PERMUTACIONES CIRCULARES(1)

PPEER CIIR RM MU UTTA AC CIIO ON NEESS C RC CU ULLA AR REESS..

una permutación circular de n objetos distintos de orden r, r

n, es una

colocación ordenada de r de los n objetos en r posiciones igualmente espaciados sobre la circunferencia. Consideramos dos permutaciones iguales cuando puede ser obtenida una de la otra mediante una una rotación apropiada de la circunferencia alrededor de su centro. El número número de permutaciones circulares de n objetos distintos de orden orden r, r n es: PCnr

=

( C ) ( r − 1 )! r  n

i

# Dado que si se eligen primero r objetos y se colocan en r posiciones distintas sobre una circunferencia. Este proceso se puede llevar a cabo de C nr   formas. Supongamos que los objetos colocados son a 1 , a 2 , ... , a r . De la definición de igualdad de permutaciones circulares de orden r, podemos fijar la posición para el primer objeto; luego sólo hay una forma para elegir una posición para a 1 . Después de haber hecho esta elección hay que elegir posición para los r-1 objetos restantes. Pero esto equivale a formar una selección de r-1 objetos distintos y dicho proceso se puede llevar a cabo de (r-1)! Formas. Luego el número total de permutaciones circulares de orden r de n objetos distintos es r

PCn

=

( C ) ( r − 1 )! r  n

i

Una permutación circular de n objetos distintos de orden orden n se denominará PERMUTACIÓN CIRCULAR DE n OBJETOS Y su número de permutaciones  .

vendrá dado por: n

PCn

=

( C ) ( n − 1)! = ( n − 1)! n n

i

# Ejemplo: ¿De cuántas formas pueden colocarse cinco mujeres y cinco hombres alrededor de una mesa circular si se quiere que no haya dos personas del mismo sexo contiguas? Consideramoss que el primer hombre está sentado, el resto se tiene que sentar en Consideramo  posiciones alternadas, alternadas, pero esto es equivalent equivalentee a realizar una permutación circular de cinco objetos y se puede llevar a cabo de 5

PC5

=

( C  ) ( 5 − 1)! = 4! = 24 5 5

i

 formas. Después de haberse llevado a cabo este primer proceso se tienen que colocar las cinco mujeres en los lugares vacíos y esto se puede realizar de 5! Formas. Luego, el número total de formas distintas de sentarse es (4!).(5!)=288