APOYO COMPLEMENTARIO AL CURSO, EN NINGUN CASO SUBSTITUYE LO VISTO EN CLASE. SE RECOMIENDA USAR LA NOTACION USADA EN CLASE LO QUE SE PRESENTA A CONTINUACION FUE TOMADO DEL SITIO
UNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. Entre las distribuciones discretas a tratar en este caso están: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Binomial Multinomial Hipergeométrica Hipergeométrica generalizada Poisson Aproximación de Poisson a la Binomial Geométrica Binomial Negativa
1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las características de esta distribución son: a) a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resu result ltad ados os,, ejem ejem.. Defe Defect ctuo uoso so,, no defe defect ctuo uoso so,, pasa pasa,, no pasa pasa,, etc, etc, etc. etc.,, deno denomi mina nado doss arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito). b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian. c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí. d) d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante. A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que tenga este tipo de distribución. Ejemplo: Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas. Solución: Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.
Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en dond dondee repr repres esen enta tare remo moss los los tres tres lanz lanzam amie ient ntos os,, de ahí ahí se obte obtend ndrá rá el espa espaci cioo mues muestr tral al y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
A = águila, S = sello 1/2
1/2
A
1/2
S
1/2
A
1/2
S A
1/2
S
1/2
A
1/2
S
A
A 1/2
1/2
1/2
S
A 1/2 S 1/2
S
= AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos de moneda x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2 p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2 q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2 Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula; P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama)
Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en dond dondee repr repres esen enta tare remo moss los los tres tres lanz lanzam amie ient ntos os,, de ahí ahí se obte obtend ndrá rá el espa espaci cioo mues muestr tral al y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
A = águila, S = sello 1/2
1/2
A
1/2
S
1/2
A
1/2
S A
1/2
S
1/2
A
1/2
S
A
A 1/2
1/2
1/2
S
A 1/2 S 1/2
S
= AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos de moneda x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2 p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2 q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2 Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula; P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama)
Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener; Enumerando Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente, nP x1 , x 2 ,... xk
=
n! x1 ! x2 !... x k !
donde n = x1+x2+...+xk sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente; nP x ,n− x
=
n! x! ( n − x )!
esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay más de dos tipos de objetos, definitivamente definitivamente solo se usa la fórmula original, original, como se observará observará en el caso de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de fórmula?, simplemente porque en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es la siguiente,
nCx =
n! x! ( n − x )!
y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.
C 2 3
=
3! 2! ( 3 − 2 )!
=
3! 2! !1!
=
3 x 2! 2!1!
= 3ramas
¿Y la probabilidad asociada a cada rama? Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p2q= x n = p q
−x
Luego la fórmula de la distribución Binomial sería: p( n , x , p )= n C n − x p x q n − x
donde: p( x, x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de éxito es p
Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente: n = 3, x = 2, p = ½ p( n = 3 , x = 2 , p = 1 / 2 )= 3 C 2 ( 1 / 2 ) 2 ( 1 / 2 )3−2
=
3! 2!1!
*
1 4
*
1
= 3*
2
1 8
=
3 8
Para Para calcul calcular ar la media media y la desviaci desviación ón estándar estándar de un experi experimen mento to que tenga tenga una distri distribuci bución ón Binomial usaremos las siguientes fórmulas: Media o valor esperado. µ = nP
Donde: n = número de ensayos o repeticiones del experimento P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media que se refiere la media Q = complemento de P Desviación estándar. σ = nPQ
Ejemplos: 1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes accidentes no se atribuyan a errores humanos. Solución: a) n = 5 x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25 p( x
b)
p( x
2
= 2 , n = 5 , p = 0.75 )=5 C 2 ( 0.75 )
= 0 ,1 , n = 5 , p = 0.75 ) =
p( x
( 0.25 )5 − 2
= ( 10 )( 0.5625 )( 0.015625 ) = 0.08789 0
= 0 ) + p( x = 1 )=5 C 0 ( 0.75 )
( 0.25 )5 − 0
+
5
C 1 ( 0.75 )1 ( 0.25 )5−1
= 0.000976 + 0.014648 = 0.015624
c) En este caso cambiaremos el valor de p; n =5 x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25 q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75 p( x
2.
3
= 3 , n = 5 , p = 0.25 )=5 C 3 ( 0.25 )
( 0.75 )5 − 3
= ( 10 )( 0.015625 )( 0.5625 ) = 0.08789
Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
Solución: a) n =12 x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40 q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60 p( x
= 4 ,n = 12 , p = 0.40 )=
12
C 4 ( 0.40 )4 ( 0.60 )12 − 4
= ( 495 )( 0.0256 )( 0.016796 ) =
= 0.21284 b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1- p(x=0,1,2) = = 1−
12
C 0 ( 0.40 )0 ( 0.60 )12 − 0 +12 C 1( 0.40 )1( 0.60 )12 −1 +12 C 2 ( 0.40 )2 ( 0.60 )12 − 2
[
]
= 1 − 0.002176 + ( 12 )( 0.4 )( 0.003627 ) + ( 66 )( 0.16 )( 0.006047 )
= 1- 0.002176+0.0174096+0.06385632 = 1- 0.08344192= 0.91656 c)
p( x
5
= 5 , n = 12 , p = 0.40 )=12 C 5 ( 0.40 )
= 0.22703
( 0.6 )12 − 5
=
( 792 )( 0.01024 )( 0.0279936 ) =
3.
La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
Solución: a)n =10 x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15 q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85 p( x = 5 ,n
5
= 10 , p = 0.15 )=10 C 5 ( 0.15 )
( 0.85 )10 − 5
=
( 252 )( 0.00007593 )( 0.4437053 ) =
= 0.00849 b)p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) = =1 −
10
C 0 ( 0.15 ) 0 ( 0.85 )10
−0
+10
C 1 ( 0.15 )1 ( 0.85 )10
−1
= 1 – (0.19687+(10)(0.15)(0.231617) =1-0.544296 = 0.455705 c) n=10 x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dB x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85 q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15 p( x
= 4 ,5 ,6 ,n = 10 , p = 0.085 )=
10
C 4 ( 0.85 )4 ( 0.15 )10 − 4 +10 C 5 ( 0.85 )5 ( 0.15 )10 − 5 +10 C 6 ( 0.85 )6 ( 0.15 )10 − 6
=
=(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210) (0.3771495)(0.00005063)= =0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897 d)n=10, p=0.15, q=1-p=0.85
µ = np = ( 10 )( 0.15 ) = 1.5 ≅ 2amplificad ores
Interpretación: Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db
σ = npq
=
( 10 )( 0.15 )( 0.85 ) = 1.1291 ≅ ±1amplificad or
Interpretación: Este experimento puede variar en 2 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB
2. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL. Características: a) a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados. b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes. c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes. d) d) El número de repeticiones del experimento, n es constante. Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución. Ejemplo: Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco. Solución: Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación; 1 2 1
1
3 4.....
2º lanzamiento
2 3
5
4
6
5 5ºlanzamiento 6
2
3 a 4 1er lanzamiento
1 2 3 4
5 6
6
2º lanzamiento
5
Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión: p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas) Para esto definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos del dado x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2 x2 = número de veces que aparece el número 2 = 0 x3 = número de veces que aparece el número 3 = 2 x4 = número de veces que aparece el número 4 = 0 x5 = número de veces que aparece el número 5 = 1 p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6 p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6 p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6 p4 = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6 p5 = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6
p6 = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6 Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5? Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente; (1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc. ¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que? SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES. Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:
El número de ramas =
P 2 ,2 ,1
5
=
5! 2!2!1!
=
120 4
= 30
Y en forma general,
n
P x , x ,... xk 1
2
=
n! x1 ! x 2 !... x k !
Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería; p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p1*p1*p3*p3*p5= =p12*p32*p5 Por tanto la fórmula general será: p( x1 , x 2 ,... x k , n ) =
n! x1 ! x 2 !... x k !
x1
x2
xk
p1 p 2 .... p k
donde: p(x1, x2,....,xk , n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x 1 objetos del primer tipo, x 2 objetos del segundo tipo.......y x k objetos del último tipo. n = x1+x2+....xk Resolviendo el ejemplo; n=5 x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2 x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2 x3 = número de veces que aparece el número 5 = 1 p1= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6
p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6 p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6
p
=
( x1
= 1 , x2 = 2 , x3 = 1 , n = 5 ) =
5! 2!2!1!
( 1 / 6 )2 ( 1 / 6 )2 ( 1 / 6 )1
= ( 30 )( 0.0001286 ) = 0.003858
Ejemplos: 1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto? Solución: a) n = 9 x1= # de delegados que llegan por aire = 3 x2= # de delegados que llegan en autobús = 3 x3= # de delegados que llegan en auto = 1 x4= # de delegados que llegan en tren = 2 p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40 p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20 p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30 p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10 p( x1
= 3 , x2 = 3 , x3 = 1 , x4 = 2; n = 9 ) =
b) n=9 x1 = 4 por aire; x2 = 1 en autobús; x3 = 2 en auto; x4 = 2 en tren;
p( x1
9! 3!3!1!2!
( 0.40 )3 ( 0.20 )3 ( 0.30 )1( 0.10 )2
p1 = 0.40 p2 = 0.20 p3 = 0.30 p4 = 0.10
= 4 , x2 = 1 , x3 = 2 , x4 = 2; n = 9 ) =
9! 4!1! 2! 2!
( 0.40 )4 ( 0.20 )1( 0.30 )2 ( 0.30 )2
c) n=9 x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30 x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70 p( x1
= 0.0077414
= 5 , x2 = 4; n = 9 ) =
9! 5!4!
( 0.30 )5 ( 0.70 )4
= 0.073514
= 0.15676
2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución: a) n=8 x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50 x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25 x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25 p( x1
= 5 , x2 = 2 , x3 = 1; n = 8 ) =
b) n=8 x1 = 3 rojos; x2 = 2 negros; x3 = 3 blancos;
p( x1
8! 5!2!1!
( 0.50 )5 ( 0.25 )2 ( 0.25 )1
= 0.082031
p1 = 0.50 p2 = 0.25 p3 = 0.25
= 3 , x2 = 2 , x3 = 3; n = 8 ) =
8! 3! 2!3!
( 0.50 )3( 0.25 )2 ( 0.25 )3
= 0.068359
3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul. Solución: a) n = 6 x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52 x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08
p( x1
= 2 , x2 = 1 , x3 = 3 :
n
= 6 ) =
6! 2!1!3!
( 0.52 )2 ( 0.40 )1( 0.08 )3
= 0.0033226
b)n = 6 x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52 x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08
p( x1
=
2 , x2
=
4 , x3
=
0; n
=
6 )
=
6! 2! 4!0!
2
4
0
( 0.52 ) ( 0.40 ) ( 0.08 )
=
0.103834
3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c) c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
Ejemplo: En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos? Solución: Luego;
p( x , n ) =
a
C x * N −a C n − x N
C n
donde: p( x ,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados
a
C x * N −a C n− x
C n
= δ =
=
muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos
todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral N
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? Solución: N = 10 objetos en total a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra 3! p( x
=
2 , n
=
4 ) =
3
C 2*10 − 3 C 4 − 2 10 C 4
=
3
C 2* 7 C 2 10 C 4
=
*
7!
( 3 − 2 )! 2! ( 7 − 2 )!2! 10!
=
( 10 − 4 )!4!
3!
= 1!2!
*
7! 5! 2!
10!
6!4!
3 x 2 x1!
=
1!2!
*
7 x 6 x5! 5!2!
10 x9 x8 x7 x 6!
=
3 x 2 x 7 x6 10 x9 x8 x7
*
4! 2! 2!
=
6! 4!
donde: 3 x 2 x7 x6 10 x9 x8 x7
=
probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes 4! 2!2!
=
formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:
=
3 x 2 x7 x 6 10 x9 x8 x7
*
4! 2! 2!
=
252 5040
*
24 4
=
6048
= 0.30
20160
Ejemplos: 1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?. Solución: a) N = 9+6 =15 total de tabletas a = 6 tabletas de narcótico n = 3 tabletas seleccionadas x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico) =
p( x
= 1 ,2ó3tabletas ; n = 3 ) =
6
C 1* 9 C 2 15
=
( 6 )( 36 ) 455
+
( 15 )( 9 ) 455
+
( 20 )( 1 ) 455
=
C 3
+
6
C 2* 9 C 1 15
C 3
216 + 135 + 20 455
+
6
C 3* 9 C 0 15
=
371 455
C 3
=
= 0.81538
otra forma de resolver; p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico) = 1 − p( x = 0; n = 3 ) = 1 −
= 1−
( 1 )( 84 ) 455
6
C 0* 9 C 3 C 3 15
= −0.184615 = 0.815385
b) b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos) =
p( x
= 0; n = 3 ) =
=
6
C 0* 9 C 3 C 3 15
( 1 )( 84 ) 455
=
=
= 0.184615
2.
De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución: a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara p( x
= 4; n = 4 ) =
7
C 4* 3 C 0 C 4 10
=
( 35 )( 1 ) 210
=
35 210
= 0.16667
b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) = =
3
C 2* 7 C 2 + 3 C 3* 7 C 1 C 4 10
=
( 3 )( 21 ) + ( 1 )( 7 ) 210
=
63 + 7 210
=
70 210
= 0.333333
a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Solución: 3.
a) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad p( x
= 2 , n = 5 ) =
4
C 2 * 5 C 3 9
b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad
C 5
=
( 3 )( 10 ) 126
= 0.238095
n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
p( x
= 0 ,1 ,2; n = 5 ) =
=
4
C 0* 5 C 5 + 4 C 1* 5 C 4 + 4 C 2* 5 C 3 C 5 9
1 + 20 + 60 126
=
81 126
=
( 1 )( 1 ) + ( 4 )( 5 ) + ( 6 )( 10 ) 126
=
= 0.64286
4. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para verificación? 4) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA GENERALIZADA. Características: a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. c) c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. d) d) El número de repeticiones del experimento n, es constante. Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:
p( x , y ,n ) =
a
C x* b C y* N − a − b C n − x − y N
C n
donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra
z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra Ejemplos: 1.En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores. Solución: a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra p( x
=
3 , y
= 1 ,n =
20
5 ) =
C 3* 3 C 1* 2 C 1 25 C 5
=
( 1140 )( 3 )( 2 ) 53130
=
6840 53130
=
0.128741
b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra
p( x
=
4 , y
=
1; n
=
5 )
=
20
C 4 * 3 C 1* 2 C 0 25
( 4845 )( 3 )( 1 ) =
14535 =
53130
=
53130
C 5
0.27357
3.Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de
que: a)estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana. Solución: a) N = 12 estudiantes a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses c = 5 Italianos N-a-b-c = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado
p( x
= 1 , y = 1 , z = 1; n = 4 ) =
2
C 1* 3 C 1* 5 C 1* 2 C 1 12
=
( 2 )( 3 )( 5 )( 2 ) 495
=
60 495
C 4
= 0.121212
b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianos a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses N-a-b = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado n-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado p(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana) p( x =
=
2
= 1 , y = 1 , n = 4 ) + p( x = 1 , y = 2 , n = 4 ) + ( x = 2 , y = 1 , n = 4 ) =
C 1* 3 C 1* 2 C 2 C 4 7
( 2 )( 3 )( 1 ) 35
+
+
2
C 1* 3 C 2* 2 C 1 C 4 7
( 2 )( 3 )( 2 ) 35
+
+
2
C 2* 3 C 1* 2 C 1 C 4 7
( 1 )( 3 )( 2 ) 35
=
=
6 + 12 + 6 35
= 0.685714
5) DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:
- # de defectos de una tela por m2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc. Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: p( x ,λ ) =
λ xε − λ x!
donde: p( x , ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto = 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
Ejemplos: 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a) a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc. = 6 cheques sin fondo por día = 2.718 p( x
=
4 ,λ = 6 ) =
( 6 )4 ( 2.718 )−6 4!
=
( 1296 )( 0.00248 ) 24
=
0.13392
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc. = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
p( x
= 10 ,λ = 12 ) =
( 12 )10 ( 2.718 )−12 10!
=
( 6.1917364Ε 10 )( 0.000006151 ) 3628800
= 0.104953
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución: a) a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata 2.
p( x
= 1 ,λ =
0.6 ) =
( 0.6 )1( 2.718 )−0.6 1!
=
( 0.6 )( 0.548845 ) 1
=
0.329307
b) b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
( 1 ) ( 2.718 )− ( 1 )( 2.718 )− + p( x = 2 ,3 ,4 ,etc....λ = 1 ) = 1 − p( x = 0 ,1 ,λ = 1 ) = 1 − 0! 1! 0
1
1
=
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata p( x
= 0 ,1 ,λ = 3 ) =
p( x
= 0 ,λ = 3 ) + p( x = 1 ,λ = 3 ) =
( 3 )0 ( 2.718 )−3 0!
+
( 3 )1( 2.718 )−3 1!
=
= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106 6. APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL. En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ( n es muy grande) y p 0 (p es muy pequeña), por lo que:
x
p( x , n , p )= n C x p q x
n − x
≅
λ ε − λ x!
La expresión anterior solo se cumple cuando n y p 0, solo en este caso, si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:
p( x ,λ ) =
λ xε − λ x!
Donde: = = np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos n = número de repeticiones del experimento p = probabilidad de éxito = p(éxito) Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n 2 0 y p 0.05: sí n 100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np 10. Ejemplos: 1. 1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.
Solución: a) n = 100 p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito) q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso) x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas P ( x
2
= 2 , n = 100 , p = 0.05 )=100 C 2 ( 0.05 )
( 0.95 )98
=
( 4950 )( 0.05 )2 ( 0.95 )98
= 0.0812
b)n = 100 encuadernaciones p = 0.05 = np = (100)(0.05)= 5 x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas
p( x
λ xε − λ
= 2 ,λ = 5 ) =
x!
=
( 5 )2 ( 2.718 )−5 2!
= 0.0843
Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales. 2.Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión. Solución: a) n = 3840 generadores p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantía = np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año de garantía x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía = = 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía 3.2
4
p( x
= 4 ,λ = 3.2 ) =
( 3.2 ) ( 2.718 )−
= 0.17815
4!
b) p(x=2,3,4,....,3840; =3.2)=1-p(x=0,1; =3.2) =
( 3.2 ) ( 2.718 )− . ( 3.2 ) ( 2.718 )− . = 1 − + ! 0 1! 0
32
1
32
=1- (0.04078 + 0.13048) = 0.82874 3. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas? Solución: n = 8000 piezas p = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o más burbujas = np = (8000)(1/1000) = 8 piezas en promedio con 1 o más burbujas x = variable que nos define el número de piezas que tienen 1 o más burbujas = = 0,1, 2, 3,....,8000 piezas con una o más burbujas p( x
= 0 ,1 ,2; λ = 8 ) =
( 8 )0 ( 2.718 )−8 0!
+
( 8 )1( 2.718 )−8 1!
+
( 8 )2 ( 2.718 )−8 2!
=
= 0.000336 + 0.002686 + 0.010744 = 0.013766 7. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA. Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo. Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila. Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación: S S S S S S S A Sí denotamos; x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sería; P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) = x −1
=q*q*q*q*q*q*q*p = q p Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería; p( x ) = q
x −1
p
Donde: p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
8−1
p(x=8) = ( 1 / 3 ) ( 2 / 3 ) = 0.0003048 Ejemplos: 1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?. Solución: a) a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva − p(x = 6) = ( 0.95 ) ( 0.05 ) = 0.03869 6 1
b) b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva − p(x = 5) = ( 0.05 ) ( 0.95 ) = 0.0000059 5 1
2.
Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?.
Solución: x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año − p(x = 5) = ( 0.80 ) ( 0.20 ) = 0.08192 5 1
9. Problemas Propuestos. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esa área
1. 1.
a) a) exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas; b) b) cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada. r. a) 0.0879 b) 0.3672 2. 2. Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos han sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos a) a) los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo b) b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada. r. a) 16/81 b) 64/61 3. 3. De acuerdo con una investigación llevada a cabo por la Administrative Management Society, 1/3 de las compañías en Estados Unidos le dan a sus empleados cuatro semanas de vacaciones después de 15 años de servicio. Encuentre la probabilidad de que 6 de las compañías investigadas al azar, el número que les dan a sus empleados cuatro semanas de vacaciones después de 15 años de servicio es a) a) cualquier cantidad entre 2 y 5; b) b) menos de 3. r. a) 0.647 b) 0.680 4. 4. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachussets, aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachussets, lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que los siguientes 8 adictos entrevistados a) a) exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos. b) b) al menos 5 de ellos comenzaran a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos. r. a) 0.1239 b) 0.5941 5. 5. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados. De los siguientes 15 camiones probados encuentre la probabilidad de que a) a) de 3 a 6 tengan ponchaduras; b) b) menos de 4 tengan ponchaduras; c) c) más de 5 tengan ponchaduras r. a) 0.7073 b) 0.4613 c) 0.1484 6. 6. De acuerdo con un reporte publicado en la revista Parade, septiembre 14 de 1980, una investigación a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan reveló que casi el 70% de los estudiantes del último año desaprueban las medidas para controlar el hábito de fumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinión, encuentre la probabilidad de que el número que desaprueba dicha medida sea
a) a) cualquier cantidad entre 7 y 9 b) b) cuando mucho 5; c) c) no menos de 8 r. a) 0.6294 b) 0.0386 c) 0.7237 7. 7. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se sometan a esta intervención sobrevivan? r. 0.1240 8. 8. Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado? r. 0.8343 9. 9. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que 20% preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalen en esta ciudad sean de color blanco? r. 0.0006 10. 10. Se sabe que el 40% de los ratones inyectados con un suero quedan protegidos contra una cierta enfermedad. Si 5 ratones son inyectados, encuentre la probabilidad de que a) a) ninguno contraiga la enfermedad; b) b) menos de 2 la contraigan; c) c) más de 3 la contraigan r. a) 0.0778 b) 0.3370 c) 0.0870 11. 11. Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y de que fallan con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de sus motores, determine qué aeroplano, uno de los 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente. r. 0.8208 y 0.8400; *** 2- plano del motor 12. 12. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto 7. r. =6.3 6 y 2=0.63 13. 13. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto 9.
r. =4 y
2
=3.2
14. 14. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco. r. 21/256 15. 15. Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a cierta convención, llegue en autobús, 3en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención, 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en automóvil y 2 en tren. r. 0.0077 16. 16. El dueño de una casa planta 6 tallos que selecciona al azar de una caja que contiene 5 tallos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y 4 de tulipán? r. 5/14 17. 17. Un comité de tres integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatroria X que representa el número de doctores en el comité. Encuentre P(2 X 3).
( )( − ) , respuesta..h( x;6 ,3 ,4 ) = ( ) x=1, 2, 3 4
x
2 2
x
6
3
18. 18. Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas. ¿qué proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados? r. 0.9517 19. 19. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad sea la quinta persona que posee un perro. r. 0.0515 20. 20. Un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene 2 que la han contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6. ¿cuál es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? r. 0.0651 21. 21. Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a) a) la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea? b) b) La tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla? r. a) 0.1638 b) 0.032
22. 22. Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja paga los cafés. Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. r. 63/64 23. 23. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen a) a) en el tercer intento b) b) antes del cuarto intento r. a) 0.0630 b) 0.9730 24. 24. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección a) a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) b) ocurran menos de 3 accidentes? r. a) 0.1008 b) 0.4232 25. 25. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada por a) a) menos de 4 huracanes; b) b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes. r. a) 0.1512 b) 0.4015 26. 26. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido a) a) más de 5 veces? b) b) Ni una sola vez? r. a) 0.3840 b) 0.0067 27. 27. El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima que es de 12. Encuentre la probabilidad de que menos de 7 ratas de campo se encuentren a) a) en una acre de terreno determinado; b) b) en 2 de los siguientes 3 acres inspeccionados. r. a) 0.0458 b) 0.0060 28. 28. Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras a) a) en un determinado día; b) b) en 3 de los siguientes 4 días;
c) c) por primera vez el 5 de abril. r. a) 0.3840 b) 0.1395 c) 0. 0553 29. 29. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas. r. 0.6288 30. 30. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error. r. 0.2657 31. 31. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de que a) a) menos de 5 presenten este problema b) b) 8, 9 o 10 presenten este problema r. a) 0.1321 b) 0.3376 32. 32. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0.05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? (suponga un 5% de defectos) b) b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? 33. 33. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se considerará exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra manera, no se considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras. La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras. a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada? b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada? 34. 34. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el
centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota. 35. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso de Poisson y en un promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que: a) a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera; b) b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera; más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.
UNIDAD V. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Entre las distribuciones a tratar en esta unidad serían: 1. Distribución Normal 2. Aproximación de la Normal a la Binomial 3. Exponencial 1.
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Características: a) a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x; - x b) b) La función que nos define esta distribución es: f ( x , µ ,σ ) =
1
2
σ
2π
ε −( x − µ )
2
/ 2σ 2
-
x
Al dar a la función los valores de , 2 y valores a x, obtendremos la distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de y . La media mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar mide su dispersión. c) Es simétrica con respecto a su eje vertical. d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis. e) El área total bajo la curva es 1. f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68.26% de los datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a 2 , el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a 3 , entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.
¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal? De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas en la unidad III, lo más lógico es que la función f(x, , 2), se integre entre los límites de la variable x; esto es, b
p( a
≥ x < b ) = ∫ f ( x , µ ,σ )dx 2
a
La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada. Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera: z =
x − µ
σ
=
valor
Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos dá el área que se muestra a continuación:
0
Z
Ejemplos: 1.
El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?
1.
Solución: x = variable que nos define el e spesor del mortero en pulgadas = 0.635 pulgadas = 0.082 pulgadas
X = 7/16 Z
µ=0.635
Z =
7 / 16 − 0.635 0.082
=
0.4375 − 0.635 0.082
= −2.4085 ≈ −2.41
p(z <= -2.41) = 1 - p(z <= 2.41) = 1 - 0.9920 = 0.008 p(x 7/16 pulgadas) = 0.008 Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas
2. 2. Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? Solución: a) Tubo 1 X1 = variable que nos define la duración en horas de un tubo fluorescente = 7,000 horas = 1,000 horas
Tubo 2 X2 = variable que nos define la duración del tubo fluorescente del competidor = 7,500 horas = 1,200 horas
µ=7000
X= 9000
=
z 1
9 ,000
− 7 ,000
1 ,000
= 2.00
p(z1 >= 2.00) = 1 – 0.9792 = 0.0228
p(x1 9,000 horas) = 0.0228
X = 9000
µ=7500
z 2
=
9 ,000
− 7 ,500
1 ,200
= 1.25
p(z2 >= 1.25) = 1 - 0.8943 = 0.1056
p(x2 9,000 horas) = 0.1056 Por tanto el tubo fluorescente del competidor tiene una probabilidad mayor de durar más de 9,000 horas. b)
X = 5000
z 1
=
µ=7000
5 ,000
− 7 ,000
1 ,000
= −2.00
p(x1 5,000 horas) = 0.0228
p(z1 <=-2.00) = 1 - p(z1 <= 2.00) = 0.9772= 0.0228
X = 5000
z 2
=
5 ,000
µ=
7500
− 7 ,500
1 ,200
= −2.08
p(z2 <= -2.08) = 0.0188
p(x2 5,000 horas) = 0.0188 Por tanto, el tubo fluorescente que tiene una mayor probabilidad de durar menos de 5,000 horas es el del primer fabricante. 3. 3. La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? Solución: a) X = variable que nos indica el número de interruptores demandados por día a una compañía de cable = 200 interruptores por día = 50 interruptores por día
X = 90
µ
= 200
z =
90 − 200 50
= −2.20
p(z = - 2.20) = 0.0139
p(x 90) = 0.0139 Por tanto, 0.0139 x 100% = 1.39% de los días se tendrá una demanda menor de 90 interruptores.
b)
µ
z 1
=
z 2
=
225 − 200 50
275 − 200 50
= 200
X1 = 225
= 0.50
= 1.50
X2 = 275
p(z1 <= 0.50) = F(0.5)= 0.6914
p(z2 <= 1.50) = F(1.5)= 0.9331
p(0.5 z 1.5) = F(z2) – F(z1) = 0.9331 – 0.6914 = 0.2417 p(225 x 275) = 0.2417 Por tanto, 0.2417 x 100% = 24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y 275 interruptores. c) c) En este caso se trata de determinar que valor toma x cuando se pretende cumplir con el 94% de la demanda de todos los días.
Por tanto despejaremos de la fórmula de z;
94%
µ
= 200
X=¿
Z Z =
x − µ
σ ;
x= +z
x = + z(p = 0.94) = 200 + z(p = 0.94)(50) = = 200 + (1.55)(50) = 277.5 278 interruptores terminales por día ¿cómo se obtiene el valor de z? En la tabla buscamos la z que corresponde a una probabilidad de 0.94 y nos damos cuenta de que no existe un valor exacto de 0.94 por lo que tomamos los valores de área más cercanos; luego, z(p = 0.9394) = 1.50;
z(p = 0.9406) = 1.60
Por tanto si interpolamos, encontramos que el valor de z para una probabilidad de 0.94 es de 1.55, y es el valor que se sustituye en la ecuación. En algunos casos las tablas solo indican la mitad de la probabilidad y hay que recordar que la otra mitad es 0.6. por esto surge la pregunta ¿Cuál es la razón de usar un área de 0.44 en lugar de una de 0.94 para buscar en la tabla el valor de z? Es muy simple, la tabla que estamos usando es una tabla que solo trabaja con áreas que son definidas de la media hasta el valor de x y x puede estar tanto del lado derecho de la media, como del lado izquierdo de la media, es por esto que el área a utilizar es de 0.44 que se encuentra al lado derecho de la media.
3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones
de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial. Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su función de densidad es: f ( x ) =
donde
1
− x
x β
β
, x 0
; f(x) = 0 en cualquier otro caso
0
La media y la variancia de la distribución exponencial son: 2
y
2
Relación con el proceso de Poisson. Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson. La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro , donde puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por: p( 0 ,λ t ) =
ε − λ t ( λ t )0 0!
= ε − λ t
;
ε
= 2.718
Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x . Esto último por supuesto λ x está dado por ε . Como resultado, −
x − λ
P(X x ) = ε
Entonces, la función de distribución acumulada para x es: x − λ
P(0 X x ) = 1 - ε
Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad: λ x f( x ) = λε −
λ =
1
β . La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro β , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante β es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, β recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable. En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la solución.
Ejemplos: 1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla β = 5 . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Solución: La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es: P ( > 8 ) =
1 5
∞ − t
∫ ε 8
5
−
dt = ε
8 5
≅ 0.2 la | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8
hasta Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial, n=5 p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años P(x 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1) { C ( 0.2 ) ( 0.8 )
= 1−
2.
0
5
5
0
1
+ 5 C 1( 0.2 )
( 0.8 )4
}
= 1 − 0.7373 = 0.2627
El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?
Solución: P ( T ≤ 3 ) =
1 4
3
−
∫ ε
1 4
t
−
dt = ε
1 4
−
3
= 1 − ε = 0.5276 4
la nos indica que la integral va a ser
0
evaluada de 0 a 3 x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos x = 0, 1, 2,...,6 días p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276 q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724 P ( x
5
= 5o 6 , N = 6 , p = 0.5276 )= 6 C 5 ( 0.5276 )
1
( 0.4724 )
6
+ 6 C 6 ( 0.5276 )
0
( 0.4724 )
=
= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744
4. Problemas Propuestos. 1. 1. Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva a) a) más de 32 meses; b) b) menos de 28 meses; c) c) entre 37 y 49 meses. r. a) 0.8980 b) 0.0287 c) 0.6080
2. 2. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelería tienen una longitud de 30cm y una desviación estándar de 2cm. Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas son a) a) de más de 31.7cm de longitud? b) b) entre 29.3 y 33.5 cm de longitud? c) c) de una longitud menor que 25.5 cm? r. a) 19.77% b) 59.67% c) 1.22% 3. 3. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 ml. a) a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 ml? b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml? c) c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml en los siguientes 1000 refrescos? d) d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos? r. a) 0.0548 b) 0.4514 c) 23 d) 189.95 ml 4. 4. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm. a) a) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 10.075 cm? b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9.97 y 10.03 cm? c) c) ¿Debajo de qué valor de diámetro interno caerá el 15% de los anillos de pistón? r. a) 0.0062 b) 0.6826 c) 9.969 cm 5. 5. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuida. a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora? b) b) Si la oficina abre a las 9:00 AM y él sale de su casa a las 8:45 AM diariamente ¿Qué porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo? c) c) Si deja su casa a las 8:35 AM y en la oficina se sirve un café entre las 8:50 y las 9:00 AM ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? d) d) Encuentre el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos. e) e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes traslados tomarán al menos ½ hora. r. a) 0.0571
b) 99.11% c) 0.3974 d) 27.952 e) 0.0092 6. 6. Las estaturas de 1000 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponiendo que las alturas se registran cerrando los valores a los medios centímetros, ¿Cuántos estudiantes tendrían estaturas a) a) menores que 160.0 cm? b) b) entre 171.5 y 182 cm? c) c) de 175 cm? d) d) mayores que o iguales a 188.0 cm? r. a) 16 b) 549 c) 28 d) 27 7. 7. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran a centavos, a) a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75 y $9.69 por hora inclusive? b) b) ¿el 5% más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad? r. a) 56.99% b) $10.23 8. 8. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normalmente distribuida con una media de 10 000 kg/cm2 y una desviación estándar de 100 kg/cm2. Las mediciones se registran y se redondean a 50 kg. a) a) ¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden de 10 150 kg/cm2 de resistencia a la tensión? b) b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión entre 9800 y 10200 kg/cm2 inclusive, ¿qué porcentaje de piezas se esperaría que se desecharan? r. a) 0.0401 b) 0.0244 9. 9. Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas difiere de la media en a) a) más de 1.3 ? b) b) menos de 0.5 ? r. a) 19.36% b) 39.70% 10. 10. La precipitación pluvial promedio, registrada hasta centésimas de milímetro en Roanoke, Virginia, en el mes de marzo es de 9.22 centímetros. Suponiendo que se trata de una
distribución normal con una desviación estándar de 2.83 cm, encuentre la probabilidad de que el próximo marzo Roanoke tenga a) a) menos de 1.84 cm de lluvia; b) b) más de 5 cm pero no más de 7 de lluvia; c) c) más de 13.8 cm de lluvia. r. a) 0.0045 b) 0.1496 c) 0.0526 11. 11. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan, ¿qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores siguen una distribución normal. r. 6.24 años 12. 12. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100 artículos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos a) a) exceda de 13? b) b) sea menor de 8? r. a) 0.1210 b) 0.2033 13. 13. Investigadores de la George Washington University y el National Institute of Health reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para que una persona esté más tranquila y más relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que a) a) al menos 50 sean de la misma opinión? b) b) mas de 56 sean de la misma opinión? r. a) 0.9966 b) 0.1841 14. 14. Si 20% de los residentes en una ciudad de los Estados Unidos prefiere un teléfono blanco que cualquier otro color disponible, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esta ciudad a) a) entre 170 y 185 inclusive sean blancos? b) b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos? r. a) 0.1171 b) 0.2049 15. 15. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad de la sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo, los inspectores del gobierno utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar dicha afirmación si se curan 75 o más. a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que lo que se dice sea rechazado cuando la probabilidad de curación sea, en efecto, 0.8?
