FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO UNIVERSIDADE DE CAMPINAS
PROBLEMAS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (capítulos 6, 7, 9 e 12)
RODRIGO DE MELO PORTO
CAPITULO 6
ESFORÇOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUBMERSAS - PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES. 6.1- Determine o módulo da força resultante que atua sobre a superfície esférica da figura e explique porque a linha de ação passa pelo centro 0.
6.2- Qual é a força resultante sobre a comporta AB, cuja secção é um quarto de circunferência? A largura da comporta é 1,2 m. Determine a cota a partir da soleira, do centro de pressão.
6.3- A comporta ABCD de peso desprezível, separa dois depósitos com líquidos de peso específico l e 2. Sendo r o raio da circunferência e estando a comporta em equilíbrio na posição mostrada na figura, determine a relação 2/ l. A comporta esta articulada em C.
6.4- Determine a força horizontal devido aos fluidos que atuam sobre o obturador cônico mostrado na figura.
6.5- Determine as componentes horizontal e vertical, bem como as respectivas linhas de ação, da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica da figura, cujo raio é 1,0 m e cuja geratriz mede 4,0 m.
6.6- Determine o módulo e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força exercida pela água sobre a comporta AB da figura sabendo-se que sua largura é 3,0 m e o raio é 0,9 m e a comporta esta articulada em C.
6.7- O peso específico de um "iceberg" é de 8.970 N/m3 e o da água do mar é 10.040 N/m3. Se da superfície livre do mar emerge um volume de "iceberg" igual a 30.000 m3 qual é o volume total do "iceberg" ? 6.8- Um cilindro de ferro fundido de 30 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento é imerso em água do mar ( =10.090 N/m3 ). Qual é o empuxo que a água exerce sobre o cilindro? Qual é o empuxo se o cilindro fosse de madeira? Neste caso, qual seria a altura submersa do cilindro? mad=7.350 N/m3.
6.9- Calcular o raio mínimo que deve ter a esfera oca e peso desprezível, a fim de que a comporta articulada em O não abra. Admita que o cabo que liga a esfera a comporta bem como a roldana A sejam ideais. Dado: 3 H2O =9.800 N/m
6.10- Um reservatório com uma abertura circular fechada por uma esfera. A pressão no interior do reservatório é 50 lbf/pol2 (absoluta). Qual a força horizontal exercida pela esfera sobre a abertura? Dado 1atm = 14,7 lbf/pol2.
6.11- Uma semi-esfera cheia de liquido esta submetida a pressão correspondente a uma altura h. Achar o empuxo vertical na parede interior da semi-esfera de raio r. Dado peso especifico do liquido .
6.12- Uma cápsula hemisférica cobre um tanque fechado. Se o tanque esta completamente cheio ce gasolina (densidade relativa = 0,72), e o manômetro indica a pressão de 90 kPa, qual e a força total sobre os parafusos que prendem a cúpula?
6.13- Uma comporta cilíndrica de raio r e largura l, barra a água, como mostra a figura. O contato entre o cilindro e a parede é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que o nível d'água seja ó mostrado. Determine também as linhas de ação das componentes horizontal e vertical da força devido a água sobre à comporta, tomando como referência o ponto O.
6.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação das componentes horizontal e vertical da força devido ao líquido de peso específico , sobre a comporta cilíndrica de comprimento l e secção igual a 3/4 de circunferência de raio r .
6.15- Verificar as condições de estabilidade da barragem da figura, por metro de largura, calculando os coeficientes de segurança ao deslizamento e ao tombamento. Verificar se há possibilidade de aparecer tensões de tração na base da barragem. Coeficiente de atrito entre a barragem e a fundação 0,50. Determinar também a tensão de compressão mínima, na base do maciço.
6.16- Um submarino pesa 8800 kN. Com esse peso ele flutua na superfície da água doce com 90% do seu volume total imerso. Que volume de água deve ser admitido em seus tanques afim de que ele possa submergir totalmente? Dados: g=9,8 m/s2 =1000 kg/m3
6.l7- Determine o módulo e as linhas de ação, em relação ao ponto O, das componentes horizontal e vertical da força que a água exerce sobre o cilindro mostrado na figura. O cilindro, de 0,80 m de diâmetro, esta articulado por um eixo horizontal que passa por O. Calcule as forças por unidade de largura do cilindro.
6.18- O cilindro de 3,0 m de comprimento está articulado no ponto A. Calcular o momento, em relação ao ponto A, requerido para manter em equilíbrio o cilindro, na posição mostrada.
6.19- A figura mostra uma comporta semi-esferica de ferro fundido (dr=7,8) articulada em A e simplesmente encostada em B. Determine os módulos das componentes horizontal e vertical das forças em A e B. O centro de gravidade da semi-esfera dista 3r/8 da base, onde r é o raio.
6.20-0 cilindro de 0,60 m de diâmetro e 2,0 de comprimento está em repouso na posição mostrada na figura. Determinar o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto O, das componentes horizontal e vertical da força devido à água sobre o cilindro.
6.21- Determinar os módulos das componentes horizontal e vertical, bem como suas linhas de ação com relação ao ponto O, da força devido a água sobre a comporta tipo setor, mostrada na figura. A comporta é articulada a um eixo que passa pelo ponto O e seu comprimento é 6,20 m.
RESPOSTAS 6.1 F 3 r 2 i 2 3 r 3 j 6.2 Fr = 14.103 N d = 0,55 m
6.3 2 6,88 1 Pa d d 6.4 F x h l tg 2 2
2
6.5 Fh=14,1 Fv=23,4 y = 67mm abaixo de O x=40mm à esquerda de O 6.6 Fx = 11.907 N Fy = 18.698 N yCE=0,6 m abaixo de c xCE=0,38 m à esquerda de c 6.7 Vt = 280.000 m3 6.8 E = 213,6 N E = 155,8 N h = 0,218 m 6.9 R = 44 cm 6.10 Fh = 1770 lbf 6.11 Ev r 2 h r 2
3
6.12 Ev = 325 kN 6. 13 Fd r 2l Peso r 2l 1 3
1
2
yCE
3
r
acima de O xCE = 0,0049 à direita de O
Fh rl h
6.14 yCE
6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21
1
4
r h 2 3 r 2h r
r
2
3 Fv rl h r 4
x CE
r h 2 3 r 2h 2 3 r
à direita de O
acima de O
Cdesl = 2,33 Ctomb= 4,95 min=153,8 kN/m2 V = 100 m3 Fh= 2285 N, Fv= 4580 N, yCE = 0,06 m abaixo de O, xCE = 0,03 m, à esquerda de O M=10,7 kN.m HA = 2,02 kN VA = 8,94 kN HB = 5,86 kN Fh = 7.940 N Fv = 12.980 N, yCE = 0,14 m acima de O, xCE = 0,09 m, à direita de O Fh = 131,2 kN Fv = 44,1 kN, yCE = 0,6 m acima de O, xCE = 2,05 m, à esquerda de O
CAPITULO 7
PROBLEMAS GERAIS-SOBRE O PRINCIPIO DE ARQUIMEDES E ESTÁTICA DOS FLUIDOS. 7.1- Um sarrafo de pinho de secção reta (2,5 x 5)cm, está articulado em B. A extremidade A está presa ao piso do deposito que contém água, por um cordão C, mantido vertical. Com os dados da figura calcule a tensão no cordão. Dado: massa especifica do pinho = 17g/cm3.
7.2- Dois cubos iguais de 1 m3 de volume, um de densidade relativa igual a 0,80 e outro de 1,10, estão unidos mediante um cordão curto e colocados na água. Que volume, do cubo mais leve, fica acima da superfície livre da água? Qual é a tração que o cordão está submetida?
7.3- Um cubo, de 60 cm de aresta, tem sua metade inferior de densidade relativa igual a 1,4 e a metade superior igual a 0,6. Está submerso na massa de dois fluidos imiscíveis, o inferior de densidade relativa igual a 1,2 e o superior de 0,9. Determinar a altura do cubo que sobressai por cima da interface dos dois líquidos.
7.4- Determinar a densidade e o volume de um objeto que pesa 29,4 N, quando colocado na água, e 39,2 N quando colocado em um óleo de massa específica relativa 0,8. 7.5- Deseja-se determinar a densidade em g/cm3 de uma pequena amostra de basalto, para isso foi determinada a massa da amostra no ar e na água, a primeira medida foi de 31 g e a segunda de 20 g. Qual é a densidade da amostra? 7.6- O densímetro é um aparelho destinado a medir a densidade relativa dos líquidos, baseado no principio da flutuação. O aparelho é tarado com pequenas esferas metálicas, para que seu peso seja W. O densímetro tem uma haste de secção reta constante e igual a s. É feita a calibração do aparelho colocando-o em água destilada (dr=l), determinando-se o volume submerso V0 e marcando-se na haste, o zero da escala, correspondente ao nível da superfície livre da água. Quando o densímetro flutua em outro liquido a haste sobe ou desce em relação ao zero da escala de calibração, de uma altura h, como no diagrama da direita, Calcular em função de Vo, s e h a densidade relativa dr de um liquido qualquer.
7.7- A parede de um reservatório d'água tem a forma apresentada na figura. As ondulações têm a forma de semicircunferências de raio R. Determinar a força horizontal provocada pela água e seu momento em relação ao ponto A. A largura do reservatório é L e pede-se a resposta para um número n de ondulações.
7.8- Qual o valor do empuxo sobre a esfera da figura se as secções do depósito estão totalmente isoladas uma da outra.
7.9- O cilindro da figura está cheio com um liquido conhecido. Determine: a) a componente horizontal da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação em relação ao centro O. b) a componente vertical da força sobre AB por pé de comprimento, inclusive sua linha de ação, em relação ao centro O.
7.10- Calcular o módulo e o ponto de aplicação (em relação ao ponto O), da resultante das forças devido aos fluidos, agindo sobre a tampa do deposito cilíndrico de raio r, com meia secção contendo água e meia secção contendo ar sobre pressão. Dado: momento de inércia de um circulo, com relação ao diâmetro r 4/4.
7.11- uma comporta ci1indrica de raio r = 0,60 m e largura igual a 2 m, barra óleo e água, conforme a figura. O contato entre o cilindro e a parede, é liso. Calcular a força exercida contra a parede e o peso da comporta, para que os níveis dos líquidos sejam os mostrados.
Determine também as linhas de ação dos componentes horizontal e vertical da força devido aos líquidos sobre a comporta, tomando como referencia o ponto O.
7.12- A comporta de peso desprezível, de largura L, está suspensa por um eixo que passa pelo ponto O, e separa dois reservatórios que contem água. Qual deverá ser o valor da medida x, para que a comporta permaneça na posição da figura, sem haver tendência de girar? Despreze o atrito no ponto A.
7.13- Determine o módulo e a linha de ação, com relação ao ponto C, das componentes horizontal e vertical da força devido à água, sobre a comporta ABC de 4 m de largura.
7.14- Determine o módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação dos componentes horizontal e vertical da força devido ao liquido de peso especifico , sobre a comporta AB
de comprimento L e a secção igual a ¼ de circunferência de raio R. Relacionar as linhas de ação dos componentes com o ponto O.
7.15- Determinar o mínimo valor da força F para manter a comporta de 1,20 m de comprimento, peso desprezível e cuja seção e ¼ de circunferência de raio 1 m, em equilíbrio. A comporta é articulada em A.
7.16- Na parede de um deposito há uma chave de fechamento que gira em torno de O. Seu comprimento é L e sua seção é ¾ de circulo. Calcular: a) Os empuxos vertical e horizontal sobre o eixo da chave, devido ao liquido de peso especifico . b) A inclinação do empuxo em relação a um plano horizo ntal. c) O momento em relação ao eixo da chave.
7.17- A quilha de um navio é curta na forma de um arco de circulo de 1,0 m de raio. Com a água no nível mostrado calcule para uma faixa de 2,0m de largura, as componentes
horizontal e vertical da força de pressão sobre A-B bem como as respectivas linhas de ação. Dado: mar =10.045 N/m3.
7.18- Calcular a força F necessária para manter a comporta de 1,2 m de largura mostrada na figura, fechada, quando R=0,45 m. A comporta esta articulada em A e tem peso desprezível.
7.19- A comporta AB mostrada na figura é articulada em A e repousa contra uma parede vertical perfeitamente lisa em B. A comporta tem 6,0 m de largura. Com a água no nível
mostrado, determine as componentes horizontal e vertical das reações em A e B. Dado: 3 =9800 N/m .
7.20- Um reservatório de água, de largura L tem os cantos superiores em forma de 1/4 de circunferência de raio r, com o nível d’água mostrado, calcule as componentes horizontal e vertical, bem como as linhas de ação da força devido à água sobre a superfície curva AB.
RESPOSTAS 7.12 x r 2 7.15 8434 kN
CAPITULO 9
CAMPO DE VALOCIDADE – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 9.1- Dado o escoamento permanente de um fluido incompressível, caracterizado por:
V =a.x i
+ b.y j - (a + b)z k a) Verificar se o escoamento satisfaz a equação da continuidade. b) Determinar a equação das linhas de corrente do escoamento no caso de a =-b. 9.2- Conhecendo o escoamento variável caracterizado por:
V =
(2 + t2 )x i - (2 + t)y2 j pedem-se:
a) as linhas de corrente no instante t =1 b) a trajetória de uma partícula que no instante t =0 tem por coordenadas x =y =1.
9.3- Demonstrar que o campo de velocidade V
4 x
x 2 y 2
i
4 y x 2 y 2
j satisfaz
a
continuidade em todos os pontos do plano xy, exceto na origem. a) Qual a equação da trajetória que passa no ponto (2,1). b) Desenhar algumas linhas de corrente que permitam a visualização do escoamento. c) Calcular o módulo do vetor velocidade e mostrar que a vazão através de cada circulo concêntrico com a origem (por metro na direção z) é constante e igual a 8 . Admita fluido incompressível. 9.4- Comprovar se os seguintes campos de velocidades satisfazem ao principio da conservação da massa, para um fluido incompressível.
a) V =6x i + 6 y j -7 t k
2
2
b) V =10 i + (x + y ) j -2 y x k
c) V = (6 + 2xy + t 2) i -(x. y2 + 10t) j + 25 k 9.5- Um escoamento tem seu campo de velocidade expresso por:
V = (x- 4) i
2
2
3
+ 15a y j + (a - a- 12)t.z k Para quais valores de a, as linhas de corrente deste campo coincidem com as trajetórias, qualquer que seja o tempo t? Para os valores de a encontrados, determinar os pontos do espaço (x, y, z) para os quais o campo de velocidade satisfaz a equação da continuidade, para um fluido incompressível. 9.6- Para cada um dos escoamentos descritos, dizer se as acelerações de transporte e local são zero ou diferentes de zero: a) escoamento em um conduto curvo de secção constante, com vazão constante. b) escoamento em um conduto longo de secção constante, com vazão constante. c) idem, idem, com vazão variável. d) escoamento em um conduto de secção variável com vazão crescente.
9.7- Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade media correspondente a vazão Q nos escoamentos dados. a) Escoamento bidimensional com distribuição parabólica de velocidades b) Escoamento com simetria axial e distribuição parabólica de velocidades. Distribuição parabólica V= Vmax 1 ( ) 2 R r
9.8- Determine a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima, para os dois escoamentos bidimensionais, cujos perfis de velocidade são os mostrados.
9.9- No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação A se introduz uma vazão de 140 l /s de água, enquanto que pela tubulação B se introduzem 28 l /s de óleo, de densidade relativa 0,8. Se os líquidos são incompressíveis e formam uma mistura homogênea de gotículas de óleo em água, qual é a velocidade média e a massa especifica da mistura que abandona o dispositivo pela tubulação C de 30 cm de diâmetro. Admitir uma massa especifica media constante para a mistura.
9.10- Se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda com uma velocidade de 30 cm/s e seu diâmetro é igual a 15 cm, qual é a velocidade média do fluido que sai para C. 9.11 - Em um elevador pneumático tem-se um pistão deslocando-se com velocidade V o constante, de tal maneira que também é constante a descarga G (vazão em massa)
através do tubo de alimentação indicado na figura. Sabe-se que a massa específica do ar comprimido varia, dentro do cilindro, desde o valor 0, correspondente a posição inicial de equilíbrio xo, até o valor genérico , assumido no instante t. Determinar a lei de variação de em função do tempo t, conhecendo-se os valores de 0, x0, G e A área da secção reta do cilindro.
9.12- Por um conduto uniformemente convergente escoa água em regime permanente. Na secção 1, de diâmetro igual a 0,60 m, o perfil de velocidade é dado por: r 2 V=2 1 (m/s) 0 , 30
e na secção 3, de diâmetro igual a 0,40 m, o perfil de velocidade tem uma distribuição cônica. Determinar a velocidade máxima na secção 3 e a velocidade media na secção 2 que dista L/6 da secção 1.
9.13- Considere-se um fluxo bidimensional permanente ao redor de um cilindro de raio a conforme a figura. Utilizando coordenadas cilíndricas podemos expressar o campo de velocidades, para o fluxo de um fluido não viscoso e incompressível da seguinte maneira:
V (r, ) = - (Vo cos -
a 2Vo r 2
cos ) r + (Vo sen +
a 2Vo r 2
sen )
onde Vo é uma constante e r e são os vetores unitários nas direções radial e tangencial, respectivamente, como é mostrado na figura. Qual é a aceleração de uma partícula fluida em = o e situada no contorno do cilindro cujo raio é a?
9.14- Na figura aparece um dispositivo no qual penetra água axialmente à razão de 280 l /s e se dirige radialmente através de três condutos idênticos, cujas secções de saída são iguais a 460 cm 2 em direção perpendicular ao fluxo. A água sai com um angulo de 30°, em relação ao conduto e medido a partir da direção radial, como se mostra na figura. Se a roda dos condutos gira em sentido dos ponteiros do relógio a uma velocidade angular constante de 10 rad/s com relação a Terra, qual o módulo da velocidade média com que sai a água pelos condutos medida com relação a Terra. Admitir fluido incompressível.
9.15- Por um longo conduto circular de 0,30 m de diâmetro escoa água em regime permanente, com um perfil de velocidade v =[0,0225 - r 2] (m/s). Determinar a velocidade média com que a água sai pelas tubulações de 0,05 m de diâmetro.
9.16- Ar escoa por um tubo de secção constante de 5 cm de diâmetro. Numa secção (1) a massa específica é 1,18 kg/m 3 e a sua velocidade é 20 m/s. Sabendo-se que o regime é permanente e que o escoamento é isotérmico, determinar: a) a velocidade do ar na secção (2), sabendo que a pressão na secção (1) é de 98 kPa (abs) e na secção (2) e 78,4 kPa (abs). b) a vazão em massa. c) a vazão em volume nas secções (1) e (2). 9.17- Uma piscina de 20 m x 9 m x 2 m é alimentada através de um sistema, como mostra o esquema abaixo. O sistema consta de um poço cilíndrico de 1,20 m 2 de área transversal, alimentado por uma vazão constante Q 0 =10 l/ s, do qual uma bomba recalca a água com uma vazão constante Q 1=14 l/ s, através de uma tubulação de recalque. Uma bóia convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento da bomba no instante t=0, quando o nível d’água atinge o ponto (1) e a desliga quando o nível d’água
atinge o ponto (2). Admitindo que uma válvula de retenção evita o esvaziamento da tubulação de recalque, e que a piscina esta vazia no tempo t=0, determinar: a) o intervalo de tempo entre o inicio e o fim do funcionamento da bomba, em cada ciclo, em minutos. b) o intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em cada ciclo, minutos. c) o tempo necessário para o enchimento total da piscina em horas. d) o número de vezes que a bomba e ligada até encher a piscina. e) trace o gráfico Q ( l/ s) x t (min) correspondente ao funcionamento da bomba.
9.18- Um veículo possui um sistema automático para o enchimento dos próprios pneumáticos, para compensar uma eventual perda de ar, ocasionada por um furo pequeno. O compressor do veículo, por hipótese, fornece uma descarga de ar G 1, constante, independente da pressão p no interior do pneu, e é acionado no momento em que a massa especifica do ar dentro do pneu atinge o valor c. Por hipótese a descarga (vazão em massa) G 2 que sai de um furo pequeno é dada por G 2 =K o onde K = cte. Admitindo que o seja a massa específica do ar nas condições normais de uso do pneumático e que houve um pequeno furo, provocando o funcionamento do compressor no instante t =0, calcular o intervalo de tempo to de funcionamento do compressor, necessário para que o pneumático atinja as condições iniciais de uso. Dado, volume do pneumático Vol = cte. 9.19- A figura mostra esquematicamente um pistão perfurado que se move no interior de uma câmara cilíndrica fixa, com uma velocidade constante Vo. Sabendo-se que a
câmara está cheia de óleo, que o diâmetro do pistão é D e o diâmetro do furo é d, e que o fluido é incompressível. -Determinar: a) a velocidade absoluta do óleo no furo. b) a velocidade relativa entre o óleo e o pistão no furo. c) a vazão Q.
9.20- Para simular o escoamento de um rio construi-se uma canaleta por onde escoa água com uma vazão variável em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo. A canaleta alimenta um reservatório regularizador cuja comporta é comandada de tal forma a fornecer para jusante uma vazão constante igual à vazão media do intervalo de tempo considerado. Tem-se disponível para o reservatório a altura de 2,0 m e uma área horizontal ilimitada. Determinar: 1- A vazão media no intervalo de tempo de 24 horas. 2-A área mínima para a execução do reservatório para que este nunca extravase, observando que no instante inicial t=0 hs o nível d’água no reservatório e 1,0 m.
3-O nível mínimo que ocorre no reservatório. 4-Traçar a curva Volume x Tempo para o reservatório.
9.21- Determinar a velocidade média do escoamento na secção 3, conhecendo-se as distribuições nas secções 1 e 2 e sabendo-se que o fluido é incompressível. r 2 Secção 1- distribuição parabólica V 1 = Vmax1 1 R1
Secção 2 -distribuição cônica V2 = Vmax 2 ( 1 – r/R ) Dado: raio da secção 3 igual a R 3.
9.22- Como se mostra na figura, por um conduto de secção retangular entram 10 m 3/s de
vazão, por unidade de comprimento, de distribuição parabólica, segundo se mostra, enquanto que pela face frontal se perde água com uma distribuição de vazão, por unidade de comprimento, linear. Na figura são dados os valores máximos da distribuição. Qual é o valor da velocidade media na secção de saída do conduto que tem 1 m de comprimento e área da secção reta igual a 10 m 2?
9.23- O filtro de admissão de combustível de uma maquina é formado por um elemento poroso em forma de tronco de cone. O combustível penetra no filtro pela tubulação de 5 cm de diâmetro, na qual o perfil de velocidade e parabólico com Vmax=1,20m/s. O perfil de velocidade na face superior, de 10 cm de diâmetro, e cônico com Vmax=0,3m/s. Qual a vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa?
9.24- Determinar a velocidade media na secção (3), sabendo-se que na secção (1), de diâmetro 2D, o escoamento é unidimensional e na secção (2), de diâmetro D, o perfil de velocidade e dado por V = k - r 2, no qual k é uma constante e r uma dimensão linear marcada a partir do eixo do conduto. Faça as hipóteses necessárias.
9.25- Determinar a descarga media, em relação ao tempo, em um duto onde escoa a descarga variável senoidal, G = Gmax.sen( t), proveniente de um compressor de ar mono cilíndrico.
9.26- Determinar o volume especifico do fluido compressível em escoamento permanente na secção de diâmetro d 3 = 15 cm, sabendo que a velocidade média é v=30 m/s e que as descargas em peso valem l = 2,94 N/s e 2 = 1,96 N/s.
9.27- Um recipiente de volume constante Vo, deverá ser “enchido" de ar por um compressor que fornece uma descarga variável com o tempo, da forma: G = Gmax Sen (
2
T
t )
no qual T é o período.
No instante t =0, em que o compressor é ligado, a massa especifica do ar no recipiente é o. Determinar a variação de com o tempo. Dados: Gmax, Vo, o e T. 9.28- Tem-se um escoamento de um fluido compressível em regime variável, através de um conduto de secção circular de área A constante. A velocidade media na secção, assim como a massa específica media, variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Determinar a vazão e a descarga medias em relação ao tempo. Dados: Vmáx, máx, min e A.
9.29- Água é bombeada através de uma tubulação de borracha para um reservatório cujo topo pode se mover livremente para cima. Na base do reservatório existe uma tubulação pela qual a água escoa em condições de regime laminar, com uma distribuição de velocidade dada por: r 2 V V max 1 onde R é o raio da secção reta da tubulação. R
Sendo Q (m3 /s) a vazão que penetra no reservatório, A a área da seção reta e h a altura do reservatório, sendo V max =Kh, determine h como uma função do tempo. Assuma que h =0 quando t =0.
9.30- Um reservatório cilíndrico de área da base igual a 10 m 2 é alimentado por uma vazão variável com o tempo de acordo com a equação Q = -450 t 2 + 3600 t, com t em horas e Q em litros por hora. Por outro lado o reservatório pode ser descarregado pelo duto de descarga que é regulado para fornecer uma vazão constante e igual a 1,25 l/ s. No instante inicial, quando o nível d’água no reservatório é h =1,0 m este começa a ser
alimentado e descarregado simultaneamente. Determine: a) a vazão média de alimentação no intervalo de 0 a 8 horas; b) o tempo em que ocorre o nível máximo e mínimo no reservatório; c) os níveis máximos e mínimos de água no reservatório. d) Traçar a curva Volume x Tempo
9.31- Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de 10 l/ s. A maior seção do conduto tem 20 cm de diâmetro e a menor 10 cm. Determinar, em m/s, a expressão da velocidade media em uma secção genérica do conduto, de abscissa x, sendo L o comprimento do conduto.
RESPOSTAS 0 A x0 G t A x0 V 0 A t
9.11
9.15 V=0,2 m/s 9.17 a) t= 10 min. b) t=4 min. c) t=10 horas. d) n = 43 vezes 9.21 V m
2 1 R1
V V max 1 max 2 2 2 3 R3
9.24 V M 3 4V 1
R2
2
k 2
9.30 a) Qmed = 4800 l/ h b) tmin = 1,55 h e tmax = 6,45 h c) hmin = 0,68 m e hmax = 1,55 m 9.31 V
4
(2
x L
m/s )
2
CAPITULO 12
LIQUIDOS SOB AÇÃO DE ACELEPACÃO CONSTANTE
12.1- O deposito da figura contem água e está sendo acelerado com ax = 4,9 m/s e
ay =4,9m/s .Calcule a pressão nos pontos A, B e C, em m.c.a.
12.2- Um recipiente retangular desce um plano inclinado com uma aceleração uniforme a, paralela a linha de maior declive do plano. Mostre que, a água dentro do recipiente toma uma posição fixa no interior do deposito, formando um angulo com a horizontal, tal que: tg
cos g a
sen
12.3- Um depósito retangular que contem água, esta submetido a uma aceleração uniforme a x, ao longo de uma linha reta utilizando a equação de Euler, demonstrar primeiro que a variação de pressão ao longo de uma linha vertical. a partir da superfície livre é hidrostática em continuação demonstrar que tg = ax/g
12.4- Suponha que o liquido contido em um deposito tenha sido submetido a um movimento giratório de velocidade angular constante , durante intervalo de tempo de suficiente duração, para que o líquido tome uma posição fixa no recipiente. Demonstre que a superfície livre cuja cota sobre o plano xz designamos por y tem a forma de um parabolóide de revolução de equação: y
2 x 2 2 g
12.5- No problema anterior mostre que Y(r) =2a.
12.6- Para verificar o bom funcionamento do dispositivo de frenagem de um automóvel, coloca-se sobre o veiculo um acelerômetro hidrostático, construído por um tubo em U cujos braços AB e DC são verticais e a base B horizontal de comprimento l = 20,0 cm e paralelo ao sentido de deslocamento do veículo. Admitindo um ensaio de frenagem com aceleração negativa constante, a diferença de nível que se estabelece entre os braços AB e CD é dada por h=12 cm. Qual o valor da aceleração?
12.7- Se o tubo U que contem mercúrio é girado em torno de um eixo vertical passando pelo braço BC, determine a altura da coluna de mercúrio no braço AD quando a velocidade de rotação é 40 r.p.m.
12.8- Localize o eixo de rotação e calcule a velocidade angular do tubo em U da figura, de tal maneira que a pressão do líquido no ponto médio do ramo horizontal e no ponto A sejam ambas iguais a/n, onde n é um numero inteiro.
12.9- O tubo da figura contendo água, gira em torno do eixo AB. Qual o valor da velocidade angular que torna iguais as pressões em B e C? A esta velocidade, onde ocorre a pressão mínima no ramo BC e qual o seu valor?
12.10- O tubo em U mostrado na figura é feito girar em torno de um eixo vertical passando pelo ponto E. Qual deve ser a velocidade angular constante que se deve imprimir ao tubo para que o braço CD fique vazio. Os dois braços do tubo são abertos e suficientemente longos para que o liquido não extravase.
12.11- Um tanque cilíndrico, sem tampa, conforme a figura está cheio de água. Que velocidade angular, em torno do eixo A-A', e necessário imprimir a ele, para que 1/3 da água contida no mesmo extravase.
12.12.- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro contem água até uma altura de l,35 m. Se o cilindro é posto a girar em torno do seu eixo geométrico, com uma velocidade angular = 12 rad/s, qual a pressão relativa nos pontos B, C e D em m.c.a.
12.13- Um reservatório cilíndrico de 0,60m de diâmetro e 1,2 m de altura esta cheio de água até a metade. Fazendo-se o tanque girar em torno de seu eixo vertical, determinar: a) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que a água atinja a borda do tanque, sem extravasar. b) Qual será então as pressões máxima e mínima em m.c.a. no fundo do tanque, quando este gira com a velocidade do item a. c) Qual deve ser a velocidade angular de rotação para que metade do diâmetro no fundo fique exposto, isto é, fique a pressão atmosférica. Assuma g =10 m/s2.
12.14- Um tanque cilíndrico fechado de 1,80 m de altura e 0,90 m de diâmetro, contem água até uma altura de 1,35 m. Girando com uma velocidade angular constante de 191 r.p.m., que área de fundo do tanque não fica em contato com a água?
12.15- Um cilindro de 7,5 cm de diâmetro, 85 cm de comprimento, e cheio completamente com um óleo de densidade relativa igual a 0,82 e depois fechado nas duas extremidades. Colocado na posição horizontal, é feito girar com uma velocidade angular, constante, de 96 r.p.m., em torno de um eixo vertical passando 15 centímetros a esquerda da extremidade A. Qual a diferença de pressão que se estabelece, devido a rotação, entre os pontos A e B? Considere o óleo praticamente incompressível.
12.16- Um cilindro circular de raio r e altura L é aberto no topo e cheio com um líquido. Qual a velocidade angular, em torno de seu eixo vertical de simetria, que deve ser impressa ao cilindro, para que metade da área do fundo fique a uma pressão igual à atmosférica. Nestas condições que volume de líquido permanece dentro do cilindro?
12.17- Um recipiente cônico, aberto, de diâmetro igual a 0,40 m e altura igual a 1,20 m está cheio de um liquido. Qual o volume de liquido existente no recipiente, quando ele estiver girando com uma velocidade angular de 80 r.p.m. em torno de seu eixo de simetria?
12.18- Uma caixa cúbica de 2 metros de lado, esta cheia pela metade de um óleo de densidade relativa igual a 0,90. A caixa é acelerada ao longo de um plano inclinado forçando um angulo de 30o com a horizontal. Determine a inclinação da superfície livre do óleo, com relação ao fundo da caixa e as pressões nos pontos O e A.
12.19- Um recipiente que tem a forma de um parabolóide de revolução está cheio de água. Com que velocidade angular deve girar em torno de seu eixo, de modo que 1/3 do volume de água contido no recipiente extravase?
