SISTEMA ISOMÉTRICO O CÚBICO Comprende todas las formas que se pueden ubicar en un sistema de tres ejes perpendiculares entre sí y con la misma unidad de medida. .Cruz axial del
Sistema Cúbico o Isométrico
Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Cuatro ejes de orden 3 con una inclinación de 54º 44’ de los ejes cristalográficos
a1= a2= a3 α=β=γ=90º
Tabla 1: Cruz axial del Sistema cúbico. El eje a 1, es horizontal y está orientado de adelante hacia atrás, el eje a 2 es horizontal de derecha a izquierda y el eje a 3 es vertical. El ángulo alfa (α) es opuesto al eje a1, el beta (β) es opuesto al eje a2, el gama (γ) es opuesto al eje a 3 y se cortan con un águlo igual a 90º
Hay cinco clases de simetría, de las cuales se llama holoédrica o normal a la que posee el mayor número de elementos de simetría. Es la clase hexaoctaédrica (4/m 32/m), perteneciente al grupo punto (GP) nº 32 con los siguientes elementos de simetría: i, 3E 4, 4E 3, 6E2, 9m. Además de esta clase, desarrollaremos en este curso, las clases: hexatetraédrica 4 3m (GP 31) y diploédrica 2/m 3 ( GP 29), por ser la asignatura de Mineralogía de régimen cuatrimestral. El resto de las clases de simetría pueden verse en el cuadro1 explicativo y en la Tabla 2
Sistem tema Cúb Cúbico Clas asee cristalina Clases de simetría o GRUPOS GRUPOS PUNTOS PUNTOS del Sistema Cúbico o Isométrico:
Nº
23 2/m 3 432 4 3m
28 29 30 31 4/m 3 2/m 32
Nombre Tetartoédrica Diploédrica Giroédrica Hexatetraédrica Hexaoctaédrica
Contenido de los elementos de simetría
3E2, 4E3 i, 3E2, 4E 3, 3m 3E4, 4E3, 6E2 3E4, 4E3, 6m
(se definen por la combinación de los i, 3E4, 4E 3, 6E2, 9m elementos de simetría Tabla 2: Clases de simetría o grupos puntos del sistema cúbico. Símbolos Hermann-Mauguin y elementos de Simetría
Figura 1(a) Proyección estereográfica de los ejes cristalográficos del Sistema Cúbico y elementos de simetría de la Clase Hexaoctaédrica (4/m 3 2/m) y (b) proyección estereográfica de los polos de las caras caras cristalinas situadas en el hemisferio norte representadas con una cruz y un círculo para las caras que ubicadas en el polo sur de las formas: cubo {100}, octaedro {111} y rombododecaedro {110}, perteneciente al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica.
Clase hexaoctaédri hexaoctaédrica ca (4/m 3 2/m)
Está constituida por los siguientes elementos de simetría que la definen:
Ejes de simetría:
3E4 = Los tres ejes de orden 4 (tetragira) coinciden con los ejes cristalográficos (a1 a2 a3) y son perpendiculares a los planos principales y/o axiales. (giroide de inversión) bisectan bisectan octantes opuestos opuestos 4E 3 = Los cuatro ejes 3 (giroide 6E2 = Los seis ejes de orden 2 (digira) son perpendiculares a los planos secundarios.
Planos de simetría:
3m = De los tres planos principales cada uno contienen a los ejes cristalográficos de a dos y son perpendicular perpendicular al tercero. Por lo tanto son perpendiculares a los ejes de orden 4 (tetragiras). Es por ello la fórmula 4/m. 6m” = Los seis planos diagonales secundarios, dividen en puntos iguales a los ángulos que forman los planos principales y son perpendiculares a cada uno de los ejes de orden 2 (digira), completando la fórmula 2/m 18
Centro de simetría: i =Todas las clases cristalinas que posean un eje de simetría par, perpendicular a un
plano tienen un centro de simetría. Esta hipótesis se ve reforzada en esta clase por tener un giroide de inversión 3, resultante de la combinación de un centro de simetría con un eje de orden tres. Formas: 1 ) C ub u b o o h ex ex ae ae d ro r o {100}: Forma simple de seis caras cuadradas e iguales que forman
ángulos de 90º. Cada una corta un eje cristalográfico y es paralela a los otros. (Fig.2 y cuadro 1).
(g)
Fig. 2:a) Orientación de los tres ejes cristalográficos (a1, ,a2 y a3) en el cubo, índices de Miller de las caras positivas; b) Los tres planos de simetría principales o axiales (3m) que contienen a dos ejes cristalográfico y son perpendicular al tercero, los ejes cristalográficos coinciden con los ejes de orden cuatro o tetragiras E 4 c) los seis planos planos secundarios, secundarios, d) los tres ejes ejes de orden orden 4 o tetragiras tetragiras,, los 4 ejes ejes de giro inversión inversión – trigiroidetrigiroide- y los 6 ejes de orden dos o digiras; g: a) cubo {100} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a 1, ,a 2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales y (b) Proyección estereográfica de los seis polos de las caras del cubo {100}.
2. Octaedro {111}: Forma simple de ocho caras triangulares equiláteras cada una de las cuales corta por igual a los tres ejes cristalográficos (Fig. 3 y cuadro 1)
Fig. 3: a) octaedro {111} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a1, ,a , a2 y a 3) y los índices de Miller de las caras frontales y b) Proyección estereográfica de los ocho polo de las caras.
19
3. Rombododecaedro {110}: Forma simple de doce caras con forma de rombo que cortan a dos ejes cristalográficos a igual distancia y es paralelo al tercero. (Fig. 4 y cuadro 1)
Fig. 4: a) rombododecaedro {110} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a 1, ,a 2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales; b) Proyección estereográfica de los doce polo de las caras.
4. Tetrahexaedro {hk0}: Forma simple de veinticuatro caras triangulares isósceles cada una de las cuales corta a un eje a la distancia unidad y al segundo en algún múltiplo y es paralela al tercero. Cuatro de estas caras ocupan la posición de la cara del cubo, llamado en algunos libros cubo tetrafacetado. Al variar la relación de las intercepciones con los ejes (410), (310), (210), pueden haber un gran número de tetrahexaedro (Fig. 5 y cuadro 1)
Fig. 5: a) tetrahexaedro {hk0} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a 1, ,a2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales; b) Proyección estereográfica de los veinticuatro polo de las caras .
5. Trisoctaedro {hhl}: Forma simple de veinticuatro caras triangulares isósceles, cada una de las cuales corta a dos de los ejes cristalográficos a la unidad y al tercero a distancia múltiplo, la más común es la {221}. Tres caras ocupan la posición del octaedro, llamado en algunos libros octaedro trigonal (Fig.6 y cuadro 1)
Fig. 6: a) trisoctaedro {hhl} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a1, ,a2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales; b) Proyección estereográfica de las veinticuatro caras triángulos isósceles o polo de las caras.
20
6. Trapezoedro {hll}: Forma simple de veinticuatro caras trapezoidales, cada una de las cuales corta a uno de los ejes cristalográficos a distancia unidad y a los otros dos a distancias múltiples iguales. Tres caras ocupan la posición del octaedro, llamado en algunos libros, octaedro trapezoidal (Fig. 7 y cuadro 1)
Fig. 7: a) trapezoedro {hll} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a1, ,a2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales; b) Proyección estereográfica de las veinticuatro caras trapezoidales o polo de las caras.
7. Hexaoctaedro {hkl}: Es la forma general de la clase. Forma simple de cuarenta y ocho caras triangulares escalenas, cada una de las cuales corta a los tres ejes cristalográficos a diferentes distancias. Seis caras ocupan la posición de una de octaedro. Es una forma rara (Fig.8 y cuadro 1).
Fig. 8: a) hexaoctaedro {hkl} con la ubicación de los tres ejes cristalográficos (a 1, ,a2 y a3) y los índices de Miller de las caras frontales, del primer cuadrante; b) Proyección estereográfica de las cuarenta y ocho caras triángulos escalenos o polo de las caras.
Com bin acio nes d e form as de la clase h exaoc taé dri ca:
Las figuras representan combinaciones del cubo y octaedro, cubo y rombododecaedro. Se dice generalmente que está modificado por las caras de las otras formas.
Fig. 9: Algunos ejemplos de formas simples y combinadas de la clase hexaoctaédrica (4/m 3 2/m).
21
Clase diploédrica ó “piritoédrica” (2/m 3) Está constituida por los siguientes elementos de simetría que la definen (Fig. 10): Ejes de simetría:
3E2 = Los tres ejes de orden 2 (digira) que coinciden con los ejes cristalográficos y son perpendiculares a los planos “m”. 4E 3 = Los cuatro ejes 3 (giroide de inversión) bisectan octantes opuestos Planos de simetría:
3m = De los tres planos de simetría cada uno contienen a los ejes cristalográficos de a dos y son perpendicular al tercero. Por lo tanto son perpendiculares a los ejes de orden 2 (digiras). Es por ello la fórmula 2/m. Centro de simetría: posee un centro de simetría “i”
Fig. 10: a) Elementos de simetría de la clase diploédrica (2/m 3) y b) Proyección estereográfica de los elementos de simetría.
Dos form as nuevas aparecen en esta clase o “grupo p unto ” únicamente : 1) el piritoedro {hk0}
positivo y el negativo {0kl}, correspondiente a la forma nº 4 en la proyección de los dominios y 2) el diploedro positivo {hkl} y negativo {khl}, es la forma nº 7, de esta clase. Las condiciones de simetría determinan dos series de formas correlacionadas: una positiva y otra negativa a partir del tetrahexaedro, forma nº 4 de la clase hexaoctaédrica, deriva el piritoedro positivo y negativo y del hexaoctaedro, forma nº 7 4 de la clase hexaoctaédrica, deriva el diploedro positivo y negativo. Las restantes 5 formas conservan su desarrollo geométrico.
Fig. 11: a) Los 24 dominios del piritoedro y diploedro positivo y b) Los 24 dominios del piritoedro y diploedro negativo.
22
Piritoedro {hk0}: Denominado así porque la pirita (FeS2) cristaliza en esta forma. Tiene doce
caras pentagonales, pero con una arista de mayor longitud que las otras cuatro. Cortan a dos ejes y es paralelo al tercero. El símbolo general es {hk0} igual al tetrahexaedro de la clase normal y de la cual deriva (Fig. 12 a, b, c y cuadro del Sistema Cúbico).
Fig. 12 a) piritoedro positivo (+) y la proyección estereográfica de los polos de las caras; b) piritoedro negativo (-) y su correspondiente proyección estereográfica; c) tetrahexaedro con las caras sombreadas indicando la relación entre el tetrahexaedro y el piritoedro.
Existen dos formas, una positiva {hk0} y negativa {kh0}. Ambos piritoedros juntos abarcan 24 caras semejantes del tetrahexaedro (indicada por el sombreado) se extienden para formar las caras del piritoedro. 1.
Dip lo ed ro {h k l}: 24 caras trapezoidales agrupadas de a pares y que cortan a los tres ejes.
Deriva del hexaoctaedro, y tiene forma positiva {hkl} y negativa {khl} (Fig. 14 a).
Fig. 13: a) diploedro positivo y la proyección estereográfica de los polos de sus veinticuatro (24) caras y b) diploedro negativo y la proyección estereográfica de los polos de sus veinticuatro (24) caras
23
Fig. 14: a) Diploedro negativo {khl} con los índices de Miller y b) cubo {100} con estriaciones que se presentan en el mineral pirita , donde se puede observar que dichas estriaciones responden a la simetría de la clase diploédrica (2/m 3), a pesar de presentar la forma aparente externa de otras clases.
Otras Formas:
Se repiten las otras formas {100}, {111}, {110}, , {hhl} y {hll}, aunque presente la misma forma geométrica, su estructura molecular es distinta y responde a la simetría de esta clase. Por ejemplo, los cubos de pirita a veces suelen presentar estriaciones paralelas a las aristas alternadas. Es decir, que el cristal ofrece una simetría binaria coincidente con el giro según sus ejes cristalográficos (Cuadro del Sistema Cúbico, Clase DIPLOÉDRICA). Cl as e Hex ate tr aé d ri c a 4 3 m
Está constituida por los siguientes elementos de simetría que la definen. Ejes de simetría:
3E 4 = Los tres ejes de orden 4 (giroides de inversión “tetragiroides”) coinciden con los ejes cristalográficos (a1, a2 y a3). 4E3= Los cuatro ejes 3 (trigiras) bisectan octantes opuestos, salen por lo vértices. Planos de simetría: 6m = Los seis planos son diagonales y dividen en partes iguales a las caras triangulares equiláteras.
Fig. 15: a) Elementos de simetría de la clase hexatetraédrica 4 3 m y b) proyección estereográfica de los elementos de simetría.
Form as n uev as y caract erístic as d e esta c lase d e sim etría:
”: 1) el tetraedro {111} Cuatro formas n uevas aparecen en esta clase o “grup o p unto
positivo y el negativo {1¯11}, correspondiente a la forma nº 2 en la proyección de los dominios, el piritoedro {hk0} positivo y el negativo {0kl} “forma nº 4”,el deltoedro positivo {hhl} y el deltoedro negativo {h¯hl} “forma nº 5”, el tristetraedro positivo {hll} y negativo {h¯ll} “forma nº 6” y el hexatetraedro positivo {hkl}, el hexatetraedro negativo {h¯kl} , ambos representan a las formas nº 7 de esta clase. Las condiciones de simetría determinan cuatro series de formas correlacionadas: una positiva y otra negativa a partir del octaedro “forma nº 2” , del tetrahexaedro “forma nº 4” , del 24
trisoctaedro “forma nº 5” y del hexaoctaedro “forma nº 7” de la clase hexaoctaédrica, derivan el
tetraedro positivo y negativo; el piritoedro positivo y negativo; el deltoedro positivo y negativo y el hexatetraedro positivo y negativo, respectivamente. Las restantes 2 formas: el cubo {100} y el rombododecaedro {110} conservan su desarrollo geométrico.
Fig. 16:a) Los 24 dominios de las formas positivas y b) los restantes 24 dominios de las formas negativas.
Tetraedro (111) :Forma simple de cuatro caras triangulares equiláteras que cortan a los tres ejes
cristalográficos a la misma distancia. En la Fig. 17 c se muestra su relación con el octaedro y del cual deriva. Hay dos tetraedros, uno positivo y otro negativo, con distinta orientación molecular que se determina por figuras de corrosión o fenómeno de piroelectricidad, Fig. 17 a, b, c y d. Si ambos tetraedros están presentes resulta la forma de la Fig.17 c. Esta es geométricamente un octaedro cuando las dos formas están igualmente desarrolladas, pero cristalográficamente siempre es sólo una combinación de dos formas desiguales, los tetraedros positivos y negativos.
Fig. 17: (a) tetraedro positivo {111}, (b) Tetraedro negativo {1 1 1}, (c) relación del octaedro y tetraedro y (d) combinación del tetraedro (+) y del negativo (-). Con las respectivas proyecciones estereográficas de los polos de las caras.
25
Deltoedro {h hl} ó “tristetraedro tetragonal”:
Deriva del trisoctaedro trigonal, formando 12 caras deltoides. Hay dos formas; positivo y negativo. (Fig. 18 a y b)
Fig. 18: (a) deltoedro + {hhl} y (b) deltoedro negativo -, cada uno con sus respectivas proyecciones estereográficas.
Tristetraedro {hll} ó “tristetraedro trigonal”:
Deriva del trapezoedro. Está formado por doce caras triangulares isósceles. Posee dos formas simples: positiva y negativa. (Fig. 19 a y b).
Fig. 19: a) El tristetraedro positivo y la proyección estereográfica de los 12 polos de sus caras y b) El tristetraedro negativo y la proyección estereográfica de los 12 polos de sus caras.
Hexatetraedro {h kl}:
Es el que da nombre a la clase. Formado por 24 caras triangulares escalenas, con formas positiva y negativa. (Fig. 20 a y b).
26
Fig. 20: a) El hexatetraedro positivo y la proyección estereográfica de los 24 polos de sus caras y b) el hexatetraedro negativo y la proyección estereográfica de los 24 polos de sus caras.
Otras formas: Las formas restantes {100}, {110} y {hk0} se repiten pero conservando la simetría de la nueva clase. Como ejemplo, un cubo se vería estriado como muestra la figura 21 b y Cuadro del Sistema Cúbico, Clase HEXATETRAÉDICA.
Fig. 21: a) Hexatetraedro y b) cubo con simetría de la clase hexatetraédrica
43m
27
28
SISTEMA TETRAGONAL Incluyen a todas las formas que se pueden ubicar en tres ejes perpendiculares entre sí, los dos horizontales con la misma unidad de medida e intercambiables; y el tercero vertical más largo a más corto. Los ejes horizontales se denominan a1 y a2, y el vertical c . (Tabla l)
Cruz axial del Sistema tetragonal a1=a2#c Agrupa a todas las clases de simetría que α=β=γ=90º posean: Un eje de orden 4 c> o < a 1 y a2. La longitud de los ejes horizontales se toma como unidad
Tabla 1: cruz axial del sistema tetragonal. El eje a 1, es horizontal y está orientado de adelante hacia atrás, el eje a 2 es horizontal de derecha a izquierda y el eje c es vertical. El ángulo alfa (α) es opuesto al eje a1, el beta (β) es opuesto al eje a2, el gama (γ) es opuesto al eje c y se cortan con un águlo recto (90º)
Comprende siete clases de simetría, de la cual vamos a analizar únicamente la clase Ditetragonal bipiramidal .
Sistema
TETRAGONAL Las 7clases de SIMETRÍA o
GRUPOS PUNTOS
del Sistema TETRAGONAL: (se definen por la combinación de los elementos de simetría)
Las 7 clases cristalinas (símbolos Hermann-Mauguin)
Nº
Nombre
4 4 4/m 422 4mm 42m 4/m 2/m 2/m
9 10 11 12 13 14 15
Tetragonal piramidal Tetragonal biesfenoídica Tetragonal bipiramidal Tetragonal trapezoédrica Ditetragonal piramidal Tetragonal escalenoédrica Ditetragonal bipiramidal
Contenido de los elementos de simetría
1E4 1E 4 i, 1E4, 1m 1E4, 4E2 1E4, 4m 1E 4, 2E2, 2m i, 1E4, 4E2, 5m
Tabla 2: Las siete clases del Sistema tetragonal. Símbolos Hermann-Mauguin y elementos de Simetría: E = eje de simetría, el subíndice indica el nº de repetición del eje; m =plano de simetría y i = centro de simetría.
Clase Ditetragonal bipiramidal (4/m 2/m 2/m) 1.- Simetría. 1E4, 4E2, 5m, i. Tiene un eje de simetría de orden cuatro o tetragira que coincide con el eje c. Cuatro ejes de orden 2 o digiras, dos de los cuales coinciden con los ejes cristalográficos a 1 y a2 , y los otros dos son ejes diagonales sobre la horizontal. Un plano de simetría (m) perpendicular al eje E4, dos planos perpendiculares a E2 coincidentes con a1 y a2 y los otros dos planos restantes también son perpendiculares a las dos digiras restantes. Fig.(1a y b)
Fig. 1a): Los ejes de simetría 1E4, 4E2; b) los cinco planos de simetría y c) la proyección estereográfica de los dominios del sistema tetragonal, con la indicación en el triángulo esférico fundamental de la posición de las siete formas simples de la clase ditetragonal bipiramidal (4/m 2/m 2/m) Descripción de las siete f o r m as s i m p le s de la clase ditetragonal bipiramidal (4/m2/m2/m):
1.-pinaco ide basal {001} Forma abierta constituida por dos caras que son paralelas a los ejes a 1 y a2, y cortan al eje c. Son las dos caras que cierran las formas abiertas y prismáticas (Fig. 2 a, b y c)
29
2.-prism a tetragon al de primer orden {110}: Forma abierta constituida por cuatro caras paralelas
al eje c y cortan a los otros dos ejes a la misma distancia. (Fig. 2 a) 3.- prisma tetragonal de segundo ord en {100}: Similar al anterior, pero cada cara es paralela al eje c y a uno de los ejes horizontales (Fig. 2 b). Es posible la combinación de ambos prismas y cuando están igualmente desarrollados dan un prisma regular de ocho caras, con simetría tetragonal. 4.-prism a ditetragonal {hkO}:.Forma abierta constituida por ocho caras similares paralelas al eje c y que cortan a los ejes horizontales a distancias desiguales (Fig. 2c). El ángulo interno que tienen las caras de este prisma son iguales alternativamente, pues de lo contrario se tendría un prisma con simetría de grado ocho.
Fig. 2: a) prisma tetragonal de primer orden {110} ; b) prisma tetragonal de segundo orden: {100} y c) prisma ditetragonal {hkO}; con la ubicación de los ejes cristalográficos y b) la proyección de los polos de las caras respectivamente. Todos los prismas están cerrados por el pinacoide basal {001}
Fig. 3: Proyección estereográfica de los polos de las caras, los planos y ejes cristalográficos, del: a) prisma tetragonal de primer orden {110} ; b) prisma tetragonal de segundo orden: {100} y c) prisma ditetragonal {hkO}; con la ubicación de los ejes cristalográficos y b) la proyección de los polos de las caras respectivamente.
5.- bip irám id e tetrag on al de 1º or den {hhl}: Forma cerrada con ocho caras iguales, triangulares isósceles, que cortan a los ejes horizontales a la misma distancia y al eje c a distancia diferente (Fig.4 a). 6.- bip irám id e tetrag on al de 2º or den {h0l}: Forma cerrada con ocho caras iguales, triangulares isósceles. Cada cara es paralela al eje horizontal (sale por mitad de arista) y corta al eje c a distancia diferente (Fig. 4 b) 7.-bip irám ide ditr etagon al {hkl}: Dieciséis (16) caras triangulares isósceles que cortan a los tres ejes a distancias diferentes .(Fig. 4c)
Fig. 4 (a) bip irámi de tetragon al de 1º ord en {hhl}:, (b) bip irám ide tet rago nal d e 2º ord en {h0l} y (c) bi pi rám id e ditretagonal {hkl}:
30
Fig. 5 (a) Proyección estereográfica de la bip irám ide tet rago nal d e 1º ord en {hhl}: y (b) bip irámid e tetrago nal d e 2º or den {h0l}.
Fig.6 a) bipirámide ditetragonal {hkl} con la ubicación de los ejes cristalográficos y b) la proyección estereográfica de los polos de las caras , los elementos de simetría de la clase y los ejes cristalográficos. Algun as combinaciones de las form as:
Al presentarse forma abiertas son posibles combinaciones con las otras formas, o aún entre formas cerradas (Fig. 5).
Fig. 7: Formas a {010}, c {001}, m {110}, e {011}, p {111} y s {221}
31
32
SISTEMA HEXAGONAL Incluye todas las formas que se refieren a tres ejes horizontales (a1,a2 y a3 ) de igual longitud, en un plano común que se cortan en ángulos de 120º y un cuarto eje vertical © en ángulo recto con aquellos, tal como lo propuso Bravais.
Hexagonal: División Romboédrica:
Cruz axial del sistema hexagonal a1= a2= a3 #c
α1= α2 = α3 = 120º
# γ=90º
Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 3 o 3
Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 6 o 6
Hexagonal: División Hexagonal:
Tabla 1: cruz axial del sistema hexagonal. El eje a2, es horizontal y está orientado paralelo al observador y los otros dos horizontales, forman ángulos de 60º a cada lado de la línea perpendicular a aquel . El de la izquierda se toma como el eje a 1 y el de la derecha como a3 con su parte negativa hacia delante. El eje c es vertical. Los ángulos alfa (α1, α2 y α3) forman un ángulo de 120º entre el extremo positivo de los ejes cristalográficos horizontales a1,a2 y a3. El ángulo gama (γ) es opuesto al eje a1 y se corta en águlo recto (90º) con los ejes horizontales.
El sistema hexagonal está separado en dos divisiones: HEXAGONAL (propiamente dicha) y ROMBOÉDRICA, con simetría del tipo hexagonal y trigonal respectivamente. En total hay 12 clases de simetría, siete en la División Hexagonal y 5 en la División Romboédrica. El sistema de ejes se observa en la Tabla 1. Los ejes horizontales se denominan a1,a2 y a3, ya que tienen la misma unidad de medida, y al eje c vertical, es más largo o más corto que los anteriores. La orientación de los ejes horizontales es la siguiente: a 2: paralelo al observador, y los otros dos forman ángulo de 60º a cada lado de la línea perpendicular a aquel. El de la izquierda se toma como a1 y el de la derecha como a 3 con su parte negativa hacia delante. Se puede demostrar, por la posición de los ejes horizontales que la suma algebraica de estos tres índices de Miller es igual a cero ( h + k + i= 0), Fig. 6.
Sistema cristalino
Clase cristalina 6 Hexagonal: 6 6/m División 622 Hexagonal: 6mm 6m2 6/m2/m2/m
Nº
Nombre
21 22 23 24 25 26 27
Hexagonal piramidal Trigonal bipiramidal Hexagonal bipiramidal Hexagonal trapezoédrica Dihexagonal piramidal Ditrigonal bipiramidal Dihexagonal bipiramidal
Contenido de la simetría 1E6 1E 6 i, 1E6, m 1E6, 6E2 1E6, 6m 1E 6, 3E2, 3m i, 1E6, 6E2, 7m
Tabla 2: Clases de simetría o grupos puntos del sistema hexagonal, división hexagonal propiamente dicha. Símbolos Hermann-Mauguin y elementos de Simetría de las siete clases de simetría.
SISTEMA HEXAGONAL, división hexagonal propiamente dicha:
Agrupa a todas las clases de simetría que posean un eje de orden 6 o 6
Clase dihexagonal bipiramidal (6/m 2/m 2/m): Simetría: 1E6, 6E2, 7m, i. Ejes de simetría: El eje (E6) hexagira coincide con el eje c. De los seis ejes de orden dos o digiras
(6E2) tres coinciden con los ejes cristalográficos horizontales (a1,a2 y a3), y tres dividen en partes iguales a los ángulos formados por los anteriores. Planos de simetría: Un plano (m) es perpendicular a la hexagira y los seis planos secundarios que
tienen al eje c y son perpendiculares a cada una de las digiras.
Centro de simetría: Todas las formas que tengan planos perpendiculares a ejes pares generan un
centro de simetría.
33
Fig. 1 a) Representación de los siete ejes de simetría (1E6, 6E2), b) de los siete planos de simetría(7m) y centro (i), c) la proyección estereográfica de los dominios del sistema hexagonal, con la indicación en el triángulo esférico fundamental de la posición de las siete formas simples de la clase dihexagonal bipiramidal (6/m 2/m 2/m)
Fig. 1 bis: Proyección estereográfica de los elementos de simetría de la clase dihexagonal bipiramidal (6/m 2/m 2/m); de los siete ejes de simetría (1E6, 6E2), b) de los siete planos de simetría(7m) y centro (i),
Descripción de las siete f o r m as s i m p le s de la clase dihexagonal bipiramidal (6/m2/m2/m):
1.-p i n ac o i d e b a s al {0001}: Dos caras paralelas que sólo cortan al eje cristalográfico c (Fig. 2 a) 2.-prism a hexagonal de prim er orden {1 0 1 0},: Seis caras paralelas al eje c cortan a dos ejes cristalográficos horizontales a la misma distancia y es paralelo al tercero. Los ejes cristalográficos horizontales emergen a la mitad de aristas del prisma (Fig. 2 a) 3.-prisma hexagonal de segund o o rden {1 1 2 0}: Seis caras paralelas al eje c cortan a dos ejes cristalográficos horizontales alternados a la misma distancia, y al eje intermedio a la mitad de la distancia anterior. Los ejes cristalográficos horizontales son perpendiculares a las caras prismáticas (Fig. 2 b) 4.-prisma dihexagonal {h k i O} : Doce Caras paralelas al eje c y corta a los ejes horizontales a distancias desiguales (Fig. 2 c)
Fig. 2 a) pinacoide basal {0001}; b) prisma hexagonal de primer orden {1 0 1 0}, c) prisma hexagonal de segundo orden{1 1 2 0} y d) prisma dihexagonal {h k i O}. Todas son formas abiertas.
Fig. 2bis. Proyecciones estereográficas de: a) pinacoide basal {0001}; b) prisma hexagonal de primer orden {1 0 1 0}, c) prisma hexagonal de segundo orden{1 1 2 0} y d) prisma dihexagonal {h k i O}. Todas son formas abiertas.
34
5.- bi pi rám id e hexag on al de 1º or den {h 0 h l}: Doce caras triangulares isósceles iguales , seis arriba y seis abajo con la misma posición relativa con respecto a los ejes horizontales que emergen por los vértices y que cortan al aje cristalográfico c(Fig. 3a) 6.- bi pir ám id e hex ago nal d e 2º or den {h h 2 h l} : Doce caras triangulares isósceles iguales, seis arriba y seis abajo con la misma posición relativa con respecto a los ejes horizontales que emergen por mitad de arista y que cortan al aje cristalográfico c(Fig. 3b) 7.- bip irám ide d ihex agon al {h k i l}: Veinticuatro caras, que cortan a los cuatro ejes a distancias desiguales. (Fig. 3c y 4 a, b)
Fig. 3 a) bipirámide hexagonal de 1º orden {h 0 h l}, b) bipirámide hexagonal de 2º orden {h h 2h l} y c) bipirámide dihexagonal {h k i l}:
Fig. 3 bis. Proyecciones estereográficas de los ejes cristalográficos a 1, a 2, a 3 y c; de los planos simetría y de los polos de las caras de: a) bipirámide hexagonal de 1º orden {h 0 h l}, b) bipirámide hexagonal de 2º orden {h h 2h l} y c) bipirámide dihexagonal {h k i l}. Fig. 3d Proyección de los elementos de simetría de la clase dihexagonal bipiramidal (6/m 2/m 2/m)
La relación entre los prismas hexagonales de 1º y 2º orden ( bipirámides hexagonales) y el prisma dihexagonal ( bipirámide dihexagonal) se observa en la Fig. 5 que presentan un corte de los prismas paralelos a la base
Fig.5: Sección basal que muestra la diferencia de orientación cristalográfica de los prismas hexagonales de 1º,2º orden y prisma dihexagonal.
35
Demostración de que la suma algebraica de los tres ejes es igual a acero (h +k + i =0) Vamos a considerar la sección basal de prisma hexagonal de 2º orden. De acuerdo con la figura 6, se observa que la cara fundamental corta al eje –a3 la distancia unitaria 0S, y a los ejes +a1 y +a2 a distancias mayores pero iguales OM y ON.
Fig. 6: Sección basal del prisma hexagonal de 2º orden {1 1 2 0}. Demostración que la suma algebraica de los tres ejes horizontales del sistema hexagonal es igual a cero.
2 0) es la cara fundamental del prisma hexagonal de 2º orden. AB = (1 1 Hagamos las siguientes consideraciones para determinar la longitud ON tomando: La distancia OS =1. Es decir igual a la unidad. 2 0) corta a los ejes OM = ON representan las distancias que la prolongación de la cara (1 1 cristalográficos a1 y a2 respectivamente, a una distancia igual pero diferente a la unidad. Como ya vimos, los ejes cristalográficos son perpendiculares a las caras, por lo tanto:
OS y ON son perpendiculares a: AB y BC respectivamente, por eso: en los triángulos ORB y NRB, el lado RB es común, y los ángulos OBR y NBR son iguales. (ABC =120º y NBR =60º por suplementario). El eje diagonal OZ bisecta a ABC, por lo tanto el ángulo OBR =60º De esto consideramos
OR =RN OR = OS = 1. ON = OR + RN = 2 De la misma forma se demuestra que el punto de intersección sobre a1 es igual al de a 2. La relación paramétrica de la cara será 2 a1: 2 a2: 1 a3 = ∞c Aplicando los índices de Miller 1a 1: 1a2: 2a3 : 0c, ó sea: (11 2 0), y como ya dijimos que h + k + i =0 1+1-2 =0
36
37
SISTEMA HEXAGONAL : división romboédrica
Agrupa a todas las clases de simetría que posean:Un eje de orden 3 o 3.
Sistema cristalino Hexagonal:
División Romboédrica:
Clase cristalin a 3 3 32 3m 3 2/m
Nº 16 17 18 19 20
Nombre Trigonal piramidal Romboédrica Trigonal trapezoédrica Ditrigonal piramidal Ditrigonal Escalenoédrica
Contenido de la simetría 1E3 1 E 3 1E3, 3E2 1E3, 3m 1 E 3, 3E2, 3m
Tabla 3: Clases de simetría o grupos puntos del sistema hexagonal, división romboédrica. Símbolos Hermann Mauguin y elementos de Simetría de las siete clases de simetría.
Clase ditrigonal escalenoédrica ( 3 2/m): Simetría: 1
E 3, 3E2, 3m
Ejes de simetría:
El eje cristalográfico vertical c coincide con el eje de roto inversión de orden 3.. Las digiras coinciden con los otros ejes cristalográficos. Planos de simetría:
Los planos de simetría dividen en dos partes iguales a los ángulos formados por dos ejes de orden dos o digiras (Fig.1 a y b).
Fig. 1 a) ejes cristalográficos (a1, a 2, a3 y c) y ejes de simetría (1 E 3, 3E 2), coincidentes con los primeros, b) los tres planos de simetría (3m) y c) proyección estereográfica de los elementos de simetría de la clase ditrigonal escalenoédrica ( 3 2/m):
Descripción de las dos nuevas f o rm a s s i m p le s de la clase ditrigonal escalenoédrica ( 3 2 /m ) :
En esta clase aparecen dos nuevas formas (con respecto a la Clase dihexagonal bipiramidal (6/m 2/m 2/m), el romboedro y el escalenoedro hexagonal.
1.-r o m b o e d r o {h 0 h l}+ {0 h h l}- : formado por seis caras rómbicas. Seis aristas laterales iguales en zig-zag alrededor del cristal, y seis aristas terminales iguales, tres arriba y en posición alterna tres abajo. La forma geométrica varía considerablemente al cambiar de longitud relativa del eje c (Fig. 2 a y b). A medida que disminuye c, los romboedros se vuelven más obtusos y aplanados , y al aumentar c se vuelven más agudos. Un cubo colocado con un eje vertical 3 es obviamente el caso límite entre las formas obtusas y agudas, en que el ángulo entre las , caras es de 90º.
38
Fig.2: a) romboedro positivo {h 0 h l} +, b) proyección estereográfica de los polos de las caras del romboedro positivo, c) romboedro negativo {0 h h l} y d) proyección estereográfica de los polos de las caras del romboedro negativo. En la Fig. 4e de la calcita , el ángulo romboédrico normal es de 74º55´ y c = es 0,854, mientras que para la hematita este ángulo es 94º y c =1,366
2.- escalenoedro hexagonal :.{h k i l}+ positivo y {h k i l}- negativo: Limitado por 12 caras triangulares escalenas. Tiene forma parecida bipirámide dihexagonal, pero las aristas laterales están distribuidas en zig-zag alrededor de la forma (Fig. 4 a, b, c y c). Existen escalenos positivos y negativos: {h k i l}+ y {h k i l} -.
Fig. 3: a) escalenoedro h exagonal . .{h k i l}+ positivo, b) proyección estereográfica de los polos de las caras del escalenoedro hexagonal {h k i l}+ positivo, c) escalenoedro hexagonal {h k i l}- negativo y d) ) proyección estereográfica de los polos de las caras del escalenoedro hexagonal {h k i l}- negativo.
39
Fig.4: cristales de calcita. Formas combinadas. Romboedros e{0112} y f{0221}, romboedros negativos. r{1010} y M {4041} romboedros positivos. m {1010} prisma de primer orden. C{0001} pinacoide basal. V {2131} escalenoedro
Ejemplos de minerales Calcita................Ca C03 Magnesita...........Mg CO3 Smithsonita.........Zn C03 Rodocrosita.........Mn C03 Siderita................Fe C03 Corindón.............Al 2O3 Hematita y Oligisto Fe203 Brucita................Mg(OH) 2
40
41
SISTEMA ORTORRÓMBICO Incluyen a todas las formas que se refieren a tres ejes ortogonales entre sí, y sus diferentes unidades de medida. En el pasado la ubicación del eje vertical c, se basó: 1) en el hábito del cristal. Si presentaba un alargamiento en una dirección fue sugerida como eje c; 2) si poseían un pinacoide sobresaliente, por lo tanto exhibía hábito tabular, se tomaba como pinacoide basal {001} por lo tanto c era perpendicular a la cara (001); y 3) la exfoliación en una dirección se tomó como el pinacoide basal {001} y la exfoliación en dos direcciones fueron consideradas como verticales y su arista paralela al eje c: Ej. prismas {110} o {100}.
Cruz axial Sistema Ortorrómbico: a#b#c α=β=γ=90º c
a”
Al eje a se le denomibada braquieje (el mas corto de los ejes horizontales) Al eje b se le denomibada macroeje (el mas largo de los ejes horizontales)
Agrupación de simetrías Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Ejes de orden 2 y planos m.
Tabla 1: cruz axial del sistema ortorrómbico. El eje a, es horizontal y está orientado de adelante hacia atrás, el eje b es horizontal de derecha a izquierda y el eje c es vertical. El ángulo alfa (α) es opuesto al eje a, el beta (β) es opuesto al eje b, el gama (γ) es opuesto al eje c y se cortan con un águlo recto (90º)
Hay 3 clases de simetría de las cuales desarrollaremos en este curso el grupo punto Nº 8 correspondiente a la clase Rómbica bipiramidal (2/m 2/m 2/m).
Sistema cristalino Ortorrómbico:
Clase cristalina 222 mm2 2/m 2/m 2/m
Nº
Nombre
6 7 8
Rómbica biesfenoídica Rómbica piramidal Rómbica bipiramidal
Contenido de la simetría 3E2 1E2, 2m i, 3E2, 3m
Tabla 2: Clases de simetría o grupos puntos del sistema ortorrómbico. Símbolos de Hermann-Mauguin y elementos de simetría que caracterizan a las tres clases cristalinas.
Clase Rómbica bipiramidal ( 2/m2/m 2/m) Está constituida por los siguientes elementos de simetría: Eje de simetría:
3E2 = Los tres ejes de orden dos o digiras coinciden los tres ejes cristalográficos a, b y c (Fig. 1a) Planos de simetría:
3m = Los tres planos de simetría contienen a los ejes cristalográficos de a dos , por lo tanto son perpendiculares entre sí. Así las digiras son perpendiculares a cada plano de simetría m. (Fig. 1b) Centro de simetría:
i = Posee un centro de simetría por contener a giras de orden par perpendiculares a planos de simetría m (Fig. 1 a, b)
Fig. 1 a) las tres digiras coincidentes con los ejes cristalográficos a, b, y c, salen por mitad de la arista del prisma rómbico de 3º Orden {hk0}; b) los tres planos de simetría m perpendiculares a las digiras y c) localización en proyección estereográfica de los dominios de las 7 formas simples del sistema ortorrómbico en el triángulo esférico fundamental
42
Descripción de las siete f o r m as s i m p le s de la clase rómbica bipiramidal (2/m 2/m 2/m):
1.-pinacoide rómbico a {100}: Dos caras paralelas que sólo cortan al eje cristalográfico a y son paralelas a los otros dos ejes cristalográficos: b y c (Fig.2 a, b y c) 2.-pinacoide rómbic o b {010}: Dos caras paralelas que solamente cortan al eje cristalográfico b y son paralelas a los otros ejes (Fig. 2 a, b y c) 3.-pinacoide rómbic o c {001}: Dos caras paralelas que solamente cortan al eje cristalográfico c y son paralelas a los otros ejes (Fig. 2 a, b y c)
Fig.2 a): los tres pinacoides rómbicos a, b y c; b) sus respectivas proyecciones estereográficas y c) forma combinada con los tres pinacoides rómbicos a, b y c.
43
4.-prism a rómbic o d e 3º orden {hk0} : Cuatro caras paralelas al eje c y corta a los ejes a y b a distancias diferentes (Fig. 3 a y b). 5.-prism a rómbic o d e 2º ord en {h0l} : Cuatro caras paralelas al eje b y corta a los ejes a y c a distancias desiguales (Fig. 3 a y b). 6.-prism a rómbic o d e 1º ord en {0kl} : Cuatro caras paralelas al eje a y corta a los ejes b y c a distinta unidades de medidas (Fig. 3 a y b).
Fig. 3: a) representación de los tres prismas rómbicos de 1º , 2º y 3º orden {0kl} {h0l} {hk0} respectivamente y b) la proyección estereográfica de los polos de sus caras.
7) bip irám ide rómb ica {hkl} : Única forma cerrada de la clase. Ocho caras triangulares, cuatro arriba y cuatro abajo que cortan a los tres ejes cristalográficos a, b y c, en distinta unidad de medida (Fig. 4 a y b).
Fig. 3: a) bipirámide rómbica {hkl}, única forma cerrada de la clase, b) la proyección estereográfica de los polos de las caras de la bipirámide rómbica {hkl},
44
Algunos ejemplos de formas combinadas de la Clase Rómbica bipiramidal (2/m2/m 2/m)
45
