Aproksimasi dan Kesalahan Pembulatan Trunc runcat atio ion n erro error adal adalah ah kesal kesalah ahan an yang yang timb timbul ul karen karenaa pemo pemoto tong ngan an suku suku pada pada suatu suatu deret atau rumus aproksimasi, misalnya suatu rumus rumit diganti dengan dengan rumus yang lebih sederhana. Round-off Round-off error error adalah adalah kesalahan yang timbul akibat adanya pembulatan angka. 1. Angk Angka a Sign Signif ifik ikan an (significant figure)
Gambar Odometer
Speedometer dan
Dari
gambar diatas, bila dilihat maka speedometer menunjukkan mo m obil berjalan dengan kecepatan 48 atau 49 km/jam. ika menginginkan satu angka dibelakang koma, maka kita masih bisa memperkirakan nilainya 48,! atau mungkin 48,8 km/jam. "danya keterbatasan speedometer menyebabkan tidak dapat dipastikan. "ngka signi#ikan atau digit menyatakan suatu keadaan sebuah nilai numerik. $ntuk speedometer diatas, maka mengandung tiga angka signi#ikan. Odometer memiliki taksiran tujuah angka signi#ikan. %eberap %eberapaa angka angka nol tidak tidak selaman selamanya ya signi# signi#ika ikan, n, karena karena mereka mereka diperla diperlakuk kukan an sekeda sekedar r menempatkan sebuah titik desimal. &onsep angka bena ' significant ' significant figure( figure( atau angka berarti telah dikembangkan secara #orm #ormal al untu untuk k mena menand ndak akan an kean keanda dalan lan suatu suatu nila nilaii nume numerik rik.. "ngka ngka bena bena adala adalah h angk angkaa bermakna, angka penting, atau angka yang yang dapat digunakan dengan pasti )ontohnya, •
4*.+* memiliki - angka bena 'yaitu ' yaitu 4, *, +, , *(
•
.+!4 memiliki 4 angka bena 'yaitu ' yaitu +, !, , 4(
•
.+ memiliki angka bena 'yaitu +, (
•
!8.* memiliki angka bena 'yaitu , !, 8, *, , (
•
!.9 memiliki ! angka bena 'yaitu , !, , , , 9, (
•
.9 memiliki angka bena 'yaitu ' yaitu 9, (
•
+*, +.*, .+* semuanya memiliki 4 angka bena
&onsep angka signi#ikan memiliki dua implikasi penting bagi penelitian dengan metode numerik 0 a. Sep Seperti erti diperke diperkenal nalkan kan pada masalah masalah pen penerju erjun, n, metode metode num numerik erik menghas menghasilk ilkan an hasil perkiraan . &ita harus mengembangkan kriteria untuk menentukan seberapa yakin kita dalam hasil perkiraan kita. Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dalam hal
angka signi#ikan. Sebagai contoh, kita mungkin memutuskan bah1a pendekatan dapat diterima jika sudah benar empat angka signi#ikan . b. 2eskipun kuantitas π ,e , √ 7 me1akili kuantitas spesi#ik, tetapi mereka tidak dapat dinyatakan persis dengan sejumlah digit. Sebagai contoh, π =3 . 141592653589793238462643 … 2. Akurasi dan Presisi "kurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan atau pengukuran terhadap angka sebenarnya. 3resisi mengacu pada 0 umlah angka signi#ikan yang menyatakan suatu besaran • • 3enyebaran dari nilai nilai yang terbaca dari suatu alat ukur
Gambar diba1ah ini disajikan untuk lebih memperjelas penggambaran dari pengertian akurasi dan presisi diatas.
Presisi adalah derajat kedekatan kesamaan pengukuran antara satu dengan lainnya.
ika hasil pengukuran saling berdekatan 'mengumpul( maka dikatakan mempunyai presisi tinggi dan sebaliknya jika hasil pengukuran menyebar maka dikatakan mempunyai presisi rendah. 3resisi diindikasikan dengan penyebaran distribusi probabilitas. Distribusi yang sempit mempunyai presisi tinggi dan sebaliknya. $kuran presisi yang sering digunakan adalah standar de5iasi '6(. 3resisi tinggi nilai standar de5iasinya kecil dan sebaliknya. Akurasi adalah derajat kedekatan pengukuran terhadap nilai sebenarnya. "kurasi
mencakup tidak hanya kesalahan acak, tetapi juga bias yang disebabkan oleh kesalahan sistematik yang tidak terkoreksi. ika tidak ada bias kesalahan sistematik maka standar de5iasi dapat dipakai untuk menyatakan akurasi. Derajat ketidakpastian (uncertainty Derajat ketidakpastian adalah selang nilai ukuran yang didalamnya diprediksi kesalahan pengukuran telah tereduksi.
!. Definisi "rror (Kesalahan
7imbul dari penggunaan aproksimasi, meliputi dua hal yaitu, 7runcation error '&esalahan 3emotongan(, dihasilkan se1aktu aproksimasi • •
digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika e ksak. ound o## error '&esalahan 3embulatan(, dihasilkan bila angka angka aproksimasi dipakai untuk meyatakan angka angka eksak.
Harga sebenarnya = aproksimasi + error ....................................................'+(
E t =harga sebenarnya −aproksimasi Dimana
Et
...............................................................'(
adalah harga pasti error, dengan t berarti true.
%ila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya 0 kesalahan Kesalahan Relatif Fraksional = harga sebenarnya .............................................'*( %ila dinyatakan dalam presentase error sebenarnya ε t = × 100 ................................................................................... harga sebenarnya '4( Dimana
ε t
adalah error relati# sebenarnya.
2aka terdapat alternati# untuk menormalisasi error dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga sebenarnya yaitu, error aproksimasi εa = × 100 aproksimasi a menandakan aproksimasi. #. $ound % &ff "rror (Kesalahan Pembulatan &omputer hanya dapat menyimpan sejumlah tertentu angka signi#ikan selama
kalkulasi. )ontoh
π =3,141592 dengan mengabaikan suku suku yang lainnya.
:ama teknik penyimpanan ini adalah chopping , jadi tergantung pada tipe data yang digunakan.
&;S"<"=": 3;2%$<"7": D": 7">
Diberikan deret 7aylor dalam bentuk diperluas di sekitar titik yang dikenal sebagai
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) +
( x − x0 )2 2!
f ' ' ( x0 ) + ...
kita dapat memotong di beberapa titik dan dikenakan kesalahan. ika kita memotong itu di urutan ke@ n, kesalahan pemotongan akan menjadi
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) +
+ ... +
( x − x0 )n n!
( x − x0 )2 2!
f ' ' ( x0 ) + ...
f n ( x0 ) + Rn
Rn Dimana
diberikan sebagai0
Rn =
x
( x − t )n
∫
x0
n!
f n +1 ( t )dt
%agaimana kita menghitung kesalahan residual iniA &ita bisa memperkirakan menggunakan teorema nilai rata@rata '2ean 5alue theorem( diidenti#ikasi di ba1ah. 'eorema nilai ratarata ()ean *alue theorem b
I = ∫ f ( t )dt a
%ilangan bulat
merupakan area di ba1ah kur5a dari tBa ke tBb.
( a − b ) f ( ξ ) Daerah ini dapat dengan mudah diasumsikan kurang lebih sama dengan
di
f ( ξ ) mana
adalah nilai #ungsi antara dua batas.
f ( t ) f ( ξ )
=
b
J =
∫ f 't ( g 't (dt a
%egitu pula, integral dengan produk dari dua #ungsi sebagai integran
adalah
b
J = ( b − a ) f ( ξ )∫ g ( t )dt a
5olume persegi panjang perkiraan Dari sudut pandang ini, kesalahan pemotongan pada serangkaian 7aylor adalah
Rn =
f n +1 ( ξ ) x n!
∫ ( x − x0 )
n
dx
ξ
x0
untuk beberapa nilai
dalam kisaran tertentu.
Setelah integrasi menjadi0
Rn =
f n +1 ( ξ ) ( n + 1 )!
( x − x0 )n +1
&esimpulannya diberikan #ungsi terdi#erensialkan, kita dapat mengembangkannya sebagai polinomial pada suatu titik tertentu. ika kesalahan pemotongan dalam melakukannya cukup cukup kecil, kita dapat menerima ekspansi polinomial melalui deret 7aylor sebagai perhitungan yang 5alid. Stabilitas dan kondisi.
" ( x t ) =
3ertimbangkan sebuah sistem
di mana C adalah sistem input dan y output sistem
x + δ yang sesuai pada suatu 1aktu t. 2isalkan, input ke sistem meningkat
yang mengarah
+ ϑ ke sebuah output
.
ϑ >1 θ ika
sistem tidak stabil, itu meledak
ϑ <1 θ sistem stabil
ϑ =1 θ sistem yang terkandung, berada dalam batas@siklus ?ni adalah satu set uni5ersal pengamatan yang mengklasi#ikasikan sistem dinamik. Sebuah sistem yang diberikan oleh persamaan
d dt
= g ( t ) (t 0 ) = 0
juga memenuhi syarat untuk set yang sama pertimbangan. 2isalkan, solusinya adalah
( t ) = ( t 0 + h ) = ( t 0 ) + hg ( t 0 ) Output dihitung dan input dapat diklasi#ikasikan sebagai berikut0
h t 0 ;kspansi masukan relati# B
( t ) − ( t 0 ) ( t )
≈
hg ( t 0 ) ( t 0 )
;rror output relati# B 3ersyaratan, atau kondisi jumlah sistem, ) adala
t 0 g ( t 0 ) Re $ati%e # output # error = & = Re $ati%e # input # exp ansion ( t 0 )
& > 1 →
<1 → tidak stabil,
=1 → Stabil
Kesalahan Pembulatan
&esalahan pembulatan adalah kesalahan yang diakibatkan oleh penggunaan pendekatan di tempat prosedur matematika yang tepat. e = + + x + x
x , ,D
+
x * *D
+ ... +
x n nD
+
x n ++ 'n + +(D
+ ...
pendekatan kesalahan pembulatan
Eormulasi matematis yang tepat +. &esalahan '%lunders( &esalahan dapat terjadi pada setiap tahap proses pemodelan matematika dan dapat berkontribusi untuk semua komponen lain dari kesalahan. 2ereka dapat dihindari hanya dengan pengetahuan tentang prinsip@prinsip dasar dan dengan pera1atan yang "nda mendekati dan merancang solusi untuk masalah. &esalahan biasanya diabaikan dalam diskusi metode numerik. ?ni tidak diragukan lagi karena #akta bah1a, coba seperti yang kita dapat, kesalahan yang sampai batas tertentu tidak dapat dihindari. :amun, kami percaya bah1a ada sejumlah cara di mana terjadinya mereka dapat diminimalkan. Secara khusus, kebiasaan pemrograman yang baik yang digariskan dalam %ab sangat berguna untuk mengurangi kesalahan pemrograman. Selain itu, ada cara sederhana biasanya untuk memeriksa apakah metode numerik tertentu bekerja dengan benar. . &esalahan Eormulasi Eormulasi, atau model, kesalahan berhubungan dengan bias yang dapat berasal model matematika lengkap. )ontoh dari kesalahan #ormulasi diabaikan adalah kenyataan bah1a hukum kedua :e1ton tidak memperhitungkan e#ek relati5istik. ?ni tidak mengurangi kecukupan solusi dalam )ontoh +.+ karena kesalahan ini minimal pada skala 1aktu dan ruang yang terkait dengan jatuh masalah penerjun. :amun, anggaplah bah1a hambatan udara tidak berbanding lurus jatuh kecepatan, seperti dalam 3ersamaan. '+.!(, tetapi merupakan #ungsi dari kuadrat kecepatan. ika hal ini terjadi, baik solusi analitis dan numerik yang diperoleh di %ab + akan salah karena kesalahan #ormulasi. 3ertimbangan lebih lanjut tentang kesalahan #ormulasi termasuk dalam beberapa aplikasi rekayasa dalam sisa buku. "nda harus menyadari masalah ini dan menyadari bah1a, jika "nda bekerja dengan model kurang dipahami, tidak ada metode numerik akan memberikan hasil yang memadai. *. Data &etidakpastian &esalahan kadang masuk ke dalam analisis karena ketidakpastian dalam data #isik di mana model didasarkan. Sebagai contoh, misalkan kita ingin menguji model penerjun
jatuh dengan memiliki indi5idu membuat melompat berulang dan kemudian mengukur kecepatan nya setelah inter5al 1aktu tertentu. &etidakpastian akan pasti dikaitkan dengan pengukuran ini, karena penerjun tersebut akan jatuh lebih cepat selama beberapa melompat daripada selama orang lain. &esalahan ini dapat menunjukkan baik ketidaktepatan dan ketidaktepatan. ika instrumen kami secara konsisten meremehkan atau melebih@lebihkan kecepatan, kita berhadapan dengan akurat, atau bias, perangkat. Di sisi lain, jika pengukuran adalah acak tinggi dan rendah, kita berhadapan dengan pertanyaan tentang presisi. &esalahan pengukuran dapat diukur dengan meringkas data dengan satu atau lebih 1ellchosen statistik yang menyampaikan in#ormasi sebanyak mungkin mengenai karakteristik khusus dari data. ?ni statistik deskripti# yang paling sering dipilih untuk me1akili '+( lokasi pusat distribusi data dan '( tingkat penyebaran data. Dengan demikian, mereka menyediakan ukuran bias dan ketidaktepatan, masing@masing. &ami akan kembali ke topik karakteristik ketidakpastian data dalam %agian &elima. 2eskipun "nda harus menyadari kesalahan, kesalahan #ormulasi, dan data pasti, metode numerik yang digunakan untuk membangun model dapat dipelajari, untuk sebagian besar, terlepas dari kesalahan ini. Oleh karena itu, untuk sebagian besar buku ini, kita akan menganggap bah1a kita tidak membuat kesalahan kotor, kami memiliki model suara, dan kita berhadapan dengan pengukuran bebas dari kesalahan. Dengan kondisi tersebut, kita dapat mempelajari kesalahan numerik tanpa #aktor rumit.
