FÍSICA GENERAL. (ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS)
BLOQUE I: “MECÁNICA CLÁSICA”
TEMA 1: ANÁLISIS Y CÁLCULO VECTORIAL.
1.1. 1.1 . DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE VECTOR. NOMENCLATURA NOMENCLATURA VECTORIAL. 1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES. COORDENADAS DE UN VECTOR. 1.2. 1.2.1. 1.
SIST SISTEM EMAS AS DE REFE REFERE RENC NCIA IA.. CO COOR ORDE DENA NADA DAS S DE UN VECT VECTOR OR..
1.2. 1.2.2. 2.
CONC CO NCEP EPT TOS MA MATEMÁT EMÁTIC ICO OS BÁS BÁSIC ICO OS.
1.2. 1.2.3. 3.
VECT VECTOR ORES ES EN EL PLAN PLANO. O. MÓDU MÓDULO LO (EN (EN EL EL PLAN PLANO) O)
1.2. 1.2.4. 4.
MÓDU MÓDULO LO DE UN VECT VECTOR OR EN TRES TRES DIME DIMENS NSIO IONE NES. S.
1.3. OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES. 1.3.1.
SUMA GRÁFICA DE VE VECTORES.
1.3. 1.3.2. 2.
REST ESTA GRÁF RÁFICA ICA DE VECTOR CTORE ES.
1.4. 1.4 . EL VECTOR UNITARIO. UNITARIO. 1.5. 1.5 . DEFINICIÓN DE COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. 1.5. 1.5.1. 1.
COMB CO MBIN INA ACIÓN IÓN LIN LINEA EAL L DE VECT VECTOR ORE ES.
1.5. 1.5.2. 2.
VECT VECTOR ORES ES LINE LINEAL ALME MENT NTE E INDE INDEPE PEND NDIE IENT NTES ES..
1.5. 1.5.3. 3.
VECT VECTOR ORES ES LINE LINEAL ALME MENT NTE E DEPE DEPEND NDIE IENT NTES ES.. } . LA BASE CANÓNICA, {i , j j , k
1.5.4.
1.6. OPERACIONES CON VECTORES. 1.6. 1.6.1. 1.
SUMA SUMA Y REST RESTA A ANAL ANALÍT ÍTIC ICAS AS DE VECT VECTOR ORES ES..
1.6. 1.6.2. 2.
PRO RODU DUCT CTO O ESCA ESCALA LAR R DE VEC VECTOR ORE ES.
1.6. 1.6.3. 3.
PROD PRODUC UCTO TO VECT VECTOR ORIA IAL. L. INTE INTERP RPRE RET TACIÓ ACIÓN N GEOM GEOMÉT ÉTRI RICA CA..
1.6. 1.6.4. 4.
MOME MOMENT NTO O DE DE UN UN VEC VECT TOR RESP RESPEC ECT TO A UN PUNT PUNTO. O.
TEMA 1: ANÁLISIS Y CÁLCULO VECTORIAL.
1.1. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE VECTOR. NOMENCLATURA VECTORIAL. Definición.- Se defin define, e, geom geomét étric ricam amen ente te,, un vect vector or como como un segm segmen ento to orie orient ntad ado. o. Esto Esto es, es, un segmento que está dotado de un sentido, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura 1.1. Ó N C I Ó R E C D I R
P o r t o V e c
O P
EXTREMO
O ORIGEN O PUNTO DE APLICACIÓN
Figura 1.1
Vemos así como el segmento
OP
está dotado de un sentido gracias a la punta de
flecha que señala a “P” y por tanto, hablamos del vector OP OP . Al punto desde el que parte el vector, en la figura 1.1 punto “O”, se le conoce como “origen” o “punto de aplicación”, mientras que el punto donde llega, en la figura 1.1 punto “P”, se le denomina “extremo”. Se llama “dirección” del vector a cualquier línea recta a este, lo contenga o no lo contenga, como se indica en la figura precedente. El “módulo” de un vector es, por definición, la longitud existente entre su origen y extremo, y por tanto, nunca un módulo puede ser negativo.
1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES. COORDENADAS DE UN VECTOR. 1.2.1. SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN VECTOR. En cuanto a lo que entenderemos por referencia podemos decir que será cualquier punto del espacio. La importancia de una referencia es vital, debido a que dependiendo de la referencia escogida las magnitudes físicas varían su valor. De igual modo, debemos de escoger una referencia respecto ala cual puedan quedar los vectores bien definidos y representados. En principio la elección de la referencia es arbitraria aunque según ganemos experiencia y destreza iremos seleccionando la referencia más adecuada para poder realizar medidas de las magnitudes físicas de manera sencilla y eficaz. Una vez elegida la referencia, el espacio queda representado mediante un sistema de tres
ejes cartesianos (esto es, que intersectan entre si según tres ángulos de 90º) que se cortan en un mismo punto, los cuales normalmente quedan denotados por “X”, “Y” y “Z”, y el punto de intersección por “O”, según se refleja en la figura 1.2 Z
P L A N O Y Z
X Z N O A L P º 9 0
9 0 º
O 9 0 0 º º
Y
X
P L A N O X Y
Figura 1.2
Se aprecia también en la figura anterior que los ejes cartesianos determinan tres planos, perpendiculares entre si, y que son los planos XY, YZ y XZ. Entonces cualquier vector puede representarse referido a este sistema de referencia sin más que trasladar su origen con el punto de intersección de los ejes “O” ( a un tal punto lo denominaremos a partir de ahora como “origen del sistema de referencia”) A las distancias que hay entre el extremo de un vector cuyo origen se sitúa en el de referencia, se les conoce como coordenadas del vector respecto a dicho sistema de referencia. Entonces fijándonos en la siguiente figura 1.3 vemos que las coordenadas del vector
u
son los los valor alores es “x”, “x”, “y” “y” y “z”, “z”, y se escr escrib ibe e
= x , y , z u
mantendremos ese orden para expresar las coordenadas de un vector. vector. Z
O
X
u
C o o or d de n e n a d da a
“ y ” ”
Figura 1.3
” ” z z “ “ a a d d a a n n e e d d r r o o o o C C
” “ x d a a n d e o r C o
Y
, y siem siempr pre e
El expresar los vectores en forma de coordenadas respecto cierto sistema de referencia, nos permitirá operar con ellos de forma analítica, lo cual haremos más adelante. Con todo esto lo que hemos hecho ha sido representar un vector en el espacio tridimensional. A continuaci continuación ón trabajaremo trabajaremoss en el plano, plano, es decir dejamos dejamos por ahora las tres dimensiones dimensiones para trabajar en dos dimensiones únicamente. 1.2.2. CONCEPTOS MATEMÁTICOS MATEMÁTICOS BÁSICOS. Debemos de realizar ahora un breve repaso de conceptos de geometría básica para pode avanzar eficazmente en nuestro estudio. En concreto centrémonos en los triángulos rectángulos, los cuales son aquellos que tienen un ángulo recto ( es decir, de 90º), tal y como el de la siguiente figura 1.4
c
β
) a ” u s n e e t p o h i p “ (
a ( “ c a t
e t
o ” )
γ
α
= 90º
b (“cateto”)
Figura 1.4
Para cualquier triángulo rectángulo, como el de la figura 1.4 se verifica la siguiente igualdad, c = a b 2
2
.
La igualdad anterior es conocida como “Teorema “Teorema De Pitagoras” y es de gran aplicación en el estudio de la física. Probablemente a partir de ahora su uso será diario por parte del alumno. Otras Otras relac relacion iones es import important antes es aplica aplicable bless a un triángu triángulo lo rectán rectángul gulo o son las llamad llamados os razones trigonométricas, las cuales relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con sus lados. Estas son las conocidas “seno”, “coseno” y “tangente”, y refiriéndonos al triángulo de la figura 1.4 quedan definidas de la siguiente forma: Ángulo α
Ángulo β
sin =
a c
sin =
b c
cos =
b c
cos =
a c
tan =
a b
tan =
b a
El alumno puede apreciar que se verifican las igualdades: tan = tan
−1
sin = cos
, las cuales nos pueden ser de utilidad en adelante.
,
cos = sin
y
Para resolver un triángulo solo son necesarios tres datos conocidos y los restantes pueden ser resueltos aplicando las relaciones vistas anteriormente. 1.2.3. VECTORES EN EL PLANO. MÓDULO DE UN VECTOR EN EL PLANO. Cuando un vector se encuentra apoyado sobre uno de los planos cartesianos que vimos en el apar aparta tado do 1.2. 1.2.1. 1. ante anteri rior or,, pode podemo moss olv olvidar idarno noss de la terc tercer era a comp compon onen ente te.. r situado en el plano XY de manera, Supongamos entonces que tenemos un vector r
que tal y como se muestra en la siguiente figura 1.5 sus componentes serán
x , y .
Y
∥ ∥ r
o l o d u m ó
r
O
y
x
x
Figura 1.5
Si nos fijamos en la figura anterior 1.5 y usamos las razones trigonométricas vistas en el r mediante las apartado 1.2.2 anterior podemos expresar las coordenadas del vector r
siguientes expresiones: y ⇒ y =∥r r ∥· sin . ∥r r ∥
•
sin =
•
cos =
x ⇒ x =∥r r ∥· cos ∥r r ∥
.
Y si además además aplicamos aplicamos el Teorema eorema De Pitagoras Pitagoras al triangulo triangulo que se aprecia en la figura r está dado por : podemos expresar que el módulo del vector r 2 2 ∥r r ∥= x x y ,
que es la forma de obtener el módulo de un vector situado en el plano. 1.2.4. MÓDULO DE UN VECTOR EN LAS TRES DIMENSIONES. Vamos ahora a determinar la expresión que usaremos para calcular el módulo de un vector que se encuentre situado en el espacio tridimensional. Para ello sea el vector u que aparece en la siguiente figura 1.6 , y cuyas coordenadas respecto al sistema de referencia dado son u= x , y , z . Fijémonos Fijémonos en en el triángulo triángulo rectáng rectángulo ulo de vértices vértices OP OPA. Si aplicamos aplicamos el el Teorem Teorema a de Pitágoras obtenemos que: ∥= z OA OP =∥u 2
2
.
Ahora nos fijamos en el triángulo rectángulo que aparece apoyado en el plano XY, y de vértices OAB. Z
O
u
P
x
z
B
Y
y
X
A
Figura 1.6
Ahora para este triángulo OAB, al aplicar el Teorema De Pitágoras encontramos que el segmento OA , está dado por 2
2
2
2
OA = OB AB = x y
de manera que al sustituir en
OP =∥ u∥= z z OA 2
2
,
, obtenemos obtenemos finalmente finalmente la expresión expresión
2
buscada para el módulo de un vector en el espacio tridimensional. Es decir, decir, ∥= z OA = z OP =∥u z x y 2
2
2
2
2
.
En definitiva, el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de sus coordenadas al cuadrado: 2 2 2 ∥u∥= x x y z .
1.3. OPERACIONES GRÁFICAS CON VECTORES. En el presente apartado vamos a comenzar a realizar operaciones con vectores, aunque lo haremos según métodos gráficos. Las operaciones que aquí se van a estudiar son la suma suma y rest resta a de vect vector ores es,, media mediant nte e dos dos proc proced edim imie ient ntos os gráf gráfic icos os.. En cuan cuanto to a la operación resta debemos mencionar que en realidad es una suma, en donde el vector a restar es el opuesto de otro vector. Se define el “vector opuesto” a otro vector v , y se denota que tiene la misma misma dirección y el mismo módulo que opuesto. La suma de un vector más su opuesto es
−v , como aquel vector v
pero tiene sentido
v −v que puede escribirse más
abreviadamente como v −v y su resultado será el vector nulo 0 .
1.3.1 SUMA DE VECTORES. Sean dos vectores cualesquiera u y v , cuya suma se denota por uv y da como . Gráficamente podemos seguir dos métodos para realizar la resultado otro vector w
suma: Primer Primer método: método: Dado Dadoss lo vect vector ores es a suma sumar r
u
y
v , escoge escogemos mos
trasladamos de manera que hacemos coincidir su origen con el extremo de realizado este paso el vector buscado, u
=u v w
u
v
y lo
. Una vez
, es aquel que tiene por origen el de
y por extremo el de v trasladado, tal y como está se ve en la siguiente figura 1.7.
n ió c a l s r a
al el r a a T P
al e l r a a P n ió c a l s ra T
Figura 1.7
Segundo método: Éste método consiste en hacer coincidir los orígenes de los vectores a suma sumarr y comp comple leta tarr el para parale lelo logr gram amo o corr corres espo pond ndie ient nte. e. Una Una vez comp comple leta tado do el =u v es el que tiene por origen el común de paralelogramo el vector w
u
y v , y
por extremo el vértice opuesto del paralelogramo, como se muestra en la figura 1.8.
n a ó i l c e l a l a s r a a r P T
n a ó i l c e l a l a s r a a r P T
Figura 1.8
1.3.2. RESTA DE VECTORES. Sean los vectores diferencia de
u
y
u
y
v , y supongamos que queremos hallar el vector
v , es decir,
=u −v w
w
. Entonces, primero hallamos el vector
opuesto a v , o sea −v , y después se realiza la suma
−v u
siguiendo uno de
los procedimientos visto en el apartado 1.3.1., tal y como muestra la figura 1.9.
Figura 1.9
1.4. VECTORES UNITARIOS. Un tipo de vectores que usaremos constantemente en física son aquellos cuyo módulo es la unidad de longitud elegida. Este tipo de vector recibe el nombre de “vector unitario”. En particular hay tres vectores unitarios muy importantes que son aquellos que se encuentran apoyados sobre los ejes de referencia. Tal y como muestra la figura 1.10 al vector unitario que se encuentra apoyado sobre el eje “X” se le denota por i , al que está sobre el eje “Y” se le denota por j j y finalmente al que está sobre “Z” por k . Z
O
Y
X
Figura 1.10
1.5. DEFINICIÓN DE COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. Para el estudio de esta apartado se hace imprescindible el conocimiento de la suma de vectores de manera analítica, ya que hasta ahora esta operación vectorial se ha realizado de forma gráfica. No obstante a partir de la forma gráfica podremos establecer las expresiones para la suma analítica. Sean dos vectores en el plano
u
y
v , tal y como muestra la figura 1.11. Para su
suma, elegimos un punto de referencia sobre el que situamos el origen de un sistema de ejes cartesianos XY. Llevamos los vectores
u
y
v
sobre el origen del sistema de
refere referenc ncia ia elegido, elegido, de manera manera que sus puntos puntos de aplicaci aplicación ón coincida coincidan n con con este este y al completar el cuadrilátero paralelogramo obtenemos el vector suma
(ver figura
=u w w
1.11) Y vy
y
y
uy
y
w = u + v
vy vx
O
X
vx
ux w x = ux + v x
Figura 1.11
Las coordenadas de los vectores
u
y v son, respectivamente, u x , u y y v x , v y ,
=u w son w x , w y . Si observamos la figura la coordenada y las del vector suma w
“wx” del vector suma es consecuencia de la adición de los segmentos “u x” y “vx”, ambas respectivas coordenadas en la dirección “ X” de los vectores u y v , respectivamente. Es decir que w x = u x v x . De igual manera manera ocurre en la dirección vertical vertical “Y”, en donde w y = u y v y
. Con todo esto llegamos a la siguiente conclusión: =u v ⇒ w = w x , w y = u x , u y v x , v y = u x v x , u y v y w
.
Así para sumar vectores analíticamente hemos de sumar las coordenadas respectivas.
Este Este resu resultltad ado o se extie extiend nde e al espa espaci cio o tridim tridimen ensi sion onal al y si tene tenemo moss dos dos vect vector ores es r = r x , r y , r z y r
s s = s x , s y , s z
su suma se realizará según la siguiente expresión:
r s s = r x , r y , r z s x , s y , s z = r x s x , r y s y , r z s z . r
Otra operación a conocer es la “multiplicación de un número por un vector”. Se pueden mult multip iplilica carr vect vector ores es por por núme número ros, s, y su resu resultltad ado o es un vect vector or que que tiene tiene la misma misma dirección, su sentido dependerá de que el número por el que se multiplica sea positivo o negativo y su módulo será tantas veces mayor o menor según indique el número por el que multiplicamos el vector. En la figura 1.12 se muestra un vector u multiplicado por n =5
.
Figura 1.12
Por Por tant tanto o el resu resultltad ado o es un vect vector or cuy cuyo módu módulo lo es
5 ·∥u ∥
, y en general, si
multiplicamos por un número “n” cualquiera a un vector u = u x , u y , u z
obtendríamos
otro vector dado por v = n · u = n · u x , n · u y , n · u z ,
y cuyo módulo es “n” veces mayor que el de u , o sea, ∥v∥=n ·∥u∥ . 1.5.1. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. Se dice que un vector u = u x , u y , u z
r r = x , y , z
es comb combin inac ació ión n line lineal al de tres tres vect vector ores es
= w x , w y , w z si existen tres números “α”, “β” y “γ” , v = v x , v y , v z y w
tales que se cumpla la siguiente relación igualdad: r . r = · u · v · w
En estos casos deberemos de saber resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, para lo cual se hace necesario saber resolver determinantes, lo cual viene especificado en el apéndice del tema. Hagamos un ejemplo práctico con el fin de asegurar conceptos. Ejemplo.-
r r = 1,2,−1 es combinación lineal de los vectores Demostrar que el vector
= 1,0,−1 , u
v = −2,3,1 y w = 3,1,2 . Solución.-
Debemos de encontrar tres números “α”, “β” y “γ” tales que
r . Para ello r = · u · v · w
r en función de las componentes de los vectores, r = · u · v · w
expresemos la igualdad obteniendo:
1,2,− 1 = · 1,0, −1 · − 2,3,1 · 3,1,2 . A continua continuació ción n multipli multiplicamo camoss los número númeross por cada vector vector y después después sumamos sumamos los vector vectores es obtenidos, es decir, debemos realizar los siguientes pasos: 1.
1,2,− 1 = · 1,0, −1 · −2,3,1 · 3,1,2
2.
1,2,− 1 = · 1, · 0, · −1 · − 2 , · 3, · 1 · 3, · 1, · 2
3.
1,2,− 1 = , 0,− −2 , 3 , · 3 , ,2
4.
1,2,− 1 = − 2 3 , 3 ,− 2 .
Hemos llegado a la igualdad de dos vectores, que será cierta siempre y cuando sus respectivas componentes sean iguales entre si, es decir:
{
− 2 3 =1 3 = 2 − 2 =−1
Finalmente se ha obtenido un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que debemos de resolv resolver er.. Para ello se aplicará aplicará el llamado llamado “Método De Cramer”, Cramer”, en el cual seguiremos seguiremos los siguientes pasos: 1. El primer primer paso será será calcul calcular ar el deter determin minant antee de la “matri “matrizz de los coefi coeficie ciente ntes”, s”, la cual cual suele denotarse por “A”:
A=
−2 3
1 0 −1
3 1
1 2
∣
1 ⇒ det A = 0 −1
∣
−2 3
∣ ∣−− ∣− ∣ ∣− ∣
3 1 =1 · 1 2
3 1
1 2
2 ·
0 1
1 2
3·
0 1
3 1
= 2 · 3 −1 · 1 2 · 2 · 0− 1 · −1 3 · 1 · 0 −−1 · 3 =5 2 9=16 2. El valor valor de la incógnita incógnita “α” se calcula calcula dividie dividiendo ndo el determin determinante ante de la matriz matriz que result resulta a de sustituir la primera columna de la matriz de los coeficientes por la columna de los términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes. Es decir:
=
∣
1 2 −1
∣∣
−2 3 3 1
1 2
det A
∣
3 1
=
∣ ∣ ∣− ∣=
1 −−2 · 2 −1 2
1 2
3·
2 1
3 1
5 10 15 30 15 = = 16 16 8
16
3. Se obtiene obtiene el valor valor de “β” de manera manera análoga análoga a la anterior anterior solo solo que ahora ahora el determin determinante ante del numerador es el de la matriz que resulta de sustituir la segunda columna por la columna de términos independientes. Es decir:
=
∣
1 0 −1
1 2 −1
det A
∣∣
3 1 2
=
2 −1
∣∣ ∣ ∣
1 − 0 2 −1
1 3 · 0 −1 2
16
∣= − =
2 −1
5 1 6 16
10 5 = 16 8
4. Por último último obtenemos obtenemos “γ” siguiendo el mismo mismo método método que anteriormente, anteriormente, es decir:
=
∣
1 0 −1
−2 3 1
∣∣
1 2 −1
det A
=
r r = 1,2,−1 Por tanto el vector
3 1
∣
∣
2 −−2 0 −1 −1
∣ ∣ ∣= − =
2 0 −1 −1
16
es combinación lineal de
= 3,1,2 ya que existen los números w r = r
=
15 , 8
=
5 8
y
3 1
5
4 3 22
= 1,0,−1 , u =
11 8
10 11 = 16 8
v = −2,3,1
y
tales que:
15 5 11 u v w , 8 8 8
como queríamos demostrar.
1.5.2. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES. Se dice que los vectores
u1 , u2 , ... , ui , ... , un
son “linea “lineall mente mente indepe independi ndient entes” es” si la
igualdad: 1 u1 2 u2... i ui... n un =0
es cierta cuando 1 = 2= ...= i= ...= n =0 . 1.5.3. VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES. Se dice dice que que los los vect vector ores es
u1 , u2 , ... , ui , ... , un
son “lineal “linealmen mente te depend dependien ientes tes”” si la
igualdad: 1 u1 2 u2 ... i ui ... n un= 0
es cierta para algún i ≠0 , con i = 1,2, ..., n. El alumno podrá observar que los vectores son linealmente dependientes cuando no son linealmente independientes. } . 1.5.4. LA BASE CANÓNICA, {i , j j , k Los vectores unitarios i , j j y k , son tres vectores linealmente independientes, y
forman lo que se conoce como “Base Canónica cualquier vector de la forma
= x , y , z u
} ”. Se puede provar que {i , j j , k
, se puede expresar en forma de combinación
} de la siguiente manera: lineal de los vectores de la base canónica {i , j j , k = x , y , z = x · i y · j j z · k . u
Esta forma de denotar los vectores es muy común en física y por ello no debemos de olvidarla. En estos casos se dice que “x”, “y” y “z” son las coordenadas del vector u } . respecto de la base canónica {i , j j , k
1.6. OPERACIONES CON VECTORES. 1.6.1. SUMA Y RESTA ANALÍTICAS DE VECTORES. La suma analítica de vectores vectores ha quedado explicada en la introducción introducción al apartado 1.5.
En cuan cuanto to a las las rest resta a o dife difere renc ncia ia anal analít ític ica a de vect vector ores es cabe cabe menc mencio iona narr que que el procedimiento es análogo a la operación suma. Cuando restamos dos vectores, por ejemplo,
−v u
, en realidad lo que hacemos es la siguiente suma
tanto si
v = v x , v y , v z , entonces el término
−1 · v u
. Por
será, será, aplicando aplicando la operación operación
−1 · v
“producto de un número por un vector”, −1 · v =−1 · v x ,v , v y , v z = −1 · v x , −1 · v y , −1 · v z =− v x ,− v y , −v z .
Por Por tan tanto, to, si
u = u x , u y , u z
v = v x , v y , v z , ento entonc nces es
y
−v =u −1 · v u
, y
finalmente u − v =u −1 · v = u x , u y , u z −v x ,− v y ,− v z = u x − v x , u y − v y , u z − v z . 1.6.2. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. Sean dos vectores u
= u x , u y , u z u
v = v x ,v , v y , v z , se define el producto escalar de
y
por v , y se denota u · v , como la siguiente operación: u · v = u x , u y , u z · v x , v y , v z = u x · v x u y · v y u z · v z
.
No obstante, se puede calcular el producto u · v de la siguiente forma: · v =∥u∥·∥v∥· cos u
en donde “θ” es el ángulo que determinan los vectores
, u
y v , como se indica en la
figura siguiente 1.13. Una Una conc conclu lusi sión ón que que nunc nunca a hemo hemoss de olvi olvida darr es que que al mult multip iplilica carr dos dos vect vector ores es escalarmente el resultado no es un vector, sino un escalar, escalar, es decir, decir, un número. Z
Y
X
Figura 1.13
1.6.3. PRODUCTO VECTORIAL. INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Se define el producto vectorial de dos vectores denota
∧v u
u = u x , u y , u z
y
v = v x , v y , v z , y se
, como otro vector perpendicular al plano determinado por u y v , y
cuyo módulo está dado por ∥u ∧v∥=∥u∥·∥v∥· sin , siendo “θ” el ángulo formado por ambos vectores. En cuanto al sentido, se determinará aplicando la “regla de la mano derecha”, tal y como se aprecia en la siguiente figura 1.14. El producto vectorial no es conmutativo al contrario que el producto escalar, y tal y como se muestra en la siguiente figura 1.14, se tiene que u ∧v =−v ∧ u . Z
Y
X
Figura 1.14
Para Para calcu calcular lar el vector vector result resultant ante e de multip multiplic licar ar u∧v
tenemo tenemoss que expre expresar sar los } , vectores en forma de combinación lineal de los vectores de la base canónica {i , j j , k
es decir u = u x · i u y · j j u z · k y
j v z · k , para a continuación resolver el v = v x · i v y · j
siguiente determinante:
∣ ∣∣ i
u ∧ v= u x v x
j u y v y
k u u z = y v y v z
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
u z u x ·i− v z v x
u z u x 3 k k v z v x
u y · k k v y
.
Se deja como ejercicio al alumno demostrar que efectivamente se cumple u∧v =−v ∧u . 1.6.4. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. Sea
u = u x , u y , u z
un vect vector or cuyo cuyo orig origen en está está situ situad ado o en cier cierto to punt punto o P cuya cuyass
coordenadas respecto a un pnto “O” son P( x, y, z ), tal y como aparece en la siguiente figura 1.15. Pues bien, se denomina momento del vector u= u x , u y , u z punto “O”, y se denota
O r M r
respecto al
, al producto vectorial del vector de origen en “O” y
extremo en “P” por el vector u , es decir, O r M r = r r ∧ u = x , y , z ∧ u x , u y , u z . Por definición producto vectorial, el momento de un vector respecto a cierto punto será un
r y vector perpendicular al plano determinado por el vector r
u
, tal y como puede
r , cuyo apreciarse en la siguiente figura 1.15. Por último cabe mencionar que el vector r
origen es “O” y extremo “P”, recibe el nombre de “vector de posición” de “P” respecto a “O”, y está dado por: . r r = x , y , z = x · i y · j j z · k
En temas posteriores la mayor parte de nuestro tiempo la dedicaremos al análisis y estudio de este vector de posición. Z
P z
O x
Y y
X
Figura 1.15
NOTA.-
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[email protected] El autor: Lucas Quiñonero Jesús. En Águilas, a 1 de diciembre de 2009.
