Aritmetica 2015 1 Parte

 M 

atemáticas es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades. En las matematicas las operaciones lógicas son utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX, las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias; esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad, la prueba de lo manifestado se demuestra en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.  LAS MATEMÁTICAS EN EN LA ANTIGÜEDAD TIPO TIPO DE NUME NUMERA RACI CI N

 Babilónica  Egipcia jeroglífica  Egipcia hierática Griega ática  Romana 1

2

3

5

10

20

21

50

100

500

1.000 10.000

Las primeras referencias sobre las matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

1 , junto con la fracción 2 , para expresar todas las 3 n fracciones. Por ejemplo, 2   era la suma de las fracciones 1 y 1 . Utilizando este sistema, los egipcios 4 28 7 fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular areas como el de los triángulos, rectángulos y trapecios, el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad

El sistema babilónico de numeración era diferente al egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con  varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba represent aba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el 27 y que terminaba en el 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 1 2 1 1 10 × , ó 2 + 27 ×   + 10 × . Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), 60 60 60 resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una aproximación de 2 .  LAS MATEMÁTICAS EN EN GRECIA  PITÁGORAS CONSIDERADO EL PRIMER MATEMÁTICO , Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de  Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide; e Hipóc rates de Cos, que descubrió que las áreas de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin

1 , junto con la fracción 2 , para expresar todas las 3 n fracciones. Por ejemplo, 2   era la suma de las fracciones 1 y 1 . Utilizando este sistema, los egipcios 4 28 7 fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular areas como el de los triángulos, rectángulos y trapecios, el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad

El sistema babilónico de numeración era diferente al egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con  varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba represent aba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el 27 y que terminaba en el 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 1 2 1 1 10 × , ó 2 + 27 ×   + 10 × . Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), 60 60 60 resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una aproximación de 2 .  LAS MATEMÁTICAS EN EN GRECIA  PITÁGORAS CONSIDERADO EL PRIMER MATEMÁTICO , Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de  Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide; e Hipóc rates de Cos, que descubrió que las áreas de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin

embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.  A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió descubri ó que no existe una unidad de longitud capaz c apaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3...), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, 2 , es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y  volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.  ARQUÍMEDES  realizó grandes contribuciones en la matemática teórica.  Además, es famoso por aplicar la ciencia a la vida diaria. Por ejemplo, descubrió desc ubrió el principio que lleva su nombre mientras se bañaba. También desarrolló máquinas sencillas como la palanca o el tornillo, y las aplicó a usos militares y de irrigación.  EUCLIDES, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría del polígono y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y  volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga.  Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones sec ciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de  Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos cue rpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola; este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran como elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos, Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian dentro del análisis diofántico.

 PITÁGORAS  PADRE DE LA ARITMÉTICA ARITMÉTICA

 ARITMÉTICA, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithm ētikē, que combina dos

palabras: arithmos, que significa ‘número’, y techn ē, que se refiere a un arte o habilidad.

Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal. En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 × 10, ó 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, ó 100 (aquí 5 × 100, ó 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, ó 1.000 (aquí 1 × 1.000, ó 1.000).

 RAZÓN O RELACIÓN: Se denomina razón a la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas pudiendo ser sus valores cualquier número real, estas cantidades pueden compararse de dos maneras, una de ellas sería hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas y la otra hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: * Razón aritmética o por diferencia * Razón geométrica o por cociente  RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA:

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. Ejemplo: Cantidad de canicas de Fhary : 21 Cantidad de canicas de Jimi : 7 Entonces diremos que el número de canicas de Fhary excede al de Jimi en 14.

razón 47 aritmética 6444444444 44444444448

21

14442 4443

antecedente



 7 { consecuente

valor de razón 6444 47la 444 48

14

 RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE:

Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la división y consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra cantidad. Ejemplo: Cantidad de canicas de Fhary : 21 Cantidad de canicas de Jimi :7 El número de canicas de Fhary es tres veces el número de canicas que tiene Jimi.

antecedente  21 consecuente  7

Valor de la razón 3

} 

razón geométrica  PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia: Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

(a+N) - b = r + N

(a - N) - b = r - N

Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número. a - ( b+N ) = r - N

a -( b - N ) = r +N

Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no  varia. ( a + N ) - ( b+N ) = r

(a-N)-(b-N) =r

 PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTES

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados: Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número. a N b

a N b

r N

r N

Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. a b N

a

r N

b N

r N

Si all antecedente y al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un mismo número, la razón, no varía. a N b N

a N b N

r

r

Observación: Cuando no se indique la razón, se asumirá que es una razón geométrica.

 PROPORCIÓN: Cuando se tiene la igualdad de dos razones del mismo tipo (ambas aritméticas o ambas geométricas). Cuando 2 razones tienen el mismo valor, se dice que guardan la misma proporción o que dichas razones son equivalentes, por lo tanto, al iguarlas se forma lo que se denomina una proporción. Existen dos tipos de proporción: ARITMÉTICA y GEOMÉTRICA.

 PROPORCIÓN ARITMÉTICA O EQUIDIFERENCIA

Es la igualdad de dos razones aritméticas equivalentes. Existen:  Proporción discreta: Cuando todos los términos de la proporción aritmética son diferentes entre sí.

a b c d En esta ecuación aparece un término especial:

d es la cuarta diferencial de a; b y c.  Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.

 Proporción continua: Cuando los términos medios de la proporción aritmética son iguales.

a b b c En esta ecuación aparecen dos términos especiales: b es media diferencial de a y c c es tercera diferencial de a y b

 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA O EQUICOCIENTE

Es la igualdad de dos razones geometricas equivalentes. Existen:  Proporción discreta: Cuando todos los términos de la proporción geométrica son diferentes entre sí. a b

c d

En esta ecuación aparece un término especial: d es la cuarta proporcional de a; b y c.  Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.

 Proporción continua: Cuando los términos medios de la proporción geométrica son iguales.

a b

b c

En ésta ecuación aparecen dos términos especiales: b es media proporcional de a y c c es tercera proporcional de a y b  PROPIEDADES PARA UNA PROPORCIÓN a b

Para la proporción: a b b

c d d

a

c

b a

d c

c   se cumple que: d

a

c

b a

d c

a c a c b d b d

a b b

c d d

a b a b

c d c d

 PROPIEDADES PARA UNA SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Existe una serie de razones geométricas equivalentes cuando se igualan varias razones geométricas como:  

a1 b1

a2 b2

a3 b3

an bn

.. . . ..

k (r (razón )

 I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes  NO hace variar la razón, es decir, la razón pemanece constante:  

a 1 a 2 a 3 .. . . a n b1 b 2 b 3 ... b n

k ( r az ó n )

producto de los consecuentes hace variar la razón. La razón se  II.- El producto de los antecedentes sobre el producto eleva a la cantidad de razones que se utilizan:  

a1 a 2 a 3 . .. . a n b1 b 2 b 3 ... b n

 Problema 01 La suma de dos números es 450 y la relación entre ellos es como 7 es a 8. Hallar el número menor. a) 360 b) 240 c) 300 d) 210 e) 400  Solución: Sean los numeros “a” y “b” que estan en la l a relación a 7   por proporcionalidad se tiene a 7k b 8 b 8k entonces afirmamos que. a 7k y b 8 k Reemplazando en la condicion a b 450 7 k 8 k 450 15k 450 k 30 Como pide hallar el menor a 7k 7(30)  210  Rpta.  Problema 02 Las edades de Jimi y Fhary estan en la relación de 11 es a 10, si hace 9 años las edades estaban en la relación como 8 es 7. Cual será la edad de Fhary cuando su hijo tenga 20 años, si decide tenerlo cuando Jimi tenga 35 años. a) 36 b) 48 c) 50 d) 70 e) 52  Solución: Edad de Jimi = A Edad de Fhary = B  A 11 A 11k B 10 B 10k Entonces se tiene que Edad de Jimi 11k

k n ( r az ó n )

Edad de Jimi 10k Hace 9 años la relacion fue: 11k 9 8 10 k 9 7 Despejando la ecuación 7(11k 9) 8(10k 9) 77 k 63 80 k 72 3k 9 k 3 Luego las edades son: Edad de Jimi = A=11k=11(3 A=11k=11(3)=33 )=33 años Edad de Fhary = B=10k=10(3)= 30 años Luego cuando Jimi tenga 35 años habrán pasado 2 años entonces nace el hijo de Fhary, Entonces la edad de Fhary cuando su hijo cumpla 20 años será: Edad de de Fh Fhary 2 añ años 20 30 2 20 52 52 años años  Rpta.  Problema 03 La razón de dos números es 0,375; si la diferencia de los términos es 35, hallar el consecuente. a) 48 b) 46 c) 70 d) 42 e) 56  Solución: Sean los numeros “a” y “b” entonces

a b a b

0,375

375 3 1000 8 a 3k b 8k

3k 8k b a 35 8 k 3k 35 k 7 Hallando el consecuente b 8k 8 7 56 56  Rpta.

 Problema 04 Si a los números 12, 20, 2 y 5 se les añade una misma cantidad se forma entre ellos una proporción geométrica. Hallar la cantidad añadida. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6  Solución:

a 5k 5 37 185 b 8 k 8 37 296 Reemplazando en la suma 185 296 c 500 481 c 500 c 19

Luego

se

tiene

19  Rpta.

Si añadimos “x” se tiene (12+x); (20+x); (2+x) y

(5+x) luego formamos la proporcion geometrica (12+x) (2+x) = (20+x) (5+x) (12+x)(5+x)=(20+x)(2+x) x2

17x 60

20 5x

x

x2

22x 40

4  Rpta.

 Problema 05  Amelia tuvo su hijo a los 18 años, ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene el hijo? a) 36 b) 24 c) 30 d) 20 e) 40  Solución: Del enunciado se tiene que: Naci Nacióó hijo hijo Dent Dentro ro de de "n" "n" años años  Amelia 18 n+18 Hi j o 0 n

Luego: n 18 8 n 5  Aplicando propiedad de proporciones: n 18 n 8 5 n 5 18 3 n=  30 años  Rpta. n 5

 Problema 07 En una fiesta se observo que por cada 8 mujeres había 5 hombres. Además el número de mujeres exede al número de hombres en 21. ¿Cuál será la nueva relación de hombres a mujeres si se retiran 14 parejas? a) 2:3 b) 2:5 c) 4:7 d) 1:2 e) 3:5  Solución: M : # de de mujer mujeres es V : # de de Var Varon ones es Luego de los datos: M 8 8k = M=8k ; H=5k … ( I ) V 5 5k M H 21 … ( II )

Reemplazando ( I ) en ( II ): 8k 5k 21 k=7 M 8k M=56 V 5k V=35 Si se retiran 14 parejas, se entiende que se retiran (14 varones y 14 mujeres ) Quedan: V 35 14 21 M 56 14 42 Entonces la nueva relación es: H1 21 1  1: 2  Rpta. M 1 42 2

 Problema 08  Problema 06 ro La suma de 3 números es 500, al razón del 1  con el En un estadio colmado, con capacidad para 45 000 2do es 5/8 y la diferencia de los mismos es 111. Hallar espectadores, la relación de hinchas del equipo local a la de los visitantes es de 5 a 3. Luego de los goles el tercer número. a) 296 b)185 c) 481 del equipo visitante, la decepción hace abandonar a los hinchas del equipo local y sólo a ellos, d) 111 e) 19 cambiando la relación en orden inverso, Si sólo habían en el estadio hinchas de ambos equipos.  Solución: Sea la suma de los tres numeros a b c 500 ¿Cuántos abandonaron el estadio antes del final? a) 17 500 b) 14 500 c) 16 000 luego se tiene d) 18 000 e) 15 000 a 5k a 5k b 8k b 8k  Solución: L : #  de hinchas del equipo de local b a 111 V : #  de hinchas del equipo visitante. 8 k 5 k 111 Luego, de los datos: 3k 111 L V 45 000 … ( I ) k 37

L V

5 = 5k 3 3k

L=5k ; V=3k … ( II )

Reemplazando ( II ) en ( I ) 5k 3k 45 000 k=5 625 L 5k L=28 125 V 3k V=16 875 Después de los goles del equipo visitante se retiran “n” hinchas del equipo local más ninguno del equipo

 visitante, de esta manera la relación se nvierte es decir: 28 125 n 3 Operando se obtiene: 16 875 5 n=  18 000  Rpta.

Sea “x” el número de pollos que se sacrifican para

que a razón sea 9/10, es decir: P x 9 56 x 9 G 10 40 10 56 x 36 x=  20  Rpta.

 Problema 10 En el barrio donde resido, eramos 7 niños por cada 3 niñas, pero con el transcurso de los años por cada 2 de nosostros llegó una niña y 2 niños se mudaron a otro bariio, ahora que invito a todos a mi cumpleaños observo que todos bailan. ¿Cuántas niñas son ahora en total? a) 36 b) 45 c) 54 d) 39 e) 40

 Problema 09 En una granja hay “n” aves entre patos y gallinas. Si

 Solución: h : # de de niñ niños os el número de patos patos es a “n” como 7 es a 12 y la niñas as diferencia entre el número de patos y el número de m : # ddee niñ gallinas es 16. ¿Cuál será el número de patos que deberan sacrificarse para que la relación entre patos Luego: h 7 14 a gallinas sea 9/10. h=14k ; m=6k … ( I ) m 3 6 a) 18 b) 27 c) 20 Con el transcurso de los años llegaron 7k niñas y 2 d) 15 e) 24 niños se mudaron. Luego el día de mi cumpleaños  Solución: somos: P : # de de pat patos os # de niños=14k 2 G : # de de gallin gallinas as # de niñas=6k+7k=13k Luego, de los datos: Como yo observo que todos pueden bailar, entonces * P G n …(I) se debe cumplir: P 7 * P=7k ; n=12k … ( II ) 14k 2 1 13k n 12 k 3  Actualmente el #  de niñas es: De ( I ) y ( II ) 6k 7k  39  Rpta. 7k G 12k G=5k  Además: P G 16 7k 5k 16 k=8 Reemplazando. P=56 y G=40

 2. La razón del recíproco de un número con el recíproco de su cuadrado es 16. Dar como respuesta la suma de las cifras del número? a) 9 b) 5 c) 4 d) 16 e) 7 1. ¿Cuál es la diferencia entre los cuadrados de la razón aritmética y geométrica de los números 12 3. La suma de dos números es 4320 y ambos están y 3? en la relación como 13 es a 7. Hallar la suma de a) 16 b) 81 c) 25 las cifras de la diferencia de los números. d) 65 e) 45 a) 15 b) 18 c) 16 d) 17 e) 19

4. La diferencia de los cuadrados de dos números es 8640 y su razón geométrica es como 17 es a 23. Hallar la cifra de mayor orden de la razón aritmética de los números. a) 7 b) 1 c) 3 d) 9 e) 6 5. Hallar T + O + D + O si: “T” es la cuarta diferencial de 13 ; 10 y 17 “O” es la cuarta proporcional de 8 ; 2 y 24 “D” es la te rcera diferencial de 19 y 15

a) 53 d) 37

b) 39

c) 42 e) 31

6. Encontrar: M + A + P + A si: “M” es la tercera proporcional de 12 y 48 “A” es la media diferencial de 13 y 57 “P” es la media proporcional de 44 y 891

a) 520 d) 425

b) 485

c) 460 e) 438

7. ¿Cuál es la tercera diferencial de la media proporcional de 16 y 9, y la cuarta diferencial de 8 ; 6 y 20. a) 18 b) 6 c) 12 d) 24 e) 36 8. Hallar la cuarta proporcional de la media diferencial de 134 y 86, la tercera proporcional de 4 y 20, y la media geométrica de 121 y 4 a) 20 b) 30 c) 40 d) 45 e) 52

d) 78

e) 2106

13. Si: a b c d , 2 4 3 6  Además a b c d 90000 Hallar a c b d a) 625 b) 5 d) 25

c) 5 e) 25

14. En una serie de razones geométricas equivalentes, los consecuentes son: 3; 7; 8 y 11.  Además, el producto de los antecedentes es 29568. Hallar la suma de los cuadrados de los antecedentes. a) 56 b) 972 c) 362 d) 460 e) 58 a c d f   b d e g  Además sabemos que se cumple: b g 160 ; a f 90 y e c 35

15. Si:

Calcular “d”

a) 90 d) 70

b) 80

c) 50 e) 60

16. La edad de Gabriela es a la edad de César como 9 es a 7. El doble de la edad de Gabriel y el triple de la edad de César suman 78. Hallar la diferencia de las edades. a) 14 b) 18 c) 2 d) 8 e) 4

9. Se tiene una proporción geométrica discreta donde uno de los extremos es la media diferencial de 37 y 43, y la media geométrica de 17. En una serie de tres razones geométricas los términos medios es 10 2 . Hallar el otro continuas, la suma de los dos primeros extremo. antecedentes es 20 y la de los 2 últimos a) 2 b) 5 c) 1 consecuentes es 45. Hallar el primer antecedente. a) 12 b) 27 c) 8 d) 4 2 e) 5 3 d) 4 e) 3 10. En una proporción geométrica continua, uno de los extremos es uno y la suma de sus cuatro 2 2 a c 1 términos es 64. Hallar el valor del otro extremo.  se cumple que a c 18. Sea b d a c 7 a) 81 b) 64 c) 25 d) 36 e) 49 b2 d 2 Hallar el valor de b d 11. En una serie de cuatro razones geométricas a) 6 b) 7 c) 8 equivalentes, el primer antecedente es 4 y el d) 5 e) 9 último consecuente es 9. Hallar la suma de los tres últimos antecedentes si la suma de los 3 primeros consecuentes es 33. Si la razón de la 19. En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la suma de los términos de cada serie es como 1 a 3. razón es 12; 24 y 48 respectivamente y el a) 10 b) 15 c) 8 producto de los consecuentes es 1000. Hallar el d) 12 e) 18 mayor de los consecuentes. a) 50 b) 30 c) 40 9 8 6 3 d) 10 e) 20 Si: , k 12. a b c d  Además a b c d 104976 .  20. En una reunión se observa hombres, mujeres y Hallar a b c d niños, donde se cumple que por cada 4 hombres hay 5 mujeres y por cada 7 mujeres hay 11 a) 56 b) 3 c) 17

niños. Si la cantidad de niños excede a las mujeres en 140. En cuánto excede la cantidad de 100a 2 x 20a y 1 z k  28. Si: niños a los hombres. 2 20a y 1 z 100a x a) 49 b) 196 c) 198 d) 189 e) 169 además: k 2 x y z 1 . Hallar el mayor valor de “k”, sabiendo que es un número de dos  cifras  21. Los cuadrados de 1/2 ; 1/4 y 1/8 son y que “a” es un dígito. proporcionales a otros tres números que suman a) 10 b) 20 c) 18 147/176. Uno de dichos números es: d) 22 e) 30 a) 7/176 b) 8/21 c) 5/44 d) 7/18 e) 8/41 dd  29. Si: aa cc 10 a , además: a 2c  22. La suma de tres números es 1880; el primero es bb dd ee al segundo como 4 es a 5; el segundo es al Hallar: a + b + c + d + e tercero como 3 es a 4. Dar el tercero. a) 17 b) 15 c) 21 a) 600 b) 840 c) 900 d) 70 e) 19 d) 800 e) 640 90 a 108 b 144 c  23. En una proporción geométrica continua se sabe 30. Si: 90 a 108 b 144 c k  además: que la diferencia de los extremos es 40 y la suma a b c 2 k k 1 . Hallar “b” de los términos es 80. Calcular la media a) 80 b) 56 c) 96 aritmética de los extremos. d) 49 e) 72 a) 22 b) 23 c) 21 d) 25 e) 28  24. Si:  A B C k a b c  A k B k C k a b x  Además: 256 ,   ademas se cumple 1. Dada la serie: a k bk c k b x y  AB A B B 3 C 3 a3 a x3 Calcular: E que: 343 y ax by 56 . ab a b b 3 c 3 3 3 y y b a) 86 b) 128 c) 96 ax by ay bx d) 84 e) 82 Hallar: . E a b a b a) 131 b) 143 c) 148 k y ab ac 320 . Hallar  25. Si: 11 7 7 b c a b c . Si a; b; c y k son números enteros y d) 148 e) 151 7 7 distintos entre sí. a) 1090 b) 2102 c) 1044  2. En la siguiente serie de razones geométricas d) 1092 e) 318 equivalentes. a1 a 2 a 3 a 4 a a a2 a3 an ... n n ... ,  26. Si: 1 8 10 12 14 b b1 b 2 b 3 bn Halle la suma de los antecedentes, si es la menor además: a1 a 2 a 3... a n 2 n posible y tiene 4 cifras. y a) 1178 b) 1204 c) 1282 n d) 1296 e) 1304 b1 b 2 b 3... b n 3 Hallar. a 3 a c c , además b c 5 3. Si: H n a1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 ... a n b n a 10 b 8 d Calcule (a+b+c). a) 5 b) 3 c) 2n a) 17 b) 19 c) 16 d) 5 n e) 2/3 d) 12 e) 20  27. Se tiene una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero. Sabiendo que la suma de extremos menos la suma de los medios es 450. Hallar el máximo valor que puede tener el primer antecedente. a) 1800 b) 512 c) 820 d) 324 e) 2000

4. Si los términos : a; b; c y d forman una proporción geométrica y además: 6859 (a 2c ac 2 ) 4913 (b 2d bd 2 )

Hallar:

Q

c2 a2

ac

d 2 b2

bd

a) 13/19 d) 17/13

b) 17/19

c) 21/19 e) 17/23

5. Se han sacado 24 litros de un barril lleno de alcohol, después se ha llenado con agua y de esta mezcla se han sacado otros 24 litros y el barril es nuevamente llenado con agua. Si la cantidad de alcohol que queda en el barril es a la cantidad de agua que hay en el barril como 25 es a 24. ¿Cuál es la capacidad del barril? a) 90 litros b) 72 litros c) 84 litros d) 86 litros e) 80 litros 6. Si:

a b

c d

que ha permanecido andando es de 2 h; 24min y 27 s; las longitudes de los pasos que llevo en cada etapa estan en relacion de los números 24; 28 y 27 y el número de pasos que dió por segundo están en la relación de 7; 5 y 6 respectivamente; la relación que existe entre la longitud del paso con que camino en la primera etapa es a 24 como 3 es a 100 y la relacion que hay entre 7 y el número de pasos que dió por segundo en esta primera etapa es de 3 a 1. Hallar el número de pasos que dió en la segunda etapa. a) 5 670 b) 6 870 c) 6 750 d) 7 250 e) 6 250

e   Hallar: f 

8c 3 d e 2a 9ca 2 b d 3 5f 3 b 3 H 5 8d 4 f 2 b 9db 3 5c 3 5a 3 25e3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 / 2 e) 1 / 8 7. Tres recipientes cilíndricos de volúmenes diferentes pero geométricamente semejantes, 1. Hallar la suma entre la razón aritmética y la razón geométrica de 40 y 8. cuyas alturas son entre si como los números 1; 2 a) 42 b) 37 c) 32 y 4, además contienen agua en cantidad d) 48 e) 28 proporcional a su altura. Se trasiega el agua de modo que el nivel sea el mismo en los tres recipientes. Se hace ahora pasar 12 litros de agua  2. Hallar la media diferencial de 40 y 90. a) 50 b) 60 c) 75 del tercer al primer recipiente y se encuentra que d) 65 e) 78 el segundo contiene el doble del liquido que el primero. Hallar el volumen de agua que tenia 3. Hallar la media proporcional de 18 y 2. inicialmente al segundo recipiente. a) 6 b) 10 c) 15 a) 36 litros b) 108 litros c) 72 litros d) 96 litros e) 48 litros d) 5 e) 12

8. Dos atletas parten en el mismo instante uno de un punto “A” y el otro de un punto “B”, al

encuentro uno del otro, si la velocidad del primero excede en 8 km/h al segundo. Determinar la velocidad del primero, si la razon de los espacios recorridos por ambos atletas hasta su encuentro es 5/3. a) 12 km/h b) 15 km/h c) 30 km/h d) 20 km/h e) 40 km/h 9. Dos ciclistas A y B parten de la ciudad M hacia la ciudad N y el ciclista C parte de N hacia M. al cabo de un cierto tiempo la distancia recorrida por A es el doble de la distancia recorrida por B y el triple de la distancia recorrida por C, además la distancia entre A y C es la quinta parte de la distancia entre M y N. luego de un tiempo doble al anterior B y C distan 65 km. ¿Cuál es la distancia entre M y N? a) 132 km b) 60 km c) 130 km d) 65 km e) 135 km 10. Un individuo tiene que recorrer una cierta distancia y lo hace en tres etapas de igual longitud, pero llevando en cada una de ellas determinada longitud de paso, constante dentro de cada etapa y dando un número de pasos por segundo, que varia de una o otra. El tiempo total

4. Hallar la tercera diferencial de 85 y 75. a) 60 b) 25 c) 45 d) 65 e) 78 5. Hallar la tercera proporcional de 9 y 12. a) 16 b) 15 c) 14 d) 20 e) 27 6. Hallar la cuarta diferencial de 900; 850 y 130. a) 50 b) 60 c) 70 d) 90 e) 80 7. Hallar la cuarta proporcional de 150; 45 y 50. a) 120 b) 150 c) 160 d) 200 e) 15 8. Hallar la cuarta proporcional de la media proporcional de 16 y 9, de la tercera diferencial de 36 y 30, y de la media diferencial de 6 y 2. a) 4 b) 15 c) 10 d) 8 e) 16 9.  Amelia tuvo su hijo a los 18 años, ahora su edad es la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene el hijo? a) 36 b) 20 c) 24 d) 40 e) 30

10. En una fiesta se observa que por cada 8 mujeres había 5 hombres, además el número de mujeres excede al número de varones en 21 ¿Cuál será la nueva relación de Hombres a mujeres si se retiran 14 parejas? a) 2:3 b) 1:2 c) 2:5 d) 3:5 e) 4:7 11. A una reunión asistieron 240 personas, se sabe que por cada 19 hombres hay 5 mujeres; si por cada 10 personas que fuman 6 son hombres y cada persona que fuma consume 3 cigarros ¿Cuántas mujeres no fumaron en dicha reunión, si se vendieron 6 cajetillas de cigarros? a) 50 d) 36 b) 34 e) 24 c) 48

Hallar la distancia “d”, si A puede vencer a C por

42 metros. a) 150m d) 170m 18. Sabiendo

b) 140m

c) 130m e) 160m

c y d 221, Hallar a + b + c + d b) 25 c) 35 e) 30

que:

a b

a 2 b2 c 2 d 2 a) 15 d) 20 a c k   donde a, b, c, d y k son enteros 19. Si b d mayores que 1 y además a b c d 15 . Hallar a + b + c + d + k a) 225 b) 169 c) 72 d) 81 e) 69

12. Se tiene cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se observa que por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la a 28 e e f 56 cantidad de azules excede a las rojas en 140. ¿en  20. Si b d f  7 , además b d f 13 cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas? Hallar “ a”. a) 49 b) 196 c) 198 a) 21 b) 35 c) 7 d) 189 e) 169 d) 14 e) 42

13. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas  21. En la siguiente serie de razones geométricas quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por equivalentes a b c d se cumple que: 2 3 4 5 cada niño. Calcular el número de niñas al (a x b x c x d) = 1920, hallar: a b c d comienzo. a) 25 b) 33 c) 28 a) 38 b) 45 c) 40 d) 42 e) 21 d) 54 e) N.A 14. En un corral hay N aves entre patos y gallinas; el  22. Si: a b c y a 2 b 2 c 2 780 5 7 11 número de patos es a N como 3 es a 7 y la Hallar: a b c . diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 50 a) 3080 b) 2050 c) 2850 gallinas? d) 3280 e) 1350 a) 3:2 b) 4:3 c) 2:1 d) 5:2 e) 5:4  23. Los ángulos que forman los rayos de un círculo son proporcionales a los números enteros del 1 al 29. ¿Cuál es el mayor de dichos ángulos? 15. En un colegio la relación de hombres y mujeres es como 2 es a 5 la relación entre hombres en a) 29º b) 30º c) 90º primaria y hombres en secundaria es como 7 es a d) 24º e) 45º 3. ¿Cuál es la relación de hombres en secundaria 2 2 2 a c e a c e y el total de alumnos? k , Hallar  24. Si: b d f  ab cd ef   a) 3:35 b) 6:35 c) 7:31 a) 1/k b) k c) k/2 d) 5:31 e) 6:37 2 d) k e) 1 16. Se tiene una caja de cubos blancos y negros. Si se sacan 20 cubos negros la relación de los cubos  25. La suma, diferencia y el cociente de 2 números están en la misma relación que 9, 7 y 2. Hallar el de la caja es de 7 blancas por 3 negras. Si mayor de dichos números. enseguida se sacan 100 cubos blancos, la a) 46 b) 20 c) 24 relación es de 3 negros por 2 blancos. ¿Cuántos d) 28 e) 32 cubos había al inicio en la caja? a) 90 b) 250 c) 420 E R I 4 , Hallar: M E R I d) 220 e) 180  26. Si: M 972 M E R I a) 480 b) 380 c) 420 17. En una carrera sobre una distancia “d” a  velocidad uniforme, A puede vencer a B por 30 d) 450 e) 370 metros, B puede vencer a C por 15 metros.

 27. En una serie de 3 razones geométricas iguales se sabe que la suma de los dos primeros antecedentes es igual al segundo consecuente siendo este el doble del primer consecuente. Hallar el último antecedente, si su respectivo consecuente es 36. a) 16 b) 24 c) 18 d) 45 e) 12 a c b d 2 2 y además a 2 0,8 2c 2 4 b 1,8 2d 9 hallar el valor de 3b d 3a c a) 0,6 b) 2,3 d) 2,25

 28. Sabiendo que

c) 1,5 e) 0,3

31. En una reunión el número de extranjeros es al número de peruanos como 2 es a 7 . Si entre los peruanos hay hombres, mujeres y niños que están en la relación como 8, 4 y 2. Calcular la relación en la que se encuentran el número de extranjeros con respecto a la diferencia entre el número de mujeres y niños peruanos. a) 2:3 b) 7:8 c) 9:1 d) 3:7 e) 2:1 32. En la fiesta de tu mascota, en un determinado momento el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 5 es 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 7 es a 8. Encontrar el número de hombres que asisten a dicha fiesta si el total de personas es 180. a) 60 b) 50 c) 70 d) 80 e) 100

33. Se cumple que: a 2 b 2 c 10 b 3 c 5 d 8  Además a 2 b 2 c 2 d 2 3789 . Hallar 392(a b c d) . 185(ab bc cd) 30. Las edades de Coco y Cucú están en la misma a) 4 b) 3 relación de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en 45 47 la relación de 13 a 12. d) 11 ¿Calcular la suma de las edades que tenían hace 7 45 años? a) 37 b) 29 c) 39 d) 41 e) 43

 29. En una serie de tres razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

c) 4 49 e) 2 45

Dado un grupo de datos se conoce como su promedio a una sola cantidad representativa de dichos datos. Existen 3 tipos de promedios.  I. Promedio Aritmético o Media Aritmética ( Ma ) :

El promedio aritmético de varias cantidades viene a ser la suma de todas las cantidades, este resultado dividido entre el total de cantidades. Para “n” cantidades se cumple :

Ma

a1 a 2 .... a n n

Para dos números a y b se cumple: Ma

a b 2

 Nota: El promedio estándar para cualquier tipo de cantidades es el promedio aritmético.  II. Promedio Geométrico o Media Geométrica ( Mg ): El promedio geométrico de varias cantidades es la raíz “ n ” – ésima del producto de estas cantidades.

Para varias “n” cantidades se cumple: n

Mg

a1 a 2 .... a n

Para dos números a y b se cumple: Mg

a b

 III. Promedio Armónico o Media Armónica ( Mh ):

El promedio armónico de varias cantidades es la inversa del promedio aritmético de las inversas de las cantidades. Para “ n” cantidades se cumple:

n

Mh

1 a1

1 1 .... a2 an

Para dos números a y b se cumple: 2ab a b

Mh

 PROPIEDADES 1. El mayor de los promedios artitmético, geométrico y armónico para dos o más cantidades diferentes es el promedio aritmético y el menor de ellos es el promedio armónico. Ma

Mg

Mh

 2. Sólo para dos números, el producto de su media aritmética por su media armónica es la media geométrica al cuadrado.  Ma Mh Mg

2

3. La diferencia de cuadrados entre la media aritmética y la media geométrica resulta igual al cociente del cuadrado de la diferencia de las dos cantidades entre cuatro.  Ma

2

Mg

2

(a b)2 4

4. El promedio artimético de una sucesión aritmética es igual al promedio aritmético del primer y último término.  Ejemplo: Hallar el promedio de: 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30.

 Solución:  Ma(6;10;14;18;22;26;30) 

6  30  18 2

5. El promedio geométrico de una sucesión geométrica es igual al promedio geométrico del primer y último término.  Ejemplo: Hallar el promedio de: 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128.  Solución:  Mg (2; 4; 8;16; 32; 64;128) 

2 128  16

 Problema 01 Indicar el valor veritativo de las siguientes proposiciones: I. La media aritmética de: 7; 10; 13; 16; ….; 91 es 49 II. La media geométrica de: 2; 6; 18; 54; ….; 2 312 es 1 458 III. La media armónica de: 1; 1/2; 1/3; 1/4; …;1/36 es 0,054 a) VVF b) VFV c) VVV d) FVV e) VFF  Solución: Propiedades: (1) Sea la progresión aritmética de razón “r” a; a+r; a+2r; a+3r; .... ; a+nr

Luego la MA  de dichos términos será: er 1 Término+Último término MA 2  MA

a

a nr 2

( 2 ) Sea la progresión geométrica de razón “r”: a; ar; ar 2 ; ... ; ar n Luego la MG  de dichos términos será:  MG

er

1 Término Último término

7 91 MA 49 2 II) Los números: 2 ; 2.3 ; 2.32 ; 2.33 ; ... ; 2.311 MA

forman una progresión geometrica de razon 3, luego la media geometrica de dichos términos será: MG

2.2.312

MG= 1 458

III) La media armónica de: 1, 1/2, 1/3; 1/4; … ; 1/36 será:

36 1 1 .... 1 1 1 1 3 4 36 36 MH 1 2 3 4 .... 36 36 2 MH MH 0,054 36.37 37 2 MH

1 1

1 1 2

Se puede observar que las tres proposiciones son  verdaderas.  Problema 02 La media aritmética de 53 números impares consecutivos es 65. Hallar la media geométrica entre el menor y el mayor de dichos números. a) 13 3 b) 9 3 c) 39 d) 11 3 e) 26  Solución: Sea “x” el menor de los 53 números impares

consecutivos, luego la media arimética será: x x 2 x 4 ... x 104 MA 65 n  MG a.ar 53 Como forman una progresión aritmética de razòn 2,  Analizando las proposiciones: entonces aplicando la propiedad (1) del problema, I) Los números: 7; 10; 13; 16; …; 9 1 forman una tenemos: progresión aritmética de razón 3, luego la media x x 104 MA 65 x=13 aritmética de dichos términos será: 2 Menor: x 13

Mayor: x 104 117 La media geométrica pedida será: MG 13 117  39  Rpta.  Problema 03 Para tres números a, b y c se cumple: Mh a,b 4 Mh b,c 6 Mh a,c 8 Hallar la media armónica de a, b y c a) 120/37 b) 90/37 d) 72/13

1

c) 180/37 e) 200/37

 Solución: Del enunciado: 2 1 1 1 4 1 1 a b 2 a b 2 1 1 1 6 1 1 b c 3 b c 2 1 1 1 8 1 1 a c 4 a c Sumandolos resulta: 1 1 1 2 1 1 1 a b c 2 3 4 1 1 1 13 … ( I ) a b c 24 Luego, se pide calcular: 3 Mh a, b, c 1 1 1 a b c Reemplazando de (I) 72 3  Rpta. Mh a, b, c 13 13 24  Problema 04 Cual es el promedio armónico de los números: 0,5; 0,16; 0,083; 0,05; . . . ; 0,009 1 a) 11 b) c) 3 11 44 10 1 d) e) 11 44

;

1

;

1

;

1

; . . . ;

1

1 2 2 3 3 4 4 5 10 11 Luego según fórmula de media armónica n Mh 1 1 1 1 ... a1 a 2 a 3 an Reemplazando 10 Mh 1 2 2 3 3 4 4 5 . . . 10 11 Según la fórmula de sumatoria para la forma: S 1 2 2 3 3 4 4 5 . . . n (n 1) n(n 1)(n 2) S 3 10 Reemplazando en Mh 10(10 1)(10 2) 3 10 Mh 10 11 12 3 10 3 1 Mh 10 11 12 44 4 1  Rpta. 44  Problema 05 Hallar dos números sabiendo que su mayor promedio es 8 y su menor promedio es 63/8. Dar como respuesta la diferencia de dichos números. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7,5  Solución: Sean los números A y B

* Mayor promedio PA  A B PA 8 …(I) 2 * Menor promedio PH PH 2AB 63 … ( II )  A B 8 De ( I ):  A B 16 … ( III ) En ( II ):  AB 63 … ( IV ) Resolviendo: (III) y (IV) se tiene  A 9 y B 7 2  Rpta. Piden:  A B

 Solución:  Problema 06 Hallamos primero para cada uno su fracción Sean A y B dos números enteros, si el producto de la generatriz media aritmética con su media armónica es igual a 1 1 1 1 1 12 veces su media geométrica, entonces el menor ; ; ; ; . . . ;  valor de  A B , es: 2 6 12 20 110 a) 36 b) 25 c) 18 d) 24 e) 26

 Solución: Dados los números A y B Ma . Mh 12 . Mg

(Mg)2

Por propiedad: Mg

2

Ma Mh

12Mg

Mg 12

A B 12  A B 144  144 . 1 72 .2 48 .3   36 . 4 24 . 6 18 .8 16 . 9 12 . 12 A=B

Se puede observar que:  A B  es mínimo, cuando  A B A+B = 24  Rpta. mínimo

 Problema 07 La media arimética de dos números enteros es 5/4 de su media geométrica. Hallar la relación entre dichos números. a) 3:1 b) 1:5 c) 2:5 d) 6:5 e) 4:1  Solución: Sean A y B los números. Del dato: 5 Ma Mg 4  A B 5  A .B 2 4

1. Hallar el promedio aritmetica de los números: 1;2;5;8;12;16 y 19 a) 7 b) 8 c) 5 d) 10 e) 6  2. Hallar el promedio de:2; 4; 8; 16; 32 y 64 a) 23 b) 14 c) 33 d) 20 e) 21

 A B 5  A+B 5k 2  AB 4  AB 2k  A B 5k  A B 5k  despejando se tiene.  AB 2k  A B 4k 2 Como son números enteros se tiene que  A 4k B k Pide la relación entre los números  A 4 k 4  4 es a 1 B 1 k  4:1  Rpta.  Problema 08 Si se tiene M A.MG.MH=631,5. ¿Cuál es el valor de

E

M G2 : MH ? M A

a) 1 d) 1,7

b) 2

c) 1,5 e) 3

 Solución: M G2 E : M H  Utilizando la propiedad. M A M G2 E

M G2 : MH M A

E

M G2 M A M H

E

M A M H M A M H

M A MH

E 1 1  Rpta.

3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los números 3 ; 15 ; 75 ; 1125 y 625? a) 100 b) 625 c) 75 d) 25 e) 1125 4. Cuál es el promedio armónico de los números 1; 4; 6; 12; 2/3 y 1/9 a) 2/9 b) 1/3 c) 0,5 d) 2 e) 1 5. ¿Cuál es el promedio de la siguiente sucesión: 2 ; 7 ; 12 ; …;  242?

a) 111,5 d) 122

b) 126

c) 134 e) 122,5

6. El promedio geométrico de: 1; 5; 25; … ;15625 a) 125 b) 25 c) 625 d) 130 e) 255 7. Hallar el promedio armónico de los números 1;1 ; 1 ; 1 ;... 1 3 5 7 31 a) 0,062 b) 0,0625 c) 0,625 d) 0,65 e) 0,0652

máxima edad que uno de ellos puede tener, si además todos tienen edades diferentes? a) 35 b) 40 c) 22 d) 37 e) 21 16. El promedio de 100 números es 47. Hallar uno de los números si el promedio de los restantes es 43. a) 443 b) 325 c) 54 d) 1201 e) 356

8. Si la media aritmética de dos números es 37 y la media armónica es 36,027 . Hallar la diferencia 17. La M H  y M A  de dos cantidades son dos enteros consecutivos. Hallar la cantidad mayor si la de los números. media geométrica de ellos es 3,46… a) 11,9 b) 8 c) 13,5 a) 4 b) 5 c) 6 d) 10 e) 12 d) 7 e) 8 9. Hallar la diferencia de dos números cuya media 18. Hallar la menor de dos cantidades cuya Ma es aritmética y geométrica son 19,5 y 18. 18,5 y el error que se comete al tomar la Ma por a) 54 b) 15 c) 39 la Mg es 1. d) 12 e) 27 a) 15,5 b) 20,5 c) 18,5 d) 24,5 e) 12,5 10. La diferencia de dos números es 6 y la diferencia entre su media geométrica y aritmética es 1. 19. La media armónica de 40 números es 20 y la media armónica de otros 60 números es 15. Hallar la suma de estas medias. Hallar la media armónica de los 100 números. a) 5 b) 2 c) 8 a) 15 b) 16 c) 17 d) 1 e) 9 d) 18 e) 19 11. El mayor y menor de los promedios de dos Durante el recorrido de 420 km se malograron números son 14,73   y 15. Hallar la media  20. dos de las llantas de un automóvil, por lo que se geométrica de los números. utilizaron 6 en lugar de 4. ¿Cuál es el recorrido a) 12 b) 13 c) 14,7 promedio por cada llanta? a) 420 b) 280 c) 340 d) 14,79 e) 14,86 d) 70 e) 105 Un ciclista recorre desde su casa al trabajo a una 12.  velocidad de 120m/seg y de retorno por el mismo  21. La media geométrica de dos números es 6 2 , camino a una velocidad de 280m/seg. Hallar la sabiendo que su mh y ma   son dos enteros  velocidad media del recorrido. consecutivos, se pide encontrar el mayor de los a) 168 b) 194 c) 200 números. d) 140 e) 175 a) 12 b) 16 c) 10 d) 14 e) 8 13. Un automóvil viaja de Lima a Arequipa a una  velocidad de 120km/hr y regresa por Cusco,  Apurimac, Ayacucho llegando a Lima en el  22. El promedio de un conjunto de números es un número “P”. Si se eliminan 31 números cuya mismo tiempo, con una velocidad de 180km/hr. suma es 527, el promedio de los números ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido? restantes sigue siendo “P”. ¿Cuánto deben s umar a) 150 b) 144 c) 136 23 números de tal manera que, agregado a los d) 186 e) 140 anteriores, el promedio sea “P”?

a) 531 d) 451

b) 297 14. La edad promedio de 10 personas es 40 años. Si ninguno tiene más de 44 años. ¿Cuál es la menor edad que uno de ellos puede tener?  23. Para 2 números se cumple: a) 8 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6 1 1 1 ma mg 4 ma mg 15. La edad promedio de 15 personas es 16, si ninguno tiene menos de 8 años, ¿cuál es la

c) 374 e) 391 1

Hallar: a) 1/2 d) 2/5

H

mh mg 8 ma mg b) 2/3

2

c) 1/4 e) 1

 24. Para tres números a, b y c se cumple: Mh a,b 4  ; Mh b,c 5 y Mh a,c 6 Hallar la media armónica de a, b, c. a) 120/37 b) 90/37 c) 150/37 d) 180/37 e) 200/37  25. Se tienen las siguientes series: Serie 1: 1 Serie 2: 3 5 Serie 3: 7 9 11 Serie 4: 13 15 17 19

Hallar la media aritmética de los términos pertenecientes a la serie “n”

a) n 2 n d) n 2

b) n 2 n

c) 2n 2 e) n 2 /2

 26. Si el promedio geométrico de 3 números es 10 3 5   y su promedio aritmético es 55/3. Hallar la media aritmética de 2 de ellos sabiendo que la media geométrica de estos dos números es 10 5 . a) 30 b) 25 c) 15 d) 22,5 e) 45

 29. Estudiantes de Ingeniería y Administración rinden conjuntamente un examen de estadística, el promedio general es de 11,5; la media o promedio de los estudiantes de Ingeniería es 10,8, los 49 estudiantes de Administración obtuvieron un promedio de 12. ¿Cuántos estudiantes de Ingeniería rindieron examen? a) 42 b) 36 c) 32 d) 35 e) 28 30. El sueldo promedio de una empresa es $ 500, posteriormente se incorporan a la empresa un conjunto de empleados igual al 25% de los que trabajan inicialmente. El nuevo empleado ingresa a la empresa con un sueldo promedio igual al 60% del sueldo promedio de un empleado antiguo. Tres meses después la empresa concedió un aumento $ 70. ¿Cuál será el nuevo sueldo promedio de todos los empleados. a) $ 460 b) $ 530 c) $ 525 d) $ 480 e) $ 490 31. En una serie de 3 razones geométricas, la media geométrica de los promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Hallar la media aritmética de la media geométrica de los antecedentes y la media geométrica de los consecuentes. a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2

1. Si la media armónica de 4 números impares consecutivos es 23,7... ; la media geométrica de otros 4 números pares c onsecutivos es 26,90… Calcule la media aritmética del mayor y el menor de los números. a) 25,5 b) 26,5 c) 27,5 d) 24,5 e) 21,8

 27. El mayor y menor promedio de 3 números pares son 28/3 y 48/7 respectivamente y su promedio geométrico es igual a uno de los tres números. Calcular la cuarta proporcional de estos tres números, ordenados ascendentemente. a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 4 2  2. Calcule la media armónica de los 100 primeros términos de la siguiente sucesión.  28. Un motociclista ha recorrido: 8; 24; 48; 80; . . . . I. Los 3 lados de una pista cuya forma es la de a) 404 b) 406,2 c) 404 un triángulo equilátero con velocidades de d) 6,0 e) 4,8 40 km/h, 60 km/h y 120 km/h . Calcular la  velocidad promedio en todo el recorrido. 3. Para dos números “m” y “n” se tiene que. MA MG 10 y MH 4,6 . Halle mn II. Los 3 lados de una pista cuya forma es la de a) 1,6 b) 3,2 c) 4,8 un triángulo escaleno, cada lado con una  velocidad de 40 km/h, 60 km/h y 120 km/h d) 6,0 e) 6,4 respectivamente empleando en cada caso el mismo tiempo. Calcular la velocidad 4. El producto de los tres promedios de dos números es 512 si uno de los tres promedios es promedio en todo su recorrido. 6,4. Determinar la raíz cuadrada de la media Hallar la suma de las respuestas de I y II. aritmética de los mayores promedios. a) 120,3 b) 120,6 c) 133,3 a) 3 b) 4,2 c) 5,9 d) 136,6 e) 170,3 d) 6 e) 7

5. Para dos números “a” y “b” (a  > b > 0 ), se cumple: ma n 1 ; mg n 1 . Determinar el mínimo valor de “a”.

a) 3 d) 6

b) 2

c) 4 e) 9

a)512 d)256

b)258

c)128 e)500

3. la Ma de dos números es 10 y su Mg es 8. hallar la diferencia de los números. a)10 b)12  c)14 d)16 e)15

144   y la mh(a 2;b 2) 40 , 6. Si la mh(a;b) 13 4. la Ma de dos números es 12,5 y su Mg es 10. uno de los números es? hallar la diferencia de los números a) 18 b) 20 c) 21 a)20 b)13 c)18 d) 23 e) 19 d)10 e)15

7. Hallar “n”. Si a media aritmética de:

112 ; 223 ; 334 ; . . . ; (n 1)(n 1)n  es a) 8 d) 10

b) 9

133 . 6 c) 7 e) 11

5. la Mh de 10 números es 2 y de otros 20 números es 4. hallar la Mh de los 30 números. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. la Mh de 20 números es 4 y de otros 80 números es 16. hallar la Mh de los 100 números 8. La media geométrica de la media aritmética y la a) 8 b) 4 c) 14. media armónica de: 7; 7 2 ; 7 3 ; 7 4 ; . . . ; 7 n es d) 10 e) 16 un número que convertido a la base siete se 7. la Mh de 10 números es 5 y de otros 20 números escribe como: 1000 . . . 00 (7) . Hallar “n” es 4, y de otros 30 números es 6. hallar la Mh de 10 ceros los 60 números a) 21 b) 20 c) 19 a) 4 b) 5 c) 6 d) 18 e) 9 d) 7 e) 8 9. Los sueldos de una fábrica son A; B y C el promedio de sus sueldos entre las personas que 8. un auto de Cusco a Puno lo hace a una velocidad de 80km/hr y de retorno lo hace a 20 km/hr. ganan A y B es de S/. 300, de los que ganan A y Halle usted la velocidad promedio. C es de S/. 360 y de los que ganan B y C es de a) 48 b) 49 c) 32 S/. 280. ¿En que relación se encuentra el número d) 30 e) 38 de personas que ganan B con las que ganan A; si el promedio de los sueldos de todos las personas 9. la edad promedio de tres personas es de 56 años, es de S/. 320? si ninguno tiene más de 59 años. Cual es la edad a) 2 a 3 b) 1 a 2 c) 2 a 7 mínima que podría tener una de ellas. d) 1 a 3 e) 3 a 5 a) 51 b) 52 c) 50 d) 54 e) 53 10. Para dos números se cumple que la ma ; mh y mg   aumentado en 1, son respectivamente 10. la edad promedio de 4 personas es de 35 años, si ninguno tiene más de 40 años. Cual es la edad proporcionales a los números 150; 96 y 123. mínima que podría tener una de ellas. Hallar la diferencia de los números. a) 25 b) 20 c) 28 a) 48 b) 72 c) 64 d) 26 e) 29 d) 60 e) 56 11. la edad promedio de 4 personas es de 25 años, si ninguno tiene menos de 18 años. Cual es la edad mayor que podría tener una de ellas. a) 40 b) 45 c) 44 d) 43 e) 46 1. hallar el producto de la Ma; Mh y la Mg de los números 25 y 4. a)100 b)1000  c)120 d)150 e)12000

12. el promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3 . Hallar el promedio aritmético de ellos. a) 20 b) 16 c) 18 d) 16 e) 10

 2. hallar el producto de la Ma; Mh y la Mg de los números 32 y 2.

13. el promedio aritmético de 5 números pares consecutivos es 24. hallar el promedio

geométrico de la quinta parte del menor y la  21. El mayor de los promedios de dos números es 25 séptima parte del mayor. y el menor de los promedios es 24. Hallar el a) 5 b) 4 c) 6 mayor de ellos. a) 10 b)20 c) 30 d) 16 e) 18 d) 40 e) 50 14. el promedio aritmético de 30 números es 20. si se quita dos de ellos , cuyo promedio aritmético es  22. El promedio aritmético de dos números es 29 y su media geométrica es 20. Hallar el menor de 48, en cuanto disminuye el promedio aritmético. ellos. a) 1 b) 1,5 c) 2 a) 4 b) 5 c) 8 d) 2,5 e) 3 d) 11 e) 20 15. el promedio de 8 números es 12, si se aumenta a dichos números 1, 2, 3, . . . , respectivamente,  23. El precio promedio de 5 artículos es $ 50, si ninguno de ellos puede costar menos de $ 35. ¿Cuál será el promedio de los nuevos números? Cual es el mayor costo para uno de ellos? a) 14 b) 14,5 c) 15 a) 100 b) 110 c) 120 d) 16 e)16,5 d) 180 e) 80 16. si la Mg de dos números es 4 y la Mh es 32/17,  24. Si el promedio de las edades de 5 personas es cual es el menor de los números 40 y ninguno de ellos puede ser mayor que 50. a) 1 b) 2 c) 4 cual es la menor edad que pueda tener uno de d) 16 e) 10 ellos, si nacieron en diferentes tiempos? 17. el promedio aritmético de 25 números es 20, si el a) 0 b)5 c) 8 promedio aritmético de 5 de ellos es 20 ¿Cuál es d) 7 e) 6 la suma de los restantes?  25. El promedio de notas de 10 alumnos es 15. a) 300 b) 400 c) 200 Hallar la nota de uno de ellos si la suma del resto d) 70 e) 80 es 133. a) 18 b) 17 c) 05 18. si el promedio geométrico de 8 números es 36, si d) 13 e) 15 ninguno de ellos puede ser menor que 18. Cual es el mayor valor que pueda tomar uno de ellos.  26. El promedio de notas de 20 alumnos es 13,5. Dar como respuesta la suma de sus cifras. Hallar la nota de uno de ellos si el promedio del a) 40 b) 15 c) 20 resto es 14. d) 18 e) 19 a) 10 b) 11 c) 04 d)15 e) 08 19. La media aritmética y la media geométrica de dos números son 60 y 80. Hallar la media  27. El promedio de notas del curso de aritmética en armónica de los números. un aula de 50 alumnos es 12. De otros 30 es 8. 320 10 Cual es el promedio de los 80 alumnos. a) b) c) 42 3 27 a) 10 b) 11 c) 12 d) 45 e) 50 d) 13 e) 15  20. Un bebe recorre de su cuna a la cama de sus  28. El promedio armónico de 10 números es 5. El papis a una velocidad de 200 cm/minuto, y promedio armónico de otros 30 es 5. Hallar el retorna por el mismo camino a una velocidad de promedio armónico de los 40 números. 300 cm/minuto. La velocidad promedio es: a) 2 b) 3 c) 5 a) 150 b) 240 c) 260 d) 8 e) 5,5 d) 280 e) 250

En éste capítulo trataremos sobre los tipos de relación que existen entre las diferentes magnitudes y para ello necesitamos conocer qué es la magnitud.  Magnitud: Se conoce como magnitud a todo objeto que pueda comtemplar una comparación o medición, es decir, todo aquello que pueda ser medido.

Existen dos tipos de relación entre las magnitudes: 1.  Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando al aumentar A la magnitud B también aumenta en la misma proporción o viceversa. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando el COCIENTE de sus valores correspondientes resulta un valor constante. Si A y B son D.P.

 A 1

A2

A 3

B1

B2

B3

........

k (Constante)

Si dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, entonces su gráfica resulta una recta:  A  A es D.P. con B

an

... . a2 a1

b1

b2

....

B bn

 2.  Magnitudes Inversamente Proporcionales:

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al aumentar A la magnitud B diminuye en la misma proporción o viceversa. Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el PRODUCTO de sus valores correspondientes resulta ser un valor constante.

 A1 B1 A 2 B 2 A 3 B 3 ...... k (Constante) Si A y B son I.P Si dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, entonces su gráfica resulta una curva que pertenece a una hipérbola equilátera:  A an

 A es I.P. con B

... .

a2 a1 b1

b2

....

B

bn

En este tema trataremos sobre los diferentes casos que existen de la partición de una cantidad en varias cantidades, para ello, tenemos tres tipos de reparto: Directo, Inverso y Compuesto.  I. Reparto Proporcional Directo: 

 Primer Caso: Repartir 1200 en partes D.P. a 3; 4 y 5. Determinar cada una de las partes.

 Solución: Sean a, b y c las tres partes, entonces: a

D.P.

3k 

1200 b

D.P.

4k

c

D.P.

5k 

12k 

12k 1200 k 100 a 3k 3(100)

300

b c

400 500

4k 5k

4(100) 5(100)

 Segundo Caso:  Repartir 940 en tres partes proporcionales a los números 5/ 6; 3/ 8 y 3/ 4. Determinar cada una de las partes.

 Solución: Sean a, b y c las tres partes, entonces: Primero hallamos el MCM de los denominadores de las fracciones. MCM (6; 8; 4) = 24..... luego multiplicamos por 24 a todas las fracciones para obtener valores enteros y asi resover como en el primer caso:

a

D.P.

940 b

D.P.

c

D.P.

5 24 20k 6 3 24 9k 8 3 24 18k 4 47k

 II. Reparto Proporcional Inverso:

47k 940 k 20 a 20k 20(20) 400 b 9k 9(20) 180 c 18k 18(20) 360

 Problema: Repartir 780 en tres partes que sean inversamente proporcionales a los números 6; 9 y 12. Determinar cada una de las partes.  Solución: Sean a, b y c las tres partes que son I.P. a 6; 9 y 12 respectivamente; entonces se cumple que a; y c son D.P. a 1/ 6; 1/ 9 y 1/ 12, respectivamente. Por lo que volvemos al caso anterior: MCM (6; 9; 12) =36 y luego:

a

I.P.

6

D.P.

780 b

I.P.

9

D.P.

c

I.P.

12

D.P.

1 36 6K   6 1 36 4K 9 1 36 3K   12 13K 

13k 780 k 60 a 6k 6(60) 360 b 4k 4(60) 240 c 3k 3(60) 180

 III. Reparto Proporcional Compuesto:  Problema: Repartir 1500 en dos partes que sean D.P. a los números 2/ 3 y 5/ 6, e inversamente proporcional a los números 7/ 6 y 5/ 3 respectivamente.

a

D.P.

b

D.P.

1500

2 a 3 ... también 5 b 6

I.P. I.P.

7 6 5 3

D.P. D.P.

6 a 7 ... entonces 3 b 5

D.P. D.P.

2 3 5 6

6 7 3 5

4 7 1 2

Hallamos el MCM (7; 2) =14

a

D.P.

b

D.P.

1500

4 14 8k 7 1 14 7k 2 15K 

15k 1500 k 100 a 8k 8(100) 800 b 7k 7(100) 700

 Problema 01  AD 2 2 k cte Se tiene cuatro magnitudes A, B, C y D tal que: A es  AD B C B C D.P a la suma de B y C y es I.P. al cuadrado de la De los datos: magnitud D. Si cuando  A 2 ; B 3 ; D 6 2 9 . 42 72 144 entonces C 5 . Hallar C cuando:  A 9 , B 10  y 2 . 6 3 5 10 C 8 10 C D 4. a) 10 b) 8 c) 9 10 C 16 C=  6  Rpta. d) 12 e) 6  Problema 02  Solución: Se tiene tres magnitudes A, B y C, tal que: B es I.P. a Del enunciado: la raíz cuadrada de C y el cuadrado de B es proporcional a la raíz cúbica de A. Si A=9, entonces  A  B C B+C B=4 y C=24. Hallar el valor de A cuando B 8 A 2 * 1  A  2 D yC 3. D a) 9/2 b) 4/3 c) 3/4 Luego:

d) 9/8  Solución Del enunciado: 1 1 B B2  C C  Además B 2  3 A Luego: B 2C 2 3 B C A 3  A

B

k

2

3



 A C

e) 12  Problema 04 Se tiene dos magnitudes A y B, tal que A es D.P. a la raìz cuadrada de B. ¿En qué porcentaje aumentará o disminuira A, si B disminuye en un 36%? a) Disminuye en un 40% b) Aumenta en un 18% c) Disminuye en un 24% d) Aumenta en un 24% e) Disminye en un 20%

cte

De los datos: 4 2 . 24 8 2 . 3 384 192 3 3 3 9 A 9 3A 23 A 3 9 8A=9 9 De donde:  A  Rpta. 8  Problema 03 El peso W de un cilindro varía proporcionalmente a su altura “h” y al cuadrado de su diámetro “d” de su

base. Hallar (x+y) en la tabla mostrada:

a) 6,90 d) 6,70

Peso W 75 x 2,7  Altura h 7,5 9 3 Diámetro d 3 4/5 y b) 7,90 c) 7,30 e) 7,50

 Solución: W h d 75 7,5 3 x 9 4/5 2,7 3 y

Del enunciado: Wh * W hd 2 2 Wd Luego: W2 k cte hd De la tabla: 75 x 2,7 k 2 2 4 7,5 3 2 3 y 9 5 10 25x 0.9 k 9 9.16 2y 2 Resolviendo el sistema: x 6,40 ; y 0,90 x+y=  7,30  Rpta.

 Solución: Del enunciado:  A B

 A  B

k

k=cte

Observación: Si A D.P. B , entonces: * Si " B "  aumenta “A” aumenta * Si " B "  disminuy “A” disminuye Luego: Inicio Final  A a a' B b b 36%b 64%b

Por lo tanto: a a' k b 64%b a b

a'

a b

a' 64 b 100

8 a a' 10

8 b 10 80 a a' a'=80%a 100 Luego A ha disminuido en un 20%

 Problema 05 Dadas 3 magnitudes A, B y C se cumple que: A es D.P. a B 2   e I.P. a C . En un determinado momento A es igual a 90. ¿Qué valor tomara A si B aumenta en un 20% y C disminuye en un 19%? a) 144 b) 120 c) 96 d) 150 e) 160  Solución: Del enunciado  A  B 2 B2  A 1  A  C C Luego:  A C  A C  B 2 k B2  Además de los datos:

Inicio Final  A 90 a' B b b 20%b 120%b C c c 19%c 81%c

Por lo tanto: 90 c a' 81%c k b2 120%b 2 81 c 90 c 100 b2 144%b 2 Simplificando: 9 a'. 10 90 a'=  144  Rpta. 144 100 a'

 PROBLEMAS DE REPARTO POPORCIONAL

D.P.

Partes

2 90 36 36k 5 7 2 980 90 63 63k 10 5 90 50 50k 9 Suma de índices 36 63 50 149 2 980 Cálculo de la constante k: k 20 149 menor parte 36k 36(20) 720 III) Sea 650, la cantidad a repartir D.P. Partes  A : 3500

1. 3500 : 1

A=k

650 B : 3501

3. 3500 : 3 B=3k 9 c : 3 502 9. 3500 : C=9k 13 Cálculo de la constante k: 650 k 50 B=3k=150 13 Piden: 200 720 150  1 070  Rpta.

 Problema 06 Se tiene los siguientes problemas: I) Repartir 520 en 3 partes directamente proporcionales a las raíces cuadradas de 98; 162  Problema 07 Se tiene los siguientes problemas: y 200. Hallar la mayor de las partes. I) Repartir 780 en partes inversamente proporcionales a 15; 36 y 20. Hallar la menor de II) Repartir 2 980, en 3 partes directamente las 3 partes. proporcionales a 0,4; 0,7 y 0,5 . Hallar la menor de las partes. II) Repartir 282 en partes inversamente proporcionales a 2/3; 4/5 y 6/7. Hallar la mayor III) Repartir 650 en 3 partes A, B y C directamente de la partes. proporcionales a 3 500 , 3501 y 3502 . Hallar la parte correspondiente a B. III) Repartir 732 en partes inveramente proporcionales a las raíces cúbicas de los Dar como respuesta la suma de los 3 resultados. números 54; 128 y 686. Hallar la parte que no es a) 980 b) 1 230 c) 1 070 mayor ni menor. d) 1 350 e) 1 130 Dar como respuesta la suma de los tres resultados.  Solución: a) 560 b) 570 c) 630 I) Sea 520, la cantidad a repartir: d) 590 e) 510 D.P. Partes  Solución: 98 7 2 : 7 7k I) Sea 780, la cantidad a repartir 520 162 9 2 : 9 9k Observación: MCM 15; 36; 20 180 I.P. < > D.P. Partes 200 10 2 : 10 10k 1 15 180 = 12 12k Suma de índices: 7 9 10 26 15 520 1 20 Cálculo de la constante k: k 780 36 180 = 5 5k 26 36 Mayor parte: 10k 10(20) 200 1 6 20 180 = 9k II) Sea 2 980 la cantidad a repartir 20 26 Observación: 2 7 5 Calculo de la constante k: 0,4 0,7 0,5 5 10 9 780 k 30 MCM 5; 10; 9 90 26

Menor parte 5k 150 II) Sea 282 la cantidada repartir Observación: MCM 2 ; 4 ; 6 12 I.P. < > D.P. Partes 2 3 12 = 18 18k 3 2 4 5 282 12 = 15 15k 5 4 6 7 14 12 = 14k 7 6 47 Cálculo de la constante k: 282 k 6 Mayor parte=18k=108 47 III) Sea 732, la cantidad a repartir: Observaciones: 3 * 3 54 3 3 2 128 4 3 2 3 686 7 3 2 MCM 3; 4; 7 84 I.P. < > D.P. 1 33 2 : 3 84 = 28 3 1 732 4 3 2 : 3 84 = 21 3 1 12 73 2 : 7 84 = 3 61

Nos piden: N 495k 495(80) 39600 39 600  Rpta.  Problema 09  Al repartir una

cantidad “N” inversamente proporcional a: 2; 6; 12; 20; …; 380 se observa que la mayor parte fue 80. Luego “N” es un número:

a) Mayor que 280 b) Menor que 150 c) Impar d) Primo e) Mayor que 140

 Solución: I.P. < > D.P. 2=1 2 6=2 3

*

Partes 28k

12=3 4 20=4 5

1

1

1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5

1 2 1 3 1 4

1 2 1 3 1 4 1 5

1 k 2 1 k 6 1 k 12 1 k 20

21k 12k

Cálculo de la constante k: 732 k 12 2da parte=21 k 61  2da parte=252 Se pide: 150 108 252  510  Rpta.  Problema 08

N

Partes

Se reparte “N” directamente proporcional a todos los

380=19 20

1 19 20

1 19

1 20

1 k 380

Por dato:

1 k 80 2 Nos piden: N 19 k 20 19  152  Rpta. N 160 20

Mayor parte

 Problema 10 números capicuas de 2 cifras; tocandole al quinto  Al repartir S/. 117 649 en partes directamente número (ordenados de menor a mayor) la cantidad proporcionales a: n, 3n 2 , 3n 3 , n 4 , al menor le de 4 400. Hallar el valor de “N”. a) 39 600 b) 18 900 c) 21 600 corresponde 343. Hallar el valor de: n 2 1 d) 29 700 e) 12 100 a) 26 b) 65 c) 50 d) 37 e) 82  Solución: D.P. Partes  Solución:  A 1 : 11 A1=11k D.P. Partes  A 2 : 22 A 2=22k n nk  A 3 : 33 A 3=33k 3n 2 3n 2k 780 117 649  A 8 : 88 A 8 =88k 3n 3 3n 3 k  A 9 : 99 A 9=99k n4 n4 k 495 Por dato:  A 5 55k 4 400 k=80

Suma de índices

n 3n 2 3n 3 n 4 n 1 3n 3n 2 n 3 n n 13

Luego por dato: Menor parte nk 343

117 649 343 3 n n 1 343 n 1 3 n=6 2 2 Piden: n 1 (6) 1 36 1 37 n

37  Rpta.

a) 7 d) 35 1. Si A es D.P. a B. Hallar A cuando B sea 5. Si cuando A es 120, B es 40 a) 50 b) 5/3 c) 3/5 d) 15 e) 20  2. Si B es proporcional al cubo de A y cuando A=2, B=14. Hallar A cuando B sea 378. a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 8 3. Si A es I.P. a B, cuando A = 16, B = 24. Hallar A cuando B sea 48. a) 12 b) 10 c) 6 d) 4 e) 8 4. Sabiendo que el cuadrado de A es I.P. a la raíz cuadrada de B, además cuando A=3 2 , B=0,0625. Hallar A cuando B=0,25. a) 24 b) 12 c) 6 d) 1/3 e) 3

b) 140

c) 10/ 7 e) 70

9. Si A es I.P. a B 3 y

B   es D.P. a C además cuando A=625, C=4. Hallar “C” cua ndo  A=5-2 . a) 5 b) 18 c) 25 d) 20 e) 10

10. Se reparte S/. 8400 en forma proporcional a los números 2 ; 5; 4 y 2. Hallar la suma de las 3 cifras del mayor. a) 12 b) 6 c) 10 d) 9 e) 18 11. Se distribuye en forma directamente proporciona la cantidad de $ 24400 a los números 5; 3 ; 2 y 2 5/3. Hallar la suma de las cifras de la menor cantidad repartida. a) 15 b) 12 c) 9 d) 3 e) 4

5. Si A es I.P. a B y D.P. a C, además cuando  A=10, B=12 y C=15. Hallar C si A=40 y 12. Se reparte S/. 2610 en forma inversamente 5 B=27. proporcional a ; 2 y 7. Hallar la suma de las a) 405 b) 27 c) 45 3 cifras de la parte intermedia repartida. d) 135 e) 15 a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 3 6. Si  A 2   es D.P. a B   e I.P. a C 2   además cuando A = 2; B = 81 y C = 27. Hallar A 13. Se distribuye $ 5140 en forma inversamente cuando B = 16 y C = 0,064 proporcional a los números 1,3 ; 3,5 y 1,25, dar a) 9 b) 10 c) 8 como respuesta la diferencia entre la mayor y d) 15 e) 20 menor cantidad repartida. a) 1 b) 800 c) 210 7. Si A es D.P. a B 5   y B es I.P. a C además d) 1440 e) 2050 cuando A = 60 ; B = 40 y C = 15. Hallar A cuando C = 60 14. Se reparte $ 19856 en forma D.P. a 4; 5 y 2/3 e a) 5 b) 40 c) 10 I.P. a los números 5/3; 7/2 y 6. Hallar la suma de d) 20 e) 30 las cifras de la mayor cantidad repartida. a) 9 b) 18 c) 15 2 d) 12 e) 21 8. Si A es D.P. a B   y B es D.P. a C   además cuando A = 10, C = 5. Hallar A cuando C = 35

c) S/. 32000 d) S/. 36000 15. Se reparte $ 2702 en forma inversamente e) S/. 35000 proporcional a 8 , 7 , 6  y proporcionalmente 12 14 9 2 2 2 2 27 12 Si:  es D.P. con  22. cuando “P” es n m n m a los números ; 2 y . Hallar la menor 2 2 12 27 constante; además m p   es D.P. con cantidad repartida. m 2 p 2 cuando “n” es constante. Hallar “n” a) 112 b) 336 c) 224 cuando p = 4; si se sabe que cuando n = 8; d) 448 e) 1134 p=16. a) 4 b) 2 c) 32 16. Una herencia de $ 3741 se reparte a tres d) 12 e) 20 hermanos en forma proporcional a sus edades que son consecutivas. ¿Cuál es la suma de las cifras de la edad del mayor, si ninguno tiene  23. Si se tiene la siguiente tabla de valores para 2 magnitudes A y B menos que 30 años? a) 12 b) 7 c) 6  A 36 144 324 9 4 d) 9 e) 8 B 6 3 2 12 18 encontrar una relación de proporcionalidad entre Antonio Raimondi  A y B. Siempr e los prim eros a) A  B b) A I.P. B c) A I.P. B 2 d)  A  I.P. B e) c y d  24. En la figura, ¿qué diámetro debe tener A?, si se sabe que cuando da 10 vueltas B da 8 y C da 6. 17. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados, calcular cuántas vueltas habrá dado cada uno al cabo de 1 minuto, si una rueda a dado 70 vueltas más que el otro. C B  A a) 120 y 50 b) 130 y 60 c) 140 y 70 d) 160 y 90 e) 150 y 80 141 m

18. Si un reloj que dá las horas por campanadas, a) 42 b) 27 c) 60 puede dar 3 campanadas en 5 segundos. ¿En d) 45 e) 36 qué tiempo dará 11 campanadas? a) 10 b) 55/3 c) 33  25. Se divide una cantidad N en forma D.P. a 3 d) 25 e) 26 números que forman una proporción aritmética continua. Si la parte correspondiente a la media 19. La magnitud A es D.P. al cuadrado de B e I.P. a diferencial es 16. Calcular la suma de las otras C, si “B” aumenta en 10% y “C” disminuye en dos partes? 20%, ¿en qué porcentaje aumentó A? a) 28 b) 31 c) 32 a) 35% b) 37,50% c) 10% d) 35 e) 36 d) 51,25% e) 54%  20.  A es proporcional a la suma de B y C e  26. Hallar el mayor de 3 números que suman 800 y inversamente proporcional al cuadrado de D, que sean proporcionales a 12 , 27  y 75 . cuando A=2; B=3 y D=6 entonces C=5. Hallar a) 400 b) 240 c) 160 el valor de C cuando A=9; B=10 y D=4. d) 240 3 e) 400 3 a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16  27. Si se reparte n 10 4 , proporcionalmente a todos los números impares menores que 100, la parte precio de un diamante varía  21. El que le corresponde al noveno número (escritas proporcionalmente con el cubo de su peso. Un en forma consecutivas) es 68. Hallar “n” diamante que cuesta S/. 64000 se rompe en dos a) 5 b) 4 c) 3 pedazos de los cuales uno es el triple del otro. d) 2 e) 1 ¿Cuál es la pérdida sufrida al romperse el diamante? a) S/. 30000 b) S/. 25000

 28. En un examen de admisión a la UNI donde se inscribieron 1089 postulantes, se observó que la cantidad de inscritos diariamente era inversamente proporcional a la cantidad de días que faltaba para el cierre de la inscripción (excepto el último día en que inscribieron 60), si la inscripción duró 7 días ¿Cuántos se inscribieron al tercer día? a) 105 b) 72 c) 87 d) 120 e) 232  29. Al repartir N proporcionalmente a 3 números consecutivos, la mayor y la menor de las partes suman 154. Si N se repartiera a los 3 números impares consecutivos siguientes a los iniciales. ¿Cuál sería la segunda parte? a) 66 b) 70 c) 77 d) 100 e) 154 30. César reparte una cantidad de dinero entre sus 3 sobrinos proporcionalmente a las inversas de sus edades, entregándoles 200; 250 y 400 soles respectivamente. Si hubiese tenido 70 soles más, el reparto lo habría hecho proporcionalmente a sus edades, tocándole al mayor. a) 200 b) 250 c) 300 d) 400 e) 470

 MAGNITUDES PROPORCIONALES

Hallar X + Y a) 57 d) 61

b) 54

c) 51 e) 63

A+B son magnitudes, además 4. Si a b c d 70 . Calcular el mayor promedio de a, b y c.  A 80 a 32 c B d 8

a)24 d)23

b

20

b)22 

c)22.5 e)21.5

5. En una balanza mal construida y que a pesar de tener los brazos algo desiguales, está en equilibrio, cuando se halla descargada. Se pesa un objeto en el platillo de la derecha y da un peso de 1369gr; el mismo objeto colocado en el platillo de la izquierda señala un peso de 1296gr. ¿Cuál es el peso verdadero del objeto? a)13336gr b)1332gr  c)1312gr d)1352gr e)1340gr

1. Si el producto de dos números enteros menores a 100, se reparte proporcionalmente a 45 2 , 30 3  y 6. Se tiene: * ( A + B ) es D.P: a (C + 1/ C ) * ( A – B ) es D.P: a (C – 1 / C ) 75 2 , las cantidades obtenidas son enteras. Si C=2 cuando A=3 y B=1. Cual es la relación ¿Cuántos pares de números que se diferencian de proporcionalidad entre A; B y C. en 3 cumplen con lo anterior? a)  A 1 .B.C2 Cte b)  A.B 2 .C 1 Cte a) 6 b) 2 c) 5 d) 4 e) 10 c)  A.B 1.C 2 Cte d)  A.B. C Cte 1 e) A.B . C Cte  2. Si a 2+b 2  es proporcional con a 2  b 2  cuando “c” es constante. Si a 2+c 2  es proporcional con 2

2

cuando “b” es constante; ¿Qué pasa con “a” cuando “c” aumenta en un 20% y “b” a c

disminuye en un 20%? a) b) c) d) e)

“a” disminuye en un 4% “a” aumenta en un 4% “a” aumenta en 8% “a” disminuye en 8 % “a” no varia

3. En cierto fenómeno donde intervienen las magnitudes A, B y C se midió los valores que se presentan en el cuadro para diversas pruebas.  A 12 6 X 81 32 B 2 4 4 3 3 6 C 2 4 2 2 Y

7. Se tiene un sistema de 6 ruedas dentadas de manera que  A 1   esta engranada con  A 2 ,  A 3 engrana con  A 4 ,  A 5  engrana con  A 6 , además  A 2  se encuentra unido por el mismo eje con  A 3 de igual manera que  A 4 y  A 5   están también unidos mediante un eje. Además: #dedientes #dedientes 2n dela rueda A n 1 dela rueda A n Determinar cuantas vueltas da la ultima rueda ( A 6 ) en media hora, si  A 1  tiene 10 dientes y da 66 vueltas en 20 minutos. a) 36 b) 30 c) 45 d) 54 e) 48

8. Sabiendo que “y” es la suma de dos cantidades

14. Tres socios han impuesto sumas iguales pero su participación ha tenido tiempos distintos. Si la una proporcional a “x” y la otra proporcional a ganancia ha sido de 7420, pero uno de ellos que 1   y que para x=1; y=6, y que para x=2; participó en el negocio 3 años, renunció a la que x2 le correspondía S/. 2520 y el reparto se efectuó 1 entre los otros socios, por lo que a uno de ellos le y=5. Hallar “y” para x 2 toco 1008 más. Hallar que tiempo estuvo el que a) 16 b) 15 c) 17 obtuvo mayor ganancia. d) 19 e) 20 a) 2,5 años b) 3,5 años c) 4 años d) 5 años e) 2 años 9. La hierba crece en el prado con igual rapidez y espesura, se sabe que 60 vacas se la comerían en 15. Un comerciante empieza un negocio para el cual 25 días y 40 en 45 días. ¿Cuántas vacas se necesita un capital de S/. 148 200. No contando comerían toda la hierba en 75 días? con el dinero necesario, a los 9 meses de iniciado a) 38 b) 20 c) 31 admite un socio y 3 meses después admite otro d) 34 e) 30 socio con el que completa el capital necesario. A los 18 meses de iniciado el negocio se reparten  REPARTO PROPORCIONAL las ganancias y estas resultaron iguales para los tres, ¿Qué capital impuso el tercer socio? 10. Jimi y los Mellizos Fhary y Cesar; cooperan en a) 24 700 b) 74 100 c) 49 400 una obra benéfica en forma proporcional a sus d) 52 200 e) 75 000 edades. Donando entre los tres S/.2310 y deciden contribuir con S/.1200 más, ahora en 16. Dos socios han contribuido a formar un capital. El primero recibió 20% de interés por el capital forma inversamente proporcional a sus edades. que invirtió durante 2 años, y el segundo recibió Esta segunda vez a Fhary le toco cooperar con 15% de interés sobre el capital que invirtió S/. 250. ¿En total cuanto puso Jimi? durante 18 meses. Si la ganancia total fue de a) 350 b) 1090 c) 800 1320 nuevos soles, ¿Qué monto invirtió el d) 1050 e) 1150 segundo, si la suma de los capitales invertidos fue de 7600 nuevos soles? 11. Los socios Jimi y Fhary forman una sociedad a) 3200 b) 3600 c) 3800 aportando S/.400 y S/.300 respectivamente. Si d) 3960 e) 4000 después de 4 años Fhary retira de su capital S/.50 ingresando entonces Cesar aportando S/. 500. Determinar cuanto de utilidad se ha obtenido al cabo de 10 años, si Fhary ha recibido S/. 6615 de la utilidad. a) 18 730 b) 16 041 c) 21 388 d) 23 765 e) 42 777 1. Si A es D.P. a B; si A=30, B=70; hallar A 12. Hallar la diferencia entre la mayor y la menor de cuando B=14. las partes que resulta de repartir 14400 a) 4 b) 16 c) 6 directamente proporcionales a: d) 20 e) 34 1 1 1 1 1 ; ; ; ;...; 2 6 12 20 600  2. Si A es D.P. a B , si A=15, B=81, hallar A a) 7574 b) 4775 c) 7570 cuando B sea 36. d) 7475 e) 7575 a) 2 b) 10 c) 4 d) 16 e) 25 13. Se reparte (N+2) en partes proporcionales a “n” y “n+4” resultando 5 y 7 respect ivamente. Hallar 3.  A es I.P. a B; si A=70 cuando B=50, hallar A cuando B=350 las partes de repartir 192 proporcionales a n  y a 2 a) 20 b) 10 c) 40 d) 70 e) 80 n 2 . Dar como respuesta la mayor de las 2 4. Si A es I.P. a B; si A=30 cuando B=60. Hallar B partes. cuando A=40. a) 80 b) 112 c) 100 a) 18 b) 45 c) 70 d) 120 e) 208 d) 40 e) 18

5. Si A es I.P. a B; si A=60 cuando B=80. Hallar A cuando B=100. a) 60 b) 70 c) 48 d) 80 e) 56 6.  A es D.P. a B y es I.P. a C. Si A=30 cuando C=10 y B=15. Hallar B cuando A=40 y C=60 a) 100 b) 120 c) 200 d) 300 e) 500 7.  A es I.P. a B y es D.P. con C. Si A=15, B=20 y C=70, Hallar C cuando A=60 y B=7 a) 40 b) 14 c) 98 d) 7 e) 19 8.  A es D.P. a B y C e I.P. a F. Sí A=14, B=18 y C=10 cuando F=15 Hallar C si A=20 y B=30 y F=28 a) 18 b) 14 c) 28 d) 16 e) 10 9.  A es I.P. a B y D.P. a C; si A=70 cuando B=50 y C=20, hallar A cuando B=350 y C=40 a) 20 b) 10 c) 40 d) 70 e) 80

16. Repartir 1455 en partes directamente proporcionales a: 3/2; 7/4 y 1,6: Dar como respuesta la menor de las cantidades. a) 300 b) 525 c) 250 d) 450 e) 480 17. La suma de 1410 soles se distribuye en 3 partes que son inversamente proporcionales a 6, 8 y 10. Dar como respuesta la diferencia de la mayor y la menor parte. a) 240 b) 360 c) 450 d) 530 e) 30 18. Un capital de 2340 soles se repartió en tres partes que son directamente proporcionales a 6, 4 y 10 e inversamente proporcionales a 4, 15 y 12 respectivamente. ¿Cuál es la menor de las partes? a) 240 b) 320 c) 280 d) 325 e) 190 19. Un capital de 3320 soles se repartió en 3 partes que son DP a 7, 6 y 8 e IP a 6/2, 4/3 y 8/7 respectivamente. Cual es la diferencia entre la mayor y menor de las partes. a) 840 b) 720 c) 140 d) 1254 e) 1120

10. Si A es D.P. a B e I.P. a C. Si A=20, B=40 y C=80. Hallar A cuando B=30; C=10. a) 130 b) 100 c) 40  20. Dos obreros ajustan una obra por $ 110. El jornal d) 120 e) 80 del 1° es de $ 3 y del segundo $2,5. La cantidad que percibirá cada uno es: 11. Si A es D.P. a B 2  y C. Si A=16, B=2, C=10. a) 55 y 52 b) 54 y 53 c) 51 y 57 Hallar A si B=6 y C=60. d) 60 y 50 e) 49 y 59 a) 200 b) 314 c) 864 d) 524 e) 604  21. Dos hombres alquilan un garaje por $ 320. El 1° ha guardado en él 4 automóviles durante 6 meses y el 2° 5 automóviles por 8 meses. 12. Si A2  es I.P.a B y D.P. a C . Si A=4, B=2, Entonces debe pagar cada uno C=9. Hallar A cuando B=6 ; C=81 a) $121 y $ 199 b) $122 y $ 198 a) 6 b) 8 c) 5 c) $123 y $ 195 d) $124 y $ 196 d) 2 e) 4 e) $120 y $ 200 13. Una persona gasta 255 soles en 3 artículos cuyos precios son directamente proporcionales a 7, 4 y  22. Tres obreros han cultivado un campo, por el que han recibido $ 1300. Si el primero ha trabajado 6. Cuanto gasto en el segundo artículo. 15 días, el segundo durante 12 días y el tercero a) 28 b) 40 c) 60 durante 25 días. La cantidad correspondiente a d) 48 e) 56 cada uno es: 14. Un madre reparte 648 soles a sus 4 hijos, a cada a) 374, 299 y 627 b) 375, 300 y 625 uno le toca en forma proporcional a sus edades c) 373, 298 y 629 d) 372, 297 y 631 las cuales son 18 , 15, 12 y 9 . Cuanto más recibe e) 371,296 y 633 el mayor que el menor.  23. En una obra se han empleado 3 cuadrillas de a) 216 b) 200 c) 108 obreros. La 1° contaba con 10 hombres y trabajó d) 420 e) 118 6 días a razón de 8 hr/dia ; la 2° de 9 hombres, 15. Una herencia de 706 soles se tiene que dividir en trabajó 5 días de 6 horas, y la 3° de 7 hombres, 3 4 partes que son directamente proporcionales a días de 5 horas. Si la obra se ajustó en $ 1710, 3/8, 6/10, 4/5 y 7/6. Hallar la menor cantidad cada cuadrilla debe recibir: repartida. a) 960, 540 y 210 a) 420 b) 538 c) 380 b) 959, 539 y 212 d) 400 e) 90 c) 958, 538 y 214

d) 957, 537 y 216 e) 956, 536 y 218

d) 150

e) 180

 26. El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de $900 ahorra $90. ¿Cuál será el sueldo cuando su gasto sea de $1260?. a) 1400 b) 1134 c) 1500 d) 1600 e) 1300

 24. Un señor aritmético se va de viaje al Caribe dejándole una herencia de $ 5300 a su esposa embarazada, con la condición de que ella recibiría 3/5 de lo que le toque al hijo si nace  varón, y si nace mujer recibirá 2/3 de lo que le º toque a la niña. Ocurre que la esposa dio a luz Tío rico Mac Pato se encuentra $ 7000 y desea  27. quintillizos: 2 niños y 3 niñas. Ayude usted a repartirlo a sus sobrinos Hugo Paco y Luis en averiguar cuanto le toca a la madre para que forma directamente proporcional a sobreviva todo el resto de su vida. 100 101 102 a) 900 b) 1000 c) 600 2 ; 2 y 2 . Hallar la mayor de las d) 800 e) 1200 cantidades repartidas. a) 2500 b) 3500 c) 4000  25. El área cubierta por la pintura es proporcional al d) 3300 e) 1000 número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área se pintara con 15 galones?. a) 80 b) 100 c) 120

Existen dos tipos de regla de tres simple, lo cual dependerá de acuerdo a la relación que tengan las magnitudes que intervengan en el problema.  I. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA:

La regla de tres simple directa resulta de comparar dos magnitudes directamente proporcionales, por lo tanto el producto en aspa de sus valores son iguales.  Ejemplo: Si 40 obreros hacen 100 m. de carretera por día, cuántos metros por día harán 70 obreros.  Solución: A más  obreros obviamente se harán más  metros de carretera, entonces son magnitudes directamente proporcionales: OBREROS

 METROS

40 obreros

100 m.

70 obreros

X m.

40 X 70 100 70 100 X 40 X 175m.

 II. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA:

Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales, por lo tanto, el producto en línea de sus valores son iguales.  Ejemplo: Si 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuánto tiempo harán 60 obreros la misma

obra.  Solución: A más obreros se terminará en menos tiempo la obra; entonces son magnitudes inversamente proporcionales: OBREROS

60 X 45 20 45 20 X 60 X 15

TIEMPO

45 obreros

20 días

60 obrreros

X días

Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. ó I.P.  MÉTODO DE LAS RAYAS.- Las magnitudes que participan se clasifican en tres grupos perfectamente definidos: 1.- CAUSA: Son aquellas magnitudes que permiten la realización de la obra y están conformadas por las condiciones que se tienen para ejecutarla, asi por ejemplo: - Obreros - Rendimiento - Capital (económico) - Animales - Habilidad - Capacidad - Máquinas - Esfuerzo - etc.  2.- TIEMPO.- Son aquellas magnitudes de tiempo en la que se realiza la obra: - Meses - Años - Días - Horas por día - “ * Raciones diarias de comida * ” {Importante Recordar} 3.- EFECTO.- Son aquellas magnitudes que representan a la obra en sí y los inconvenientes que estas tienen para ser realizadas: - Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, espesor, área, volumen, etc.) - Dificultad de la obra. - Resistencia del medio.  Aplicación del Método:

1º serie 2º serie

Causa xxxxxx xxxxxx

Tiempo xxxxxx xxxxxx

xxxxxx xxxxxx

Se igualan los dos productos que resultan de multiplicar todos los valores que siguen a una misma raya.  Ejemplo: Sabiendo que 20 obreros, trabajando 6 horas diarias pueden hacer una obra en 10 días; determinar en cuántos días, 30 obreros doblemente hábiles, trabajando 8 horas diarias pueden hacer una obra cuya dificultad es dos veces la anterior. Solución: extraemos los datos y los separamos en grupos de causa; tiempo y efecto:

1º serie 2º serie

Causa Tiempo 20obr. 1 hab. 6 hr 10 días 30obr. 2 hab. 8 hr M días

 Efecto 1 obra 1 dificultad 1 obra 2 dificultad

Luego, multiplicamos todos los valores que encontremos al seguir una raya y lo igualamos al resultado de la multiplicación de todos los valores que se encuentren al seguir otra de las rayas; así:

20 6 10 1 2 30 2 8 M 1 1 5 M

 Problema 01: Para píntar las paredes de una sala rectangular de 15m de largo, 6m de ancho y 5m de altura se gastó S/.34 650 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar las paredes de una sala de 12m de largo, 7m de ancho y 4m de altura? a) 25 080 b) 24 800 c) 24 080 d) 26 980 e) 26 080  Solución: Primera habitación a pintar 6 5

15

210 m 2

 Área total a pintar 2 5.6 15.5 Segunda habitación a pintar 7

4

12

 Área total a pintar 2 4.7 12.4

152 m 2

Área m 2 Gasto soles 210 34 650 152 x Se debe observar que:  Área D.P. Gasto 210x=152 34650

x  25 080  Rpta.  Problema 02: Carlos es el doble de hábil que Luis, pero la cuarta parte de Pedro. Si luis y Pedro hacen un trabajo en 33 días. ¿En cuántos días harán el mismo trabajo los tres juntos? a) 24 días b) 20 días c) 27 días d) 18 días e) 25 días  Solución: Del enunciado:

Habilidad de Luis: Habilidad de Carlos: Habilidad de Pedro: Luego:

 Proporcional 1 2 8

Habilidad días Luis y Pedro: (1+8) 33 Los 3: (1 2 8) x Se debe observar que: Habilidad I.P. #días 9 . 33=11x x=  27 días  Rpta.

 Problema 03:  Anita es el doble de rápida que Betty y ésta el triple de rápida que Carmen; si juntas corren en una competencia de postas de 300 metros en 27 segundos ¿En que tiempo correra Anita el mismo espacio? a) 18 s b) 9 s c) 10 s d) 15 s e) 12 s  Solución: Rapidez <>Velocidad Sea: V A Velocidad o rapidez de Anita VB Velocidad o rapidez de Betty VC Velocidad o rapidez de Carmen Luego: V A VB VC   D.P.  V A : 6 2 1  VB : 3 3 1  VC : 1 6 3 1

Se sabe que: e  v v . t=e ; e=100m t  v .t=cte  (Velocidad) I.P. (tiempo) V A t A VB t B VC t C t A t B t C 6t A 3t B t C k 1 2 6 Luego: t1 t 2 t 3 27 s k 2k 6k 27 s k 3 t A 3 s, t B 6 s, t C 18 s Finalmente, Anita demora en recorrer los 300 m: en 3t A  que reemplazando se tiene 3 3seg. 9 segundos.  Rpta.  Problema 04: En 120 litros de gaseosa hay 5 litros de colorante, saborizante y conservadores y el resto es agua pura. ¿Cuanrto de agua hay que agregar a estos 120 L

para que en cada 5 L de la mezcla haya tan sòlo 1/8 de colorantes, saborizantes y conservadores? a) 80 L b) 40 L c) 120 L d) 90 L e) 30 L  Solución: Inicialmente:

Gaseosa colorantes saborizantes 5L conservadores

120 L

Se le agrega “x” litros de agua, entonces:

Gaseosa 120 x L

colorantes saborizantes 5L conservadores

Se pude observar que la cantidad de colorantes, saborizantes y conservadores no se altera. Ahora de esta nueva mezcla se saca una muestra de 5 litros tal que:

Gaseosa colorantes saborizantes conservadores

5L

Luego según el último gráfico se puede apreciar y comprender que: Nueva mezcla 120+x 5

 2. En 24 días se hace una obra con 150 hombres, en cuántos días se hará la misma obra con 90 hombres. a) 40 días b) 14 días c) 50 días d) 30 días e) 20días 3. En una plaza hay 1500 hombres provistos de  víveres para 6 meses. ¿Cuántos habrá que retirar, para que los víveres duren dos meses más, dando a cada hombre la misma ración? a) 360 b) 350 c) 375 d) 340 e) 320 4. Un reloj se atrasa 10min cada día. ¿Dentro de cuántos días volverá a marcar la hora exacta?

colorantes Sab. y Cons. 5 1 8

Vemos que la relación es D.P.   120+x . 1 5 5 8 120+x=200 x=200-120

x=80

80 L  Rpta.

a) 72 días d) 75 días

1. Con 40 obreros se logra hacer una obra de 500 m 2 , con cuántos obreros más se hará otra obra de 1200 m 2 . a) 23 b) 38 c) 56 d) 16 e) 17

1 L 8

b) 96 días

c) 80 días e) 60 días

5.  Juan es el triple de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días. ¿En cuántos días hace el trabajo Juan trabajando sólo? a) 10 días b) 11 días c) 12 días d) 13 días e) 14 días 6. Franco compra artículos a 3 por S/. 100 y los  vende a 5 por S/. 200. ¿Cuántos artículos debe  vender para ganar S/. 2000. a) 450 b) 250 c) 200 d) 300 e) 360 7. “x” es 25% más eficiente que “y”. Si “y” puede hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días podrán hacer juntos la obra? a) 5 b) 6 c) 7 d) 3.5 e) 8 8. Con 20 hombres en 40 días se hace una pared de 1200 m 2 . ¿En cuántos días con 50 hombres se hará una pared de 1500 m 2 ? a) 30 b) 10 c) 20

d) 15

e) 25

9. Con 40 obreros en 80 días se hace una zanja de 500 m 3 . ¿Cuántos obreros se tiene que agregar para que en 60 días se haga otra zanja de 900 m 3 ? a) 56 b) 60 c) 96 d) 46 e) 30 10. En 50 días trabajando 8 horas por día se hace 800m de largo de una carretera con 10 hombres. ¿Cuántas horas por día tienen que trabajar 50 hombres en 20 días para hacer 40 m largo de la misma carretera? a) 2,5 b) 3 c) 8 d) 13 e) 1/5

17. Un burro, sujeto a un árbol por medio de una cuerda de 3m de longitud, se demora dos días en comer la hierba que está a su alcance. ¿Cuánto tiempo se demoraría si la cuerda tuviera 9 m? a) 16 días b) 12 días c) 26 días d) 8 días e) 18 días 18. Un boxeador asesta “m” golpes en un segundo. ¿En cuánto tiempo asestara “ n” golpes? a) 2n 1 b) n 1 c) 2n m 1 m 1 m 1 n d) e) 2n 1 m m 1 19. Un bote puede transportar 6 gordos o a 8 flacos. Si tienen que transportar a 212 flacos y a 123 gordos. ¿Cuántos viajes debe realizar como mínimo? a) 47 b) 46 c) 49 d) 48 e) 45

11. Con 12 costureras en 40 días trabajando 10 h/día hacen 200 vestidos. ¿En cuántos días trabajando 8 horas por día se hará 120 vestidos con doble costura, otras 10 costureras 20% más habites? a) 100 b) 40 c) 80  20. Si un tanque se llena con una llave de caudal d) 120 e) 60 12. Un ejército de 2000 soldados tiene víveres para 1 mes. ¿A cuánto debe disminuir la ración diaria para que los víveres duren 40 días? a) 3/4 b) 1/4 c) 5/4 d) 1/5 e) 3/2

“Q” en 3h. ¿En cuánto tiempo se llenará con 2 llaves de caudal “2Q” cada una?

a) 1 h d) 2 h

b) 3 h 4

c) 1 h 2 e) 1 h 4

13. En una hacienda, 5 trabajadores siembran en 14  21. Hallar el ancho de un río, sabiendo que para días de 10 h. un terreno cuadrado de 20 m de medirlo se usan 2 estacas colocados en una orilla lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para de él y se miden simultáneamente las sombras sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado que hacen en tierra en el otro lado, con los trabajando 7 h/d durante 20 días? siguientes resultados: con la estaca de 2 metros a) 15 b) 20 c) 25 de alto se midieron 3m de sombra en tierra y d) 19 e) 23 para una estaca de 3,5m se midieron 12m de sombra en tierra. 14. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una a) 10,5 b) 8,5 c) 13,5 obra, se retiran 3 obreros. ¿Cuántos días d) 9 e) 5 demorarán los obreros restantes para terminar la obra?  22. Veinte obreros y 4 aprendices pueden cavar una a) 40 b) 32 c) 36 zanja de 9m  9m  9m en 27 días a razón de 12 d) 24 e) 30 h/d, siendo la habilidad del obrero como 5 y de los aprendices como 3. ¿En qué tiempo 10 15. En 24 horas 15 obreros han hecho 1/4 de una obreros y 10 aprendices cavarán una zanja de obra. ¿Cuántas horas empleará otra cuadrilla de 12m  3m  48m si trabajan 9 h/d y se esfuerzan 30 hombres, doblemente hábiles para terminar lo solo los 2/15 de los primeros? que falta de la obra? a) 92 días b) 115 días c) 896 días a) 16 b) 27 c) 18 d) 196 días e) 184 días d) 12 e) 21  23. Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días, si después del cuarto día llegan 6 obreros más. ¿Cuántos días antes del plazo 16. Como mínimo una hormiguita emplea 8,4 terminaron? minutos en recorrer todas las aristas de un a) 5 días b) 8 días c) 6 días tetraedro regular, construido con un alambre de d) 9 días e) 4 días 150 cm de longitud. ¿Qué tiempo emplea el insecto en recorrer una arista del tetraedro?  24. Un grupo de 20 obreros se comprometen en a) 63 seg b) 72 seg c) 84 seg hacer una obra en 10 días a 5 h/d, al finalizar el d) 75 seg e) 45 seg primer día se aumentan 5 obreros más por lo que

terminaron la obra 3 días antes. ¿Cuántas horas por día trabajaron? a) 5 h/d b) 10 h/d c) 16 h/d 1. Un galgo persigue a una liebre. La liebre le lleva d) 6 h/d e) 8 h/d 56 saltos de adelanto. Sabiendo que el galgo da 5 saltos mientras que la liebre da 8, pero que 6  25. Un trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 14 saltos de galgo equivale a 11 de la liebre. días, trabajando 9 horas diarias. Si 4 hombres ¿Cuántos saltos debe dar el galgo para alcanzar a aumentaron su rendimiento en 40%. ¿En qué la liebre? tiempo terminarán la obra? a) 245 b) 240 c) 384 a) 10 días b) 11 2/3 días d) 260 e) 180 c) 12 días d) 11 días e) 12 2/3 días  2. Si en 120 Kg. de aceite comestible hay 5 Kg. de aceite puro de pescado y el resto de aceite de  26. Nueve técnicos pueden ensamblar 6 soya. ¿Cuánto de aceite de soya hay que agregar computadoras en 12 días trabajando 8 horas a estos 120 Kg. para que en cada 5 Kg. de la cada día. Si la eficiencia de los ayudantes es 60% menos que la de los técnicos. ¿Cuántas mezcla haya tan solo 1 Kg. de aceite de computadoras ensamblan 10 ayudantes en 18 8 días, trabajando 6 horas cada día? pescado? a) 3 b) 4 c) 5 a) 80 Kg. b) 40 Kg. c) 18 Kg. d) 6 e) 7 d) 24 Kg. e) 24 Kg.  27. Treinta obreros se comprometen hacer una obra en 15 días trabajando 9 h/d; después de 5 días se le comunica que la obra debe duplicarse; para lo cual se contratan 10 obreros 50% más eficientes que los anteriores y se trabaja a 5 h/d. ¿Con cuántos días de retraso se entrega la obra? a) 2 1/2 b) 2 3/4 c) 4 5/7 d) 4 22/27 e) 14  28. Se está construyendo una obra que se debe terminar dentro de 18 días para lo cual se emplean 24 obreros que tienen una jornada de trabajo de 8 h/d. Al cabo de 9 días se enferman 3 obreros faltando al trabajo 3 días. ¿Cuántas horas más por día deben trabajar éstos 3 obreros durante los días restantes para que la obra se entregue en el plazo fijado? a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5  29. 18 obreros pueden hacer cierta obra en 20 días, al cabo de 8 días de labor se retiran 8 obreros y después de 6 días se contratan “x” obreros más para terminar la obra sin retraso. Hallar “x”

sabiendo que estos obreros son el doble de hábiles que los que se retiraron y que la jornada diaria no cambia. a) 6 b) 8 c) 16 d) 4 e) 32 30. Dos cuadrillas de 34 obreros cada una hacen un tramo de carretera en partes iguales, luego de 72 días de comenzada la obra se observa que mientras los primeros les falta 3/5 de la obra las otras han hecho 4/5. Si se quiere que la primera parte de la obra esté terminada en 140 días. ¿Cuántos obreros del segundo grupo deberán pasar al primer grupo? a) 6 b) 8 c) 10 d) 5 e) 9

3. Se sabe que 10 obreros producen 80 muebles en 5 días, se requiere producir con dichos 10 obreros 800 muebles, pero se les da un plazo de 20 días para la entrega, por lo que se decide contratar una cantidad de obreros adicionales que trabajaban desde el noveno día hasta cuando falten 2 días para la entrega del trabajo. Calcular cuantos obreros se contrato. a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 29 4. Un obrero de la cuadrilla A es un quinto más eficiente que un obrero de la cuadrilla B y harán una misma obra en ab y ba   días respectivamente. De la cuadrilla “A” y de la cuadrilla “B” se contratan obreros en la relación de “a” y (b+1) y hacen una obra 3 veces más

difícil que la anterior en 4 días. Determinar cuantos obreros se contrataron para esta ultima obra. a) 45 b) 50 c) 51 d) 53 e) 60

5. 80 obreros pueden hacer una obra en 120 días, luego de 40 días de trabajo se retiran 36 obreros, son reemplazados 20 días después por 20 obreros. ¿Qué rendimiento adicional deben tener estos últimos con respecto a los primeros para terminar la obra en el plazo establecido? a) 141% b) 139% c) 125% d) 145% e) 140% 6. El tendido de una línea de alta tensión, requiere el cavado de los hoyos y el plantado de los postes. Un proyectista ha calculado que para cavar 64 hoyos de 0,80 m, necesita 27 hombres durante 1 mes y 2 días. A razón de 5 horas por día; y para plantar 160 postes, necesita 90

obreros durante 2 meses y 3 días a razón de 4 1. “x” pintores pueden pintar un circulo de 5 m de horas diarias. ¿Cuántos obreros será necesario radio. Si (x + 48) pintores pintan un circulo de 7 contratar, para el tendido de una línea de alta m de radio, hallar “x” tensión que requiera 128 postes, que deben estar a) 45 b) 50 c) 48 plantados 1,20 m bajo tierra y la ejecución de la d) 65 e) 60 obra debe durar 144 días a razón de 4,5 horas diarias. Sabiendo que antes de plantar los postes,  2. 20 operarios pueden producir 120 pares de debe estar terminado el cavado? zapatos en 18 días, ¿cuántos operarios pueden a) 40 obreros b) 36 obreros c) 50 obreros producir 160 zapatos en 24 días? d) 48 obreros e) 54 obreros a) 7 b) 10 c) 8 d) 9 e) 20 7. Dos terrenos donde uno tiene 9 hectáreas más que el otro, se debe arar con 11 yuntas en 13 3. Seis obreros pueden terminar un trabajo en 24 días, del siguiente modo; los 5 primeros días 4 días, después de 8 días de trabajo se les juntan 2 yuntas aran en el terreno grande y 7 en el obreros más. ¿En cuanto tiempo terminarán el pequeño, a partir del sexto día 3 de las 7 yuntas resto de la obra? se pasarán al otro terreno de modo que se a) 10 b) 14 c) 9 termine la obra en el tiempo fijado ¿Cuantas d) 12 e) 11 hectáreas tiene el terreno menor? a) 86 hectáreas b) 76 hectáreas 4. 12 obreros hacen una obra en 28 días; si c) 67 hectáreas d) 70 hectáreas aumentan 8 su rendimiento en un 60% ¿que e) 68 hectáreas tiempo empleará en hacer la misma obra? a) 23 b) 22 c) 24 8. Un grupo de obreros pueden realizar una obra en d) 20 e) 18 “n” días trabajando 8 hor as diarias; si después de 6 días los 4/9 de ellos disminuyen en 25% su 5. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m 3 rendimiento aumentando por ello todos 1 hora el en 50 días, ¿en cuántos días 100 hombres 50% trabajo diario, trabajando asi durante 8 días; más eficientes podrán cavar una zanja de 120 m 3 luego del cual se retiran estos que disminuyeron cuya dureza del terreno es 3 veces de la del su rendimiento, por lo que aumento en 3 horas anterior? más el trabajo diario. Calcule el valor de “n”; si a) 60 b) 65 c) 70 estos inconvenientes originaron un retraso de 8 d) 80 e) 9 días a) 42 b) 48 c) 52 6. Si 10 obreros se comprometen a constituir en 24 d) 54 e) 60 días una obra. Al cabo de 18 días solo han hecho 5/11. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar a la 9. Un contratista se compromete a explorar dos cuadrilla para terminar la obra en el tiempo secciones de una mina que ofrece las mismas fijado? dificultades desde el punto de vista del trabajo. a) 26 b) 28 c) 24 En cada sección se emplea 80 obreros y al cabo d) 20 e) 22 de 50 días se observa que mientras los primero han hecho los 3/8 de su trabajo; los otros han 7. 500 obreros trabajando 10 h/d, han hecho 2300 hecho los 5/7 del suyo. Se desea saber cuantos m de obra en 28 días. 425 obreros trabajando 8 obreros de la segunda sección deberán pasar a la h/d, ¿cuántos metros de vía colocarán en 42 primera para que esta quede terminada en 120 días? días. a) 2340 b) 2860 c) 2910 a) 4 b) 8 c) 10 d) 2920 e) 2346 d) 12 e) ¿cómo? 8. Si 5 máquinas en 6 días trabajando 7 h/d hacen 10000 latas de conservas. Se tiene 6 máquinas las cuales hacen “n” latas en 7 días trabajando 8

h/d, por imperfecciones se desechan el 25% de las latas, ¿cuántas latas sin imperfección produjeron las 6 máquinas? a) 12000 b) 8000 c) 9000 d) 13000 e) 15000 9. El transporte en mototaxi de 12 canastas de pescado una distancia de 40 km, pesando cada

una de 44 kg, ha costado S/. 130. ¿A qué distancia se habrán transportado 15 canastas de 50 kg cada una, costando el transporte 162,5 soles? a) 35,2 b) 30 c) 28 d) 32,5 e) 28,4

17. En un triciclo la relación de los radios de las ruedas es como 5 es a 3, si la rueda mayor recorre un ángulo de 480°, qué ángulo recorre la rueda menor? a) 600° b) 800° c) 720° d) 780° e) 810°

10. Cuatro jardineros siembran 40 árboles alrededor 18. Doce obreros inicialmente pensaban hacer una de un terreno de forma de triángulo equilátero de obra en “n” días, si después de haber hecho la 20 m de lado, en 3 días. ¿En qué tiempo 2 mitad de la obra, 8 de los obreros aumentaron su  jardineros sembrarán 50 árboles alrededor de un rendimiento en un 25% con lo cual el tiempo terreno circular de 80 m de perímetro, sabiendo total del trabajo fue de 13 días. Hallar “n”. que este perímetro es el doble más duro que el a) 14 días b) 12 días primero anterior? c) 15 días d) 16 días a) 20 b) 18 c) 24 e) 18 días d) 26 e) 21 19. En 24 días, 15 obreros han hecho 1/ 4   de una En 24 días, 15 obreros han hecho   de la 11. 1/ 4 obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días emplearán otra cuadrilla de 30 obreros emplearán otra cuadrilla de 30 obreros doblemente eficientes en terminar la obra? doblemente hábiles en terminar la obra? a) 21 días b) 22 días a) 18 b) 16 c) 21 c) 16 días d) 18 días d) 15 e) 20 e) 20 días 12. Al preguntar por el costo de 80 clavos me dicen  20. Una cuadrilla de 15 obreros se compromete a que vale S/. 600, pero si llevo doble número de terminar una obra en 14 días. Al cabo de 9 días clavos, me dejan a S/. 1000. Como compré 50 solo han hecho los 3/7 de la obra; ¿con cuántos clavos, ¿Cuánto tuve que pagar? obreros tendrán que ser reforzados para terminar a) 420 b) 415 c) 435 la obra en plazo fijado? d) 450 e) 460 a) 18 b) 20 c) 21 d) 26 e) 22 13. Un pozo de 8 m de diámetro y 18 m de profundidad fue realizado por 30 obreros en 28  21. Si un obrero A es 25% más eficiente que otro B. días. Se requiere aumentar en 2m el radio del Si B puede hacer una obra en 18 días. ¿En pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres, cuántos días harán la misma obra trabajando ¿qué tiempo demorarán?  juntos? a) 12 b) 9 c) 8 a) 75 días b) 60 días d) 10 e) 21 c) 80 días d) 72 días e) 135 días  22. Un burro esta atado a una estaca con una cuerda de 3 mt. de longitud y se demora dos días en 14. Dos secretarias copian 350 problemas en una comer toda la hierba que esta a su alcance. semana. ¿Cuántas secretarías serían necesarias ¿Cuánto tiempo demoraría si la cuerda fuese de para copiar 600 problemas en 4 días? 9 mt? a) 6 b) 7 c) 4 a) 16 b) 12 c) 26 d) 8 e) 5 d) 8 e) 18 15. Con 6 hombres o 15 mujeres se puede constituir  23. Un boxeador da 51 golpes consecutivos en 20 segundos. ¿Cuántos golpes más dará en 100 una obra en 24 días. ¿Cuántas mujeres habrá segundos? que agregar a 4 hombres para constituir dicha a) 100 b) 200 c) 300 obra en 18 días? d) 400 e) 500 a) 11 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10  24. Una hormiguita tarda 42 segundos en recorrer todas las aristas de un tetraedro. ¿Cuánto tardará 16. La habilidad de dos operarios es como 7 a 9; en recorrer sólo una arista? cuando el primero ha hecho 126 m de obra. a) 5 b) 6 c) 8 ¿cuántos metros habrá hecho el segundo? d) 10 e) 12 a) 128 b) 162 c) 124 d) 132 e) 135  25. Un grupo de 50 obreros en 40 días hacen una obra de 500 m2 , trabajando 8 horas diarias. Otro

grupo de 20 obreros 60% más eficientes; en  28. Si 12 carpinteros en 30 días hacen 50 sillas ó 30 cuanto tiempo a razón de 2 horas más diarias, mesas. En cuantos días, 11 carpinteros harán 20 harán otra obra de 800 m 2 de triple dificultad que sillas y 10 mesas? a) 24 b) 16 c) 18 la anterior. d) 20 e) 19 a) 150 b) 140 c) 360 d) 240 e) 340  29. Si 40 obreros pensaban hacer una obra en cierto tiempo. Pero después de a hacer la cuarta parte  26. Un grupo de 60 cocineras hacen una torta de de la obra 16 de ellos aumentan su eficiencia en 600 kilos en 4 años trabajando 20 horas diarias. 25% por lo cual toda la obra se termina en solo Cuantas cocineras más de doble eficiencia serán 41 días. Cuantos días antes del plazo fijado se necesarias contratar, para hacer 5 tortas de 800 termina la obra? kilos en cuatro años más, trabajando 16 horas a) 2 b) 4 c) 5 diarias? d) 7 e) 3 a) 120 b) 145 c) 130 d) 135 e) 95 30. Si 8 obreros pueden hacer una trabajo en 20 días trabajando a 6 horas diarias. Si luego de haber  27. Una obra puede ser hecha por 6 hombres ó 8 trabajado 4 días se van 2 obreros, luego de 8 días mujeres en 10 días. Cuantas mujeres se deben se contratan “x” obreros para terminar la obra en sumar a 3 hombres para terminar la obra en 8 el tiempo fijado. Hallar “x”. días? a) 5 b) 4 c) 3 a) 4 b) 6 c) 10 d) 2 e) 8 d) 3 e) 5 $

$

$

I C.t.r 100

 INTERÉS : Es la suma de dinero o ganancia que produce un capital, al ser prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada. Para éste capitulo es necesario que tengas en cuenta ciertos conceptos:  Rédito : Es la tasa porcentual al que fue sometido o prestado el capital, esto siempre será representado en porcentaje por ejemplo: 10%; 1,5%; etc, etc. Capital : Es la cantidad de dinero que es prestado o depositado en alguna entidad financiera.

 Además debes saber que existen dos tipos de interés: interés simple e interés compuesto.

Se dice interés simple cuando los intereses que gana el capital se retiran, quedando el capital constante. Ejemplo: Sea un Capital = 2000 soles y el rédito = 10% y el tiempo = 3 periodos  I periodo C= 2000 Interés= 200

II periodo C= 2000 Interés= 200

III periodo C= 2000 Interés= 200

Como se ve en el ejemplo el capital siempre es 2000 soles y además el interés es contante de periodo a periodo.  Fórmula para hallar el interés Simple:

 I I C t r

C t r 100

: Interés : Capital : Tiempo (años, meses, días) : Rédito (tasa porcentual %)

OBSERVACIONES: 



El denominador de la fórmula varía de acuerdo al tiempo: * Si el tiempo está en años el denominador es : 100 * Si el tiempo está en meses el denominador es: 1200 * Si el tiempo está en días el denominador es: 36 000 En este capítulo se debe tomar en cuenta que : Mes Comercial = 30 días  Año Comercial = 360 días. Mes calendario o normal tiene la cantidad de días dependiendo del mes a tratar, por ejemplo el mes de enero tiene 31 días.  Año calendario tiene 365 días si el año NO es bisiesto y si el año es bisiesto tendría 366 días ya que en el mes de febrero se aumenta 1 día más, es decir el mes de febrero tiene 29 días. El rédito para ser reemplazado en la fórnula siempre debe estar expresado en periodo ANUAL, y no en periodos parciales, y si lo fuera se tiene que encontrar el equivalente anual, como por ejemplo: 10% diario 10% mensual 10% bimestral 10% trimestral 10% cuatrimestral 10% semestral 10% pentamestral 10% octomestral 10% quincenal 10% semanal

10% . 360  10% . 12  10% . 6  10% . 4  10% . 3  10% . 2  10% . 2,4  10% . 1,5  10% . 24 360  10% . 

7

= 3600% anual = 120% anual = 60% anual = 40% anual = 30% anual = 20% anual = 24% anual = 15% anual = 240% anual = 3600 % anual 7

 Ejemplo: Hallar el interés que produce un capital de 200 soles, prestado al 40% bimestral en 8 meses.  Solución: Capital = 200 Tiempo = 8 meses Rédito(Tasa) = 40% bimestral (este dato no se debe aplicar en la fórmula porque está en bimestres) Rédito = 40 . 6  240% anual  I

200 8 240% 1200

320

 Monto (M) .- El monto es la cantidad de dinero que se paga al final del préstamo es decir el capital (dinero prestado) más el interés ( la ganancia).

Monto C I  Nota: Un año es bisiesto cuando el número que se le designa es divisible por cuatro, sin embargo los años acabados en dos ceros sólo son bisiestos en el caso de que sea también divisibles por 400, asi el año 2 000 es bisiesto pero no fue así en los casos de 1700, 1800 y 1900.

Cuando los intereses que gana el capital se acumulan al capital de periodo a periodo formando así nuevos capitales. A este fenómeno financiero se llama capitalización. También se dice que los intereses se capitalizan. Ejemplo: Sea un Capital = 2000 soles y el rédito = 10% y el tiempo = 3 periodos  I periodo C1 

II periodo

2000

III periodo

C 2  2000  200 C2 

Interés= 200

C 3  2200  220

2200

C3 

Interés= 220

2420

Interés= 242

Como se ve en el ejemplo el capital inicial es 2000 soles y luego va cambiando porque los intereses que ganan se van sumando al capital anterior, entonces van apareciendo nuevos capitales.  Fórmula para hallar el Interés Compuesto

No hay una fórmula directa para hallar el interés compuesto, para ello necesitamos hallar primero el monto compuesto: M compuesto

C (1

r)

T

C : capital. r : rédito. T : periodo del préstamo. I compuesto

Mcompuesto Capital

 NOTA: El rédito y el periodo tienen que estar en el mismo periodo de capitalización.

Ejemplo: Se presta un capital de 10000 soles al 20% anual durante 2 años. Hallar el interés si los intereses se capitalizan semestralmente.  Solución: Si los intereses se capitalizan semestralmente entonces el rédito y el tiempo tienen que estar expresados en semestres, es decir: Rédito = 20% anual  10% semestral. Tiempo = 2 años  4 semestres. Capital = 10000 soles 10 4  Mcompuesto 10000 ( 1 ) 100 M compuesto 14641

Entonces el interés compuesto es:

I compuesto Mcompuesto Capital I compuesto 14641 10000

I compuesto

 Problema 01 Dos sumas, la primera de S/. 13 803 y la segunda de S/. 15 729 soles colocados durante el mismo tiempo: la primera al 8%, la segunda al 6%, han adquirido alrededor de este tiempo el mismo monto, por la adicion del interés simple al capital. ¿Qué tiempo estuvieron colocados? a) 10 años b) 14 años c) 25 años d) 18 años e) 16 años

4641

Una suma de 16 281 soles se ha dividido en dos partes. La primera impuesta al 8% durante 4 años ha producido igual de interés que la segunda, impuesta al 5% durante 7 años. ¿Cuáles son las partes? a) 8 505 y 7 776 b) 8 000 y 7 750 c) 5 560 y 7 400 d) 6 450 y 4 560 e) 12 000 y 3 750

 Solución: Sean C1 y C 2  las partes C1 C 2 16 281  Solución: * El segundo capital es mayor que el primero en C1 8 4 C 2 5 7 C1 C 2 Se sabe que: 15 729 13 803=1 926  soles. 100 100 35 32 * Los montos serán iguales cuando el interés del 16 281 primero sea mayor que el del segundo en 1 929 C1 C 2 C1 C 2 soles. 35 32 35 32 * En un año, el interés del primero sobrepasa al del Despejando para cada caso por la propiedad segundo en: transitiva 8%13 803 6%15 729=160,50 C1 8 505 y C 2 7 776 Luego: Si en 1 año supera en 160, 50 soles Las partes son: 8 505 y 7 776  Rpta. en t años superará en 1 926 soles 1 926  12 años  Rpta. t  Problema 04 160,50 Un capital impuesto al 5% anual de interés simple, ha producido durante un tiempo una renta equivalente al 4% del monto. ¿Cuál es este tiempo? a) 11 meses b) 10 meses c) 4 meses  Problema 02 d) 6 meses e) 9 meses La diferencia de las fortunas de dos hermanos es 31 70 soles. Uno de ellos ha impuesto la suya al 12% y  Solución: el otro ha comprado acciones con su parte, las que le Se sabe: I 4% C I I=4%C+4%I producen el 15%. Ambos tienen el mismo ingreso por la gananacia de sus fortunas. ¿Cuáles son estas? 96%I=4%C C=241 C=24 C 5 t 100 a) 15 850 y 12 680 soles 5 b) 14 880 y 12 650 soles  t= años 10 meses c) 14 880 y 12 600 soles 6 d) 14 000 y 12 650 soles Tiempo pedido: 10 meses  Rpta. e) 14 880 y 11 000 soles  Problema 05  Solución: Un capital ha producido en 4 años el 37,5% del * Si las fortunas son C1 y C 2 monto. ¿Qué % del monto producira en 8 años? C1 C 2 3 170 a) 34 6 % b) 54 6 % c) 24 6 % 13 11 11 C1 C 2 * Se sabe: 12%C1 15%C 2 6 6 5 4 d) 16 % e) 12 % 13 13 3 170 C1 C 2 C1 C 2  Solución: 5 4 5 4 En 4 años: I 37,5% C I C1 15 850 y C 2 12 680 I 37,5%C 37,5%I Fortunas: 15 850 y 12 680  Rpta. C r 4 62,5%I 37,5%C 625 3 750 100  Problema 03

un tiempo, los intereses obtenidos están en razón inversa de las tasas. a) 4 800 soles b) 5 600 soles c) 2 400 soles d) 2 500 soles e) 1 560 soles

De donde se obtiene: r 15 En 8 años: I C 15 8 6C 100 5 M C 6C 11C 5 5 Luego: por regla de tres simple 11 C 100% 5 6 C x 5 x

600% 11

 54

6 %  Rpta. 11

 Problema 06 Dos capitales que suman 14 800, se mponen a tasas que están en la relación de 7 es a 5. Hallar la diferencia de los capitales, sabiendo que al cabo de

 Solución: Si las tasas son 7k%  y 5k% en “t” años C1 7k t C1 25 5 100 Se tiene: C 2 5k t 7 C 2 49 100 C C de donde: 2 1 49 25 C 2 C1 49 25 C 2 C1  4 800 soles  Rpta.

d) 16000

1. Cual es la utilidad de un capital de 4000 dólares, que fue prestado al 10% semestral durante 2 trimestres. a) 200 b) 400 c) 500 d) 600 e) 100  2. Cual es el beneficio que un capital de 2500 dólares produce al ser invertido al 5% pentamestral, durante 3 cuatrimestres. a) 300 b) 400 c) 700 d) 250 e) 150 3. Cual es el rédito semestral al fue prestado un capital de 3600 soles, durante 5 meses ganando 600 soles. a) 10% b) 20% c) 40% d) 60% e) 5% 4. Un capital de 2000 soles fue prestado a “x” meses ganando 100 soles al 20% cuatrimestral. Hallar “x”.

a) 8 d) 3

b) 5

c) 2 e) 1

5. Cual es el capital que ganó 600 dólares al ser prestado durante un semestre, al 5% octomestral. a) 12000 b) 24000 c) 15000

e) 18000

6. ¿En cuanto se convierte S/. 3000 al ser depositado durante 2 bimestres, al 10% trimestral? a) 400 b) 2500 c) 3400 d) 500 e) 200 7. Si César prestó S/. 6000, durante 28 días, al 1,5% semestral. Cuanto le cancelarón por dicho préstamo. a) 14 b) 5114 c) 6014 d) 8105 e) 214 8. Se prestó S/. 3600 durante 2/3 de mes, al 1,4% semanal. Cual es el monto? a) 744 b) 144 c) 2514 d) 3744 e) 577 9. ¿Durante cuanto tiempo hay que depositar un capital para que se triplique al 10%? a) 10 años b) 50 meses c) 40 días d) 20 años e) 60 días 10. ¿Durante cuanto tiempo hay que depositar un capital para que se cuadruplique al 15%? a) 20 años b) 40 semanas c) 50 días d) 60 quincenas e) 10 bimestres

a) 1200 b) 1000 c) 5000 11. Cuál es el interés compuesto que produce d) 2000 e) 300 S/.10000 al 2%, capitalizable anualmente en 2 años. a) 10404 b) 140 c) 540  20. Por cuantos años se prestará un capital al 7% d) 404 e) 504 anual para que el monto sea S/. 4050 sabiendo que si se presta al 7,5% semestral el monto que 12. Cuál es el interés compuesto que produce S/. se genera es de 5250? 20000 al 2% anual, capitalizable semestralmente a) 3 b) 5 c) 6 en un año. d) 7 e) 4 a) 20412 b) 1440 c) 1444 d) 402 e) 122  21. Se presto un capital por 3 años y el monto fue de S/ 51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/. 75000. ¿Cuál fue la tasa semestral? a) 20% b) 80% c) 40% d) 50% e)16% 13. ¿A que porcentaje se debe colocar un capital Un capital se depositó al régimen de interés para que en 2 años y 6 meses produzca un  22. simple por 6 meses a una tasa de 3% bimestral y interés igual al 3/5 del monto? por los siguientes 6 meses al 5% trimestral. Si el a) 50% b) 10% c) 60% monto obtenido fue de 5355. Hallar la suma de d) 70% e) 9% las cifras del capital inicial. a) 6 b) 5 c) 2 14. ¿A cuantos meses se debe colocar un capital al d) 8 e) 7 10% semestral produzca un interés son los 1/7 del monto? a) 20 meses b) 30 meses c) 50 meses  23. Mariel coloca cierta suma al 15% por dos años, termina el plazo, retira el capital y sus intereses y d) 10 meses e) 15 meses coloca el total al 3,5% bimestral obteniéndose de intereses en un año S/. 1365. Cual es la suma de 15. ¿A cuantos días se debe colocar un capital al 5% cifras del capital. semestralmente para que gane un interés igual al a) 2 b) 3 c) 5 10% del monto? d) 8 e) 11 a) 500 b) 200 c) 700 d) 150 e) 400  24. César presta los 3/5 de su dinero y el resto lo deposita al 7,5% semestral. Si al cabo de 7 16. Se prestó un capital al 7% si se hubiese impuesto meses, del dinero prestado sólo se devuelven los dos año más al mismo porcentaje, el interés 2/3 partes, ¿a que tasa de interés deberá colocar habría sido el 125% del anterior. ¿Por cuánto dicho dinero para obtener el mismo monto tiempo se prestó? dentro de 15 meses, si el primero sigue a) 6 b) 8 c) 9 depositado? d) 5 e) 10 a) 21% b) 22% c) 23% 17. Una persona divide su capital en tres partes d) 24% e) 5% iguales y la impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una  25. Los 2/5 de un capital se han prestado al 1,5% renta anual de S/. 1000. ¿Cuál era su capital? bimestral durante 5 meses; los 3/8 del capital se a) 7200 b) 7500 c) 7400 han prestado al 0,25% trimestral durante medio d) 7800 e) 7900 año y el resto del capital se ha prestado a una tasa de interés, tal que un año y medio ha 18. Una persona coloca la quinta parte de su capital generado un interés que es igual a la suma de los durante un semestre al 3% trimestral y el resto otros dos intereses, obtenidos. Determinar dicha durante 5 meses al 2% bimestral, ganando una tasa de interés. renta total de S/.260. a) 5% b) 6% c) 7% a) 1000 b) 4000 c) 6000 d) 10% e) 8% d) 5000 e) 5500 19. Si se hubiese depositado un capital al 5% en  26. Dos capitales que son entre sí como 4 es a 5 se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro al lugar del 3% se hubiese ganado S/.200 más. 20%. Luego de que tiempo (años) la relación de ¿Cuál es el interés que se hubiera ganado en el los montos es la inversa de la relación original de mismo plazo anterior si la tasa hubiera sido 10%? sus capitales.

a) 2 d) 5

b) 3

c) 4 e) 6

 27. Dos capitales que están en la relación de 4 es a 7, se colocan la primera al 35% y la segunda a una cierta tasa que se pide calcular, sabiendo que después de un tiempo, el interés del segundo es el triple del primero. a)36% b)40% c)60% d)50% e)70%

1. Fharycito se prestó de su prima S/.5000 al 15% trimestral, pero acordando pagar el interés cada cuatro meses, con respecto al saldo deudor de cada cuatrimestre. Al final del primer cuatrimestre amortizó S/.1500 (pagando el interés y parte del capital) , el segundo cuatrimestre, no amortizó nada, el tercer y cuarto cuatrimestre amortizó

5. Un artículo vale 180000 soles al contado. Un comprador conviene en pagar 80000 soles como cuota inicial y el resto a 60 días con un recargo del 5% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual pagó? a) 54% b) 52% c) 50% d) 46% e) 48% 6. Un empleado coloca una suma al 4% durante dos años y retira entonces 1  de dicha suma y deja el 5 resto durante ocho meses. Al cabo de este tiempo retira la quinta parte de lo que quedo; y deja la nueva suma durante año y cuatro meses el total de intereses percibidos es S/. 2 032. Hallar el capital inicial. a) S/. 15 000 b) S/. 16 000 c) S/. 17 000 d) S/. 15 500 e) S/. 16 500

7. La suma de S/. 15 000 se ha colocado al 4% durante un cierto tiempo, al cabo del cual se retiran capital e intereses y se coloca todo al 5% durante un tiempo superior en medio año al cantidades que están en la relación de “2” a “3” anterior. Sabiendo que la nueva colocación respectivamente, terminando así de cancelar su produce un interes de S/. 2 475. calcular el deuda. ¿Cuánto amortizó el tercer cuatrimestre? tiempo que estuvo impuesto la primera vez. a) 2880 b) 3220 c) 3650 a) 1 año 8 meses b) 2 años 6 meses d) 3000 e) 3400 c) 4 años d) 2 años e) 2 años 4 meses  2.  Jimi compro con los 3/8 de su dinero un terreno, los 3/8 del resto los emplea en la construcción de su casa. Lo que sobra produce una renta de 2805 8. Tres personas se asocian para establecer un negocio por 5 años. La primera aporta S/.450; la soles al año, estando colocado sus 3/5 al 2.25% segunda S/.600 y la tercera S/.800. A los dos semestral y lo demás al 1% bimestral. Calcule el años de iniciado el negocio, la primera aumentó capital. su capital en un tercio de su valor y faltando 2 a) 160600 b) 12500 c) 6700 años para liquidar el negocio el tercero d) 12900 e) 140800 disminuyo su capital en S/.200. Si la utilidad por 3. La herencia de dos personas fueron valorizadas los 5 años fue de S/.25110, ¿Cuánto gano cada por un total de S/.12000 y lo que les corresponde uno? es de 3 a 5 respectivamente. Dicha herencia fue a) 7200 b) 8000 c) 8100 hipotecada por S/.8000 la primera persona d) 9600 e) 10 400 impone su dinero al 5% y la segunda al 3%. Determine al cabo de que tiempo los montos de 9. Una persona ahorra su dinero cobrando un ambas personas sumarán S/.11500 interés diario a D.P. al número de días a)30 b)50  c)60 transcurridos. Si cuando lo retiró su dinero lo d)12 e)25 había triplicado y en el último día había ganado el 1/16 del capital original. Hallar el número de 4. Carmen vivía de los intereses que produce un días que depositó su capital, capital impuesto al 6% durante 6 años y al final a) 64 días b) 63 días c) 2616 días de cada uno, retira los intereses para cubrir sus c) 1113 días e) 1013 días gastos; pero al final del sexto año, tiene que retirar además $40 del capital. Hechas las cuentas, al empezar el octavo año, se deduce que 10. Jimi deposita C soles en una cooperativa y calcula que a los “n” meses tendría un monto el capital primitivo sumado con todos los intereses recibidos dan en total $2127,6. ¿Cuál es que es igual a 5C , pero si su dinero estuviese 4 4 el capital que posee últimamente? a) 14600 b) 1500 c) 1460 años más tendría un monto igual a 7C . Fhary d) 15000 e) 1560 4 también tiene C soles y lo impone a la misma

tasa que otorga la cooperativa durante dos años y cuatro meses capitalizable anualmente, obteniendo una ganancia de 4890 soles. Hallar C. a) 20360 b) 15360 c) 78900 d) 74920 e) 14320

d) 10%

e) 40%

11. Cuál es el interés semestral al que fue invertido $120000, al 0,7 % semanal. a) 21600 b) 25000 c) 63200 d) 45200 e) 6500 12. ¿A que porcentaje debe estar impuesto un capital para que en un año produzca un interés igual al 20% del monto? a) 15% b) 25% c) 20% d) 12% e)18%

1. Cuanto gana un capital de $2000 que fue prestado durante 5 meses, al 3% semestral? a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 e) 90  2. Cuanto produce un capital de $3000 que fue prestado durante 4 meses, al 5%. a) 20 b) 50 c) 90 d) 100 e) 110 3. Cual es el capital que durante 6 meses, al 2% semestral, produce $50. a) 2400 b) 3000 c) 2500 d) 3500 e) 4500 4.  A cuantos meses se presto un capital de $1500 al 3% trimestral y ganó $75 a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 8 5. Cual es el rédito trimestral al que fue prestado un capital de $1000 durante 7 meses, ganando $70. a) 2% b) 4% c) 3% d) 5% e) 9% 6. Si tú prestas $1500 al 2% bimestral durante 4 meses. Cuánto debes de cobrar al final del plazo fijado? a) 60 b) 260 c) 1500 d) 1560 e) 2600 7. En cuanto  se convierte un capital de $4000 prestado durante medio año al 1% cuatrimestral. a) 60 b) 2500 c) 4060 d) 500 e) 5460 8. Si luego de 8 meses de haber sido prestado un dinero se devuelve $ 2120, el préstamo se hizo al 3% cuatrimestral. Cuál es el capital? a) 1500 b) 1850 c) 2000 d) 1650 e) 1900 9. Un capital se prestó durante 5 meses, al cabo de este tiempo se ganó la mitad del capital. A que rédito semestral fue impuesto dicho préstamo? a) 20% b) 60% c) 80% d) 90% e) 120% 10. A que rédito será prestado un capital para que en 10 años éste capital se duplique. a) 20% b) 5% c) 25%

13. Dos personas tienen juntos S/.167280, la primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%, durante 7 meses. Indique el capital menor. a) 32450 b) 24480 c) 40480 d) 36480 e) 23320 14. ¿Que porcentaje de 633000 soles se debe prestar al 15% trimestral para que en 7 meses produzca un monto de 34182 soles? a) 6% b) 5% c) 8% d) 7% e) 4% 15. La quinta parte de un capital se presta al 60% anual y el resto al 50% anual. Si al cabo de 15 meses produce un monto de S/ 79200. Hallar el capital. a) 360000 b) 77777 c) 565500 d) 800000 e) 48000 16. Los 2/3 de un capital se impone al 6% anual, los 3/4 del resto al 1,5% bimestral y el resto al 1% mensual. Si al cabo de dos años y un mes el monto fue 5525 soles. ¿Cuál es el capital original? a) 4000 b) 4500 c) 4800 d) 5000 e) 5100 17. Una persona coloca el 50% de su capital a una tasa de interés del 36% anual, la tercera parte al 30% anual y el resto al 24% obteniendo una renta de S/ 960. ¿Cuánto es el monto? a) 3960 b) 3450 c) 3900 d) 3980 e) 3970 18. Se imponen dos capitales al 5% durante 10 años; si la diferencia de ellos es 40 dólares y la suma de los intereses es 140 dólares, hallar el mayor de los capitales. a) 130 b) 210 c) 175 d) 160 e) 250 19. Una persona quiere comprar un auto que vale $ 4840. Durante cuanto tiempo debe prestar un

capital $ 4000 capitalizable semestralmente al 20% anual, para poder comprarlo.  29. Que capital es aquel que impuesto al 4% anual a) 1 año b) 6meses c) 3 años en 5 meses produce S/. 1100 menos que si se d) 18 meses e) 1 mes impusiera al 4% mensual en el mismo tiempo. a) 6000 b) 7000 c) 8000 d) 9000 e) 10000  20. El interés de un capital al 12% es el 60% de dicho capital. Hallar el tiempo. a) 2 años b) 3 años c) 4 años 30. Se impone S/. 4800 al 9% anual durante un año d) 5 años e) 6 años y medio. Que capital sería necesario aumentar para que durante 1 año y 8 meses al 6% el interés se duplique.  21. Que interés producirá una capital de S/.5200 prestado al 21% anual en 7 años y 5 meses. a) 8106 b) 8610 c) 8160 a) 6410 b) 8099 c) 6414 d) 6108 e) 6801 d) 8090 e) 8089 31. Los 5/7 de un capital colocados al 3% produce anualmente S/. 560 más que el resto colocado al  22. A que tanto por ciento habrá estado prestado un 4%. Cual es el capital. capital de S/.120 para haberse convertido en a) 28000 b) 63000 c) 40000 S/.144 en 20 meses. d) 56000 e) 64000 a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 20% 32. Mery pone el capital que posee en un banco, si dentro de 6 meses se retira recibirá S/.1575, pero  23. Un capital impuesto durante una año al 3% si se retira dentro de 16 meses recibirá S/.125 produce S/. 21 más que otro impuesto 9 meses al más. Halle la tasa de interés. 4%. Cual es la diferencia de dichos capitales. a) 10% b)20% c)13% a) 800 b) 750 c) 900 d) 5% e)8% d) 700 e) 1000  24. Se prestó un capital por un año y el monto fue S/. 5500. si se hubiera prestado por dos años sería S/. 6000. Cual sería el monto en 4 años. a) 12000 b) 9000 c) 8000 d) 7000 e) 6500  25. Una tasa del 6 % quincenal de interés simple es equivalente a: a) 0, 3% diario b) 0,02% diario c) 140% anual d) 1% cada tres días e) 10% cada 25 días  26. Un capital del S/.73000 se impuso al 40% durante 3 meses. Determine cuál fue el primero de estos tres meses si se sabe que si se hubiera considerado año común en lugar del comercial los intereses disminuirían S/.180. a) febrero b) abril c) mayo d) marzo e) agosto  27. Si en 3 meses de ahorrar en un banco donde pagan de interés simple, la ganancia es de 20% del monto. Cual es la tasa mensual que esta ganando. a) 6% b) 8% c) 8,33% d) 6,6% e) 7%  28. Un capital se divide en tres partes iguales que imponen al 28%, 34% y 38% anual respectivamente. Al cabo de cuanto tiempo se habrá triplicado el capital. a) 3 años b) 4 años c) 5 años d) 6 años e) 8 años

33. Mariel se prestó S/.5000 al 15% trimestral, pero acordando pagar el interés cada cuatro meses, con respecto al saldo deudor de cada cuatrimestre. Al final del primer cuatrimestre amortizó S/.1500 (pagando el interés y parte del capital), el segundo cuatrimestre no amortizó nada, el tercer y cuarto cuatrimestre amortizó que están en relación de 2 a 3 respectivamente, terminando así de cancelar su deuda. ¿Cuánto amortizó en el tercer cuatrimestre? a)3220 b)3650 c)3000 d)2880 e)3400 34. A que porcentaje debe de ser colocado un capital para que en tres años y 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 del monto. a) 20% b) 21% c) 22,5% d) 7,5% e) 15% 35. Rheyver compra con el 25% de su fortuna una casa, con 1   del resto obtiene una renta de 8 S/.240 colocado en un banco al 2% trimestral. Halle dicha fortuna. a)18000  b)32000  c)30000 d)52000 e)48000 36. La tercera parte de un capital se coloca al 9% anual de interés simple. ¿A que tanto por ciento deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total de 11% anual de dicho capital? a) 10% b) 9% c) 12%

d) 20%

e) 15%

37. Una persona presta a otra un capital a interés simple, con la condición que se duplique al cabo de un año y tres meses. Durante de que tiempo se debe prestar el mismo capital , para que se cuadruplique. a) 2 años 5 meses b) 3 años 11 meses c) 3 años 9 meses d) 2 años 6 meses e) 3 años 3 meses 38. Se deposita un capital de $1000 en cierto banco al 5% semestral, a los 2 años se deposita en la misma cuenta $2000 más y luego de 3 años se hizo un último deposito de $5000. Después de un año se cancela la cuenta. Cuanto se retiró? a) 8000 b) 9000 c) 9900

d) 1900

e) 8500

39. Hallar el monto compuesto de un capital de $1000, al 10% en 3 años. a) 1351 b) 1354 c) 1331 d) 1231 e) 1542 40. Hallar el interés que produce un capital de $6000 al 20% durante 3 años, si los intereses se capitalizan cada año. a) 4368 b) 5820 c) 6520 d) 10368 e) 11564 Academia An tonio Raimondi Siempre los prim er os Dejando H uell a

Descuento, en comercio, es la reducción del precio de un bien. Los descuentos se suelen hacer al pagar cuando se recibe la mercancía (pronto pago) o cuando se abona en un periodo de tiempo determinado. Los descuentos por volumen de compra se conceden a aquellos compradores que adquieren grandes cantidades. Los descuentos comerciales se conceden a los mayoristas y a otros grupos comerciales para que cubran los costes de determinadas funciones, como las de almacenaje y las de comercialización. En finanzas, los descuentos son primas o bonificaciones que se dan al comprador de pagarés, letras de cambio o cualquier otro título de crédito antes de la fecha de vencimiento. Estos descuentos consisten en reducciones del valor nominal del instrumento financiero, y se efectúan en el momento de la compra. Las principales agencias que llevan a cabo descuentos comerciales son los bancos comerciales y, en algunos países, determinadas instituciones financieras especializadas en estas prácticas. Cuando el título valor vuelve a ponerse en circulación, por un banco o por una institución financiera, y se le vuelve a aplicar un descuento, se dice que se redescuenta. Cuando el título valor vence, los tenedores de dichos pagarés y letras reciben la totalidad del valor nominal del título que presentan al cobro; por lo tanto, la práctica de descontar letras y pagarés es, de hecho, un medio de dar créditos bajo la forma de préstamos, pues se considera al descuento como una especie de pago del interés sobre los préstamos. Los tipos de descuento y redescuento los establecen los bancos comerciales y las instituciones financieras dependiendo de la oferta relativa de dinero disponible para préstamos comerciales. En aquellos países en los que el sistema bancario está centralizado, los tipos de descuento y redescuento los establecen, mayoritariamente, los bancos centrales.

Es el interés que ganan las instituciones de crédito por el pago de una letra antes de su vencimiento. La regla de descuento es una operación que nos permite calcular el descuento que sufrirá un documento por ser cobrado antes de su vencimiento. Debemos conocer los siguientes conceptos:







 Letra de cambio: Es un documento en el cual una persona (aceptante o deudor ) se compromete en pagar cierta cantidad de dinero a otra persona (acreedor) en un tiempo fijado. Valor Nominal (Vn) : Es la cantidad de dinero que se encuentra escrita en la letra de cambio o documento comercial. Valor Actual (Va) : Es la cantidad de dinero que se paga en efectivo, después de haber sido descontada la letra, es decir, viene a ser el Valor Nominal menos el Descuento.

Va Vn D  Además existen dos tipos de descuentos:

Llamado también Descuento Abusivo, Común o Externo. Es el descuento que produce el interés simple del Valor Nominal de una letra. Para hallar el descuento comercial se deben utilizar las siguientes fórmulas:  En función del valor nominal

 Dc

En función del valor actual

Vn t r 100

 Dc

Va t r 100 t r

 Nota .- El denominador varía según el tiempo, igual que en la regla del Interés Simple:

Llamado también Descuento Matemático o Interno. Es el descuento que produce el interés simple del Valor Actual de una letra.  En función del valor actual  Dr

Va t r 100

 En función del valor nominal  Dr

Vn t r 100 t r

 Nota .- El denominador varía según el tiempo, igual que en la regla del Interés Simple:  Fórmulas que nos ayudan:  Va Racional

Vn 100 100 t r

 Dc Dr

Dr t r 100

 Vn

Dc Dr Dc Dr

El vencimiento común viene a ser el tiempo de vencimiento que representa al tiempo de vencimiento de varias letras en una letra única de cambio, en otras palabras viene a ser el promedio ponderado entre los  valores nominales y los tiempos de dichas letras de cambios. Sean varias letras de cambio con valores nominales: Vn1; Vn 2 ;....; Vn n Sean varias letras de cambio con diferentes tiempos de vencimientos: t1; t 2 ;....; t n Entonces el vencimiento común se halla de la siguiente manera: Vencimiento común

Vn1 t 1 Vn 2 t 2 .... Vn n t n Vn1 Vn 2 ... Vn n

 Problema 01 En un pagaré el descuento comercial y el valor actual comercial están en la relación de 1 a 3. ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento interno? a) 20% b) 35 % c) 25 % d) 40 % e) 30 %

Se negocia un pagaré 60 días antes del vencimiento; si el descuento fue el 5% del valor nominal del pagaré. ¿Qué tasa de descuento comercial anual pagó? a) 45% b) 30% c) 15 % d) 10 % e) 20 %

 Solución:

 Solución: t 60 días ; R % anual Dato: Dc 5%Vn ….. (  ) Conocemos que: Dc Vn t R 36 000 t días ; R % anual

Dc 1 Va c 3 Sabemos: Va c Vn Dc

El dato es:

Por proporciones: Dc 1 Va c Dc 3 1 Utilizando:

Dc Vn

Va c Dc Vn 1 .. .. .. () 4

Dc Di Dc Di Descuento int erno

Vn

Di

Despejando: Vn Di Dc Dc Di Por proporciones: Di 4 Di Dc Di 4 1

Di Dc Di Di Dc

4 1

4 . . . () 5

De () y ( )  : Vn Di Dc 20 4 5 1 1 Di .Vn 100% Vn 5 5 Di 20% Vn

 Problema 02

En  Vn 60 R 5 Vn 36 000 100 Simplificando: R 1 600   R= 30 600 20 20 30%  Rpta.  Problema 03 Se tiene una letra de S/. 1 990 pagadera dentro de 90 días al 6%, si dicha letra se cambia por otra de S/. 1970 y empleando una tasa para el descuento de 6%. Hallar cual es el tiempo de vencimiento de la segunda letra. a) 1 mes b) 2 meses c) 3 meses d) 4 meses e) 2,5 meses  Solución: Vn 1 990 t=90 dias   R=6%

Vn' 1 970   t'=??   R'=6%

Va Va' 1990 D 1970 D' D D' 20 1990 90 6 1970 t ' 6 20 36 000 36 000 197 t ' 29,85 20 600 197 t ' 9,85 t'=30 600 30 días=  1 mes  Rpta.

Va1 76%Vn …. ( I ) Caso 2 Va2 Vn DC2 Va 2 Vn Vn 18 24 Vn 36%Vn 1 200 Va 2 64%Vn … ( II ) Dato:  Ahorro 9 600 Va1 Va2 9 600 76%Vn 64%Vn 12%Vn 9600 Vn  80 000  Rpta.

 Problema 04 El valor actual comercial de una letra es 24 veces el  Problema 06 descuento comercial de la misma. Si falta para su  Juán tiene una letra por S/.5000 al 20% pagadera  vencimiento 2 meses. ¿A que tasa bimestral se dentro de 6 meses, Pedro tiene otra letra por S/.8000 pagadera dentro de 5 meses. Cual será la taza desconto? porcentual de esta si deciden intercambiar las letras a) 3% b) 6% c) 7% sabiendo que que ninguno de ellos se beneficia ni se d) 4% e) 8% perjudica con este trato. a) 30% b) 35% c) 700%  Solución: d) 45% e) 105% Va c 24Dc t 2 meses ; R%anual  Solución: Sabemos que: Para que exista intercambio de letras sin que se Va c Vn Dc perjudique ni se beneficien ambas partes, Vn Dc=24Dc Vn=25Dc necesariamente las letras tienen que ser equivalentes Reemplazando: es decir. Vn 2 R Va1 Va 2 Vn 25 R=24 1 200 Reemplazando los datos según letra de cada uno con 24% anual la siguiente relación.  24% anual= bimestral 6  Vn t r 4% bimestral  Rpta. Va Vn Dc  y Dc 100

 Problema 05 Fhary firma una letra pagadera dentro de 18 meses; pero a los 6 meses se cancela la letra con un descuento del 12% semestral. Sabiendo que si la hubiera cancelado el mismo día que firmo se hubiera ahorrado S/. 9 600. hallar el valor nominal de la letra. a) 60 000 b) 70 000 c) 80 000 d) 45 000 e) 78 000  Solución: Caso 1 D C1

Vn1 Dc 1 Vn 2 Dc 2 Vn1 t1 r1 Vn 2 t 2 r2 Vn1 Vn 2 1200 1200 8000 5 r2 5000 6 20 5000 8000 1200 1200 100 r2 5000 500 8000 3 100 r2 3500 3 r2 105

105  Rpta. 6 meses

V a1

12 meses

18 meses

Se conoce que: Va1 Vn DC1 Va1

Vn

Vn 12 24 1 200

Vn 24%Vn

Vn

 Problema 07 Hallar el valor nominal de una letra cuyo Dc y Dr son 800 y 600 respectivamente. a) 1000 b) 2000 c) 1600 d) 2400 e) 350

 Y reemplazando los datos se tiene

 Solución:

Reemplazando en la formula Vn

Dc Dr Dc Dr

800 600 800 600 800 600 Vn 200 Vn 2400 2400  Rpta. Vn

 Problema 08 Cual es el monto compuesto de un capital de 1000 al 10% en 2 años. a) 1500 b) 1200 c) 200 d) 210 e) 1210

Mc 1000(1 10%)2 11 2 10 121 Mc 10 00 100 Mc 121 10 Mc 1210 Mc 1000

1210  Rpta.

 Solución: Utilizando la formula Mc C(1 r%)T

a) 150 d) 800

b) 250

c) 450 e) 300

1. Hallar el descuento comercial de una letra de 6. Hallar el valor nominal de una letra por la cual se obtiene S/. 7800, después de ser descontada al S/.3000 que vencía dentro de 7 meses al 10% 10% trimestral, 4 meses antes de su vencimiento. bimestral que fue pagada a 3 meses de firmado el Contestar la suma de sus cifras. contrato. a) 15 b) 7 c) 8 a) 500 b) 600 c) 700 d) 9 e) 10 d) 800 e) 900  2. El descuento que sufrió una letra de S/.5000, al 10% pentamestral faltando un trimestre antes de su vencimiento. a) 150 b) 400 c) 160 d) 300 e) 800 3. Cuanto se cobro por una letra de S/. 6000 después del descuento que se hizo al 5% semestral, faltando 3 meses antes de su  vencimiento? a) 150 b) 5850 c) 4850 d) 6150 e) 450

7. Se negocia un pagaré 60 días antes su  vencimiento, si el descuento fue el 5% del valor nominal del pagaré. ¿Qué tasa de descuento comercial se pagó? a) 45% b) 30% c) 15% d) 10% e)20% 8. Se compró un televisor y como parte de pago se firmó una letra de S/. 315, el cual se desea cancelar 4 meses antes de su vencimiento con un descuento interno del 15% anual. ¿Cuál es la suma que se debe pagar? a) 200 b) 250 c) 300 d) 320 e) 280

4. Cual es descuento externo de una letra cuyo valor actual es S/. 8700 , cobrada 7 meses antes de su 9. Hallar el valor actual de una letra de S/. 500 en el  vencimiento, al 1,4% semanal. cual el descuento comercial al que fue sometida a) 6300 b) 4500 c) 8700 es 1 / 5 del valor de la misma. d) 1650 e) 675 a) 250 b) 400 c) 100 d) 500 e) 150 5. Si el valor actual de una letra es S/. 1700, que fue descontada comercialmente faltando 3 meses antes su vencimiento al 20% cuatrimestral. Hallar la suma de las cifras del descuento.

10. Cuantos días antes su vencimiento se canceló una letra, afectada del 5% semestral, el día en que su valor nominal fue 180% de su descuento. a) 1500 b) 2500 c) 1850 d) 2000 e) 8500 11. ¿Cuál será el descuento comercial de un pagaré de S/ 7200 que vence el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de agosto del mismo año? a) 90 b) 85 c) 95 d) 91 e) 99

descuento de la segunda letra ha sido S/.1850. ¿Cuál fue el descuento de la primera letra? a) 777 b) 810 c) 102 d) 695 e) 150 19. La media geométrica entre el descuento comercial que sufre una letra y su valor nominal es 21000, y la media aritmética de estos mismos es 31500. Hallar el descuento racional que sufriría la misma letra. a) 6300 b) 15420 c) 8000 d) 7000 e) 5000

12. Hallar el descuento racional de una letra que tiene valor nominal de S/.1800 al 25% semestral,  20. Calcular el valor nominal de un documento sabiendo que la suma de los dos tipos de que fue pagado 30 días antes de su vencimiento. descuentos es de S/. 2800 , además que están en a) 100 c) 84 c) 72 relación como 5 es 9. Contestar la suma de sus d) 240 e) 184 cifras. 13. Hallar el descuento comercial si el valor actual de a) 8 b) 11 c) 9 una letra esS/.4700 al 3% mensual, pagado 2 d) 10 e) 13 meses antes de su vencimiento.  21. Calcular el promedio de los dos tipos de a)110 b)120 c)300 descuentos de una letra, que descontada por un d)100 e)210 año al 12%, da una diferencia de S/.36 entre el descuento abusivo y descuento matemático. a) 200 b) 230 c) 280 d) 318 e)320 14. ¿Cual es la tasa de descuento cuatrimestral a la  22. Cual es la fecha de vencimiento de una letra, si que ha sido descontada racionalmente una letra los descuentos que sufren el 20 de mayo y el 21 sabiendo que la ser vendida 4 meses antes de de junio son entre sí como 15 es a7?  vencimiento se recibe por ella 10/11 de su valor a) 30 julio b) 13 agosto nominal? c) 18 julio d) 12 agosto a) 10% b) 15% c) 20% e) 19 julio d) 18% e)21%  23. Una letra que vence dentro de 2 meses, hoy día 15. El valor actual comercial de una letra es 24 veces tiene un valor actual de S/ 4050. Si dicha letra se el descuento comercial de la misma; si falta para descontara dentro de 10 días, dicho descuento su vencimiento 2 meses, ¿A que tasa bimestral se sería de S/.375. Hallar el valor nominal. descontó? a) 4500 b) 4800 c) 5600 a) 3% b) 4% c) 5% d) 5000 e) 4200 d) 6% e) 7% 16. Si el descuento comercial de una letra es de  24. Una letra que vence dentro de 3 meses tiene un  valor actual de S/.6000, Si se descontara dentro S/.600 y el descuento racional es de S/.400. de 30 días, el descuento sería S/. 900 mayor que Hallar el valor nominal. si se descontara dentro de 45 días. Hallar el valor a) 3600 b) 1200 c) 2400 nominal de dicha letra. d) 4200 e) 3800 a) 6000 b) 6250 c) 6600 17. Cual es el valor del descuento comercial de una d) 11400 e) 5800 letra de S/. 5 600 cuyo descuento racional al 5% es de S/. 400. Dar como respuesta la suma de las  25. Se tiene una letra de 280 000 que vence el 2 de noviembre. ¿En qué fecha debe descontarse cifras de la parte entera del valor encontrado. dicha letra para recibir por ella un valor actual de a) 5 b) 6 c) 7 210 000, si la tasa es 45% semestral. d) 8 e) 9 a) 28 de julio b) 25 de julio 18. El valor nominal de una letra es 3/5 del valor c) 26 de julio d) 27 de julio nominal de una segunda letra. Ambas e) Antes de año nuevo. descontadas al 25% por un mes y 12 días la primera, y por dos meses la segunda. Si el

 26. Una letra de 28 800 que se giró el 12 de enero al 60%, cuándo vencerá, si para cobrarla el 15 de  2. Un señor deposita un capital “ C ” a interés simple y al mismo tiempo firma una letra por un marzo sufrió un descuento de 1200 soles.  valor nominal igual al triple del capital ; al cabo a) 9 abril b) 10 abril de cuantos meses exactos podrá pagar la letra c) 11 abril d) 15abril con el monto del ahorro, sabiendo que la tasa de e) 8 abril descuento y de interés es el mismo entero “ r ” y

 27. Se tiene dos letra de S/ 200 y S/ 600 que vencen dentro de dos meses y 20 días respectivamente, cual es el vencimiento común de una única letra cuyo valor nominal es la suma de los valores nominales de las otras. a) 20 b) 30 c) 50 d) 25 e) 45

menor que 150. a) 2 d) 6

b) 3

c) 4 e) 7

3. Se ha hecho descontar un pagaré de S/. 18000 al 5% a los 108 días. Si el banco retiene, además 0,1% de comisión sobre el valor nominal y 1/4% de cambio de plaza. ¿Cuánto devolverá? a) 17667 b) 18690 c) 16250 d) 16900 e) 15960

 28. Una persona debe 3 letras, la primera de S/.2000 cuya fecha de vencimiento es el 30 de septiembre 4. Una persona hace descontar comercialmente dos letras recibiendo S/. 2130 por la primera letra y del 2006, otra de S/.1000 que vence el 30 de S/.3223 por la segunda cuyo vencimiento es octubre y una tercera de S/.3000 cuya fecha de posterior en dos meses al de la primera. Hallar el  vencimiento es el 29 de noviembre del mismo  valor nominal de la segunda letra, si la suma de año. Se requiere reemplazar esta tres letras por los valores nominal es de S/. 7500 y el descuento una que represente el vencimiento común de las se realiza al 4%. otras. En que fecha se estará cancelando esta a) 4200 b) 4300 c) 3000 letra única. d) 3200 e) 3300 a) 6 noviembre b) 4 noviembre c) 10 noviembre d) 10 octubre 5. El descuento comercial y racional de una misma e) 25 noviembre letra son proporcionales a dos números consecutivos y sus valores actuales a 126 y 128  29. Se firman tres letras cuyos valores nominales son respectivamente. 9000; 14000 y 18000 soles, respectivamente. Sus ¿Cuál será la diferencia de los descuentos si el fechas de vencimientos son: 12 de enero del  valor nominal es de S/. 14400? 2001; 14 de mayo y 18 de agosto del mismo a) 100 b) 200 c) 250 año. ¿Cuál es el plazo de la letra única que d) 150 e) 260 reemplace a dichas letras? a) 29 de abril b) 29 de junio 6. El Sr. Franco compra un STAND en el MOLINO c) 30 de mayo d) 23 de junio CENTER en $ 20 000, si dio $ 11 590 de cuota e) 23 de mayo inicial y se firmaron 3 letras bimestrales (de igual  valor las tres). Si la tasa de descuento es 10%. 30. Se tiene 4 letras de iguales valores nominales y ¿Cuál es el valor escrito en cada letra? los tiempos que faltan para sus vencimientos en a) $ 2 900 b) $ 1 500 días están dados por 4 potencias consecutivas de c) $ 1 920 d) $ 2 910 2, si el tiempo de vencimiento común es 240 e) $ 2 930 días. Hallar dentro de cuantos días vencerá la 7. Se adeuda una cantidad de $ 12 150 que vence primera de las letras. dentro de 75 dias, a los 30 dias acuerda con su a) 32 b) 16 c) 128 acreedor liquidar la deuda, si la tasa es del 6%. d) 1024 e) 64 ¿Cuánto debe entregar con descuento racional? a) $ 12 068 b) $ 12 420 c) $ 12 060 d) $ 12 420 e) $ 12 080 1. El tipo de descuento en el banco Fharytmética es 8. Un individuo tiene tres pagarés un de $2000 que 144% anual. ¿Qué porcentaje del valor nominal  vence el 2 de diciembre; otro de $3000 que de una letra se recibirá descontándola 75 días  vence el 1 de febrero y otro de $4000 pagadero antes de su vencimiento? el 9 de febrero. Reemplaza estos tres pagarés por a) 72% b) 70% c) 75% d) 80% e) 76%

uno solo de $9000 pero lo cancela con dos días de retraso. ¿Qué día canceló la letra? a) 20 de enero b) 21 de enero c) 22 de enero d) 24 de enero e) 23 de enero 9. Se tienen dos letras de cambio cuyos valores nominales son S/. 1200 y S/. 1900 descontados al 20% y 5% respectivamente, la primera en 2 meses. ¿Cuánto tiempo estará la segunda si se sabe que las letras son equivalentes? a) 7,8 años b) 6,4 años c) 5,4 años d) 56 meses e) 200 días 10. Dos letras están en la relación como 5 es a 8 y son descontadas de tal manera que ambas se hacen equivalentes. Decir a que tasa estará impuesto la segunda si la primera se aplico al 10% además el trato fue anual. a) 43,75 % b) 50 % c) 62,71 % d) 27,31 % e) 38,21 %

e) S/.7 000 15. Una letra de S/. 480 de haber sido negociada 9 dias después de ser firmada, su valor actual hubiera sido S/. 14,4 mayor que el que se recibio por ella. ¿Cuánto se recibirá por ella si se negociará 36 dias antes de su vencimiento? a) S/. 432,6 b) S/. 456 c) S/. 422,4 d) S/. 460,8 e) 448 16. Se debe una suma de S/. 410 pagadera a los 5 meses y se conviene pagar 252,5 soles a los dos meses y la cantidad necesaria para extinguir la deuda a los 8 meses. ¿Qué cantidad es ésta? (Se considerará un descuento racional al 6%) a) S/. 150 b) S/. 156 c) S/. 127 d) S/. 167 e) S/. 110

17. La suma de los valores nominales de 3 letras es S/.45 600. Se descuentan al 30% por 8 meses la primera; por 6 meses la segunda y por 4 meses la 11. Dos letras han sido descontadas: una de tercera. El descuento de la primera vale tanto S/.34200 por 40 días, y la otra, de S/.35000, por como el de las otras dos juntas menos S/. 1 145, 60 días. Hallar el % único a que han sido y el descuento de la segunda es S/. 2 735 menos descontadas, sabiendo que se ha recibido por la que las otras juntas. Hallar el valor nominal de la 2da. Letra 678 soles más que la 1ra. primera letra. a) 4,8 % b) 5,2 % c) 6 % a) S/. 12 700 b) S/. 10 600 d) 6,5 % e) 6,3 % c) S/. 13 500 d) S/. 14 600 12. Hallar el valor nominal de una letra a 60 días e) S/. 15 000 que sustituya a dos letras de S/. 40000 y S/. 60000 con vencimientos a 30 y 90 días, respectivamente. (tipo de descuento 6%) a) S/. 98 999 b) S/. 99 899 c) S/. 99 989 d) S/. 99 998 e) S/. 89 999 13. Si una letra se descontara 20 dias antes de su  vencimiento recibiria un descuento de S/. 480. Calcular el valor nominal de la letra, si la suma 1. de este con su valor actual es a su tiempo de  vencimiento como 638 es a 3. sabiendo ademas que si se descontara dentro de la cuarta parte del tiempo que falta, el descuento seria S/. 5 400. a) S/. 33 200 b) S/. 35 100 c) S/. 35 180 d) S/. 35 500  2. e) S/. 34 800 14. Se tiene 2 letras cuyos valores nominales suman S/. 15 000 y su vencimiento comun es 2 meses, estas 2 letras se reemplazan por 3 letras cuyos  valores nominales son inversamente proporcionales a 1 ; 1 y 1   y su vencimiento 5 6 7 comun es 5 meses. ¿Cuál es el valor nominal de la primera de estas 3 letras, si R = 60%? a) S/. 5 000 b) S/. 6 000 c) S/. 4 000 d) S/. 5 500

Hallar la tasa de descuento anual a la que ha sido descontado un documento, sabiendo que al ser descontado 8 meses antes de su vencimiento, se recibe el 75% de su valor nominal. a) 30,5% b) 32,75% c) 36% d) 37,5% e) 45% El 5 de abril se firmó una letra por S/.2250 con fecha de vencimiento el 4 de julio; si se descontó dicha letra el 17 de mayo del mismo año, ¿Cuánto se recibió por ella, considerando una tasa del 11% semestral? a) 2120 b) 2184 c) 2234 d) 3000 e) 3500

3. Calcular el valor nominal de una letra, que descontada por 4 meses al 5%, da una diferencia de S/.2 entre el descuento comercial y el descuento racional. a) 7320 b) 3230 c) 7050

d) 4025

e) 7280

4. Hallar el tiempo de vencimiento de un pagaré, si por ser descontada al 6% trimestral se recibió por ella el 80% de su valor nominal. a) 10 meses b) 11 meses c) 1 año d) 1 año, 2 meses e) 1 año, 3 meses 5.  A cambio de una letra que vencía dentro de tres meses, un acreedor recibió otra letra de S/ 2370 pagadera a los 5 meses. ¿Cuál era el valor nominal de la primera?, (Tasa de descuento 5%). a) 2350 b) 2365 c) 2370 d) 2375 e) 2345 6. La suma de los valores nominales de 2 letras es de S/. 16800; habiéndose recibido S/.16560 por ambas descontadas al 6%, la primera por dos meses y la segunda por 3 meses. Hallar la diferencia de los valores nominales. a) 10000 b) 9600 c) 12000 d) 11600 e) 10800 7. (UNI 2000–I ). Hallar el valor nominal de una pagaré negociado al 2/3% mensual por tres meses. Sabiendo que la diferencia entre el descuento comercial y racional es de S/.2. a) 5000 b) 5100 c) 5200 d) 5300 e) 5400 8. La diferencia entre los dos tipos de descuentos de una letra de S/. 270 es de 3 soles. ¿Cuál es el descuento racional? a) 18 b) 24 c) 27 d) 30 e) 33 9. Una letra de 15000 soles vencía dentro de 6 meses al 8% quiere ser cambiada por otra letra que debe vencer dentro de 1 año 3 meses al 8%. ¿Cuál debe ser el valor de esta letra? a) 14000 b) 14500 c) 17000 d) 16000 e) 16500

a) 5% d) 20%

b) 10%

c) 15% e) 25%

12. Dos pagarés por igual suma, se vencen dentro de 30 y 60 días, respectivamente, son descontados hoy al 12% anual. ¿Cuál es el valor nominal de cada uno de ellos si se reciben S/. 10368? a) 2343 b) 1542 c) 5184 d) 4532 e) 1432 13. Si el descuento racional es el 70% del descuento comercial. Además la diferencia de descuentos es de 400. Hallar la suma de las cifras del valor nominal de la letra. a) 8 b) 7 c) 18 d) 15 e) 12 14. Por una cuenta de S/. 9000 se ha pagado S/.8635, sabiendo que faltaban 73 días para su  vencimiento. Calcular la tasa del descuento. a) 20% b) 30% c) 40% d) 25% e) 35% 15. Una letra de S/. 15000 vencía dentro de 6 meses al 8% quiere ser cambiada por otra letra que debe vencer dentro de 1 año 3 meses al 8%. ¿Cuál debe de ser el valor de esta letra? a) 14000 b) 16000 c) 14500 d) 16500 e) 17000 16. La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de 270 dólares es de 3 dólares. ¿Cuál es el descuento racional? a) 18 b) 24 c) 28 d) 27 e) 30 17. El valor actual de una letra es de S/.16000 y la suma de los descuentos es a la diferencia de los mismos como 162 es a 2. Dar como respuesta el  valor nominal de dicha letra. a) 3280 b) 5420 c) 16400 d) 1640 e) 14600

18. Una persona debe pagar una letra de 5000 soles el 6 de abril; paga el 29 de marzo 4990 soles. 10. Hallar el valor nominal de una letra que vence dentro de un año. Si los valores actúales que ¿Cuál fue la tasa descontable? adquiera dicha letra de 4 y 6 meses, luego de ser a) 10% b) 10,4% c) 15% descontadas racionalmente al 6% se diferencian d) 9% e) 20% en S/.25. 19. ¿Cuál era el tiempo de vencimiento para que una a) 1326 b) 4266 c) 1232 letra descontada comercialmente al 14% d) 2678 e) 4238 trimestral se reciba los 5/6 de su valor nominal? a) 365 días b) 375 días c) 390 días d) 380 días e) 360 días 11. Se ha negociado un pagaré de S/. 600, obteniéndose 580 soles de valor actual. Si el pagaré vencía dentro de 4 meses. ¿Cuál es el  20. La diferencia entre el descuento racional y comercial de una letra descontada por 200 días tanto por ciento semestral que se ha descontado al 6% es 98. ¿Cuál es el valor efectivo comercial? comercialmente?

a) 87102 d) 87100

b) 87200

c) 88102 e) 88201

VII. Cuando cambias una letra te conviene que el banco te haga un descuento comercial que el racional. Cuántas de las anteriores proposiciones son  verdaderas : a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

 21. Se tienen 4 letras de iguales valores nominales y los tiempos que faltan para sus vencimientos en días están dados por 4 potencias consecutivas de 2, si el tiempo de vencimiento común es 240 días. Hallar dentro de cuantos días vencerá la primera de las letras.  23. Se tienen tres letras de S/.88000, S/.51000 y a)5 b)32 c)16 S/.70000 pagaderas dentro de 90; 120 y 150 días d)64 e)1024 respectivamente. Calcular el valor nominal de una letra pagadera dentro de 108 días, que  22. De las siguientes proposiciones : produzca el mismo valor actual que la suma de El descuento racional es el interés que  I. los valores actuales de las tres letras. Se tomará produce el valor nominal de una letra. descuento racional, al 40% anual.  II. El descuento comercial siempre es mayor a)207150 b)207300 c)207200 que el descuento racional. d)207400 e)207500  III. En el interés simple el capital permanece  24. El vencimiento común de tres letras de idénticos constante.  valores nominales es de 50 días. Si los  IV. Vn Dc Dr  vencimientos de dichas letras están representadas Dc Dr por los factoriales de tres números consecutivos. V. No es cierto que el valor nominal es mayor Calcule el mayor de los vencimientos. que el valor actual. a)24 días b)120 días c) 840 días VI. El valor que se paga es el valor actual d)150 días e)145 días menos el descuento.

 NÚMERO.- Es la idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta.  NUMERAL.- Es la palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como cantidades. Por ejemplo algunos numerales para representar al número dos son: 2; II; ; ;  II  ; etc., ORDEN .- Lugar o posición contada de derecha a izquierda, que ocupa una cifra dentro de un numeral. Por ejemplo: el 7 está en el tercer orden u orden 2 dentro del numeral 982745. 9 8 2 7 4 5 1 er  orden u orden 0 2 do

orden u orden 1

3 er  orden u orden 2

 SISTEMA DE NUMERACIÓN .- Conjunto de normas, reglas y nomenclaturas que rigen la escritura y lectura de un conjunto de números.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas, cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones. Esos sistemas los enumeramos a continuación:       

Números naturales Números enteros Números racionales Números irracionales Números reales Números imaginarios Números complejos

Número natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por  N : Nº = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.  Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidos las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.  PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.  Propiedad Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir:

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

 Propiedad Conmutativa:

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.  Propiedad Modulativa o del elemento neutro :

El 0 es el elemento neutro de la suma de e nteros porque, cualquiera que sea el número natural “a”, se cumple que: a+0=a  PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.  Propiedad Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)  Propiedad Conmutativa:

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a·b=b·a Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40 9 · 4 = 4 · 9 = 36 2·3=3·2=6  Propiedad Modulativa o del elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a·1=a  Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por  Z : Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio “a” si es positivo o cero, y a “ – a ” si es negativo. Es decir: • si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; • si a < 0, |a| = –  a ; por ejemplo, | – 5 | = – (– 5 ) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: • Si tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían

los sumandos:

• 7 + 11 = 18 • –7 – 11 = –18 • Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando  es positivo y el otro negativo, se restan sus valores

absolutos y se le pone el signo del mayor: • 7 + (–5) = 7 – 5 = 2 • –7 + 5 = – (7 – 5) = -2 • 14 + (– 14) = 0

 LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS TIENE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:  Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)  Propiedad Conmutativa: a+b=b+a  Propiedad del elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma a+0=a  Propiedad del elemento opuesto:  todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (– a ) = 0  MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: (+)  (+) = (+) (+)  (  ) = (  ) (  )  (+) = (  ) (  )  (  ) = (+)

 LA MULTIPLICACIÓN  PROPIEDADES:

DE

NÚMEROS

ENTEROS

TIENE

LAS

 Propiedad Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)  Propiedad Conmutativa: a·b=b·a  Propiedad del elemento neutro:  el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a·1=a  Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c  RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

SIGUIENTES

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)

Por ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a a . 

1

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.  Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico. Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 ó 5 la expresión decimal es periódica.  SUMA DE NÚMEROS RACIONALES La suma de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Suma de fracciones). CUMPLE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:  Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

 Propiedad Conmutativa: a+b=b+a

 Propiedad del elemento neutro:  el cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma, tal que cumple: a+0=a

 Propiedad del elemento opuesto:  el opuesto de un número racional " a " , es otro número racional " a " , que cumple: a  ( a )  0

 PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Producto de fracciones). CUMPLE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:  Propiedad Asociativa: (a · b) · c = a · ( b · c )

 Propiedad Conmutativa: a·b=b·a

 Propiedad del elemento neutro:   el 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto, que cumple: a·1=a

 Propiedad del elemento inverso: el inverso de un número racional “ a que multiplicado por " a "  da 1: a.



0 ” es otro número racional

1 1 a

 Propiedad Distributiva de la Multiplicación respecto a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

 NÚMEROS DECIMALES

Número decimal, cualquier número fraccionario expresado en el sistema de numeración decimal. Así, los números 7,84; 0,005; -2,8464646…; 3,141592… se dice que son decimales  NÚMEROS FRACCIONADOS Es la división de dos números enteros de la forma: a

Numerador

b

Denominador

 Números Racionales.- Son aquellos que resultan de dividir 2 números enteros (fracciones). Clasificación de las fracciones:

I. Por la comparación de sus términos: * Propia : Numerador menor que el denominador. * Impropia : Numerador mayor que el denominador. II. Por los divisores de sus términos: * Reductibles : Cuando ambos términos tienen factores comunes. * Irreductibles : Cuando sus términos no tienen factores comunes. III. Por su denominador: * Decimal: Denominador de la forma: 10...0. * Ordinaria: Denominador NO es de la forma: 10...00. IV. Por el grupo de fracciones: * Homogéneas: Cuando varias fracciones tienen el mismo

Denominador. * Heterogéneas: Cuando varias fracciones tienen distinto denominador  FRACCIÓN GENERATRIZ  I. Decimal exacto: 0,15

15 ; 100

2,457

2457 ; 1000

45 ; 10

4,5

a,bcd

abcd 1000

 II. Decimal inexacto:

II.1 Periódico puro: 0, 44...

II.2 Periódico mixto: 0,433.. 0,43



0, 4

43 4 ; 90



4 ; 9

0,5252...



0,52

0,52121... 0,521



52 ; 99

521-5 ; 990

0,321



321 999

0,6577... 0,657

657-65 900

Número irracional es un número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. El uso de números irracionales surge a partir de la necesidad de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es Ã; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo ( φ  es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional (pi). La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales. Por ejemplo: ;

  

3; 5; ...

Número real es cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

….

-2 -1 0

1

2

….

19

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho

de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.  A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar d e uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales. El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se le llama recta real. Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).

El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 ó positivo, por lo que la ecuación x 2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, ya no en sentido matemático, tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente al de los números reales), es el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación, que se puede escribir como: x=3×i ó x=3i

Los números b i, b



0 , se llaman imaginarios puros.

Un número imaginario se obtiene al sumar un número real con un número imaginario puro.

En su forma general, un número complejo se representa como Z = a  i b , donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los números reales y todos los imaginarios.  Ejemplo Z=5



6 i ,es decir, 5 unidades positivas reales y 6 unidades negativas imaginarias.

Z =  5  6 i ,es decir, 5 unidades negativas reales y 6 unidades positivas imaginarias.

Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.

i

12+80i

80

20+50i

50 32

4+32i

10

8+10i R 4 8 12

20

Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna, así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales. En el caso de la Ingeniería Eléctrica, los números complejos se convierten en una familia muy importante para esta ingeniería, la cual es la familia de los numeros  POLARES que tiene una parte real y una parte angular. Ejemplo: Z

a

bi

se transforma en

a 2 b2

Z

Arc tan

b a

 Ángulo

Módulo REAL Z 15

20 i

se transforma en

Z

15 2 20 2

Z

25

53º

Z

25

53

Arc tan

20 15



180

La base de un sistema de numeración representa la cantidad de unidades necesarias para formar una unidad del orden inmediato superior.  BASE

UNIDADES

10 8 5 2 15 (n)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4 0,1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , (10), (11), (12), (13), (14) 0,1,.......,( n -1)

 PRINCIPIOS QUE DEBE CUMPLIR UNA BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN 1.- La base es un número entero positivo mayor que UNO.  2.- La mayor cifra disponible en una base de un Sistema de Numeración, es la base menos uno. 3.- Para las bases mayores que la base decimal se utilizan los siguientes convencionalismos respecto a las cifras: CIFRA

(10) (11) (12) (13) . . .

EQUIVALENTE  LATERAL A B C D . . .

 I. Primer caso: Encontrar equivalentes de números de base ( n ) a base ( 10 ).

Método: Descomposición Polinómica. abcd(n)

a n3 b n 2 c n1 d

 Ejemplo:  I. 321(4)



 II.



 II.

3 4 2 2 41 1 = 48 + 8 + 1 = 57 321(4) 57 124 (5) 1 5 2 2 51 4 = 25 + 10 + 4 = 39 124 (5) 39 Segundo caso: Encontrar equivalentes de números de base (10) a base ( m ) .

Método : Divisiones sucesivas.  Ejemplos : 1)

83

(7) 83 7 6 11 7 4

2)

1

120

 ( 9 ) 120 9 3 13 9 4

1

83 146(7)

120 143(9)

 III. Tercer caso: Encontrar equivalentes de números de base ( n ) a base ( m ) .  Método: Combinado (se utilizan los 2 métodos anteriores) .

 Ejemplo: Cambiar de base el número 132(5) a base (4) 

 Primero se cambia el número 132(5)   a base (10) 132(5) 1 5 2 3 5 2 = 42



 Luego 42 se cambia a base (4) 2

42 4 10 4 2

2

Entonces: 132(5) 42 222(4)

CASOS ESPECIALES DE TRANSFORMACIÓN  I. Cambio de base (n)  a base (n k )  Ejemplo: 11101011010100100000111(2) transformar al sistema de base (8) 8 23 el exponente indica que se debe agrupar de 3 en 3 cifras a partir del primer orden y cada grupo se debe transformar de la base (2) al sistema de base (10) y cada resultado será cada cifra del número en el sistema de base (8). 11 101 011 010 100 100 000 111(2) luego

111(2) 7 000(2) 0 100(2) 4 100(2) 4 010(2) 2 011(2) 3 101(2) 5 11(2) 3  La respuesta en base (8) es

35324407(8)

 II. Cambio de base (n k )  a base (n)  Ejemplo: 8765(9) transformar al sistema de base (3) 2

9 3   el exponente indica que cada una de las cifras se descompondrá en 2 cifras con el metodo de las divisiones sucesivas las cuales serán las cifras del número en el sistema de base (3) 8 3 2 2 22(3)

7 1 6 0 5 2

3 2 3 2 3 1

21(3) 20(3) 12(3)

 La respuesta en base (3) es

22212012(3)

 I. Primer caso: Encontrar equivalentes de números de base (n) a base (10).

Método: descomposición polinómica. 0,abcd.(n)

a b n n2

c n3

d n4

 Ejemplo: Cambiar de base 0,302(4) a base (10) 0,302.(4)

3 0 4 42

2 43

50  =0,78 64

 II. Segundo caso: Encontrar equivalentes de números de base (10) a base ( m )

Método: Multiplicaciones sucesivas  Ejemplo :

0,423

0 2 3 1

(6) 423 538 228 368

6 6 6 6

   

0,423 = 0,231(6)

 Problema 01 El menor de los números dados a continuación es: a) 2225 b) 22223 c) 323 4 d) 1218 e) 5(11)  Solución: Para ssaber cual es el menor vamos a expresar en base 10

*

2225

*

2222 3

*

323 4

2.5 2 2.5 2 62 2.3 3 2.3 2 2.3 2 80 3.4 2 2.4 3 59

* 1218 1.8 2 2.8 1 81 * 511 5.11 10 65

 Problema 04 Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se multiplica por 7 se suma el resultado del segundo  Problema 02 dado y se multiplica todo por 7 por último se suma el El menor número de 4 cifras diferentes del sistema resultado el tercer dado obteniéndose asi 136. ¿Cuál senario expresarlo en el sistema de base 13. fue el resultado de cada dado dar? Como respuesta a) 1 13 b) 14 13 c) 186 13 el menor. a) 1 b) 2 c) 3 d) 16 13 e) 14 13 d) 4 e) 5

El menor de ellos es: 323 4

 59  Rpta.

 Solución:  Solución: * Las cifras que se utilizan de base son: Sean a, b y c los resultados del primer segundo y 0; 1; 2; 3; 4; 5 tercer dado. * Para formar el menor número de cuatro cifras Del enunciado se plantea: diferentes debo utilizar los cuatro menores cifras y a 7 b 7 c 136 estos serián: 0; 1; 2; 3 a 7 2 b 7 2 c 136 * El menor número es: 1 023 6 Como a, b y c son menores que 7 y tiene la forma de la descomposición polinomica de un numeral de la 1º Pasando a base 10 base 7. Entonces: 1023 6 1.6 3 2.6 3 216 12 3 231 abc (7) 136 2º ahora lo pasamos a base 13 Pasando 136 a base 7 231 13 136 7 13 17 13 3 19 7 101 13 1 14 2 91 4 5 10

El menor número es: 14 13  Rpta.

abc 7 2537 , del cual: a 2 ; b 5  y c 3 2  Rpta. El menor valor de a

 Problema 03 Expresar en el sistema duodecimal el mayor número de 3 cifras diferentes del sistema heptal  Problema 05 a) 461 12 b) 231 12 c) 333 Conociendo que a b c d 0 Resolver la ecuación: d) 762 12 e) 239 12 2a 2b 2c 2d 2 328  Solución: En el sistema heptal se emplean las cifras Indicar el valor de a b c d b) 20 c) 30 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6   para formar el mayor número a) 10 e) 26 de tres cifras debo utilizar las tres mayores cifras d) 42 siendo esto 4; 5; 6 . El mayor número es 654 y  Solución: este debemos convertirlo al sistemaduodecimal (base Dando la forma de una Descomposición Polinómica. 12). en base 2 se tiene: 2 * 654 7 6.7 5.7 4 333 1 2a 1 2b 1 2c 1 2d 2 328 * Expresando a base 12 (duodecimal) Convirtiendo a base 2 la expresión: 3 33 12 24 27 12 93 24 2 84 3 9

El número es: 239 12  Rpta.

2328 0

2 1164 0

2 582 0

2 291 1

2 145 1

2 72 0

2 36 0

2 18 0

2 9 1

2 4 0

2 2 0

2 1

En la serie: 49; 56; 63; ……, 777 Cuántos términos

existen: a)111 d)14

2328 100100011000(2) por descomposición polinómica 2 328=211 28 24 23 Luego: 2a 2b 2c 2d 211 28 24 23 De donde: a 11, b 8 , c 4  y d 3 Piden: 11 8 4 3 26  Rpta.

49; 56; 63; ……, 777

 Solución: Se cumple: cifra base Entonces: 4 a b 7 Necesariamente: a 5 y b=6 De donde: a b  11  Rpta.

La razón de la sucesión es r=56 – 49=7 Utilizando la formula de conteo de términos u a n 1 r  Y reemplazando 777 49 n 1 7 728 n 1 7 n 104 1 n 105 105  Rpta.  Problema 08 Calcular a+b+c+d, si se cumple: 234(7) + 125(7) + 6243(7) +3040 (7) = abccd (7) a)10 b)8 c)9 d)11 e)12

 Problema 07 Hallar n + x, si; 245 (n) = 14x (11) a) 6 b) 7 d) 10

c) 8  Solución: e) 13

 Solución: Desarrollando por descomposición polinómica se tiene 245(n) 14x (11) 2n

c)15 e)105

 Solución:

 Problema 06 Si los númerales están correctamente escritos: 234 3  ; 2a3 b  ; bb2 7 Hallar (a+b). a) 8 b) 10 c) 11 d) 4 e) 20

2

b)104

2

4n 5 11 4 11 x 2n(n 2) 160 x

Tabulando valores para “n” y “x” se tiene que

234 (7) + 125 (7) 6243(7) 3040(7)

13005 (7) abccd (7)  a=1 ; b=3 ; c=0 y d=5 a b c d 9 9  Rpta.

n=8 y x=0 como pide hallar (n+x) n+x=8+0=8 8  Rpta.  Problema 07

 A. De base “ n ” a base “ 10 ” : 1. Realizar los respectivos:

siguientes

cambios

de

base

1204 (5)

: ………………………………..

 A4C (15)

: ………………………………..

11. Si:

14

14

 abc

14

 B. De base “ 10 ” a base “ m ” :

2410 5423

(8) : ………………………... (20) : ………………………...

C. De base “ n ” a base “ m ” : 1123(4)  ACA(13)

(9)

: ………………………..

3. Si : abc (5) a) 7 d) 11

47(8) , hallar "a + b + c " b) 8 c) 10 e) 4

4. Si : 120(9) abc (6) , hallar "a + b + c " a) 8 b) 5 c) 9 d) 12 e) 15

.

150 veces Hallar "a b c" . a) 7 d) 14

.

.

14

b) 10

c) 15 e) 5

12. Hallar "a b c d" ; Si : 12 17

(7) : ……………………….

 2. Si : abcc (4) 144 , hallar "a + b + c " a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

14



12 17 .

400 veces a) 14 d) 10

.

12

abcd

17

b) 11

13. Hallar (a+b+c+d) si: 24 35

a) 8 d) 13

c) 18 e) 16 abcd 42

56

b) 10

c) 11 e) 20

5. Si : abc3(n) a) 4 d) 5

232(5) , hallar "a + b + n " b) 6 c) 8 e) 9

14. En que sistema de numeración el numero de 511 se escribe con el mayor número de nueve cifras. a) 4 b) 15 c) 2 d) 24 e) 6

6. Si : 1131(6) a) 5 d) 6

2a4b(n) ,hallar "a + b + n " b) 7 c) 8 e) 11

15. Hallar la suma de las cifras de “n” , si:

7. Si : ab4 (5) 1a1(8) , hallar "a + b " a) 2 b) 6 d) 8

c) 5 e) 10

8. Si : abcd(5) c55(7) , hallar "a + b + c " a) 3 b) 7 c) 10 d) 14 e) 5 9. Si el numeral es capicúa. Hallar "a b c" (a 3)(b 2)c(a b)37 (12) a) 7 b) 10 c) 15 d) 8 e) 15 10. Transformar a base quinaria, el mayor número de tres cifras diferentes de la menor base existente que los pueda contener. a) 21(5) b) 33(5) c) 43(5)

d) 41(5)

e) 23(5)

20cifras

(n 1)(n 1).........(n 1)(n) 1 27 40 a) 9 b) 15 c) 18 d) 21 e) 20

16. Llevar a base nonal el siguiente número, contestar la suma de sus cifras: 40 cifras

a) 150 d) 80

22222................2222 (3) b) 160

c) 320 e) 90

17. Llevar a base binaria el siguiente número contestar la suma de sus cifras: 20 cifras

a) 50 d) 80

5555555................5555(8) b) 150

c) 100 e) 40

18. En cuantos sistemas de numeración 250 se escribe con tres cifras. a) 7 b) 9 c) 10

d) 11

e) 15

19. En cuantos sistemas de numeración 540 se escribe con cuatro cifras. a) 5 b) 8 c) 4 d) 3 e) 2

30. Cuantos números de tres cifras utilizan por lo menos una cifra 3 en su escritura en base 7. a) 114 b) 120 c) 150 d) 164 e) 184

31. Cuantos números existen de la siguiente forma: a(3a)b(4b)c (9)  20. Si tenemos pesas de 1 kg.; 4 kg.; 16 kg.; 64 kg.; a) 54 b) 84 c) 52 …, Cual será el mínimo número de pesas que se d) 64 e) 34 puedan utilizar para pesar 201 kg. a) 4 b) 5 c) 6 32. Cuantos números de cuatro cifras mayores que d) 7 e) 8 5000 se pueden formar con las cifras 0; 2; 3; 5; 8. a) 250 b) 154 c) 265  21. Llevar a base 12 el siguiente número y contestar d) 249 e) 255 la suma de sus cifras: 33. Cuantas cifras se han utilizado en hacer todos los F 24 126 15 125 20 123 15 números de 3 cifras que comiencen con la cifra a) 18 b) 19 c) 24 4, en base 11. d) 14 e) 22 a) 541 b) 363 c) 845  22. Llevar a base 20 el siguiente número y contestar d) 654 e) 333 la suma de sus cifras : F 80 20 6 90 20 5 35 204 18 20 3 60 34. Cuantas cifras se han utilizado en hacer todos los a) 47 b) 58 c) 55 números de 3 cifras que se puedan escribir con d) 84 e) 74 las cifras 0; 2; 5; 6 en base 8. a) 254 b) 354 c) 662 d) 144 e) 242  23. Cuantos números de cuatro cifras existen en base 35. Cuantas cifras se han utilizado en hacer la 9. numeración: 1; 2; 3; ……; 239. a) 5624 b) 5784 c) 5832 a) 609 b) 645 c) 684 d) 8452 e) 9999 d) 984 e) 519  24. Cuantos números de tres cifras existen en base 36. Cuantas cifras se han utilizado en hacer la senaria. numeración de un libro de 500 páginas. a) 152 b) 187 c) 164 a) 1540 b) 1645 c) 1542 d) 540 e) 180 d) 1392 e) 1654  25. Cuántos números capicúas de cuatro cifras 37. Cuantas cifras se han utilizado en hacer la existen en base octal. compaginación de un libro de 100 hojas. a) 48 b) 56 c) 84 a) 450 b) 492 c) 110 d) 64 e) 90 d) 542 e) 641  26. Cuantos números capicúas de 6 cifras hay en base heptal. 38. Cuantas páginas tiene un libro que utilizó 2244 a) 294 b) 654 c) 254 cifras en hacer su compaginación. d) 156 e) 240 a) 412 b) 645 c) 845  27. Cuantos números pares de tres cifras existen en d) 784 e) 945 base 6. 39. Cuantas cifras se han utilizado en hacer la a) 50 b) 90 c) 40 siguiente numeración: d) 150 e) 140 1(5) ; 2(5) ;3(5) ;....... ;112 (5) a) 54 b) 65 c) 68  28. Cuantos números de tres cifras pares existen en d) 100 e) 45 base 8. a) 74 b) 65 c) 45 d) 48 e) 58  29. Cuantos números de tres cifras utilizan por lo menos una cifra 4 en su escritura. a) 258 b) 465 c) 754 d) 900 e) 252

1. Se tiene el siguiente número:

14641333333(4) . Contestar cuantas cifras tiene éste número en base 64. a) 15 b) 8 c) 9 d) 11 e) 24

Siendo a; b; c y d diferentes entre si y a su vez diferentes de la unidad. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

 2. Cuantas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

el valor de 10. Determinar a b   si: aabb (a b)2 b 3  dar como respuesta la suma de las cifras de lo determinado. a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

3. Un número de tres cifras cuyas 2 últimas cifras son iguales es 16 veces la suma de sus cifras. Indicar la suma de sus cifras. a) 9 b) 5 c) 18 d) a y c e) 10

11. El doble de abcdef  es cdefab . Indique la suma de todos los valores que puede tomar “c”.

a) 15 d) 18

b) 16

c) 17 e) 19

4. Si un numeral capicua de 4 cifras es igual a 99  veces la suma de su cantidad entera de centenas y la unidad. Calcular la suma de cifras del numeral capicúa. a) 45 b) 18 c) 9 d) 36 e) 27

12. Si el numero enesimal 25ab   se expresa en el sistema heptanario como mn02 . Hallar (a+b+m). a) 6 b) 8 c) 12 d) 13 e) 14

5. Hallar un numero de tres cifras pares que sea igual a la suma de los seis numeros que se pueden formar con dichas tres cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 8 b) 10 c) 18 d) 14 e) 12

13. El numeral m2m(2m 1)(8)   en base (6) tiene cinco cifras. Hallar el valor de la ultima cifra que se obtiene en base 6. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 27

6. Un padre de familia da propina a sus 4 hijos según sus edades y observa que todos han recibido una cantidad mayor de S/. 10 y menor que S/. 100. El dinero recibido por cada uno es tal que pueda ser expresado usandose unicamente dos cifras. Sabiendo que la suma distribuida por el padre esta comprendida entre S/. 45 y S/. 85. Hallar la cantidad recibida por el mayor. a) 11 b) 22 c) 12 d) 15 e) 14 7. Si: abcd 2 ab cd . Calcular (a+b+c+d) a) 10 b) 15 c) 13 d) 18 e) 11 8. Si el numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras donde “n” indica el numero de sus soluciones. Hallar “n”.

a) 1 d) 4

b) 2

c) 3 e) 5

14. En la progresión aritmetica (n 1)mm(7);pqr (7);pq(r 3)(7);.....;mn2(7);m55 (7)

Se tiene que nm2(7)  es el termino central, calcule el número de terminos. a) 30 b) 31 c) 39 d) 36 e) 29 15. Las paginas de un libro se enumeran en base 6 se arrancan las primeras hojas siendo estas cuarta parte del total por lo cual se eliminaron 218 cifras ¿Cuántas cifras se utilizaron en las 109 últimas páginas? a) 225 b) 336 c) 436 d) 226 e) 416 16. Cuantos numerales de la siguiente forma a(a 2)(b 2)b  existen tal que el producto de las cifras centrales resulte ser un número par (“0” es

par) a) 64 d) 40

b) 56

9. Cuantos numeros de la forma abcd  cumplen las 17. Determinar el número de terminos de: siguientes condiciones: cde 73 74 75 2 2 25 ; 26 ; 27 ; . . . . ;ab * a d 2bc 77 * b c 2ad Sabiendo que: ab cde 234

c) 48 e) 36

a) 69 d) 94

b) 70

c) 80 e) 82

18. ¿Cuántas cifras se emplearon al escribir la sucesión? 10; 10; 12; 13; 14; 16; . . . ;x ;y Sabiendo que la suma de “x” y “y” es 120.

a) 42 d) 130

b) 84

c) 126 e) 70

19. ¿De cuantas maneras distintas podemos viajar de la ciudad “A” a la ciudad “F” sin regresar en

ningun momento?  A

B E F C

D a) 342 d) 360

b) 351

c) 135 e) 405

 20. ¿Cuantas cifras se emplearon para escribir todos los numeros capicúas entre 70 y 2004? a) 101 b) 104 c) 270 d) 296 e) 320  21. Hallar la base del mayor número de 20 cifras equivalente a 999 . . . 99 que tiene 100 cifras. a) 106 b) 104 c) 105 d) 103 e) 102

4. Hallar un numeral capicúa de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes. Contestar la suma de sus cifras. a) 6 b) 10 c) 14 d) 8 e) 15 5. Cuantos ceros inútiles se han escrito desde 0001, hasta 1000. a) 1154 b) 1544 c) 1650 d) 1107 e) 420 6. Hallar la base del sistema de numeración en el que 41; 46 y 54, están en progresión aritmética. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. En que sistema de numeración existen 448 números de tres cifras. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 8. En que sistema de numeración se utilizaron 900 cifras en escribir todos los números capicúas de 5 cifras. a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 6 9. Determinar (a+b), si para escribir todos los números enteros desde 1ab   hasta ab2 , se han empleado 1ab1  cifras. a) 13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 10 10. Hallar "a b c d" ; Si : 1n

1n



1n

1n

100 veces a) 4 d) 8 1. Hallar “a” si: a24 (5) 1a1(8) a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5  2. Llevar el menor número de tres cifras diferentes de base 6 a base 8. a) 54 (8) b) 46(8) c) 34 (8)

d) 44 (8) 3. Hallar “a+b”, si: 3a8(12) 73b(8) a) 5 b) 7 d) 11

e) 12(8) c) 9 e) 13

.

.

1n

b) 5

810

1n

c) 15 e) 11

11. Al enumerar un libro por páginas se utilizan 269 tipos más que numerándolo por hojas. Cuantas páginas tiene el libro? a) 92 b) 98 c) 196 d) 184 e) 368 12. Cuantos números de cuatro cifras en base quinaria se pueden escribir con las cifras 0; 2; 4; 6 y 8. a) 500 b) 54 c) 154 d) 562 e) 400 13. En que sistema de numeración, cuya base es par, existen 72 numerales de la forma.

a

a) 12 d) 20

a b b 2 2 b) 22

 23. Si

aa aa

c) 18 e) 16

14. En que base el mayor número de 40 cifras de base 5 es igual al mayor número de 20 cifras. a) 10 b) 24 c) 35 d) 25 e) 15 15. Calcular ( a+b+n ) en : 1105(n) aba (7) a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 16. Si 4(b 1)3(6) a) 1 d) 4

94 . Hallar “a”

aa

bbb4 (n) . Cual es el valor “ b” b) 2 c) 3 e)5

a) 1 d) 4

b) 2

c) 3 e) 5

 24. Cuantos tipos de imprenta se utilizaron en la numeración de un libro de 248 hojas. a) 823 b) 2540 c) 636 d) 200 e) 1380  25. La suma de los términos de una sustracción es 450 y el sustraendo es la quinta parte del minuendo. ¿Hallar la diferencia? a) 120 b) 360 c) 45 d) 180 e) 225  26. Hallar la suma de los complementos aritméticos de los primeros 20 números impares naturales. a) 895 b) 2340 c) 1150 d) 3520 e) 600

17. Si se cumple que : ababab(n) 707(8) , calcular  27. ¿En que sistema de numeración existen 3584 (a+b+n). numerales capicúas de 7 cifras? a) 5 b) 6 c) 7 a)6 b)9 c)10 d) 8 e) 9 d)7 e)8 18. Calcular ( x+y ) si se cumple: 333(n9) 2xy (2n) .  28. Hallar la suma de las cifras del numeral: 80 cifras a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 3 3 3 . . . . 3 3 3(27)  en base ternaria. a)82 b)81 c)80 19. En el país de fharytméticalandia sólo existen d)79 e)322 monedas de 1; 4; 16; 64; . . . unidades monetarias. Cual será el menor número de monedas a utilizarse si se quiere tener 2500  29. Cual es la suma de las cifras del numeral: 30 cifras unidades monetarias en el bolsillo? a) 7 b) 8 c) 9 111.....111(2)  en base octal. d) 10 e) 11 a)20 b)21 c)70 d)75 e)84  20. El menor número de 4 cifras de base “n” excede al mayor número de dos cifras de dicha base en 30. Se tiene que pagar S/.360 pero solo se tienen 449. Hallar “n”. monedas múltiplos de S/.1; S/.5; S/.25 y S/.125. a) 6 b) 7 c) 8 Cual es la menor cantidad de mondas a utilizar. d) 9 e) 5 a)5 b)7 c)8 d)10 e)4  21. Si los siguientes números son diferentes de cero: 10x (4) ; 2bc (x) ; bb (c) Determinar (x . b . c) 31. Si se cumple: 458(m) 284 (n) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7 460(m) 288(n) Determinar (m+n)  22. ¿Cuántos numerales capicúas de tres cifras del a)20 b)28  c)24 sistema decimal se escriben como otro capicúa d)26 e)30 de tres cifras en el sistema heptal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

 RAZONES Y PROPORCIONES 1.  2. 3. 4.

b d a d

5. 6. 7. 8.

a e e d

9. 10. 11. 12.

e b b d

13. 14. 15. 16.

c 17. c 18. a 19. d  20.

a b e d

21. 22. 23. 24.

c a d b

 25.  26.  27.  28.

e a b c

29. 30. 31. 32.

c a e d

b d d b

21. 22. 23. 24.

c c b e

 25.  26.  27.  28.

b c b c

33. a

 PROMEDIOS 1.  2. 3. 4.

b a b e

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

b d a c

c b e a

13. 14. 15. 16.

b 17. c 18. e 19. a  20.

 MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL 1.  2. 3. 4.

c b b b

5. 6. 7. 8.

c b c d

9. 10. 11. 12.

a d c e

13. 14. 15. 16.

c 17. c 18. e 19. d  20.

a a e d

21. 22. 23. 24.

e  25. c b  26. a a  27. c c

 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA 1.  2. 3. 4.

b e c d

5. 6. 7. 8.

e a e a

9. 10. 11. 12.

a a a d

13. 14. 15. 16.

e 17. a 18. e 19. b  20.

b a d c

21. 22. 23. 24.

c e b b

 25.  26.  27.  28.

d e b a

29. e 30. b

e a c d

29. 30. 31. 32.

a c d a

33. 34. 35. 36.

c e d c

21. 22. 23. 24.

d c c b

a b b e

 25.  26.  27.  28.

d c e c

 REGLA DE INTERES 1.  2. 3. 4.

b b c d

5. 6. 7. 8.

c d c c

9. 10. 11. 12.

b d a b

13. 14. 15. 16.

b 17. e 18. e 19. c  20.

a d a d

21. 22. 23. 24.

b b d d

 25.  26.  27.  28.

d a b c

 REGLA DE DESCUENTO 1.  2. 3. 4.

d b a a

5. 6. 7. 8.

a c b c

9. 10. 11. 12.

d d a c

13. 14. 15. 16.

b 17. a 18. d 19. d  20.

 NUMERACIÓN 1.  2. 3. 4.

b b b d

5. 6. 7. 8.

d c d e

9. 10. 11. 12.

a d d b

13. 14. 15. 16.

c 17. d 18. b 19. a  20.

b e a c

21. 22. 23. 24.

29. c 30. c 31. b

M I RAF L ORES SCH OOL Siempre los pri meros Dejando huella.

37. 38. 39. 40.

c c c a