APUNTES DE CLASE02-MC-2015.pdf

APUNTES DE METODOS CUANTITATIVOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA ESCUELA DE POSTGRADO PROGRAMA DE MAESTRIA EN CIENCIAS ECONOMICAS MENCION: PROYECTOS DE INVERSION

CURSO:

METODOS CUANTITATIVOS

TOPICO 5:

ECONOMETRIA: MODELO DE REGRESION LINEAL GENERAL APLICACION

Econ. SEGUNDO SEGUNDO A. CALLE CALLE RUIZ RUIZ Ms. Sc.

PIURA – 2015

METODOS CUANTITATIVOS-ECONOMETRIA

2015

LM  T * R2  24 * 0.002412  0.057888 X (20.05, 2)  5.99 Dado que:

H 0 :

No existe AR(2)

H 1 : Existe AR(2)

Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo no presenta autocorrelacion de segundo orden . D.4.

Box Pierce

Rutina: Para verificar autocorrelacion (Asumiendo muestra grande) Eq01 / View / Residual Tests / correlogram –Q-statistics / lags to include: 2 / Ok

Econ. Segundo A. Calle Ruiz

Página 40


2015

Para Probar AR(1)

Q BP  24(0.032) 2  0.024576 2 X (0.05,1)  3.84

Dado que:

H 0 :

No existe AR(1)

H 1 : Existe AR(1)

Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo no presenta autocorrelacion de primer orden.

Para Probar AR(2)

2 2 Q BP  24((0.032)  (0.34) )  0.05232

X (20.05, 2)  5.99 Dado que:

H 0 :

No existe AR(2)

H 1 : Existe AR(2)

Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo no presenta autocorrelacion de segundo orden.


Página 41


E.

2015

COMO CORREGIR AUTOCORRELACION

Si fuese el caso de que el modelo presentara autocorrelacion , existen alternativas operativas para atenuar la autocorrelacion; sin embargo la alternativa más utilizada es el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt.

Se trata de regresionar el modelo original incorporando como un regresor mas la opción AR(p), donde “p” es el orden de la autocorrelacion que se haya detectado

anteriormente Aplicación Rutina Barra de comandos Ls Qg c pg Mg R Cg AR(1)


Página 42


2015

DATA

obs 1985Q1 1985Q2 1985Q3 1985Q4 1986Q1 1986Q2 1986Q3 1986Q4 1987Q1 1987Q2 1987Q3 1987Q4 1988Q1 1988Q2 1988Q3 1988Q4 1989Q1 1989Q2 1989Q3 1989Q4 1990Q1 1990Q2 1990Q3 1990Q4

Qg 1750.000 1810.000 1840.000 2025.000 1960.000 2000.000 1950.000 2150.000 2120.000 2100.000 2150.000 2190.000 2130.000 2060.000 1990.000 2155.000 2110.000 2140.000 2125.000 2140.000 2160.000 2125.000 2175.000 2350.000


Pg 29.00000 31.00000 32.00000 28.00000 26.00000 29.00000 31.00000 30.00000 32.00000 34.00000 32.00000 28.00000 32.00000 35.00000 36.00000 38.00000 40.00000 39.00000 33.00000 32.00000 30.00000 28.00000 29.00000 30.00000

Mg 200.0000 210.0000 220.0000 260.0000 250.0000 255.0000 240.0000 280.0000 275.0000 265.0000 275.0000 290.0000 280.0000 260.0000 245.0000 280.0000 270.0000 280.0000 290.0000 320.0000 300.0000 290.0000 300.0000 350.0000

R 850.0000 870.0000 860.0000 910.0000 880.0000 860.0000 900.0000 920.0000 960.0000 1000.000 1010.000 990.0000 950.0000 960.0000 940.0000 970.0000 960.0000 940.0000 880.0000 860.0000 850.0000 860.0000 840.0000 820.0000

Cg 75.00000 74.00000 73.00000 75.00000 76.00000 77.00000 73.00000 78.00000 79.00000 77.00000 71.00000 75.00000 77.00000 75.00000 76.00000 79.00000 77.00000 81.00000 79.00000 79.00000 81.00000 82.00000 81.00000 82.00000

Página 4


2.

2015

ESTIMACION DEL MODELO ECONOMETRICO MÉTODO DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS Barra de comandos:

ls Qg c Pg Mg R Cg / enter

Dependent Variable: QG Method: Least Squares Sample: 1985Q1 1990Q4 Included observations: 24 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C PG MG R CG

139.1386 -0.849749 3.641833 0.716505 4.184197

239.8676 1.774308 0.232899 0.128037 2.892062

0.580064 -0.478918 15.63693 5.596088 1.446787

0.5687 0.6375 0.0000 0.0000 0.1643

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.972215 0.966365 24.75934 11647.47 -108.2720 166.2051 0.000000

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

2071.042 135.0039 9.439334 9.684762 9.504447 1.832160

Menu: Quick/Estimate Equation/ QG=C(1)+C(2)*PG+C(3)*MG+C(4)*R+C(5)*CG/ aceptar

Dependent Variable: QG Method: Least Squares Sample: 1985Q1 1990Q4 Included observations: 24 QG=C(1)+C(2)*PG+C(3)*MG+C(4)*R+C(5)*CG

C(1) C(2) C(3) C(4) C(5) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)


Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

139.1386 -0.849749 3.641833 0.716505 4.184197

239.8676 1.774308 0.232899 0.128037 2.892062

0.580064 -0.478918 15.63693 5.596088 1.446787

0.5687 0.6375 0.0000 0.0000 0.1643

0.972215 0.966365 24.75934 11647.47 -108.2720 166.2051 0.000000

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

2071.042 135.0039 9.439334 9.684762 9.504447 1.832160

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2015

MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Menú: Object / new object / System / ok / QG=C(1)+C(2)*PG+C(3)*MG+C(4)*R+C(5)*CG/ estimate / estimation method / Full information Maximum Likelihood (Marquard) System: UNTITLED Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1985Q1 1990Q4 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 24 Convergence achieved after 1 iteration

C(1) C(2) C(3) C(4) C(5)

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

139.1386 -0.849749 3.641833 0.716505 4.184197

460.7116 4.236920 0.291777 0.226080 5.100903

0.302008 -0.200558 12.48155 3.169250 0.820286

0.7626 0.8410 0.0000 0.0015 0.4121

Log likelihood -108.2720 Avg. log likelihood -4.511334 Akaike info criterion 9.439334 Determinant residual covariance

Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

9.684762 9.504447

485.3114

Equation: QG=C(1)+C(2)*PG+C(3)*MG+C(4)*R+C(5)*CG Observations: 24 R-squared 0.972215 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.966365 S.D. dependent var S.E. of regression 24.75934 Sum squared resid Durbin-Watson stat 1.832160

2071.042 135.0039 11647.47

OTRAS ESTIMACIONES

Coefficient Covariance Matrix C PG MG R CG

C 57536.46 146.5853 31.12383 -23.62817 -636.0972


PG 146.5853 3.148170 0.108785 -0.135186 -1.985019

MG 31.12383 0.108785 0.054242 -0.011428 -0.503378

R -23.62817 -0.135186 -0.011428 0.016393 0.208659

CG -636.0972 -1.985019 -0.503378 0.208659 8.364022

Página 6


2015

       

57536.46 146.5853 31.12383 -23.62817 -636.0972

146.5853 3.148170 0.108785 -0.135186 -1.985019

31.12383 0.108785 0.054242 -0.011428 -0.503378

-23.62817 -0.135186 -0.011428 0.016393 0.208659

-636.0972 -1.985019 -0.503378 0.208659 8.364022

PRESENTACIÓN ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN

Q g  139.13.86  0.899749 * P g  3.641833* M g  0.716505 * R  4.184197 * C g ˆ

s  ˆ

ˆ

(239.8676) (1.774308)

(0.232899)

(0.128037)

0.580064

15.63693

5.596088

( 2.892062)

i

t c

 i



0.478918

1.446768

ˆ

R

2



0.972215

F



166.2051

DW



1.832160

Periodo : 1985Q1  1990Q4

3.

EVALUACION DE LOS ESTIMADORES A.

Criterio Económico (Criterio a priori) 1.

Comparar el signo y tamaño2 de los parámetros estimados, con aquello

planteado en la primera etapa.

PARÁMETROS Q g  P g Q g  M g Q g  R

Q g C g

2

  1

SIGNOS ESPERADOS PARÁMETROS

SIGNOS OBTENIDOS ESTIMADORES



 



 

 

  3



 

 

  4



 

 

  2

 

CONCLUSIÓN Cumple con lo especificado Cumple con lo especificado Cumple con lo especificado Cumple con lo especificado

En este caso no se ha hecho ninguna acotación respecto al tamaño de los parámetros


Página 7


2.

Interpretar los estimadores

ESTIMADORES

INTERPRETACIÓN

Un incremento de una unidad monetaria en el precio de cada bolsa de gelatina de 200 gramos, en promedio la cantidad transada disminuye en 0.89 bolsas por trimestre En promedio un incremento de un minuto en publicidad televisiva por trimestre, la cantidad transada se incrementa en 3.64 bolsas por trimestre El incremento promedio de 100 unidades monetarias en los ingresos de los demandantes, la cantidad transada se incrementa en 0.71 bolsas por trimestre Un incremento de un punto en el índice de calidad, en promedio la cantidad transada aumenta en 4.18 bolsas por trimestre

                            B.

2015

Criterio Estadístico (Criterio de primer orden) Implica someter los estimadores a test. / Exámenes para determinar el grado de confiabilidad.

1.

Test o prueba de hipótesis Individuales: para cada uno de los parámetros del modelo

H 0 :  i  0 c

Dado que: t



H 1 :  i  0  i   i  H 0  ˆ

s  i ˆ

≈

i  1,2,3,4.

t

t ( / 2, n k ) 

ˆ

Si

t c  t t ,

t c  2

ó si

Si

t c  t t ,

t c  2

ó

si

Pr ob( 5%) se acepta H 1 Pr ob( 5%) no existe suficiente evidencia para

rechazar H 0


Página 8


c

HIPOTESIS

t c

t

t

t

H 0 :  1  0

t  2  5%

No existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula

2.093024

t  2  5%

Se acepta la hipótesis alterna al 5% de significancia estadística

2.093024

t c  2  5%


2.093024

t  2  5%

No existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula

c

H 1 :  2  0 15.63693 H 0 :  3  0 H 1 :  3  0 5.596088

H 0 :  4  0

c

H 1 :  4  0 1.446768

CONCLUSION

2.093024

H 0 :  2  0

2.

Pr ob

c

H 1 :  1  0 -0.478918

2015

Prueba de Hipótesis Global: para el conjunto de parámetros del modelo

H 1 :  1   2  ...   k  0

H 0 :  1   2  ...   k  0

Dado que F c 

CMeE

≈

CMeR

F t ( ,k 1, n k )

Si F c  F t , ó si Pr ob( 5%) se acepta H 1 Si F c  F t , ó si Pr ob( 5%) no existe suficiente evidencia para rechazar H 0

F c

HIPOTESIS

F t

H 0 :  1   2   3   4  0 H 1 :  1   2   3   4  0

3.

166.2051

2.891507

Pr ob

CONCLUSION

 5%


Test de Bondad de Ajuste:

A través del valor de R

2



SCE SCT

2 R  0.972215

El 97% de las variaciones en la variable endógena cantidad transada de gelatina, son explicados en promedio por las variables precio de la gelatina, publicidad televisiva, ingresos de los demandantes e índice de calidad.


Página 9


C.

2015

CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)

Se trata de determinar a través de las pruebas correspondientes si los supuestos del modelo se han cumplido adecuadamente; especialmente el supuesto de normalidad, supuesto de no multicolinealidad,

ausencia de heteroscedasticidad, y no auto

correlación no contemporánea de errores.

1.

CONTRASTE DE NORMALIDAD

Se plantean las siguientes hipótesis de trabajo H 0 : 

se aproxima a una distribución normal

H 1 : 

no se aproxima a una distribución normal

JB  X (2 , 2) Si

2 JB  X ( , 2) ,

Si

2 JB  X ( , 2) ,

ó si Pr ob( 5%) se acepta H 1 ó

si

Pr ob( 5%)

no existe suficiente evidencia para

rechazar H 0 Rutina: EQ01/ View / Residual Tests / Histogram Normality Test / Ok 8

Series: Residuals Sample 1985Q1 1990Q4 Observations 24

7 6

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

5 4 3 2

Jarque-Bera Probability

1

-7.11e-14 0.641537 31.08897 -84.07878 22.50360 -1.998724 9.340508 56.18163 0.000000

0 -80

-60

-40


-20

0

20

40

Página 10


JB 

T  k S

2

(S 

1 4

2015

2

( K  3) )

Es el estadístico Jarque- Bera Donde: T : 24, es el numero de observaciones de la muestra k : 5, es el numero de parámetros del modelo general

S : -1.998724, es el coeficiente de asimetría (Skewness) K : 9.340508, es el coeficiente de apuntamiento (Kurtosis)

JB  56.18169  X (2 , 2)  5.99 Por lo tanto, al 5% de significancia estadística aceptamos la hipótesis alterna, es decir que los residuos no se aproximan a una normal.

2.

CONTRASTE DE MULTICOLINEALIDAD

A.

DEFINICIÓN

La Multicolinealidad [ Ragnar Frisch ] se presenta cuando las variables explicativas de un modelo econométrico están correlacionadas entre sí, o en términos matriciales, aquella situación en la que se produce dependencia lineal entre los vectores columna que representan las observaciones de cada variable . La situación descrita, tiene efectos negativos cuando se pretende estimar un modelo lineal por mínimos cuadrados. Es una situación en que es difícil separar los efectos individuales de cada variable explicativa sobre la variable dependiente; y en muchos casos nos imposibilita obtener valores numéricos de los coeficientes. La multicolinealidad es una cuestión de grado, la discusión no se centra en la existencia o no existencia del problema; si no más bien en el grado o intensidad que se presentan en los modelos.

B.

TIPOS

i.

Multicolinealidad exacta o perfecta:

Se presenta cuando una de las variables explicativas es combinación lineal determinista o exacta de todas -o algunas -de las demás variables.


Página 11


2015

Para que se presente multicolinealidad exacta, debe ocurrir que se incluyan un conjunto de variables que satisfagan una identidad.

Y  β 1 X 1  β 2 X 2  β 3 X 3  μ

Si se tiene el siguiente modelo lineal:

M.P. :

X3  2X1  3X2

Y  β 1 X 1  β 2 X 2  β 3( 2 X 1  3 X 2 )  μ Y  ( β 1  2 β 3 )X 1  ( β 2  3 β 3 )X 2  μ

ii.

Multicolinealidad aproximada:

Ocurre cuando una de las variables es " aproximadamente" igual o tiende a aproximarse a una combinación lineal de las restantes.

Y  β 1 X 1  β 2 X 2  β 3 X 3  μ

Si se tiene el siguiente modelo lineal:

M.A.:

X3  2X1  3X2  V

Y  β 1 X 1  β 2 X 2  β 3( 2 X 1  3 X 2  V)  μ Y  ( β 1  2 β 3 )X 1  ( β 2  3 β 3 )X 2  W Si

 3V

W   3V  

es relativamente constante puede ir como intercepto; si no lo es

puede generar problemas de heteroscedasticidad.

C.

EFECTO INTERACCIÓN Y MULTICOLINEALIDAD

La multicolinealidad en una ecuación es producida por la existencia del llamado efecto interacción. El efecto interacción se mide a través del coeficiente de correlación:

r x x  1 2

Para un modelo

 x1 x2 2

 x1

2  x 2

Y  β 0  β 1 X 1  β 2 X 2  μ


Página 12


2015

Ausencia de efecto interacción

 x1x 2  0

r x1 x2  0

La matriz ( x x) es una matriz diagonal, al igual que la matriz inversa

 x ( x x)    0

1  x ( x x)    0 

0 

2

1

1

  x  2

2

El vector de productos cruzados

2

1

  1   x  0

2

2

  x y    x y 

x y  

1

2

  x y   x  Por lo tanto:   ( x  x ) x y    x y   x 1

1

   

2

1

ˆ

2

2 2

Así entonces cuando no existe multicolinealidad, los coeficientes de la regresión lineal serian los mismos de la regresión bivariada.

Existencia completa de efecto interacción

r x1 x2  1

 x x   x  x 1

2

2

2

1

2

( x1 x2 ) 2   x12  x22

La matriz ( x x) ya no es una matriz diagonal

  x12  x1 x2  ( x x)   2   x2 x1  x2  Cuyo determinante sería nulo, lo que implicaría que la matriz ( x x) es una matriz singular, lo que genera la imposibilidad total de obtener el efecto de los regresores sobre la endógena.

2 2 2 2 2 2 2 x x   x1  x2  ( x1 x 2 )   x1  x2   x1  x2  0


Página 13


D.

2015

CAUSAS

Generalmente se clasifican en dos grupos: causas lógicas y causas por error: i.

Causas lógicas:

La multicolinealidad es considerada como un fenómeno muestral, dado que existe en la muestra y no necesariamente tiene que ver con defectos en la construcción del modelo. Sin embargo hay algunos tipos de especificación que es posible conduzcan a un alto grado de multicolinealidad: i.1.

Modelos que incluyen la variable tiempo como variable explicativa. Si X 1 , X 2

no presentan trayectoria aleatoria a lo largo del tiempo; sin embargo guardan correlación con T que implica un componente de tendencia

Y  f ( X 1 X 2 , T ;  ) i.2. Modelos que incluyen como variables explicativas variables retardadas. Los rezagos, al ser momentos anteriores de la misma variable, lógico es que esten altamente correlacionados con el resto de regresores. i.2.1.

Modelos autorregresivos.

Y t  f(Y t 1; μt ) i.2.2.

Modelos con retardos distribuídos.

Y t  f(X t ,X t 1 ,X t 2 ,X t 3 ;  t ) ii.

Y t  f(X t ,X t 1 ,Y t 1; μt )

Y t  f(X t ,X t 1 ,X t 2 ,X t 3 ,.......;  t )

Causas por error:

El caso más común de este tipo es que algunos modelos incluyen variables irrelevantes y/o que duplican conceptos. ii.1.

Variables irrelevantes

Y  a  bX  cZ  dW  μ La ineficiencia en la especificación puede incluir W ; pero W no implica necesariamente incurrir en Multicolinealidad; sin embargo si la Correlación de W con X y Z es elevada, entonces la multicolinealidad es por error si es que X y Z no son colineales.


Página 14


2015

Si al omitir W persiste la multicolinealidad, entonces su causa es lógica si es que X y Z están bien especificadas en el modelo. ii.2.

Por duplicidad de Conceptos

Cg  f (Ss, Yindep ,Uemp, Rpers) Si el objetivo es evaluar la incidencia sobre el consumo de cada componente del ingreso nacional, entonces la especificación esta correcta, no existe duplicidad; sin embargo, si el objetivo es especificar solamente una función de consumo global, entonces no es necesario desagregar el ingreso nacional.

E.

CONSECUENCIAS

No considerar la multicolinealidad significativa en el estimador MCO trae consigo las siguientes consecuencias: e.1.

Sobre las varianzas:

Las varianzas, desviación estándar y covarianzas de los coeficientes de la regresión estimadas son relativamente más elevadas; es decir, se presenta sobrevaloración. e.2.

Sobre la estimación por intervalo:

La estimación puntual, así como por intervalos será imprecisa.

e.3.

Sobre la toma de decisiones:

Dado [e.1.] y [e.2.] las pruebas de relevancia individual de los regresores, ven aumentar la probabilidad de cometer el error tipo II.

e.4.

Sobre los indicadores de relevancia global:

La multicolinelaidad afecta a la Suma de Cuadrados de la Regresión y por error sobrevaluandola o subvaluandola, afectando a R² y F.


Página 15


F.

COMO DETECTAR MULTICOLINEALIDAD

F.1.

En base al determinante:

F.2.

F.3.

i.

Prueba de Beaton y Glauber

ii.

Metodo de Farrar Glauber y el aporte de Haitovsky

2015

Regla de Klein: i.

Primera versión

ii.

Segunda Versión

iii.

Tercera Versión

Test de Farrar Glauber: 2

i.

Test X para medir la fortaleza o severidad

ii.

Test F , para localizar la multicolinealidad

iii.

Test t , para determinar el patrón de multicolinealidad

Aplicación F.1.ii. Método de Farrar Glauber y el aporte de Haitovsky Sea

R x , la matriz de correlación simple entre los regresores de una ecuación,

entonces:

R, x  1

si todas las variables son independientes

R x  1

si todas las variables son dependientes

Prueba de Farrar-Glauber: Interesa comparar el RY . X i ... X k = coeficiente de correlación multiple de la regresión original, con aquel R X i . X j ... X k = coeficiente de correlación multiple de regresionar una variable explicativa con el resto de explicativas.

Si

FG 

R X i . X j ... X k RY . X i .... X k

1

indica que hay alto grado de multicolinealidad entre las

variables explicativas del modelo, generado por la variable. X i


Página 16


2015

RUTINA: Eq01 Barra de comandos: scalar RQG=SQR(@R2)

FARRAR GLAUBER

FGpg 

R Pg . Mg ...Cg



RQg . p g ....Cg

RQg . p g ....Cg

RQg . p g ....Cg


 0.6068648688 8

0.7487704762 26

0.6973790531 36

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, generada por la variable Pg

 0.7593947129 2

0.9860095988 06



RCg . Pg ... R

0.5983745859 0 0.9860095988 06

R Mg . Pg ...Cg

R R. Pg ...Cg

FGcg 



RQg . p g ....Cg

FGmg 

FGr 

CONCLUSION

 0.7072741015 71

0.9860095988 06

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, generada por la variable Mg

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, generada por la variable



0.8061475380 13 0.9860095988 06

 0.8175858926 6

R

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, generada por la variable

Cg

Página 17


2015

Aporte de Haitovsky Haitovsky, sugiere sustituir en el numerador el coeficiente de correlación múltiple por cada uno de los coeficientes de correlación parcial entre los regresores.

Si H i



r X i X j . X k .. X s RY . X i .... X k

 1 indica que hay alto grado de multicolinealidad entre las

variables X i y X j

r

Donde X i X j . X k es el coeficiente de correlación parcial de primer orden, el cual se genera a través de la matriz de coeficientes de correlación de orden cero.

r X i X j . X k 

r ij  r ik r jk 1  r ik 2 1  r jk 2

Si analizamos solo tres variables explicativas del modelo general; a saber:

P g  1 M g  2

R  3

Rutina Menu principal: Quick / Group Statistics / Correlations / Pg Mg R / Ok

r 12  r 21  0.009248

r 13  r 31  0.493699

r 23  r 32  0.055460

Tenemos:

CPpg  r 12.3  r PgMg . R 

CPmg  r 23.1  r MgR. Pg 

C Pr  r 31.2  r RPg . Mg 


r 12  r 13r 23 1  r

2 13

 0.0421843315537

1  r

2 23

r 23  r 21r 31 1  r

2 21

1  r

r 31  r 32 r 12 1  r 322 1  r 122

2 31

 0.0690267420424

 0.494994836604

Página 18


HAITOVSKY

Hpg 

Hr 

CONCLUSION

r PgMg . R RQg . p g .... R

Hmg 

2015

r MgR. Pg RQg . p g .... R

r RPg . M g RQg . p g .... R

0.0421843315 537





No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, entre las

 0.04285039

Pg

0.9844561457 34

variables

424  0.0690267420

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, entre



  0.0701166246

0.9844561457 34

0.4949948366 04

Las variables

y Mg

Mg

y

R

No existe multicolinealidad en alto grado en el modelo, entre las

 0.50281044

0.9844561457 34

variables

R

y

Pg

F.2. Regla de Klein

F2.i. Primera versión Interesa

verificar

si

R 2 X i . X j ... X k = coeficiente de correlación múltiple

regresionar una variable explicativa con el resto de explicativas es

>

que

de el

R 2Y . X i ... X k = coeficiente de correlación multiple de la regresión original, para afirmar que bajo estas condiciones el modelo presenta alto grado de multicolinealidad, generado por el X i regresor. Conclusión

R 2 X i . X j ... X k

R 2Y . X i ... X k

R 2 Pg . M g ...C g  0.358052

R

R 2 Mg . P g ...C g  0.5606572

R 2Q g . Pg , M g , R,C g  0.972214

No

R 2 R. P g ...C g  0.486337

R 2Q g . Pg , M g , R,C g  0.972214

No

R 2Cg . P g ... R  0.649873

R

2

2

Q g . Pg , M g , R,C g  0.972214

Q g . Pg , M g , R,C g  0.972214

No

existe

alto

grado

de

multicolinealidad generado por P g existe

alto

grado

de

multicolinealidad generado por M g existe

alto

grado

de

multicolinealidad generado por R No existe alto grado de multicolinealidad generado por

C g

F.2.ii. Segunda versión En la versión de correlaciones interesa, comparar el coeficiente de correlación simple entre dos regresores y el coeficiente de correlación múltiple de la ecuación- la raíz cuadrada del coeficiente de determinación-. Es multicolinealidad

si r X i X j


decir existirá alto grado de

 RY . X i ... X k .

Página 19


2015

Rutina Menu principal: Quick / Group Statistics / Correlations / Pg Mg R Cg / Ok

r X i . X j

RY . X i ... X k

Conclusión

r Pg . M g  0.00924807792004053 RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009

No existe alto grado de

r P g . R  0.493698976000066

RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009


r P g .C g  0.062172358116849

RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009


r Mg . R 

RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009


r M g .C g  0.6956011341541286 RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009


r R.Cg 


- 0.05545958 983547692

- 0.36118876 13715013

RQ g . Pg , M g , R ,C g  0.986009

multicolinealidad entre P g y


M g R

C g


multicolinealidad entre M g y multicolinealidad entre M g y multicolinealidad entre R y

R

C g

C g

F.2.iii. Tercera versión La versión más empleada es aquella que precisa, que si al menos una correlación entre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la endógena. Es decir si al menos un r X i X j

 RY . X i

Rutina Menu principal: Quick / Group Statistics / Correlations / Qg Pg Mg R Cg / Ok


Página 20


2015

r X i . X j

r Y . X i

r X i . X j

r Y . X i

r Pg . M g  0.009248

r Q g . Pg  0.138711

r Pg . M g  0.009248

r Q g . R

 0.2034997

r P g . R  0.493698

r Q g . Pg  0.138711

r P g . R  0.493698

r Q g . R

 0.2034997

r P g .C g  0.062172

r Q g . Pg  0.138711

r P g .C g  0.062172

r Q g . R

 0.2034997

r Mg . R 

r Q g . Pg  0.138711

r Mg . R 

r Q g . R

 0.2034997

r M g .C g  0.695601

r Q g . Pg  0.138711

r M g .C g  0.6956011 r Q g . R

 0.2034997

r R.Cg 

r Q g . Pg  0.138711

r R.Cg 

 0.2034997

r Pg . M g  0.009248

r Q g . Mg  0.950419

r Pg . M g  0.009248

r Q g .Cg  0.6117704

r P g . R  0.493698

r Q g . Mg  0.950419

r P g . R  0.493698

r Q g .Cg  0.6117704

r P g .C g  0.062172

r Q g . Mg  0.950419

r P g .C g  0.062172

r Q g .Cg  0.6117704

r Mg . R 

r Q g . Mg  0.950419

r Mg . R 

r Q g .Cg  0.6117704

r M g .C g  0.695601

r Q g . Mg  0.950419

r M g .C g  0.6956011 r Q g .Cg  0.6117704

r R.Cg 

r Q g . Mg  0.950419

r R.Cg 

- 0.0554595

- 0.3611887

- 0.0554595

- 0.3611887

- 0.0554595

- 0.3611887

- 0.0554595

- 0.3611887

r Q g . R

r Q g .Cg  0.6117704

Así entonces existe evidencia suficiente de que el modelo presenta multicolinealidad en alto grado.

G.

G.1.

COMO CORREGIR MULTICOLINEALIDAD

Mediante estimación del modelo propuesto 1. Preestimación Excluir alguna variable que pueda estar muy correlacionada con otras variables explicativas y asociar el coeficiente de dicha variable un valor estimado por otro procedimiento. 2. Regresión Cresta Incrementado los elementos de la diagonal de X'X en una constante, cambia el " tamaño " de la matriz y evita el problema de singularidad aproximada.


Página 21


2015

3. Otras soluciones: (i) pasar de un modelo uniecuacional a uno de varias ecuaciones,

(ii)

“eliminar”

los

retardos

del

modelo

mediante

especificación “ad hoc” de los coeficientes, (iii) utilizar componentes

principales.

G.2.

Mediante Exclusión de Variables Identificar variables que generan al multicolinealidad y excluirlas del proceso de estimación.

G.3.

Otras soluciones: (i) Alteración de la muestra, (ii) Combinación de Información, (iii) Cambio de unidades de medida.

3.

CONTRASTE DE HETEROCEDASTICIDAD

A.

DEFINICION

Se define como aquella situación en la que no se cumple el supuesto de que la varianza del término de error es constante, es decir el término de error no tiene igual varianza asociada a las n ó T observaciones muestrales. Es decir se tiene ahora, que en muchas ocasiones es imposible sostener el cumplimiento de dicho supuesto, por lo que

B.

Var ( )   i

i

2

Var (U )  2 I i

n

CAUSAS

1. Fundamentalmente-no exclusivamente-, la causa inherente es cuando se estima un modelo econométrico con información de corte transversal. 2. Por combinación de información de corte transversal, pues con el objeto de aumentar el tamaño de la muestra, se puede formar una combinación de cortes transversales aplicados en diferentes momentos de tiempo. 3. La omisión de una variable importante o relevante en el modelo Econ. Segundo A. Calle Ruiz

Página 22


C.

2015

CONSECUENCIAS

1. Bajo el supuesto de que las variables explicativas del modelo son deterministicas y Var (U )  2 entonces el estimador de Mínimos cuadrados ordinarios será insesgado pero ineficiente.

2. Las estimaciones de las varianzas no serán mínimas, son sesgadas (subestimadas).

3. Las pruebas estadísticas de significancia y los intervalos de confianza serán incorrectos. El estadístico

t es subestimado, y ya no es válido utilizar c

dicha prueba porque ya no existe independencia. D.

COMO DETECTAR HETEROCEDASTICIDAD

D.1.

Test Grafico D.1.1. Vía diagrama de dispersión bivariada: endógena y regresor D.1.2. Vía diagrama de dispersión residual: residuos cuadráticos y regresor

D.2.

Test de Glejser

D.3.

Test de ARCH –heterocedasticidad Condicional Autorregresiva.

D.4.

Test de Park

D.5.

Test de White D.2.I. General (términos cruzados) D.2.II. Simplificado (términos no cruzados) D.2.iii. Simplificado (términos cuadráticos)

D.6.

Test de Harvey

D.7.

Test de Breusch y Pagan

D.8.

Test de Spearman

D.9.

Test de Goldfeld & Quant


Página 23


2015

APLICACION D.1.

Test Grafico

D.1.1.

Vía diagrama de dispersión bivariada: endógena y regresor

Consiste en graficar la variable endógena con cada una de las variables exógenas. Así entonces, existirá heterocedasticidad significativa si tenemos el siguiente comportamiento.

D.1.2. Vía diagrama de dispersión residual: residuos cuadráticos y regresor

D.2. i.

Test de Glejser Trata de estimar e identificar la verdadera estructura de heterocedasticidad,

no limitándose solamente al análisis de estructuras lineales; sin embrago, la limitante está en que solo resulta útil cuando dicha estructura se cree que debe ser explicada con una sola variable.

 i2   0   1 Z ih   i

 i     Z ih   i ˆ

0

ˆ

1

Se escoge el valor de

“h”

 

1

1

2

2

h  1,1, , 

que proporcione la “mejor” regresión. Lo anterior implica

validar la significancia estadística de  1 y la menor suma de cuadrados residuales (la menor de todas las regresiones). Debiéndose repetir el proceso para las demás variables.


Página 24


2015

Se plantea las siguientes hipótesis de trabajo:

H 0 :  1  0

Existe homocedasticidad (no existe heterocedasticidad)

H 1 :  1  0

Existe heterocedasticidad (no existe homocedasticidad)

Rutina

Eq01 / Proc / Make Residual Series…/ Ordinary / Resid01 / Ok Barra de comandos Ls Resid01^2 c Pg Ls Resid101^2 c 1/Pg Ls Resid01^2 c sqr (Pg) Ls Resid01^2 c 1/sqr (Pg)

 i2   0   1Z ih   i ˆ

2 Re sid 1t   0   1 P gt   t

h 1 h  1

h

Re sid 1t 2   0   1

1 P gt

  t

Pr ob

SUMA DE CUADRADOS RESIDUALES

-0.249677

>5%

47012766.27804009

0.131671

>5%

t c

Re sid 1t 2   0   1 P gt   t

1

>5%

47108856.45653135

47041490.76156904

2

-0.221059

h

1 2

Como

Re sid 1t 2   0   1

1

P

  t

gt

t c  t ((t 0.05 / 2),22)  2.07387 ,

0.161873

t c  2

>5%

ó

si

47089894.62067604

Pr ob( 5%) no existe

suficiente evidencia para rechazar H 0 entonces existe homocedasticidad.

ii.

Se trata de regresionar el valor absoluto de los residuos en función de los

regresores del modelo general, y construir el estadístico de prueba T*R² que será contrastado con una Chi cuadrado con P-1 grados de libertad, donde P es el numero de regresores del modelo.


Página 25


2015

Rutina: barra de comandos Ls ABS (Resid01) c Pg Mg R Cg

T * R 2  24* 0.356274  8.550576 X (20.05, 4)  9.4877

Dado que:

H 0 :

Existe homocedasticidad

H 1 :

Existe heterocedasticidad

Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo es homocedastico; Lo cual también se observa a través del reporte del software

Rutina: Eq01 / View / Residual Tests / Heteroskedasticity Tests / Glejser / Ok


Página 26


D.2.

2015

Test de White

D.2.I. General No es necesario especificar la relación funcional que pueda adoptar la heterocedasticidad.

Se trata de regresionar el cuadrado de los residuos minimos cuadráticos, en función de una constante, los regresores del modelo general, sus cuadrados y los productos cruzados de segundo orden.

Construir el estadístico de prueba T*R² que será contrastado con una Chi cuadrado con P-1 grados de libertad, donde P es el numero de regresores del modelo de la etapa anterior.

Eq01 / Proc / Make Residual Series…/ Ordinary / Resid01 / Ok Rutina: barra de comandos Ls Resid01^2 c Pg Mg R Cg Pg^2 Mg^2 R^2 Cg^2 PgMg PgR PgCg MgR MgCg RCg

T * R  24 * 0.795837  19.10010 2

2 X (0.05,14)  23.6847

Dado que:

H 0 :


H 1 :


Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo es homocedastico; lo cual también se observa a través del reporte del software.

Rutina: Eq01 / View / Residual Tests / Heteroskedasticity Tests / White / include White Cross terms / Ok


Página 27


2015

D.2.II. Simplificado No es necesario especificar la relación funcional que pueda adoptar la heterocedasticidad.

Se trata de regresionar el cuadrado de los residuos mínimos cuadráticos, en función de una constante y los regresores al cuadrado del modelo general

Construir el estadístico de prueba T*R² que será contrastado con una Chi cuadrado con P-1 grados de libertad, donde P es el numero de regresores del modelo de la etapa anterior. Rutina: barra de comandos Ls Resid01^2 c Pg^2 Mg^2 R^2 Cg^2


Página 28


2015

T * R 2  24* 0.308015  7.392363 2 X (0.05, 4)  9.4877

Dado que:

H 0 :


H 1 :


Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo es homocedastico; lo cual también se observa a través del reporte del software

Rutina: Eq01 / View / Residual Tests / Heteroskedasticity Tests / White /no include White Cross terms / Ok

D.3.

Test de ARCH –heterocedasticidad Condicional Autorregresiva.

Este test se aplica solamente a modelos de series de tiempo, en razón de que hay variables

económicas

que presentan a través del tiempo algunos periodos de

estabilidad seguidos de inestabilidad para retornar luego a la estabilidad. Dichos comportamientos se califican como comportamientos volátiles.


Página 29


2015

En dichas situaciones es conveniente, especificar un modelo de heterocedasticidad del tipo: 2

2

2

2

 t   0   1 t 1   2  t  2  ...   p  t  p Donde: 2  t  N (0,  )

Se trata de regresionar los residuos al cuadrado, sobre una constante y los residuos al cuadrado rezagados. Construir el estadístico de prueba T*R² que será contrastado con una Chi cuadrado con P grados de libertad, donde P es el numero de rezagos de los residuos al cuadrado.

Rutina: barra de comandos Para probar Hetrocedasticidad condional autorregresiva de primer orden Ls Resid01^2 c Resid01^2(-1)

2 ARCH (1)  T * R  23* 0.006233  0.143359

X (0.05,1)  3.84 2

Dado que:

H 0 :


H 1 :


Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo es homocedastico. Lo cual también se observa a través del reporte del software

Rutina: Eq01 / View / Residual Tests / Heteroskedasticity Tests / Arch /Number of Lags(1) / Ok


Página 30


2015

Rutina: barra de comandos Para probar Hetrocedasticidad condional autorregresiva de segundo orden Ls Resid01^2 c Resid01^2(-1) Resid01^2(-2)

ARCH (2)  T * R 2  22 * 0.015957  0.351058 X (0.05, 2)  5.99 2

Dado que:

H 0 :


H 1 :


Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo es homocedastico. Lo cual también se observa a través del reporte del software Rutina: Eq01 / View / Residual Tests / Heteroskedasticity Tests / Arch /Number of Lags(2) / Ok


Página 31


E.

2015

COMO CORREGIR HETEROCEDASTICIDAD

Se plantean tres tipos de transformaciones en base al método de mínimos cuadrados ponderados

E.1.

Si se supone que la varianza de las perturbaciones es proporcional al cuadrado de la variable exógena- la cual causa heterocedasticidad-; entonces la transformación a aplicarse es dividir el modelo original por el regresor, y luego estimar el modelo transformado.

E.2.

Si se supone que la varianza de las perturbaciones es proporcional al regresor- el cual causa heterocedasticidad-; entonces la transformación a aplicarse es dividir el modelo original por la raíz cuadrada del regresor, y luego estimar el modelo transformado.

E.3.

Si se supone que la varianza de las perturbaciones es proporcional al cuadrado del valor esperado de la variable endogena; entonces la transformación a aplicarse es dividir el modelo original por el valor esperado de la variable endógena, y luego estimar el modelo transformado.

Las transformaciones E.1. y E.2, se aplican cuando se ha identificado la “orientación”

y el regresor causante de la heterocedasticidad . La transformación E.3. Se aplica


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cuando todos lo regresores

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generan heterocedasticidad, o a pesar de que hay

indicios del problema, los test aplicados no lo han detectado.

Rutina Eq01 / Estimate / Options /Weighted LS/TSLS / Weight: 1/Pg / Aceptar Eq01 / Estimate / Options /Weighted LS/TSLS / Weight: 1/sqr(Pg) /Aceptar

Para generar el “valor esperado de la variable endógena, se sigue la siguiente rutina: Eq01 / forecast / qgf / Ok . y luego se hace la transformación correspondiente Eq01 / Estimate / Options /Weighted LS/TSLS / Weight: 1/qgf /Aceptar


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4.

CONTRASTE DE AUTOCORRELACION

A.

DEFINICION

2015

Se define autocorrelacion cuando el término de error de un modelo econométrico esta correlacionado consigo mismo a través del tiempo o del espacio; es decir que:

E ( i  s )  0 B.

CAUSAS

1.

Existencia de ciclos y tendencias Debido a la inercia inherente en la mayoría de variables macroeconómicas, la variable endógena del modelo econométrico presenta ciclos, y si las variables exógenas no son capaces de explicarlos, entonces el término de error tendrá autocorrelacion.

2.

Por omisión de variables

3.

Error de especificación del modelo

4.

Relaciones dinámicas

5.

Cambios de estructura


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2015

C.

CONSECUENCIAS

1.

Bajo el supuesto de que las variables explicativas del modelo son deterministicas, el estimador de Mínimos cuadrados ordinarios será insesgado.

2.

Ya no será el estimador lineal insesgado de varianza mínima. Existe sesgo sistemático en el cálculo de sus varianzas muestrales.

3.

Incorrecta aplicación de las pruebas estadísticas de significancia.

D.

COMO DETECTAR AUTOCORRELACION

D.1. D.2. D.3. D.4.

Test grafico Durbin-watson En base al multiplicador de Lagrange Box Pierce

Aplicación Eq01 / Proc / Make Residual Series…/ Ordinary / Resid01 / Ok D.1.

Test grafico

D.1.i

Los residuos en función del tiempo

Rutina: Quick / graph / @trend(1984q4) resid01 / Ok / Scatter / Aceptar


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D.1.II.

2015

Los residuos en función de los residuos rezagados

Rutina: Quick / graph / resid01(-1) resid01 / Ok / Scatter / Aceptar

En ambos casos no se evidencia presencia de autocorrelacion o positiva o negativa


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D.2.

2015

Durbin-watson

En la medida que se presuma que el término de error del modelo econométrico tiene autocorrelacion

de

primer

 t   t 1   t donde

orden:

 t

no

tiene

autocorrelacion

.

Eentonces el estadístico Durbin-Watson (DW) permite contrastar la hipótesis nula de ausencia de auto correlación de primer orden. El estadístico se define: T

 DW  d 

T

 (

( t   t 1 ) 2 ˆ

ˆ

ˆ



2 T

2 t

ˆ

ˆ

ˆ

 1  2   1  2(1   )

2

  ˆ

 2 t  t 1   t 21 ) T

ˆ

 

2 t

ˆ

2

ˆ

2 t

2

DW  d  2(1   ) ˆ

Cuando:

  0

DW  d  2

  1

DW  d  4

ˆ

ˆ

  1

DW  d  0

ˆ

no habrá autocorrelacion de primer orden ni positiva ni negativa Evidencia de autocorrelacion de primer orden negativa

Evidencia de autocorrelacion de primer orden positiva

Dada la dependencia de cualquier valor calculado de d sobre la matriz X asociada, no es posible calcular valores críticos exactos para d para todos los casos posibles.

DW, establecieron las Cotas superior

d U

e inferior

d L

para los valores críticos, las

cuales permiten verificar la hipótesis nula de ausencia de autocorrelacion de primer orden frente a la hipótesis alterna de presencia de autocorrelacion .

A 0

B dl


C du

2

D 4-du

E 4-dl

4

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LM  T * R 2  24* 0.001149  0.02757 2 X (0.05,1)  3.84

Dado que:

H 0 :

No existe AR(1)

H 1 : Existe AR(1)

Como el estadístico calculado es menor al estadístico de la tabla, no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que el modelo no presenta autocorrelacion de primer orden.

Rutina: Para verificar autocorrelacion de segundo orden(Asumiendo muestra grande) Eq01 / View / Residual Tests / Serial correlation LM test / lags to include: 2 / Ok


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I.

2015

ESPECIFICACION DEL MODELO ECONOMETRICO 1

La Compañía Grupo Nueve S.A (GENSA) , que vende gelatina en el mercado de Lima, está interesada en ampliar su planta de producción, por lo que requiere conocer los determinantes de la demanda del producto que ella vende. Para ello considera el siguiente modelo:

EL MODELO ECONOMETRICO

                 LAS VARIABLES

 

Cantidad vendida en unidades por trimestre (Numero de bolsas de 200 gramos cada una).

 

Precio de venta de cada bolsa de 200 gramos cada una. Como en algunos subperiodos del análisis la inflación ha sido significativa, el precio de venta ha sido corregido por el IPC.

 

Publicidad es calculada a través del tiempo de difusión televisiva del comercial del producto. Adicionalmente se ha ponderado por un índice de costos, teniendo en cuenta que el valor costo de la difusión a determinadas horas está relacionado con las horas de mayor audiencia, lo que implica un mayor efecto publicitario.



Ingreso de los demandantes, es obtenido a partir de los indicadores de remuneraciones publicados por el Ministerio de Trabajo. Aquí también se toma

el

efecto inflacionario que reduce los ingresos reales y se divide la cifra nominal por el IPC semanalment e por el departamento de control Índice de calidad, elaborado semanalmente

 

de calidad a partir de pruebas de sabor, contenido, peso, etc., hechas a muestras de de productos productos listos para para ser empaquetados. empaquetados. A partir de de

la

información semanal se calcula el promedio trimestral. 1

El presente caso, tiene propósitos estrictamente académicos, y es tomado como referencia de “ Técnicas estadísticas de predicción aplicable en el campo empresarial ”. de Jorge Cortez Cumpa


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SIGNOS ESPERADOS DE LOS PARAMETROS

      Teóricamente es de esperar que ante un incr emento en el precio de una unidad monetaria la cantidad transada disminuya en  unidades, por ley de demanda.

      A priori se espera que que a mayor tiempo de difusión difusión del comercial del producto se incremente la cantidad transada en

 unidades.

A mayor publicidad publicidad mayor demanda y por lo tanto tanto mayores

ventas

      En la medida que la gelatina se puede considerar un bien “superior”, cada vez que se incremente el ingreso se espera que se incremente la cantidad transada en  unidades

      Una mejora en la calidad del producto, se puede esperar esperar que se incremente la cantidad transada en

 unidades.


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DATA

obs 1985Q1 1985Q2 1985Q3 1985Q4 1986Q1 1986Q2 1986Q3 1986Q4 1987Q1 1987Q2 1987Q3 1987Q4 1988Q1 1988Q2 1988Q3 1988Q4 1989Q1 1989Q2 1989Q3 1989Q4 1990Q1 1990Q2 1990Q3 1990Q4

Qg 1750.000 1810.000 1840.000 2025.000 1960.000 2000.000 1950.000 2150.000 2120.000 2100.000 2150.000 2190.000 2130.000 2060.000 1990.000 2155.000 2110.000 2140.000 2125.000 2140.000 2160.000 2125.000 2175.000 2350.000


Pg 29.00000 31.00000 32.00000 28.00000 26.00000 29.00000 31.00000 30.00000 32.00000 34.00000 32.00000 28.00000 32.00000 35.00000 36.00000 38.00000 40.00000 39.00000 33.00000 32.00000 30.00000 28.00000 29.00000 30.00000

Mg 200.0000 210.0000 220.0000 260.0000 250.0000 255.0000 240.0000 280.0000 275.0000 265.0000 275.0000 290.0000 280.0000 260.0000 245.0000 280.0000 270.0000 280.0000 290.0000 320.0000 300.0000 290.0000 300.0000 350.0000

R 850.0000 870.0000 860.0000 910.0000 880.0000 860.0000 900.0000 920.0000 960.0000 1000.000 1010.000 990.0000 950.0000 960.0000 940.0000 970.0000 960.0000 940.0000 880.0000 860.0000 850.0000 860.0000 840.0000 820.0000

Cg 75.00000 74.00000 73.00000 75.00000 76.00000 77.00000 73.00000 78.00000 79.00000 77.00000 71.00000 75.00000 77.00000 75.00000 76.00000 79.00000 77.00000 81.00000 79.00000 79.00000 81.00000 82.00000 81.00000 82.00000

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APUNTES DE CLASE02-MC-2015.pdf

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