Solución elástica de Kirsch
Ayudante: Diego Acevedo C. Profesor: Cristian Orrego B.
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Teoría (conceptos Básicos) Representación de solución elástica de kirsch Ecuaciones de Kirsch Ángulo theta Condición Hidrostática Carga Litoestática Principio de Superposición
i. ii. iii. iv. v. vi.
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Ejercicio N°1
Ejercicio N°2
Ejercicio N°3
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Conceptos Básicos
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Estado Tensional Inducido por la excavación Radio de la Excavación Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. Estado tensional in situ.( También llamado estado tensional PRE-MINERIA)
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Es importante considerar que el ángulo Teta, se mide desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. Define la orientación del punto sobre el cual se desea conocer el estado tensional inducido.
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Otra forma de expresar este problema, es dejando las formulas en función de la “Razón de Esfuerzo” ( K). :es la división entre el esfuerzo Horizontal y Vertical ( ) , se refiere al esfuerzo vertical pre minería, o el estado tensional insitu. Radio de la excavación Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. II
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Se puede apreciar que si el radio de la excavación es igual a la distancia del punto que se quiere analizar, entonces el esfuerzo cortante será igual a cero. =
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, contorno
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K=1 Cuando sucede esto, el punto analizado se comporta igual como si este punto estuviera sumergido en un recipiente con agua, es decir, todas las fuerzas a todas direcciones tendrán la misma magnitud.
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Entonces, para tener esta condición, los esfuerzos deben ser iguales en todas las direcciones, es decir, el esfuerzo vertical como el horizontal deben ser iguales. K=(Esf. Horizontal/ Esf. vertical)= 1
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Es el peso que genera la columna de rocas en el sector a analizar. Este comportamiento es igual al de una columna de agua, por lo tanto su formula es : ρ ρ
: Densidad (Densidad de la Roca)
: Gravedad Altura de la columna ( Profundidad de la excavación)
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La carga lito estática siempre se asocia al esfuerzo vertical. Generalmente el esfuerzo vertical es menor que los esfuerzos horizontales, por lo tanto, el esfuerzo vertical será igualado al (Situación de Chile). Los esfuerzos horizontales están asociados al movimiento de placas tectónicas (Situación de Chile).
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Para evaluar los efectos en un mismo punto producto de una serie de excavaciones, se deben obtener los efectos que provoca cada una en la misma orientación (es conveniente en X e Y) y luego sumar al estado in situ inicial con las diferencias entre el estado in situ y el inducido por cada excavación
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En el entorno de un túnel circular de radio “R”, se advierte la presencia de una estructura geológica, ubicada tal como se presenta en la figura 1. Se sabe que la estructura tiene una resistencia definida por la envolvente Mohr-Coulomb. A usted como ingeniero (a) geomecánico se le ha pedido determinar, la distancia “r”, a lo largo de la estructura , a la cual esta es activada, considerando un
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Utilizando las siguiente expresión matemática, se reemplaza la razón de esfuerzos por 1, ya que se esta asumiendo que la excavación se encuentra en un campo de esfuerzos hidrostática.
En una condición hidrostática, la expresión se reduce y en el caso de tau, esta queda igual a cero.
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O también se puede solucionar con la expresión presentada anteriormente, entonces al ser un campo hidrostático , la condición seria P1=P2
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ϴ
Si el esfuerzo normal se iguala a sigma thetha, entonces solo queda despejar “r” para obtener la expresión para la distancia en que la falla se activa.
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En un macizo rocoso bastante competente y masivo, se requiere excavar de acceso paralelos considerando rumbo N-S, que podrían considerarse de sección circular ya que el proyecto se encuentra en una etapa conceptual, de cada uno y ubicados a una entre sus centros. La ultima información geológica del sector, indica la presencia de una de rumbo N-S y manteo 50°hacia el este, que se caracteriza por contener rellenos de salbanda. La activación de esta falla podría generar serios problemas de estabilidad en el sector. A Usted como Ingeniero (a) Geomecánico se le solicita calcular los por ambos túneles sobre la centro entre ambos a una profundidad de 800 m respecto a la superficie. Estimaciones preliminares indican que el peso unitario del macizo rocoso es 2.7 ton/ m³ y el estado tensional quedaría definido por las razones de esfuerzo y . Asuma II
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Para obtener el esfuerzo vertical insitu, entonces se usa la expresión de carga litostática: ρ 2700 x 10 x 800 = 21.6 MPa= 5m
Como los túneles tienen una orientación Norte- Sur, entonces el análisis se realizará en el plano Este- Oeste debido a que se analizará la sección transversal de ambas obras. Es por ello que para este caso , para obtener el esfuerzo horizontal insitu se usa = 1.5 =
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x
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12.5 m
σ
H
= 1.5 x 21.6= 32.4 MPa =
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Obteniendo los parámetros de radio, distancia y ángulo, entonces se aplica la expresión matemática siguiente ( derecha) : = 5 m. = 12.5 m. ϴ = 0° =180° Como resultado del reemplazo de las variables, se obtienen lo siguientes valores para ambas excavaciones.
ϴ ϴ
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25.039 MPa = 25.505 MPa = 0 Mpa =
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Los esfuerzos que se encuentra en el sector de la falla se obtienen con el principio de superposición
+ Σ( 32.4 + (25.034 - 32.4)+(25.034 - 32.4) = 17.67 MPa = Q 21.6 + (25.505 - 21.6)+(25.505 - 21.6) = 29.41 MPa = P 0 MPa Como el esfuerzo de corte es cero, en consecuencia P y Q serán los esfuerzos de superposición σ y ,σ x , respectivamente .Finalmente para obtener los esfuerzos inducidos en la falla, se calcula a través de la siguiente expresión matemática que depende de P y Q.
ϴ ϴ
ϴ
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24.56 MPa = -5.77 MPa = = 40° M
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ϴ ϴ
ϴ
ϴ
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ϴ
24.56 MPa = -5.77 MPa = = 40°
40°
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R2
R1
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La figura (Ver figura 3) muestra la ubicación de dos piques de diámetro cuatro metros cada uno, los cuales se desean excavar en una riolita bastante competente, la que posee una resistencia a la compresión no confinada para la roca intacta de 117 MPa y una densidad de 2.8 ton/m³. El estado tensional pre minería es tal que el esfuerzo principal menor es igual al esfuerzo vertical, el cual esta definido por la carga lito estática. El esfuerzo principal intermedio es horizontal, actúa en dirección norte, y esta definido por una razón de esfuerzo K=1.2. Finalmente , el esfuerzo principal mayor también es horizontal, actúa en dirección este , y esta definido por una razón de esfuerzos K=1.5. Se desea determinar el estado tensional inducido, producido por realizar ambas excavaciones en el punto A. Suponga el análisis a 200 m de profundidad y utilice * Ejercicio extraído de Fundamento de Geotecnia (M. Domcke) II
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* Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M. Domcke) II
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En este ejercicio, se aprecia que ambas excavaciones son piques, por lo tanto los esfuerzos actuantes en el plano XY serán los esfuerzos principales mayor ( σ ) e intermedio (σ ). Para este caso el esfuerzo principal menor (σ eje z), esta asociado a la carga lito estática. Para obtener los esfuerzos insitu entonces se utilizaran las razones de esfuerzo K=1.2 y K= 1.5. Recordemos: K=
/
Primero se obtiene σ₃ , a través del calculo de la carga litostática: σ
ρ
5.48 * = 5.48 *
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2800 x 9.80 x 200 =5.49 Mpa
5.49*1.2 = 6.59 Mpa esfuerzo principal intermedio 5.49*1.5 = 8.24 Mpa esfuerzo principal mayor
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Luego, al considerar los siguientes parámetros se procede a ingresar a la formula que esta a continuación: = 2 m. = 7 m. ϴ = 0° = 8.24 Mpa = 6.59 Mpa
Al evaluar los parámetros anteriores en las ecuaciones de Kirsch, se obtiene los esfuerzos inducidos por la excavación 1:
ϴ ϴ
7.38 MPa = 7.18 MPa = 0 MPa
* Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M. Domcke) II
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Primero se debe obtener la distancia X y su orientación del punto a calcular y la excavación 2 :
ᵦ
X
ᵦ
arctg (Beta) = (6.8/3) =66.19° Beta = 66.19° Por lo tanto X es igual a : Sen (66.19°) = 6.8 / = 7.43 m
ϴ = 180°- 66.19° = 113.81°
* Figura extraído de Fundamento de Geotecnia (M. Domcke) II
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Por lo tanto , los esfuerzos en ese sistema de referencia son los siguientes: = 2 m. = 7.43 m. ϴ = -114° = 8.24 Mpa = 6.59 Mpa
Kirsch
ϴ
6.47 MPa 8.51 MPa
ϴ
0.69 MPa Resultados
Valores que ingresan a Fórmula
Como estos esfuerzos inducidos por la excavación 2 están en un sistema de referencia distinto a la excavación 1, no se puede realizar la superposición. Por lo tanto, para poder hacer esto, los esfuerzos inducidos por la excavación 2 deben estar en términos de σ x y σ y . Para obtener estos esfuerzos se debe utilizar el siguiente sistema de ecuaciones, y despejar los términos mencionados.
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Resolviendo el sistema de ecuaciones: 1
-0.67
0.74
1
0.67
-0.74
0
-0.74
0.67
σx
X
6.47
=
σy Τxy
8.51 -0.69
8.69 MPa 6.29 MPa 0.29 MPa II
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