Apostila de Dinâmica I - V1r5

Es ola Politécnica da Un versidade de São Pa lo lo Dep rtamento de Engenharia Nav l e Oceânica

DI ÂMICA DE SISTEMAS I Material de Apoio

Prof. Dr. André Lu s Condino Fujarra

São Paulo, 2010.

Material de Apoio Dinâmica de Sistemas I

2 1 Versão

1º sem./2010 Dat

Texto em elaboração Observações

Material de Apoio: Dinâ ica de Sistemas I

Dept./Unidade PNV/EPUSP

Dat Março de 2010

Autor: Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra

a c i f á r g o i l b i B o ã ç a c i f i t n e d I

Disciplina oferecida pel o programa de graduação da Escola Politécnica da Universidade de São Pa ulo.

0


2 1 Versão

1º sem./2010 Dat

Texto em elaboração Observações

Material de Apoio: Dinâ ica de Sistemas I

Dept./Unidade PNV/EPUSP

Dat Março de 2010

Autor: Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra

a c i f á r g o i l b i B o ã ç a c i f i t n e d I

Disciplina oferecida pel o programa de graduação da Escola Politécnica da Universidade de São Pa ulo.

0


SUMÁRIO 1. PREFÁCIO .................................................................................................. 1 2. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 2 3. SUBSÍDIOS A RESPEITO DA DINÂMICA DE SISTEMAS ...................... ................ ...... 11 4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS DIN ÂMICOS......................... ............ ......................... .................... ........ 25 5. INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE LINEAR ............................................. 39 6. LINEARIZAÇÃO E ESTABILIDADE NÃO LINEAR ........................ ........... ....................... .......... 46 7. VIBRAÇÕES AMORTECIDAS .................................................................. 52 8. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS ......... 59 9. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOS.................. ............ ...... 64 10. SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS COM 2GL ......................... ............ ......................... .................. ...... 79 11. VIBRAÇÃO NATURAL DE SISTEMAS COM 2GL ......................... ............ ....................... .......... 85 12. VIBRAÇÃO FORÇADA DE SISTEMAS COM 2GL .................................. 90 13. ABSORVEDORES NÃO AMORTECIDOS ......................... ............. ......................... ....................... .......... 92 14. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 101 15. ANEXO A – MODELAGEM E SIMULAÇÃO SI MULAÇÃO NUMÉRICA ....................... ............. .......... 102 16. ANEXO B – TÓPICO EM ÁLGEBRA LINEAR .......................... ............. .......................... ............... 113

o i r á m u S

0


1. PREFÁCIO Redação ao término do texto.

o i c á f e r P : o l u t í p a C

1


2. INTRODUÇÃO 2.1 Os sistemas navai e oceânicos típicos

Figura 1: Principais tip s de embarcação e uma possível classif icação quanto aos mecanis mos de manutenção do equilíbrio e ava ço.

o ã ç u d o r t n I : o l u t í p a C

2



Figura 2: Tipos de plataformas mais comuns. Evolução ao longo do tempo e em função da profundidade de operação. Fonte: (Clauss, 2007) .

3


2.2 Definição dos movi mentos

Tabela 1: Denominação e índices dos 6 graus de liberdade de s stemas navais e oceâ nicos. Fonte: (Simos & Fujarra, 2009).

Índice 1 2 3 4 5 6

Graus de Liber ade Nomen latura Português

Avanço Deriva Afundament Balanço ou Jogo Caturro ou Arfa em Guinada

Inglês Surge Sway Heave Roll Pitch Yaw


4


Tabela 2: Comparaç o entre ressonâncias de heave em algu ns sistemas navais e oce nicos típicos, adaptada de (Faltinsen, 1 98).

Caracterí sticas SISTEMA

o l d a r o u í t r a e P N

o e ã d ç a a r u ç a r t o s F e R

SES – Surf ce Effect Ship

 1        

r a o d e d a d i l i b i s s e r p m o C

TLP – Tensi n Leg Platform

 4   2  

s e õ d n e t s o d e d a d i c i t s a l E

e d a ç r o F

e t n a t r o p m I

e d e l o r t n r o a c a o o i r ã p l s ó r u p p o o r l e p p e a o d ã i z ç a u t d n n e i t o s ã u ç s a p i s s i D

e a d o n a i o d c o n m ã o â s n n i ç a r n t o o s t a i c c x n s e e e E R M a s e a s t l a a d s n à o o s a d i t v s e e d e r o ã s t a n ç d e a n o c r r o t a e n b o d c m s n e e r e a e e d n s i l a s i a c ç n r ê o u F q e r f

a m o s s a i c n ê u q e r f s a n a d n o e d s e r a e n i l o ã n s a ç r o F


5


Navios de eslocamento

 6 1   4  

a h n i l e d a e r á à l a ) n a o u i c g r ’ o á p d o r p ( a c i t á t s o r d i H

a d n o e d s e r a e n i l s a ç r o F

 0 2        

) a u g á ’ d a h n i l e d a e r á à l a n o i c r o p o r p ( a c i t á t s o r d i H

a d n o e d s e r a e n i l s a ç r o F

SS – Semi-Su mersible Platform

SWATH – Small aterplane Area Twin Hu ll Ship

          

a h n i l e d a e r á à l a ) n a o u i g c r á o ’ p d o r p ( a c i t á t s o r d i H

e d r i t r a p a e l o r t n o c o s l o e i p l ó f a d i z u d n i o ã ç a p i s s i D

a s e a s x a i a d b n s o à s a o t d i s v e e e o r d t ã s n ç a e a d o c n t r r o n a b e o d c m e s n e e r e a d e n s i l i a s c a n ç ê r o u F q e r f


6


2.3 Problemas típicos nvolvidos na operação de navios

Tabela 3: Probl mas típicos envolvidos na operação de avios.

Problemas Tí icos

Ilustrações

Pouso de um helicópt ro

Movimentos e acelerações locais

Transferência de equipamentos entre embarcações Slamming

gua no con és Ondas quebrando so re o casco Sloshing

Momentos e esforço cortantes induzidos pelas ondas o ã ç u d o r t n I : o l u t í p a C

7


Tabela 4: Limites operacionais para navios típicos.

Pequenas Embarcaçõe s Rápidas

CRITÉRIO

Navio Mercante

Navios Militares

Aceleração Vertical na PPAv (valor RMS)

0.275g(L≤100m) 0.05g(L≥330)a

0.275g

0.65g

Aceleração Vertical na Ponte (valor RMS)

0.15g

0.2g

0.275g

Aceleração Lateral na Ponte (valor RMS)

0.12g

0.1g

0.1g

Movimento de Roll (valor RMS)

6.0 deg

4.0 deg

4.0 deg

Batida de Proa ou Slamming (probabilidade)

0.03(L≤100m) 0.01(L≥300m)b

0.03

0.03

Água no Convés (probabilidade)

0.05

0.05

0.05

Tabela 5: Criteria with regard to acceleration and roll.

Root Mean Square Criterion Vertical Acceleration

Lateral Acceleration

Roll

0.20g

0.10g

6.0o

Light manual work

0.15g

0.07g

4.0o

Heavy manual work

0.10g

0.05g

3.0o

Intellectual work

0.05g

0.04g

2.5o

Transit passengers

0.02g

0.03g

2.0o

Cruise liner

Description


8


2.4 Problemas tradicionais envolvidos na operação de plataformas


9


2.5 Principais efeitos dos agentes ambientais

2.5.1 Classificação hidrodinâmica das estruturas

H/D

Limite de Linearidade das Ondas

H D

λ

Forças Viscosas

≅ 10

Forças Inerciais Difração de Ondas ≅5 Figura 3: Importância relativa entre forças inerciais, viscosas e de difração de ondas em estruturas marítimas. Adaptado de (Faltinsen, 1998).

λ /D


10


3. SUBSÍDIOS A RESPEITO DA DINÂMICA DE SISTEMAS 3.1 Movimento Periódico

Em fenômenos físicos, vibrações que acontecem mais ou menos regularmente, repetindo-se com relação ao tempo, são conhecidas como periódicas e descritas como oscilações . Exemplos: movimento pendular, trepidação de uma ponte, movimentos de um navio, variação da tensão em um gerador elétrico, entre outros. O nome vibração geralmente tem sido usado para descrever pequenas oscilações dos sistemas dinâmicos. Por “pequenas” entendem-se aquelas oscilações associadas a deslocamentos pequenos, quando comparados às dimensões do sistema em estudo. As vibrações podem ser: −

Indesejáveis, normalmente resultado de imperfeições associadas ao projeto, produção ou operação do sistema dinâmico. Por exemplo: massas desbalanceadas em sistemas alternativos ou rotativos.

−

Desejáveis, por exemplo, quando auxiliam no processo mistura ou de separação de componentes, ou em instrumentos musicais e instrumentos com propósito médico.

Newman; Karniadakis (1995): Simulações Numéricas com Re = 100; L/D = 12,6 e m* = 2

Figura 4:

s a m e t s i S e d a c i m â n i D a d o t i e p s e R a s o i d í s b u S : o l u t í p a C

11


Há ainda vibrações que resultam de um processo de instabilidade . Neste caso, se existe um constante fluxo de energia do meio para o sistema dinâmico, as vibrações são ditas auto-excitadas , geralmente indesejáveis e difíceis de serem controladas. Exemplo: as vibrações induzidas pela emissão de vórtices. Sob qualquer aspecto, desejável ou indesejável, vibrações estão associadas a flutuações de carregamentos, portanto, a flutuações de tensões que se refletirão em falhas por fadiga dos elementos que compõem o sistema dinâmico. Além disso, as vibrações podem ter outros efeitos relacionados com o conforto, a performance e a saúde das pessoas sujeitas às mesmas (pessoas mareando com os grandes movimentos de embarcações no mar). Desta forma, é imperativo que o engenheiro entenda o mecanismo de vibrações dos sistemas dinâmicos com os quais trabalha. Para estudar as vibrações, o movimento de um ponto é analisado segundo as mudanças de sua posição no tempo. Para tanto, são utilizadas funções periódicas

() () = ( +),  = 1,2,3,…    = 1



, cujos valores se repetem em intervalos constantes : (1)

A menor quantidade com a qual se satisfaz a equação acima é conhecida como período de oscilação . Refere-se à “menor quantidade” porque, obviamente, qualquer múltiplo de

satisfaz a equação.

Naturalmente, desta definição decorre a freqüência de oscilação , geralmente medida em Hertz (Hz): (2)

Ainda com relação à função periódica, a meia diferença entre os valores máximos e mínimos é conhecida como amplitude de oscilação .

 = 12 (  −)

(3)


12


Como exemplo de oscilação, considere-se o mecanismo conhecido como Scotch yoke . ω ω

A

ω ωt

V x

x

Figura 5:

 =   () =  =   ()

Neste mecanismo, se o papel se mover com velocidade velocidade angular do movimento rotativo, a função

registrada, caracterizando um movimento periódico de amplitude

 = ⁄2     = 2⁄ í

, onde

éa será

, freqüência (4)

Este mecanismo permite visualizar a reciprocidade entre o movimento rotativo e o movimento periódico .


13


Figura 6:

A velocidade e a aceleração do movimento periódico horizontal podem ser escritas como:

(,)

() = () = − () () = () = −  ()

(5) (6)

(∗, ∗)

O movimento periódico da figura abaixo não é puramente harmônico no plano , mas pode ser reapresentado no sistema coordenado , no qual passa a se considerado um movimento é harmônico. Neste sistema, o movimento será expresso pela seguinte equação:

∗() = ∗ = (∗) ,  = 2

(7)


14


((),=)  =  +( −)  =  +  +   − = ( −) =  ( −) + 2  >      ==1 + Figura 7:

Enquanto no sistema

, o mesmo movimento é expresso por: (8)

Desta forma, qualquer movimento dado por uma equação do tipo: (9)

pode se representado por um movimento harmônico:

, onde se

(10)

:

(11)


15


 

Percebe-se que o movimento harmônico pode ser descrito completamente por apenas duas quantidades escalares: e , sendo graficamente representado por um diagrama de amplitudes versus freqüências.

Figura 8:

( , ),

(,)

Neste diagrama, o movimento harmônico é representado por um ponto com coordenadas enquanto a mesma representação no sistema requer um infinito número de pontos. Definem-se, portanto, as representações: −

No Domínio da Freqüência ;

No Domínio do Tempo . Através das relações apresentadas, pode-se facilmente transformar a representação harmônica de um domínio para o outro. −



Naturalmente a transformação do domínio do tempo para o domínio da freqüência impõe a perda de informação quanto ao instante inicial . Isto geralmente tem pouca importância para um grande número de aplicações em engenharia, a não ser aquelas onde as vibrações são superimpostas.





Duas oscilações harmônicas são ditas síncronas quando têm a mesma freqüência (ou velocidade angular ). Exemplo de acoplamento síncrono:


16


310,410 310,2(10 −0,5) 310     3 :  = 0, 210 , 410 … 2(10 −0,5)     2   01,05.

(12)

É importante destacar que oscilações síncronas não têm, necessariamente, valores máximos ao mesmo tempo. Para o acoplamento anterior: á

á

(13)

(14)

A defasagem 0,5 tem dimensão de ângulo e é conhecida como fase . É evidente que este conceito só pode ser aplicado no caso de oscilações síncronas. Portanto, o movimento harmônico é um caso particular do movimento periódico , este último podendo ser algo do tipo:

Figura 9:

Outra medida de vibração, comum em engenharia, é o valor RMS (root mean square), definido como:


17


  = 1 ().

(15)

No caso de funções harmônicas:

 () =  = (),    =  2 +4 2 = 2  = √ 22  ã

3.2 Representação

Vetorial

e

representação

(16)

através

de

números

complexos

Uma forma conveniente de representar as oscilações harmônicas é através de números complexos. Considerando-se parte do mecanismo Scotch-yoke (ver Aula1), especificamente o disco que roda com velocidade angular ω , e assumindo-se que parte real e imaginária de um número complexo sejam respectivamente representadas por coordenadas nos eixos das abscissas e das ordenadas

()  , o vetor

()

que une o centro do disco ao ponto de conexão com a haste

pode ser representado por:

z =  +.

(17)


18


y

ω ω

P z

A

θ

O

x

Figura 10:

Sabe-se, no entanto, que da teoria de números complexos:

onde o ângulo

| |  =    =  =  = () +  (),  =    = () = ()  

(18) (19)

.

Desta forma, os deslocamentos da oscilação harmônica no mecanismo Scotch- yoke são representados pela parte real do

número complexo : (20)

Portanto, qualquer movimento harmônico corresponde à rotação de um vetor de comprimento constante ou a um número complexo de magnitude constante A e velocidade angular constante . Percebe-se que o número complexo traz informações sobre a amplitude e a fase do movimento, sendo conhecido com fasor do movimento harmônico. A representação de movimentos harmônicos através de fasores é bastante conveniente, facilitando o tratamento dos problemas por métodos gráficos e/ou computacionais. Velocidade e aceleração do movimento harmônico também podem ser representadas por fasores no mesmo plano .

 =  = 



(21)


19


 = −  = −.

(22)

y(Im) ω z -i ω

z θ =ω =ωt

x(Re) - ω 2 z

⁄(2) ()  . ()     =  + Figura 11:

Note que as defasagens relação ao deslocamento

  

da velocidade

e

da aceleração

advêm da derivação do fasor

, com

.

Se dois movimentos harmônicos, com amplitudes , têm freqüências iguais , portanto movimentos síncronos , então a amplitude de oscilação resultante será dada por:

(23)


20


y(Im) x 1(t) + x 2 (t)

x 1(t) x 2 (t) ω

x(Re)

( )  =  +      = 

Figura 12:

Movimentos do tipo componente



também podem ser representados pela

de um vetor de rotação com comprimento

e velocidade

angular . Logicamente, este vetor deverá ter seu ponto de aplicação na posição

, como mostrado na figura abaixo. y(Im)

z θ =ω =ωt

x o

x(Re)

x = x o + Acos( ωt) Figura 13:

A adição de vetores também é aplicável quando estes representam movimentos harmônicos assíncronos . No entanto, a magnitude do vetor resultante terá diferentes valores com o passar do tempo, fruto da diferença entre as velocidades angulares de cada movimento harmônico. Um fenômeno que ilustra bastante bem este comportamento diz respeito a ocorrência simultânea de dois movimentos harmônicos de mesma amplitude e


21


freqüências (ou velocidades angulares, lembrando que diferentes.

 = 2

) ligeiramente

Desta forma, sejam considerados os movimentos assíncronos :

 = =((+)).  =  + = () +( +).   +  = 2( +)2⁄( −)2⁄.  = 2(⁄2)( +⁄2). e

(24)

A sobreposição desses movimentos leva a:

(25)

Da trigonometria, sabe-se que:

Então:

(26)

(27) s a m e t s i S e d a c i m â n i D a d o t i e p s e R a s o i d í s b u S : o l u t í p a C

22


 2cos(⁄2). ( +⁄2). ⁄    = 22 = 4.

Figura 14:

A amplitude de

varia com o tempo, assumindo valores entre

acordo com o termo

−2  2

de

Concomitantemente, o movimento geral também será harmônico, porém com uma velocidade angular de Este fenômeno é conhecido como batimento , com freqüência da por: (28)

O movimento de deriva lenta , causado pelo fenômeno de batimento , ocorre em sistemas oceânicos sujeitos à ação de ondas com freqüências muito próximas

  .

Neste caso, a “freqüência soma” é alta e, portanto, importante na excitação de elementos estruturais como tendões, amarras e risers , cujos períodos naturais são bastante baixos. Por outro lado, a “freqüência diferença”


23


é baixa, portanto de período alto, capaz de excitar a unidade flutuante em seu período natural de oscilação no plano horizontal, dando origem ao movimento de deriva lenta .


24


4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS A modelagem completa de um sistema dinâmico pode ser uma tarefa bastante complexa, se não forem priorizadas as características de maior interesse para o estudo dos aspectos indesejáveis de sua resposta. Por exemplo: a eliminação das principais componentes de vibração, em geral, é suficiente para a maioria das aplicações em engenharia. O estudo da dinâmica de sistemas é, assim, um processo sistêmico desenvolvido segundo quatro etapas principais: 1. Abstração física : consiste em selecionar, dentre as inúmeras características do sistema dinâmico, aquelas que têm fundamental relevância para o estudo em questão. É evidente que havendo exigência de uma maior precisão quanto a modelagem do sistema dinâmico, mais características podem ser incorporadas ao modelo originalmente proposto. Exemplo:

Fase inicial do projeto

plataforma ancorada

Fase subseqüente do projeto plataforma ancorada + linhas de produção

Infelizmente não existem regras para a seleção das características pertinentes. A abstração física é uma tarefa baseada na experiência do engenheiro. 2. Formulação matemática : trata-se da aplicação das leis da física, buscando a obtenção de uma ou mais equações que descrevam o comportamento do sistema. 3. Solução das equações : consiste na solução analítica ou numérica das equações matemáticas, buscando resultados que permitam análises e conclusões acerca do comportamento do sistema dinâmico. 4. Interpretação dos resultados : como o próprio nome diz, refere-se ao processo de análise dos resultados obtidos com a solução das

s o c i m â n i D s a m e t s i S e d m e g a l e d o M : o l u t í p a C

25


equações. São irecionadas para a tomada de decisão quanto ao comportamento identificado. Neste contexto, considerando-se que todo sistema dotado de massa e elasticidade é capaz de oscilar livremente, os objetivos iniciais na maioria das análises de comportame nto dinâmico de sistema são: −

a correta odelagem matemática, através da apli ação da II Lei de Newton.

e a determiinação de sua freqüência natural. No curso de Dinâmica de Sistemas I, será dada ênfase aos sistemas com apenas um grau de li erdade, ou seja, aqueles cujo movim ento pode ser descrito por apenas u a coordenada simples. Exemplos: pê ndulo simples, pistão que se move e um cilindro, eixo de manivela (vira requim), entre outros. −



No entanto, existem sistemas onde são necessárias coo denadas para especificação do movimento. Esses sistemas são, portanto, car cterizados por n graus de liberdade . Exemplo: um navio que se move livrement e na superfície do mar tem seis graus d liberdade: três de translação e três de otação.

Figura 15:

Para um sistema com ários graus de liberdade, a boa escol ha do sistema coordenado pode repres entar uma simplificação considerável da modelagem.


26


Em contrapartida, até mesmo o sistema com apenas um grau de liberdade e uma coordenada mal escolhida pode se tornar bastante complicado. Cumpre destacar, ainda, que os sistemas dinâmicos podem estar sujeitos a esforços de dissipação ou amortecimento. Para um grupo de problemas, são esforços moderados e, desta forma, desprezados no cálculo da freqüência natural, já que têm pouca influência sobre a mesma. Sistemas desta natureza são ditos conservativos e permitem a aplicação do Princípio da Conservação de Energia, que é uma forma alternativa à modelagem via II Lei de Newton (assunto da próxima aula).

4.1 Modelagem pela II Lei de Newton

Considere-se um sistema massa-mola

(,)

não amortecido cujo movimento

se restringe apenas à direção vertical. Portanto, um sistema com apenas um grau de liberdade.

g

k

k ∆

∆+x) k( ∆+

∆

m

m

x

posição de equilíbrio estático

m

mg

v

a

mg Figura 16:



Quando colocado em movimento, esse sistema o fará segundo sua freqüência natural , a qual pode ser obtida e analisada mediante a aplicação da II Lei de Newton.

Desta forma, para o movimento com apenas a translação vertical, sabe-se que:

 = ()

(29)


27


e se para esse sistema a massa é invariante no tempo:

∆  

 =  = .

(30)

De acordo com a figura, como a deformação da mola na posição de equilíbrio estático é , e a respectiva força na mola é igual à força peso agindo na massa , então:

onde



∆= 

é a aceleração da gravidade.

(31)

Assumindo-se a coordenada positiva no sentido descendente, medida a partir da posição de equilíbrio estático, todas as quantidades (forças, velocidades e acelerações) são positivas neste mesmo sentido. Desta forma:

 =  =  −(∆ +) = −.  =   + = 0,  = () +(),

(32)

A partir de uma associação com o movimento de rotação, definindo-se a freqüência circular como sendo:

e então:

(33)

(34)

que é a equação diferencial de segunda ordem característica de um movimento harmônico com solução do tipo: (35)


28


  (0), (0)  = (0) () +(0) ().  =  =   

onde as amplitudes do problema

e

são constantes dependentes das condições iniciais

, ou seja:

Neste caso, a quantidade

(36)

é a freqüência natural do sistema

dinâmico em estudo, medida em Hertz.

 ℎ

Exercício (resolvido):

Considere um cilindro sólido, de raio e altura , parcialmente submerso em água e com seu eixo axial perpendicular à superfície livre. Determine a freqüência natural de oscilação na direção vertical, assumindo que o cilindro mantém a direção de seu eixo axial. As densidades do cilindro e da água são, respectivamente, Solução: Assumindo que



  e

.

  ℎ   ℎ  +    = 0  + ℎ  = 0. (,)  =  ℎ ⟹  = 21  ℎ .

seja o deslocamento vertical a partir da posição de equilíbrio

estático, o peso de água deslocada é

, o que é equivalente à força de

restauração hidrostática (princípio de Archimedes). Como a massa do cilindro é , ou seja:

, então de acordo com a II Lei de Newton: (37)

(38)

Portanto, da analogia direta desta equação com aquela deduzida para o sistema massa-mola , é possível deduzir que: (39)


29


Observação: Na prática, sabe-se que parte do fluido próxima ao cilindro se acelera a partir da oscilação do mesmo, fazendo com que a freqüência natural seja menor que a calculada. Esta parcela fluida é conhecida como massa adicional e depende da geometria e do próprio movimento (direção, amplitude e freqüência). Também pode se apresentada na forma de um adimensional conhecido como coeficiente de

  ( +) +  = 0. ( ) ( )               

massa adicional (

ou

).

Considerando-se este aspecto:

(40)

A título de exemplo, a figura mostrada a seguir traz o valor da massa adicional para algumas geometrias de corpos bidimensionais em três situações usuais de movimento: duas translações e uma rotação . Assim, a massa adicional aceleração na direção e advindo de uma rotação

corresponde à aceleração na direção ; à representa o momento de inércia adicional

contida no plano formado por

Figura 17:

e

.


30


Exercício (resolvido): Movimento de rotação a

b CG

O

P1

θ

P2

k

k c Figura 18





 1 2.

A figura mostra uma barra uniforme de massa , que gira em torno de , com molas de compressão de rigidez presas em cada uma de suas extremidades. A barra é mantida na posição horizontal graças às pré-tensões e Determine a equação do movimento e a freqüência natural de oscilação. Solução: De acordo com a II Lei de Newton, o equacionamento para o movimento rotacional é dado por:

 =       =( −) + −( +) = .   + − = 0.   (  +       =(− − ) =   ⟹   +  )  = 0.

(41) Sob rotação , a pré-tensão esquerda é diminuída e a direita aumentada, resultando em: (42)

No entanto, do equilíbrio estático sabe-se que:

(43)

Desta forma:

E, portanto:

(44)


31


Observação:

    ( ) (   + 1   +  =   ⟹  = 2   ) .  

O momento de inércia

(45)

é igual ao momento de inércia da barra em relação ao

seu centro de gravidade, mais a parcela de transferência até o ponto . 4.2 Modelagem pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais ou Princípio de D’Alembert

Outro método escalar utilizado para a modelagem de sistemas dinâmicos é baseado no princípio do trabalho virtual, inicialmente formulado por Johann J. Bernoulli, em 1792. Trata-se de um método muito indicado para a modelagem de sistemas de corpos interconectados, o que será discutido com maior profundidade em ocasião oportuna. Por hora esta aula se preocupará em introduzir seus conceitos básicos, permitindo que o aluno se familiarize com sua aplicação. O princípio do trabalho virtual está associado ao equilíbrio do(s) corpo(s), podendo ser enunciado da seguinte forma: “Se a um sistema em equilíbrio sujeito a ação de um conjunto de forças é dado um deslocamento virtual, a soma dos trabalhos virtuais realizados pelas mesmas será nulo” .

Neste enunciado os termos destacados são definidos da seguinte forma:

 

é uma variação imaginária e infinitesimal da coordenada, aplicada de maneira instantânea. É importante que esse deslocamento seja compatível com as restrições aos graus de liberdade do sistema.

− Deslocamento virtual

são aqueles realizados pelas forças ativas mediante a aplicação do deslocamento virtual imposto. Já que o deslocamento virtual não implica em mudança significativa na geometria

− Trabalhos Virtuais


32


do problema, as forças agindo sobre o sistema também são consideradas inalteradas para o cálculo dos trabalhos. Tal como proposto por Bernoulli, o princípio do trabalho virtual é um método baseado na estática do problema. Sua extensão para a condição dinâmica foi viabilizada por D’Alembert, em 1743, com a inclusão do conceito de força de inércia. Desta forma, as forças de inércia são consideradas como forças ativas em problemas dinâmicos.






Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, determinar a equação que rege o movimento da barra rígida, de massa e comprimento , carregada como mostrado na figura abaixo.

p 0 f(t)

O k

L/2

L/2

Figura 19:

Solução: A barra rígida é desenhada na posição deslocada de um ângulo indicadas as forças ativas, incluindo a de inércia. 2 .. (ML /3) θ

p 0 f(t)dx

θ

kLθ /2 x

Figura 20:

δθ



e sobre ela


33


   é = − 3  , çã = − 2 2,      =  ( ()) =  () 2 . ∑ = 0     3   +  4  =  2 ().

É aplicado um ângulo virtual virtuais abaixo:

, a partir do qual são calculados os trabalhos

Força de inércia:,

(46)

Força de restauração:

(47)

Carregamento distribuído:.

(48)

Fazendo o somatório desses trabalhos virtuais, e sabendo que ele deve ser nulo, , então: (49)

4.3 Modelagem pela Conservação de Energia

Considere a dinâmica de um sistema massa-mola, regida pela seguinte equação diferencial:

 + = 0  + = 0

(50)

Efetuando uma multiplicação de todas as componentes pela velocidade necessariamente não nula, a seguinte igualdade é mantida:

Esta equação pode ser reescrita na forma de derivadas:



(51)

,


34


 2+  2 = 0        2   +    = () − () + () − () = 0  2 2 2 2 2 ⟹ ()+()= ()+()= ,     () ()

Integrando esta equação entre dois instantes conhecidos,

onde a energia total cinética

(52)

e tem-se que:

(53)

pode ser dividida em uma parcela de energia

e uma parcela de energia potencial

.

Portanto, em sistemas deste tipo, ditos conservativos , onde se percebe a ausência de componentes de dissipação, a energia total é conservada permitindo que a equação do movimento seja obtida pela direta aplicação do princípio da conservação de energia.


 ( +)= 0

(54)

Determine a freqüência natural do sistema mostrado na figura abaixo: k

θ

r 1

r 2

J

m

Figura 21:


35


Solução:



Assumindo que o sistema vibra harmonicamente segundo o ângulo no entorno de sua posição de equilíbrio estático, a energia cinética máxima será:

 = 12   + 12  .  = 12 ().  ( +) = 0 ⟹  12(  +) +  12 = 0

(55)

Por outro lado, a energia potencial máxima será:

(56)

Sabendo que:

Então :

    =   + , á     ã    


(57)

(58)



Um cilindro circular de massa e raio é ligado a uma mola de rigidez , como mostra a figura. Determinar a freqüência natural do sistema, quando o cilindro rola livremente sobre a superfície horizontal, sem escorregar.


36


x θ

k

r m

J o

Figura 22:

Solução pela Conservação de Energia: A energia total do sistema consiste em energia cinética (de rotação e de translação) e em energia potencial, devendo se conservar com o passar do tempo. Desta forma:

çã = 12, çã = 12  ,

(59)

(60)

    =  =   ⟹   =   ,   =  .  12 + 1212 + 12 = 0 ⟹ 32 =  = 0  32  + = 0, onde

é o momento de inércia do cilindro e

Então, para qualquer instante de tempo:

(61)

Como não é sempre nula, então:

(62)

portanto:


37


 =  32  .

(63)

Solução pela II Lei de Newton: Para a translação na direção horizontal: x

kx

F at

Figura 23:

Onde

()  =  = − +,  ( )  =   ⟹  = 12  ⟹  = −12 .  = − − 12 ⟹ 32 =  = 0.  =  32.

(64)

(i) é a força de atrito.

Em termos de rotação:

(65)

Substituindo (ii) em (i):

(66)

E, portanto:

(67)


38


5. INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE LINEAR 5.1 Classificação dos ontos de equilíbrio

Um oscilador harmônic sub-amortecido exibe o seguinte diagrama (espaço) de fases.

Figura 24:

,,   

Segundo esse diagrama, partindo-se de diferentes con ições iniciais , o sistem é conduzido para um único ponto de equilíbrio possível, no caso a orig m

( = 0, =  = 0)

Desta forma, o oscilador harmônico sub-amortecido é um siste a dissipativo e o ponto de convergência no diagrama de fases é dito um atrator . Atratores só são possíve is em sistemas dissipativos.

Uma das formas de se referenciar a estabilidade de um sistem a dinâmico diz respeito à determinação de possíveis soluções estacionárias ou ontos fixos . Portanto, o ponto P* é e tacionário ou fixo se:

Diz-se que P* é:

∗ = , =  = 0,0   , (), () = () 0,0

(68)

− Assintoticamente estável se para:

(69)

r a e n i l e d a d i l i b a t s e à o ã ç u d o r t n I : o l u t í p a C

39


  ∞ ∞ ∗   =  . () =  ∗ = , =  = 0,0 =0 >0

− Estável (estabilidade neutra)

se a resposta do sistema a uma pequena

perturbação permanece pequena quando − Instável se para

.

, a solução cresce, se afastando de

.

Por exemplo, o sistema dinâmico definido por:

tem solução equilíbrio.

∗

e o ponto

(70)

é um ponto de

será assintoticamente estável se, estável se

e instável se

.

5.1.1 Sistema geral com um grau de liberdade

Agora, seja dado um sistema dinâmico, linear, definido pelas seguintes equações de primeira ordem:

 ==  ++ == ((,, )),. ∗, ∗ 0,0  =+., (−+ () −+) == 0,0.  ,  ≠ 0,0

Este sistema terá ponto de equilíbrio

em

(71)

.

Assumindo a solução geral do tipo:

(72)

O sistema inicial de equações fica sendo dado por:

Para que este sistema tenha solução não trivial, da matriz dos coeficientes deverá ser nulo, ou seja:

(73)

, o determinante


40


( − ) ( − ) = 0. () = (()) = (()) () =   (()) = (())          =   =   () =  (). () =   =  = , (  −)() = 0  ()  ( −) = 0 ( −)( −) − = 0

(74)

Para facilidade de notação, definem-se:

e a matriz Jacobiana :

Então:

Novamente, admitindo-se



Onde é a matriz identidade , sendo e autovetores da matriz Jacobiana .

, onde

e

(75)

(76)

(77)

(78) chega-se a: (79)

, respectivamente, os autovalores

Desta forma, para se encontrar os autovalores deve-se garantir que: (80)

Voltando aos coeficientes do sistema original, tem-se:

(81)


41


∗ = ∗,  ∗= ∗ =0,0  = () +(), () = ()() () Re(λ)  ( ) () > 0,()  ∞  ∗∞ () < 0,()  ∗   ∞ ( )   = 0 ∗   ∞ ∗        ∗  ≠   ∗ >∗ 0 λ<>00 <>00, ∗∗       ≠ 

Portanto, esta é a equação característica do sistema dinâmico em estudo, que apresenta duas raízes e , cujos valores determinarão a estabilidade do ponto de equilíbrio

.

Supondo:

então a solução geral do sistema será do tipo:

(82)

Como

é uma função limitada, a estabilidade de

essencialmente por

será ditada

.

Desta forma: −

Se

, quando

, ou seja, a solução cresce como

o passar do tempo, caracterizando

como instável .

−

Por outro lado, se quando um ponto de equilíbrio assintoticamente estável .

−

Ainda, se

, o que configura

, as soluções não se afastam, nem se aproximam,

de

quando , permanecendo na sua vizinhança. Neste caso, estável (mas não assintoticamente estável) e chamado de centro.

é

Classificação dos pontos de equilíbrio de um sistema com dois autovalores

De uma maneira mais geral, para um sistema com dois autovalores, classificação dos pontos de equilíbrio é a seguinte:

(1)

e

são reais, distintos,

Neste caso,

e

(2)

−

Se

e

−

Se

e

são reais,

é instável.

é estável.

,a

e

têm mesmo sinal e o ponto

ponto nodal .

e

é denominado um nó ou


42


∗       ∗  ≠   ∗  < 0    , =  ±,  ≠ 0 () ≠  ≠0  < 0  > 0 =0

Aqui o ponto impróprio .

(3)

também é classificado como um nó, porém chamado de nó

são reais, distintos,

e

Quando

têm sinais distintos, o ponto é denominado de ponto de sela hiperbólico . Esse ponto é sempre instável .

(4)

são complexos conjugados,

Neste caso:

, portanto:

−

Se , as trajetórias são espirais convergentes ao ponto de equilíbrio P* , chamado de foco (estável se e instável se .

−

Se

, as trajetórias são elípticas e o ponto fixo P* é chamado de

centro . Este ponto de equilíbrio é estável, porém não assintoticamente

estável. 5.1.2 Exemplo de análise: o pêndulo simples



Considere-se o pêndulo formado por um corpo de massa



e uma haste rígida

de comprimento com massa desprezível, livre para oscilar no plano vertical. A

  +    = 0

equação desse movimento é dada por:

(83)

A partir desta equação, não é possível a obtenção de soluções com base em funções elementares. No entanto, pode-se compreender qualitativamente as principais características da solução utilizando um diagrama de fases . Para tanto, reescrevendo a equação da seguinte forma:

  ==−= (, =) ℎ(, )

(84)


43


Para este sistema:

 = (ℎ(,, )) = −  ⟹ −     =  ,  − 2  = ,  =  . 

(85)

que integrada, leva à eq ação:

Onde

(86)

Esta equação descreve as diferentes trajetórias para cada valor de , ou seja, para cada condição inici l do sistema.

Figura 25:



A figura acima ilustra odas as trajetórias segundo as possí eis condições iniciais. As flechas indicam o sentido de evolução no tempo (quando é



positiva, o ângulo é cr scente).


44


,  =  = 0,0

O ponto A é a solução trivial O θ=0

L

, ou seja, o

pêndulo parado como na figura abaixo. Este ponto é dito um ponto de equilíbrio estável.

m A B

m

θ=π

L

O

 =  −  =0

Os pontos B correspondem a situações onde ou e e, como mostrado na figura abaixo. Obviamente estes pontos são ditos de equilíbrio instável.

Figura 26:



A família de trajetórias fechadas ao redor do ponto A representa os possíveis movimentos periódicos e os pontos onde estas trajetórias cortam o eixo representam as amplitudes de oscilação.



As trajetórias onduladas, acima e abaixo, representam movimentos nos quais o pêndulo gira ao redor do centro . Portanto, identificam-se dois tipos de movimentos: −

Periódico e limitado;

−

Ilimitado.


45


6. LINEARIZAÇÃO E ESTABILIDADE NÃO LINEAR Seja o sistema de equações não lineares de primeira ordem:

 == ((,, )) ∗ = ∗, ∗ ∗  == ((,,)=) = ((∗∗,,∗∗)) ++  ((∗∗,,∗∗))((−−∗∗)) ++ ((∗∗,,∗∗))((−−∗∗))++......    ==  −−∗∗ ⟹   ==  (∗,∗) = (∗,∗) = 0 ,   =  ∗  + ∗ =+  =  ∗  +  ∗ =+  ∗  =   ()  ()∗ Para este sistema,

(87)

é um ponto de equilíbrio (ou ponto fixo).

Sua expansão em série de Taylor em torno de

é dada por:

(88)

Definindo-se:

(89)

E, portanto:, obtendo-se o seguinte sistema linear (termos de ordem superior – t.o.s. são desprezados):

Neste caso, a matriz Jacobiana , calculada no ponto fixo aspecto:

Desta forma, as funções

a dinâmica em torno do ponto fixo

(90)

, tem o seguinte

(91)

são aproximações de primeira ordem para , descrevendo o comportamento local da

solução. O caráter local deve ser enfatizado, já que as soluções encontradas são aproximações válidas para pequenas variações em torno do(s) ponto(s) de equilíbrio.

r a e n i l o ã n e d a d i l i b a t s e e o ã ç a z i r a e n i L : o l u t í p a C

46


Exemplo de aplicação:

Suponha o sistema:

 == 24−2−+ =((, ),)

(92)

Localize o(s) ponto(s) de equilíbrio e determine a estabilidade linear, fazendo o(s) diagrama(s) de fases em torno do(s) mesmo(s). Solução: (I) Pontos de equilíbrio:

2,1   = −2,1

 == 00 ⟹ 24−2−= =0 0

Portanto, o sistema tem dois pontos de equilíbrio (pontos fixos):

  = ,   ==  −2−1 ⟹  ==  +2+1       ==  ((22,,11)) ++ ((22,,11))     == −20+2||((,,))+8|(,) ⟹   ==−4+2 +8

(93)

 =

(II) Linearização em torno de

Usando

(94)

e , e desprezando t.o.s.:

(95)

Ou seja:

Para esse sistema linearizado:

(96)


47


 = −4−04 28 −4−04 28 − 0 0 = 0 ⟹(⟹ ( +4+ 4)( −2− 2) = 0  == −42 ⟹ ∗    −−4−))= +08 = 0,0, − 4−0 2 −8   = 00 ⟹ ((2−4− ( −  ) = 00 ⟹ −4−  = 1   = −4 8 = 0 6 = 0 ⟹  = 0 ⟹ () = 10  = 2 −6−6 + 8 = 0  0 = 0 ⟹  = 34 ⟹ () = 314

(97)

Portanto, sua equação característica será dada por:

(98)

Com os seguintes autovalores:

é um ponto de sela1, logo

instável. Pode-se, ainda, encontrar suas direções estável e instável, determinando os autovetores de : (99)

Sabendo que:

E, assumindo para

(100)

:

:

(101)

para

:

(102)

Portanto:

1

Lembrar que todo ponto de sela é instável, caracterizado por duas direções de estabilidade: uma estável (associada ao autovalor negativo) e outra instável (associada ao autovalor positivo).


48


Em termos gráficos:

 ⟹ 00 86 10 = 00   ⟹ −6−06 08 314 = 00 v

(103)

(104)

Autovetor instável

qv

3/4

φ2 Autovetor estável

qx

1

x

tg φ 2 = 3/4 v

1

P*

2

Figura 27:

x


49


 = −,−,   = 4=2+8  ⟹  = 40 82 4−4 0− 2−8  = 0 ⟹  == 42 ∗ ((24−− )) =+ 80 = 0  = 1   = 4 1 ( )  = 0 ⟹   =     0  = 2  = − 14 ⟹ () = − 14

(III) Linearização em torno de

Analogamente:

(105)

Desta forma:

Portanto,

(106)

é um nó instável (dois autovalores reais positivos).

Os respectivos autovetores são dados por:

Novamente assumindo para

para

(107)

:

:

(108)

:

(109)

Neste caso, ambas as direções são instáveis, ou seja, as trajetórias deixam tangenciando as direções de instabilidade. Em termos gráficos:

∗

,


50


v

tg φ 2 = −1/4

Autovetores instáveis

qx 1

φ2

−1/4

x

qv

v

P*

1

−2

x

Figura 28:


51


7. VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 7.1 Amortecedor linear

O amortecedor linear é um aparato que em sistemas dinâmicos responde com uma força proporcional à velocidade relativa associada à interação entre dois corpos, definida segundo a seguinte relação:

 =  



(110)

Onde: é conhecido como constante de amortecimento linear . Em geral, na grande parte dos sistemas dinâmicos, uma perturbação inicial não se perpetua, sendo atenuada por elementos dissipativos como o amortecedor viscoso. Um sistema dinâmico típico, com apenas um grau de liberdade, é mostrado na figura abaixo.

k

c

m

.

kx

cx

m

..

mx

 =  ( )

Figura 29:

Se o movimento é medido a partir da posição de equilíbrio, a aplicação da II Lei de Newton leva a seguinte equação:

 + + = 0

Utilizando as definições de: − Freqüência natural

(111)

s a d i c e t r o m a s e õ ç a r b i V : o l u t í p a C

52


 =    = 2,

Bem como:

(112)

− Fração do amortecimento crítico ou coeficiente de amortecimento

Onde:

2 = 

(113)

é o amortecimento crítico , pode-se reescrever a equação do

x +2ζωx +ω = 0 (0) =   (0) = 

movimento da seguinte forma:

(114)

Esta equação é completamente definida com a definição das condições iniciais do movimento, ou seja:



(115)

Para se resolver esta equação, assume-se uma solução do tipo onde é o parâmetro a ser determinado.

() = 

,

Substituindo esta solução na equação diferencial do movimento, a seguinte equação característica é obtida:

 +2 + = 0   , = − ±  −1  −4  −4  −1 = 4 .

Cujas raízes são dadas por valores

e

(116) , conhecidos como valores

característicos ou autovalores da equação característica:

(117)

É facilmente verificado que esses autovalores podem ser reais ou complexos, dependendo do termo

, lembrando-se que: (118)


53


Desta forma, segundo esses autovalores , as soluções da equação do movimento serão do tipo:

Onde:

() =  +,  = − +  −1   = − −  −1   (0) =  + =  (0) =   +  = 

(119)

(120)

Onde: e são constantes arbitrárias, definidas pelas condições iniciais do problema, ou seja: (121) (122)

E, portanto, a solução da equação do movimento fica definida de forma única. Desta forma, podem ser identificados 4 tipos possíveis de movimento:

=0

(1) Movimento não amortecido

Quando

e, então:

 + = 0 () =  () + () 0 <  <(4) = < 1 ( ) + ( )         =  1 −

(123)

Cuja solução é:

(124)

(2) Movimento sub-amortecido

Quando

Onde se define

ou

e, então:

(125)

como a frequência natural amortecida : (126)


54


 = 4  = 1  =  = −  () =   +.

(3) Movimento criticamente amortecido

Quando

ou

, e, então:

(127)

Neste caso, também é uma solução do problema e, portanto, a solução geral fica sendo dada por: (128)

Este movimento não é periódico (não há oscilação).

 > 4  > 1   () =  +  =  ( ) 

(4) Movimento super-amortecido

Quando

ou

, de tal forma que

e

são raízes reais e a

solução geral do problema fica sendo dada por:

(129)

De acordo com a qual, também não há oscilação.

Graficamente, o comportamento do deslocamento

é apresentado na

figura a seguir, parametrizado segundo os valores do coeficiente de amortecimento .


55


Figura 30:

7.2 Lugar geométrico das raízes

Analisando a solução da equação característica do sistema massa-molaamortecedor linear:

, = − ±1 −  + = 1       =0 ±  (130)

Percebe-se que , onde parte imaginária dos autovalores .

e

são, respectivamente, a parte real e

Desta forma, mantida a frequência natural não amortecida constante,

, as

raízes complexas dessa equação característica encontram-se sobre uma semicircunferência de raio . Quando as raízes são complexas conjugadas . À medida que cresce, as raízes se afastam do eixo imaginário, caminhando sobre a


56


−. 

semicircunferência de, até que para Quando

=1

se tenha apenas uma única raiz real

ultrapassa o valor unitário, as duas raízes passam a ser reais, se

separando cada vez mais.

Figura 31:

7.3 Diagrama de fase

Outra forma de analisar a influência do coeficiente de amortecimento sobre o comportamento do sistema dinâmico é desenvolvida com base nos respectivos diagramas de fase .

 = ()

 =  ( )

Basicamente, o diagrama de fase consiste na apresentação da velocidade como função do deslocamento . Este tipo de análise é particularmente importante para os estudos de estabilidade, pois permite o mapeamento e possível classificação dos pontos de equilíbrio do sistema. A figura anterior apresenta os diagramas de fase para os quatro tipos de movimento possíveis para o sistema massa-mola-amortecedor linear.


57


Figura 32:

Segundo a figura: −

−

−

=0 <1 =1 >

implica em órbitas elípticas (o ponto de equilíbrio centro);

0,0

é um

implica em uma rota espiralada se aproximando da origem (o ponto de equilíbrio é um foco assintoticamente estável);

0,0

implica em rotas diretas para a origem, características de

movimentos não oscilatórios (o ponto de equilíbrio node” , assintoticamente estável) e −

0,0

é um “inflected

0,0

1 também implica em rotas diretas para a origem, características de movimentos não oscilatórios (neste caso, o ponto de equilíbrio é um nó, assintoticamente estável).


58


8. EXCITAÇÃO HARMÔNICA AMORTECIDOS

DE

SISTEMAS

NÃO

Considere-se o sistema não amortecido mostrado abaixo, submetido à ação de uma excitação harmônica do tipo:

() =  ()

(131)

k

m

x F(t)

Figura 33:

Desta forma, aplicando-se a II Lei de Newton, a dinâmica deste sistema é descrita pela seguinte equação:

 + =  ().  +  =  (),

(132)

Esta equação pode ser reescrita dividindo-se todos os termos pela massa então:

Onde:

 =  

é a freqüência natural não amortecido e



e,

(133)

 = .

Sabe-se que esta equação diferencial linear não homogênea tem solução geral do tipo: Onde:

() = () +(),

(134)

s o d i c e t r o m a o ã n s a m e t s i S e d a c i n ô m r a h o ã ç a t i c x e : o l u t í p a C

59


X (t) = X sin(ωt) +Xcos(ωt)  + = 0; () =  cos(ωt) ()  ≠  () −  () +  () =  ()  =  −  () =  −  () () =  () + ( ) +  −  ().  ( )     0 ,   ( 0 ) =  ,        () =  () + −  −() +  −  ().

é a solução da equação

•

homogênea, ou seja, a solução de

•

é uma solução particular, que assume o mesma característica da força de excitação , quando .

Substituindo a solução particular

na equação diferencial linear não

homogênea, tem-se:

(135)

De acordo com esta equação:

(136)

E, desta forma:

(137)

Portanto, a solução geral do problema fica sendo dada por:

(138)

Se o sistema apresentar condições iniciais amplitudes

, então as

podem ser determinadas, resultando em:

(139)

Neste ponto, dois casos particulares merecem uma análise mais profunda.


60


(0),(0) = 0,0 () =  −  () −() () = 2−  2− 2+     .  = 1,5⁄  = 2⁄  = 1,9⁄

8.1 O Batimento

Se as condições iniciais do problema são nulas

, a solução

geral se torna bastante simples:

(140)

Ou seja:

Desta forma, quando batimento .

se aproxima do valor de

(141)

, verifica-se o fenômeno de

Percebe um movimento ditado pela alta freqüência

e uma

modulação da amplitude, dada pelo termo Exemplo: Para

,

e

resposta do sistema dinâmico.

Figura 34:

, a figura abaixo mostra a s o d i c e t r o m a o ã n s a m e t s i S e d a c i n ô m r a h o ã ç a t i c x e : o l u t í p a C

61


8.2 A Ressonância

 =   () =  cos() () =  ()  ( )    0 ,   ( 0 ) =  ,    ()  =   () =  () + () + 2 () (0),(0) = 0,0  = 1,5⁄  =  = 2⁄

Suponha, agora, que a freqüência da excitação harmônica seja exatamente igual à frequência natural do sistema, ou seja, Neste caso, a solução particular

.

não representa mais a

dinâmica do sistema, necessitando-se a proposição de uma nova solução particular do tipo: (142)

A qual, segundo aplicação de um procedimento análogo ao anteriormente apresentado, e sob as mesmas condições iniciais , leva à seguinte solução

para o caso de

:

(143)

Exemplo:

A figura abaixo mostra o comportamento dinâmico do sistema, partindo de , com e .

Figura 35:


62


Note o caráter ilimitado da resposta na condição de ressonância, situação profundamente indesejável na maioria dos sistemas dinâmicos.

.

Graficamente pode-se apresentar a amplificação das oscilações função da relação entre as freqüências

Figura 36:

De acordo com a figura percebe-se que na situação em que

 = .    ∞ 

 

 

 = 0

como

a força

excitante é estática e a resposta do sistema é o deslocamento estático dado por Então, para muito menor que a restauração do sistema é o fator dominante e o comportamento é praticamente estático. Para

, a resposta aproxima-se de zero. Então, para altas

freqüências de excitação, muito maior que , a inércia é o fator dominante, e o sistema passa a não perceber as oscilações forçadas.


63


9. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOS Excitações harmônicas são frequentemente encontradas em sistemas mecânicos. Embora sua ocorrência seja menos comum que as não periódicas ou aproximadamente periódicas, o entendimento do comportamento de sistemas excitados harmonicamente é de importância vital para a compreensão de sistemas excitados de maneira mais complexa. Neste contexto, considere-se inicialmente o sistema massa-mola-amortecedor, excitado harmonicamente e com apenas um grau de liberdade, conforme ilustrado na figura abaixo:

k

c

m F(t)

Figura 37:

Para esse sistema, a equação diferencial que rege a dinâmica é dada por:

 + + = () =  ()

(144)

 ≠   () = ( −) 

(145)

Sabe-se que a solução geral desta equação é dada pela composição de sua solução homogênea (responsável pela resposta transiente) com uma solução particular (responsável pela resposta permanente) semelhante à excitação harmônica para todas as situações de



Onde: é a amplitude da oscilação e à força de excitação.

, ou seja:

é a fase do deslocamento com relação

Quanto à esta solução as seguintes observações se fazem necessárias:

s o d i c e t r o m a s a m e t s i S e d a c i n ô m r a h o ã ç a t i c x e : o l u t í p a C

64


−

Após algum tempo, praticamente só a resposta permanente se mantém;

−

O efeito das condições iniciais (grande parte garantido pela solução homogênea) vai diminuindo com o passar do tempo;

−

Quando , portanto um sistema não amortecido, ambas as soluções (homogênea e particular) coexistem todo o tempo.

=0 ()

Voltando ao sistema proposto, amplitude e fase são encontradas substituindo a solução particular movimento.

na equação diferencial que rege a dinâmica do

É importante destacar de aulas passadas que, em movimentos harmônicos, as fases da velocidade e aceleração encontram-se adiantas com relação ao deslocamento, respectivamente de 90 o e 180o. Em termos vetoriais é possível apresentar a equação diferencial do movimento da seguinte forma: m ω2 X F 0

c ωX φ

X

kX

   =  ( −) +()  =   −  Figura 38:

E, portanto, chegar-se às seguintes relações para

e : (146)

(147)

Que podem ser reescritas utilizando as seguintes informações já conhecidas:


65


• • •

 ==  2  =   =   = 2       =    1   1−   +2 

é a freqüência natural do sistema não amortecido;

é o amortecimento crítico;

é o coeficiente de amortecimento.

De tal forma que:

e as equações da amplitude e fase

podem ser colocadas nas formas adimensionais que se seguem:

Onde



(148)

é conhecido como fator de amplificação ou fator de magnificação . 5

ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ

4.5 4 3.5 3

= 0.00 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.45 = 0.50 = 1.00

0

F / k X

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

E



0.5

1

1.5 ω / ωn

2

2.5

3

Figura 39:

é a fase entre a força de excitação e o deslocamento, dada por:

 2       =  1 − ,

(149)


66






Estas equações indicam que a amplitude e a fase são funções somente da relação entre frequências

e do coeficiente de amortecimento . As curvas

mostram que o coeficiente de amortecimento tem grande influência sobre a amplitude e a fase do movimento próximo à ressonância . De acordo com a relação entre freqüências podem ser identificadas três condições principais: •

Quando,

 ≪ 1  = 1,

as forças de inércia e de amortecimento são

pequenas, o que resulta em um ângulo de fase pequeno. A magnitude da força excitante é praticamente igual à força de restauração e, portanto, o deslocamento tende ao deslocamento quase-estático; •

Quando,

o ângulo de fase será igual a 90 o. A força de inércia,

agora grande, é balanceada pela força de restauração, considerando-se que a força excitante supere a força de amortecimento. Em particular, a amplitude na ressonância será dada por: •

Quando

 ≫ 1,

 = 

;

o ângulo de fase se aproxima de 180 o e a força de

excitação é quase totalmente despendida na superação da grande força de inércia. 180


160 140 120 100

= 0.00 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.45 = 0.50 = 1.00

φ

80 60 40 20 0 0

0.5

1

1.5 ω / ωn

Figura 40:

2

2.5

3


67


Finalizando, a resposta dinâmica geral do sistema massa-mola-amortecedor pode ser expressa da seguinte forma:

() =   () + 1 − +,     2       =  1 −  . () =  (), () =  (), () = () + () =  () = () =   =  (− + +)  =  Onde:

(150)

são determinados pelas condições iniciais do problema e (151)

9.1 Resposta no Domínio dos Números Complexos

Considerando-se a representação vetorial no domínio dos números complexos, se a magnitude das forças que compõe a equação diferencial da dinâmica do sistema referem-se à parte imaginária dessas forças. Por outro lado, se então a magnitude as forças estariam relacionadas com a parte real. Levando-se isso em consideração, pode-se representar a força de excitação harmônica de uma forma mais geral, qual seja: (152)

Desta forma, a solução particular pode ser escrita como:

Onde:

(153)

.

Substituindo esta solução na equação diferencial do movimento: Ou seja:

(154)


68


       = ( −) +() = 1 −  +2    () =  = 1 − 1+2   () .    1 −  2     ()= 1−   +2   − 1 −   +2  

(155)

Introduzindo-se, então, a definição de resposta no domínio dos números complexos : (156)

Novamente, percebe-se uma dependência apenas da relação entre freqüências

e do coeficiente de amortecimento

Parte real e parte imaginária de podem ser identificadas multiplicando-se e dividindo-se sua equação pelo complexo conjugado, o que resulta:









(157)

Esta equação mostra que na ressonância a parte real se anula e a resposta do sistema é dada pela sua parte imaginária. Desta forma:

á = ( = ) = 21  2     () = 1 − 

(158)

Além disso, é facilmente identificada a fase do movimento: (159)


69




9.2 Relação entre e a largura de banda da função de transferência,

()

H max ( ω ω ) ½ (0,5) H max ( ω ω )

∆

( ω ω ω1 /ω // ω ω n )

( ω/ ω/ω ω/ ω ωn )

( ω ω ω2 /ω // ω ω n )

∆    á = 12  =     () Δ  ( )  1 1   = 2 á ≅ 0,707 2 () =  =  1−  1 +2     Figura 41:

Define-se como largura de banda de um espectro de resposta a diferença entre as duas relações de freqüências, do fator de amplificação máximo,

definidas à 0,707

.

Assumindo-se que o termo de dissipação seja linear, de transferência do sistema dinâmico ,

, e que a função

, seja de banda estreita , existe

uma relação direta entre a largura de banda

e o coeficiente de

amortecimento .

De fato, substituindo amplificação:

na equação do fator de

E elevando ao quadrado cada um dos seus termos, chega-se a:

(160)


70


1221 = 1−  1+2    

Trabalhando-se algebricamente em função da relação pode ser posta na forma:

 −2(1−2)  + (1−8) = 0   =(1−2)±21 −

Cuja solução para

(161)

,

esta equação

(162)

é:

(163)



Assumindo-se que, em geral, o coeficiente de amortecimento é muito menor que o valor unitário e, além disso, desprezando-se termos de segunda ordem, chega-se ao seguinte resultado:

 = 1±2.  = 1 −2  = 1+2    −  4 =  ==(2 +)−(−=) ≅22(−) =    = − ≅ 2

Considerando-se, ainda, que

e

(164) sejam as

raízes dessa equação:

(165)

E, portanto:

(166)

Este é um método de determinação do coeficiente de amortecimento viscoso a partir da amplificação máxima de um sistema dinâmico com espectro de resposta de banda estreita.


71


Outro método consiste no seguinte. Sabe-se que a solução geral do sistema sub-amortecido é do tipo:

() =  ( +) sin( +)= 1 (()) = () ⟹  (()) = () =   = 2 = 12−  () 2  () = 1 − ≅ 2  (()) = 12−  ≅ 2.

(167)

Esta resposta será máxima sempre que o termo . Desta forma, supondo duas amplitudes máximas sucessivas, é possível estabelecer a seguinte relação: (168)

Onde:

(169)

E, finalmente, já que é muito menor que o valor unitário:

(170)

De uma maneira geral, no caso de mais ciclos a serem considerados: (171)


72


(  = 1,  = 68 e  = 4)  (  )  + +, ( = 0) = 0; ( )   =  ( = 1) = 5 ( = 2) =16. = 0  =  = 1 Exercício resolvido:

Para o sistema massa-mola-amortecedor, ilustrado na figura abaixo , pede-se determinar a solução geral

•

A força de excitação tem a forma

, sabendo-se que: com:

e

•

As condições iniciais são

.

e

k

c

m F(t)

x(t)

Figura 42:

Solução: Determinando os parâmetros da força de excitação parabólica:

( )  0 = 0+0 + = 0 ⟹  = 0 ((2)1=) =4+2+ ==516 ⟹ −2 = −4 ⟹  = 2 ⟹  = 3 () = 3 +2.  +4 +68 = 3 +2

(172)

Portanto:

(173)

Tem-se portanto a seguinte equação diferencial para a dinâmica do sistema proposto:

Determinando a sua solução homogênea:

(174)


73


 +4 +68 = 0 ⟹  +4 +68 = 0  = −4 ±√ 126−272 = −2±8 () =   (8) +(8) () =  + + () = 2 + () = 2 2 +8 +4 +68 +68 +68 = 3 +2  = 1=⟹0 ⟹78 +72+2+34+68==0;5;  = 2 ⟹ 290 +140 +68 = 16. ,  , e  x (  ) () = () +() =   (8) +(8) + +

, com equação característica cujos

autovalores são:

(175)

E, portanto:

(176)

Determinando sua solução particular, considerando-se que tenha a forma: (177)

Nesta forma:

(178)

(179)

Substituindo na equação dinâmica do sistema:

(180)

Esta equação deve satisfazer as seguintes equações:

Resolvendo o sistema de três equações a três incógnitas, chega-se aos valores das constantes , sendo possível a construção da seguinte equação geral para

:

(181)


74


 

Para a determinação das constantes e deve-se substituir os valores das condições iniciais e resolver o novo sistema de duas equações a duas incógnitas.

9.3 Movimento da Base

Ao contrário da excitação devido a uma força harmônica, existem situações onde o sistema dinâmico é excitado pela movimentação do plano de sustentação, ou sua base.

k/2

c

y(t)

k/2

m x(t)

()=()= () =    = −( −) −(  −)  + + =  + ( )   e x ( t ) (− + +)  =( +) Figura 43:

Neste caso, chamando-se de

de sustentação do sistema, e de

o deslocamento harmônico da base o deslocamento

da massa a partir de sua posição de equilíbrio, então a equação que rege sua dinâmica será dada por: (182)

O que implica em:

Substituindo as soluções

(183)

nessa equação diferencial, tem-se: (184)


75


Ou seja:

 = ( − +)+ 

(185)

Desta forma, o fator de amplificação de base ou fator de magnificação de base do sistema será obtido calculando-se o módulo dessa última relação:

   = |()| =  ( − +()+()) =  1−1+2+ 2       2    () = 1 −  +2 

(186)

De maneira análoga àquela adotada em aulas passadas, pode-se, ainda, obter o ângulo de fase relativa entre os movimentos:

5


4.5 4 3.5 |

e s a b

H |

3

= 0.00 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.45 = 0.50 = 1.00

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.5

1

1.5 ω / ωn

Figura 44:

2

2.5

3

(187)


76

Material de Apoio

Dinâmica de Sistemas I

Construindo-se o gráfico do fator de amplificação de base como função da relação entre as freqüências do sistema, percebe-se o aparecimento de um novo ponto relevante no espectro de resposta. Segundo o gráfico, independente do coeficiente de amortecimento do sistema, todas as curvas de resposta apresentam o mesmo valor para a relação:

  = 1,0  =√ 2. (  = )

(188)

Em termos de fase relativa entre os movimentos, o gráfico como função da relação entre as freqüências mostra que não é único neste ponto e depende do coeficiente de amortecimento . 180


160 140 120 100

= 0.00 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.45 = 0.50 = 1.00

φ

80 60 40 20 0 0

0.5

1

1.5 ω / ωn

Figura 45:

2

2.5

3


77

Material de Apoio


Exercício sugerido:

  = 1; = 20; = 2  = 0  =  = 0

Para o movimento de base ilustrado na figura abaixo,determine a equação geral do movimento da massa . Para tanto, considere: ;

 = 0,1  = 10 e

.

Como condições iniciais, admita:

k/2

c

.

e

k/2

y(t) = Y sen( ω ωt )

m x(t) Figura 46:


78

Material de Apoio


10.SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS COM 2GL Para o equacionamento da dinâmica de sistemas com dois graus de liberdade, 2GL, o procedimento adotado é similar àquele aplicado para sistemas com apenas um grau de liberdade. Com base nas Leis de Newton, pode-se apresentá-lo resumidamente da seguinte forma: 1. Primeiramente, o sistema é modelado considerando-se o agrupamento de corpos rígidos conectados por elementos elásticos de massa desprezível; 2. O equilíbrio estático do sistema é, então, determinado; 3. Definem-se as coordenadas necessárias para descrever a geometria/dinâmica do problema. Em gera, é conveniente selecionar as coordenadas de translação do centro de massa e as rotações a partir desse ponto. As direções positivas devem ser definidas; 4. O sistema deve ser tirado de sua condição de equilíbrio, impondo-se deslocamentos finitos, sem que se viole as restrições impostas pelos vínculos; 5. Nessa condição, um diagrama de corpo livre deve ser construído de acordo com as coordenadas selecionadas, computando-se forças e momentos agindo sobre as massas devido aos elementos elásticos, assim como as demais forças e momentos do sistema; 6. Em seguida, as acelerações de translação e angulares do centro de massa dos corpos rígidos do sistema devem ser expressas como função do sistema de coordenadas adotado; 7. Então, a II Lei de Newton pode ser aplicada, tantas vezes quantos forem os movimentos de translação do centro de massa e de rotação ao redor do mesmo. A título de exemplo, considere-se o sistema ilustrado na figura abaixo, representando de forma simplificada a suspensão de um automóvel

L G 2 m o c s o d i c e t r o m A o ã N s a m e t s i S : o l u t í p a C

79

Material de Apoio


(desconsiderados os elementos de amortecimento), para o qual aplica-se o procedimento descrito. L

L

CG

k 1

k 2

Figura 47:

Desta forma:

 

 

1o. Passo: assume-se que a barra representado o automóvel é rígida e tem peso e inércia . Concomitantemente, as molas e têm massa desprezível e comportamento linear quanto à restauração. 2o. Passo: assume-se que a barra ilustrada na figura acima já esteja na condição de equilíbrio (posição horizontal), portanto, que as molas já estejam parcialmente comprimidas pelo peso próprio da barra. 3o. Passo:, os deslocamentos verticais de cada extremidade da barra são selecionados como coordenadas, considerando-se desprezíveis quaisquer movimentos na direção horizontal.

x  x  .

4o. Passo: a partir da condição de equilíbrio, assume-se, agora, que as extremidades da barra sejam deslocadas de W θ θ x 1

x

k 1 x 1

k 2 x 2

CG

W 2

W 2

Figura 48

x 2


80

Material de Apoio


 x

5o. Passo: conforme ilustrado na figura anterior, desenha-se o diagrama de corpo livre, considerando-se as forças e , a força peso W e as reações nos vínculos, devidas ao carregamento estático imposto pela mesma. 6o. Passo: o deslocamento vertical do centro de massa CG e a rotação são, então, escritos como:

 =  +2   = 2− 

(189)

(190)

Neste caso, a relação apresentada para a rotação considera pequenos deslocamentos. Diferenciando duas vezes com relação ao tempo, chega-se às seguintes acelerações de translação e de rotação, função das coordenadas consideradas:

 =  =  +2  α = θ = x2−xL   =  ⟹ (2+) = − − − + 2 + 2      −     =  ⟹ 2  =   −  − 2  + 2 

(191)

(192)

7o. Passo: aplica-se a lei de Newton, obtendo-se:

(193)

(194)

Obviamente, as forças e os momentos provenientes do equilíbrio estático são eliminados naturalmente, resultando o seguinte sistema de equações:


81

Material de Apoio


  +−+2 +2+2−2=0 = 0



(195)

O leitor pode verificar que uma formulação diferente decorre da seleção de



e

como coordenadas. Neste caso, o sistema equivalente de equações que rege a dinâmica do sistema não amortecido com dois graus de liberdade fica sendo dado por:

10.1

   +( + (+−))+( +(− +))=0= 0

(196)

Forma Matricial

A forma matricial de apresentação das equações que regem a dinâmica de sistemas com mais graus de liberdade, além de facilitar o tratamento matemático, permite analogia direta com as discussões até aqui conduzidas para um grau de liberdade. Assim, tomando-se como exemplo o sistema de equações (2), a apresentação na forma matricial ficaria sendo dada por:

 + =0  =   =    =   = ((−+)) ((+−))  =  =  

(197)

Onde a matriz de inércia é dada por

(198)

E a matriz de restauração dada por:

é a matriz de rigidez

(199)

Por sua vez, os vetores generalizados de aceleração e deslocamento dados por: (200)


82

Material de Apoio




 =  =  

A respeito da matriz de inércia argumentos

(201)

, há que se comentar a generalidade dos



, atentando para a consideração de inércia quando se tratarem

de movimentos de rotação, neste caso particular

.

No que se refere à solução do sistema, esta também poderia ser apresentada na forma matricial, permitindo analogia direta com os procedimentos adotados para o caso de um único grau de liberdade:

 =  =   

10.2

(202)

Classificação segundo o acoplamento

Com base na característica das matrizes de inércia e rigidez, o acoplamento das coordenadas que regem a dinâmica de um sistema com 2GL pode ser classificado da seguinte forma: •

Acoplamento estático: Existe quando a matriz de inércia é diagonal e a matriz de rigidez é não diagonal.

•

Acoplamento dinâmico: Ao contrário do acoplamento estático, existe quando a matriz de inércia é não diagonal e a matriz de rigidez é diagonal.

•

Acoplamento estático e dinâmico: Existem, ainda, os casos em que ambas as matrizes, de inércia e de rigidez, são não diagonais.

É importante destacar que o tipo de acoplamento pode ser alterado, dependendo do sistema de coordenadas adotado. Desta forma, um sistema acoplado estaticamente pode passar a ser equacionado segundo um acoplamento dinâmico pela simples adoção de um novo sistema de coordenadas.


83

Material de Apoio


Obviamente, o equacionamento dinâmico segundo um ou outro tipo de acoplamento vai implicar na melhor forma de análise e solução do problema. Como último comentário vale lembrar que a representação na forma matricial e a classificação do acoplamento podem ser aplicadas para sistemas com mais de dois graus de liberdade.

Exercício (proposto):

Mostre que o sistema ilustrado abaixo, onde o centro de massa não coincide com seu centro geométrico, apresenta um sistema de equações com acoplamento dinâmico se as coordenada adotadas forem e .

 

  = 

Neste caso, é o deslocamento vertical de um ponto ao longo da barra no qual a aplicação de uma força também vertical produz uma translação simples, isto é . L1

L2

D

CG

k 1

k 2 e Figura 49:

Resposta:

    +( +0 ) ( +0 )  = 00

(203)


84

Material de Apoio


11.VIBRAÇÃO NATURAL DE SISTEMAS COM 2GL Retomando-se o sistema dinâmico da aula passada, na ausência de amortecimento e de força externa de excitação, de maneira geral o sistema de equações diferenciais que rege seus movimentos é dado por:

 ++ ++ ++ == 00 L

(204)

L

CG

k

k

Figura 50:

   

Como foi visto, dependendo dos termos: , , e , pode-se ter um acoplamento do tipo dinâmico, estático ou ambos simultaneamente. Obviamente, os termos de acoplamento dependerão do sistema de coordenadas adotado. Análogo ao procedimento adotado para um oscilador harmônico com um grau de liberdade, pode-se avaliar a vibração natural do sistema com dois graus de liberdade em uma freqüência (ainda desconhecida).

   ==   

Para tanto, assumem-se movimentos harmônicos do tipo:

Onde as amplitudes de movimento indeterminadas.

e

(205) , por enquanto, ainda são

Substituindo-se estes movimentos no sistema de equações diferenciais, é obtido o seguinte sistema de equações algébricas lineares:

L G 2 m o c s a m e t s i S e d l a r u t a N o ã ç a r b i V : o l u t í p a C

85

Material de Apoio


−((− ++))  +(+(−− ++))  == 00

(206)

Caso este sistema tenha solução, então os movimentos harmônicos assumidos serão solução para a dinâmica do sistema com dois graus de liberdade. Sabendo que o sistema de equações algébricas lineares é homogêneo, só haverá solução se:

((−− ++)) ((−− ++)) = 0

(207)

Este determinante é conhecido como determinante de freqüências e a equação que dele advém conhecida como equação de freqüências . Já que, em geral, a equação de freqüências fornece duas raízes distintas, pode-se concluir que o sistema poderá vibrar harmonicamente em duas freqüências e , ditadas exclusivamente pelos parâmetros de massa e rigidez do sistema.



 

As amplitudes de movimento,

  e

, não são arbitrárias já que, para cada

valor de , haverá apenas uma equação relacionando essas amplitudes. Desta forma, assumindo-se, por exemplo: respectivamente:

( ) = −−+ ( ) = −−+

() = 1 () = 1 e

Onde os índices sobrescritos referem-se às frequências naturais

 

, tem-se

(208)

  e

.

Conclui-se, desta forma, que um sistema com 2GL pode apresentar vibrações naturais em duas freqüências distintas, e , e a cada uma dessas frequências corresponderá uma única razão entre as amplitudes:

(())  (())

(209)


86

Material de Apoio


    (), () (),()  As freqüências

e

e

são conhecidas como freqüências naturais e os pares descrevem os modos naturais de vibração do sistema.

  = ()

 = 1

Os modos naturais significam que o sistema tem uma vibração natural na freqüência , se em um instante , ao deslocamento coordenado corresponder um deslocamento coordenado

.

Exercício resolvido:

Considere-se o sistema não amortecido da figura abaixo. x 1 k

x 2 k

m

kx 1

k 2m

k(x 1-x 2 )

m

kx 2 2m

  2 +−((−−))+==00  ==  (−2− + (2) −2 −) =0= 0 Figura 51:

Utilizando-se as coordenadas e a partir da posição de equilíbrio estático, suas equações diferenciais são dadas por: (210)

Assumindo-se solução harmônica do tipo:

(211)

Sua substituição no sistema de equações diferenciais resulta em: (212)


87

Material de Apoio


    (2 −− ) (2 −2− ) = 0  =  ⟹  −   +   = 0,  = 332 −√ √ 323 ≅ 0,634 ⟹  ≅  0,634  2 + 2   ≅ 2,366  ⟹  ≅  2,366 (()) = 2 −  = 2 −0,1634 ≅ 0,731 (()) = 2 −  = 2 −2,136 ≅ 2,730

Este sistema terá solução para quaisquer

e

Assumindo-se

se:

(213)

cujas raízes serão:

(214)

Substituindo estas freqüências naturais no sistema de equações algébricas lineares, são obtidas as respectivas relações entre amplitudes de movimento:

(215)

É usual a representação gráfica dos modos naturais na seguinte forma: 1,0 2,730 0,731

1,0

Primeiro modo natural

Segundo modo natural

Figura 52:

Segundo essa representação é possível concluir que no primeiro modo natural as duas massas se movem em fase e no segundo modo natural elas se movem em oposição de fase.


88

Material de Apoio


 = 1000g


Um automóvel de

20000⁄

reboca um trailer de

 = 200g  =

. Se a estrutura

que faz a conexão entre os dois possuir constante de restauração

, quais serão as freqüências naturais do sistema. Descreva também os modos naturais de vibrar. k M

m

Figura 53:

ω ()==0(e)ω=1≅ 5,48rad/s () = 1  () = −2.   Respostas:




Um perfil asa que será testado em túnel aerodinâmico é suportado por uma mola linear de constante e uma mola torcional de constante . Se o centro de gravidade do perfil se encontra à frente do ponto de fixação, determinar as equações diferenciais que regem a dinâmica do sistema.

K

k G

e Figura 54:


89

Material de Apoio


12.VIBRAÇÃO FORÇADA DE SISTEMAS COM 2GL Se forças externas agem sobre um sistema com dois graus de liberdade e acoplamento estático , suas equações dinâmicas são dadas por:

 ++ ++ == (())  () ()  (()) ==   (()) ==   (− +(−+) ++)  ==  (⟹  − +) (−+)   =         ( )  −   +      = (−+) (− +) +)  ( −      = (−+) (−+)

Ao mesmo tempo, se as forças de excitação

e

(216)

forem harmônicas: (217)

Assumindo-se soluções harmônicas para o movimento permanente: (218)

é obtido o seguinte sistema de equações algébricas lineares:

(219)

Este sistema é linear e não homogêneo, podendo ser resolvido através da aplicação direta da Regra de Cramer , Anexo B:

(220)

(221)

L G 2 m o c s a m e t s i S e d a d a ç r o F o ã ç a r b i V : o l u t í p a C

90

Material de Apoio


Exercício (proposto):

A suspensão de um automóvel, desconsiderando-se os elementos de amortecimento pode ser modelada como na figura abaixo.

 = 1909   = 227  5270/ 25 A massa do automóvel é rodas é

 =  30 = 17700/ 

, a massa dos eixos mais a massa das

, a constante de restauração da suspensão é

e a constante de restauração dos pneus é

carro é submetido a um teste típico de vibração à

. Se o

cpm = ciclos por

minuto) com amplitude de , determinar o movimento vertical do carro, , assumindo que todas as rodas têm movimento síncrono e que não haja movimento na direção horizontal. x 2 m 2

m 2

k 2 /2

m 1 /2 k 1 /2

k 2 /2

m 1 /2 k 1 /2

Figura 55:

≅=31,0,0406(31,4) Resposta:

k 2 x 1 m 1 k 1

y L G 2 m o c s a m e t s i S e d a d a ç r o F o ã ç a r b i V : o l u t í p a C

91

Material de Apoio


13.ABSORVEDORES NÃO AMORTECIDOS

 =  cos   ++  ++  == 0()

A resposta dinâmica do sistema com dois graus de liberdade ilustrado abaixo, não amortecido e harmonicamente forçado por , é dada pelo seguinte sistema de equações diferenciais:

(222)

x 2 m 2 k 2

f 1(t)

x 1 m 1 k 1

Figura 56:

Ou seja:

 == (()−−() −) −  + =  0  = 0 0  = (−+ ) −

(223)

Na forma matricial, equivalente à:

Onde:

(224)

(225)

(226)

s o d i c e t r o m A o ã N s e r o d e v r o s b A : o l u t í p a C

92

Material de Apoio


x 2 m 2

k 1(x 1- x 2 )

f 1(t) m 1

x 1

k 1x 1 Figura 57:

Assumindo-se soluções harmônicas para os movimentos das massas:

(()) ==    −− +(+(− + +) )−  = 0 =  ⟹ −⟹  −+ ( +) (−− +)   = 0  −     ( ) 0 −   +    = −−+ ( +) (−− +) 0 (−− +) =   −

(227)

é obtido o seguinte sistema de equações algébricas lineares:

(228)

Para resolver este sistema, pode-se aplicar a regra de Cramer . Desta forma:

Onde:

(229)

(230)


93

Material de Apoio


− +−+( + ) (−−+) = =    −   −  −           −         = +  − −−                    = +  − −−    −   = 0     = 0       (231)

Portanto:

(232)

E, analogamente:

(233)

Segundo a equação obtida para

, percebe-se que

e nessas circunstâncias, a massa

quando:

não estará vibrando. Esta última

observação sugere o desenvolvimento de dispositivos baseados nesse princípio, chamados de absorvedores dinâmicos de vibração .

Desta forma, se um sistema tem uma massa , denominada componente primária , forçada harmonicamente ou submetida a um movimento de base, é possível projetar uma massa , denominada componente secundária , que conectada por mola de rigidez desta.

à massa

minimize ou elimine o movimento

A equação para a seleção de exige que a freqüência natural da componente secundária coincida com a freqüência da excitação. Naturalmente, o projeto da componente secundária exige também que a amplitude do seu movimento não exceda limites que garantam a integridade do sistema.


94

Material de Apoio



 () =  sin

Determine a vibração vertical permanente do sistema com dois graus de liberdade ilustrado abaixo, forçado harmonicamente por e amortecido por elementos de dissipação com constantes Solução:

e

.

x 2 m 2 m 2

f 1(t)

c 2 (dx 1 /dt - dx 2 /dt) k 2 (x 1- x 2 )

k 2

c 2

f 1(t)

m 1

x 1

m 1 c 1

k 1

c 1 dx 1 /dt

k 1x 1

 >   == (()−−)+−(−−() −)−( −),  +−(+−)++(+ +)−= 0 − = () (()) ==  () = e assumindo:

Figura 58:

Equações dos movimentos:

(234)

Ou ainda:

(235)

Assumindo soluções permanentes do tipo:

Assim como

:

(236)


95

Material de Apoio


( +)−−−+( +)  −−−+  = 0

(237)

Aplicando a Regra de Cramer :

 − −         0  −  +       = ( +)− +( +) − + −( +) =   ++ (  +)( −)

 =   +   =  −  ;   B = c ω;   ==((++)−) −−+  −−(+()+)−−2 +.;

(238)

onde:

(239)

Analogamente:

 ( )− ( )  +  +  +            − −   0    = ( +)− +( +) − + − ( +) =

(=   +)+( − )  =  ( +)+ +(− +).   =(= (++))==  == (( ++))

(240)

(241)

Da teoria dos números complexos sabe-se ainda que:

Onde:

(242)


96

Material de Apoio


    ( ) ( )    + + −  +  =   +   =  −  ++      ( ) ( )    +  + −   +  =   +  =  −++  () =  sin = e  (()) == (==((++))

No entanto, a força de excitação é:

(243)

(244)

(245)

(246) . Desta forma,

no regime permanente:

(247)


Determine as freqüências naturais do pendulo duplo ilustrado abaixo. Considere: a) fios inextensíveis de comprimento l e massa desprezível; b) somente pequenas oscilações; c) movimentos contidos no plano.


97

Material de Apoio


T 1

T 2

θ θ1

θ θ1 m m

x 1 θ θ2

m

mg

m

θ θ2

θ θ2

T 2

mg

x 2 Figura 59:

Solução: Para a massa superior:

então:

 =  ⟹   =  ,  =   =  ( −) −.  =  + ⟹  =   + ,  =   +  = −.  = .

(248)

(249)

Para a massa inferior:

então:

(250)

(251)

Do equilíbrio de forças na direção normal à trajetória da massa inferior: (252)


98

Material de Apoio


Considerando-se pequenas oscilações:

  ≅ ;   ≅ 1 ⟹  ≅ . − = 0      +2 +  + = 0  (()) ==   2 −− −− = 00.  − 4  +2  = 0.  =     =  =  2 −√ 2  =  =  2 −√ 2 (()) = 2− √ 2. 

(253)

Desta forma:

(254)

Assumindo movimentos harmônicos de freqüência :

Então:

(255)

(256)

cuja equação de freqüências é, portanto:

Assumindo

(257)

:

(258)

(259)

Determinando os modos naturais:

(260)


99

Material de Apoio


Analogamente para o segundo modo:

(()) = 2− −√ 2. 

(261)


 =  =  = ,  =  = ; =  =   =  =  = .

Determine a equação de freqüências do sistema ilustrado na figura abaixo. Assuma

e

k 1 r 1 J 1

k 2 r 2 J 2

k 3

Figura 60:

Resposta:

 −8 + 6 = 0.

(262)


100

Material de Apoio


14.BIBLIOGRAFIA Bendat, J. S. (2000). Random Data: Analysis & Measurement Procedures - Series in Probability and Statistics, 3rd edition. Wiley. Bowers, E. (1975). Long Period Oscillations of Moored Ships Subject to Short Wave Seas. Transaction of Royal Institution of Naval Architects . Chakrabarti, S. K. (2001). Hydrodynamics of Offshore Structures. Southampton: WIT Press. Chakrabarti, S. K. (1994). Offshore Structure Modeling - Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 9. World Scientific. Chakrabarti, S. K. (2002). The Theory and Practice of Hydrodynamics and Vibration - Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 20. World Scientific. Clauss, G. F. (2007). The Conquest of the Inner Space – Challenges and Innovations in Offshore Technology. Marine Systems & Ocean Technology . Faltinsen, O. (1998). Sea Loads on Ships and Offshore Structures. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Journée, J. M. (January de 2001). Offshore Hydrodynamics. Delft University of Technology . Delft, Holand. Simos, A., & Fujarra, A. (Outubro de 2009). Módulo 3: Hidrodinâmica. Gestão e Tecnologia em Construção Naval - Marinha do Brasil . Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

a i f a r g o i l b i B < : o l u t í p a C

101

Material de Apoio


15.ANEXO A – MODELAGEM E SIMULAÇÃO NUMÉRICA TUTORIAL PARA UTILIZAÇÃO DO SIMULINK 15.1 Introdução

O Simulink é um “toolbox” do Matlab voltado para a modelagem, simulação e análise de sistemas dinâmicos, através de uma interface gráfica. Neste “toolbox” os modelos dinâmicos são construídos simplesmente selecionando e arrastando objetos, no caso os blocos, para uma área de construção gráfica. Este tutorial tem o objetivo de apresentar os passos básicos da modelagem e simulação numérica, via Simulink, permitindo ao aluno a utilização desta ferramenta, através da construção de um exemplo prático e da identificação de seus aspectos globais.

15.2

Iniciando um novo modelo

O Matlab, e também o Simulink, utilizam como padrão a seguinte pasta de trabalho: c:\MATLAB6p5\work

Se preferir mudar de pasta, ou não for possível trabalhar na pasta padrão, pode-se trabalhar e gravar o seu novo modelo em outro local, bastando executar a seguinte instrução: >>cd c:\”caminho para a nova pasta”

A instrução >>pwd ecoa o diretório corrente na área de trabalho do Matlab. Feito isto, para iniciar o Simulink digite e execute na área de trabalho do Matlab a seguinte instrução: >>simulink

Uma janela se abrirá com a biblioteca de blocos do Simulink, como mostrado na figura abaixo. Esta janela permanecerá aberta durante toda a sessão de trabalho.

a c i r é m u N o ã ç a l u m i S e m e g a l e d o M – A O X E N A : o l u t í p a C

102

Material de Apoio


Para iniciar um novo modelo, clique sobre o ícone “Create a new model” , no canto superior esquerdo da janela.

Uma nova janela irá aparecer na tela, onde o novo modelo será construído e simulado. A próxima figura ilustra esta nova janela

Figura 61:


103

Material de Apoio


Figura 62:

É nesta nova janela que se construirá o exemplo discutido mais adiante. Antes disso, é importante saber que a biblioteca do Simulink é provida de uma série de blocos, subdivididos em grupos, que podem ser acessados através de um simples clique sobre o nome de cada um desses grupos. Os principais blocos utilizados em PNV-2323 podem ser encontrados nos grupos: “Continuous, Discontinuities, Discrete, Look-Up Tables, Math Operations, Model Verification, Model-Wide Utilities, Ports & Subsystems, Signal Attributes, Signal Routing, Sinks, Sources e User-Defined Functions” .

Para uma familiarização com o processo de construção, sugere-se explorar o conteúdo da biblioteca de blocos. Para fixar a construção de modelos e a manipulação dos blocos, um modelo simples é aqui utilizado, sugerindo-se o acompanhamento dos passos descritos a seguir.


104

Material de Apoio


Exemplo:



Considere-se o sistema da figura a seguir, composto por uma massa



uma mola de constante elástica

()



presa a

e um amortecedor de coeficiente de

amortecimento , sujeita a uma força de excitação

Figura 63:

−x() ()  + + = ().  = 1 (− − +() ,   (  ) ()

.

−x

Neste sistema, a força de restauração da mola vale e a força de amortecimento vale , sendo o deslocamento da massa com relação à posição de equilíbrio e

sua respectiva velocidade.

Desta forma, a equação que rege a dinâmica do sistema pode ser escrita como: (263)

Para se construir o modelo de simulação da equação acima, de uma maneira direta e fácil, basta isolar a segunda derivada (aceleração) obtendo-se:

Obviamente, integrando-se a aceleração integrada leva a posição

.

obtém-se a velocidade

(264)

 (  )

, que

Uma representação gráfica destas relações é apresentada a seguir, lembrando-se que o operador Laplace:



representa a integração segundo a teoria de

 () 1  () 1 ( )

(265)


105

Material de Apoio


()

Em termos da equação dinâmica que rege o sistema massa-mola-amortecedor , a representação gráfica completa fica sendo dada por: com excitação

1

m

&&(t ) x

1 s

x& (t )

1 s

x(t)

( −c x& − kx + F (t )) F(t) Figura 64:

(  )

Observe que o bloco maior deste modelo refere-se, justamente, ao equacionamento obtido a partir do isolamento da aceleração dinâmica do sistema.

na equação

Pode-se, agora, transformar o diagrama simplificado da figura acima em um modelo de simulação em ambiente Simulink.

15.3

Manipulando blocos e linhas de conexão

15.3.1 Selecionando e arrastando blocos para a janela de construção

Na biblioteca de blocos, clique sobre o grupo denominado “Sources” . Em seguida, clique e arraste o bloco “Sine Wave” para a janela de construção do modelo. O resultado deverá ser o mostrado na figura a seguir. É importante destacar que você pode mover cada um dos blocos, de acordo com a disposição desejada, além de apagar qualquer um deles, bastando selecioná-lo(s) e apertar a tecla “Del” .


106

Material de Apoio


Figura 65:

Continue a construir o modelo, adicionando outros blocos a sua janela de construção do modelo. Adicione: −

dois blocos “Integrator” do grupo “Continuous” ;

−

um bloco “Mux” do grupo “Signal Routing” ;

−

um bloco “Fcn” do grupo “User-Defined Function” e

−

um bloco “Scope” do grupo “Sinks” .

O resultado deverá ser o seguinte:


107

Material de Apoio


Figura 66:

15.3.2 Definindo os parâmetros dos blocos

O sistema dinâmico em análise possui os seguintes parâmetros de entrada:

 

−

massa ;

−

rigidez ;

−

amortecimento ;

−

condições iniciais do sistema (a velocidade inicial e

0

0



e a posição inicial

amplitude da força de excitação harmônica . Estes parâmetros devem ser declarados na área de trabalho do Matlab, ou declarados através de uma “m-file” que deverá ser executada antes das simulações. −

Desta forma, crie uma “m-file” contendo as seguintes instruções: m = 3 k = 1 c = 0.5 x0 = 10 v0 = 0


108

Material de Apoio


F0 = 0

Salve-a com o nome: “parametros.m” . Em seguida, execute-a no Matlab.

Passe agora para a definição dos parâmetros dos blocos do modelo. −

Os blocos integradores,



, possuem um único parâmetro a ser

configurado. Trata-se da condição inicial de integração, que no caso do bloco esquerdo do modelo da última figura diz respeito à velocidade inicial do sistema e no caso do bloco da direita diz respeito à

(0) (0)

posição inicial do sistema

. Para inserir estas condições iniciais dê

um duplo clique em cada um dos blocos e carregue os respectivos parâmetros definidos acima. −

Também o bloco multiplexador “Mux” conta com um parâmetro único, que se refere ao número de entradas possíveis. Como padrão para este bloco, o Simulink assume 2 entradas. Portanto, é preciso adequá-las ao sistema dinâmico em estudo. Dê um duplo clique sobre o bloco multiplexador e altere o número de entradas para 3.

0

−

O modelo construído considera uma força de excitação senoidal de amplitude , que deve ser declarada como parâmetro do bloco “Sine Wave” .

−

Finalmente, a função a ser calculada precisa ser inserida no bloco “Fcn” . A variável de saída de “Fcn” é uma f (u ) , e as variáveis de entrada são denominadas u(1), u(2) e u(3), de acordo com a disposição das entradas do bloco multiplexador que a antecede. Desta forma, dê um duplo clique no bloco “Fcn” e carregue a seguinte função representativa do sistema: 1/m*(-c*u(2)-k*u(1)+u(3))


109

Material de Apoio


15.3.3 Fazendo a conexão entre os blocos

Para fazer a conexão entre os blocos, simplesmente clique com o botão direito do mouse sobre a porta de saída de um bloco e arraste a linha que surgirá até a porta de entrada do bloco desejado. Para confirmar a conexão solte o botão direito do mouse. Você também pode iniciar uma conexão a partir de uma linha. Basta clicar com o botão direito do mouse sobre a linha de partida e arrastar a nova linha até a porta de entrada de um dos blocos. Com base nestas instruções, faça com que seu modelo tenha o seguinte resultado gráfico:

Figura 67:

Aconselha-se a gravação do modelo a cada grupo apreciável de modificações. Executando esta tarefa, será criado um arquivo *.mdl, que será automaticamente reconhecido pelo Simulink/Matlab como um modelo de simulação numérica.


110

Material de Apoio


15.4

Executando a simulação

Uma vez concluídas as conexões e salvo o modelo, você pode executá-lo clicando sobre o ícone ►, pressionando “CTRL+T” , ou ainda, selecionando o submenu “Start” , dentro do menu “Simulation” . Executando uma dessas instruções, assumindo-se

0 = 0

, um sinal típico de

decaimento será gerado e apresentado no bloco “Scope” . Para visualizá-lo, dê um duplo clique sobre o bloco “Scope” . Pode-se aumentar o tempo de simulação alterando o parâmetro “Stop time” do submenu “Simulation Parameters” , dentro do menu “Simulation” da barra de tarefa, na janela de construção do modelo. No caso do sistema em estudo, aumente este valor para 30 (trinta) unidades de tempo. A figura abaixo mostra a aparência típica da janela de apresentação do bloco “Scope” , considerando-se as 30 unidades de tempo de simulação.

Figura 68:

Logicamente, é possível melhorar muito o modelo criado, incorporando inclusive todas as funcionalidades de apresentação dos resultados segundo os comandos do Matlab.


111

Material de Apoio


Para tanto, sugere-se o uso de outros recursos do Simulink, especialmente aqueles dedicados a transferência de resultados para a área de trabalho do Matlab, bem como aqueles referentes à gravação de arquivos com as saídas das simulações numéricas.


112

Material de Apoio


16. ANEXO B – TÓPICO EM ÁLGEBRA LINEAR 16.1

Inversão de Matrizes: Regra de Cramer

Considere-se o seguinte sistema de equações algébricas lineares:

++++++ === .   =                =     =    = .    =  ⟹  = ,    =   = 100 010 001  1  = | | .                       =    =      (−1)

Este sistema pode ser expresso na forma matricial

, onde:

Pré-multiplicando a equação matricial pela matriz inversa obtida:

já que

, onde

Para tanto, basta determinar

(267)

, sua solução é

(268)

é a matriz identidade .

que é dada por:

Sabe-se, no entanto, que a matriz adjunta de uma matriz transposta da matriz de cofatores de

Por sua vez, cada cofator

(266)

(269)

quadrada é a

, ou seja:

é igual ao menor

, com sinal

(270)

.

r a e n i L a r b e g l Á m e o c i p ó T – B o x e n A : o l u t í p a C

113

Material de Apoio


          =     =    = (−1) = − .         1  =     | |  == | 11| +−+  +   | |    = | 1|     = | 1|   = | 1| =  .

No caso da matriz

, seu menor

e, desta

forma:

(271)

Uma forma direta de se chegar à solução do sistema de equações algébricas lineares é apresentada pela Regra de Cramer , segundo a qual:

Aplicando procedimento análogo para as coordenadas

e

(272)

, chega-se ao

seguinte resultado:

(273)

Exemplo:

Encontrar a matriz inversa da matriz:

1o) O determinante de

1 1 1  = 11 20 23.  1 1 1  = 11 20 23 = 3

(274)

é:

(275)

r a e n i L a r b e g l Á m e o c i p ó T – B o x e n A : o l u t í p a C

114

Apostila de Dinâmica I - V1r5

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