9o&n0e0 &t#&t e Inesta5$es
Un sistema discreto +78 es esta5$e o 9I9 si !."B# Esto es, si la suma de la ecuación anterior converge es sumable#: 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999 Demostración:
*i se asume que la entrada x[n] es acotada, es decir I x[n]I 8 ;, para un valor %nito < J K, se tiene que
>bservando la Fltima sumatoria se puede ver que esta converge solamente si se satisface la Ecuación !."B#.
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999 •
3onexión en Serie (3asca0a
&os sistemas de tiempo discreto están en casca0a (interconecta0os en serie si la salida de uno es la entrada de otro como se muestra en la Aigura !.3. +a respuesta al impulso h[n] de la intercone'ión en cascada de dos sistemas discretos +78 es simplemente la convolución de las respuestas al impulso individuales: !."#
Figura 6.3. Lepresentación Equivalente de sistemas discretos +78 en cascada. +a Ecuación !."# puede ser generali6ada para ; sistemas discretos +78 interconectados en cascada, como se muestra a continuación: !."!# •
3onexión en
&os sistemas de tiempo discreto están en #ara$e$o si sus entradas son la misma señal su salida es una señal Fnica igual a la suma de las señales de la salida de cada uno de los sistemas ver Aigura !.B#. +a respuesta al impulso h[n] de la intercone'ión en paralelo de dos sistemas discretos +78 es simplemente la suma de las respuestas al impulso individuales: !."D#
Figura 6.4. Lepresentación Equivalente de sistemas discretos +78 en paralelo. +a Ecuación !."D# puede ser generali6ada para ; sistemas discretos +78 interconectados en paralelo, como se muestra a continuación: !."G# •
Sistemas Inverti5$es
*i se tiene un sistema discreto +78 con respuesta al impulso h[n], se dice que el sistema es inverti5$e si al aplicar como entrada la respuesta al impulso a otro sistema se obtiene como respuesta la señal impulso unitario δ[n]. En consecuencia, si el sistema inverso correspondiente es también +78 con respuesta al impulso h)[n], como se muestra en la siguiente %gura, h)[n] debe satisfacer la condición !."H# En realidad el sistema inverso debe ser +78 dado que el sistema original es +78.
Figura 6.5. *istema discreto +78 8nvertible su sistema inverso. En general, si el sistema inverso e'iste, se requiere de técnicas mu so%sticadas para determinar la respuesta al impulso h)[n], , aFn de e'istir el sistema invertible, puede que esto no implique propiedades adicionales de uso práctico para otras aplicaciones como en los casos de causalidad Mo estabilidad.
•
es#&esta !sca$ón >nitario
+a res#&esta esca$ón &nitario s[n] de un sistema discreto +78 con respuesta al impulso h[n] se obtiene de la siguiente manera: !./1# &e la ecuación anterior se tiene que !./"#
Respuestas a Impulso y Convoluciones Especiales 2lgunos casos importantes de respuestas a impulso son las siguientes: etraso >nitario
h[n] = δ[n+)]
!.//#
4vance >nitario
h[n] = δ[n?)]
!./3#
h[n] = &[n]
!./B#
4c&m&$a0or
8gualmente, e'isten algunas convoluciones con propiedades especiales: -(n") N -(n9") -(n)
!./#
-(n") N -(n) -(n")
!./!#
-(n9") N -(n) -(n9")
!./!#
u(n) N -(n") u(n")
!./D#
u(n) N -(n9") u(n9")
!./G#
Ecuaciones i!erencia +as ec&aciones 0i@erencia 4uegan el mismo papel en un sistema de tiempo discreto que el que 4uegan las ecuaciones diferenciales en un sistema de tiempo continuo. Estas ecuaciones diferencia pueden describir tanto implementaciones en ard;are como en soft;are de sistemas de tiempo discreto pueden ser descritas mediante diagrama a bloques como se mostrará más adelante.
2 continuación se muestra un sistema discreto descrito por una ecuación diferencia lineal de orden %nito con coe%cientes constantes: !./H# donde el orden del sistema se re%ere al retardo más grande A o ;# que apare6ca en la ecuación. En analogOa con el caso de tiempo continuo, la solución general para la salida y[n], dada para una entrada particular x[n], es y[n] = y #[n] ? y h[n]
!.31#
Es decir, la suma de una solución particular y #[n] que satisface la Ecuación !./H# una solución omogénea y h[n] que satisface la Ecuación !./H# con x[n] = ', o lo que es lo mismo, que satisface la ecuación diferencia omogenea
!.3"#
+a forma e'acta de la secuencia y h[n] está determinada por A condiciones au'iliares del sistema, siendo y h[n] en realidad un miembro de la familia de soluciones de la forma !.3/# *ustituendo la Ecuación !.3/# en la Ecuación !.3"#, se puede observar que los nFmeros comple4os B m deben ser raOces del polinomio !.33# +a ecuación !.3/# asume que todas las A raOces del polinomio de la Ecuación !.33# son distintas. +a forma de los términos asociados con raOces mFltiples es ligeramente diferente, pero siempre a A coe%cientes indeterminados. a que y h[n] tiene A coe%cientes indeterminados, se requiere de un con4unto de A condiciones au'iliares para obtener una salida y[n] Fnica para determinada entrada x[n]. Estas condiciones au'iliares pueden consistir en especi%car valores %4os de y[n] para valores especO%cos de n, tales como y[+)], y[+C], ..., y[+A], posteriormente resolver un con4unto de A ecuaciones lineales para obtener los valores de los A coe%cientes indeterminados. 2lternativamente, si las condiciones au'iliares son un con4unto de los valores au'iliares de y[n], los otros valores de y[n] pueden ser generados reescribiendo la Ecuación !./H# en la forma de la e'presión recursiva siguiente:
!.3B# Esto signi%ca que si se cuenta con una entrada x[n] un con4unto de valores au'iliares consistente en los valores de las A salidas pasadas y[+)], y[+C], ..., y[+A]#, entonces se puede obtener y[']. Entonces se puede aplicar nuevamente la Ecuación !.3B# para obtener y[)] con y['], y[+)], ..., y[+A?)]. +os pró'imos valores de y[n] pueden ser obtenidos aplicando una otra ve6 este procedimiento. *i la salida y[n] se obtiene utili6ando este procedimiento, se dice que es calculada rec&rsivamente. Esta recursividad implica que el cálculo de la salida no solo involucra el uso de la secuencia de entrada x[n], sino que también requiere de valores previos de la secuencia de salida. ?ara generar los valores de y[n] para n +A otra ve6 asumiendo que los valores y[+ )], y[+C], ..., y[+A] son dados como condiciones au'iliares, se puede reacomodar la Ecuación !./H# en la forma !.3#
!"em#$o: (Dr- &m5erto choa
*i se tiene el sistema de tiempo discreto y[n] = C y[n+)] + y[n+C] ? '-/ x[n] ? '-/ x[n+)] con condiciones au'iliares y[+)] = y[+C] = ) , encuentre las salidas de las primero cuatro muestras para las entradas a# x[n] = δ[n]
!("1)
!()
#("2)
#("1)
#()
1 " / 3
1.1 ".1 1.1 1.1
".1 1.1 1.1 1.1
".1 ".1 ". /.
".1 ". /. 3.
". /. 3. B.
!("1)
!()
#("2)
#("1)
#()
b# x[n] = (+)n &[n]
1 " / 3
1 " 9" "
Representación de ia"rama a #lo$ues
" 9" " 9"
".1 ".1 ". /.1
Ecuaciones
".1 ". /.1 /.
i!erencia
". /.1 3. 3.1
mediante
+a Aigura !. muestra los bloques que representan las operaciones básicas que componen a una ecuación diferencia.
Figura 6.5. a# *umador básico, b# multiplicador c# elementos de retardo.
!"em#$o:
+a representación en bloques de la ecuación diferencia recursiva de primer orden y[n] = x[n] ? y[n+)] es
!"em#$o:
+a representación en bloques de la ecuación diferencia recursiva de primer orden y[n] = x[n] ? 5 x[n+)] ? ay[n+)] es
E$ERCICIOS ". &ados los siguientes sistemas en tiempo discreto las señales de entrada indicadas, determine las señales de salida correspondientes: a# *istema 7":
*eñal de entrada:
b# *istema 7/: *eñal de entrada:
So$&ción:
/. Considere un sistema discreto con entrada '(n) salida (n). +a relación entrada0salida para este sistema es:
a# PEl sistema es sin memoriaQ b# &etermine la salida del sistema cuando la entrada es 2R- (n), donde S2T es un nFmero real o comple4o. c# PEl sistema es invertibleQ
So$&ción:
a# oV b# (n) 1V c# o.
3. &etermine argumentando la respuesta# qué propiedades sin memoria, invariante en el tiempo, lineal, causal, estable# cumplen los siguientes sistemas discretos:
So$&ción:
a# +ineal, estableV b# 8nvariante, lineal, causal, estableV c# *in memoria, lineal, causalV d# +ineal, estableV e# +ineal, estableV f# *in memoria, lineal, causal, estableV g# +ineal, estable
B. Considere una entrada '(n) una respuesta al impulso unitario (n) dadas por:
&etermine dibu4e la salida
So$&ción:
. Calcule la convolución (n) '(n)N (n) de los siguientes pares de señales
So$&ción:
%I%LIO&RAF'A W2X8, *imón. *eñales *istemas. Editorial +imusa, /11G. D9GH pp. L>=EL7*,
REFERENCIAS *istemas *eñales 9 ttp:MM;;;1.unsl.edu.arMZsensisMapuntesMtema/.pdf 9 Consultado el dOa B9Aeb9/1"
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