ÁREAS CIRCULARES 1. CONC CONCEPT EPTO O
Donde: L : Lon Longi gitu tud d de de arc arco. o. R : Radio.
Entiéndase por áreas circulares al área de un círculo, de un sector circular y de un trapecio circular.
: Ángulo central en en radianes. radianes.
S : Área Área del sector sector circul circular. ar.
2. ÁREA REA DEL DEL CÍRC CÍRCUL ULO O ( AC AC ) Se denomina círculo a la región sombreada en la figura. La distancia constante desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se le denomina radio. Circunferencia
5. ÁREA DEL TRAPECIO TRAPECIO CIRCULAR CIRCULAR Se denomina trapecio circular a la región sombreada en la figura.
Círculo
O
D
R
rad
O
l AT.C.
C R-r
Luego: AC = R2
= 2R
AT.C =
3. ÁREA ÁREA DE LA CORONA CORONA CIRCU CIRCULAR LAR ( ACC ) Es aquella región obtenida por la diferencia de las áreas de dos círculos, tal como se muestra en la figura. Donde: r
R : Radio del círculo círculo mayor. r : Radio del círculo menor.
O
AT.C =
(R
2
2
r
)
2 (L l )(R r ) 2
Donde: AT.C : Área del trapecio circular. L : Long Longit itud ud del del arco arco may mayor. or. l : Lo Longitud de del ar arco me menor. : Ángulo central en radianes.
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Calcula Calcula el área sombreada: sombreada:
Entonces: Área de la corona circular
Acc
=
Área del círculo mayor
2
=
R
–
Área del círculo menor
2
2
r
Solución: ∴
En la la figura: figura:
Acc = π(R2 – r 2)
4. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR Es aquella porción del círculo tal como se muestra en la región sombreada. En general:
Sx = S Sx =
O
S
rad
R B
L=
R
S=
L .R 2
L
S=
R
2
2 L2 S= 2
- S
2x2 2
A
R
B
En general general::
Donde: Ac : Área del círculo. L : Longitud de la circunferencia. R : Radio. Centr tro o del del círc círcul ulo. o. O : Cen
R
L
22 4 2
x
Sx = 2 - π /2
2) En la figura, calcula: “L1 + L2 + L3”, si AO = OB = 18
5) Calcula el área del sector. A
6
A
L2
O
12
L1 B
6
L3
12 15
S= Lx R
30
O
2
6
S = 12 x 6 2
Solución:
L1 = 15 x /180 x 12 = L2 = 60 x /180 x 18 = 6 L3 = 30 x /180 x 6 =
S = 36π
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02 NIVEL I
L1 + L2 + L3 = 8π
1).- Halla la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 60° y el radio 12m. a) 2m
3) Calcula “L” en:
b) 4m
c) 6m
L 72
80°
A
Solución:
b) 3m
c) 5m
a) 12m
L = 6π
b) 13m
e) 8m
c) 14m
d) 16m
e) 19m
4).- En la figura, si 2OA = AD Calcula:
L 2 L1 L 2 L1
4) Calcula “” en:
D
A
3 4
L2
L1
O
5
B
C
3
a) 1
Solución: Por propiedad:
θ
d) 6m
3).- Halla la longitud de una circunferencia si el ángulo central de 1rad subtiende un arco de longitud 6m.
Luego: L = /12 x 72
C
O
a) m
Se sabe : L = R = 15° x /180 = /12
e) 12m
B
15°
d) 8m
2).- En la figura, halla la longitud del arco BC, si AC=18m.
72
B
Solución:
= 54
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
5).- En el gráfico, halla la longitud del arco AB, si AC=6m. B
3
= 1/3 A
a) m
O
b) 2m
c) 3m
C
d) 4m e) 5m
6).- Halla la longitud del arco de un sector circular de ángulo central 45°, sabiendo que la longitud de la circunferencia es 600m. a) 75m
b) 60m
c) 120m
d) 65m
13).- Calcula si 2L1 = 3L2 L1
e) 80m L2
7).- En el gráfico mostrado. Halla la longitud del arco BC. O
A
2m
Rad
B
3m
2m
O
a) /2
2m D
a) 3m
b) 4m
3m
c) 5m
C
d) 6m
c) /4
D
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 4/3 e) 5/3
e) /6
3
4
2
Rad
O
3
B 2 3
15).- Calcula: 4
A
b) 2m
xy xy
E
O
a) m
d) /5
14).- En los sectores circulares mostrados, halla: .
e) 8m
8).- En la figura, halla la longitud del arco BC si AE = 20m. C
b) /3
c) 4m
d) 6m e) 8m
9).- Halla: “” si L2 = 5L1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
x 4
3
O
y
L2
NIVEL II 1).- Determina la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radio mide (6x)m; sabiendo además que el perímetro de este sector es de 110m.
L1 rad
O
a) /3
b) /4
10).- Calcula: a) 3 b) 3/5 c) 8 d) 5 e) 5/3
c) /5
d) /6
e) /8
L1 L 2 L2 L3
L1
O
L2
L3
c) 40m
d) 50m
e) 60m
2).- Si a un sector circular se le duplica el ángulo central y a su radio se le disminuye en 3m, se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual a la mitad de la longitud del arco inicial; determina el radio del nuevo sector. a) 5m
b) 4m
c) 3m
d) 2m
e) 1m
3).- Determina el valor de “L” en el esquema
11).- De la figura, calcula “x” : x
a) 2/5 b) 5/2 c) 1 d) 3 e) 6
a) 20m b) 30m
O
1 Rad
5
2 x
a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
C 14
2 B
L 3 4
A r O
12).- Calcula la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud de los arcos AB y CD miden D 2 y 5. a) A b) 2 c) 3 5 1Rad 2 d) 4 O e) 5 B C
mostrado.
D 3
E 2
F
4).- Si a un sector circular, se le triplica el radio y a su ángulo central se le disminuye en 36°; se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al doble de la longitud del arco inicial; determina la longitud del nuevo ángulo central. a) /10 rad d) 3/5 rad
b) /5 rad c) 2/5 rad e) 3/10 rad
5).- Determina el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.
12).- Determina el valor de “” en el esquema mostrado.
A
a) 2 u2 b) 3u2 c)
C
a) /2 b) /3
4 u2
3a
A
L
c) /4
d) 5 u2 O
e) 6 u2
H
B
3
M
a) b) 200 m2 c) 300 m2 d) 400 m2 e) 500 m
540m 2
2a
d) /5
6).- Del esquema mostrado, calcula el valor de “A”. 100m2
5L
B
N
rad
e) /6
D
O
13).- Si a un sector circular se le duplica el ángulo central y a su radio se le reduce en 3m, se obtendrá un nuevo sector cuya área es la mitad que la del área del sector inicial, determina el radio del sector inicial.
3xg A 2x°
O
a) 2m
P
7).- Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces el área del sector inicial; determina el radio del sector resultante. a) 1m
b) 3m
c) 5m
d) 7m
e) 9m
b) 3m
c) 4m
d) 5m
e) 6m
14).- En el esquema mostrado, determina el valor de “”, si las áreas de los sectores AOB y COD son iguales. a) /3 C b) /4 c) /5 B
8).- En la figura mostrada, se pide calcular “(A/B) si se tienen que el área del sector BOC, es igual al área del sector DOF. E
B
A
D
O
3
a) 16u2
B
B
b) 12 u2
C A
rad
e) /10
15).- En el esquema mostrado, determina el área de la región sombreada. C
D
A
d) /6
O
F
G
5
c) 18 u2
4
d) 22 u2 a) 6/5 d) 12/5
b) 8/5
c) 9/10
e) 24 u2
O
A
3
D
e) 16/5
10).- En el esquema mostrado, se tiene que L1 – L2 = 4/5m ; determina el valor de “x”. a) /2 m
L2
C
CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I
x
A
b) m c) 3/2 m
D
5
d) 2m
L1
3
e) 5/2m
B
O
11).- Del esquema mostrado, determina el valor de “L”.
1) b
2) c
3) a
4) b
5) b
6) a
7) c
8) b
9) d
10)b
11)d
12)c
13)c
14)b
15)e
NIVEL II
E
a) 5
C
b) 4
A
c) 3 d) 2 e) 1
L
3 O
B
D
7
F
1)d
2)e
3)d
4)c
5)e
6)d
7)d
8)d
10)d
11)a
12)b
13)e
14)c
15)e
