Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
Módulo 9 Objetivos: - Identificar representações de ponto, reta e plano em situações concretas; - Representar e nomear ponto, reta e plano; - Identificar as posições das retas em vertical, horizontal e inclinada, - Identificar as posições de 2 retas num plano em paralelas, concorrentes e coincidentes; - Identificar segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos congruentes; - Identificar um polígono; - Distinguir os lados e as diagonais de um polígono e calcular o nº de diagonais; - Calcular o perímetro de um polígono; - Identificar o uso de ângulos; - Reconhecer os ângulos : reto, agudo e obtuso; - Determinar os ângulos complementares e suplementares; - Reconhecer ângulos ângulos congruentes e ângulos opostos pelo vértice; vértice; - Caracterizar um triângulo representando e nomeando seus elementos; - Verificar a existência de um triângulo formado com três segmentos dados; - Determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, conhecendo as medidas dos outros ângulos; - Identificar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo; - Classificar triângulos quanto à medida dos lados e quanto à medida dos ângulos; - Identificar triângulos semelhantes; - Determinar a razão de semelhança em triângulos semelhantes; - Calcular a medida de lados em triângulos triângulos semelhantes;. - Aplicar o Teorema de Talles; - Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo em resolução de situações-problemas.
Roteiro de estudo: - Para estudar e aprender o conteúdo deste módulo você deverá ler com muita atenção, pensando e raciocinando sobre o que você leu. - Você deverá resolver os exercícios do módulo e fazer a correção pelo gabarito.
FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO, NÃO ESCREVA NA APOSTILA.
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Introdução à Geometria Finalmente você vai estudar uma parte da matemática onde não será preciso “decorar” teoremas ou fórmulas. É a GEOMETRIA (estudo de medidas e formas que existem na terra). GEO significa terra e METRIA significa medida.
PONTO, RETA E PLANO 1- Conceito (idéia) de PONTO: Observando o mundo em que vivemos certas idéias surgem de modo intuitivo Exemplo: A marca da ponta de um lápis, uma uma marca de giz no quadro negro, a localização de uma cidade no mapa, tudo isso nos dá a idéia de ponto em geometria. O ponto não tem dimensões (tamanho) e é normalmente indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. alfabeto. Ex.: . A . B ( ponto A ) ( ponto B ) 2- Conceito de RETA: Exemplo: Um fio esticado por duas pessoas, a linha divisória de um campo de futebol sugerem a idéia de reta em geometria, com uma diferença básica: a reta não tem começo e nem fim, portanto não pode ser medida. As retas são indicadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Ex.:
r (reta r)
s
a
(reta s)
(reta a)
3- Conceito de PLANO: Qualquer superfície (a parede de uma sala, um pedaço de madeira compensada, o piso de um campo de futebol), sugere a idéia de plano em geometria. www.ceesvo.com.br
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Usualmente os planos são indicados por letras do alfabeto grego. grego. Ex: ∝ (alfa), β (beta), δ (gama) Representação:
∝
(plano
∝
alfa)
β
(plano
β Beta)
Conclusão: - O ponto, ponto, a reta e o plano são noções intuitivas, ou seja, são modelos criados por nossa imaginação e usados justamente para compreendermos melhor certos aspectos do mundo em que vivemos.
Posições de uma reta: Vertical, Horizontal, Inclinada
t u
α
A figura acima nos mostra um campo c ampo de voleibol onde: Cada vara lateral sugere a idéia de reta (r, t ); Cada faixa da rede sugere a idéia de reta (s, u ); O campo sugere a idéia de plano ( ∝ ).
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Em relação ao campo ( plano ocupam a posição vertical. vertical.
∝
) as varas varas laterais laterais ( letra letra r , t ) Representação da reta vertical
Observe a posição vertical do mastro da bandeira Em relação ao campo (plano ∝ ) as faixas da rede (s, u ) ocupam a posição horizontal. Representação da reta horizontal
Observe a posição horizontal da fecha: Um foguete ocupa a posição inclinada em relação ao chão quando está em movimento. Representação da reta inclinada
Observe a posição inclinada do foguete:
Posições relativas de duas retas em um plano: Retas Paralelas e Concorrentes
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A figura anterior mostra uma quadra de voleibol. Nela você observa que: as linhas laterais laterais que sugerem a idéia idéia de retas (retas (retas a e b) não se cruzam, cruzam, então, as linhas laterais são paralelas (mantém sempre a mesma distância entre elas); as faixas da rede que sugerem a idéia de retas (retas (retas r e s) não se cruzam, cruzam, então as faixas das retas são paralelas. RETAS PARALELAS: PARALELAS: Quando duas retas de um mesmo plano não se cruzam elas mantêm sempre a mesma distância entre si, portanto, não possuem ponto em comum e são denominadas retas paralelas. Representação de retas paralelas a b
∝
r a || b
s
r || s
(lê-se: a é paralela a b)
(lê-se: r é paralela a s)
A linha do trem exemplifica o conceito de paralelismo, pois mantém sempre a mesma distância entre seus trilhos.
Veja novamente a figura da quadra de voleibol na página anterior e observe: As linhas laterais e as linhas de fundo sugerem a idéia de retas que se interceptam (cruzam a com c ou b com c) isto é, têm um ponto comum, por isso são chamadas de concorrentes. A vara lateral e a faixa da rede sugerem a idéia de retas (t (t e r ou t e s) que se cruzam em um ponto comum, comum, então, a vara lateral e a faixa de rede são concorrentes. Portanto:
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RETAS CONCORRENTES: Quando duas retas de um mesmo plano possuem um ponto comum, comum, isto é, que pertence às duas retas são denominadas retas concorrentes (se cruzam em um ponto). Representação de retas concorrentes P
c
∝
A
a
t r
β
axc lê-se a é concorrente a c r P é o ponto em comum
txr lê-se t é concorrente a A é o ponto em comum
Observe as duas agulhas de tricô que se cruzam num ponto. Elas nos dão a idéia de concorrentes. RETAS COINCIDENTES: Quando duas retas r e s possuem todos os pontos comuns isto é, uma está sobreposta (encima) à outra. Representação de retas coincidentes ∂
r=s
lê-se r é coincidente a s
SEGMENTO DE RETA (pedaço da reta) Considere uma reta r e sobre ela marque dois pontos A e B distintos (diferentes). (diferentes). O conjunto de pontos formados formados por A, por por B e por todos os pontos que estão entre A e B, denomina-se denomina-se segmento de reta AB . O segmento é identificado por um traço em cima das letras que identificam o início e o fim do segmento.
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A B
Os pontos A e B são chamados extremidades do segmento AB determinado sobre a reta r.
r
Veja um exemplo prático: LEMBRE-SE: RETA não tem começo e nem fim. Não pode ser medida. SEGMENTO DE RETA tem começo e fim logo pode ser medido.
F
AF
leia segmento AF
FH
leia segmento FH
H A
SEGMENTOS CONGRUENTES CONGRUENTES ( tem a mesma medida) A
B
C
D
De acordo com a figura acima observe obs erve que: Os segmentos AB e CD têm a mesma medida logo são congruentes Os segmentos AC e BD são congruentes (têm a mesma medida) Então: Tomando a mesma unidade de referência, dois segmentos que têm a mesma medida são denominados segmentos congruentes. congruentes . Você pode representar a congruência usando o símbolo ≅ . Veja: AB ≅ CD (segmento AB é congruente ao segmento s egmento CD).
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SEGMENTOS CONSECUTIVOS F H A
Observe o desenho acima. O segmento FH começa no mesmo ponto onde termina o segmento AF . Eles são chamados segmentos consecutivos (um após o outro). Então: Dois segmentos que têm em comum apenas uma extremidade são denominados segmentos consecutivos. D
Observe o desenho ao lado: AB e BC são segmentos consecutivos, pois têm em comum o ponto B.. A BC e CD são segmentos consecutivos com o ponto C em comum.
C
B
FIGURAS POLIGONAIS Observe as figuras desenhadas abaixo. Elas são formadas por segmentos consecutivos.
( aberta )
(fechada)
(aberta)
(fechada)
Essas figuras geométricas planas são chamadas de figuras poligonais. Elas podem ser abertas ou fechadas. G
X
H
E
F
A
D B
C
M
O
N
P
Y
Z
As figuras poligonais fechadas recebem o nome de POLÍGONOS. www.ceesvo.com.br
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ELEMENTOS DOS POLÍGONOS LADOS: são os segmentos de reta (AB, BC, CD, DF, FH, HG e EA) que formam o primeiro polígono desenhado acima. acima. VÉRTICES: são as extremidades comuns a dois lados consecutivos de um polígono, ou seja, os pontos A, B, C, D, E, F, G, H são os vértices do polígono acima desenhado Existem diferentes tipos de polígonos e eles são classificados de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos. Veja alguns deles: Nome dos polígonos Nº de lados 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 20 lados
Nome triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono undecágono icoságono
Diagonais de um polígono: são todos os segmentos com
extremidades em dois vértices não-consecutivos. B C A
AC , AE
vértice A
diagonais em relação ao
BD , BE diagonais em relação ao
D
E
vértice B DC diagonal em relação ao vértice D ou C
A quantidade de diagonais depende do nº (quantidade) de vértices do polígono. Para saber quantas diagonais têm um polígono faça o cálculo aplicando a fórmula: www.ceesvo.com.br
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D = n . (n - 3) 2
Onde n = quantidade de lados do polígono n = 5 (no desenho acima) Então: D = 5 • (5 − 3) = 5 • 2 = 10 = 5 diagonais 2
2
2
Exemplo: O eneágono (polígono de 9 lados) tem quantas diagonais? Substituindo n por 9 na fórmula acima,você tem: D = 9 . (9 – 3) = 2
9 . 6 = 54 = 27 diagonais 2 2
PERÍMETRO
de um polígono qualquer: é a soma das medidas de todos os seus lados.
Exemplo:
4cm
3cm
2cm
O perímetro do polígono é 4+3+2+2,5= 11,5cm
2,5cm
ÂNGULOS Você já viu que os polígonos são formados por lados (segmentos) e vértices (ângulos). O que são ângulos? É toda região interna ou externa compreendida entre duas semi-retas que têm o mesmo ponto de origem. A unidade de medida do ângulo é o grau. Região interna formada por duas semiA retas AÔB = ângulo interno Os ângulos também podem ser O representados por letras gregas tais como: α, β, λ ou simplesmente com o B acento circunflexo na letra: Â, Ĉ, Ĥ www.ceesvo.com.br
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Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: ÂNGULO DE 360°360° - é o ângulo que forma forma uma circunferência. B
180°. É a metade da circunferência. ÂNGULO RASO - é igual a 180°.
ÂNGULO RETO - ângulo cuja medida é 90°. 90°. Esse ângulo é o mais usado em arquitetura, construções, etc É o ângulo de 360° dividido em 4 partes iguais. O ângulo ângu lo reto é representado pelo símbolo 90°
Â
90°
ÂNGULO ÂGUDO – ângulo com medida menor do que 90°. É o ângulo fechado representado pelo sinal Ângulo O < 90° 50°
Ô < 90°
O
ÂNGULO OBTUSO – ângulo com medida maior do que 90° ( é o ângulo aberto) Ângulo A > 90° Â > 90°
145° A www.ceesvo.com.br
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MEDIDAS DE ÂNGULOS Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura. Ele só tem uma medida chamada amplitude e sua unidade de medida é o graus representado represe ntado pelo sinal s inal ° Ex. 30° 3 0° (trinta graus) graus ) O instrumento usado para medir um ângulo é o transferidor. transferidor. Observe o desenho do transferidor e veja como se faz para medir um ângulo. O transferidor é dividido em unidades de medidas denominadas GRAUS, no intervalo de 0° à 180° (meia circunferência) ou de 0° à 360° (uma circunferência). Esta região está marcando um ângulo de 40°
. ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Considere os ângulos AÔB, de medida x = 40°, e DÊF, de medida Y = 50° B
F
40°
50°
O
E A
D
Observe que se você “juntar” os dois ângulos você forma um ângulo de 90°. Então : X + Y = 90° 40° + 50° = 90° Nesse caso, os ângulos ângulos AÔB e DÊF são complementares. complementares. Veja a representação de ângulos complementares no desenho do transferidor, no início desta página. Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. 90°.
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Veja o exemplo: 1- Calcule o complemento compleme nto do ângulo de 20°. 20°. Solução: Sendo X a medida do complemento do ângulo de 20° você tem: X + 20° = 90° (calcul (ca lculand andoo o valor de X) X = 90° - 20° X = 70° ( complementar de 20° ) ÂNGULOS SUPLEMENTARES Considere os ângulos AÔB, de medida x=35°, e DÊF, de medida y = 145° B F
55° O
125°
A E
D
Observe que X + Y = 180° Nesse caso dizemos que AÔB e DÊF são ângulos suplementares. Veja a ilustração no exemplo abaixo Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. Veja o exemplo:
B
Região do arco de linha pontilhada = 55° Região do arco de linha cheia = 125° A
125°
55° C
O
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Calcule o suplemento do ângulo de 30° Solução: Sendo X a medida do suplemento do ângulo de 30° você tem: X + 30° = 180° (calculando o valor de X) X = 180° 180° - 30° X = 150° (suplemento do ângulo de 30°)
Ângulos congruentes – ângulos que têm a mesma medida Observe os seguintes ângulos:
R A 50°
O
50° T
B
S
Eles têm a mesma medida, portanto são ângulos congruentes. congruentes . Representação: Representação: AÔB
≅
RST (lê-se: AÔB é congruente a RST) RST)
Ângulos opostos pelo vértice OBSERVE OS ÃNGULOS:
X e Y são ângulos opostos pelo vértice ( A).
X
A
Y
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro. o utro. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes ( têm a mesma medida). Você vai dar continuidade a geometria estudando um polígono especial formado por 3 lados e 3 ângulos, chamado triângulo. www.ceesvo.com.br
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CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS
ÂNGULO DE 360° - forma uma circunferência (uma volta inteira).
ÂNGULO RASO – mede 180° (meia volta).
Ex.: um livro inteiramente aberto forma um ângulo de 180° em relação ao fechado
(180°)
ÂNGULO RETO – mede 90° - é representado pelo símbolo
Ex.: Os ponteiros do relógio (horas e minutos) às 3 horas.
ÂNGULO AGUDO – são ângulos com medidas menores do que 90° (são os ângulos fechados).
Ex.: uma pasta entreaberta.
ÂNGULO OBTUSO – são ângulos com medidas maiores do que 90° (são os ângulos abertos).
Ex.: O ângulo entre o assento e o encosto da poltrona.
Módulo 10
Objetivos: O aluno será capaz de: • • • • • • • • • •
Reconhecer as características de um triângulo; Identificar e classificar os triângulos; Conceituar proporcionalidade; Identificar triângulos semelhantes; Entender o Teorema de Tales; Aplicar esses conceitos em resolução de problemas; Identificar triângulo retângulo; Reconhecer a relação métrica a ser usada; Calcular as medidas desconhecidas nos triângulos; Aplicar esses conhecimentos para solução de problemas.
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TRIÂNGULOS
Você vai estudar neste módulo o mais simples e o mais importante dos polígonos: o triângulo. São inúmeras as aplicações práticas do triângulo em construções e estruturas que exigem rigidez e uma boa distribuição de forças. Observe as figuras abaixo e veja se consegue enxergar onde estão os triângulos, sabendo que: TRIÂNGULO é um polígono que possui 3 lados e 3 ângulos.
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Representação e elementos de um triângulo qualquer Representação:
B
ABC
ELEMENTOS: Vértices: A, B, C
Lados: AB. AC, BC A ^
C
^
Ângulos internos: Â, B , C
CLASSIFICAÇÃO Você pode classificar os triângulos observando os lados e os ângulos. Quanto aos lados os triângulos são classificados em: equilátero
isósceles
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escaleno
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s ão congruentes (tem a mesma medida). EQUILÁTERO: EQUILÁTERO: os 3 lados são ISÓSCELES: ISÓSCELES: têm dois lados congruentes (mesma medida) e um diferente. ESCALENO: ESCALENO: as medidas dos 3 lados são diferentes. Quanto aos ângulos os triângulos são classificados em:
RETÂNGULO: RETÂNGULO: 1 ângulo tem medida ^ Igual a 90° (ângulo reto X ). ( Observe o desenho) X
OBTUSÂNGULO: OBTUSÂNGULO: tem um ângulo com medida maior do que 90° (ângulo Ô aberto).
120º O
C
ACUTÂNGULO: ACUTÂNGULO: os 3 ângulos têm medidas menores do que ^ ^ ^ 90° (ângulos (âng ulos A , B , C fechados)
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50º 70º A
60ª B
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OBSERVAÇÕES: Base ( b ) é o lado sobre o qual o triângulo se apoia. No triângulo isósceles, considera-se a base o lado de medida diferente.
medida da base até até o vértice vértice oposto. Altura ( h ) é a medida A altura é representada por uma linha pontilhada.
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes (de mesma medida) é chamado ângulo do vértice.
No triângulo isósceles os congruentes ( mesma medida).
Num triângulo retângulo denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados denominam-se catetos.
ângulos da base são
cateto
hipotenusa
cateto
CURIOSIDADE : CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Para você construir um triângulo qualquer qualquer é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Veja o exemplo: 9
5
9 < 5 + 7 ou 5 < 7 + 9 ou 7<5+9
7 www.ceesvo.com.br
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Copie e responda em seu caderno:
1) Classifique
os triângulos abaixo: a) Quanto aos lados. b) Quanto aos ângulos
2) É possível construir um triângulo com os lados medindo
8cm,
10cm e 15 cm ?
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO (TEOREMA ANGULAR DE TALES)
Tales, filósofo filósofo e matemático matemático grego ( Mileto, 625 a.C.), a.C.), foi um dos chamados 7 sábios da Grécia. Ele usou a geometria para prever um eclipse solar.
Este é um teorema importante das medidas dos ângulos de um triângulo qualquer, descoberto por Tales. “A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER É IGUAL A 180º ” ^
Medida A = 70° ^
Medida B = 55° ^
Medida C = 55° ^
^
^
A + B + C = 180°
70° + 50° + 60° = 180°
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1º Exemplo: Observe o desenho abaixo e veja como calcular a medida do ^ ^ ângulo C do triângulo A B C sabendo que a soma dos 3 ângulos é igual a 180°. ^ ^ ^ A + B + C = 180° B 55 + 65 + X = 180 65°
X
120 + X = 180
C
55°
X = 180 – 120
X = 60°
A
2º Exemplo:
Este triângulo é denominado retângulo, portanto a medida do ângulo  é 90º então: X +  + 40° = 180° X + 90° + 40 = 180
X
X + 130 = 180 X = 180 – 130 X = 50°
40º A
3º Exemplo: M + N + O = 180° 20 + 2X + 10 + X = 180 2X + X + 20 + 10 = 180
M 20°
3X + 2X + 10 N
X O
4º Exemplo:
X + X + 2X = 180 4X = 180 X = 180 4
X X
30 = 180 3X = 180 – 30 3X = 150 X = 150 3 X = 50°
2X
X = 45° www.ceesvo.com.br
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Copie e responda em seu caderno:
3) Determine o valor do ângulo A)
x nos triângulos abaixo. B)
E)
D) C)
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO São medidas medidas usadas no TRIÂNGULO. Mediana: é o segmento de reta que une um dos vértices ao ponto médio do lado oposto. AM é a mediana relativa ao lado BM ≅ BC (mesma medida)
BC
Altura: é a medida medida do segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo, traçado pelo seu vértice oposto. www.ceesvo.com.br
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AH é a altura relativa ao lado BC AH (perpendicular)
Ângulo de 90°
A
h B
C
H
Bissetriz : é o segmento de de reta que divide um ângulo interno em outros dois congruentes (mesma medida).
^
^
B A D ≅ D A C
FIGURAS SEMELHANTES Na Matemática Matemática uma foto e sua ampliação ampliação são exemplos de figuras semelhantes, pois têm as mesmas características, porém suas medidas são diferentes mas proporcionais ( a largura da figura A é o dobro da largura da figura B).
A
B
Observe que a foto dobrou de tamanho.
O mesmo princípio é válido para qualquer q ualquer figura geométrica. www.ceesvo.com.br
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TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois triângulos triângulos têm a mesma forma uma vez que ambos têm 3 lados e 3 ângulos, mas nem sempre são semelhantes. Para que dois triângulos sejam semelhantes devem ter seus ângulos correspondentes congruentes (mesma medida) e seus lados correspondentes proporcionais.
Não semelhantes (ângulos diferentes).
semelhantes ( ângulos congruentes).
Dois círculos são sempre semelhantes. NOÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Observe os dois triângulos ABC e DEF da figura abaixo:
Os lados dos triângulos são respectivamente paralelos.
Eles têm ângulos correspondentes congruentes ( mesma ^ ^ ^ ^ ^ ^ medida ) : A ≅ D , B ≅ E , C ≅ F Esses dois triângulos têm a mesma “forma”. Eles são 1 semelhantes . A razão de semelhança é .ou 0,5 2
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Vamos retirar o
∆
ABC de dentro do
∆
DEF:
1º) Você pode observar que os ângulos são ordenadamente ^ ^ ^ ^ ^ ^ congruentes: A ≅ D , B ≅ E , C ≅ F 2º) Os lados correspondentes correspondentes ( ou homólogos ) são proporcionais: AB AC BC = = DE DF EF
Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes correspondente s congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Veja alguns exemplos : 1º )
Note que são triângulos semelhantes, pois os ângulos correspondentes são congruentes.
2º ) 8
6
3
4 5
10 www.ceesvo.com.br
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Os triângulos acima são semelhantes, pois os lados correspondentes são proporcionais. 8 6 10 Veja: =2 =2 = 2 Note que a 4 3 razão de razão de semelhança neste caso
vezes maior que o segundo ).
5
é 2 ( o primeiro triângulo é duas
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: Os triângulos abaixo são semelhantes. Descubra a medida do lado X.
9
12 = 9 x 4
X
12.X = 4.9 X = 36 12 X= 3
4 12
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2: Calcule o valor de x : 20º
X
14 20º
80º 80º
6 x 14
=
6 10
10
( aplicando a regra da proporção)
10 . X = 14 . 6 10. X = 84
X = 84 10
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X = 8,4
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Copie e responda em seu caderno:
4) Sabendo
que os triângulos das figuras abaixo são semelhantes, determine as medidas dos lados indicados. b)
6 4
2
Y X 8
c) X 18
5
Y 10
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TEOREMA DE TALES Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales? - Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. - Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 aC. e morreu em 546 aC. - A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:
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ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS Você já aprendeu no módulo 9 que quando dois triângulos são semelhantes , os seus lados correspondentes são proporcionais. proporcionais . A mesma teoria se aplica quando duas retas (m e n) cortam três retas paralelas (r, s, t ). Os seus segmentos a, b, c, d, também são proporcionais. Veja o exemplo resolvido abaixo, aplicando a propriedade da proporção:o produto (multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos. r
a = 10
c = 14 x=a+b
s
b=5
y=c+d
d=7 t n
m a b
10 5
=
c d
= 14
15 10
7
10 7 = 5 14 70 = 70 •
x a
ou
=
y c
= 21
15 5
14
15 14 = 10 21 210 = 210
•
•
x b
ou
•
=
y d
= 21 7
15 7 = 5 21 105 = 105 •
•
Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais que você desconhece.
12 x
20 10
12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10 x 10 X . 20 = 120 X = 120 20 X= 6 www.ceesvo.com.br
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Você sabe que existem situações que é difícil efetuar medições, então, pode-se usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) aplicando a teoria dos triângulos semelhantes.
APLICAÇÃO PRÁTICA Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como calcular a largura largura do rio para para saber qual será o comprimento comprimento da ponte? Veja o esquema abaixo e observe como achar o valor valor de x que representa o comprimento da ponte. Do ponto A até o ponto E e de E até o ponto C você pode medir assim como do ponto A até o ponto D (início da ponte). Com essas medidas você forma um triângulo imaginário e calcula o comprimento da ponte.
Observe que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC, pois seus ângulos são congruentes (mesma medida) e seus lados correspondentes tem as medidas proporcionais então, pode-se usar o Teorema de Tales como foi demonstrado acima no próprio desenho.
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1º EXEMPLO: observe os lados correspondentes: 4 3
4 12
=
12 5
9
X
3 = 5 proporções dos lados correspondentes 9 X
para calcular o valor de X multiplique cruzando: 5 X
= 3
3 • X = 5 • 9
9
X = 45 3
X = 15
Copie e responda em seu caderno:
5) Calcule o valor de X
dos exercícios abaixo:
b)
A
a)
X
2 B 1 C
1,4 1,4
2,4 E X D
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2,4 1,2
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c) Calcule a medida do lado X do triângulo:
20
x
10 8
APLICAÇÕES PRÁTICAS: Copie e responda em seu caderno:
6)
Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m?
Observe o desenho abaixo: T O R R E
X
V A R A
1,5 2,5
18m SOMBRA
SOMBRA
7) Se uma haste haste de
1m projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de um poste de iluminação que, no mesmo instante tem uma sombra de 15 m?
SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos triângulos. www.ceesvo.com.br
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TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO: É um tipo especial de triângulo que tem dois lados perpendiculares perpendiculare s formando um ângulo reto (90° ). Os triângulos retângulos foram assuntos dos estudos de Pitágoras, importante matemático grego que descobriu uma propriedade válida para todos esses triângulos. www.ceesvo.com.br
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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Observe o triângulo retângulo e seus elementos (catetos, hipotenusa, altura e projeções desenhados abaixo).
A A L T U R A
CATETO
CATETO
PROJEÇÃO
PROJEÇÃO PROJEÇÃO HIPOTENUSA
TRIÂNGULO RETÂNGULO (tem um ângulo reto é representado pelo símbolo ).
Â
= 90° que
Hipotenusa – é o lado oposto ao ângulo reto  (fica na
frente do ângulo de 90°). É o lado maior do triângulo.
Catetos - são os outros dois lados que formam o ângulo de
90º (são perpendiculares entre si ).
Altura - medida que parte do vértice até o lado oposto. O
segmento da altura em relação ao ângulo de 90° divide a hipotenusa em duas partes denominadas projeções. www.ceesvo.com.br
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Você sabe que: HIPOTENUSA é o lado oposto ao ângulo reto. CATETOS: são os outros dois lados. ALTURA: ALTURA: medida que vai do vértice A até a hipotenusa, formando um ângulo de 90°. PROJEÇÕES: PROJEÇÕES: medidas que resultam da divisão da hipotenusa ao ser traçada a altura. Cada cateto tem a sua projeção na hipotenusa.
No triângulo retângulo temos quatro relações métricas que nos possibilitam calcular as medidas de seus elementos. A principal delas é o TEOREMA DE PITÁGORAS: “ O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos” 1)
Hip2 = cat2 + cat²
HIPOTENUSA
CATETO
TEOREMA DE PITÁGORAS
CATETO
Ex.: Determine a medida Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 3
hip² = cat² + cat² x² = 3² + 4² x² = 9 + 16 x² = 25 x = 25 x = 5
4 X
LEMBRE-SE!
3² = 3 • 3 = 9
Você sabe o que fazer para achar a medida de um cateto do triângulo retângulo? OBSERVE:
Hip² = cat² + cat² 5² = X² + 3² 25 = X² + 9
5 3
25 - 9 = X² 16 = X X = 4
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Copie e responda em seu caderno:
8) Determine o valor de X: a-)
X
b-)
X
6
6
4
8
As outras relações métricas você irá usar quando precisar calcular as medidas internas do triângulo: (altura ou projeções).
2) Cat² = hip . proj 3) Hip . alt = cat . cat 4) Alt² = proj . proj
Veja como usar essas fórmulas:
4
3 X
5
1º EXEMPLO: No triângulo ao lado são dadas as medidas dos catetos ( 3 e 4 ), e da hipotenusa ( 5 ). Falta achar a medida da altura ( X )
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Há duas fórmulas (3 e 4) onde aparece altura. 3) Hip . alt = cat . cat 4) Alt² = proj . proj
Na relação nº. 4 é necessário ter as medidas das projeções e no triângulo acima não tem então, a relação nº. 3 é a mais adequada.
Qual delas devo usar?
Veja as medidas: Cat. = 4 Cat. = 3 Hip. = 5
hip . alt = cat . cat 5 . x = 3 . 4 5x = 12 x = 12
Alt. = X
5
x = 2,4
9)
Determine o valor de X:
a-)
9
12
X
b-)
6
X 8
15
3
8
X
c-)
No exercício b você tem a medida da hipotenusa e do cateto e quer determinar a medida da projeção. No exercício c você tem as medidas das projeções e quer calcular a medida da altura. Veja na página anterior as fórmulas 2,3,4 e descubra qual a mais indicada para p ara cada caso. www.ceesvo.com.br
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APLICAÇÕES PRÁTICAS: esses teoremas são usados para resolver situações problemas. É conveniente fazer a representação represe ntação através do desenho. 1º exemplo: Uma torre metálica de 10m de altura será fixada ao solo por um cabo de aço em um ponto distante a 30m da extremidade inferior da torre. Quantos metros de cabo de aço serão necessários ? Passos para resolver o problema: 1- Faça a representação do problema com com desenho anotando as medidas dadas e identificando o lado X; 2- Identifique o lado da hipotenusa hipotenusa e o dos catetos; 3- Escolha a fórmula mais adequada; 4- Resolva para calcular o valor valor de X. 10m cat
Hip² = cat² + cat² X² = 10² + 30² X² = 100 + 900 X² = 1000 X = 1000 X = 31,62
X hip
30m cat
Serão necessários aproximadamente 31,62 metros de cabo de aço.
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Copie e responda em seu caderno:
10) Um bombeiro precisa colocar uma escada até a janela do 2º
andar que está a 15m de altura do chão. A escada está fixada a 8m de distância da parede. Qual deve ser a medida mínima da escada?
Observe a representação representação geométrica geométrica do problema: Escada (X) Parede = 15m
8m
11)
Um monumento será construído em forma de triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10m, um dos catetos mede 6m e o outro 8m. Qual será a altura desse monumento?
8m
6m X
10m
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GABARITO: 1) A -
I = Eqüilátero II = Isósceles III = Escaleno
B - I = acutângulo II = Obtusângulo III= Retângulo
2) Sim 3) a) 40° c) 30° 30° e) 108° 4 ) a) X = 12
b) 55° d) 40° 40°
B) X = 4 Y= 3 C ) X = 10 Y=9
5-) a) X = 1,2
b) X = 2,8
c) X = 16
6-) X = 10,8 7-) X = 7,5 8-) a) X = 10
b) X = 4,4
9-) a) X = 7,2
b) X = 4,5
c) X = 4,8
10-) X = 17 11-) X = 4,8
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Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione
1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim www.ceesvo.com.br
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