Apuntes Fisica Mecanica

N mg

θ

;a aceleraci&n radial est8 en la misma direcci&n ue la norma( )n esta direcci&n tenemos! D?m:sinθ@>mar

uando se desprende el o6$eto la normal es cero D@0( ;a ecuaci&n anterior ueda m:sinθ@mar )n este punto podemos decir ue la aceleraci&n radial a r @ Ld2,B( on esta relaci&n tenemos ue m:sin θ@mLd2,B(  e la e
$ v % sin=  −%=&"# ;o ue implica ue θ@204N7( ;a altura "d@135B( ;a ma:nitud # gR de la /elocidad a esa altura es! V d = &"#I Rg ( esde este momento el cuerpo se comporta como un pro.ectil( V

θ hd

2R=60 m

V O Rcos(θ) Pagina 58

La altura hd se relaciona con el radio R y el ángulo θ por la ecuación hd=R(1+sin( θ))

Universidad Adolfo Ibañez

;a

posici&n

d = V

por

 @

Rg

inicial

Mecánica

del

sin , cos=

 @

pro.ectil

Rg $



 $ 

@" @

es

>Bcos θ5B,4(

;a

/elocidad

(

;a posici&n en el tiempo del pro.ectil tomando como ori:en el punto  ue descrito $ RG  $I ,− $ g t % Rg  $I t  I3  r  t = t − R @ @ @ % @ @ @





)l sa6er donde ca.& es eui/alente a "acer rt@<t0( )l tiempo ue demora en lle:ar al suelo una /es ue se "a desprendido!

t =



R   K  Rg $  Rg  Rg =   K  $=%"$# g Og Og

;ue:o la distancia a la ue cae respecto del ori:en en donde cae es!

r  t =− $ R   K  $ R "&=−&.K&$3"& @ @

Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

Problema 3 )n el peli:roso deporte del salto Jun:ee un osado estudiante de Hísica salta desde un puente con una cuerda el8stica atado a sus to6illos especial su$eta a sus to6illos( ;a lon:itud de la cuerda sin alar:amiento es de 5V,7( )l estudiante pesa C: . el puente est8 a V por encima de la superficie de un rio %seco'( alcule la constante el8stica de la cuerda suponiendo ue es un resorte de modo ue el estudiante se sal/e no %mo$8ndose'(

Solución Bealicemos un esuema del pro6lema

Si el ori:en esta en el 6orde del puente la ener:ía inicial es cero )i@0( uando lle:a a m8m:V . la potencial el8stica 1,2+V>5V,7 2( ;a ener:ía total en este punto es 0@>m:V?1,2I2V,7 2( espe$ando I nos da K=49mg/(2H)(

Pagina 60


Mecánica

Problema 4 ;os 6loues representados en la fi:ura de i:ual masa est8n unidos a los e
x

α

α

Su:erencia! Tome la altura "@0 m en el 6orde superior( Soluci&n Situemos nuestro ori:en del sistema en la parte superior del artefacto( )n este caso la ener:ía total inicial es cero Se supone ue en <@0 el resorte no est8 comprimido( uando 6a$a . lle:a a su m82m:
x =

mgcos  % k  sin


Temario

Problema 5 Se tiene un resorte en posici&n /ertical con una constante el8stica +@C:," . en presencia de :ra/edad est8 unido a una masa C( Se comprime el resorte una distancia 3" . se suelta( alcule! •

;a elon:aci&n m8
•

;a /elocidad ue tiene la masa C cuando pasa por el punto de elon:aci&n cero del resorte( Masa

Masa

3h Masa

Figura 3: Resorte comprimido, en cero elongación, elongación má xima

Solución

;a ener:ía inicial es solo potencial es!

1 2  =−mg!h  K 3  ( 2 puntos 2 ecu 4:

uando alcana la elon:aci&n m8
1 2

2

K x mgx#

2 puntos

ecu 5:

W:ualando la ecuaci&n 1 con 4 podemos encontrar < ue tiene dos soluciones! 2:m,I . < >! >3"(  1(5 puntos ;a soluci&n X> corresp&nde a la situaci&n inicial( ;a soluci&n es
Pagina 62


Mecánica

1 2

2

1 2

 =−mg!h  K  35  = m v

2

ecu 6:



2

;a /elocidad /iene dado ]or la e

Temario

C!o3ue Problema 1 os 6loues de masas m1@2(0 I:r(  m2 @4(0 I:r( Se sueltan desde de una altura de 5(0 m so6re la pista sin fricci&n como la ue se muestra en la fi:ura( ;os 6loues sufren un c"oue frontal el8stico( • etermine las dos /elocidades $usto antes del c"oue • etermine las /elocidades después del c"oue( • etermine la altura m8
C2@4(0I:r C1@2(0I:r

H

H

Solución )n todo el sistema no "a. pérdida de ener:ía se conser/a( Si las masas m1 . m2 est8n a la misma altura . parten del reposo lle:ando a ni/el de altura cero lo "ar8n con la misma /elocidad( )n este caso /@2": 1,2@10 m,s( )n el caso de este c"oue se conser/a el momentun . la ener:ía( ;a ecuaci&n del momentun antes del c"oue es!  = m$ v ! − m% v ! pants )l momentun después del c"oue  =m$ v $ !  m% v % ! P dspus )n este caso el momentun se conser/a lo ue implica m$ v −m % v = m$ v $ m% v % ;a conser/aci&n de la ener:ía nos da la ecuaci&n!

$ %

%

$ %

%

" !n!c!al = m$ v  m% v = " dspus=

$ % $ % m$ v $  m% v % % %

on esta =ltima i:ualdad tenemos dos sistema de . dos inc&:nitas( Besol/iendo el sistema nos da las si:uientes soluciones /1@/@10 m,s . /1@m1>3m2/,m1?m2@>1N m,s /2@>/@>10 m,s . /2@3m1>m2/, m1?m2@3(33 m,s ada masa posteriormente sale en sentidos contrarios( omo no "a. Pagina 64


Mecánica

roce la ener:ía cinética de cada masa se transforma en ener:ía potencial( ;a altura ser8 "@/2,2:( en el caso de la masa m1 la altura es "1@12 m . "2@055 m :@10 m,s2(

Problema 2 Ca:ila el :orila de masa C come unas 6ananas con insecticida( Alucina . ataca a un :uardia so6re el cual se a6alana con /elocidad / constante( )l :uardia con el prop&sito de detenerlo reacciona dispar8ndole con una metralleta de pro.ectiles de :oma de masa m @ C,50(000 . cu.a /elocidad es u @ 100/( Supon:a ue una /e ue Ca:ila disminu.e su /elocidad como consecuencia del impacto de un pro.ectil la mantiene constante "asta el si:uiente impacto( alcule! a( Qu8ntos pro.ectiles de6e disparar el :uardia para detener al :orilaR Supon:a ue las 6alas c"ocan . caen cuando alcanan al :orila( 6( Si la cadencia de tiro es T Qcu8nto a/ana Ca:ila entre el tercer . cuarto impactoR

Solución Un esuema de esta situaci&n ser8! V

u

No hay roce

Yusto antes del c"oue  el momentun inicial es! p! =#v −mu espués del primer c"oue pf1 =#v1 ( W:ualando las dos cantidades se tiene ue m $ $  ( v $= v − u =v − $&&v =v  $− # I&&&& I&&


Temario

Para el se:undo disparo el momentun inicial antes del se:undo impacto es! p!2= #v1− mu )l momentun final después del se:undo c"oue p f2@C/2( W:ualando se o6tiene ue / 2@/1> 2,500( )n el tercer impacto el momento inicial es p i3@C/2>mu el momento final después del tercer impacto pf3@C/3 i:ualando . despe$ando se tiene ue la /elocidad de Ca:ila es / 3@/1> 3,500( )n forma sucesi/a se o6tiene ue la /elocidad enésima es! / n@/1>n,500F por tanto con 500 6alas podemos detener a Ca:uila ( Si la cadencia 1 de Tiro es T ue la cantidad de tiros ue salen por unidad de tiempo( Por tanto el tiempo entre tiro . tiro es 1,T( ;a /elocidad después del tercer impacto es! / 3@4M7,500u( ;a distancia ue recorre "asta el @GK $ u cuarto impacto es d = I&& T

1

Cadencia: Repetición de un fen ómeno que sucede regularmente.

Pagina 66


Mecánica

Problema 3 os 6loues A . J de i:ual masa C est8n unidos mediante un resorte de constante de durea + . lar:o natural ;0( )l sistema formado por los dos 6loues descansa so6re un plano "oriontal liso( )l resorte est8 en su lar:o natural( e pronto una 6ala de masa m . rapide / 0 se incrusta en el 6loue A c"oue pl8stico e instant8neo tal como muestra la fi:ura( a alcular la rapide /1 ue aduiere el 6loue A inmediatamente después ue la 6ala se "a incrustado en él 6 uando el resorte est8 comprimido el m8
Solución )n este c"oue "a. conser/aci&n del momentun mas no de la ener:ía(  ! =m v & ! ( )l momentun posterior al c"oue instant8neo es! )l mometun inicial es p

pf = # m  v $ ! ( $= m v & ! v # m

omo

"a.

conser/aci&n

podemos

o6tener

la

/elocidad

/1

Posteriormente se produce un se:undo c"oue pero es el8sticoF el momemtun se conser/a . la ener:ía(

f = # m  v $ ! ( uando alcana )l momentun $usto antes del c"oue el8stico es p la m8
Temario

$ % % K  L& −a $ / % %M m  V % ( Bemplaando el /alor de /2 en % mV & # funci&n de L0 . L1 en funci&n de L0 el /alor de a da! a = L&−  K  # m  %M m  potencial el8stica(

"=



Problema 4 >Se tiene una 6arra de lar:o ; de anc"o V . profundidad S( )sta 6arra tiene un orificio circular de radio B BZV,2 . BZ;,2 coincidiendo el ori:en con el e$e de simetría /ertical . cu.o centro est8 a una distancia d del centro sin orificio de la 6arra(( alcule el centro de masa de sistema

H

Solución )ste pro6lema se puede pensar ue es un rect8n:ulo de la do ; . V ue se "a e
-

R

d L

=

;a circunferencia de6e tener la misma densidad

O

del o6$eto real( Si la masa de o6$eto inicial es C la densidad es

=

M 2 LH − R

)l centro de masa de acuerdo a un sistema en el punto  es! L 2 2 H / 2  LH i − H / 2   R   LH  j − L / 2d    R 2 L d  R 2

r cm=

Pagina 68

2

  LH − R 

= −  j 2 2 LH − R


Mecánica

Problema 5 Utiliando la misma técnica calcule el centro de masa de! H

Solución =

)n este caso la densidad es! M

 H 2 LH −   2

L

2

)n esta caso el centro de masa /a estar contenido en la linea de simetría( S&lo calculemos en el e$e /ertical respecto de la esuina inferior iuierda( 4 H  H 2 L / 2  LH − L−    3 2 2 2 y cm=  H 2   LH −    2

2


Temario

Problema 6 na ala de 300 &r con na velocidad de 330 ms impacta con n p%ndlo de masa 100 &, $e cel&a desde n teco $e est a 2 m. +i la ala $eda inscrstada en el p%ndlo, calcle•

/a velocidad sto desp%s del impacto.

•

alcle la la altra $e lle&a el p%ndlo.

Solución $= mv % . :sto despes del co$e el momento " = m '  V " % . ;or conservación del momento, en el ee , se otiene V " = m v . & m ' +aemos $e el momento inicial ses

na ve<, e'ectado el co$e, la ener&ía se conserva. /a ener&ía cin%tica se trans'orma en 2 m2 2 1 ' 2 v )3 ener&í potencial v = m '  g( . /e&o, despeando ( =  m '  2 2 m ' 2&  m  '  pntos*



Pagina 70




Mecánica

Problema 7 alcle el centrode masa de la si&iente 'i&ra con densidad constante.

a

3a Figura 4: Triángulo rect ángulo

Solución =ecodemos $e el centro de masa se de'ine, para n contino

rcm =

1

∫ r dm

'

ecu 7: Centro de masa

. +i el ori&en esta en la

es$ina in'erior, i<$ierda se&>n la 'i&ra 4, el elemento di'erencia de masa se pede escriir como dm!σddy. l vector posición r = x , y  . l dominio de de las variales va

a y(x)

3a 0??3a e 0?y?@)*.. n este caso la 'nción $e descrie el límite sperior de y)*, viene dado por la y  x =a−

epresión rcm =

1

1 x )2 pntos*. /e&o la inte&ral del centro de masa 7 $eda 3

3a y  x 

∫ ∫   x , y  dydx ' 0

1

rcm = '

0

3a

∫   xy  x  , 0

, con ' =

 y  x 2 2

3

3

1

a a

'

2, 2

 dx =   3


3 2 a 2

= a , a /3 

Temario

Problema 8 Se tiene un bloque de madera de una masa M= 5 kg. Una bala de masa 150 g impacta con una velocidad de v=350 m/s, de modo que queda incrustado en la madera. El sistema madera-bala entra a una zona de roce, deteni éndose cuando ha recorrido una distancia D=2 m.

• •

Sobre la informaci ón entregada, calcule: La perdida de energ í a por el impacto (Choque inel ástico). El coeficiente de roce de la superficie.

Solución En este /ro'lema" se conserva el momentum lineal en la direccin 0ori+ontal. El momento inicial es p =m v i =0,150 x350 i = 52,5 i N / s .El momento /osterior al c0o1ue es $" = m  '  V " % =5,150 V " % .
1 2

1 1 2 2 m v = 0,150 x  350  =9187,5 )
 m '  V " 2= 266,08 ) .
%"@O

Pagina 72


Mecánica

0inámica de Sólidos 4rolema 1 Se tiene una su/erficie cnica 1ue gira con una frecuencia angular de -. ;entro de la su/erficie e6iste un /artícula de masa m" y las su/erficies en contactos tienen roce estático m s y cin7tico m . Investigue /ara 1ue intervalo de frecuencia Sentido de giro, con angular - la masa está en re/oso. 9enga el velocidad angular w cuidado de estudiar el caso en 1ue la tangente del ángulo sea menor 1ue el coeficiente de roce estático.

Solución: Si el cono no estuviera girando" /ara 1ue no deslice" se tiene 1ue dar la relacin! tang, Wµ s ,?

α

)nalicemos las fuer+as so're el cuer/o en la condicin ,?. ;el diagrama se o'tiene 1ue N  j− Mg cos  j  fr i  Mg sin   i = M  a cos  i  a sin  j  Se/arando /or com/onentes! 4NMgcos,α  >Masin,α  ,$ fr?Mgsin, α>Macos,α  ,% En la inminencia de movimiento fr> µs4.

N

y

fr ;es/ejando 4 de la /rimera ecuacin 4>Mgcos,α  x ?Masin,α  W y la rem/la+amos en la fuer+a de roce" se o'tiene 1ue de α la segunda ecuacin! m s ,Mgcos,α ?Masin,α?Mgsin,α>Ma cos,α . Pero a>-Tr" donde r es el radio de rotacin. ;es/ejando la magnitud de la aceleracin y /osteriormente la velocidad angular" se o'tiene 1ue !


Temario

w=



g  sin s cos  r  cos −s sin 

Este valor de frecuencia angular má6ima antes 1ue comience a desli+ar. Si ->&" el cuer/o no desli+a ya 1ue el roce es suficiente /ara detener el cuer/o ,condicin ?. Su/ongamos 1ue esta condicin no se cum/le" es decir ang,s ,? ! la direccin de la fuer+a de roce cam'ia. N  j − Mg cos  j− fr i  Mg sin   i = M  a cos   i  a sin  j  Se/arando /or com/onentes! 4NMgcos,α  >Masin,α  ,$ Nfr?Mgsin,α >Macos,α  ,% En la inminencia de movimiento" se tiene 1ue fr> µs4. ;e ,$ 4>Mgcos, α ) ?Masin, α ). 3em/la+ando en la fuer+a de roce y des/ejando la velocidad angular se tiene 1ue

w=



g  sin −s cos  r  cos s sin 

D'serve 1ue si el coeficiente de roce es cero" se o'tiene la frecuencia - en 1ue el cuer/o 1ueda en e1uili'rio" slo girando.

Pagina 74


Mecánica

Pregunta 2 Se tiene un disco de radio 3 y de masa m y grosor R"con un surco /ara enrollar un 0ilo. (no de surcos está a una distancia 3 8%del centro. Entre disco y el /lano 0ay roce. Se a/lica una fuer+a F /aralela al /lano ,$" determine la direccin de rotacin del sistema. Se a/lica una fuer+a F /er/endicular al /lano ,%" determine la direccin de rotacin del sistema (2) F

F (1)

LE6iste un ángulo intermedio en 1ue se a/li1ue la fuer+a. res'ale sin avan+ar

Solución (2) F

y N

x F (1)

fr

W

)nalicemos /rimero el caso ,$ Mai o es decir FNfr>Ma en el eje 6 y 4NMg>&. Veamos los tor1ues "= R / 2 i x   !  R j x − f" i = #  Esto es e1uivalente a F38%Nfr3>I . ;es/ejamos fr de la ecuacin FNfr>Ma y se rem/la+a en la ecuacin del tor1ue o'teni7ndose a . FN%F?%Ma> Ια83. Pero el Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

tor1ue de fr es mayor 1ue el /roducido /or F. Por tanto tiende a rotar y a 6. Esto im/lica 1ue α>Na83" y /or tanto a>F8,I83%?%M. Situacin ,%. Mai o su forma e1uivalente! 4?FNMg>& y Nfr>Ma. Ια. En este caso α es /ositivo y a negativo. 3em/la+amos fr>NMa en la ecuacin del tor1ue F38%?Ma3>Ia83. ;es/ejando a se tiene ,F8%8,NM3NI83>a. El signo de a es negativo" avan+a 0acia el lado negativo del eje . Como vemos" tenemos un caso ,$ 1ue avan+a 0acia el lado /ositivo y ,% 0acia el lado negativo" /or tanto /or el teorema de continuidad de'e e6istir un /unto en donde la aceleracin es cero.
y N

x θ

fr

F (1)

W

en el eje 6! Fcos, θNfr>& en el eje y 4?Fsin, θNMg>&. )demás" estamos es una situacin crítica" es decir 1ue fr>µs4>µs,MgN Fsin,θ. 9ra'ajando las ecuaciones en la condicin crítica se o'tiene 1ue!  s $% Por tanto el ángulo de'e satisfacer esta ecuacin. cos  s sin = 

Pagina 76


Mecánica

Problema 3 Se tiene una semi esfera de radio 3J se tiene un cas1uete de radio interior 38% y radio e6terior 3 de iguales densidades. Calcule los centro de masa de cada cuer/o y diga a 1ue distancia están del /unto de contacto. Calcule los momentos de inercia del eje de simetría 1ue /asa /or el centro de masa. Eje de simetr í a

Si s e inclinan am'os o'jetos en un ángulo 1 simetría" dedu+ca una ecuacin de la velocidad del centro en funcin del ángulo de rotacin. =rafi1ue la velocidad en funcin del ángulo /ara los siguientes valores! densidad de  Qgr8m^" radio de 3>$ m /ara ángulo iniciales de #&H" @ H y K& H.

&

con res/ecto del eje de

Solución Vamos a calcula r el centro de masa de los o'jetos desde la /arte inferior" el /unto en contacto con la su/erficie. Por definicin el centro de masa de un cuer/o es! ∫ " dm En este caso" se tiene es una integral tri/le " cm = $

Semi esfera!Por la configuracin del cuer/o el centro de masa de'e estar R

contenido en el eje de simetría.

#∫ & cm =

 R − R − ' 

0

2

2

∫

"d" d' 2 

0

$

5

= R

.

8

En el caso del cas1uete" se tiene 1ue el centro de masa está dado /or! 2

 / 2 R

∫ ∫ ∫ #  " cos $ " d" sin $  d $ d  2

R −

0

0

0

$

=

67R

Esta distancia es desde el /unto de

112

a/oyo. Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

El momento de inercia de estos cuer/os son! R

Semi esfera # =#∫

 R

2

−  R − ' 

∫

2

3

" d " d ' 2 =

0 0 2  / 2 R

Semi cascara # ∫ 0

∫ ∫  " s i n $ 0

2

4 2 #  R 5 = $ R 2 15 5

2

" d " s i n $ d $ d =

3 1 R

0

2

80

En el caso del giro" el eje no es el de simetría. 9enemos 1ue calcular el nuevo momento de inercia. )sí" /or conservacin de energía se tiene! 1 ˙  2  1 # ˙ 2 " /ero v = R d  . ( =−m % R c m c o s 0 =−m % ) c m c o s  $  R c m  2

2

d t



$ % R c m c o s − c o s 0  1 1 # $  2 2 R c m2

Calculo de los momentos de inercia en torno del eje de rotacin Semiesfera! %83 %M Cas1uete ! #$8O&3 %M Veamos el gráfico de la semiesfera! M>%.&G Qgr." I>&.O#KK Qgr m %. g>G.O m8seg%. 3cm>&.% m. =rafico de Velocidad en funcin del ángulo Veamos de un cas1uete M>$.O# Qgr." I>&.#OK Qgr m %. g>G.O m8seg%. 3cm>&.GO m. =ráfico de Velocidad v8s ángulo.

Pagina 78


Mecánica

Problema 4 (n yoyo consiste en dos discos uniformes cada uno con masa m y radio 3" conectados /or un eje ligero de radio '. (n 0ilo ligero se enrolla varias veces en el eje y luego se sostiene fijo mientras el yoyo se li'era del re/oso" cayendo al desenrollarse el 0ilo. Calcule la aceleracin del yoyo y la tensin en el 0ilo.

Solución 3ealicemos un 'os1uejo de la situacin

2b T

mg

2R

Nma donde a es la aceleracin con 1ue 'aja el conjunto" 9 la tensin. )demás rota en torno al centro del :oyo. Si nuestro sistema de referencia está en el centro" el tor1ue es /roducido /or la tensin.
=

$T " donde I es el momento de %

inercia del :oyo. ) su ve+" la aceleracin tangencial está relacionado con la aceleracin angular /or medio de la relacin a>' ,4o res'ala la cuerda. Con Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

tres relaciones" /odemos calcular 9"a y  en funcin de los conocido sa'iendo 1ue % =%

#R%

%

%

=#R .

g$ % R $ % g$ )celeracin tangencial a= % % R $

)celeracin angula

Pagina 80

=

%

%

y la tensin en la cuerda

#R g$ T = % % R $


Mecánica

Problema 5 Considere el dis/ositivo de la figura adjunta. El radio de la rueda grande es 3. )m'os agujeros son cilíndricos y su radio es 38@. Sus centros distan 38% del centro de la rueda y están so're el mismo diámetro. El grosor de la rueda es s. a. Calcule el momento de inercia del dis/ositivo descrito. '. Calcule la energía de rotacin si el dis/ositivo gira con velocidad angular - en torno el centro de la rueda de radio 3. c. Si se tiene un disco com/leto de radio 3" del mismo material" L1u7 velocidad angular de'e tener /ara igualar la energía del dis/ositivo

s B

B,4

B,4

B,4

B,4

Solución 9enemos 1ue tener /resente 1ue este dis/ositivo se /uede considerar como un cilindro com/leto 1ue se 0a restado otros cilindro de radio 38%. Vamos a su/oner 1ue conocemos la densidad de material del cual está 0ec0o el material 1ue anotaremos con la letra #. El momento de inercia será en de un disco com/leto menos dos discos Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

menores" rotando a una distancia 38% de su centro. El momento de inercia del disco com/leto es

mR %= %

%

%

En este caso /ara el artefacto será!

R m  % % R % R −%   m    donde % &= # % % % Momento de inercia

%

# =# R s y

m =# 

 R

%

%

s

En este caso la e6/resin del momento de inercia IU en funcin de 3 y # es  % &= # R@ s $
%=

% # =# R s y /or lo tanto su

$ # R@ s y /or lo tanto la energía de rotacin está %

$ $  @ % #  R@ s ' % 1ue igual a la energía de rotacin @ % #% anterior. Por tanto igualando /odemos encontrar las relacin entre la frecuencias $& angulares. ' & = ' #% dado /or

" = # R ' & =



Pagina 82


Mecánica

Problema 6 (na 'arra de largo < y de masa M" está girando en un /lano 0ori+ontal con velocidad angular en torno a un eje fijo 1ue /asa /or su centro de masa 2. (na /artícula de masa M se a/ro6ima con una velocidad igual a v >-<8%" en la direccin 1ue se indica en la figura.
Situaci&n inicial

Situaci&n de acople

Ω ω

K

K ;,4 H

/

Pro'lema O Calcule! a.
Solución En el este /ro'lema" el momento angular se conserva. El momento angular antes del im/acto es!

% L  LL L  L   m L =mv k % ' k =m' ' k =m ' k . Posterior al

%

enganc0e" el momento angular es

%% $% # % L = % m L  ' & k =m L ' & k " donde I es el

% # momento de inercia de la 'arra en torno el centro ,I>m<8$% y m la masa de la Profesor Miguel Bustamante S.

Temario

/artícula. Por conservacin" estos vectores de'en ser iguales" /or tanto ->-U! no 0ay cam'io de la velocidad angular. 3es/ecto de la energía" la inicial es

    %

%

$ $ $ L $ mL $m % % % % %  L  ' = " f 1ue es igual a la final. " ! = mv  % ' = m '  ' = % % % % % $% % #

Curiosamente" en este enganc0e" la energía se conserva. Cuando está enganc0ado" conocemos la velocidad angular. )l a/licar una fuer+a F a una distancia de <8@ del centro de rotacin" a/arece un tor1ue" de modo 1ue de'e detener la rotacin en _ /eriodo. (n /eriodo es 9>%8-.
%

%' la velocidad inicial está dado /or la e6/resin! = # % O' fuer+a es ( = # L

Pagina 84

.

Mecánica

Problema 7 Se tiene un cuer/o de masa M" a una altura 3. Se deja caer ,/arte del re/oso y gol/ea elásticamente un semidisco de radio 3 y masa m 1ue gira en torno el /unto D.

R D O

2R

So're la 'ase de la informacin entregada calcule a
Solución
Temario

de la masa /untual /osterior al c0o1ue. Esta igualdad 1ueda! $ #2gR $ = #v &% % ' % % % %
'=

) y % $ % #)

 

% −$  # )%  v &= % $ % #)

 %g3

3es/uestas ,a y ,'

Si la masa M 1ueda en re/oso justo des/u7s del c0o1ue" vU es cero. El momento de inercia del semidisco en torno el /unto D es I>m3%8% ,A. Si la velocidad vU es cero" im/lica 1ue I8,M; %N$>& ,?. 3em/la+ando la e6/resin ,A en ,? /odemos encontrar la relacin entre las masas con ; y 3" esto es! %

m %R = # )%

Pagina 86

,e.


Mecánica

2stática de Sólidos Pregunta 1 (na caja de /eso - es em/ujada /or una fuer+a so're el /iso 0ori+ontal. Si el coeficiente de friccin es µ y F está dirigido a un ángulo de φ de'ajo de la 0ori+ontal a muestre 1ue el valor mínimo de F 1ue moverá la caja es!  S w s*c $  = 1− S tan $

Solución Primero de'emos di'ujar el es1uema del /ro'lema F

N

φ

y

x

fr

W

& (1) & (2) En la inminencia de movimiento fr>Fcos, φ) y fr>µs4. ;e la ecuacin ,% se o'tiene 1ue 4>Fsin,φ?Mg y rem/la+amos en la e6/resin de la fuer+a de roce o'teni7ndose µ s, Fsin,φ?Mg>Fcos,φ. ;es/ejando F se o'tiene 1ue

S w s * c $  = 1 − S t a n $


Temario

Pregunta 2 Se tiene un escalera de # m de largo y /eso de %&& 4 a/oyada en un /ared. E6iste roce en la /ared el suelo" y el coeficiente de roce es &.. Calcule la fuer+a de reaccin del suelo y la /ared so're la escalera si el ángulo de elevacin de la escalera con la 0ori+ontal es de &Hy está en movimiento inminente. R2

R1

fr1 y

200 N fr2 60°

Solución

O 3ealicemos un diagrama del /ro'lema! &

& En la direccin de y! fr%N3$>&. ;E la ecuacin del momento tenemos! N%&&<8%cos,&H?3$& En el su/uesto de movimiento inminente! m fri>3i Esto im/lica 1ue en la ecuacin ,% se o'tiene 1ue esto im/lica 1ue

fr 1=

R1=

100

 1  tang  60 

100

 1 tang  60  El valor de fr%>3$>$&&8,,$?9ang,&H y 3%>$&& /,,$?tang,&H?%&&

Pagina 88

°

°


Mecánica

Problema 3 Se tienen dos esferas de radio 3 en una cavidad de anc0o #3. Si cada esfera tiene una masa M" Calcule las fuer+as de reaccin de las esferas con las /aredes del reci/iente" y entre las esferas.

B

B

3B

Solución Para resolver este /ro'lema de'emos anali+ar fuer+a 1ue act5an so're cada cuer/o. Veamos la esfera inferior

las P1 P2 %

α

o de igual forma" la suma de las fuer+a en el eje!

P3 W

6! NP#cos,α?P$>&. y! NP#sin,α?P%Nmg>&


Temario

Veamos la segunda esfera. & y! P#sin,αNmg>&.

P4 -P3

α

-mg

Pagina 90


Mecánica

Calculemos el ángulo α

B

R

Bα

R R

3B

Como se o'serva en el diagrama Cos,α>38,%3>$8%. El ángulo α es &Z. 3esolviendo las ecuaciones de las com/onentes de las fuer+as de cada cuer/o" tenemos la siguiente solucin!  ∣= mg ∣P+  ∣= mg =∣P  ∣ .  # " P%>%mg" ∣P1  # %


Temario

Pagina 92


Mecánica 2011-I

Ejercicos Propuestos para la Ayudantía Mecánica 2011-II


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Cinemática I Movimiento Rectilineo Problema 1 En la carrera de de Usain Bolt, medidos que la velocidad media en los últimos 100 m que era de 41 km/h (11,38 m/s) !u"oniendo que la velocidad viene dado "or la e#"resi$n v  t =V 0  1−e −t  , donde %0&11,38 m/s !a'emos que #(1,30 s)&00, * que la velocidad +inal era 11,38 m/s, calcule • El valor de λ • a aceleraci$n m-#ima .*uda ara #(1,30)&00 m asuma que

− t

e t = 19,30 =0.0

Problema 2 os autom$viles van en la misma direcci$n, se"arados "or 2 m * a una velocidad de 140 km/h El "rimer autom$vil +rena, de modo que la desaceleraci$n es de 4 m/s !i el tiem"o de reacci$n del seundo conductor es de 0,3 s * tiene una desaceleraci$n de 3 m/s  realice • •

Un gráfico de velocidad en función del tiempo !os dos móviles en el mismo gráfico" Un gráfico de posición en función de tiempo Ambos moviles representado en el mismo gráfico"#

$alcule • !a distancia relativa en función del tiempo% desde el momento en &ue frena el primer auto#

5hocan los autos6, 7u velocidad tiene cada auto, 9usto antes de chocar6 (!i es que chocan)

Problema 3 5uando se inclu*e el e+ecto de la resistencia aerodin-mica, la aceleraci$n en el e9e vertical : de una "elota que se mueve hacia arri'a viene dado "or la e#"resi$n a  v =− g −kv 2  j , mientras cuando cae, la acelaraci;on viene dado "or 2 la e#"resi$n  a  v =− g kv  j donde k es una constante "ositiva * v es la velocidad en m/s !i la "elota es lan1 * &,81 m/s)


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Cinemática II Movimiento Proyectiles Problema 1 El vector "osici$n de un "unto que se mueve en el "lano ?>: est- dado "or la ecuaci$n





4 2 3 3 2  t   R  t = t − t i  j

3

2

12

donde @ est- en metros * t est- en seundos Aallar el -nulo que +orman la velocidad % * la aceleraci$n a en a) t& s ') t&3 s

Problema 2 Un bola de 10 mm de diámetro que rueda por un plano horizontal situado a una altura h= 4 m sale de él como se indica en la i!ura. "etermine la #elocidad $ 0 m%nima & má'ima que puede tener la bola si ha de caer en un a!u(ero de diámetro de "= 200 mm, situado a una distancia horizontal d= 2 m desde el borde del escal)n. *+a aceleraci)n de !ra#edad es de 9.1 m-s 2

Problema 3 Un traba'ador usa agua a alta presión para limpiar el interior de un largo tubo de desag(e# )i el agua se descarga con una velocidad de *0+11%, ms determine. a" !a distancia d al punto mas ale'ado / en la parte superior del tubo &ueel traba'ador puede lavar desde su posición en A b" el án!ulo α correspodiente.


Mecánica 2011-I


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Cinemática II Movimiento Rectilineo Beer-Capítulo 11 Problema 1 os autom$viles se des"la
Problema 2 En la +iura el 'loque B desciende a una velocidad de 12 m/s * disminu*e su velocidad a ra<$n de D,2 m/s  En el instante de la +iura d.&3,= m * dB&,D m etermine la velocidad de . * la aceleraci$n de B


Mecánica 2011-I

Problema 3 El 'loque B comien

Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Movimiento en dos Dimensiones Coordenadas Polarres Beer-Capítulo 11 Problema 1 Un radar siue a un cohete En un instante la distancia r * el -nulo θ son 1= km * 30 . "artir de las medidas sucesivas se estima que las derivadas de   r˙ , ¨r , ˙ , ¨ son res"ectivamente 12 m/s, 4,2 m/s , 0,031 rad/s, 0,002 rad/s  etermine la velocidad *a aceleraci$n del cohete


Mecánica 2011-I

Problema 2 Un punto recorre la trayectoria dada por r(t)=50cos(3θ(t)), donde θ se expresa en ˙ 2/ rad / s (constante) y que θ=0 en t=0: radianes y r en milimetros. Sabiendo que = • Calcular (t) en t=0 • Calcular ala acerelaci!n a(t) en t=0 • "epresentar la posici!n para 0#t#$ s

Dinámica Problema 3 l blo&ue de 1, g es soportado por el blo&ue  de 2/ ! & está su(eto a una cuerda a la que se aplica una uerza horizontal de 22/  como se muestra. "espreciando el eecto de la ricci)n determine • +a aceleraci)n del bloque  • +a aceleraci)n del bloque .

/

A

Problema 4 5l bloque  tiene una masa de 40 ! & el bloque  tiene una masa de  !. o ha& ricci)n. 6i la uerza aplicada 7=40 , calcule las aceleraciones de cada masa.

/ A

2, 

Problema 6 6e tiene el si!uiente sistema de masa


Mecánica 2011-I

5oce. $oeficiente de roce . stático 0%6 $in3tico 0%7 Masa M2

$oeficiente de roce. stático 0%, $in3tico 0%4

M

Masa M

5n las circunstancia descritas • 86e mue#e las masas 

•

:alcule la tensi)n en cada cuerda, independiente si se mue#e o no.


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Fuerza, Torque, Centrode masa 8regunta 1 Se tiene una superficie cónica, en donde en su interior hay un cuerpo de masa M en el plano interior. Existe roce entre el cuerpo M y la superficie. Este cono gira con una velocidad angular constante.

Masa% M

β

)uperficie con roce $oeficiente estático µs :oeiciente de roce dinámica *cinético, µ

9% frecuencia angular

Estudie el rano de la +recuencia F, de modo que el cuer"o no deslice Pregunta 2 Se tiene el siguiente sistema de masas y polea Existe roce entre la masa M y m: coeficiente de roce estático 0,5, cintico 0,!" el roce entre la mas m y el plano es: cintico 0,#, estático 0,5. El ángulo β$!5%, y la masa M$0,5m. &alcule la aceleración de cada masa. M '&uidado, puede (ue el sistema no acelere. Estudie el caso) m

β


Mecánica 2011-I

Pregunta 3 Se tiene dos cuerpos atados por una cuerda de largo *$+ m. Estas masas están sore un disco, de modo como se especifica en la figura.

m1 r1

m2


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Ayudantía Torque, Centrode masa

Pregunta 1 &alcule el centro de masa de los siguientes o-etos:


Mecánica 2011-I

Pregunta 2 !e tiene un estanque de altura interior A, * 'ase circular de radio @ El rosor de la "ared del estanque es de G!H • 5alcule el centro de masa de este estanque area aua a una ra<$n ra<$n de I (k/s), (k/s), encuentr encuentre e una e#"re e#"resi$n si$n del • !i se area centro de masa del sistema estanque aua en +unci$n del tiem"o

Pregunta 3 5alcule el centro de masa del siuiente o'9eto ;ensidad ρ0

!

;ensidad ρ

25

• • •

!i la densidad de ρ0&0 !i la densidad ρ0&ρ/ !i la densidad es ρ0&10ρ

Pregunta 4 )e tiene un ciindro de masa M : radio 5 como se muestra en la figura# $alcule.

$ilindro de radio 5 : masa M

•

l valor de la normal del cilindro con la superficie#

•

!a fuerza de roce necesaria para mantener el e&uilibrio#

•

)i está en inminencia de movimiento% calcule el µs.


Mecánica 2011-I

Pregunta  6e tienen dos cuerpos en plano inclinado como se muestra en la i!ura. Masa 2M

$oeficiente de 5oce µs+0%<,= µ+0%6,

Masa M

α $oeficiente de 5oce. µs=1,21; µk=0,8

6obre la base de la inormaci)n entre!ada en la i!ura, calcule

•

5l án!ulo αc en que las masas estén a punto de deslizar.

•

+a uerza de contacto entre las masas.

•

6i el án!ulo α=1,2αc, calcule la aceleraci)n de cada masa.

Pregunta 6 6e apo&a una escalera de masa ;= 1/ ! de lar!o +=3 m sobre una pared #ertical. 6i el coeiciente de roce es entre la escalera & el suelo es µs=0,
•

5l m%nimo án!ulo de inclinaci)n de la escalera con respecto al suelo (usto antes de que comience a deslizar.

•

6i una persona de 0 !, sube por la escalera, 8hasta que distancia subirá antes que la escalera deslice


Mecánica 2011-I

Ejercicios de Ayudantía Trabajo, ner!"a y #rinci#io de conservaci$n

Pregunta 1 Se tiene la siguiente expresión funcional de una     x , y  = F 0 sin  2'  i  F 0 cos  2&  j F $alcule. 1# l traba'o realizado por la fuerza > desde el punto 0%0" ?asta π,π " cuando :+@#2 puntos" 2# s una fuerza conservativaB ;emuestre  2 puntos" 4# l traba'o realizado por la fuerza >% desde el punto 0%0" ?asta el punto π,π " por el siguiente camino: x de 0 a π, con y$0, luego y de 0 a π con x$ π

fuera

Pregunta 2 Se tienen las si%uientes &uer'as:

•

  x , y , z = xy  y − z k F

•

  r =⌊ r ⌋2 r % con F

r = x , y , z 

*erifi&ue si son fuerzas del tipo conservativos o no#

Pregunta 3

C

* ;

Figura 1: Montaje de Resorte y superficie con roce )i ?a: roce en toda la superficie inferior a la masa% calcule el valor de C% para se comprima una distancia de d+;10# Du3 condición debe e@istir sobre *B


Mecánica 2011-I

Pregunta 4 )e tiene el siguiente sistema de masas : resortes

)i el sistema parte del reposo siendo d+ E, cm= los pesos de lo cuerpos son. 9A+2, F : 9/+,0 F# !a constante elástica del resorte es de +444 Fm% : en el instante de la figura% no está deformado# $alcule la velocidad del blo&ue / cuando llega al suelo#

Pregunta  )e sabe &ue un automovil &ue va en la carretera a velocidad constante debe &uemar combustible para mantener esta velocidad# A velocidad constante% ?a: un e&uilibrio de fuerzas. el &ue ?ace el motor : la fuerza e@terna de modo &ue la suma da cero#

 =−k v # ncuentre una e@presión de la )uponga &ue la fuerza e@terna viene dado por la e@presión F potencia en función de  : v# n estas circunstancias% si la velocidad aumenta al doble% la potencia cuánto aumentaB  =−∣v∣2 v % cuál es la e@presión de la potenciaB 5epita el cálculo con F como podrGa saber usted &ue tipo de fuerza actHa sobre un auto en la carreteraB

Pregunta 6 Un cuerpo desliza sobre una superficie inclinada con un ángulo de elevación de α a velocidad v# constante# )i desliza una distancia ;% cuanto vale el coeficiente de roce cin3tico en t3rminos de m% g% : α


Mecánica 2011-I

Pregunta ! Un blo&ue de masa m ba'a por el plano inclinado A/ con rapidez constante *0# l tramo A/ : el tramo /$ son del mismo material coeficiente de roce dinámico µ"# l tramo $; es un semicircunferencia de radio 5 sin roce#

a" $alcular µ (2 puntos" b" $alcular el má@imo valor de d en t3rminos θ0% g% *0 : 5" para &ue el blo&ue pueda llegar al punto   2 puntos" c) 6upon!a que el bloque pasa por el punto ". :alcule la normal al bloque en ese punto en términos θ0, !, $0 , >, m & d *2 puntos

re%unta  Se tiene un cuerpo que desli'a en riel, como muestra la &i%ura Calcule:

g

C% constante elástica !argo natural del resorte 5

,5

5

/

•

*a elocidad en el punto +.

•

*a ecuaci!n que describe la elon%aci!n mxima del resorte en la l-nea ori'ontal.


Mecánica 2011-I

/ercicios de 1yudant-a Mommentun lineal, conservaci$n, c%oque elástico e ineleasticos&

Pregunta 1 /omeo está en un extremo una alsa de #00 gr con un largo ! m. El otro extremo está -unto al orde del rio, donde está 1ulieta. *a masa de /omeo es de 20 gr, y la de 1ulieta es de 30 gr. Si /omeo se acerca amorosamente a 1uelieta, 4(ue distancia dee saltar para llegar donde 1ulieta

re%unta $ Se tiene un lo(ue de madera de una masa M$ 5 g. 6na ala de masa +50 g impacta con una velocidad de v$750 m8s, de modo (ue (ueda incrustado en la madera. El sistema madera9ala entra a una ona de roce, detenindose cuando ha recorrido una distancia $# m.

• •

Sore la información entregada, calcule: *a perdida de energ;a por el impacto '&ho(ue inelástico). El coeficiente de roce de la superficie.

roblema 3 Supongamos el sistema nternet. roblema 2 Se tiene dos cuerpos (ue giran en torno del punto ?. El primer cuerpo gira de acuerdo a la r 1  t =,0 m  cos  4t  i sin  4t   j  . ecuación El segundo cuerpo gira como r 2  t = 20  cos  t  i sin  t  j  . &alcule la fuera neta (ue act@a sore el sistema. *as masas de m+$m#$+0 gr

Apuntes Fisica Mecanica

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