BAB III PENDEKATAN DAN KESALAHAN
1. Pendahuluan Meto Metode de Nume Numeri rikk meru merupa paka kann suat suatuu tekn teknik ik/M /Met etod odee peny penyel eles esai aian an permasalahan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritm (aritmati atik). k). Pen Pende dekat katan an penye penyeles lesaia aiann dengan dengan metode metode ini dilaku dilakukan kan apabil apabilaa penggunaan penyelesaian secara umum (analitis) sulit dilakukan. Hal-hal khusus yang dimiliki oleh metoda ini adalah: adanya proses penghitungan yang berulangulang (iteratif) yang membawa konsekwensi adanya alat bantu untuk proses otoma otomatis tisasi asi dari dari iteras iterasii terseb tersebut ut yaitu yaitu (progr (program am)) komput komputer. er. Kompu Komputer ter adala adalahh mesin penghitung elektronik yang cepat dan dapat menerima informasi input digita digital,l, kemud kemudian ian mempro memproses sesnya nya sesua sesuaii dengan dengan progra program m yan yangg tersim tersimpan pan di memo memorin rinya ya,, dan dan meng mengha hasi silk lkan an outp output ut beru berupa pa info inform rmas asi.i. Sebe Sebelu lum m suat suatuu permasalahan bisa diselesaikan dengan bantuan komputer diperlukan langkah langkah antara lain: proses pemodelan matematis dari situasi nyata, penyediaan input dan data yang cukup bagi model, dan pembuatan algoritma program. PENDEKATAN DAN KESALAHAN Kesalahan di dalam metode numerik dibagi menjadi dua macam yaitu 1. Kesalahan pembulatan ( round of error ) 2. Kesalahan pemotongan ( truncation error ) Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan. Kesala Kesalahan han numeri numerikk adalah adalah kesal kesalaha ahann yan yangg timbul timbul karena karena adanya adanya proses proses pendekatan.Hubungan pendekatan.Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah x
Kelompok 1
x +e
=
1
Dimana
: xˆ adalah nilai yang sebenarnya ( nilai eksak ) : x adalah nilai pendekatan yang dihasilakan dari metode numerik : e adalah kesalahan numerik. Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahandan nilai sebenarnya.
Pada banyak permasalahan kesalahan fraksional di atas sulit atau tidak bisa dihitung, karena karena nilai nilai eksakn eksaknya ya tidak tidak diketa diketahui hui.Se .Sehin hingga gga kesala kesalahan han fraksi fraksiona onall dihitu dihitung ng berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh:
dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan ke n dan ke n-1
Kelompok 1
2
2. Sistem Angka
Dalam Kehidupan sehari-hari, angka yang dipergunakan berdasarkan pada sistem desimal. Misalnya contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157: 157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1) Perhatikan, Sekarang kita bisa mengetahui mengapa bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10 bukan? Benar. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dsb. Secara umum bentuk suatu bilangan berbasis 10 dinyatakan dalam bentuk persamaan di bawah ini. N = ( an an 1...a0 )10 −
= a 10 + a n
n
n
10 n
−1
+ ... ... + a 10
0
0
Dimana : an : koefisien ke-n dari polinomial berbasis 10 (bilangan antara 0 sampai 9) Data di dalam komputer berupa denyut listrik, dengan 1 (on) 0 (off). Karena hanya mengunakan dua digit 0 dan 1 maka dinamakan binary number system. Singkatan dari binary digit adalah bit dipakai sebagai unit dasar ketika kita mengukur besarnya data, semua tombol pada keyboard dikirim ke komputer dalam bentuk kode biner. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem biner adalah. N
=
( an an
... a0 1 ...
−
) 2 = an 2 n + a n 2 n
1
−
... + a0 2 + ...
0
Dimana : an : koefisien ke-n dari polinomial berbasis 2 (bilangan 0 atau 1)
Kelompok 1
3
Konversi bilangan bulat berbasis 3 kepada berbasis 10 dilakukan dengan menggunakan menggunakan algoritma dengan koefisien: an , an 1 , an −
P ( x )
−2
.... a2 , an , ao
= an X n + an −1 X n −1 + an−2 X n−2 + ..... + a2 X 2 + a1 X + a0
Dan suatu bilangan 3, maka perhitungan bilangan:
Dengan demikian bo =p(3) _ hasil akhir
Kelompok 1
4
3. AKURASI DAN PRESISI
Perhatikan hasil tembakan yang dilakukan oleh 4 orang seperti gambar berikut :
Dari 4 gambar di atas, gambar (a) menunjukkan hasil yang akurat dan presisi.Gambar (b) menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat. Gambar (c) menunjukkan hasil yang sebenarnya akurat teteapi tidak presisi. Dan gambar (d) menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak presisi. Akurasi dalam hal ini sangat ter tergant gantun ungg pada ada penem enembbak, dan dan pre presisi sisi terg tergaantu ntung pada pada sena senapa pann dan perlengkapannya. Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur.Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka soro sorong ng akan akan memp mempun unya yaii perb perbed edaa aann nila nilaii pres presis isi.P i.Pem emak akai aian an jang jangka ka soro sorong ng mempunyai presisi yang lebih tinggi. Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak.Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya 10 -4. Dari keadaan akurat dan presisi ini, akan muncul apa yang dinamakan kesa kesala laha hann (err (error or). ).Da Dala lam m anal analis isaa nume numeri rik, k, dima dimana na peny penyel eles esai aian an dihi dihitu tung ng menggunakan nilai-nilai pendekatan, error menjadi hal yang sangat penting dan diperhatikan.
Kelompok 1
5
4. KESALAHAN
Dalam perhitungan perhitungan mengguna menggunakan kan metode metode numerik numerik ada potensi potensi terjadinya terjadinya kesalahan yang desebabkan oleh beberapa faktor antara lain: Bawaa Bawaann data: data: Kesala Kesalahan han ini muncul muncul akibat akibat adanya adanya kekeli kekelirua ruann dalam dalam memberikan data dan kesalahan dalam mengambil asumsi terhadap data. Pembulatan (rounding): Kesalahan ini terjadi akibat penentuan jumlah angka di belakang koma. Misal :
→ sebanyak 7 digit Menjadi 0.612347 → 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan.
bilangan 0.6123467
Dalam bilangan berbentuk pecahan dikenal suatu istilah Angka signifikan, yang merupakan angka-angka yang terdapat dalam bilangan pecahan yang berpengaruh dalam perhitungan. Angka signifikan tersebut adalah: 1. Meru Merupa paka kann angk angkaa 1 s/d s/d 9. 9. 2. Angka Angka 0 dibelak dibelakang ang koma koma sebelum sebelum ada ada angka angka 1 s/d 9 di abaika abaikan. n. Contoh Contoh,, 0.0 0.0005 005813 813 memili memiliki ki 4(empa 4(empat) t) angka angka signif signifika ikan, n, sedang sedangkan kan 0.700124 mempunyai 6(enam) angka signifikan. Pemotongan (chopping): Kesalahan oleh proses ini timbul pad padaa angk angkaa peca pecaha han, n, yang yang diam diambi bill seba sebaga gaii angk angkaa peca pecaha hann yang yang dinormalisir (mis. 543.8 menjadi 0.5438(10 3)) Pertanyaan yang timbul, apakah suatu bilangan mengalami pembulatan atau pemotongan dapat dilihat pada ilustrasi contoh berikut.Contoh bila ada bilangan x=2/3, dalam bentuk desimal adalah x=0.6666666 …, maka bila bilangan ini dinormailisasi akan menjadi: 1. x=0.67, 2. x=0.66 jika merupakan pemotongan. jika x=0.67 proses yang terjadi merupakan pembulatan, sedangkan sedangkan jika x=0.66 maka proses yang terjadi merupakan pemotongan.
Kelompok 1
6
4.1 KESALAHAN MUTLAK
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilaii pendekatan yang diberikan, atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini. Kesalahan(Error) = Nilai Eksak - Nilai Perkiraan
ξ P
=
P P * −
dimana: Ee : Kesalahan Absolut P : Nilai eksak P* : Nilai Perkiraan 4.2 KESALAHAN RELATIF
Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibandingkan dengan terhadap nilai eksak yang terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini. ξ e
=
ξ e
=
Ee Ee P ( P P *) P −
dimana: : Kesalahan relatif terhadap nilai eksak Ee : Kesalahan Absolut P : Nilai eksak P* : Nilai Perkiraan ξ P
4.3 PROSENTASE KESALAHAN
Prosentase kesalahan adalah prosentase kesalahan relatif dibandingkan dengan perkiraan terbaik yang terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.
Kelompok 1
7
ξ a =
ξ P *
× 1 0 0%
Dimana : : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik P* : nilai nilai perkira perkiraan an terbai terbaikk Dala Dalam m oper operas asii nume numeri rik, k, seri sering ngka kalili tida tidakk bisa bisa dite ditemu muka kann nila nilaii eksa eksakk berdasarkan proses perhitungan secara analisa sehingga yang dipergunakan adalah nila nilaii pada pada lang langka kahh iter iteras asii tert terten entu tu.. Dala Dalam m mene menent ntuk ukan an kesa kesala laha hann rela relatitif f dipergunakan nilai selisih antara iterasi yang terakhir (misal n+1 merupakan iterasi terakhir) dan iterasi sebelumnya (misal n). Sehingga dalam bentuk rumus sederhana akan terlihat seperti di bawah ini.
ξ a =
P *
n+ 1
− P *
P *
n+ 1
n
×
1 0%0
dimana: P*n : nilai perkiraan pada iterasi ke – n P*n+1 : nilai perkiraan pada iterasi ke – n+1 Kecermatan atau besar/kecilnya suatu kesalahan relatif dari suatu pengukuran atau atau hasil hasil perhi perhitun tungan gan tergan tergantun tungg denga dengann angka angka signif signifika ikann dari dari bilan bilangan gan.. Misalkan pada proses pengukuran di bawah ini yang dilakukan pada obyek tulangan baja dan suatu badan jalan. − pengukuran diameter 32 mm tulangan − pengukuran 1.60 km jalan Tulangan baja diukur pada nilai terdekat pada
1 10
satuan mm, sehingga
kesalahan mutlak yang terjadi dari pengukuran diameter tulangan baja adalah sebesar 0.05 mm. Kemudian, pengukuran 1.60 km jalan, yang diukur terhadap nilai terdekat cm, menimbulkan kesalahan mutlak sebesar 0.5 cm. kesalahan relatif yang terjadi. Dari keadaan ini
Kelompok 1
8
0.05 = − pada baja tulangan = 32
1 640
0.05 = − pada jalan = 1600
1 320000
Kesalahan = │perkiraan – nilai sebenarnya │ Kesalahan Relatif =
perkiraan
n.sebenarnya
−
n.sebenarnya
Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui, yang didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap lebih lebih akurat akurat,, yaitu yaitu lebih lebih mendek mendekati ati nilai nilai sebena sebenarny rnya, a, maka maka kesal kesalaha ahann yan yangg dihitung yaitu:
False Position ( Posisi Kesalahan ) Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus. lurus. Titik tempat garis lurus itu memotong memotong garis nol ditentukan ditentukan sebagai sebagai akar akar fungsi.
Kelompok 1
9
p ( x )
x − b x − a f ( b ) = f ( a ) + a − b b − a
p ( c )
af (b) − bf (a) = 0 → c = − f ( b ) f ( a )
Diperoleh :
Langkah – Langkah : 1. Perkir Perkirak akan an akar akar fungsi fungsi (bisa (bisa deng dengan an cara cara memplot fungsi). 2. Tentukan Tentukan batas batas awal yang mengurung mengurung akar akar fungsi. 3. Tari Tarikk gari gariss luru luruss peng penghu hubu bung ng nilai nilai fung fungsi si pada kedua batas, lalu cari titik potongnya dengan garis nol. 4. Gese Geserr sala salahh satu satu batas batas ke titik titik poton potongg itu, sementara batas lain tidak berubah. Ulangi langkah 3. 5. Ulangi Ulangi langk langkah ah 4 sampai sampai diang dianggap gap cuku cukup. p. 6. Titi Titikk potong potong garis garis nol nol dan garis garis lurus lurus yang yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi. Metode false position juga menggunakan dua batas seperti metode bisection. Namun, berbeda dari metode bisection, pada metoda false position hanya satu batas yang berubah.
Kelompok 1
10
Pada contoh sebelum ini, batas a berubah sementara batas b tetap. Pada contoh berikut terjadi sebaliknya.
Menghitung akar fungsi dengan metode false position, menggunakan a dan b sebagai batas awal: a. jika batas a tetap, batas b berubah : X i
+1
=
af ( X i ) − X i f (a ) f ( X i ) − f (a )
i
=
b. Jika batas b tetap, batas a berubah : bf ( X i ) − X i f (b) X i +1 = i f ( X i ) − f (b)
=
0,1,2,...; x 0
=
b
0,1,2,...; x 0
=
a
c. Kesalahan relatif semu : ∆rel rel =
X i
Kelompok 1
− X i +1
X i +1
11
Perhitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu telah sampai pada batas yang diinginkan
CONTOH SOAL DAN JAWABAN
Kelompok 1
12
1. Pengukura Pengukurann panjang panjang jembatan jembatan dan dan pensil pensil memberika memberikann hasil 9999 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif! Jawab : a.
Kesalahan absolut
Jembatan Pensil
= 10.000 – 9999 = 1 cm = 10 – 9 = 1 cm
b. Kesalahan Relatif
Jembatan Pensil
e ε e
=
x
e ε e
x 100 %
=
x
x 100 %
1 =
X 100 %
10000
1 =
X 10 0 %
=
=
0.01 %
10 %
10
Kedua kesalahan kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar.
CONTOH SOAL 2
Kelompok 1
13
CONTOH SOAL 3
Kelompok 1
14
Kelompok 1
15
Tugas ini dibuat untuk memenuhi nilai tugas mata kuliah Metode Numerik Semester Genap
Disusun Oleh : 1. Eko Wahy Wahyuni uning ng Pamun Pamungka gkass (07220 (07220008 008)) 2. Te Tedi di Mar Margi gino no (07 (0722 2200 0004 04)) 3. Annas Annas Muzakk Muzakkii S (07220 (07220002 0023) 3)
Insitut Sains Dan Teknologi Nasional Jakarta 2008
Kelompok 1
16
