Autolavor y Autovector Definicion

´ Algebra

CURSO 2008-09 Clase Clase Pr´ actic actica a No. 8 Autovalores y autovectores C´ alcu alculo lo medi median ante te MATLA MATLAB B

Definici´ on de autovalor y autovector

Sea A  una matriz de orden n × n. Un vector no nulo X  ∈ Rn es un autovector o vector propio de A  si existe un escalar λ  tal que AX  = λX . A este λ  se le llama autovalor o valor propio de A. A este X   se le llama autovector o vector propio correspondiente a λ. M´ etodo del polinomio caracter´ıstico para hallar los autovalores

Este es un m´etodo importante en el ´ambito te´orico, pero con grandes limitaciones en la pr´actica. Se utiliza en casos muy sencillos con matrices 2 × 2, algunas 3 × 3 y otras muy especiales de orden 4 × 4. Consiste en plantear el sistema lineal homog´ eneo AX  − λX  = (A − λI n)X  = 0

y exigir que tenga soluciones no nulas, y ello s´olo ocurre cuando

Existe una fuerte relaci´on entre el c´alculo num´erico de las ra´ıces de un polinomio cualquiera, y el c´alculo de los autovalores de una matriz cuadrada. S´olo diremos que el primer problema se subordina al segundo, lo cual parece contradictorio atendiendo al orden de ideas de la diapositiva anterior. S´ olo emplearemos el c´alculo directo y artesanal de P A(λ) cuando las ra´ıces de ´este sean f´aciles de hallar. En los dem´as casos utilizaremos herramientas inform´aticas para el c´alculo de los autovalores. Ejemplo 1. Sea A  =

2

3

 3 6

−

. Calcular sus valores propios.

Soluci´ on por medios artesanales. En este caso P A(λ) =  λ 2 + 4λ − 21. Las ra´ıces se calculan f´acilmente como λ  = 3 y λ  = −7. Soluci´ on mediante MATLAB. Apliquemos el comando EIG.

>>A=[2 3;3 -6]; >>L=eig(A) L =

Para calcular los autovalores tambi´en podemos proceder acorde con lo que hacemos artesanalmente con l´apiz y papel: Dada la matriz A  hacer >>c=poly(A)

de modo que en c  ahora tenemos al polynomio caracter´ıstico de A. Ejecutamos >>R=roots(c);

y comparamos este ´ultimo resultado con >>vp=eig(A)

Es posible que puedan apreciarse peque˜nas diferencias debidas a los errores de redondeo.

Ejercicio 1 Encontrar los autovalores y una base de autovectores, si fuese posible, para las siguientes matrices.(1 Para comprobar si la matriz A  es diagonalizable operar por filas A − λI n  para obtener una matriz escalonada equivalente. Puede usarse TRANSELEM o RREF, aplicados a A − λ ∗ eye (n), n  = 3, 4.

a)  A

c) A

 26  =  1

   =  

232 0 0 1

108 −74 12 −66

−

 1280 0 

−

202 246 195 61 138 −42 135 89

b)  A

0

 70 37   6 

− −

1

−

d)  A

0  =  3

 1 2 

3 0 1 2 0

0  1  =  0

22 0 1 0 0

24 0 0 1

−

 45 0   0 

−

0

1) Ver en la siguiente diapositiva c´omo se calculan los autovectores mediante el propio comando EIG. No obstante, se recomienda calcular los autovectores por la v´ıa artesanal, despu´es de >> rref (A

 λ

( ))

Anexo El comando EIG se aplica a una matriz cuadrada A  para calcular valores y vectores propios. La sintaxis para obtener los autovalores es la siguiente >>eig(A)

Si queremos obtener adem´as los autovectores hacemos >>[P,D]=eig(A)

de modo que en P  se almacenan vectores propios y en D  una matriz diagonal con los autovalores de A. La disposici´on de autovalores y autovectores es la siguiente: El autovector asociado al autovalor D(j, j ) es P (:, j ), es decir, >>e=max(abs(A*P(:,j)-P(:,j)*D(j,j)))

siendo e  un n´umero menor que 1.0e − 14. Comprobar que s´olo en el apartado b) se cumple que P T  ∗  P  = I 3 , y P  ∗  P T  = I 3 , cuando P  se obtiene por la v´ıa de EIG.