UNIDAD II: LÍNEAS DE ESPERA. OBJETIVO. Identificar los conceptos y elementos clave de un sistema de colas o líneas de espera, para poder resolver problemas prácticos productivos y administrativos, por los diferentes modelos de líneas de espera, diseñando programas que ayuden a la solución de los mismos.
INTRODUCCIÓN. El fenómeno de la espera es el resultado directo de la aleatoriedad en la operación de instalaciones de servicio. En general la llegada del cliente y su tiempo t iempo de servicio no se conoce con anticipación, pero por otra parte la operación de la instalación se podría programar en forma tal que eliminaría la espera por completo.
El objetivo de estudiar la operación de una instalación de servicio en condiciones aleatorias es de asegurar algunas características que midan el desempeño del sistema sometido a estudio. Por ejemplo, una medida lógica de desempeño es el tiempo que se calcula espera un cliente antes de ser atendido. Otra medida es el porcentaje de tiempo que no se utiliza la instalación de servicio. Estas medidas de desempeño pueden utilizarse para seleccionar el nivel de servicio que producirá un equilibrio razonable entre las dos situaciones en conflicto.
DEFINICIONES, CARA CARACTERÍSTICAS CTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES. Los protagonistas principales en una situación de espera son el cliente y el servidor. Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situación de línea de espera, se general general cuando el cliente cliente llega a la instalación y se forma en una fila. El servidor elige a un cliente de la fila o línea de espera para comenzar a prestar sus servicios. Al culminarse un servicio se repite el proceso de elegir un nuevo cliente en espera.
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN En los modelos de espera las llegadas y los tiempos de servicio de clientes se resumen en términos de distribución de probabilidad que normalmente se conoce como distribución de llegadas y tiempo de servicio servicio Estas distribuciones distribuciones pueden representar situaciones donde llegan clientes y son atendidos individualmente o en grupo, este ultimo
caso se le conoce como líneas de espera masivas. Aparte de los patrones de llegadas y salidas, hay otros factores que también son importantes en la elaboración de los modelos. El primer factor es la disciplina de servicios, que es la forma en que se eligen los clientes para dar inicio al servicio. Las disciplinas son: a) el primero en llegar es el primero en ser atendido. b) el ultimo en llegar es primero en ser atendido. c) servicio en orden aleatorio. Aunque estas regulan la selección de clientes, pueden ser que estos sean colocados en líneas de espera con prioridad, para ser atendidos en primer término. El segundo factor tiene que ver con el diseño de la instalación y la ejecución de servicio. La instalación puede incluir más de un servidor, donde todos los servidores ofrecen el mismo servicio y se dice que la instalación tiene servidores paralelos. También la instalación puede comprender un número de estaciones en serie por las que puede pasar el cliente antes de que se complete el servicio. Las situaciones resultantes se conocen como líneas de espera en serie o sucesivas. El diseño más general de una instalación de servicio incluye estaciones de procesamiento en serie y en paralelo. A estos se le conoce como líneas de espera en red. El tercer factor es referente al tamaño de la línea de espera admisible; en ocasiones sólo se puede admitir a un número limitado de clientes, cuando la línea de espera se llena a toda su capacidad, los clientes que llegan no se pueden formar en la línea de espera. El cuarto factor se relaciona con la naturaleza de la fuente que genera llamadas solicitando servir (llegadas de clientes). La fuente de llamadas puede ser capaz de generar un número finito de clientes o infinitamente muchos clientes. Los modelos de espera que representan situaciones en las que los seres humanos son clientes y/o servidores, deben de estar diseñados para tomar en cuenta el efecto de la conducta del ser humano.
En resumen, los elementos básicos de un modelo de espera dependen de los siguientes factores: 1.- Distribución de llegadas (individuales o masivas). 2.- Distribución de tiempo de servicio (individual o masivo). 3.- Diseño de la instalación de servicio (estaciones de serie, paralelo o en red). 4.- Disciplina de servicio (3 consideradas, además de prioridad en servicio). 5.- Tamaño de la línea de espera (finito o infinito).
6.- Fuente de llamadas (finito o infinito). 7.- Conducta humana (cambios, elección y renuncia).
SISTEMA DE COLAS O SISTEMA DE LÍNEAS DE ESPERA DE POISSON DE UN SOLO SERVIDOR. CONCEPTOS. Llegadas. Los tiempos que transcurren entre dos llegadas consecutivas a un sistema de colas se llaman tiempos entre llegadas . Este tiempo siempre tiene variabilidad, pero se puede realizar lo siguiente: 1. Estimar el número esperado de llegadas por unidad de tiempo. Esta cantidad se llama tasa media de llegadas ( ). 2. Estimar la forma de la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas. En donde la media de esta distribución proviene del punto 1. Si es la tasa media de llegada para clientes que vienen al sistema de colas, su media es
1
tiempo entre
llegadas esperado.
Por ejemplo, si se sabe que llegaron 200 clientes en un lapso de 50 horas, entonces
200 50
4 clientes por hora en promedio.
La estimación correspondiente del tiempo entre llegadas es
1
1 4
horas entre clientes en
promedio. En otras palabras si llegan en promedio 4 clientes en una hora, entonces
estos llegan en promedio cada 15 minutos.
Servicio. Cuando un cliente entra a servicio, el tiempo transcurrido de principio a fin del servicio se llama tiempo de servicio, el cual varía de cliente a cliente. La expresión que expresa la media de la distribución del tiempo de servicio es 1
tiempo de servicio esperado.
Donde es el número esperado de terminaciones de servicio por unidad de tiempo, la cual se llama tasa media de servicio.
Por ejemplo, si un servidor atiende en promedio a 5 clientes por hora ( ), entonces el tiempo de servicio esperado es
1
1 5
horas por cliente.
En otras palabras, si un servidor atiende en promedio a 5 clientes en una hora, quiere decir que en promedio con cada cliente se tarda 12 minutos.
MEDIDAS DE DESEMPEÑO DE LOS SISTEMAS DE COLAS. Los administradores que revisan los sistemas de colas están interesados en dos tipos de medidas de desempeño: 1. ¿Cuántos clientes suelen esperar en el sistema de colas? 2. ¿Cuánto suelen esperar estos clientes?
La consecuencia de tener clientes esperando o clientes esperando demasiado, puede ser pérdida de ganancias. Estas dos formas proporcionan en general 4 medidas de desempeño: 1. L = número esperado de clientes en el sistema. 2. Lq = número esperado de clientes en la cola. 3. W = tiempo de espera esperado en el sistema. 4. W q = tiempo de espera en la cola.
Otro dato muy importante es el factor de utilización, el cual representa la fracción de tiempo promedio que utiliza el servidor para atender a los clientes, el cual está dado por
MODELO (M/M/1) : (DG/ / ). Este es un modelo de servidor único sin límite en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas, entonces se basa en las siguientes suposiciones: 1. Los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial con media 2. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con media 3. El sistema de colas tiene 1 servidor.
1
.
1
.
Las fórmulas que determinan el desempeño del sistema son: 1. L
1
2. W
1
1 L
3. W q W
4. Lq
W q
1
( ) 2
( )
2 1
La probabilidad de tener exactamente n clientes en el sistema es Pn (1 ) n , para n = 0, 1, 2, 3, …
EJEMPLOS. 1. Suponga que la tasa esperada de llegada es de 3 por minuto y que el servicio puede realizarse a una tasa esperada de 4 por minuto. ¿Cuál es el tiempo esperado entre llegada de los clientes individuales y cuál es el tiempo esperado para completar los servicios sucesivos?
Solución: Tasa esperada de llegada = 3 por minuto. Tasa esperada de servicio = 4 por minuto.
Tiempo promedio esperado entre llegadas 1
1 3
= .333 = 20 segundos entre clientes.
Tiempo esperado entre dos servicios sucesivos 1
1 4
.25 = 15 segundos.
2. Considere una tasa de llegada de 30 por hora y la tasa promedio de servicio de 40 por hora. Cual es la probabilidad de que un cliente que llegue no tendrá que esperar servicio.
Solución.
= 30/40 = .75
El servidor estará ocupado el 75% del tiempo.
Sea P0 la probabilidad de que el cliente que llegue no tenga que esperar servicio, es decir que el sistema este vacío. P0 (1 ) 1-.75 = .25, el 25% del tiempo el sistema estará vacío.
Sea P0 la probabilidad de que haya n clientes en el sistema (en cola y en servicio), entonces puede probarse la probabilidad de que haya 0,1,2,3....n clientes en el sistema bajo lo siguiente n Pn (1 )
Con los mismos datos, ¿cuál seria la probabilidad de que haya 0,1,2,3 y 4 clientes en el sistema para el ejemplo anterior. P0. = (1-.75).75(0) =.25 P1 = (1-.75).75(1) = .1875 P2 = (1-.75).75(2) = .1406 P3 = (1-.75).75(3) =.1055 P4 =(1-.75).75(4) = .01791
3. Considerando = 30 y = 40 por hora, calcular las medidas de desempeño.
Solución: L
1
W
=
30
3 , es decir en promedio hay 3 clientes en el sistema.
40 30
1
1 1 1 L = = .1 horas, es decir en promedio un cliente espera 6 40 30 10
minutos en el sistema. W q W
1
( )
=
30 40 (40 30 )
30 400
= .075 hora, es decir en promedio el cliente
espera 4.5 minutos en la cola. Lq
W q
2 ( )
2 1
=
(30)
2
40( 40 30)
encontrar 2.25 clientes esperando servicio.
900 400
= 2.25 clientes, es decir se puede
4. Un pequeño restaurante se enfrenta al problema de determinar el
número de
meseros que debe utilizar en las horas pico. La gerencia ha observado que los clientes llegan en promedio de 4 minutos y el tiempo promedio para recibir y procesar un pedido es de 2 minutos. Determinar además lo siguiente: 1.- ¿Cuál es la utilización actual de la capacidad de servicios existentes? 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega al servicio sea servido inmediatamente? 3.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue encuentre una línea de espera de longitud n = 0, 1, …6? 4.- ¿Cuál es el número de clientes esperados en el sistema? 5.- ¿Cuál es la longitud esperada de la cola? 6.- ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente debe esperar en el sistema? 7.- ¿Cuál es el tiempo promedio de espera que un cliente gasta en la cola?
MODELO (M/M/1) : (DG/N/ ). La única diferencia entre este modelo y el anterior es que el número máximo de clientes permitido en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera = N – 1). Esto significa que cuando haya N clientes en el sistema, se impiden todas las nuevas llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera. Tomando
:
El valor de P 0 se determina por:
1 n 1 N 1 , Pn 1 , N 1
1 1
n = 0, 1, 2,…, N
Las fórmulas que determinan el desempeño del sistema son:
1 ( N 1) N N N 1 , N 1 (1 )(1 ) L N , 2
1 1
Las medidas de Lq , W y W q se deducen de L, pero primero se determina la tasa efectiva de llegada ef : ef (1 P N )
Entonces: Lq L W q
ef
Lq
ef
W W q
Lq
(1 P N )
1
L
(1 P N )
EJEMPLOS. 1. En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se tiene indica que los autos llegan para ser atendidos, según una distribución de Poisson, con media de 4 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varía, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. Si la instalación no puede atender a más de un auto a la vez y tiene un espacio de estacionamiento para 4 autos, por lo que si está lleno el estacionamiento los carros que lleguen buscarán servicio en otra parte. Determina el comportamiento del sistema.
Solución. = 4/hora.
µ = 6/hora. N = 5
2 3
En promedio la instalación se ocupa en un 67%. 1 ( N 1) N N N 1 (2 / 3)1 (5 1)(2 / 3) 5 (5)(2 / 3) 6 .4326 L 1.42 6 N 1 ( 1 )( 1 ) ( 1 2 / 3 )( 1 ( 2 / 3 ) ) . 3041
En promedio puede haber 1.42 autos en el auto-lavado. 1 n (1 2 / 3) 5 P N (2 / 3) .0481 6 N 1 (1 (2 / 3) ) 1
La probabilidad de que haya 5 autos en el auto-lavado es .0481 ef (1 PN ) 4(1 .0481 ) 3.8076
La tasa efectiva de llegada es de 3.8076 autos por hora.
Lq L
ef
1.42
3.8076 6
.7854
El promedio de autos esperando ser lavados es de .7854. W q
Lq
ef
Lq
(1 P N )
.7854 3.8076
.2063
El promedio de tiempo que los autos esperan para ser lavados es de .2063 horas, es decir, 12.4 minutos. W W q
1
L
(1 P N )
.2063
1 6
.3729
El promedio de tiempo que pasa un auto en el auto-lavado es de .3729 horas, es decir, 22.4 minutos. Una información que puede interesar al propietario es saber cuántos clientes se pierden debido
al
limitado
espacio
de
estacionamiento,
lo
cual
se
determina
por
ef 4 3.8076 .1924 autos por hora. Si se basa en una jornada de 8 horas, entonces
serán 1.53 autos en un día.
MODELO DE K SERVIDORES SIN LÍMITE EN LA COLA. Los problemas relacionados con líneas de espera de canales múltiples, se componen de cierto número de estaciones paralelas (k), en las que el estado del sistema (n, número de elementos en el sistema en determinado momento) puede asumir uno de los valores: no hay línea de espera, porque se da servicio a todas las llegadas (n < k) o se forma una línea de espera porque el servicio exigido por la(s) llegada(s) es mayor que la capacidad de las estaciones de servicio en el problema (n > k). La derivación de las fórmulas es más complicada que la de las fórmulas anteriores, las cuales son: k
k
La probabilidad de que haya n elementos en el sistema, cuando n < k, se determina por: Pn
1
n
P0
n!
La probabilidad cuando n ≥ k, la expresión cambia a: n
Pn P0 n k k !k 1
En donde la probabilidad de que no haya ningún elemento en el sistema se determina por: P0
1
k 1 1 n 1 k k ! ! n k k n 0
Las fórmulas anteriores sólo son aplicables si µk > ó p k < 1. Las medidas de desempeño quedan como:
( / ) k L P0 2 (k 1)!( k ) Lq
( / ) k (k 1)!( k )
2
P0
( / ) k 1 W P 0 2 ( 1 )! ( ) k k
W q
( / ) k (k 1)!( k ) 2
P0
EJEMPLO. El Servicio de Rentas Internas tiene cuatro estaciones en una oficina para recibir a los que tienen problemas, quejas, etc., con respecto a sus impuestos sobre la renta. El promedio de llegadas es de 80 personas en un día de servicio de 8 horas. Cada consejero de impuestos dedica una cantidad irregular de tiempo para dar servicio a las llegadas, que se ha comprobado que tienen una distribución exponencial. El promedio del tiempo de servicio es de 20 minutos. Determina el comportamiento del sistema.
Solución. ciDatos: 10 / hora 3 / hora k 4 4 ( / ) k (10)(3)(10 / 3) 10 (. 0213 ) .833 L 6.61 k P 0 2 2 3 k (3)(4) ( 1 )! ( ) k k ( 4 1 )! ( 3 )( 4 ) 10
P0
10
1
k 1 1 n 1 k k n 0 n! k ! k
1
10000 1 (6) 3 18 162 1944 10
100
1000
1 46.91
.0213
clientes. Lq
( / ) k (k 1)!( k )
2
P0
(10)(3)(10 / 3) 4 (4 1)!(3)(4) 10
2
(.0213) 3.28 clientes.
( / ) k 1 3(10 / 3) 4 1 (. 0213 ) .661 horas = 40 minutos. W P 0 2 2 3 ( 1 )! ( ) ( 4 1 )( 3 4 10 ) k k W q
( / ) k (k 1)!( k )
2
P0
3(10 / 3)
4
(4 1)(3 4 10)
2
(.0213) .328 horas = 20 minutos.
El servicio de biblioteca del instituto tecnológico superior de la sierra norte de puebla cuenta con tres servidores que atienden a los
alumnos , para brindar el servicio de
préstamo de libros y/o textos científicos e informativos. El promedio de llegadas es de 320i estudiantes en un día de servicio de 10 hrs. Cada servidor dedica un tiempo promedio de atención a los estudiantes de 5 minutos. DETERMINE EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA .
